1 3חשבון אינפי
3חשבון אינפיניטסימלי
תקצירי הרצאות
רועי משולם
ממדי n-המרחב האוקלידי ה
יהא 1, , :n
n ix x x .
n ביחס לפעולות החיבור, מדי מעל ימ nהוא מרחב וקטורי
1 1 1 1, , , , , ,n n n nx x y y x y x y
וכפל בסקלר
. 1 1, , , ,n nx x x x
של אורךה 1, , n
nx x x הוא
12
2
1
n
i
i
x x
.
,בין שני וקטורים (המטריקה) המרחק nx y ,ידי-נתון על:
.( , )d x y x y
,של המכפלה הפנימית nx y נתונה על ידי:
. 1
,n
i i
i
x y x y
:תכונות המכפלה הפנימית
,יהיו ', nx x y , .אזי:
.א 2
0 ,x x x . 0שוויוןx 0מתקיים אם ורק אםx .
.ב , ,y x x y
.ג , ,x y x y
.ד ', , ',x x y x y x y
0יהיו : זוית , nx y .
:לפי משפט הקוסינוסים
2 3חשבון אינפי
2 2 22 cosx y x y x y
:מאידך
2
2 2
, ( , ) 2( , ) ( , )
2( , )
x y x y x y x x x y y y
x y x y
: לכן ,
cosx y
x y .
: אי שוויון קושי שוורץ ,x y x y
:הוכחה
נסמן 2| |a y ,2( , )b x y ו-
2| |c x . אזי הפולינום הריבועי2( )p t at bt c
)מקיים ) 0p t לכלt (מפני ש- 2( ) ( , )p t at bt c t y x t y x .) מכאן
שהדיסקרימיננטה 2 4b ac 0מקיימת , כלומר
2 4b ac ; לכן
2 2 24( , ) 4 | | | |x y x y , ומכאן2 2 2( , ) | | | |x y x y .
:(המטריקה)המרחק תכונות
) .א , ) ( , )d y x d x y.
) .ב , ) 0d x y אם ורק אםx y.
): אי שוויון המשולש .ג , ) ( , ) ( , )d x y d x z d z y .
:הוכחה
,נראה כי לכל na b מתקייםa b a b :
:שוורץ-שוויון קושימוש באי יי ש"ע
2 2 2
, 2 ,a b a b a b a b a b
. 22 2
2a b a b a b
a: כעת נציב x z ,b z y ,קבלונ:
| ( ) ( ) |x y x z z y x z z y .
-טופולוגיה קבוצתית בn
:
3 3חשבון אינפי
.טופולוגייםנכיר כמה מושגים
סביב פתוח הכדור הna רדיוס על בr : ( , ) : ( , )nB a r x d x a r .
סביב סגור הכדור הna רדיוס על בr : ( , ) : ( , )nB a r x d x a r .
nG אם לכל פתוחה קבוצההיאa G 0קייםr כך ש- ( , )B a r G.
nF אם סגורה קבוצההיאn F פתוחה.
:משפחת הקבוצות הפתוחותשל תכונות
(1) , n פתוחות.
אם (2) I
A אזי , משפחה של קבוצות פתוחות
I
A
תכונה זו נקראת ) פתוחה
."(סגירות של קבוצות פתוחות ביחס לאיחודים"
,1אם (3) , mA A אזי , קבוצות פתוחות1
m
i
i
A
סגירות של "תכונה זו נקראת ) .פתוחה
."(סופייםקבוצות פתוחות ביחס לחיתוכים
:משפחת הקבוצות הסגורותשל תכונות
('1) , n סגורות.
אם (2') I
A אזי , משפחה של קבוצות סגורות
I
A
סגירות של קבוצות )" .סגורה
."(סגורות ביחס לחיתוכים
,1אם (3') , mA A אזי , קבוצות סגורות1
m
i
i
A
סגירות של קבוצות סגורות )" .סגורה
."(ביחס לאיחודים סופיים
-התכנסות סדרות בn
:
תהא 1m m
x
-סדרה ב
nlimנאמר כי . n
mm
x x
0אם לכל קיים
( )N N כך שלכלm N מתקיים( , )md x x .
4 3חשבון אינפי
nx של קבוצה גבולנקודת תיקראnA אם קיימת סדרה
1m ma A
כך ש-
lim mm
a x
.
.A-ב ומסומן A שלר גו ס הנקרא Aשל גבולאוסף נקודות ה
.Aהיא הקבוצה הסגורה המינימלית המכילה את A :טענה
:הוכחה
(i) A עלינו להראות כי הקבוצה המשלימה שלה פתוחה: סגורה .
zתהא A . 0עלינו להראות כי קייםr הכדור הפתוח כך ש( , )B z r מוכל
)כלומר, Aבמשלים של , )B z r A .
טבעי קיים nאזי לכל . כזה rנניח בשלילה שלא קיים nu A כך ש-
1,nu B zn
.
-מאחר ש. טבעימספר n יהאnu A של גבולהיא נקודתA ,קיים איבר הרי ש
nv A כך ש- 1
,n nd u vn
,ומכאן
1 1 2
( , ) ( , ) ( , )n n n nd v z d v u d u zn n n
limלכן nn
z v A
,בסתירה להנחה.
(ii) A A כי כל נקודהa A היא גבול של הסדרה הקבועהna a ולכן שייכת ל-
A .
(iii) A תהא: מינימלית C קבוצה סגורה המכילה את A , נוכיח כיC A ( זה הפירוש
zאם (.של המינימליות C 0אזי קייםr כך ש-( , )C B z r ובפרט
( , )A B z r . לכןz של גבולאינה נקודתA ומכאןz A .
Aסגורה אם ורק אם A: מסקנה A.
5 3חשבון אינפי
: הגדרה
תהאnA .של כסוי פתוחA הוא אוסף של קבוצות פתוחות G
-ב n
המקיים I
A G
.
A אם לכל כסוי פתוח קבוצה קומפקטיתהיא I
G כלומר , כסוי סופי-קיים תת
,1קיימים , m I כך ש-1
i
m
i
A G
.
נאמר כיnA אם לכל סדרה קבוצה קומפקטית סדרתיתהיא m m
a קיימת תת
סדרה im
ia המתכנסת לאיבר ב-A.
:התנאים הבאים שקולים: טענה
1. X ב תקומפקטיהיא קבוצה-n
.
2. X ב סדרתית תקומפקטיהיא קבוצה-n
.
:הוכחה
2 1 נניח ש- X קומפקטית.
תהא 1n n
x X
ונניח בשלילה כי אין ל-
1n nx
סדרה המתכנסת -תת
. X-לאיבר ב
aאזי לכל X 0קייםar כך שהקבוצה : ,a n aI n x B a r
.הינה סופית
, :aB a r a X הינו כסוי פתוח שלX ,כסוי סופי -ולכן מכיל תת
1
,i
m
i ai
B a r
לכן . Xשל
1i
m
a
i
I
1ולכן קיים i m כך ש-
iaI בסתירה לבחירת , היא קבוצה אינסופיתiar.
1 2 יהא I
G xלכל . Xכסוי פתוח של X נבחר
x I 0-וxr
-כך ש ,xxB x r G . 1לכלn הפתוחהנעיין בקבוצה
6 3חשבון אינפי
1:
,2
xn
x nx r
rH B x
אזי 1 2H H ו-
1
n
n
H X
.
קיים : טענה0n כך ש-
0nH X.
nXבשלילה כי נניח : הוכחה H לכלn טבעי.
נבחר סדרה 1n n
x X
כך ש-
n nx H לכלn.
תהא 1kn
kx
x-סדרה המתכנסת ל-תת X.
-כך ש Nיהא Nx H .
NH פתוחה לכן קיים0k כך ש-
kn Nx H לכל0k k.
נבחר 0k k כך ש-
kn N . אזיkn Nx H .סתירה
.ל"מש
קיימת סדרה סופית : טענה1, , my y X כך ש-
1 0
1,2
m
i
i
X B yn
.
נבחר : הוכחה1y נניח שבחרנו . שרירותי
1, , ky y .
אם
1 0
1,2
k
i
i
X B yn
mנגדיר k ונסיים.
1אחרת נבחר
1 0
1,2
k
k i
i
y B yn
ל אינו "אם תהליך הבחירה הנ.
נעצר אחרי מספר סופי של iy-הרי שנקבל סדרה , ים
1i iy X
המקיימת 0
1,
2i jd y y
n לכלi j.
.סתירה, סדרה מתכנסת-לסדרה כזו אין תת
7 3חשבון אינפי
.ל"מש
כיסוי של הכיסוי -נשאר להוכיח שהוא תת. Xקיבלנו כיסוי פתוח סופי של
המקורי I
G .
1יהא עתה i m . אזי
0
0
1:
,2
x n
xi n
x r
ry H B x
.
לכן קיים iz X כך ש-
0
1iz
rn
וכך ש-,2
iz
i i
ry B z
לכן.
0 0
1 1, , ,2 2 2
i
i zi
z
i i i z
rB y B z B z r G
n n
ולכן
1 10
1,2 zi
m m
i
i i
X B y Gn
.
ל"מש
נקבל אתכמסקנה מהמשפט הקודם
: (Borel–Heine) בורל-היינה משפטnX קומפקטית אם ורק אםX סגורה
.וחסומה
:הוכחה
ראשית נראה כיX סגורה:
תהא 1m m
x X
ונניח כי
mx y.
סדרה -הרי שקיימת תת, קומפקטית סדרתית X-שמאחר km
kx
.X-המתכנסת ב
מאידך kmx y , ולכןy X.
:חסומה Xנראה כי
יתה סדרה יאחרת ה mx X כך ש-mx m לכלm.
8 3חשבון אינפי
-ברור כי ל mx סדרה מתכנסת-אין תת.
נראה כיX קומפקטית סדרתית :
תהא 1, ,m m mnmx x x סדרה ב-X.
הסדרה iלכל mi mx חסומה .
סדרה -לכן קיימת תת 1k k
m
-כך ש
km i ix y לכלi .
אזי 1, ,km nx y y y ו-y X כיX סגורה.
מרחבים אוקלידייםעל פונקציות
Cקבוצה A ב פתוחהקרא ית-A אם קיימתnG פתוחה כך ש-G A C .
cאם לכל A-פתוחה ב C, במילים אחרות C 0קייםr כך ש-
,B c r A C .
C(0,1]הקבוצה : דוגמא 0] -אבל היא פתוחה ב, -איננה פתוחה ב, )A . בתור
G את הקבוצה , למשל, ניתן לקחת( 1,1).
תהא nA ותהא 1, , : m
mf f f A . ( פונקציה הואכל רכיב
:if A).
0xתהא :גבול A . נאמר כי0
lim ( )x x
f x b
0אם לכל 0קיים כך שלכל
0x x A 0המקייםx x מתקיים( )f x b .
נאמר כי : ניסוח אחר0
lim ( )x x
f x b
0אם לכל 0קיים מתקיים כך ש
0( ( , ) { }) ( , )f B x A x B b .
f ברציפה-a A אםlim ( ) ( )x a
f x f a
.
9 3חשבון אינפי
f רציפה ב-A אםf רציפה לכלa A.
:: טענה mf A לכל רציפה אם ורק אםmG R פתוחה
1( )f GA-פתוחה ב
.
:הוכחה
תהא
mG R פתוחה ותהא1( )a f G.
0aיהא כך ש-( ( ), )aB f a G .
0aאזי קיים כך ש- ( , ) ( ),a af B a A B f a G
ולכן 1( , ) ( )aB a A f G .
יהאa A 0ויהא .
אזי הקבוצה 1 ( ),f B f a כלומר , A -פתוחה ב
1 ( ),U A f B f a , עבורU פתוחה ב-n
.
0יהא כך ש- ,B a U ,
אזי ( , ) ( ),f B a A B f a .ל"מש.
אם : טענהnA ו, קומפקטית-: mf A אז , רציפה( )f A קומפקטית.
יהא : הוכחה
I
G
)כיסוי פתוח של )f A .מ- ( )I
f A G
,נובע
1
I
A f G
ולכן 1
If G
כסוי סופי -נבחר תת. Aכסוי פתוח של
1
1i
t
if G
אזי 1
1i
t
i
A f G
ולכן
1
( )t
i
i
f A G
.ל"מש.
אם : טענהnA קומפקטית ו-:f A אזי , רציפהsup ( )
a A
M f a
aוקיים A כך ש-( )f a M.
11 3חשבון אינפי
תהא : הוכחה 1k k
a A
כך ש-lim ( )k
kf a M
. תהא
ika a A תת-
)אזי , סדרה מתכנסת ) lim ( )ik
if a f a M
.ל"מש.
:נאמר כי הפונקציה : הגדרה mf A ב רציפה במידה שווה-A , 0אם לכל
0קיים כך שלכל,x y A ש- x y מתקיים( ) ( )f x f y .
תהא : דוגמא 0,A .הפונקציה :f A ידי -הנתונה על1
( )f xx
אינה
]אבל היא רציפה במידה שווה בתחום , Aרציפה במידה שווה בתחום , ) 0לכל .
: -קומפקטית ו Aאם : טענה mf A אזי , רציפהf רציפה במידה שווה ב-A.
0יהא : הוכחה . לכלx A 0קייםx כך שלכל( , )xy B x מתקיים
( ) ( )2
f x f y
. אוסף הכדורים,2
x
x A
B x
. Aמהווה כסוי פתוח של
כסוי סופי -נבחר תת
1
,2
i
t
x
i
i
B x
ויהא 1min
2
ix
i t
.
x,יהיו y A כך ש- | |x y . 1יהא i t כך ש- | |2
ix
ix x
.אזי
| | | | | |2
i
i
x
i i xy x y x x x
)לכן ) ( )2
if x f x
ו- ( ) ( )2
if y f x
,ולכן
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2
i if x f y f x f x f x f y
.ל"מש.
11 3חשבון אינפי
דיפרנציאביליות
-נסמן ב ,n m
L את מרחב ההעתקות הלינאריות מ- n
-ל m
.
לעיתים נזהה את ,n m
L עם מרחב המטריצות( )m nM .
אתהnA אותה ,קבוצה פתוחה 1, , : m
mf f f A .
a-ב (גזירהאו )דיפרנציאבילית fנאמר כי A אם קיימת העתקה לינארית
,n mT L כך ש -
0
( ) ( )(*) lim 0
h
f a h f a Th
h
)מסמנים )Df a T.
היא ההעתקה הלינארית שהתנהגותה היא הקירוב הטוב T -פירוש ההגדרה הוא ש: הערה
נשים לב שההגדרה הזאת מכלילה את ההגדרה . aבסביבת fביותר להתנהגות של
f:פונקציה , אכן. של דיפרנציאביליות של פונקציה במשתנה אחדהרגילה A
a -גזירה ב A אם קיים מספר כך ש- 0
( ) ( )limh
f a h f a
h
, או באופן שקול
0
( ) ( )lim 0h
f a h f a h
h
.אם נתייחס לכפל ב- ל -כלהעתקה לינארית מ-
.ל"נקבל מקרה פרטי של הביטוי בהגדרה הנ, ונשים ערך מוחלט במונה ובמכנה
Tאם : טענה .אזי היא יחידה, כזו קיימת
T,נניח כי : הוכחה S 0יהא )*(. מקיימות את nv אזי
( ) ( ) ( ) ( )S T tv f a tv f a T tv f a tv f a S tv 0tולכן לכל :
12 3חשבון אינפי
0
( ) ( ) ( ) ( )0
t
S T v S T tv
v tv
f a tv f a T tv f a tv f a S tv
tv tv
.ל"מש
עבור : הערה ,n mT L את הנורמה האופרטורים של מגדיריםT י "ע
1max
xT Tx
.
עבור ijT T ו-nx 1המקייםx ,
11 12
2 22
22 2
1 1 1 1 1 1 1
m n m n n m n
ij j ij j ij
i j i j j i j
Tx t x t x t
Tלכן T , כאשר
1/2
2
,
ij
i j
T t
כאשר מתייחסים )היא הנורמה האוקלידית הרגילה
mכלמטריצה T -ל n ,לפי הבסיס הסטנדרטי.)
.לכל העתקה לינארית נורמה אופרטורית סופית ,בפרט, לכן
1לכל : הערה j n מתקיים22
1
m
ij j
i
t Te T
. לכן
1/2
1/222
,
.ij
i j
T t n T n T
.a-רציפה ב fאזי a-דיפרנציאבילית ב fאם :טענה
0יהא : הוכחה 0כל שלכל h מתקיים( ) ( )
1f a h f a Th
h
אזי
0( ) ( ) 1 0
hf a h f a Th h T h
.ל"מש
13 3חשבון אינפי
.1 דוגמא
:תהא n mf כלומר, העתקה אפינית
0( )f x v Tx
0כאשר mv קבוע ו- ( , )n mT L.
לכל :טענהna מתקיים( )Df a T.
בתוספת וקטור Tהיא ההעתקה הלינארית fמאחר שפעולת : תוצאה זו צפויה לגמרי)
(.עצמה Tהיא בכל נקודה הרי שהקירוב הלינארי הטוב ביותר שלה, קבוע
לכל : הוכחהnh,
0 0( ) ( ) ( ) 0.f a h f a Th v T a h v Ta Th
:2דוגמא
)תהא ) ( )i j k lA a M ונגדיר: k lf י"ע
( , ) tf x y x Ay
,לכל : טענה , ,k lu x v y מתקיים
( , )( , ) ( , ) ( , ).Df u v x y f u y f x v
היא פונקציה בילינארית ולכן f: הוכחה
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ).f u x v y f u v f u y f x v f x y
,עתה
,, 1 1
( , ) maxk l
i j i j i j i ji ji j i i
f x y a x y a x y
,
max .i ji j
a kl x y
ולכן
2 2,
( , )max
( , )i j
i j
f x y x ya kl
x y x y
2 2
, ( , ) (0,0)max 0.i j
i j x ya kl x y
14 3חשבון אינפי
:שיקול דומה מראה שלכל העתקה בילינארית : הערה k l mf מתקיים
( , )( , ) ( , ) ( , ).Df u v x y f u y f x v
:3דוגמא
:נגדיר ( ) ( )n nf M M י "ע2( )f X X.
): טענה )( )Df A X AX XA .
:וכחהה2( ) ( ) ( )f A X f A AX XA X
ומתקיים22X X .לכן
2 2( ) ( ) ( )
0Xf A X f A AX XA n X
n XX X X
-ל: הגדרהnu של ווניתיהנגזרת הכנגדיר אתf בכיווןu על ידי:
0
( ) ( )( ; ) lim m
t
f a tu f af a u
t
.
)אם : טענה )Df a קיימת אזי( ; )f a u 0קיימת לכלu ומתקיים
( ; ) ( )f a u Df a u
:הוכחה
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( )( )0
t
f a tu f a f a tu f a Df a tuDf a u
t t
f a tu f a Df a tuu
tu
juבפרט עבור e:
1 ( )
( ) ; ( )
( )
j
j j
j
m
j
fa
xf
a f a e Df a ex
fa
x
15 3חשבון אינפי
)ולכן המטריצה המייצגת את )Df a ביחס לבסיסים הסטנדרטיים היא:
1 1
1
1
( ) ( )
( ) ( )
n
m m
n
f fa a
x x
f fa a
x x
.
)קיום הנגזרת הכיוונית : הערה ; )f a u לכלu ,אינו מבטיח אפילו רציפות.
:למשל
2
4 2( , ) (0,0)
( , )
0 ( , ) (0,0)
x yx y
f x y x y
x y
עבור, מצד אחד (0,0) ,u מתקיים
2 2 2 2
24 4 2 20(0,0); lim
t
t tf u
t t t
.יש נגזרת כיוונית בכל כיוון f -כלומר ל
הגבול לאורך הישר , כןא .(0,0)-אינה רציפה ב f ,מצד שני ,t t הוא .
3 2
4 4 2 20 0lim , lim 0t t
tf t t
t t
ואילו הגבול לאורך העקום 2( , )t t הוא
2 22
4 40 0
1lim ( , ) lim
2t t
t tf t t
t t
תהא : טענהnA ותהא ,פתוחה 1, , : m
mf f f A .
f דיפרנציאבילית ב-a A אם ורק אםif דיפרנציאביליות ב-a לכל
1 i m .
16 3חשבון אינפי
:: הגדרה mf A תיקרא1C אם
i
j
f
x
לכל Aקיימת ורציפה על
1 ,1j n i m .
תהא : טענהnAאם . פתוחה: mf A ב-
1C אזיf דיפרנציאבילית ב-A.
1mעבורלהראות זאת מספיק: הוכחה . יהא 1, , nh h h אזי לפי משפט ערך
j,0קיימים , מימדי-הביניים החד jt h כך ש -
1
1
1 1 1
1
1 1
( ) ( ) ( )
( )
( ) .
n
j
j j
j jn
k k k k j
j k k j
jn
k k j j j
j kj j
ff a h f a a h
x
ff a h e f a h e a h
x
f fa h e t e a h o h
x x
.ל"מש
כלל השרשרת
f g pA B
:תהיינה : משפט , : , ,p m ng B f A B B A ,ונניח כי
f דיפרנציאבילית ב-a A ו-g דיפרנציאבילית ב-( )b f a.
:אזי pg f A דיפרנציאבילית ב-a A ומתקיים
. ( ) ( ( )) ( )D g f a Dg f a Df a
0יהא : הוכחה .נגדיר
1 2, min 1, .
2 1 ( ) 2 ( )Df a Dg f a
יהא 1 0 כך שלכל
nu 1עםu מתקיים
17 3חשבון אינפי
. 1( ) ( ) ( )g f a u g f a Dg f a u u
יהא 2 0 כך שלכל
mh 2עםh מתקיים
2( ) ( ) ( ) .f a h f a Df a h h
יהא 1
2min ,1 ( )Df a
.
אזי לכל mh עםh מתקיים
1( ) ( ) 1 ( )f a h f a Df a h
ולכן
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )22 1 ( )
g f a h g f a Dg f a f a h f a
f a h f a hDf a
)*(
כן-כמו
2
( ) ( ) ( ) ( )
( )2
Dg f a f a h f a Df a h
Dg f a h h
)**(
hנקבל כי לכל )**( -ו)*( -מ מתקיים
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )2 2
g f a h g f a Dg f a Df a h
g f a h g f a Dg f a f a h f a
Dg f a f a h f a Df a h h h h
ולכן ( ) ( ) ( )D g f a Dg f a Df a .
.ל"מש
18 3חשבון אינפי
המישור המשיק
תהא nA פתוחה ותהא:f A של הגרף . דיפרנציאביליתf הוא המשטח
מימדי -n-ה 1, ( ) : n
fG x f x x A .
2nעבור , למשל של הגרף2:f A מימדי -דוהוא המשטח ה
3, , ( , ) : ( , )x y f x y x y A
וקטור עבור 10 nu נסמן ב- 1 : 0nu z u z מישור -את העל
u, במונחים של אלגברה לינארית) u-ל הניצב )הוא המשלים הניצב של )span u.)
בנקודה fG-מישור המשיק ל-העל , ( )a f a הוא
1 1 1
1
1
1
1
, ( ) ( ) :
, ( ) , , : ( )
, ( ) ( ), , ( ), 1
: , ( ) ( ), , ( ), 1 0 .
n
n
n n j
j j
n
n
n
H a h f a Df a h h
fa f a y y y a y
x
f fa f a a a
x x
f fy y a f a a a
x x
תהא : דוגמא2 2( , )f x y x y אזי , 2 , 2Df a b a b .
בנקודה fG-המישור המשיק ל , ,a b c הוא
2 2
( , , ) : , , 2 , 2 , 1 0
( , , ) : 2 2 .
x y z x a y b z c a b
x y z ax by z a b
19 3חשבון אינפי
משפט הפונקציה ההפוכה
:ניזכר במשפט הפונקציה ההפוכה עבור פונקציות במשתנה אחד
:תהי : משפט ( , )f a b R R כך ש, פונקציה גזירה ברציפות- '( ) 0f x לכל
[ , ]x a b .אזי:
f ערכית ב-חד-חד- ( , )a b;
(( , ))f a b נסמן )היא קבוצה פתוחה(( , )) ( , )f a b c d);
פונקציה הפוכה קיימת1 : ( , ) ( , )g f c d a b גזירה ברציפות כך ש-
1'( ( )) ( '( ))g f x f x .
:באהדוגמא התחילה ב נעיין? משתנים n -מהי ההכללה של משפט זה עבור פונקציות ב
תהא2 2:f R R י"ע נתונהה
( , ) ( cos , sin )x xf x y e y e y .
י"נתונה ע fהנגזרת של
cos sin
( , ) .sin cos
x x
x x
e y e yDf x y
e y e y
מכאן 2det ( , ) xDf x y e ולכן( , )Df x y ע לכל "חח
2( , )x y .עם זאת ,fעצמה
על ערכית -חד-חד איננה2
) כי , ) ( , 2 )f x y f x y :
21 3חשבון אינפי
לכל כלומר ,ערכית באופן מקומי-חד-דח f, מאידך2
0 0( , )x y קיימת סביבה
0 00 0 , 0 0( , ) ( , )x yx y U y y
.ערכית-חד-חד fבה
.משפט הפונקציה ההפוכה אומר את זה באופן כללי
תהיינה: משפטnA פתוחה ו- : nf A תהא . גזירה ברציפותa A כך ש-
det ( ) 0Df a . אזי קיימתU כך ש פתוחה- a U A ,מתקייםכך ש:
.Uחד ערכית על -חד f .א
) .ב )f U V פתוחה.
.ג1 :g f V U גזירה ברציפות ומקיימת
1( ( )) ( )Dg f x Df x .
)נסמן : הוכחה )E Df a . אזי לכל, nx y מתקיים:
1 1x y E Ey Ex E Ey Ex
ולכן 1
1Ey Ex y x
E .
)נסמן ) ( )h x f x Ex , אזי( ) 0Dh a .( )h x גזירה ברציפות לכן קיים
0 כך שלכל( , )x B a מתקיים1
1( )
2Dh x
n E.
נציג 1( , , )nh h h אזי
1( )
( )n
Dh x
Dh x
Dh x
.
לכל , ,x y B a 1ולכל i n , קייםi בקטע ,x y כך ש:
( )i i i i i i if y f x E y x h y h x Dh y x
נשים לב כי
i i i iDh y x Dh y x Dh y x
21 3חשבון אינפי
ולכן
12
2
1
( ) ( ) ( ) ( )n
i i
i
f y f x E y x h y h x h y h x
1 12 2
2 2 2
1 1
n n
i i i
i i
Dh y x Dh y x
12
12 2
2
111
1.
22
n
i
i
y xDh y x n y x
En E
לכן
1 1
1 1( ) ( ) ( ) .
2 2f y f x E y x y x y x
E E
-חד ערכית ב-חד fעל כן ,U B a .
det -בהמשך נשתמש בכך ש ( ) 0Df x לכלx U .0אם , ואמנם nv אזי
1 1
1 1( ) ( ) ( ) 0.
2Df x v Dh x v Ev Ev Dh x v v v
E n E
)עתה נראה כי )V f U פתוחה :
)תהא )f u v V , 0יהאr כך ש-( , )B u r U ונסמן
( , ) :S u r x x u r .
( , )f S u r קבוצה קומפקטית
לכן קיים , vשאינה מכילה את
0 כך ש-
( ,2 ) ( , )B v f S u r
.
)נראה כי , )B v V .
יהא 1, , ( , )nc c c B v .
22 3חשבון אינפי
:נגדיר את הפונקציה ( , )H B u r ידי -על 2
1
( ) ( )n
i i
i
H x f x c
.
)תהא , )b B u r כך ש-( , )
( ) min ( )x B u r
H b H x
.
נשים לב כי לכל ,x S u r ,2( )H x בעוד ש-
2( )H u .
)לכן , )b B u r , ולכן( ) 0DH b .
1לכן לכל j n
1
0 ( ) 2 ( ) ( )n
ii i
ij j
fHb f b c b
x x
כלומר ( ) ( ) 0f b c Df b .מאחר ש- ( )Df bנובע ש, ריתהיא לא סינגול-
( )f b c.
)0ההוכחה מראה כי : הערה )f U 0פתוחה לכלU U פתוחה.
נותר להראות כי 1g f גזירה ברציפות:
נשים לב כי , ראשית1g f רציפה :
אם 0U U פתוחה אזי 1
0 0g U f U פתוחה.
v-גזירה ב gנראה כי V : יהאu U כך ש-( )f u v ,אזי
1( ) ( ) ( ) ( )limy v
g y g v Df u y v
y v
1( ) ( ) ( )lim
( ) ( )x u
x u Df u f x f u
f x f u
1 ( )
m
f b c
( ) 0, ,0
n
m Df b
23 3חשבון אינפי
1( ) ( ) ( ) ( )( )lim
( ) ( )x u
Df u f x f u Df u x u
f x f u
1( ) ( ) ( ) ( )( )
lim( ) ( )x u
Df u f x f u Df u x u x u
x u f x f u
1 1( ) ( ) ( )( )
( ) 2 ( ) lim 0.x u
f x f u Df u x uDf u Df u
x u
.ל"מש
לדוגמא נחזור2 2:f R R י "ע נתונהה( , ) ( cos , sin )x xf x y e y e y . תהא
20 0( , )x y . אזיf ערכית על -חד-חד
0 00 0 , 0 0( , ) ( , )x yx y U y y
ומתקיים 20 0( ) (cos ,sin ) : 0f U V t y y t
י "הפונקציה ההפוכה נתונה ע
1 2 2( , ) ( , ) log , arctan ,
vg u v f u v u v
u
0הוא היחיד שמקיים arctanכאשר הענף של 0arctan(tan )y y.
,כמו כן
2 2
1( , )
u vDg u v
v uu v
ומתקיים
1cos sin
( ( , )) ( , ) .sin cos
x y yDg f x y e Df x y
y y
משפט הפונקציות הסתומות
24 3חשבון אינפי
להלן נזהה את k n
עם המכפלה הקרטזית k n ונכתוב וקטור ב-
k nכזוג
( , ) k nx y .
)1תהא , , ) : k n nnf f f העתקה גזירה ברציפות המקיימת( , ) 0f a b .
)קיום פתרון פרמטרי דן ב משפט הפונקציות הסתומות )y g x למערכת שלn משוואות ב-
n k נעלמים
1( , ) ( , ) 0nf x y f x y .
)תהא . נדון תחילה במקרה הלינארי )( )n k nC M ונכתוב C A B כאשר
( )n kA M ,( )n nB M .
)תהא , )k n nf L י "נתונה ע
( , ) .x
f x y C Ax Byy
)נעיין במערכת המשוואות , ) 0f x y . זו מערכת שלn משוואות ב- n k נעלמים.
:התנאים הבאים שקולים: טענה
(i) det 0B
(ii) לכלkx קיים( )g x y יחיד כך ש- ( , ) 0f x y .
: הוכחה
(i) (ii) : נניחdet 0B . נגדיר( , )k ng L י "ע1( )g x B Ax .אזי
1( , ( )) ( ) 0.f x g x Ax B B Ax
0Axהיחידות נובעת מכך שאם By אז1y B Ax .
(ii) (i) : נניחdet 0B . 0אזי קיים nv 0 -כך שBv . אזי למשוואה
(0, ) 0f y למשל כל הכפולות )יש אינסוף פתרונותy v.)
בהינתן . הדיון במקרה הכללי מבוסס על רעיון דומהkx , כל משוואה( , ) 0if x y
)מגדירה משטח 1)n -מימדי ב- n
משפט הפונקציות הסתומות מציג תנאים לכך שלכל .
x בסביבתka , חיתוך המשטחים
1
{ : ( , ) 0}n
i
i
y f x y
יכיל נקודה יחידה
( )g x y בסביבתnb.
25 3חשבון אינפי
תהא . נעבור לניסוח מדוייקk nC פתוחה ותהא: ng C עבור . גזירה
( , )x y C נסמן:
1 1
1
1
( , ) ( , )
( , ) ,
( , ) ( , )
k
n n
k
f fx y x y
x xf
x yx
f fx y x y
x x
1 1
1
1
( , ) ( , )
( , ) ,
( , ) ( , )
n
n n
n
f fx y x y
y yf
x yy
f fx y x y
y y
אזי
( , ) ( , ) ( , )f f
Df x y x y x yx y
:הפונקציות הסתומות משפט
:תהא nf C ותהא גזירה ברציפות ,a b C כך ש- ( , ) 0f a b ו-
det ( , ) 0f
a by
.
אזי קיימת קבוצה ka A שעבורה קיימתפתוחה : ng A המקיימתיחידה :
(i) g רציפה.
(ii) ( )g a b.
(iii) ( , ( )) 0f x g x לכלx A.
:ומקיימת A -גזירה ברציפות בgהפונקציה
1
( ) ( , ( )) , ( ) .f f
Dg x x g x x g xy x
)ראשית נחשב : הוכחה )Dg xבהנחה ש- g נגדיר . גזירה( ) ( , ( ))x f x g x . אזי
( ) 0x לכלx A ולכן( ) 0D x לכלx A.
26 3חשבון אינפי
,לפי כלל השרשרת
0 ( ) ( , ( )) ( , ( )) ( , ( )) ( ),( )
kI f fD x Df x g x x g x x g x Dg x
Dg x x y
ולכן
1
( ) ( , ( )) , ( ) .f f
Dg x x g x x g xy x
.gנוכיח עתה קיום ויחידות של
:נגדיר k nF C י "ע( , ) ( , ( , ))F x y x f x y .אזי
0
( , ) .
( , ) ( , )
k
k n
k
n
I
DF x y
f fx y x y
x y
det ( , ) det ( , ) 0f
DF a b a by
קיימת סביבה , לפי משפט הפונקציה ההפוכה ,לכן , k na b W ההעתקהכך ש
: k nF W ערכית-דח-דח, ( )F W ו, פתוחה-1 : ( )H F F W W
. גזירה ברציפות
)ברור כי , ) ( , ( , ))H x z x h x z לכל( , ) ( )x z F W.
( , ) ( ,0) ( )F a b a F W , 0לכן קיים כך ש- ( ,0),B a F W .
תהא , kA B a , אזי 0A F W .
:נגדיר ng A על ידי( ) ( ,0)g x h x.
27 3חשבון אינפי
g גזירה ברציפות ומתקיים
( , ( )) ( , ( ,0)) ( ,0) ( , ) ( , ),a g a a h a H a HF a b a b
)ולכן )g a b .לכל , כמו כןx A
, , ( ) , ( ) ( ,0) ( ,0),x f x g x F x g x FH x x
ולכן , ( ) 0f x g x .
-לA-היא הפונקציה הרציפה היחידה מ gנראה כי n
)המקיימת )g a b ,
, ( ) 0f x g x .
:נניח ng A רציפה, g a b ו- , ( ) 0f x g x .
תהא : ( ) ( )K x A g x g x . ברור כיK סגורה ב-A וכיa K.
: פתוחה Kנראה כי
נניח 0 0( ) ( )g x g x . בגלל רציפותg קיימת סביבה
0A A של0x כך ש-
, ( )x g x W לכל0x A .אזי
, ( ) , , ( ) ( ,0)F x g x x f x g x x
מאידך ( ,0) , ( )x F x g x ולכן( ) ( )g x g x.
K-קשירה ו A-מאחר ו נובע כי , פתוחה וסגורהK A .ל"מש.
28 3חשבון אינפי
מסקנות גאומטריות של משפט הפונקציות הסתומות
תהא k nC ותהא: nf C ,
1f C.
נסמן 1 0 : ( ) 0M f u C f u .
אם : למשל2 2 2 2 1 1( , , ) 1, :f x y z x y z f אזי
2 2 2, , : 1M x y z x y z
pתהא : הגדרה M . נאמר שווקטורk nv למשיק-
M בנקודהp אם קיימת : 1,1 M גזירה
(0) -כך ש, ברציפות p ,ו- 0 0D v .
rankנניח : טענה ( )Df p n . אזיk nv
)אם ורק אם pבנקודה M-משיק ל ) 0Df p v .
: הוכחה
יהא
k nv משיק ל-M בנקודהp . אזי קיימת : 1,1 M גזירה
(0)ברציפות המקיימת p ,(0)D v .
-מאחר ו ( ) 0f t עבור( 1,1)t נקבל כי
0 (0) (0) ( )Df D Df p v
נניח כי( ) 0Df p v .מאחר ו-rank ( )Df p n , נוכל בלי הגבלת הכלליות להניח
detכי ( ) 0f
py
.
1נסמן 2( , ), ( , ) k nv v v p a b . אזי
29 3חשבון אינפי
1 20 ( ) ( ) ( )f f
Df p v p v p vx y
ולכן
.
1
2 1( ) ( )f f
v p p vy x
)*(
לפי משפט הפונקציות הסתומות קיימת סביבה פתוחה kA שלa , ופונקציה גזירה
:ברציפות ng A כך ש-( )g a b ו- , ( ) 0f x g x לכלx A .
g זו מקיימת
1
( ) , ( ) , ( )f f
Dg x x g x x g xy x
)**(
xלכל A . 0נבחר קטן למדי כך ש-1a tv A לכלt ונגדיר מסילה
: , n k ידי-על
1 1( ) , ( ) .t a tv g a tv
כי M-מוכלת ב תמונת
1 1( ) , ( ) 0.f t f a tv g a tv
(0) , ( ) ( , )a g a a b p מתקיים)*( ,)**(ולפי
1
1 1 1 1
1 2
(0) , ( ) , ( ) ( )
,
f fD v Dg a v v p p v
y x
v v v
ל"מש
'כופלי לגרנז
תהא k nC פתוחה ,: ng C גזירה ברציפות ותהא
1(0)M g.
f:תהא : טענה C גזירה ונניח כיp M מקיימת
31 3חשבון אינפי
(i) rank ( )Dg p n
(ii) ( ) min ( ) :f p f z z M
)אזי ) Row ( )Df p Dg p.
אם נסמן : דהיינו 1, , ng g g 1אזי קיימים, , n כך ש-
1
( ) ( )n
i i
i
Df p Dg p
1לכל , ובצורה מפורשת יותר j m n :
1
( ) ( )n
ii
ij j
gfp p
x x
יש להראות כי לכל : הוכחהk nv , אם( ) 0Dg p v . אזי גם( ) 0Df p v .
)ואמנם אם ) 0Dg p v ,אזי מאחר ו-rank ( )Dg p n , נובע מהטענה הקודמת כי
:קיימת מסילה גזירה ברציפות ( 1,1) M (0)-כך ש p (0)-וD v .
:נגדיר ( 1,1)h ידי -על ( ) ( )h t f t.
0t הוא מינימום של( )h t בקטע 1,1 , (0)ולכן 0h .
מאידך
(0) (0) (0) ( )h Df Df p v
)לכן ) 0Df p v .
ל"מש
rankהטענה איננה נכונה ללא ההנחה : הערה ( )Dg p n.
נקח , למשל3 2( , )g x y x y ו- ( , )f x y x.
p(0,0)הנקודה היא מינימום של( , )f x y
31 3חשבון אינפי
על 3 2( , ) :M x y x y ,
(0,0)אבל (1,0)Df (0,0)אינו כפולה של (0,0)Dg .
'שימושים של כופלי לגרנז
nמטריצה ממשית סימטרית מסדר Aתהי : טענה .1 n .אזי ל- A יש ערך עצמי ממשי.
:נגדיר . הוכחה nf י "ע
( ) .Tf x x Ax
לכל nu מתקיים
( )( ) 2 .T T TDf u x x Au u Ax x Au
:תהא ng י "נתונה ע( ) 1Tg x x x . אזי{ : ( ) 0}nM x g x היא
ירת היחידה ספ 1nS
-ב n
uתהא . M כך ש- 1( ) max{ ( ) : }nf u f v v S .
) -כך שקיים ( 'לפי המשפט על כופלי לגרנז)אזי ) ( )Df u Dg u , ולכן
2 ( )( ) ( )( ) 2T Tx Au Df u x Dg u x x u
לכל nx . לכןAu u.
Snellחוק השבירה של .2
1נסמן {( , ) : 0}A x y y ,2 {( , ) : 0}A x y y .
1יהיו . 2vבמהירות 2Aובתווך , 1vבמהירות 1Aנתון שחלקיק נע בתווך 2, 0a a .
1החלקיק נע מהנקודה 1(0, )a A 2לנקודה 2( , )L a A במסלול אותו הוא עובר
)תהא . בזמן הקצר ביותר ,0)b הנקודה בה המסלול פוגש את ציר ה- x ,ונסמן ב-
1 2, את הזויות אותן יוצר המסלול בנקודה זו עם הקרניים
{( , ) : 0},{( , ) : 0}b y y b y y בהתאמה.
32 3חשבון אינפי
: Snellחוק
1 1
2 2
sin( )
sin( )
v
v
משך הזמן בו החלקיק עובר את המסלול הוא . הוכחה
1 2
1 2
1 1 2 2
( , ) ,cos( ) cos( )
a af
v v
1 -ו 2, מקיימים
1 2 1 1 2 2( , ) tg( ) tg( ) .g a a L
-כך ש לכן קיים
1 1 2 2 1 21 2 1 22 2 2 2
1 21 2 1 2
sin( ) sin( ), ( , ) ( , ) , ,
cos ( ) cos ( ) cos ( ) cos ( )
a a a aDf Dg
v v
ולכן
1 2
1 2
sin( ) sin( )
v v
33 3חשבון אינפי
טור טיילור
f:פתוחה ותהא Aתהא :טענה A גזירהm פעמים .
אם ,a b A אזי קיים ,a b כך ש -
( )( )1
0
( )( ) ( ) ( )
! !
mkmk m
k
ff af b b a b a
k m
כך שהפונקציה cנבחר : הוכחה
( )1
0
( )( ) ( ) ( ) ( )
! !
kmk m
k
f a cg x f x x a x a
k m
) םקיית ) 0g b .
( ) ( ) 0g a g b ולכן קיים 1 ,a b כך ש- (1)
1 0g .
(1) (1)
1( ) ( ) 0g a g ולכן קיים 2 1,a כך ש- (2)
2 0g .
( 1) ( 1)
1( ) ( ) 0m m
mg a g
ולכן קיים 1,m ma כך ש- ( ) 0m
mg .
אבל ( ) ( )m m
m mg f c ולכן ( )m
mf c .ל"מש.
טור טיילור בכמה משתנים
תהא nA ותהא , פתוחה ,:f A גזירה ברציפותm פעמים.
אם : טענה ,a a y A אזי:
1
1 1
1
0 , ,
1( ) ( ) ( )
! k
k k
km
i i
k i i i i
ff a y a y y r y
k x x
כאשר 1 0
( )0
m y
r y
y .
34 3חשבון אינפי
נגדיר : הוכחה : 0,1h י "ע( ) ( )h t f a ty .אזי
1
1 1
(1)
1
2(2)
,
( )
, ,
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )k
k k
n
i
i i
i j
i j i j
kk
i i
i i i i
fh t at y y
x
fh t at y y y
x x
fh t a ty y y
x x
0מהטענה הקודמת נובע כי קיים 1 כך ש -
1
1 1
1
1 1
( )( )1
0
1
1 , ,
, ,
(0)( ) (1)
! !
1( )
!
1( )
!
k
k k
m
m m
mkm
k
km
i i
k i i i i
m
i i
i i i i
hhf a y h
k m
fa y y
k x x
fa y y y
m x x
נסמן
11
0 1max ( ) :
, ,m
m
mi i
fM a y
i i nx x
אזי
1
1
1
, ,
1( ) .
! !m
m
m mm
i i
i i
Mr y y y M n y o y
m m
.ל"מש
35 3חשבון אינפי
אקסטרמום של פונקציות במספר משתנים
תהא nA פתוחה ותהאf גזירה שלש פעמים ברציפות ב-A.
a-ל A הסיאןנגדיר את ה Hess( )( )f a כמטריצה הסימטרית הבאה:
2 2
2
1 1
2 2
2
1
Hess( )( )
n
n n
f f
x x x
f a
f f
x x x
הבאה לגבי אקסטרמום של פונקציה במספר נעזר בטור טיילור כדי לקבל את התוצאה
:משתנים
)אם : טענה ) 0Df a ו- Hess ( )f a אזי , מוגדר חיוביתa הוא מינימום מקומי שלf.
: הוכחה
2
1 ,
2
1
1
1( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
1( ) Hess ( ) ( )
2
1( ) ( )
2
n
i i j
i i ji i j
T
n
i
i
f ff a y f a a y a y y r y
x x x
f a y f a y r y
f a y r y
כאשר 1 0 הוא הערך העצמי המינימלי של Hess ( )f a.
, קטן למדי yעבור 21( )
4r y y
ולכן
2 2 21 1 1
1
( ) ( ) ( ) ( )2 4 4
n
i
i
f a y f a y y f a y f a
.ל"מש
36 3חשבון אינפי
קריטריון סילבסטר למוגדרות חיובית
nמטריצה סימטרית מסדר Aתהא n . 1לכל k n נסמן ב- kA את המטריצה מסדר
k k הנמצאת בפינה השמאלית העליונה שלA.
detמוגדרת חיובית אם ורק אם A: (סילבסטר)משפט 0kA 1לכל k n .
.הוכחה
תהאA 1יהא . מוגדרת חיובית k n . נראה כיkA מוגדרת חיובית.
0ואמנם יהא kky , ויהא
0
k ny
y
nי הוספת "הוקטור המתקבל ע k
אזי . ky -אפסים ל
0.t tk k ky A y y Ay
detמוגדרת חיובית ובפרט kAלכן 0kA .
נוכיח את הטענה באינדוקציה עלn . 1המקרהn ברור.
1nיהא ונניח כיdet 0kA 1לכל k n .
,1יהיו , n הערכים העצמיים שלA 1עם הוקטורים העצמיים, , nv v.
:נסמן
0 { : 0}i iV span v
0 { : 0}i iV span v
1 -ו {0}nW .
1nA, לפי הנחת האינדוקציה מוגדרת חיובית ולכן לכל( ,0)u w W מתקיים
1 0.t tnw Aw u A u
אם , עתה 0dim 2V מאחר ש, אזי- dim 1W n ,קיים נקבל כי
00 w W V , 0ואז 0tw Aw ,סתירה.
לכן 0dim 1V . אם 0dim 1V אזי ל- A יש ערך עצמי אחד בלבד שאינו
1detולכן , חיובי 0n nA ,סתירה.
0לכן {0}V .ל.ש.מ.
37 3חשבון אינפי
-גרל רימן בטאינn
.
תהא 1 1 n nQ a b a b , -תיבה ב ,
nf:ותהא . Q חסומה.
:נסמן
1
sup ( ), inf ( ).
n
i i
i
Q Qx Qx Q
v Q b a
M f f x m f f x
המתקבלת מאוסף חלוקות של )תיבות -לתת Qחלוקה של Pתהא ,i ia b לקטעים .)
:P-ביחס ל fשל סכום רימן עליון: הגדרה
, R
R P
U f P M f v R
: P-ביחס ל fשל סכום רימן תחתון
, R
R P
L f P m f v R
:fשל אינטגרל עליון
inf ,PQ
f U f P
:fשל אינטגרל תחתון
sup ,PQ
f L f P
אזי Pהיא עידון של Pאם : טענה
, , , ,L f P L f P U f P U f P
P,לכל : מסקנה P , , ,L f P U f P , ולכןQQ
f f .
38 3חשבון אינפי
אינטגרבילית לפי רימן אם f: הגדרהQQ
f f . ערך משותף זה יקרא אינטגרל רימן של
f ויסומן על ידיQ
f.
0אינטגרבילית אם ורק אם לכל f: טענה קיימת חלוקהP כך ש-
, ,U f P L f P .
קבוצה : הגדרהnA 0אם לכל מידה אפסתיקרא בעלת קיימת משפחה בת
מנייה של תיבות 1i i
Q
-כך ש
1
i
i
A Q
ו- 1
i
i
v Q
. נסמן( ) 0A .
: דוגמא 0 .
Bאם .1 :טענה A ו-A אזי גם , בעלת מידה אפסB בעלת מידה אפס.
2. A 0היא בעלת מידה אפס אם ורק אם לכל קיימות תיבות 1i i
Q
כך
-ש 1
i
i
v Q
ו-1
int i
i
A Q
.
אם .3nH אזי , (מקביל לצירים)מישור -על 0H .
אם .4 1i i
A
בעלות מידה אפס אז
1
i
i
A
.בעלת מידה אפס
היא fשל Dאינטגרבילית אם ורק אם קבוצת נקודות אי הרציפות f: (רימן)משפט
.בעלת מידה אפס
: הוכחה
נניח כי 0D . עלינו להראות כי קיימות חלוקותP כך ש- , ,U f P L f P
.קטן כרצוננו
0יהא . יהיו 1i i
S
תיבות המקיימות
1
i
i
v S
כך ש-
1
int i
i
D S
.
Qרציפה על f-מאחר ו D , הרי שלכלa Q D קיימת תיבהaR כך ש-
39 3חשבון אינפי
int aa R וכך ש-( ) ( )f x f a לכלax R Q .
מהכסוי הפתוח
1
int inti a
i a D
Q S R
נבחר תת כסוי סופי
1 1
N N
i j
i j
Q S R
.
Tכך שלכל Qחלוקה של Pתהא P ,או ש-iT S או ש, כלשהו-jT R כלשהו .
נסמן
' : ,
'' : ,
i
j
P T P i T S
P T P j T R
אזי
1
, ,
2 ( ) 2
2 ( )
T T
T P
T T T T
T P T P
Q i
i
Q
U f P L f P M f m f v T
M f m f v T M f m f v T
M f v S v Q
M f v Q
נניח כיf חסומה ואינטגרבילית עלQ .
מקיימת fקבוצת נקודות אי רציפות של -D: ל"צ 0D .
aבנקודה fשל תנודהנסמן את ה Q על ידי
. 0
, inf sup ( ) inf ( )x ax a
o f a f x f x
אם ורק אם a-רציפה בf: עובדה , 0o f a .
נסמן , טבעי mלכל 1
: ,mD x Q o f xm
אזי ,
1
m
m
D D
.
נראה כי . קבוע mיהא 0mD .
41 3חשבון אינפי
0יהא ותהאP חלוקה עבורה , ,U f P L f P .נסמן
. : int mR P R D
אזי
, ,
1(*)
R R
R P
R R
R R
U f P L f P M f m f v R
M f m f v R v Rm
נסמן
R P
K R
.
K מישורים מקבילים לצירים ולכן -מוכלת באיחוד סופי של על 0K .
יהא 1i i
S
-אוסף של תיבות כך ש
1
i
i
K S
ו- 1
i
i
v S
. אזי האוסף
1
: i iR R S
מקיים
1
m i
R i
D R S
-ו 1
( 1)i
R i
v R v S m m
לכן 0mD , ולכן 1
0m
m
D D
.
.ל"מש
משפט פוביני
תהיינה mA ,
mB תיבות ותהאC A B .
f:תהא C חסומה ואינטגרבילית.
xלכל A נגדרי:xg B י "ע( ) ( , )xg y f x y.
41 3חשבון אינפי
) :נסמן ) x
B
I x g , ( ) x
B
I x g .
)אזי )I x ,( )I x אינטגרביליות עלA ,ומתקיים
A A A B
I I f
.
Aתהא . Bחלוקה של A ,BPשל חלוקה APתהיינה : הוכחה BP P P חלוקת
. המכפלה
:טענה
( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )( , )
A
A A
A
U I PL f P L I P U I P U f P
L I P
)נוכיח : הוכחת הטענה , ) ( , )AU I P U f P.
Aיהא Ax R P . אזי לכלB BR P קייםמת
( ) ( )B A BR x R RM g M f,
Axולכן לכל R:
( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ).B BA
B B B B
x xB R B R R BR P R P
I x U g P M g v R M f v R
-מכאן ש
( ) ,( ) ( )AR BA
B B
R R BR P
M I M f v R
ולכן
( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ).BA A
B BA A A A
R R R BA A AR P R P R P
U I P M I v R M f v R R U f P
)בדומה מראים כי , ) ( , )AL f P L I P.
.שויונים ברורים-ארבעת האישאר
0יהא : הטענה גוררת מיידית את משפט פוביני .
42 3חשבון אינפי
Aאזי קיימת חלוקה BP P P כך ש-
( , ) ( , )U f P L f P ,
) ואז גם , ) ( , )A AU I P L I P ו - ( , ) ( , )A AU I P L I P ,
-ו
A B A
f I
,
A B A
If
.
:דוגמא
תהי
0, ( , )
( , )
1, ( , ) , , ( , ) 1
x y
f x y
px y x p q
q q
:מתקיים
2 2( ) [0,1]D f ,
( ( )) 0D f ,
2[0,1]
0f
xg רציפה לכלx , ולא אינטגרבילית לכלx.
:מכאן
0,
( ) [0,1] ( )
1, , , ( , ) 1
x
D I I x
px x p q
q q
)ואילו ) 0I x לכלx ממשי.
43 3חשבון אינפי
המקרה הכללי –רימן האינטגרל
קבוצה חסומה nA אם עבור תיבה סגורה בעלת נפח תיקרא
nA C קיים
1A
C
. במקרה זה הנפח שלA י "נתון ע( ) 1A
C
v A . 1אינטגרביליות שלA וכן ערכו של
1A
C
אינם תלויים ב- C .
קבוצה חסומה . טענהnA אם ורק אם בעלת נפחהיא( ) 0A .
:אינטגרציה על תחומים חסומים
)ונניח כי , Cהמוכלת בתיבה נפח בעלתקבוצה חסומה , Aחסומה על fתהא ) 0fD
1Aנגדיר .
A C
f f .
:אינטגרציה על תחומים כלליים
א תהnA ו, פתוחה- :f A ,A המקיימת 0fD .
}max : נסמן ,0}, max{ ,0}f f f f .
fנאמר כי . A -את משפחת הקבוצות הקומפקטיות בעלות הנפח המוכלות ב -נסמן ב
sup אם Aאינטגרבילית על , supD D
D D
f f
,
ובמקרה זה נגדיר
sup supD D
A D D
f f f
.
לכל : טענהnA פתוחה קיימת סדרה
1 2, ,C C בעלות של קבוצות קומפקטיות
-כך ש A-ב נפח
1
i
i
C A
ו- 1intk kC C .
תהא : הוכחה 1
: , ,n n
kD x x k d x Ak
.
44 3חשבון אינפי
מתקיים 1
1: 1, , int
1
n n
k kD x x k d x A Dk
.
לכל kx D נבחר תיבה סגורה שמרכזה ב-x המוכלת ב-
1int kD פנים תיבות אלו .
מכסה את kD , ולפיכך יש מספר סופי מהן המכסה את
kD .נסמן ב-kC את איחודן .
kC
.קומפקטית ובעלת נפח
1int intk k k kD C C D
kC ל"מש. מקיימות את הדרוש.
תהא : טענהnA פתוחה ,:f A ו- 0fD . ויהא kC אוסף של
-כך ש, A-קבוצות קומפקטיות בעלות נפח ב1intk kC C לכלk . אזי
A
f קיים אם
ורק אם הסדרה
kCk
f במקרה זה . חסומהlim
k
kA C
f f
.
0f -נראה זאת ל, ראשית: הוכחה :
אם
A
f אזיsup
kk
C A
f f .
supאם , בכיוון שני
kk
C
f ו- D A אזי , קומפקטית ובעלת נפח
1
int k
k
C D
-כך ש, כלשהו mולכן קיים mC D ולכןsup
m kk
D C C
f f f .
: כללית f-ל
A
f קיים אם ורק אם,A A
f f
קיימים וזה אם ורק אם
lim ,lim
k k
k kC C
f f
קיימים וזה אם ורק אם lim lim
k k
k kC C
f f f
.קיים
45 3חשבון אינפי
lim lim
lim lim
k k
k k
k kA A A C C
k kC C
f f f f f
f f f
.ל"מש
:דוגמאות
ותהא , nA(0,1)תהא .11
( )f xx
0עבור .
nאם ורק אם Aאינטגרבילית על f: טענה .
,שויון הממוצעים-לפי אי. הוכחה
1
1 1 122 2 2 221 1 1
n nn n nx x x n x x n x x
.
nיהא .אזי
1
2 21 1 0
1 1 1 1n ni
n ni ii iA A
dx
x xn nx
11
2 21 0
1 11
i
i
x nnni
i x
x nn nn n
nעבור :
( 1)
( 1)
0 02 ,2
1 12 2
nk k
nn k k
n nk kA
nx x
0
11 .
2n
kn
,1)תהא .2 )nA , ותהא1
( )f xx
0עבור .
nאם ורק אם Aאינטגרבילית על f: טענה .
46 3חשבון אינפי
nיהא . הוכחה .אזי
2 2
1 1 1
1 1 1 1n ni
n ni ii iA A
dx
x xn nx
1
2 21 1
1 11
i
i
x nnni
i x
x nn nn n
nעבור :
1
10 0
2 ,2
1
2
1 12
nk
nk k
knn n
k kA nx x
0
11 .
2n
kn
.נוי משתניםיש
תהא : טענה : ,g a b ,1C , 0 0g x .
: ( ), ( )f g a g b אזי. רציפה
( )
( )
( ) ( )
g b b
g a x a
f y dy f g x g x dx
נגדיר: הוכחה
( )
( ) ( ), ( )
y
g a
g a y g b F y f
, ( ) ( )a x b H x F g x
F y f y ולכן ( ) ( ) ( ) ( ) ( )H x F g x g x f g x g x
לפיכך
47 3חשבון אינפי
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
g bb
x a g a
f g x g x dx H b H a F g b F g a f y dy
:דוגמא
2
12
2
2
2
20 2010 102
10 10
2010
10
17 2 7 2
2
7
y
y y dy x x x dx
x dx
:מימדים n-שנוי משתנים ב
g:תהא A B ,1C , חד חד ערכית על,A B ותהא , פתוחות:f B רציפה ,
אזי
B
f קיים אם ורק אם ( ) ( )g
A
f g x J x ובמקרה זה, קיים
( ) ( )g
B A
f f g x J x
כאשר
( ) det ( ).gJ x Dg x
:הסבר
,1יהיו : תזכורת , n
nv v .המקבילון הנקבע על ידי וקטורים אלה הוא
1
1
, , : 0 1n
n i i i
i
P v v v
ונפחו
1 1, , det , , .n nV P v v v v
48 3חשבון אינפי
תהא i iR חלוקה שלA ותהא " קטנות"לתיבות
ix פינה שמאלית תחתונה שלiR ,
10, 0,i i nR x h h . אזי
( )i i
iB
f f g x V g R
1( ) ( ) 0, 0, .i i i ng R g x Dg x h h
)1תהא )i nDg x u u
אזי
1 1( ) , ,i i n ng R g x P hu h u
ולכן
1 1
1
, ,
det ( )
i n n
n i
V g R V P h u h u
h h Dg x
לכן
( ) ( )
( ) ( )
i g i i
iB
g
A
f f g x J x V R
f g x J x
.ל"מש
49 3חשבון אינפי
:דוגמאות
:קואורדינטות קוטביות. 1
2: 0, 0,2
( , ) cos , sin
cos sin,
sin cos
,g
g
g r r r
rDg r
r
J r r
2 2 2
2
0 0
( , ) cos , sin
R
x y R
f x y f r r rdrd
:למשל
2 2
2 2
0 0
2 .2
RR
V B R rdrd R
חישוב האינטגרל הגאוסי
:טענה2x dxe
.הוכחה
2 22 2 2
2
2 2 2
2
( , )
22
00 0 0
12 ( )' .
2
x yx x x
x y
rr r r
rr r
e dx e dx e dy e dxdy
e rdrd e r dr e
:קואורדינטות כדוריות. 2
51 3חשבון אינפי
, , sin cos , sin sin , cosg r r r r
sin cos cos cos sin sin
, , sin sin cos sin sin cos
cos sin 0
r r
Dg r r r
r
2 2 2, , cos cos sin sin sin singJ r r r r r
:למשל
2
3 2
0 0 0
3 3
0
sin
42 cos
3 3
R
r
V B R r drd d
R R
י"ע פונקצית בטאואת פונקצית גאמא נגדיר את .3
1
0
111
0
0 ( )
, 0 , 1
x t
yx
x x t e dt
x y x y t t dt
:טענה
( ) ( ),
x yx y
x y
: 0, 0,1 , : , 0g x y x y
( , ) (1 ) ,g s t t s ts
51 3חשבון אינפי
1
( , ) , ( , )g
t sDg s t J s t s
t s
1 1
0 0
11 1(1 )
0 0
111 1
0 0
( ) ( )
1
1 , .
x u y v
u v
x yt s st
s t
xx y s y
s t
x y u e v e dudv
t s e st e sdsdt
s e ds t t dt x y x y
:הערות
1 .( ) (1)
( 1) ( )( ,1)
xx x x
x
.
(1) -מאחר ש 1 , מקבלים שלכלx טבעי מתקיים( ) ( 1)!x x .
2 .2 21 1
22 2
0 0 0
1( ) 2 2
2t s s
t s s
t e dt s e s ds e ds
:טענה
2
2
(1)1
n
n
nV B
52 3חשבון אינפי
:הוכחה
1 12 2 22 21 1
12 1
2
12 1
2
12 1 1
2 2
1
11
1
2
12 21
1
2
12 2 0
1
12 2 0
(1) 1
1
21
2 11
2
nn n
nn
n
nn
n
n
n
xx x x
n nnx
nt
ns
V B
x dx
t dt
s s ds
12 2
12 2 2
1 1, .
2 2 1
n n
n n
n
0pעבור :הערה , נסמן , 11
, , : 1n
p
p n n ii
B x x x
.
2pבדומה למקרה אפשר להראות כי , דלעיל
,
1
2( )
1
n
n
p n
pVol B
p n
p
:פרמטריים ונפחיהם-kמשטחים
,1יהיו , n
kv v ויהי 1
1
, , : 0 1k
k i i i
i
P v v v
.
מימדי של k-להגדיר את הנפח הכיצד 1, , kP v v?
אם 1, , 0k
kv v אזי
53 3חשבון אינפי
n
k
1
n-k 0nv v
BA
ואזי טבעי להגדיר
1
2
1, , det det .T
k kV P v v B A A
,1 -ל , n
kv v תהא , שרירותייםC מטריצה אורתונורמלית כך ש-
1, , 0k
kv v C C . אזי
1 1
2 2
1 1, , , ,
det det
k k k k
T T
V P v v V P v v
C C
CA CA A A
יהיו : דוגמא3,u v . נגדיר
3u v כווקטור היחיד ב-3
עבורו
, det
u
u v x v
x
:בקואורדינטות
2 3 3 1 1 2
2 3 3 1 1 2
det ,det ,detu u u u u u
u vv v v v v v
2
2det ,
u
u v v V P u v u v
u v
מכאן
2 ,V P u v u v
54 3חשבון אינפי
ולכן
sinu v u v (ראו איור)
פרמטרי-kמשטח
:תהי nU כאשרkU ו, פתוחה-
1C.
ברצוננו להגדיר kV U כאשר חד ערכית-חד.
55 3חשבון אינפי
תהא 10, 0, ka h h C כאשר 1, , ka a a ,תיבה ב-k
.
1 1( ) ( ) k kC a D a h c h c
)1נסמן ) kD a v v
אזי
1
1 1
0
( ) ( )
0
k k
k
h
D a h c h c D a
h
1
2
1 det ( ) ( )T
k nV C h h D a D a
לכן טבעי להגדיר
1
2
det ( ) ( )T
k
x U
V C D x D x
תהא : דוגמא : , na b
-מסילה בn
אזי.
1
2
12
1
22
1
( , ) det ( ) ( )
( ) ( )
b
T
x a
b
n
x a
V a b D x D x
x x dxx x
:למשל
2: 0,2
( ) cos , sint R t R t
56 3חשבון אינפי
1
22
2 2
1
0
( ) sin cos 2 .t
V R t R t dt R
-פרמטרי ב-2משטח : דוגמא3
:
2A פתוחה , 3
1 2 3, , : A .
1 1
2 2
3 3
,
u v
D u vu v
u v
1
2
det ( , ) ( , )T
D u v D u vu v
למשל 2S:
0
, sin cos , sin sin , cos ,0 2
RT R R R
cos cos , cos sin , sin
sin sin , sin cos ,0
R
R
TR R R
TR R
2 2 2 2 2sin cos , sin sin , cos sin
sin ( , )
R R
R
T TR R R
R T
2sin ( , ) sinR R
R
T TR T R
57 3חשבון אינפי
2
2 2
2
0 0
2 2
0
sin
2 sin 4 .
V S R R d d
R d R
תהא : דוגמאnA ו- :f A נחשב את הנפח ה. גזירה ברציפות- n- מימדי של
f ,הגרף של ( , ( )) :fG x f x x A . נגדיר פרמטריזציה: fA G י "ע
( ) ( , ( ))x x f x . הנגזרת של י "נתונה ע
1 2
1 0 0
0 1 0
( )0 0 1
( ) ( ) ( )n
D x
f f fx x x
x x x
לכן
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .( )
T TT
ID x D x I f x I f x f x
f x
)1נשים לב כי אם , , ) nna a a אז הערכים העצמיים של , וקטור עמודה
Taa 0הם
1nבריבוי ו- 2
1
( )n
Ti
i
tr aa a
ולכן , 1בריבוי
2
1
det( ) 1 .n
Ti
i
I aa a
לכן
12
12
2
1
( ) det ( ) ( ) 1 ( ) .n
Tn f
i ix A x A
fVol G D x D x dx x dx
x
58 3חשבון אינפי
פרמטרי-kאינטגרציה של פונקציה סקלרית על משטח
יהא nS משטחk- פרמטרי עם פרמטריזציה: nU כאשר
kU
-ו, פתוחה1C, ותהא:f S ת האינטגרל של הפונקציה נגדיר א .רציפה
י"ע Sעל המשטח fהסקלרית
1
2
( ) det ( ) ( )T
U u U
f d f u D u D u du
מסילתייםאינטגרלים
תהי : הגדרהnA .מסילה ב-A היא העתקה
1, , , : ,n a b A .
היא מניחים להלן כי 1C.
)1 שדה וקטורי נתןיבה , , ) : n
nf f f A ,נגדיר
1 1
( ) ( ) .
bn n
i i i i
i it a
f dr f dx f t t dt
.במעבר על המסילה fזו העבודה שמבצע השדה
: דוגמא 2 2( ) 1 2 ,2 3 , ,t t t f x y .
נתון בציור :
1
2 2
0
1 2 2 2 3 3 .i i
t
f dr f dx t t dt
נניח : (אי תלות בפרמטריזציה)טענה : ,a b A
: , ,c d a b ,1C לא יורדת.
59 3חשבון אינפי
נגדיר : ,c d A ידי -על ( ) ( )s s .אזי
f dr f dr
: הוכחה
( ) ( )
( ) ( ) '( )
d
i i i i
s c
d
i i
s c
b
i i i i
it a
f dr f dx f s s ds
f s s s ds
f t t dt f dx f dr
:הגדרה
תהיינה : שרשור מסילות .1 1 2, : 0,1 A כך ש- 2 1(0) (1) .אזי
1
1 2 1 2
2
1(2 ) 02
: 0,1 , ( )1(2 1) 1
2
t tA t
t t
-ל המסילה הנגדית .2 : 0,1 A :
): נגדיר )( ) (1 )t t .
:טענה
1 2 1 2
f dr f dr f dr
61 3חשבון אינפי
f dr f dr
שימור ושימור מקומי
תהא nA 1ויהי פתוחה( , , )nf f f שדה וקטורי גזיר ברציפות .
fהערך של אם A -ב משמר שדההוא f :הגדרה dr
[0,1]:מסילה על A
.(1) -וב .(0)-תלוי רק ב
0fאם ורק אם A -ב משמר f :טענה dr
לכל מסילה סגורה ב- A.
(0)כלומר , A -מסילה סגורה ב ותהא , משמר fנניח כי :הוכחה (1) p
[0,1]:תהא . A המסילה הקבועה( )t p . 0 אזיf dr f dr
.
0נניחf dr
ויהיו , לכל מסילה סגורה1 2, :[0,1] A שכך-
1 2(0) (0) 1 -ו 2(1) (1) . תהא 1 2 . אזי סגורה ולכן
1 2
0 f dr f dr f dr
.ל.ש.מ
:פונקציה סקלרית גזירה פעמיים ברציפות A של השדה הווקטורי פוטנציאל נקראת
f אםD f עלA.
61 3חשבון אינפי
.A -קיים פוטנציאל ב f -אם ורק אם ל A -ב משמר f :טענה
fאם :הוכחה אזי
1
( ( )) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
b b n
i
i it a t a
b
t a
f dr f t D t dt t t dtx
dt dt b a
dt
נגדיר . משמר f-נניח ש, להיפך
0
( )
u
u
u f dr .
0u נקודה קבועה ב-A ו- מסלול כלשהו מ-0u ל-u.
( )iu he u f dr
[0,1]:כאשר A י "נתונה ע( ) it u the .
לכן
1
0
( ) ( ) ( )i
t
u he u f t D t dt
אבל ( ) 0, ,0, ,0, ,0i
D t h ,לכן
1
0
( )i i i
t
u he u f u the hdt
ולכן
1
0 00
( )( ) lim lim ( ) .
i
i i ih h
i t
u he uu f u t he dt f u
x h
.ל.ש.מ
62 3חשבון אינפי
שדה הכובד על : דוגמא 0nA ,3
( )x
f xx
.
פונקצית הפוטנציאל 1
x
.
31
2 22 2 2 2
1 1
12
2n n i
i
x x x x xx
1 1
( ) ( ) .
b
a
f dr b ab a
אזי A -ב משמר fאם :מסקנה
( ) ( )ji
j i
ffx x
x x
i,לכל j ולכלx A. ()
i,אזי לכל . A -ב fפוטנציאל של יהא :הוכחה j
2 2ji
j j i j i i j i j i
ff
x x x x x x x x x x
.
.ל.ש.מ
f ב משמר מקומיתיקרא-A , אם לכלa A יש סביבה פתוחהU , המקיימת
a U A ,כך ש-f משמר ב-U.
של מסילות סגורות הומוטופיה
תגזירות ברציפו שתי מסילות סגורות 0 1, : 0,1 A ב הומוטופיותנקראות-A אם
קיימת : 0,1 0,1H A
- כך ש ותרציפגזירה ב
63 3חשבון אינפי
00, ( )H t t 0לכל 1t ,
11, ( )H t t 0לכל 1t ,
,0 ,1H s H s 0לכל 1s .
s[0,1]: -נסמן ב A י "את המסילה הסגורה הנתונה ע( ) ( , )s t H s t .
)המקיים גזיר ברציפותשדה וקטורי f -ו ,פתוחה nAתהא : טענה ) ב- A.
, אזי לכל שתי מסילות חלקות והומוטופיות0 1 ,מתקיים
0 1
f dr f dr
.
u[0,1]:נגדיר . הוכחה י"ע
( )s
u s f dr
.
)מקיים את f -נשים לב כי מאחר ש ), הרי ש -
( ) ( )TDf p Df p
pלכל U.
:עתה
1 1
0 0
( ) ( ( )) ( ) ( ( , )) ( , )T Ts s
t t
Hu s f t t dt f H s t s t dt
t
:לכן
21
0
'( ) ( ( , )) ( , ) ( , ) ( ( , )) ( , )
T
T
t
H H Hu s Df H s t s t s t f H s t s t dt
s t s t
21
0
( , ) ( ( , )) ( , ) ( ( , )) ( , )T T
t
H H Hs t Df H s t s t f H s t s t dt
s t t s
1
0
( ( , )) ( , ) ( , ) ( ( , )) ( , )
T
T
t
H H HDf H s t s t s t f H s t s t dt
t s t s
64 3חשבון אינפי
1
0
( ( , )) ( , )T
t
Hf H s t s t dt
t s
( ( ,1)) ( ,1) ( ( ,0)) ( ,0)T TH H
f H s s f H s ss s
( ( ,0)) ( ,1) ( ,0) 0T H H
f H s s ss s
)כי ,1) ( ,0)H s H s .
)לכן )u s קבועה ובפרט
0 1
(0) (1)f dr u u f dr
,
.ל.ש.מ
.(*)מקיים fמשמר מקומית אם ורק אם f :מסקנה
.(*)נובע מכך ששדה משמר מקיים :הוכחה
תהאu A , ויהא( , )B u r A 0עםr .
) -משמר ב fנראה כי , )B u r . [0,1]:תהא ( , )B u r מסילה סגורה.
נגדיר 2:[0,1] ( , )H B u r י"ע
( , ) ( ( ) )H s t u s t u .
H 0היא הומוטופיה בין( ) (0, )t H t u לבין( ) (1, )t H t .לפי הטענה , לכן
,הקודמת
0
0f dr f dr
.ל.ש.מ
שימור מקומי וטופולוגיה, שמור
3Uתהא 0 -נסמן ב. פתוחה ( )U את אוסף הפונקציות הממשיות הגזירות מכל סדר ב-
U .1 -נסמן ב( )U את אוסף השדות הווקטוריים הגזירים מכל סדר ב- U .0 ( )U ו-
1( )U אם )הם מרחבים וקטוריים אינסוף מימדייםU ) מעל.
:נסמן
65 3חשבון אינפי
1 1 1 ( ) { ( ): } { ( ): 0}Z U f U f f U f ת משמרמקומי
1 1 0( ) { ( ): } { : ( )}B U f U f U ר משמ
1 -הרי ש, מאחר שכל שדה משמר הוא גם משמר מקומית 1( ) ( )B U Z U.
מרחב המנה 1
11
( )( )
( )Z U
H UB U
של מרחב הקוהומולוגיה הראשונה נקראU עם
1, ב זהחמימד מר. מקדמים ממשיים1 dim ( )H U , הוא שמורה טופולוגית שלU .
)1מזהה את De Rhamמקרה פרטי של משפט חשוב של )U מספר המעגלים הבלתי "כ
".U -תלויים לינארית ב
אך , סים הבאיםנשאיר את הגדרות המדויקות של המושגים המופיעים בפסקה הקודמת לקור
:נביא מספר דוגמאות
קבוצה .אnA אם כל מסילה סגורה ב פשוטת קשר תיקרא-A הומוטופית לנקודה.
פשוטת קשר אזי Aמהטענה שהוכחנו נובע כי אם 1( ) 0H A . בפרט נובע שאםA
כוויצה אזי 1( ) 0H A .
תהא .ב 2(0,0)A . השדה
2 2
,1( , )
2
y xf x y
x y
משמר מקומית כי
2 2 2 2
x y
x yx y x y
כי עבור המסילה A -אך אינו משמר ב,
:[0,2 ] A י "הנתונה ע( ) (cos ,sin )t t t 1מתקייםf dr
.
את הענף הסטנדרטי עם arctant -נסמן ב. פונקצית פוטנציאל מקומית f -נמצא ל
arctan( ) , arctan( )2 2
,כבציור:
66 3חשבון אינפי
נסמן
1 2
3 4
, : 0 , , : 0 ,
, : 0 , , : 0 .
B x y x B x y y
B x y x B x y y
י"ע iBעל iנגדיר
1 1
2 2
3 3
4 4
arctan , ( , )
arctan , ( , )2
arctan , ( , )
3arctan , ( , )
2
yx y B
x
xx y B
y
yx y B
x
xx y B
y
)אזי , ) 2 ( , )i x y f x y לכל , ix y B.
אפשר להראות כי 1( )H A י המחלקה של "נוצר ע( , )f x y .תהיינה , וביתר כלליות
1 1 1( , ), , ( , )n n nP a b P a b נקודות ב- 2
1לכל . i n נגדיר
2 2
( ),1( , )
2 ( ) ( )
i i i ii
i i i i
y b x ag x y
x a y b
.
,1השדות אזי , ng g יוצרים את1( )H A .לכל , כלומר
1( )f Z A 1יש, , n
-יחידים ו0( )A כך ש-
1
n
i ii
f g
.
3אם .ג { }U z )1אזי ציר ) 1U ,1 -ו( ; )H U י השדה "נוצר ע2 2
( , , 0)y xf
x y
.
יהיו , באופן כללי יותר 30 u ו-
3 { }A span u . 1יהיו 2,u u וקטורי יחידה
אזי השדה. u -ניצבים זה לזה וניצבים ל
67 3חשבון אינפי
1 2 2 12 2
1 2
( , ) ( , )( )
( , ) ( , )
v u u v u uf v
v u v u
יוצר את 1( )H A.
3אם .ד 2 2{( , ,0) : 1}U x y x y 1אזי( ) 1U .האם תוכלו למצוא יוצר ל-
1( ; )H U ?חשבו : רמז2 2 1
zarctg
x y
.
0fשאינן הומוטופיות לנקודה אך לעיתים יש מסילות : הערה dr
לכל שדה משמר
תהא , למשל. fמקומית 2
,A p q ותהא הנתונה בציור:
0fמתקיים , A -ב אזי לכל שדה משמר מקומית dr
,למרות ש- אינה הומוטופית
.למסילה קבועה
68 3חשבון אינפי
קואורדינטות ספריות
נגדיר
3, 0, 0,2 2
על ידי
, sin cos ,sin sin ,cosR
0מעתיקה את, 0,2 2
ערכית על המשטח-חד-חד
2 2 2 2, , : , , , 0 .S x y z x y z R x y z
הנורמל בנקודה , הוא:
2, sin sin cos ,sin sin ,cosN R
ולכן
2 2
0 0
, ,S
f d f N d d
:אינטגרל השטף
תהא 3A פתוחה ,
3:f A שדה וקטורי.
יהא 3S פרמטרי עם פרמטריזציה-משטח דו
:U S (2U פתוחה)
1 2 3( , ) ( , ), ( , ), ( , )u v u v u v u v
)אם : בעיה )f p היא מהירות הנוזל בנקודהp ,חשב את קצב מעבר הנוזל דרך המשטחS.
נ
ע
69 3חשבון אינפי
יין
}תהא }i iQ חלוקה של תחום הפרמטרU יהא . למלבנים קטנים
0, 0,i iQ a h k מלבן אופייני בחלוקה.
קצב מעבר הנוזל דרך iQ הוא בקירוב:
2
2
( ) cos
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
i i
i
i i i i i i
f a V Q
f Nf a N hk
f N
f a a a hk f a N a V Qu v
י "יוגדר אם כן ע Sדרך משטח מכוון fטגרל השטף של השדה ניא
( , )
( , ) ( , ) .S u v U
f d f u v N u v dudv
תלות של אינטגרל השטף בפרמטריזציה-אי
תהיינה .טענה2
1 2,U U .
U:2תהא S פרמטריזציה שלS.
1תהא 2:g U U על, ערכית-חד-חד
י"וגזירה ברציפות הנתונה ע
( , ) ( , ), ( , )g u v x u v y u v
detוהמקיימת ( , ) 0gJ u v .
U:1 תהא S י "הפרמטריזציה הנתונה עg .אזי
1 2( , ) ( , )
.( , ) ( , ) ( , ) ( , )u v U x y U
f u v N u v dudv f x y N x y dxdy
1 2
3
gU U
71 3חשבון אינפי
:הוכחה
1
1
1
1
( , )
( , )
( , )
( , )
( , )
( , )
( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
,
u v U
u v U
u v U
g
u v U
f u v dudvu v
g gf g u v dudv
u v
X Yf g u v g u v
x u y u
X Ydudv
x v y v
f g u v g u v J u v dudvx y
f x yx
2( , )
,u v U
x y dxdyy
:משפט גרין
תהא 2U עם שפה גזירה למקוטעין , חסומה, פתוחה בכיוון חיובי ,
ויהא ,P Q שדה וקטורי רציף עלU . אזי
U
Q PPdx Qdy dxdy
x y
-ל, ראשית: הוכחה , ,U a b c d .
71 3חשבון אינפי
( , ) ( , )
( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
b d
x a y c
b d
x a y c
d b
y c x a
d b b d
y c x a x a y c
U
Pdx Qdy P x c dx Q b y dy
P x d dx Q a y dy
Q b y Q a y dy P x d P x c dx
Q Pdxdy dydx
x y
Q Pdxdy
x y
תחום 2A קומפלקס מלבניםנקרא
אם
1
m
i
i
A U
כך ש- iU מלבנים,
iוכך שלכל j ,i jk U U היא דופן
kאו , כלומר) jUוהן של iUהן של ,
(.צלע משותפת kאו , קדקד משותף kאו
,צלע משותפת jU -ול iU -נשים לב כי אם ל
.jU -וב iU -אז היא מופיעה בכיוונים נגדיים ב
לכן
1 1
.
ii
m m
i i UA U A
Q P Q Pf dr f dr dxdy dxdy
x y x y
.י קירוב"מפלקסים מלבניים ען לתחומים כלליים נובע מהמשפט לקומשפט גרי
72 3חשבון אינפי
רוטור
לשדה וקטורי 1 2 3, ,f f f f ,1f C על
3A של רוטוראת ה מגדיריםf
י"ע
1 2 3
3 32 1 2 1
, , , ,
, ,
f f f fx y z
f ff f f f
y z z x x y
:משפט סטוקס
-פרמטרי ב-2משטח Sיהא 3A הפרמטריזציה הנתון על ידי
3
1 2 3, , : .S U U
תהא ( ) ( ), ( )t u t v t השפה שלU בכיוון החיובי
ותהא ( ) ( )t t פרמטריזציה שלS .אזי
S
f dr f d
:הוכחה
( ) ( )
b
t a
f dr f t t dt
כאשר
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t D t t t u t t v tu v
73 3חשבון אינפי
לכן
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b
t a
f dr f t t u t f t t v t dtu v
f du f dvu v
:שימוש במשפט גרין נקבלי "ע
, ,
( ) ( )
U
U
U
j ji i i i
i j i jj jU
ji
j
f f dudvu v v u
f fdudv
u v v u
Df u Df u dudvu v v u
f fdudv
x u v x v u
f
x
,
,
( , )
, ,
( , ) ( , )
,
( , )
( ( , )) ( , ) .
i
i jU
j i i jji
i j j iU
i jj i
i j i jU
U U
dudvu v
ffdudv
x u v x u v
f fdudv
x x u v
f u v N u v dudv f d
74 3חשבון אינפי
ברגנץהדי
1יהא 2 3( , , )f f f f שדה וקטורי גזיר ברציפות בתחום3K .של הדיברגנץf הוא
י "הפונקציה הסקלרית הנתונה ע
31 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ).ff f
div f p f p p p px y z
Sתהא :משפט הדיברגנץ K שפתKהמכוונת מחוץ ל- K . אזי
.
KS K
f d div f
0מספיק להוכיח זאת עבור , בדומה למשפט גרין :הוכחה 1 0 1 0 1[ , ] [ , ] [ , ]K a a b b c c .
0,1 -ל נסמן
1 0 1 0 1
2 0 1 0 1
3 0 1 0 1
( , , ) : , ,
( , , ) : , ,
( , , ) : , .
S a y z b y b c z c
S x b z a x a c z c
S x y c a x a b y b
iתהא הפרמטריזציה הטבעית שלiS
:
1 0 1 0 1 1:[ , ] [ , ]b b c c S 1י "נתונה ע ( , ) ( , , )y z a y z ,
2 0 1 0 1 2:[ , ] [ , ]a a c c S 2י "נתונה ע ( , ) ( , , )x z x b z ,
3 0 1 0 1 3:[ , ] [ , ]a a b b S 3י "נתונה ע ( , ) ( , , )x y x y c ,
iS -הנורמל ל iי הפרמטריזציה "הנקבע ע
הינו
1( ) ( 1)
i
iiN p e
לכלip S .
75 3חשבון אינפי
לכן1 0 0 1 1 01 1 2 2 3 3S K S S S S S S .
,עתה
1 1
1001
1 1
00
1
1
( , ) ( , )
( , , ) .
b c
z cy bS
b c
z cy b
f d f y z N y z dydz
f a y z dydz
ולכן
1 1
1 0 001 1
1 1 1 0( , , ) ( , , )
b c
z cy bS S
f d f a y z f a y z dydz
1 1 1
0 00
1 1( , , ) .
b c a
z c x a Ky b
f fx y z dxdydz
x x
76 3חשבון אינפי
כי!( שימו לב לסימנים)בדומה מראים
0 1 1 02 32 3
32 ,
K KS S S S
fff d f d
y z
לכן
1 0 0 1 1 01 2 31 2 3
31 2 .
S S S S S S S
K K
f d f d f d f d
ff fdiv f
x y z
תחום 3A אם קומפלקס תיבותנקרא
1
m
i
i
A K
כך ש- iK ולכל, תיבותi j ,
i jk U U היא דופן משותפת שלiK ושלjK .נשים לב כי אם S מימדית -היא דופן דו
.בכיוונים נגדיים jK -וב iK -אז היא מופיעה ב, jK שלו iK משותפת של
לכן
1 1
.
ii
m m
i i KA K A
f d f d div f div f
.י קירוב"ע תיבות לתחומים כלליים נובע מהמשפט לקןמפלקסי הדיברגנץמשפט
-התבנית הזויתית ב3
מימדית היא השדה הווקטורי -3 -ההתבנית הזויתית 3
( )4
uG u
u המוגדר על
3 {0}.
)יהא , )B a r הכדור הפתוח שמרכזוa ורדיוסוr , ותהא( , )S a r שפתו עם נורמל המכוון
.אל מחוץ לכדור
77 3חשבון אינפי
:טענה
(0, )
( ) ( ) 1u S r
G u d u
.
,0]: תהא. הוכחה ] [0,2 ] (0, )rT S r הפרמטריזציה
( , ) (sin cos ,sin sin ,cos )rT r
עם הנורמל
( , ) sin ( , )r rr r
T TN r T
אזי
2
30 0(0, )
( , )sin ( , )
4 ( , )( ) ( ) r
r
ru S r
Tr T d d
TG u d u
2
0 0
1sin 1
4d d
-קבוצה פתוחה וחסומה ב Aתהא : מסקנה3
-המכוונת אל מחוץ ל Aעם שפה חלקה
A . אזי לכלv A מתקיים
3
1( )
04u A
v Au vd u
v Au v
vאם : הוכחה A אז השדה3
u v
u v
ולכן לפי משפט הדיברגנץ, A -מוגדר וגזיר ב
33
( ) 04
( )4 u Au A
u vdiv dV u
u v
u vd u
u v
vנניח A ויהא( , )B v r כדור סביבv כך ש- ( , )B v r A . אזי\ ( , )B A B v r
)מקיימת , )B A S v r ,3
u v
u v
ולכן לפי משפט דיברגנץ, B -מוגדר וגזיר ב
3 3 3( , )
0 ( ) ( ) ( )4 4 4B A S v r
u v u v u vd u d u d u
u v u v u v
ולכן
78 3חשבון אינפי
3
1( )4A
u vd u
u v
הזוית המרחבית
-משטח ב Mיהא 3
ותהא , 0שאינו מכיל את
: (0,1)u
K u M Su
u,כי אם , לשם פשטות, נניח v M ,u v , אזu v
u v.
היא Mי "הנקבעת ע המרחביתהזוית
( ) ( )
( (0,1)) 4
area K area KM
area S
) :טענה ) ( )u M
M G u d u
1uנניח בלי הגבלת הכלליות כי : הוכחה לכלu M ונגדיר
1
: 1,A tu t u Mu
,
:נסמן. A -המכוונת אל מחוץ ל Aעם שפה
1: 1,P tu t u A
u
A אזי M K P .
) -ולכן גם ל v -ניצב ל vבנקודה P -נשים לב כי הנורמל ל )G v .לכן
( ) ( ) 0v P
G v d v
לכן
0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )M KA v A
divG dV G v d v G v d v G v d v
מכאן
( )
4( ) ( ) ( ) ( )
M K
area KG v d v G v d v
.
79 3חשבון אינפי
שדות מדוייקים ושדות סגורים
שדה וקטורי גזיר ברציפות על קבוצה פתוחה Fיהא 3A.
:הגדרה
1. F 1-אם קיימת מדוייק3: A גזירה כך ש- F . זו נקראת
.Fשל פוטנציאל סקלרי
2. F 1-0אם סגורF .
.הוכחנו את התוצאה הבאה
:משפט
1. F 1-אם ורק אם מדוייקF 0אם ורק אם כלומר, שדה משמרF dr
לכל
.A -ב מסילה סגורה
2. F 1- סגור אם ורק אםF כלומר אם ורק אם לכל , שדה משמר מקומיתp A
pקיימת סביבה פתוחה B A 0 -כך שF dr
לכל מסילה סגורה ב-
B.
.מימדית של מושגים אלה-בגרסא הדונדון כעת
שדה וקטורי גזיר ברציפות על קבוצה פתוחה Fיהא , שוב3A.
81 3חשבון אינפי
:הגדרה
1. F 2-אם קיים שדה וקטורי גזיר מדוייקG עלA כך ש- F G .G זה
.Fשל ריפוטנציאל וקטונקרא
2. F 2-אם סגורdiv 0F .
)divמתקיים Gנשים לב כי לכל שדה וקטורי : הערה ) 0G , 2ולכן כל שדה-
.סגור-2מדוייק הוא גם
תהא : הכיוון ההפוך לא בהכרח נכון3 \{0}A ויהא
3( )
| |
uF u
u . אזי
div 0F , כלומרF 2-אך כפי שנראה בהמשך , סגורF מדוייק-2אינו.
.מתלכדים מתואר בתוצאה הבאהמקרה חשוב בו שני המושגים
יהא : למת פואנקרה3B כדור פתוח ויהאF שדה וקטורי גזיר ברציפות עלB . אם
F 2-אזי סגורF 2-מדוייק.
,0), בלי הגבלת הכלליות: הוכחה )B B R . יהא 1 2 3, ,F f f f שדה המקיים
31 2divff f
Fx y z
.Bעל
נגדיר שדה וקטורי 1 2 3, ,G g g g עלB י"ע
1 2 30 0
2 10
3
( , , ) ( , , ) ( , ,0) ,
( , , ) ( , , ) ,
( , , ) 0
yz
t t
z
t
g x y z f x y t dt f x t dt
g x y z f x y t dt
g x y z
הראה כי 2 1 2 11 2 3, , , ,
g g g gG f f f
z z x y
.
,אכן
2
1 10
( , , ) ( , , )z
t
gf x y t dt f x y z
z z
12 2
0
( , , ) ( , , )z
t
gf x y t dt f x y z
z z
2 1 1 23
0 0 0
( , , ) ( , , ) ( , ,0)z z z
t t t
g g f fx y t dt x y t dt f x t dt
x y x y y
81 3חשבון אינפי
1 23
0
( , , ) ( , , ) ( , ,0)z
t
f fx y t x y t dt f x t
x y
33 3
0
( , , ) ( , ,0) ( , , )z
t
fx y t dt f x y f x y z
z
.ל.ש.מ
.אינטגרליסגירות יש אפיון -2-מדוייקות וה-2-גם למושגי ה, מימדי-בדומה למצב החד
:משפט
1. F 2-על מדוייק3A 0אם ורק אם
S
F d לכל משטח סגורS A.
2. F 2- סגור על3A אם ורק אם לכלp A סביבה פתוחה יש
p B A 0 -כך שS
F d משטח סגור לכלS B.
:הוכחה חלקית
1. : אםF 2-אזי מדוייקF G עבור שדה וקטוריG עלA . יהא
S A אזי לפי משפט סטוקס. משטח סגור:
0S S S
F d Gd Gdr Gdr
. (רהם-זהו מקרה פרטי של משפט חשוב של דה) קשה יותר ולא יוכח כאן הכיוון
2. : נניח בשלילה כי קיימתp Aכך ש- div ( ) 0F p . בלי הגבלת
div, הכלליות ( ) 0F p . תהיB A המכילה אתp כך ש-
0S
F d לכל משטח סגורS B . יהאC B כדור סגור סביבp כך
div -ש ( )2
F u
לכלu C . אזי עבורS C B מתקיים לפי משפט
הדיברגנץ
0 div vol( ) 02C C
F d F C
divלכן ! סתירה 0F על כלA.
: נניחdiv 0F . תהאp A ויהאB A כדור פתוח סביבp . לפי
G -כך ש Bעל Gקיים שדה וקטורי , למת פואנקרה F עלB . לכן לכל
Sמשטח סגור B מתקיים
0S S S
F d Gd Gdr Gdr
82 3חשבון אינפי
יהיו :דוגמא3 \{0}A ו-
3( )
| |
uF u
u .F 2- סגור אךF מדוייק כי -2אינו
4 0RS
F d לכל ספירה{ :| | }RS u u R עם נורמל המכוון הלאה
.מהראשית
ההיבט הטופולוגי
-נסמן ב2 ( )B A מדוייקים על -2-את אוסף השדות הווקטוריים הA ,וב-
2 ( )Z A את
. Aסגורים על -2-אוסף השדות הווקטוריים ה2 2( ) ( )B A Z A הם מרחבים וקטוריים
מרחב המנה . מעל
22
2
( )( ; )
( )
Z AH A
B A של הקוהומולוגיה השניהנקראA
(.במקדמים ממשיים)
מימדו 2
2 ( ) dim ( ; )A H A הוא אינווריאנט טופולוגי שלA המונה את מספר ה-
.A -תלויים ב-מחזורים הבלתי-2
:דוגמאות
אם .א1, , kp p נקודות שונות ב-
3 אזי
3
2 1( { , , })kp p k
.ב3
2 ( { -axis}) 0z
פונקציות הרמוניות
תהא 3U R על לפלסיאןה. קבוצה פתוחהU הוא האופרטור הלינארי
: ( ) ( )C U C U י"הנתון ע
2 2 2
2 2 2.div
x y z
)פונקציה )C U 0אם היא מקיימת את משוואת לפלס הרמוניתתיקרא .
:דוגמאות
)כל פונקציה אפינית .1 , , )x y z Ax By Cz D היא הרמונית ב- 3
.
83 3חשבון אינפי
2. 2 2 2( , , ) 2x y z x y z ניתן . 2היא דוגמא לפולינום הרמוני הומוגני מדרגה
-שהם היא הרמוניים ב mלהראות שאוסף הפולינומים ההומוגניים מדרגה 3
הוא ,
2)מרחב לינארי 1)m -מימדי.
הפונקציה .31
( )4
g uu
הרמונית ב- 3 0. (י חישוב"ניתן לבדוק ע)
אזי. קבוצה פתוחה עם שפה Uותהא , U -הרמונית ב תהא : טענה
0.d
,לפי משפט הדיברגנץ: הוכחה
0.d div dV dV
, כרגיל, נסמן ( , ) :B a r u u a r ו- ( , ) :S a r u u a r .
)אם : עצמשפט הערך הממו , )B a R U ,f הרמונית ב- U ,אזי
.א
( , )
1( )
( , )S a R
f a f darea S a R
.
.ב
( , )
1( )
( , )B a R
f a f dVvol B a R
.
תהא: הוכחה
:[0, ) [0, ] [0,2 ] (0, )T R B R
י "הפרמטריזציה הכדורית הנתונה ע
( , , ) (sin cos , sin sin , cos ),T r r
0r ולכל תהא
:[0, ] [0,2 ] (0, )rT S R
י "רית הנתונה עהפרמטריזציה הספ
( , ) ( , , ).rT T r
84 3חשבון אינפי
,0) -ניזכר כי הנורמל ל )S r בפרמטריזציהrT י"נתון ע
( , ) sin ( , ),r rr r
T TN r T
ואורכו הוא 2( , ) sinrN r .
י "נתון ע Tהיעקוביאן של 2( , , ) sinrJ r r .
0a, בלי הגבלת הכלליות. הוכחת א . תהא1
( )4
g uu
.
תהא :u u R 0)עם שפה, ) (0, )S R S .עתה,
( ) ( )f g g f d div f g g f dV
(1)
0.f g f g g f g f dV
rלכל , כמובן R מתקיים
(0, ) (0, )
10.
4S r S r
g f d f dr
(2)
0fנובע כי ( 2) -ו( 1) -מ g d
, כלומר
(0, ) (0, )S R S
f g d f g d
,
0לכל R .
:עתה
2
(0, ) 0 0
( ( , )) ( ( , )) ( , )R R R
S R
f g d f T g T N d d
2
3
0 0
( , )( ( , )) sin ( , )
4
RR R
Tf T R T d d
R
85 3חשבון אינפי
2
2
0 0
1( ( , )) ( , )
4R Rf T N d d
R
2
(0, )
1.
4S r
f dR
מכאן
2 2 0
(0, ) (0, )
1 1(0).
4 4S r S
f d f d fR
. הוכחת ב
(0, )
1
(0, )B R
f dVvol B R
22
0 0 0
1( ( , , )) sin
(0, )
R
r
f T r r dr d dvol B R
2
0 0 0
1( ( , )) ( , )
(0, )
R
r r
r
f T N dr d drvol B R
2
0 (0, ) 0
1 14 (0) (0).
(0, ) (0, )
R R
r S r r
f d dr r f dr fvol B R vol B R
-פונקציה הרמונית חסומה ב fאם : משפט ליוביל3
.היא פונקציה קבועה fאז ,
) -נניח ש: הוכחה )f u M לכל3u.
-נקודה קבועה ב uתהא 3
.
0Rלכל : טענה מתקיים
, (0, ) ( , ).2 2
uuB R B R B u R
,תהא : טענהההוכחת 2 2
uuv B R
אזי .
86 3חשבון אינפי
,2 2 2 2
u uu uv v R R
,0)ולכן )v B R ,ובדומה
,2 2
u uv u v R
)ולכן , )v B u R.
0Rכך שלכל ucקיים מספר , קבוע u עבור: מסקנה מתקיים
2( (0, ) ( , )) .uvol B R B u R c R
: הוכחת המסקנה
( (0, ) ( , )) (0, ) ,2 2
uuvol B R B u R vol B R vol B R
3
3 24.
3 2u
uR R c R
,במשפט הערך הממוצע' לפי סעיף ב: הוכחת משפט ליוביל
3
(0, ) ( , )
1( ) (0)
4
3B R B u R
f u f f dV f dV
R
3
(0, ) ( , ) ( , ) (0, )
1
4
3B R B u R B u R B R
f dV f dV
R
87 3חשבון אינפי
2
3
12 0.
4
3
u RMc R
R
)לכן ) (0)f u f .
גרסת גאוס לחוק הכבידה של ניוטון
י "הנתון ע Fמשרה שדה כבידה (0,0,0)הנמצא בנקודה Mשמסתו גוף נקודתי: חוק ניוטון
3( )
uF u GM
u , כאשרG האוניברסליהוא קבוע הכבידה.
:3תהא : גרסת גאוס צפיפות זו משרה שדה . 3צפיפות מסה אינטגרבילית על
המקיים Fכבידה
4div F G .
,3uלכל : הוכחה
3
3( ) ( )
v
v uF u G v dV
v u
:Sעם שפה מכוונת החוצה 3Bלכן לכל כדור סגור
33
( ) ( ) ( )v B u S u Sv
v udivF v dV F u d G v d dV
v u
3
( ) 4 1 ( ) 4 ( )B
v Bv
G v v dV G v dV
4divלכן F G .
(ניוטון)משפט הקליפה
)כלומר , צפיפות מסה סימטרית רדיאלית תהא ) ( )u g u . אזי שדה הכבידה
י "הנתון ע Fהמושרה
23
0
( ) 4 ( )u
r
uF u G g r r dr
u
88 3חשבון אינפי
), כלומר )F u י רכוז כל המסה הנמצאת בכדור ברדיוס "הוא השדה המושרה עu , בנקודה
(0,0,0).
המקיימת hמטעמי סימטריה קיימת : הוכחה
3
( )( ) h uu
F uu
.
:לפי הגרסה הדיפרנציאלית של חוק הכבידה
3 34 ( )G u div F div h u h u
u uu u
3 2
''
h uu uh u
u u u
כן ל 2 2' 4 ( ) 4h u G u u Gg u u ,
ולכן 2
0
( )4u
r
u g r r drh G.
חוקי קפלר
תחת השפעת הכבידה של עצם mחוקי קפלר מתארים את המסלול של עצם שמסתו
ולפי כך נתעלם M-קטן מאוד יחסית ל mלהלן נניח כי. הנמצא בראשית Mשמסתו
.מתנועת העצם הגדול
עם ( פרבולה או היפרבולה, כלומר אליפסה)הינה חתך חרוט המסילה : החוק הראשון
.מוקד בראשית
מישורית והרדיוס וקטור המתאר אותה מכסה שטחים שווים בזמנים המסילה : החוק השני
.שווים
מקיים Tאזי משך המחזור , היא אליפסה אם : ילישהחוק הש
13 2
2a
TGM
.הוא אורך הציר הגדול של האליפסה 2a כאשר
על סמך 1605 -בערך ב ניסח את חוקיו (Johannes Kepler, 1571-1630)קפלר : הערה
ניוטון הוכיח את חוקי . (Tycho Brahe, 1546-1601)תצפיות פרטניות של התוכן טיכו ברהה
.1670 -קפלר כמסקנה מחוק הכבידה שלו בערך ב
89 3חשבון אינפי
שקיימת דהיינו , החוק השני תלוי רק בכך שכוח הכבידה הוא מרכזי: ת החוק השניהוכח
)פונקציה )c t כך שלכלt מתקיים
(1) ''( ) ( ) ( )t c t t .
נובע כי( 1) -מ
( ')( ) '( ) '( ) ( ) ''( ) 0t t t t t
)0ולכן ) '( )t t v קבוע.
0י הפעלת העתקה אורתוגונאלית אפשר להניח כי "ע (0,0,1)v . 0נניח להלן כיL .
)נסמן ) ( ( ), ( ),0)t x t y t . אזי
(0,0,1) ( ) '( ) (0,0, ( ) '( ) ( ) '( ))t t x t y t y t x t .
0 -נסמן ב 1( , )A t t את התחום ששפתו היא1 2 3
כאשר
1 1
2 0
0 1 3
0 1 ( ) (1 ) ( )
0 1 ( ) ( )
( ) ( )
s s s t
s s s t
t t t t t
91 3חשבון אינפי
:לפי משפט גרין אזי
0 1 0 1
1 2 3
1
0
0 1
, ,
1 0
1,
2
1 1 1( ) ( ) ( )
2 2 2
10 0 ( ) ( ) ( ) ( )
2
2
A t t A t t
t
t t
area A t t dxdy ydx xdy
ydx xdy ydx xdy ydx xdy
y t x t x t y t dt
Lt t
תלויים בחוק הכבידה של ניוטון החוקים הראשון השלישי
(2) 3
( )''( )
( )
tt GM
t
.
נעבור להצגה קטבית : הוכחת החוק הראשון
( cos , sin ,0)r r
נקבל את מערכת המשוואות( 1) -מ
2
2
2
2
( '' ( ') )cos (2 ' ' '' )sin cos
( '' ( ') )sin (2 ' ' '' )cos sin
GMr r r r
r
GMr r r r
r
(3)
נקבל ( 3) -מ
2
2'' ( ')
GMr r
r (4)
,מאידך
2cos cos
det det '' ' ( cos )' ( sin )'
x y r rL r
x y r r
(5)
, נבצע שינוי משתנה1
ur
, (:5)אזי בעזרת
91 3חשבון אינפי
22 2 2' '
''
du dr r r rr r r r
d d L L
2 2
2 2 2
' '' 1 '' ''
'
d u d r r r r r
d L L L Ld L u
(6)
ונקבל( 4) -ב( 6) -ו( 5)נציב את
2
2 2
d u GMu
d L (7)
הוא( 7)הפתרון הכללי של
02cos( )
GMu A
L 0עבור,A (8) .קבועים
0י שינוי מערכת הצירים אפשר להניח כי "ע 0 ,0A.
י הצבה מחדש של "ע1
ur
נקבל( 8) -ב:
1 cos
r
(9)
כאשר
2L
GM ו-
2AL
GM .
.ואקסצנטריות 0הינו חתך חרוט עם מוקד ( 9)העקום
0 1 1, מתאר אליפסה 1 -ו, פרבולה היפרבולה.
הוא 2b -ו, הוא אורך הציר הגדול של האליפסה 2a.האיור הבא מתאר הצגה זו של אליפסה
-האקסצנטריות שווה ל. אורך הציר הקטן של האליפסה
2 2
2
a b
a
.
92 3חשבון אינפי
1, נעיין במקרה של מסלול אליפטי, הוכחת החוק השלישיל .
. אורך הציר הקטן של האליפסה 2b -ו, אורך הציר הגדול של האליפסה 2a ,שוב, יהיו
:מתקיים
/ 2a (מרחק בין מוקדי האליפסה = )אקסצנטריות
2(1 )a
21b a
,החוק השנילפי
21ab a שטח האליפסה
2
LT
,מאידך
22(1 )
La
GM
ולכן
12 2 2 2 3 2
2
1 12 2 2
(1 )
a a aT
L GMGM a
.ל.ש.מ