3 ילמיסטיניפניא ןובשח - technionmeshulam/courses/inf3_notes/... · 2012. 2....

1 3חשבון אינפי

3חשבון אינפיניטסימלי

תקצירי הרצאות

רועי משולם

ממדי n-המרחב האוקלידי ה

יהא 1, , :n

n ix x x .

n ביחס לפעולות החיבור, מדי מעל ימ nהוא מרחב וקטורי

1 1 1 1, , , , , ,n n n nx x y y x y x y

וכפל בסקלר

. 1 1, , , ,n nx x x x

של אורךה 1, , n

nx x x הוא

12

2

1

n

i

i

x x

.

,בין שני וקטורים (המטריקה) המרחק nx y ,ידי-נתון על:

.( , )d x y x y

,של המכפלה הפנימית nx y נתונה על ידי:

. 1

,n

i i

i

x y x y

:תכונות המכפלה הפנימית

,יהיו ', nx x y , .אזי:

.א 2

0 ,x x x . 0שוויוןx 0מתקיים אם ורק אםx .

.ב , ,y x x y

.ג , ,x y x y

.ד ', , ',x x y x y x y

0יהיו : זוית , nx y .

:לפי משפט הקוסינוסים


2 2 22 cosx y x y x y

:מאידך

2

2 2

, ( , ) 2( , ) ( , )

2( , )

x y x y x y x x x y y y

x y x y

: לכן ,

cosx y

x y .

: אי שוויון קושי שוורץ ,x y x y

:הוכחה

נסמן 2| |a y ,2( , )b x y ו-

2| |c x . אזי הפולינום הריבועי2( )p t at bt c

)מקיים ) 0p t לכלt (מפני ש- 2( ) ( , )p t at bt c t y x t y x .) מכאן

שהדיסקרימיננטה 2 4b ac 0מקיימת , כלומר

2 4b ac ; לכן

2 2 24( , ) 4 | | | |x y x y , ומכאן2 2 2( , ) | | | |x y x y .

:(המטריקה)המרחק תכונות

) .א , ) ( , )d y x d x y.

) .ב , ) 0d x y אם ורק אםx y.

): אי שוויון המשולש .ג , ) ( , ) ( , )d x y d x z d z y .

:הוכחה

,נראה כי לכל na b מתקייםa b a b :

:שוורץ-שוויון קושימוש באי יי ש"ע

2 2 2

, 2 ,a b a b a b a b a b

. 22 2

2a b a b a b

a: כעת נציב x z ,b z y ,קבלונ:

| ( ) ( ) |x y x z z y x z z y .

-טופולוגיה קבוצתית בn

:


.טופולוגייםנכיר כמה מושגים

סביב פתוח הכדור הna רדיוס על בr : ( , ) : ( , )nB a r x d x a r .

סביב סגור הכדור הna רדיוס על בr : ( , ) : ( , )nB a r x d x a r .

nG אם לכל פתוחה קבוצההיאa G 0קייםr כך ש- ( , )B a r G.

nF אם סגורה קבוצההיאn F פתוחה.

:משפחת הקבוצות הפתוחותשל תכונות

(1) , n פתוחות.

אם (2) I

A אזי , משפחה של קבוצות פתוחות

I

A

תכונה זו נקראת ) פתוחה

."(סגירות של קבוצות פתוחות ביחס לאיחודים"

,1אם (3) , mA A אזי , קבוצות פתוחות1

m

i

i

A

סגירות של "תכונה זו נקראת ) .פתוחה

."(סופייםקבוצות פתוחות ביחס לחיתוכים

:משפחת הקבוצות הסגורותשל תכונות

('1) , n סגורות.

אם (2') I

A אזי , משפחה של קבוצות סגורות

I

A

סגירות של קבוצות )" .סגורה

."(סגורות ביחס לחיתוכים

,1אם (3') , mA A אזי , קבוצות סגורות1

m

i

i

A

סגירות של קבוצות סגורות )" .סגורה

."(ביחס לאיחודים סופיים

-התכנסות סדרות בn

:

תהא 1m m

x

-סדרה ב

nlimנאמר כי . n

mm

x x

0אם לכל קיים

( )N N כך שלכלm N מתקיים( , )md x x .


nx של קבוצה גבולנקודת תיקראnA אם קיימת סדרה

1m ma A

כך ש-

lim mm

a x

.

.A-ב ומסומן A שלר גו ס הנקרא Aשל גבולאוסף נקודות ה

.Aהיא הקבוצה הסגורה המינימלית המכילה את A :טענה

:הוכחה

(i) A עלינו להראות כי הקבוצה המשלימה שלה פתוחה: סגורה .

zתהא A . 0עלינו להראות כי קייםr הכדור הפתוח כך ש( , )B z r מוכל

)כלומר, Aבמשלים של , )B z r A .

טבעי קיים nאזי לכל . כזה rנניח בשלילה שלא קיים nu A כך ש-

1,nu B zn

.

-מאחר ש. טבעימספר n יהאnu A של גבולהיא נקודתA ,קיים איבר הרי ש

nv A כך ש- 1

,n nd u vn

,ומכאן

1 1 2

( , ) ( , ) ( , )n n n nd v z d v u d u zn n n

limלכן nn

z v A

,בסתירה להנחה.

(ii) A A כי כל נקודהa A היא גבול של הסדרה הקבועהna a ולכן שייכת ל-

A .

(iii) A תהא: מינימלית C קבוצה סגורה המכילה את A , נוכיח כיC A ( זה הפירוש

zאם (.של המינימליות C 0אזי קייםr כך ש-( , )C B z r ובפרט

( , )A B z r . לכןz של גבולאינה נקודתA ומכאןz A .

Aסגורה אם ורק אם A: מסקנה A.


: הגדרה

תהאnA .של כסוי פתוחA הוא אוסף של קבוצות פתוחות G

-ב n

המקיים I

A G

.

A אם לכל כסוי פתוח קבוצה קומפקטיתהיא I

G כלומר , כסוי סופי-קיים תת

,1קיימים , m I כך ש-1

i

m

i

A G

.

נאמר כיnA אם לכל סדרה קבוצה קומפקטית סדרתיתהיא m m

a קיימת תת

סדרה im

ia המתכנסת לאיבר ב-A.

:התנאים הבאים שקולים: טענה

1. X ב תקומפקטיהיא קבוצה-n

.

2. X ב סדרתית תקומפקטיהיא קבוצה-n

.

:הוכחה

2 1 נניח ש- X קומפקטית.

תהא 1n n

x X

ונניח בשלילה כי אין ל-

1n nx

סדרה המתכנסת -תת

. X-לאיבר ב

aאזי לכל X 0קייםar כך שהקבוצה : ,a n aI n x B a r

.הינה סופית

, :aB a r a X הינו כסוי פתוח שלX ,כסוי סופי -ולכן מכיל תת

1

,i

m

i ai

B a r

לכן . Xשל

1i

m

a

i

I

1ולכן קיים i m כך ש-

iaI בסתירה לבחירת , היא קבוצה אינסופיתiar.

1 2 יהא I

G xלכל . Xכסוי פתוח של X נבחר

x I 0-וxr

-כך ש ,xxB x r G . 1לכלn הפתוחהנעיין בקבוצה


1:

,2

xn

x nx r

rH B x

אזי 1 2H H ו-

1

n

n

H X

.

קיים : טענה0n כך ש-

0nH X.

nXבשלילה כי נניח : הוכחה H לכלn טבעי.

נבחר סדרה 1n n

x X

כך ש-

n nx H לכלn.

תהא 1kn

kx

x-סדרה המתכנסת ל-תת X.

-כך ש Nיהא Nx H .

NH פתוחה לכן קיים0k כך ש-

kn Nx H לכל0k k.

נבחר 0k k כך ש-

kn N . אזיkn Nx H .סתירה

.ל"מש

קיימת סדרה סופית : טענה1, , my y X כך ש-

1 0

1,2

m

i

i

X B yn

.

נבחר : הוכחה1y נניח שבחרנו . שרירותי

1, , ky y .

אם

1 0

1,2

k

i

i

X B yn

mנגדיר k ונסיים.

1אחרת נבחר

1 0

1,2

k

k i

i

y B yn

ל אינו "אם תהליך הבחירה הנ.

נעצר אחרי מספר סופי של iy-הרי שנקבל סדרה , ים

1i iy X

המקיימת 0

1,

2i jd y y

n לכלi j.

.סתירה, סדרה מתכנסת-לסדרה כזו אין תת


.ל"מש

כיסוי של הכיסוי -נשאר להוכיח שהוא תת. Xקיבלנו כיסוי פתוח סופי של

המקורי I

G .

1יהא עתה i m . אזי

0

0

1:

,2

x n

xi n

x r

ry H B x

.

לכן קיים iz X כך ש-

0

1iz

rn

וכך ש-,2

iz

i i

ry B z

לכן.

0 0

1 1, , ,2 2 2

i

i zi

z

i i i z

rB y B z B z r G

n n

ולכן

1 10

1,2 zi

m m

i

i i

X B y Gn

.

ל"מש

נקבל אתכמסקנה מהמשפט הקודם

: (Borel–Heine) בורל-היינה משפטnX קומפקטית אם ורק אםX סגורה

.וחסומה

:הוכחה

ראשית נראה כיX סגורה:

תהא 1m m

x X

ונניח כי

mx y.

סדרה -הרי שקיימת תת, קומפקטית סדרתית X-שמאחר km

kx

.X-המתכנסת ב

מאידך kmx y , ולכןy X.

:חסומה Xנראה כי

יתה סדרה יאחרת ה mx X כך ש-mx m לכלm.

http://en.wikipedia.org/wiki/%C3%89mile_Borel

http://en.wikipedia.org/wiki/Eduard_Heine

http://en.wikipedia.org/wiki/Eduard_Heine


-ברור כי ל mx סדרה מתכנסת-אין תת.

נראה כיX קומפקטית סדרתית :

תהא 1, ,m m mnmx x x סדרה ב-X.

הסדרה iלכל mi mx חסומה .

סדרה -לכן קיימת תת 1k k

m

-כך ש

km i ix y לכלi .

אזי 1, ,km nx y y y ו-y X כיX סגורה.

מרחבים אוקלידייםעל פונקציות

Cקבוצה A ב פתוחהקרא ית-A אם קיימתnG פתוחה כך ש-G A C .

cאם לכל A-פתוחה ב C, במילים אחרות C 0קייםr כך ש-

,B c r A C .

C(0,1]הקבוצה : דוגמא 0] -אבל היא פתוחה ב, -איננה פתוחה ב, )A . בתור

G את הקבוצה , למשל, ניתן לקחת( 1,1).

תהא nA ותהא 1, , : m

mf f f A . ( פונקציה הואכל רכיב

:if A).

0xתהא :גבול A . נאמר כי0

lim ( )x x

f x b

0אם לכל 0קיים כך שלכל

0x x A 0המקייםx x מתקיים( )f x b .

נאמר כי : ניסוח אחר0

lim ( )x x

f x b

0אם לכל 0קיים מתקיים כך ש

0( ( , ) { }) ( , )f B x A x B b .

f ברציפה-a A אםlim ( ) ( )x a

f x f a

.


f רציפה ב-A אםf רציפה לכלa A.

:: טענה mf A לכל רציפה אם ורק אםmG R פתוחה

1( )f GA-פתוחה ב

.

:הוכחה

תהא

mG R פתוחה ותהא1( )a f G.

0aיהא כך ש-( ( ), )aB f a G .

0aאזי קיים כך ש- ( , ) ( ),a af B a A B f a G

ולכן 1( , ) ( )aB a A f G .

יהאa A 0ויהא .

אזי הקבוצה 1 ( ),f B f a כלומר , A -פתוחה ב

1 ( ),U A f B f a , עבורU פתוחה ב-n

.

0יהא כך ש- ,B a U ,

אזי ( , ) ( ),f B a A B f a .ל"מש.

אם : טענהnA ו, קומפקטית-: mf A אז , רציפה( )f A קומפקטית.

יהא : הוכחה

I

G

)כיסוי פתוח של )f A .מ- ( )I

f A G

,נובע

1

I

A f G

ולכן 1

If G

כסוי סופי -נבחר תת. Aכסוי פתוח של

1

1i

t

if G

אזי 1

1i

t

i

A f G

ולכן

1

( )t

i

i

f A G

.ל"מש.

אם : טענהnA קומפקטית ו-:f A אזי , רציפהsup ( )

a A

M f a

aוקיים A כך ש-( )f a M.


תהא : הוכחה 1k k

a A

כך ש-lim ( )k

kf a M

. תהא

ika a A תת-

)אזי , סדרה מתכנסת ) lim ( )ik

if a f a M

.ל"מש.

:נאמר כי הפונקציה : הגדרה mf A ב רציפה במידה שווה-A , 0אם לכל

0קיים כך שלכל,x y A ש- x y מתקיים( ) ( )f x f y .

תהא : דוגמא 0,A .הפונקציה :f A ידי -הנתונה על1

( )f xx

אינה

]אבל היא רציפה במידה שווה בתחום , Aרציפה במידה שווה בתחום , ) 0לכל .

: -קומפקטית ו Aאם : טענה mf A אזי , רציפהf רציפה במידה שווה ב-A.

0יהא : הוכחה . לכלx A 0קייםx כך שלכל( , )xy B x מתקיים

( ) ( )2

f x f y

. אוסף הכדורים,2

x

x A

B x

. Aמהווה כסוי פתוח של

כסוי סופי -נבחר תת

1

,2

i

t

x

i

i

B x

ויהא 1min

2

ix

i t

.

x,יהיו y A כך ש- | |x y . 1יהא i t כך ש- | |2

ix

ix x

.אזי

| | | | | |2

i

i

x

i i xy x y x x x

)לכן ) ( )2

if x f x

ו- ( ) ( )2

if y f x

,ולכן

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

i if x f y f x f x f x f y

.ל"מש.


דיפרנציאביליות

-נסמן ב ,n m

L את מרחב ההעתקות הלינאריות מ- n

-ל m

.

לעיתים נזהה את ,n m

L עם מרחב המטריצות( )m nM .

אתהnA אותה ,קבוצה פתוחה 1, , : m

mf f f A .

a-ב (גזירהאו )דיפרנציאבילית fנאמר כי A אם קיימת העתקה לינארית

,n mT L כך ש -

0

( ) ( )(*) lim 0

h

f a h f a Th

h

)מסמנים )Df a T.

היא ההעתקה הלינארית שהתנהגותה היא הקירוב הטוב T -פירוש ההגדרה הוא ש: הערה

נשים לב שההגדרה הזאת מכלילה את ההגדרה . aבסביבת fביותר להתנהגות של

f:פונקציה , אכן. של דיפרנציאביליות של פונקציה במשתנה אחדהרגילה A

a -גזירה ב A אם קיים מספר כך ש- 0

( ) ( )limh

f a h f a

h

, או באופן שקול

0

( ) ( )lim 0h

f a h f a h

h

.אם נתייחס לכפל ב- ל -כלהעתקה לינארית מ-

.ל"נקבל מקרה פרטי של הביטוי בהגדרה הנ, ונשים ערך מוחלט במונה ובמכנה

Tאם : טענה .אזי היא יחידה, כזו קיימת

T,נניח כי : הוכחה S 0יהא )*(. מקיימות את nv אזי

( ) ( ) ( ) ( )S T tv f a tv f a T tv f a tv f a S tv 0tולכן לכל :


0

( ) ( ) ( ) ( )0

t

S T v S T tv

v tv

f a tv f a T tv f a tv f a S tv

tv tv

.ל"מש

עבור : הערה ,n mT L את הנורמה האופרטורים של מגדיריםT י "ע

1max

xT Tx

.

עבור ijT T ו-nx 1המקייםx ,

11 12

2 22

22 2

1 1 1 1 1 1 1

m n m n n m n

ij j ij j ij

i j i j j i j

Tx t x t x t

Tלכן T , כאשר

1/2

2

,

ij

i j

T t

כאשר מתייחסים )היא הנורמה האוקלידית הרגילה

mכלמטריצה T -ל n ,לפי הבסיס הסטנדרטי.)

.לכל העתקה לינארית נורמה אופרטורית סופית ,בפרט, לכן

1לכל : הערה j n מתקיים22

1

m

ij j

i

t Te T

. לכן

1/2

1/222

,

.ij

i j

T t n T n T

.a-רציפה ב fאזי a-דיפרנציאבילית ב fאם :טענה

0יהא : הוכחה 0כל שלכל h מתקיים( ) ( )

1f a h f a Th

h

אזי

0( ) ( ) 1 0

hf a h f a Th h T h

.ל"מש


.1 דוגמא

:תהא n mf כלומר, העתקה אפינית

0( )f x v Tx

0כאשר mv קבוע ו- ( , )n mT L.

לכל :טענהna מתקיים( )Df a T.

בתוספת וקטור Tהיא ההעתקה הלינארית fמאחר שפעולת : תוצאה זו צפויה לגמרי)

(.עצמה Tהיא בכל נקודה הרי שהקירוב הלינארי הטוב ביותר שלה, קבוע

לכל : הוכחהnh,

0 0( ) ( ) ( ) 0.f a h f a Th v T a h v Ta Th

:2דוגמא

)תהא ) ( )i j k lA a M ונגדיר: k lf י"ע

( , ) tf x y x Ay

,לכל : טענה , ,k lu x v y מתקיים

( , )( , ) ( , ) ( , ).Df u v x y f u y f x v

היא פונקציה בילינארית ולכן f: הוכחה

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ).f u x v y f u v f u y f x v f x y

,עתה

,, 1 1

( , ) maxk l

i j i j i j i ji ji j i i

f x y a x y a x y

,

max .i ji j

a kl x y

ולכן

2 2,

( , )max

( , )i j

i j

f x y x ya kl

x y x y

2 2

, ( , ) (0,0)max 0.i j

i j x ya kl x y


:שיקול דומה מראה שלכל העתקה בילינארית : הערה k l mf מתקיים

( , )( , ) ( , ) ( , ).Df u v x y f u y f x v

:3דוגמא

:נגדיר ( ) ( )n nf M M י "ע2( )f X X.

): טענה )( )Df A X AX XA .

:וכחהה2( ) ( ) ( )f A X f A AX XA X

ומתקיים22X X .לכן

2 2( ) ( ) ( )

0Xf A X f A AX XA n X

n XX X X

-ל: הגדרהnu של ווניתיהנגזרת הכנגדיר אתf בכיווןu על ידי:

0

( ) ( )( ; ) lim m

t

f a tu f af a u

t

.

)אם : טענה )Df a קיימת אזי( ; )f a u 0קיימת לכלu ומתקיים

( ; ) ( )f a u Df a u

:הוכחה

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )( )0

t

f a tu f a f a tu f a Df a tuDf a u

t t

f a tu f a Df a tuu

tu

juבפרט עבור e:

1 ( )

( ) ; ( )

( )

j

j j

j

m

j

fa

xf

a f a e Df a ex

fa

x


)ולכן המטריצה המייצגת את )Df a ביחס לבסיסים הסטנדרטיים היא:

1 1

1

1

( ) ( )

( ) ( )

n

m m

n

f fa a

x x

f fa a

x x

.

)קיום הנגזרת הכיוונית : הערה ; )f a u לכלu ,אינו מבטיח אפילו רציפות.

:למשל

2

4 2( , ) (0,0)

( , )

0 ( , ) (0,0)

x yx y

f x y x y

x y

עבור, מצד אחד (0,0) ,u מתקיים

2 2 2 2

24 4 2 20(0,0); lim

t

t tf u

t t t

.יש נגזרת כיוונית בכל כיוון f -כלומר ל

הגבול לאורך הישר , כןא .(0,0)-אינה רציפה ב f ,מצד שני ,t t הוא .

3 2

4 4 2 20 0lim , lim 0t t

tf t t

t t

ואילו הגבול לאורך העקום 2( , )t t הוא

2 22

4 40 0

1lim ( , ) lim

2t t

t tf t t

t t

תהא : טענהnA ותהא ,פתוחה 1, , : m

mf f f A .

f דיפרנציאבילית ב-a A אם ורק אםif דיפרנציאביליות ב-a לכל

1 i m .


:: הגדרה mf A תיקרא1C אם

i

j

f

x

לכל Aקיימת ורציפה על

1 ,1j n i m .

תהא : טענהnAאם . פתוחה: mf A ב-

1C אזיf דיפרנציאבילית ב-A.

1mעבורלהראות זאת מספיק: הוכחה . יהא 1, , nh h h אזי לפי משפט ערך

j,0קיימים , מימדי-הביניים החד jt h כך ש -

1

1

1 1 1

1

1 1

( ) ( ) ( )

( )

( ) .

n

j

j j

j jn

k k k k j

j k k j

jn

k k j j j

j kj j

ff a h f a a h

x

ff a h e f a h e a h

x

f fa h e t e a h o h

x x

.ל"מש

כלל השרשרת

f g pA B

:תהיינה : משפט , : , ,p m ng B f A B B A ,ונניח כי

f דיפרנציאבילית ב-a A ו-g דיפרנציאבילית ב-( )b f a.

:אזי pg f A דיפרנציאבילית ב-a A ומתקיים

. ( ) ( ( )) ( )D g f a Dg f a Df a

0יהא : הוכחה .נגדיר

1 2, min 1, .

2 1 ( ) 2 ( )Df a Dg f a

יהא 1 0 כך שלכל

nu 1עםu מתקיים


. 1( ) ( ) ( )g f a u g f a Dg f a u u

יהא 2 0 כך שלכל

mh 2עםh מתקיים

2( ) ( ) ( ) .f a h f a Df a h h

יהא 1

2min ,1 ( )Df a

.

אזי לכל mh עםh מתקיים

1( ) ( ) 1 ( )f a h f a Df a h

ולכן

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )22 1 ( )

g f a h g f a Dg f a f a h f a

f a h f a hDf a

)*(

כן-כמו

2

( ) ( ) ( ) ( )

( )2

Dg f a f a h f a Df a h

Dg f a h h

)**(

hנקבל כי לכל )**( -ו)*( -מ מתקיים

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2 2

g f a h g f a Dg f a Df a h

g f a h g f a Dg f a f a h f a

Dg f a f a h f a Df a h h h h

ולכן ( ) ( ) ( )D g f a Dg f a Df a .

.ל"מש


המישור המשיק

תהא nA פתוחה ותהא:f A של הגרף . דיפרנציאביליתf הוא המשטח

מימדי -n-ה 1, ( ) : n

fG x f x x A .

2nעבור , למשל של הגרף2:f A מימדי -דוהוא המשטח ה

3, , ( , ) : ( , )x y f x y x y A

וקטור עבור 10 nu נסמן ב- 1 : 0nu z u z מישור -את העל

u, במונחים של אלגברה לינארית) u-ל הניצב )הוא המשלים הניצב של )span u.)

בנקודה fG-מישור המשיק ל-העל , ( )a f a הוא

1 1 1

1

1

1

1

, ( ) ( ) :

, ( ) , , : ( )

, ( ) ( ), , ( ), 1

: , ( ) ( ), , ( ), 1 0 .

n

n

n n j

j j

n

n

n

H a h f a Df a h h

fa f a y y y a y

x

f fa f a a a

x x

f fy y a f a a a

x x

תהא : דוגמא2 2( , )f x y x y אזי , 2 , 2Df a b a b .

בנקודה fG-המישור המשיק ל , ,a b c הוא

2 2

( , , ) : , , 2 , 2 , 1 0

( , , ) : 2 2 .

x y z x a y b z c a b

x y z ax by z a b


משפט הפונקציה ההפוכה

:ניזכר במשפט הפונקציה ההפוכה עבור פונקציות במשתנה אחד

:תהי : משפט ( , )f a b R R כך ש, פונקציה גזירה ברציפות- '( ) 0f x לכל

[ , ]x a b .אזי:

f ערכית ב-חד-חד- ( , )a b;

(( , ))f a b נסמן )היא קבוצה פתוחה(( , )) ( , )f a b c d);

פונקציה הפוכה קיימת1 : ( , ) ( , )g f c d a b גזירה ברציפות כך ש-

1'( ( )) ( '( ))g f x f x .

:באהדוגמא התחילה ב נעיין? משתנים n -מהי ההכללה של משפט זה עבור פונקציות ב

תהא2 2:f R R י"ע נתונהה

( , ) ( cos , sin )x xf x y e y e y .

י"נתונה ע fהנגזרת של

cos sin

( , ) .sin cos

x x

x x

e y e yDf x y

e y e y

מכאן 2det ( , ) xDf x y e ולכן( , )Df x y ע לכל "חח

2( , )x y .עם זאת ,fעצמה

על ערכית -חד-חד איננה2

) כי , ) ( , 2 )f x y f x y :


לכל כלומר ,ערכית באופן מקומי-חד-דח f, מאידך2

0 0( , )x y קיימת סביבה

0 00 0 , 0 0( , ) ( , )x yx y U y y

.ערכית-חד-חד fבה

.משפט הפונקציה ההפוכה אומר את זה באופן כללי

תהיינה: משפטnA פתוחה ו- : nf A תהא . גזירה ברציפותa A כך ש-

det ( ) 0Df a . אזי קיימתU כך ש פתוחה- a U A ,מתקייםכך ש:

.Uחד ערכית על -חד f .א

) .ב )f U V פתוחה.

.ג1 :g f V U גזירה ברציפות ומקיימת

1( ( )) ( )Dg f x Df x .

)נסמן : הוכחה )E Df a . אזי לכל, nx y מתקיים:

1 1x y E Ey Ex E Ey Ex

ולכן 1

1Ey Ex y x

E .

)נסמן ) ( )h x f x Ex , אזי( ) 0Dh a .( )h x גזירה ברציפות לכן קיים

0 כך שלכל( , )x B a מתקיים1

1( )

2Dh x

n E.

נציג 1( , , )nh h h אזי

1( )

( )n

Dh x

Dh x

Dh x

.

לכל , ,x y B a 1ולכל i n , קייםi בקטע ,x y כך ש:

( )i i i i i i if y f x E y x h y h x Dh y x

נשים לב כי

i i i iDh y x Dh y x Dh y x


ולכן

12

2

1

( ) ( ) ( ) ( )n

i i

i

f y f x E y x h y h x h y h x

1 12 2

2 2 2

1 1

n n

i i i

i i

Dh y x Dh y x

12

12 2

2

111

1.

22

n

i

i

y xDh y x n y x

En E

לכן

1 1

1 1( ) ( ) ( ) .

2 2f y f x E y x y x y x

E E

-חד ערכית ב-חד fעל כן ,U B a .

det -בהמשך נשתמש בכך ש ( ) 0Df x לכלx U .0אם , ואמנם nv אזי

1 1

1 1( ) ( ) ( ) 0.

2Df x v Dh x v Ev Ev Dh x v v v

E n E

)עתה נראה כי )V f U פתוחה :

)תהא )f u v V , 0יהאr כך ש-( , )B u r U ונסמן

( , ) :S u r x x u r .

( , )f S u r קבוצה קומפקטית

לכן קיים , vשאינה מכילה את

0 כך ש-

( ,2 ) ( , )B v f S u r

.

)נראה כי , )B v V .

יהא 1, , ( , )nc c c B v .


:נגדיר את הפונקציה ( , )H B u r ידי -על 2

1

( ) ( )n

i i

i

H x f x c

.

)תהא , )b B u r כך ש-( , )

( ) min ( )x B u r

H b H x

.

נשים לב כי לכל ,x S u r ,2( )H x בעוד ש-

2( )H u .

)לכן , )b B u r , ולכן( ) 0DH b .

1לכן לכל j n

1

0 ( ) 2 ( ) ( )n

ii i

ij j

fHb f b c b

x x

כלומר ( ) ( ) 0f b c Df b .מאחר ש- ( )Df bנובע ש, ריתהיא לא סינגול-

( )f b c.

)0ההוכחה מראה כי : הערה )f U 0פתוחה לכלU U פתוחה.

נותר להראות כי 1g f גזירה ברציפות:

נשים לב כי , ראשית1g f רציפה :

אם 0U U פתוחה אזי 1

0 0g U f U פתוחה.

v-גזירה ב gנראה כי V : יהאu U כך ש-( )f u v ,אזי

1( ) ( ) ( ) ( )limy v

g y g v Df u y v

y v

1( ) ( ) ( )lim

( ) ( )x u

x u Df u f x f u

f x f u

1 ( )

m

f b c

( ) 0, ,0

n

m Df b


1( ) ( ) ( ) ( )( )lim

( ) ( )x u

Df u f x f u Df u x u

f x f u

1( ) ( ) ( ) ( )( )

lim( ) ( )x u

Df u f x f u Df u x u x u

x u f x f u

1 1( ) ( ) ( )( )

( ) 2 ( ) lim 0.x u

f x f u Df u x uDf u Df u

x u

.ל"מש

לדוגמא נחזור2 2:f R R י "ע נתונהה( , ) ( cos , sin )x xf x y e y e y . תהא

20 0( , )x y . אזיf ערכית על -חד-חד

0 00 0 , 0 0( , ) ( , )x yx y U y y

ומתקיים 20 0( ) (cos ,sin ) : 0f U V t y y t

י "הפונקציה ההפוכה נתונה ע

1 2 2( , ) ( , ) log , arctan ,

vg u v f u v u v

u

0הוא היחיד שמקיים arctanכאשר הענף של 0arctan(tan )y y.

,כמו כן

2 2

1( , )

u vDg u v

v uu v

ומתקיים

1cos sin

( ( , )) ( , ) .sin cos

x y yDg f x y e Df x y

y y

משפט הפונקציות הסתומות


להלן נזהה את k n

עם המכפלה הקרטזית k n ונכתוב וקטור ב-

k nכזוג

( , ) k nx y .

)1תהא , , ) : k n nnf f f העתקה גזירה ברציפות המקיימת( , ) 0f a b .

)קיום פתרון פרמטרי דן ב משפט הפונקציות הסתומות )y g x למערכת שלn משוואות ב-

n k נעלמים

1( , ) ( , ) 0nf x y f x y .

)תהא . נדון תחילה במקרה הלינארי )( )n k nC M ונכתוב C A B כאשר

( )n kA M ,( )n nB M .

)תהא , )k n nf L י "נתונה ע

( , ) .x

f x y C Ax Byy

)נעיין במערכת המשוואות , ) 0f x y . זו מערכת שלn משוואות ב- n k נעלמים.

:התנאים הבאים שקולים: טענה

(i) det 0B

(ii) לכלkx קיים( )g x y יחיד כך ש- ( , ) 0f x y .

: הוכחה

(i) (ii) : נניחdet 0B . נגדיר( , )k ng L י "ע1( )g x B Ax .אזי

1( , ( )) ( ) 0.f x g x Ax B B Ax

0Axהיחידות נובעת מכך שאם By אז1y B Ax .

(ii) (i) : נניחdet 0B . 0אזי קיים nv 0 -כך שBv . אזי למשוואה

(0, ) 0f y למשל כל הכפולות )יש אינסוף פתרונותy v.)

בהינתן . הדיון במקרה הכללי מבוסס על רעיון דומהkx , כל משוואה( , ) 0if x y

)מגדירה משטח 1)n -מימדי ב- n

משפט הפונקציות הסתומות מציג תנאים לכך שלכל .

x בסביבתka , חיתוך המשטחים

1

{ : ( , ) 0}n

i

i

y f x y

יכיל נקודה יחידה

( )g x y בסביבתnb.


תהא . נעבור לניסוח מדוייקk nC פתוחה ותהא: ng C עבור . גזירה

( , )x y C נסמן:

1 1

1

1

( , ) ( , )

( , ) ,

( , ) ( , )

k

n n

k

f fx y x y

x xf

x yx

f fx y x y

x x

1 1

1

1

( , ) ( , )

( , ) ,

( , ) ( , )

n

n n

n

f fx y x y

y yf

x yy

f fx y x y

y y

אזי

( , ) ( , ) ( , )f f

Df x y x y x yx y

:הפונקציות הסתומות משפט

:תהא nf C ותהא גזירה ברציפות ,a b C כך ש- ( , ) 0f a b ו-

det ( , ) 0f

a by

.

אזי קיימת קבוצה ka A שעבורה קיימתפתוחה : ng A המקיימתיחידה :

(i) g רציפה.

(ii) ( )g a b.

(iii) ( , ( )) 0f x g x לכלx A.

:ומקיימת A -גזירה ברציפות בgהפונקציה

1

( ) ( , ( )) , ( ) .f f

Dg x x g x x g xy x

)ראשית נחשב : הוכחה )Dg xבהנחה ש- g נגדיר . גזירה( ) ( , ( ))x f x g x . אזי

( ) 0x לכלx A ולכן( ) 0D x לכלx A.


,לפי כלל השרשרת

0 ( ) ( , ( )) ( , ( )) ( , ( )) ( ),( )

kI f fD x Df x g x x g x x g x Dg x

Dg x x y

ולכן

1

( ) ( , ( )) , ( ) .f f

Dg x x g x x g xy x

.gנוכיח עתה קיום ויחידות של

:נגדיר k nF C י "ע( , ) ( , ( , ))F x y x f x y .אזי

0

( , ) .

( , ) ( , )

k

k n

k

n

I

DF x y

f fx y x y

x y

det ( , ) det ( , ) 0f

DF a b a by

קיימת סביבה , לפי משפט הפונקציה ההפוכה ,לכן , k na b W ההעתקהכך ש

: k nF W ערכית-דח-דח, ( )F W ו, פתוחה-1 : ( )H F F W W

. גזירה ברציפות

)ברור כי , ) ( , ( , ))H x z x h x z לכל( , ) ( )x z F W.

( , ) ( ,0) ( )F a b a F W , 0לכן קיים כך ש- ( ,0),B a F W .

תהא , kA B a , אזי 0A F W .

:נגדיר ng A על ידי( ) ( ,0)g x h x.


g גזירה ברציפות ומתקיים

( , ( )) ( , ( ,0)) ( ,0) ( , ) ( , ),a g a a h a H a HF a b a b

)ולכן )g a b .לכל , כמו כןx A

, , ( ) , ( ) ( ,0) ( ,0),x f x g x F x g x FH x x

ולכן , ( ) 0f x g x .

-לA-היא הפונקציה הרציפה היחידה מ gנראה כי n

)המקיימת )g a b ,

, ( ) 0f x g x .

:נניח ng A רציפה, g a b ו- , ( ) 0f x g x .

תהא : ( ) ( )K x A g x g x . ברור כיK סגורה ב-A וכיa K.

: פתוחה Kנראה כי

נניח 0 0( ) ( )g x g x . בגלל רציפותg קיימת סביבה

0A A של0x כך ש-

, ( )x g x W לכל0x A .אזי

, ( ) , , ( ) ( ,0)F x g x x f x g x x

מאידך ( ,0) , ( )x F x g x ולכן( ) ( )g x g x.

K-קשירה ו A-מאחר ו נובע כי , פתוחה וסגורהK A .ל"מש.


מסקנות גאומטריות של משפט הפונקציות הסתומות

תהא k nC ותהא: nf C ,

1f C.

נסמן 1 0 : ( ) 0M f u C f u .

אם : למשל2 2 2 2 1 1( , , ) 1, :f x y z x y z f אזי

2 2 2, , : 1M x y z x y z

pתהא : הגדרה M . נאמר שווקטורk nv למשיק-

M בנקודהp אם קיימת : 1,1 M גזירה

(0) -כך ש, ברציפות p ,ו- 0 0D v .

rankנניח : טענה ( )Df p n . אזיk nv

)אם ורק אם pבנקודה M-משיק ל ) 0Df p v .

: הוכחה

יהא

k nv משיק ל-M בנקודהp . אזי קיימת : 1,1 M גזירה

(0)ברציפות המקיימת p ,(0)D v .

-מאחר ו ( ) 0f t עבור( 1,1)t נקבל כי

0 (0) (0) ( )Df D Df p v

נניח כי( ) 0Df p v .מאחר ו-rank ( )Df p n , נוכל בלי הגבלת הכלליות להניח

detכי ( ) 0f

py

.

1נסמן 2( , ), ( , ) k nv v v p a b . אזי


1 20 ( ) ( ) ( )f f

Df p v p v p vx y

ולכן

.

1

2 1( ) ( )f f

v p p vy x

)*(

לפי משפט הפונקציות הסתומות קיימת סביבה פתוחה kA שלa , ופונקציה גזירה

:ברציפות ng A כך ש-( )g a b ו- , ( ) 0f x g x לכלx A .

g זו מקיימת

1

( ) , ( ) , ( )f f

Dg x x g x x g xy x

)**(

xלכל A . 0נבחר קטן למדי כך ש-1a tv A לכלt ונגדיר מסילה

: , n k ידי-על

1 1( ) , ( ) .t a tv g a tv

כי M-מוכלת ב תמונת

1 1( ) , ( ) 0.f t f a tv g a tv

(0) , ( ) ( , )a g a a b p מתקיים)*( ,)**(ולפי

1

1 1 1 1

1 2

(0) , ( ) , ( ) ( )

,

f fD v Dg a v v p p v

y x

v v v

ל"מש

'כופלי לגרנז

תהא k nC פתוחה ,: ng C גזירה ברציפות ותהא

1(0)M g.

f:תהא : טענה C גזירה ונניח כיp M מקיימת


(i) rank ( )Dg p n

(ii) ( ) min ( ) :f p f z z M

)אזי ) Row ( )Df p Dg p.

אם נסמן : דהיינו 1, , ng g g 1אזי קיימים, , n כך ש-

1

( ) ( )n

i i

i

Df p Dg p

1לכל , ובצורה מפורשת יותר j m n :

1

( ) ( )n

ii

ij j

gfp p

x x

יש להראות כי לכל : הוכחהk nv , אם( ) 0Dg p v . אזי גם( ) 0Df p v .

)ואמנם אם ) 0Dg p v ,אזי מאחר ו-rank ( )Dg p n , נובע מהטענה הקודמת כי

:קיימת מסילה גזירה ברציפות ( 1,1) M (0)-כך ש p (0)-וD v .

:נגדיר ( 1,1)h ידי -על ( ) ( )h t f t.

0t הוא מינימום של( )h t בקטע 1,1 , (0)ולכן 0h .

מאידך

(0) (0) (0) ( )h Df Df p v

)לכן ) 0Df p v .

ל"מש

rankהטענה איננה נכונה ללא ההנחה : הערה ( )Dg p n.

נקח , למשל3 2( , )g x y x y ו- ( , )f x y x.

p(0,0)הנקודה היא מינימום של( , )f x y


על 3 2( , ) :M x y x y ,

(0,0)אבל (1,0)Df (0,0)אינו כפולה של (0,0)Dg .

'שימושים של כופלי לגרנז

nמטריצה ממשית סימטרית מסדר Aתהי : טענה .1 n .אזי ל- A יש ערך עצמי ממשי.

:נגדיר . הוכחה nf י "ע

( ) .Tf x x Ax

לכל nu מתקיים

( )( ) 2 .T T TDf u x x Au u Ax x Au

:תהא ng י "נתונה ע( ) 1Tg x x x . אזי{ : ( ) 0}nM x g x היא

ירת היחידה ספ 1nS

-ב n

uתהא . M כך ש- 1( ) max{ ( ) : }nf u f v v S .

) -כך שקיים ( 'לפי המשפט על כופלי לגרנז)אזי ) ( )Df u Dg u , ולכן

2 ( )( ) ( )( ) 2T Tx Au Df u x Dg u x x u

לכל nx . לכןAu u.

Snellחוק השבירה של .2

1נסמן {( , ) : 0}A x y y ,2 {( , ) : 0}A x y y .

1יהיו . 2vבמהירות 2Aובתווך , 1vבמהירות 1Aנתון שחלקיק נע בתווך 2, 0a a .

1החלקיק נע מהנקודה 1(0, )a A 2לנקודה 2( , )L a A במסלול אותו הוא עובר

)תהא . בזמן הקצר ביותר ,0)b הנקודה בה המסלול פוגש את ציר ה- x ,ונסמן ב-

1 2, את הזויות אותן יוצר המסלול בנקודה זו עם הקרניים

{( , ) : 0},{( , ) : 0}b y y b y y בהתאמה.


: Snellחוק

1 1

2 2

sin( )

sin( )

v

v

משך הזמן בו החלקיק עובר את המסלול הוא . הוכחה

1 2

1 2

1 1 2 2

( , ) ,cos( ) cos( )

a af

v v

1 -ו 2, מקיימים

1 2 1 1 2 2( , ) tg( ) tg( ) .g a a L

-כך ש לכן קיים

1 1 2 2 1 21 2 1 22 2 2 2

1 21 2 1 2

sin( ) sin( ), ( , ) ( , ) , ,

cos ( ) cos ( ) cos ( ) cos ( )

a a a aDf Dg

v v

ולכן

1 2

1 2

sin( ) sin( )

v v


טור טיילור

f:פתוחה ותהא Aתהא :טענה A גזירהm פעמים .

אם ,a b A אזי קיים ,a b כך ש -

( )( )1

0

( )( ) ( ) ( )

! !

mkmk m

k

ff af b b a b a

k m

כך שהפונקציה cנבחר : הוכחה

( )1

0

( )( ) ( ) ( ) ( )

! !

kmk m

k

f a cg x f x x a x a

k m

) םקיית ) 0g b .

( ) ( ) 0g a g b ולכן קיים 1 ,a b כך ש- (1)

1 0g .

(1) (1)

1( ) ( ) 0g a g ולכן קיים 2 1,a כך ש- (2)

2 0g .

( 1) ( 1)

1( ) ( ) 0m m

mg a g

ולכן קיים 1,m ma כך ש- ( ) 0m

mg .

אבל ( ) ( )m m

m mg f c ולכן ( )m

mf c .ל"מש.

טור טיילור בכמה משתנים

תהא nA ותהא , פתוחה ,:f A גזירה ברציפותm פעמים.

אם : טענה ,a a y A אזי:

1

1 1

1

0 , ,

1( ) ( ) ( )

! k

k k

km

i i

k i i i i

ff a y a y y r y

k x x

כאשר 1 0

( )0

m y

r y

y .


נגדיר : הוכחה : 0,1h י "ע( ) ( )h t f a ty .אזי

1

1 1

(1)

1

2(2)

,

( )

, ,

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )k

k k

n

i

i i

i j

i j i j

kk

i i

i i i i

fh t at y y

x

fh t at y y y

x x

fh t a ty y y

x x

0מהטענה הקודמת נובע כי קיים 1 כך ש -

1

1 1

1

1 1

( )( )1

0

1

1 , ,

, ,

(0)( ) (1)

! !

1( )

!

1( )

!

k

k k

m

m m

mkm

k

km

i i

k i i i i

m

i i

i i i i

hhf a y h

k m

fa y y

k x x

fa y y y

m x x

נסמן

11

0 1max ( ) :

, ,m

m

mi i

fM a y

i i nx x

אזי

1

1

1

, ,

1( ) .

! !m

m

m mm

i i

i i

Mr y y y M n y o y

m m

.ל"מש


אקסטרמום של פונקציות במספר משתנים

תהא nA פתוחה ותהאf גזירה שלש פעמים ברציפות ב-A.

a-ל A הסיאןנגדיר את ה Hess( )( )f a כמטריצה הסימטרית הבאה:

2 2

2

1 1

2 2

2

1

Hess( )( )

n

n n

f f

x x x

f a

f f

x x x

הבאה לגבי אקסטרמום של פונקציה במספר נעזר בטור טיילור כדי לקבל את התוצאה

:משתנים

)אם : טענה ) 0Df a ו- Hess ( )f a אזי , מוגדר חיוביתa הוא מינימום מקומי שלf.

: הוכחה

2

1 ,

2

1

1

1( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

1( ) Hess ( ) ( )

2

1( ) ( )

2

n

i i j

i i ji i j

T

n

i

i

f ff a y f a a y a y y r y

x x x

f a y f a y r y

f a y r y

כאשר 1 0 הוא הערך העצמי המינימלי של Hess ( )f a.

, קטן למדי yעבור 21( )

4r y y

ולכן

2 2 21 1 1

1

( ) ( ) ( ) ( )2 4 4

n

i

i

f a y f a y y f a y f a

.ל"מש


קריטריון סילבסטר למוגדרות חיובית

nמטריצה סימטרית מסדר Aתהא n . 1לכל k n נסמן ב- kA את המטריצה מסדר

k k הנמצאת בפינה השמאלית העליונה שלA.

detמוגדרת חיובית אם ורק אם A: (סילבסטר)משפט 0kA 1לכל k n .

.הוכחה

תהאA 1יהא . מוגדרת חיובית k n . נראה כיkA מוגדרת חיובית.

0ואמנם יהא kky , ויהא

0

k ny

y

nי הוספת "הוקטור המתקבל ע k

אזי . ky -אפסים ל

0.t tk k ky A y y Ay

detמוגדרת חיובית ובפרט kAלכן 0kA .

נוכיח את הטענה באינדוקציה עלn . 1המקרהn ברור.

1nיהא ונניח כיdet 0kA 1לכל k n .

,1יהיו , n הערכים העצמיים שלA 1עם הוקטורים העצמיים, , nv v.

:נסמן

0 { : 0}i iV span v

0 { : 0}i iV span v

1 -ו {0}nW .

1nA, לפי הנחת האינדוקציה מוגדרת חיובית ולכן לכל( ,0)u w W מתקיים

1 0.t tnw Aw u A u

אם , עתה 0dim 2V מאחר ש, אזי- dim 1W n ,קיים נקבל כי

00 w W V , 0ואז 0tw Aw ,סתירה.

לכן 0dim 1V . אם 0dim 1V אזי ל- A יש ערך עצמי אחד בלבד שאינו

1detולכן , חיובי 0n nA ,סתירה.

0לכן {0}V .ל.ש.מ.


-גרל רימן בטאינn

.

תהא 1 1 n nQ a b a b , -תיבה ב ,

nf:ותהא . Q חסומה.

:נסמן

1

sup ( ), inf ( ).

n

i i

i

Q Qx Qx Q

v Q b a

M f f x m f f x

המתקבלת מאוסף חלוקות של )תיבות -לתת Qחלוקה של Pתהא ,i ia b לקטעים .)

:P-ביחס ל fשל סכום רימן עליון: הגדרה

, R

R P

U f P M f v R

: P-ביחס ל fשל סכום רימן תחתון

, R

R P

L f P m f v R

:fשל אינטגרל עליון

inf ,PQ

f U f P

:fשל אינטגרל תחתון

sup ,PQ

f L f P

אזי Pהיא עידון של Pאם : טענה

, , , ,L f P L f P U f P U f P

P,לכל : מסקנה P , , ,L f P U f P , ולכןQQ

f f .


אינטגרבילית לפי רימן אם f: הגדרהQQ

f f . ערך משותף זה יקרא אינטגרל רימן של

f ויסומן על ידיQ

f.

0אינטגרבילית אם ורק אם לכל f: טענה קיימת חלוקהP כך ש-

, ,U f P L f P .

קבוצה : הגדרהnA 0אם לכל מידה אפסתיקרא בעלת קיימת משפחה בת

מנייה של תיבות 1i i

Q

-כך ש

1

i

i

A Q

ו- 1

i

i

v Q

. נסמן( ) 0A .

: דוגמא 0 .

Bאם .1 :טענה A ו-A אזי גם , בעלת מידה אפסB בעלת מידה אפס.

2. A 0היא בעלת מידה אפס אם ורק אם לכל קיימות תיבות 1i i

Q

כך

-ש 1

i

i

v Q

ו-1

int i

i

A Q

.

אם .3nH אזי , (מקביל לצירים)מישור -על 0H .

אם .4 1i i

A

בעלות מידה אפס אז

1

i

i

A

.בעלת מידה אפס

היא fשל Dאינטגרבילית אם ורק אם קבוצת נקודות אי הרציפות f: (רימן)משפט

.בעלת מידה אפס

: הוכחה

נניח כי 0D . עלינו להראות כי קיימות חלוקותP כך ש- , ,U f P L f P

.קטן כרצוננו

0יהא . יהיו 1i i

S

תיבות המקיימות

1

i

i

v S

כך ש-

1

int i

i

D S

.

Qרציפה על f-מאחר ו D , הרי שלכלa Q D קיימת תיבהaR כך ש-


int aa R וכך ש-( ) ( )f x f a לכלax R Q .

מהכסוי הפתוח

1

int inti a

i a D

Q S R

נבחר תת כסוי סופי

1 1

N N

i j

i j

Q S R

.

Tכך שלכל Qחלוקה של Pתהא P ,או ש-iT S או ש, כלשהו-jT R כלשהו .

נסמן

' : ,

'' : ,

i

j

P T P i T S

P T P j T R

אזי

1

, ,

2 ( ) 2

2 ( )

T T

T P

T T T T

T P T P

Q i

i

Q

U f P L f P M f m f v T

M f m f v T M f m f v T

M f v S v Q

M f v Q

נניח כיf חסומה ואינטגרבילית עלQ .

מקיימת fקבוצת נקודות אי רציפות של -D: ל"צ 0D .

aבנקודה fשל תנודהנסמן את ה Q על ידי

. 0

, inf sup ( ) inf ( )x ax a

o f a f x f x

אם ורק אם a-רציפה בf: עובדה , 0o f a .

נסמן , טבעי mלכל 1

: ,mD x Q o f xm

אזי ,

1

m

m

D D

.

נראה כי . קבוע mיהא 0mD .


0יהא ותהאP חלוקה עבורה , ,U f P L f P .נסמן

. : int mR P R D

אזי

, ,

1(*)

R R

R P

R R

R R

U f P L f P M f m f v R

M f m f v R v Rm

נסמן

R P

K R

.

K מישורים מקבילים לצירים ולכן -מוכלת באיחוד סופי של על 0K .

יהא 1i i

S

-אוסף של תיבות כך ש

1

i

i

K S

ו- 1

i

i

v S

. אזי האוסף

1

: i iR R S

מקיים

1

m i

R i

D R S

-ו 1

( 1)i

R i

v R v S m m

לכן 0mD , ולכן 1

0m

m

D D

.

.ל"מש

משפט פוביני

תהיינה mA ,

mB תיבות ותהאC A B .

f:תהא C חסומה ואינטגרבילית.

xלכל A נגדרי:xg B י "ע( ) ( , )xg y f x y.


) :נסמן ) x

B

I x g , ( ) x

B

I x g .

)אזי )I x ,( )I x אינטגרביליות עלA ,ומתקיים

A A A B

I I f

.

Aתהא . Bחלוקה של A ,BPשל חלוקה APתהיינה : הוכחה BP P P חלוקת

. המכפלה

:טענה

( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( , )( , )

A

A A

A

U I PL f P L I P U I P U f P

L I P

)נוכיח : הוכחת הטענה , ) ( , )AU I P U f P.

Aיהא Ax R P . אזי לכלB BR P קייםמת

( ) ( )B A BR x R RM g M f,

Axולכן לכל R:

( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ).B BA

B B B B

x xB R B R R BR P R P

I x U g P M g v R M f v R

-מכאן ש

( ) ,( ) ( )AR BA

B B

R R BR P

M I M f v R

ולכן

( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ).BA A

B BA A A A

R R R BA A AR P R P R P

U I P M I v R M f v R R U f P

)בדומה מראים כי , ) ( , )AL f P L I P.

.שויונים ברורים-ארבעת האישאר

0יהא : הטענה גוררת מיידית את משפט פוביני .


Aאזי קיימת חלוקה BP P P כך ש-

( , ) ( , )U f P L f P ,

) ואז גם , ) ( , )A AU I P L I P ו - ( , ) ( , )A AU I P L I P ,

-ו

A B A

f I

,

A B A

If

.

:דוגמא

תהי

0, ( , )

( , )

1, ( , ) , , ( , ) 1

x y

f x y

px y x p q

q q

:מתקיים

2 2( ) [0,1]D f ,

( ( )) 0D f ,

2[0,1]

0f

xg רציפה לכלx , ולא אינטגרבילית לכלx.

:מכאן

0,

( ) [0,1] ( )

1, , , ( , ) 1

x

D I I x

px x p q

q q

)ואילו ) 0I x לכלx ממשי.


המקרה הכללי –רימן האינטגרל

קבוצה חסומה nA אם עבור תיבה סגורה בעלת נפח תיקרא

nA C קיים

1A

C

. במקרה זה הנפח שלA י "נתון ע( ) 1A

C

v A . 1אינטגרביליות שלA וכן ערכו של

1A

C

אינם תלויים ב- C .

קבוצה חסומה . טענהnA אם ורק אם בעלת נפחהיא( ) 0A .

:אינטגרציה על תחומים חסומים

)ונניח כי , Cהמוכלת בתיבה נפח בעלתקבוצה חסומה , Aחסומה על fתהא ) 0fD

1Aנגדיר .

A C

f f .

:אינטגרציה על תחומים כלליים

א תהnA ו, פתוחה- :f A ,A המקיימת 0fD .

}max : נסמן ,0}, max{ ,0}f f f f .

fנאמר כי . A -את משפחת הקבוצות הקומפקטיות בעלות הנפח המוכלות ב -נסמן ב

sup אם Aאינטגרבילית על , supD D

D D

f f

,

ובמקרה זה נגדיר

sup supD D

A D D

f f f

.

לכל : טענהnA פתוחה קיימת סדרה

1 2, ,C C בעלות של קבוצות קומפקטיות

-כך ש A-ב נפח

1

i

i

C A

ו- 1intk kC C .

תהא : הוכחה 1

: , ,n n

kD x x k d x Ak

.


מתקיים 1

1: 1, , int

1

n n

k kD x x k d x A Dk

.

לכל kx D נבחר תיבה סגורה שמרכזה ב-x המוכלת ב-

1int kD פנים תיבות אלו .

מכסה את kD , ולפיכך יש מספר סופי מהן המכסה את

kD .נסמן ב-kC את איחודן .

kC

.קומפקטית ובעלת נפח

1int intk k k kD C C D

kC ל"מש. מקיימות את הדרוש.

תהא : טענהnA פתוחה ,:f A ו- 0fD . ויהא kC אוסף של

-כך ש, A-קבוצות קומפקטיות בעלות נפח ב1intk kC C לכלk . אזי

A

f קיים אם

ורק אם הסדרה

kCk

f במקרה זה . חסומהlim

k

kA C

f f

.

0f -נראה זאת ל, ראשית: הוכחה :

אם

A

f אזיsup

kk

C A

f f .

supאם , בכיוון שני

kk

C

f ו- D A אזי , קומפקטית ובעלת נפח

1

int k

k

C D

-כך ש, כלשהו mולכן קיים mC D ולכןsup

m kk

D C C

f f f .

: כללית f-ל

A

f קיים אם ורק אם,A A

f f

קיימים וזה אם ורק אם

lim ,lim

k k

k kC C

f f

קיימים וזה אם ורק אם lim lim

k k

k kC C

f f f

.קיים


lim lim

lim lim

k k

k k

k kA A A C C

k kC C

f f f f f

f f f

.ל"מש

:דוגמאות

ותהא , nA(0,1)תהא .11

( )f xx

0עבור .

nאם ורק אם Aאינטגרבילית על f: טענה .

,שויון הממוצעים-לפי אי. הוכחה

1

1 1 122 2 2 221 1 1

n nn n nx x x n x x n x x

.

nיהא .אזי

1

2 21 1 0

1 1 1 1n ni

n ni ii iA A

dx

x xn nx

11

2 21 0

1 11

i

i

x nnni

i x

x nn nn n

nעבור :

( 1)

( 1)

0 02 ,2

1 12 2

nk k

nn k k

n nk kA

nx x

0

11 .

2n

kn

,1)תהא .2 )nA , ותהא1

( )f xx

0עבור .

nאם ורק אם Aאינטגרבילית על f: טענה .


nיהא . הוכחה .אזי

2 2

1 1 1

1 1 1 1n ni

n ni ii iA A

dx

x xn nx

1

2 21 1

1 11

i

i

x nnni

i x

x nn nn n

nעבור :

1

10 0

2 ,2

1

2

1 12

nk

nk k

knn n

k kA nx x

0

11 .

2n

kn

.נוי משתניםיש

תהא : טענה : ,g a b ,1C , 0 0g x .

: ( ), ( )f g a g b אזי. רציפה

( )

( )

( ) ( )

g b b

g a x a

f y dy f g x g x dx

נגדיר: הוכחה

( )

( ) ( ), ( )

y

g a

g a y g b F y f

, ( ) ( )a x b H x F g x

F y f y ולכן ( ) ( ) ( ) ( ) ( )H x F g x g x f g x g x

לפיכך


( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

g bb

x a g a

f g x g x dx H b H a F g b F g a f y dy

:דוגמא

2

12

2

2

2

20 2010 102

10 10

2010

10

17 2 7 2

2

7

y

y y dy x x x dx

x dx

:מימדים n-שנוי משתנים ב

g:תהא A B ,1C , חד חד ערכית על,A B ותהא , פתוחות:f B רציפה ,

אזי

B

f קיים אם ורק אם ( ) ( )g

A

f g x J x ובמקרה זה, קיים

( ) ( )g

B A

f f g x J x

כאשר

( ) det ( ).gJ x Dg x

:הסבר

,1יהיו : תזכורת , n

nv v .המקבילון הנקבע על ידי וקטורים אלה הוא

1

1

, , : 0 1n

n i i i

i

P v v v

ונפחו

1 1, , det , , .n nV P v v v v


תהא i iR חלוקה שלA ותהא " קטנות"לתיבות

ix פינה שמאלית תחתונה שלiR ,

10, 0,i i nR x h h . אזי

( )i i

iB

f f g x V g R

1( ) ( ) 0, 0, .i i i ng R g x Dg x h h

)1תהא )i nDg x u u

אזי

1 1( ) , ,i i n ng R g x P hu h u

ולכן

1 1

1

, ,

det ( )

i n n

n i

V g R V P h u h u

h h Dg x

לכן

( ) ( )

( ) ( )

i g i i

iB

g

A

f f g x J x V R

f g x J x

.ל"מש


:דוגמאות

:קואורדינטות קוטביות. 1

2: 0, 0,2

( , ) cos , sin

cos sin,

sin cos

,g

g

g r r r

rDg r

r

J r r

2 2 2

2

0 0

( , ) cos , sin

R

x y R

f x y f r r rdrd

:למשל

2 2

2 2

0 0

2 .2

RR

V B R rdrd R

חישוב האינטגרל הגאוסי

:טענה2x dxe

.הוכחה

2 22 2 2

2

2 2 2

2

( , )

22

00 0 0

12 ( )' .

2

x yx x x

x y

rr r r

rr r

e dx e dx e dy e dxdy

e rdrd e r dr e

:קואורדינטות כדוריות. 2


, , sin cos , sin sin , cosg r r r r

sin cos cos cos sin sin

, , sin sin cos sin sin cos

cos sin 0

r r

Dg r r r

r

2 2 2, , cos cos sin sin sin singJ r r r r r

:למשל

2

3 2

0 0 0

3 3

0

sin

42 cos

3 3

R

r

V B R r drd d

R R

י"ע פונקצית בטאואת פונקצית גאמא נגדיר את .3

1

0

111

0

0 ( )

, 0 , 1

x t

yx

x x t e dt

x y x y t t dt

:טענה

( ) ( ),

x yx y

x y

: 0, 0,1 , : , 0g x y x y

( , ) (1 ) ,g s t t s ts


1

( , ) , ( , )g

t sDg s t J s t s

t s

1 1

0 0

11 1(1 )

0 0

111 1

0 0

( ) ( )

1

1 , .

x u y v

u v

x yt s st

s t

xx y s y

s t

x y u e v e dudv

t s e st e sdsdt

s e ds t t dt x y x y

:הערות

1 .( ) (1)

( 1) ( )( ,1)

xx x x

x

.

(1) -מאחר ש 1 , מקבלים שלכלx טבעי מתקיים( ) ( 1)!x x .

2 .2 21 1

22 2

0 0 0

1( ) 2 2

2t s s

t s s

t e dt s e s ds e ds

:טענה

2

2

(1)1

n

n

nV B


:הוכחה

1 12 2 22 21 1

12 1

2

12 1

2

12 1 1

2 2

1

11

1

2

12 21

1

2

12 2 0

1

12 2 0

(1) 1

1

21

2 11

2

nn n

nn

n

nn

n

n

n

xx x x

n nnx

nt

ns

V B

x dx

t dt

s s ds

12 2

12 2 2

1 1, .

2 2 1

n n

n n

n

0pעבור :הערה , נסמן , 11

, , : 1n

p

p n n ii

B x x x

.

2pבדומה למקרה אפשר להראות כי , דלעיל

,

1

2( )

1

n

n

p n

pVol B

p n

p

:פרמטריים ונפחיהם-kמשטחים

,1יהיו , n

kv v ויהי 1

1

, , : 0 1k

k i i i

i

P v v v

.

מימדי של k-להגדיר את הנפח הכיצד 1, , kP v v?

אם 1, , 0k

kv v אזי


n

k

1

n-k 0nv v

BA

ואזי טבעי להגדיר

1

2

1, , det det .T

k kV P v v B A A

,1 -ל , n

kv v תהא , שרירותייםC מטריצה אורתונורמלית כך ש-

1, , 0k

kv v C C . אזי

1 1

2 2

1 1, , , ,

det det

k k k k

T T

V P v v V P v v

C C

CA CA A A

יהיו : דוגמא3,u v . נגדיר

3u v כווקטור היחיד ב-3

עבורו

, det

u

u v x v

x

:בקואורדינטות

2 3 3 1 1 2

2 3 3 1 1 2

det ,det ,detu u u u u u

u vv v v v v v

2

2det ,

u

u v v V P u v u v

u v

מכאן

2 ,V P u v u v


ולכן

sinu v u v (ראו איור)

פרמטרי-kמשטח

:תהי nU כאשרkU ו, פתוחה-

1C.

ברצוננו להגדיר kV U כאשר חד ערכית-חד.


תהא 10, 0, ka h h C כאשר 1, , ka a a ,תיבה ב-k

.

1 1( ) ( ) k kC a D a h c h c

)1נסמן ) kD a v v

אזי

1

1 1

0

( ) ( )

0

k k

k

h

D a h c h c D a

h

1

2

1 det ( ) ( )T

k nV C h h D a D a

לכן טבעי להגדיר

1

2

det ( ) ( )T

k

x U

V C D x D x

תהא : דוגמא : , na b

-מסילה בn

אזי.

1

2

12

1

22

1

( , ) det ( ) ( )

( ) ( )

b

T

x a

b

n

x a

V a b D x D x

x x dxx x

:למשל

2: 0,2

( ) cos , sint R t R t


1

22

2 2

1

0

( ) sin cos 2 .t

V R t R t dt R

-פרמטרי ב-2משטח : דוגמא3

:

2A פתוחה , 3

1 2 3, , : A .

1 1

2 2

3 3

,

u v

D u vu v

u v

1

2

det ( , ) ( , )T

D u v D u vu v

למשל 2S:

0

, sin cos , sin sin , cos ,0 2

RT R R R

cos cos , cos sin , sin

sin sin , sin cos ,0

R

R

TR R R

TR R

2 2 2 2 2sin cos , sin sin , cos sin

sin ( , )

R R

R

T TR R R

R T

2sin ( , ) sinR R

R

T TR T R


2

2 2

2

0 0

2 2

0

sin

2 sin 4 .

V S R R d d

R d R

תהא : דוגמאnA ו- :f A נחשב את הנפח ה. גזירה ברציפות- n- מימדי של

f ,הגרף של ( , ( )) :fG x f x x A . נגדיר פרמטריזציה: fA G י "ע

( ) ( , ( ))x x f x . הנגזרת של י "נתונה ע

1 2

1 0 0

0 1 0

( )0 0 1

( ) ( ) ( )n

D x

f f fx x x

x x x

לכן

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .( )

T TT

ID x D x I f x I f x f x

f x

)1נשים לב כי אם , , ) nna a a אז הערכים העצמיים של , וקטור עמודה

Taa 0הם

1nבריבוי ו- 2

1

( )n

Ti

i

tr aa a

ולכן , 1בריבוי

2

1

det( ) 1 .n

Ti

i

I aa a

לכן

12

12

2

1

( ) det ( ) ( ) 1 ( ) .n

Tn f

i ix A x A

fVol G D x D x dx x dx

x


פרמטרי-kאינטגרציה של פונקציה סקלרית על משטח

יהא nS משטחk- פרמטרי עם פרמטריזציה: nU כאשר

kU

-ו, פתוחה1C, ותהא:f S ת האינטגרל של הפונקציה נגדיר א .רציפה

י"ע Sעל המשטח fהסקלרית

1

2

( ) det ( ) ( )T

U u U

f d f u D u D u du

מסילתייםאינטגרלים

תהי : הגדרהnA .מסילה ב-A היא העתקה

1, , , : ,n a b A .

היא מניחים להלן כי 1C.

)1 שדה וקטורי נתןיבה , , ) : n

nf f f A ,נגדיר

1 1

( ) ( ) .

bn n

i i i i

i it a

f dr f dx f t t dt

.במעבר על המסילה fזו העבודה שמבצע השדה

: דוגמא 2 2( ) 1 2 ,2 3 , ,t t t f x y .

נתון בציור :

1

2 2

0

1 2 2 2 3 3 .i i

t

f dr f dx t t dt

נניח : (אי תלות בפרמטריזציה)טענה : ,a b A

: , ,c d a b ,1C לא יורדת.


נגדיר : ,c d A ידי -על ( ) ( )s s .אזי

f dr f dr

: הוכחה

( ) ( )

( ) ( ) '( )

d

i i i i

s c

d

i i

s c

b

i i i i

it a

f dr f dx f s s ds

f s s s ds

f t t dt f dx f dr

:הגדרה

תהיינה : שרשור מסילות .1 1 2, : 0,1 A כך ש- 2 1(0) (1) .אזי

1

1 2 1 2

2

1(2 ) 02

: 0,1 , ( )1(2 1) 1

2

t tA t

t t

-ל המסילה הנגדית .2 : 0,1 A :

): נגדיר )( ) (1 )t t .

:טענה

1 2 1 2

f dr f dr f dr


f dr f dr

שימור ושימור מקומי

תהא nA 1ויהי פתוחה( , , )nf f f שדה וקטורי גזיר ברציפות .

fהערך של אם A -ב משמר שדההוא f :הגדרה dr

[0,1]:מסילה על A

.(1) -וב .(0)-תלוי רק ב

0fאם ורק אם A -ב משמר f :טענה dr

לכל מסילה סגורה ב- A.

(0)כלומר , A -מסילה סגורה ב ותהא , משמר fנניח כי :הוכחה (1) p

[0,1]:תהא . A המסילה הקבועה( )t p . 0 אזיf dr f dr

.

0נניחf dr

ויהיו , לכל מסילה סגורה1 2, :[0,1] A שכך-

1 2(0) (0) 1 -ו 2(1) (1) . תהא 1 2 . אזי סגורה ולכן

1 2

0 f dr f dr f dr

.ל.ש.מ

:פונקציה סקלרית גזירה פעמיים ברציפות A של השדה הווקטורי פוטנציאל נקראת

f אםD f עלA.


.A -קיים פוטנציאל ב f -אם ורק אם ל A -ב משמר f :טענה

fאם :הוכחה אזי

1

( ( )) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

b b n

i

i it a t a

b

t a

f dr f t D t dt t t dtx

dt dt b a

dt

נגדיר . משמר f-נניח ש, להיפך

0

( )

u

u

u f dr .

0u נקודה קבועה ב-A ו- מסלול כלשהו מ-0u ל-u.

( )iu he u f dr

[0,1]:כאשר A י "נתונה ע( ) it u the .

לכן

1

0

( ) ( ) ( )i

t

u he u f t D t dt

אבל ( ) 0, ,0, ,0, ,0i

D t h ,לכן

1

0

( )i i i

t

u he u f u the hdt

ולכן

1

0 00

( )( ) lim lim ( ) .

i

i i ih h

i t

u he uu f u t he dt f u

x h

.ל.ש.מ


שדה הכובד על : דוגמא 0nA ,3

( )x

f xx

.

פונקצית הפוטנציאל 1

x

.

31

2 22 2 2 2

1 1

12

2n n i

i

x x x x xx

1 1

( ) ( ) .

b

a

f dr b ab a

אזי A -ב משמר fאם :מסקנה

( ) ( )ji

j i

ffx x

x x

i,לכל j ולכלx A. ()

i,אזי לכל . A -ב fפוטנציאל של יהא :הוכחה j

2 2ji

j j i j i i j i j i

ff

x x x x x x x x x x

.

.ל.ש.מ

f ב משמר מקומיתיקרא-A , אם לכלa A יש סביבה פתוחהU , המקיימת

a U A ,כך ש-f משמר ב-U.

של מסילות סגורות הומוטופיה

תגזירות ברציפו שתי מסילות סגורות 0 1, : 0,1 A ב הומוטופיותנקראות-A אם

קיימת : 0,1 0,1H A

- כך ש ותרציפגזירה ב


00, ( )H t t 0לכל 1t ,

11, ( )H t t 0לכל 1t ,

,0 ,1H s H s 0לכל 1s .

s[0,1]: -נסמן ב A י "את המסילה הסגורה הנתונה ע( ) ( , )s t H s t .

)המקיים גזיר ברציפותשדה וקטורי f -ו ,פתוחה nAתהא : טענה ) ב- A.

, אזי לכל שתי מסילות חלקות והומוטופיות0 1 ,מתקיים

0 1

f dr f dr

.

u[0,1]:נגדיר . הוכחה י"ע

( )s

u s f dr

.

)מקיים את f -נשים לב כי מאחר ש ), הרי ש -

( ) ( )TDf p Df p

pלכל U.

:עתה

1 1

0 0

( ) ( ( )) ( ) ( ( , )) ( , )T Ts s

t t

Hu s f t t dt f H s t s t dt

t

:לכן

21

0

'( ) ( ( , )) ( , ) ( , ) ( ( , )) ( , )

T

T

t

H H Hu s Df H s t s t s t f H s t s t dt

s t s t

21

0

( , ) ( ( , )) ( , ) ( ( , )) ( , )T T

t

H H Hs t Df H s t s t f H s t s t dt

s t t s

1

0

( ( , )) ( , ) ( , ) ( ( , )) ( , )

T

T

t

H H HDf H s t s t s t f H s t s t dt

t s t s


1

0

( ( , )) ( , )T

t

Hf H s t s t dt

t s

( ( ,1)) ( ,1) ( ( ,0)) ( ,0)T TH H

f H s s f H s ss s

( ( ,0)) ( ,1) ( ,0) 0T H H

f H s s ss s

)כי ,1) ( ,0)H s H s .

)לכן )u s קבועה ובפרט

0 1

(0) (1)f dr u u f dr

,

.ל.ש.מ

.(*)מקיים fמשמר מקומית אם ורק אם f :מסקנה

.(*)נובע מכך ששדה משמר מקיים :הוכחה

תהאu A , ויהא( , )B u r A 0עםr .

) -משמר ב fנראה כי , )B u r . [0,1]:תהא ( , )B u r מסילה סגורה.

נגדיר 2:[0,1] ( , )H B u r י"ע

( , ) ( ( ) )H s t u s t u .

H 0היא הומוטופיה בין( ) (0, )t H t u לבין( ) (1, )t H t .לפי הטענה , לכן

,הקודמת

0

0f dr f dr

.ל.ש.מ

שימור מקומי וטופולוגיה, שמור

3Uתהא 0 -נסמן ב. פתוחה ( )U את אוסף הפונקציות הממשיות הגזירות מכל סדר ב-

U .1 -נסמן ב( )U את אוסף השדות הווקטוריים הגזירים מכל סדר ב- U .0 ( )U ו-

1( )U אם )הם מרחבים וקטוריים אינסוף מימדייםU ) מעל.

:נסמן


1 1 1 ( ) { ( ): } { ( ): 0}Z U f U f f U f ת משמרמקומי

1 1 0( ) { ( ): } { : ( )}B U f U f U ר משמ

1 -הרי ש, מאחר שכל שדה משמר הוא גם משמר מקומית 1( ) ( )B U Z U.

מרחב המנה 1

11

( )( )

( )Z U

H UB U

של מרחב הקוהומולוגיה הראשונה נקראU עם

1, ב זהחמימד מר. מקדמים ממשיים1 dim ( )H U , הוא שמורה טופולוגית שלU .

)1מזהה את De Rhamמקרה פרטי של משפט חשוב של )U מספר המעגלים הבלתי "כ

".U -תלויים לינארית ב

אך , סים הבאיםנשאיר את הגדרות המדויקות של המושגים המופיעים בפסקה הקודמת לקור

:נביא מספר דוגמאות

קבוצה .אnA אם כל מסילה סגורה ב פשוטת קשר תיקרא-A הומוטופית לנקודה.

פשוטת קשר אזי Aמהטענה שהוכחנו נובע כי אם 1( ) 0H A . בפרט נובע שאםA

כוויצה אזי 1( ) 0H A .

תהא .ב 2(0,0)A . השדה

2 2

,1( , )

2

y xf x y

x y

משמר מקומית כי

2 2 2 2

x y

x yx y x y

כי עבור המסילה A -אך אינו משמר ב,

:[0,2 ] A י "הנתונה ע( ) (cos ,sin )t t t 1מתקייםf dr

.

את הענף הסטנדרטי עם arctant -נסמן ב. פונקצית פוטנציאל מקומית f -נמצא ל

arctan( ) , arctan( )2 2

,כבציור:


נסמן

1 2

3 4

, : 0 , , : 0 ,

, : 0 , , : 0 .

B x y x B x y y

B x y x B x y y

י"ע iBעל iנגדיר

1 1

2 2

3 3

4 4

arctan , ( , )

arctan , ( , )2

arctan , ( , )

3arctan , ( , )

2

yx y B

x

xx y B

y

yx y B

x

xx y B

y

)אזי , ) 2 ( , )i x y f x y לכל , ix y B.

אפשר להראות כי 1( )H A י המחלקה של "נוצר ע( , )f x y .תהיינה , וביתר כלליות

1 1 1( , ), , ( , )n n nP a b P a b נקודות ב- 2

1לכל . i n נגדיר

2 2

( ),1( , )

2 ( ) ( )

i i i ii

i i i i

y b x ag x y

x a y b

.

,1השדות אזי , ng g יוצרים את1( )H A .לכל , כלומר

1( )f Z A 1יש, , n

-יחידים ו0( )A כך ש-

1

n

i ii

f g

.

3אם .ג { }U z )1אזי ציר ) 1U ,1 -ו( ; )H U י השדה "נוצר ע2 2

( , , 0)y xf

x y

.

יהיו , באופן כללי יותר 30 u ו-

3 { }A span u . 1יהיו 2,u u וקטורי יחידה

אזי השדה. u -ניצבים זה לזה וניצבים ל


1 2 2 12 2

1 2

( , ) ( , )( )

( , ) ( , )

v u u v u uf v

v u v u

יוצר את 1( )H A.

3אם .ד 2 2{( , ,0) : 1}U x y x y 1אזי( ) 1U .האם תוכלו למצוא יוצר ל-

1( ; )H U ?חשבו : רמז2 2 1

zarctg

x y

.

0fשאינן הומוטופיות לנקודה אך לעיתים יש מסילות : הערה dr

לכל שדה משמר

תהא , למשל. fמקומית 2

,A p q ותהא הנתונה בציור:

0fמתקיים , A -ב אזי לכל שדה משמר מקומית dr

,למרות ש- אינה הומוטופית

.למסילה קבועה


קואורדינטות ספריות

נגדיר

3, 0, 0,2 2

על ידי

, sin cos ,sin sin ,cosR

0מעתיקה את, 0,2 2

ערכית על המשטח-חד-חד

2 2 2 2, , : , , , 0 .S x y z x y z R x y z

הנורמל בנקודה , הוא:

2, sin sin cos ,sin sin ,cosN R

ולכן

2 2

0 0

, ,S

f d f N d d

:אינטגרל השטף

תהא 3A פתוחה ,

3:f A שדה וקטורי.

יהא 3S פרמטרי עם פרמטריזציה-משטח דו

:U S (2U פתוחה)

1 2 3( , ) ( , ), ( , ), ( , )u v u v u v u v

)אם : בעיה )f p היא מהירות הנוזל בנקודהp ,חשב את קצב מעבר הנוזל דרך המשטחS.

נ

ע


יין

}תהא }i iQ חלוקה של תחום הפרמטרU יהא . למלבנים קטנים

0, 0,i iQ a h k מלבן אופייני בחלוקה.

קצב מעבר הנוזל דרך iQ הוא בקירוב:

2

2

( ) cos

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).

i i

i

i i i i i i

f a V Q

f Nf a N hk

f N

f a a a hk f a N a V Qu v

י "יוגדר אם כן ע Sדרך משטח מכוון fטגרל השטף של השדה ניא

( , )

( , ) ( , ) .S u v U

f d f u v N u v dudv

תלות של אינטגרל השטף בפרמטריזציה-אי

תהיינה .טענה2

1 2,U U .

U:2תהא S פרמטריזציה שלS.

1תהא 2:g U U על, ערכית-חד-חד

י"וגזירה ברציפות הנתונה ע

( , ) ( , ), ( , )g u v x u v y u v

detוהמקיימת ( , ) 0gJ u v .

U:1 תהא S י "הפרמטריזציה הנתונה עg .אזי

1 2( , ) ( , )

.( , ) ( , ) ( , ) ( , )u v U x y U

f u v N u v dudv f x y N x y dxdy

1 2

3

gU U


:הוכחה

1

1

1

1

( , )

( , )

( , )

( , )

( , )

( , )

( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

,

u v U

u v U

u v U

g

u v U

f u v dudvu v

g gf g u v dudv

u v

X Yf g u v g u v

x u y u

X Ydudv

x v y v

f g u v g u v J u v dudvx y

f x yx

2( , )

,u v U

x y dxdyy

:משפט גרין

תהא 2U עם שפה גזירה למקוטעין , חסומה, פתוחה בכיוון חיובי ,

ויהא ,P Q שדה וקטורי רציף עלU . אזי

U

Q PPdx Qdy dxdy

x y

-ל, ראשית: הוכחה , ,U a b c d .


( , ) ( , )

( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

b d

x a y c

b d

x a y c

d b

y c x a

d b b d

y c x a x a y c

U

Pdx Qdy P x c dx Q b y dy

P x d dx Q a y dy

Q b y Q a y dy P x d P x c dx

Q Pdxdy dydx

x y

Q Pdxdy

x y

תחום 2A קומפלקס מלבניםנקרא

אם

1

m

i

i

A U

כך ש- iU מלבנים,

iוכך שלכל j ,i jk U U היא דופן

kאו , כלומר) jUוהן של iUהן של ,

(.צלע משותפת kאו , קדקד משותף kאו

,צלע משותפת jU -ול iU -נשים לב כי אם ל

.jU -וב iU -אז היא מופיעה בכיוונים נגדיים ב

לכן

1 1

.

ii

m m

i i UA U A

Q P Q Pf dr f dr dxdy dxdy

x y x y

.י קירוב"מפלקסים מלבניים ען לתחומים כלליים נובע מהמשפט לקומשפט גרי


רוטור

לשדה וקטורי 1 2 3, ,f f f f ,1f C על

3A של רוטוראת ה מגדיריםf

י"ע

1 2 3

3 32 1 2 1

, , , ,

, ,

f f f fx y z

f ff f f f

y z z x x y

:משפט סטוקס

-פרמטרי ב-2משטח Sיהא 3A הפרמטריזציה הנתון על ידי

3

1 2 3, , : .S U U

תהא ( ) ( ), ( )t u t v t השפה שלU בכיוון החיובי

ותהא ( ) ( )t t פרמטריזציה שלS .אזי

S

f dr f d

:הוכחה

( ) ( )

b

t a

f dr f t t dt

כאשר

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t D t t t u t t v tu v


לכן

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

b

t a

f dr f t t u t f t t v t dtu v

f du f dvu v

:שימוש במשפט גרין נקבלי "ע

, ,

( ) ( )

U

U

U

j ji i i i

i j i jj jU

ji

j

f f dudvu v v u

f fdudv

u v v u

Df u Df u dudvu v v u

f fdudv

x u v x v u

f

x

,

,

( , )

, ,

( , ) ( , )

,

( , )

( ( , )) ( , ) .

i

i jU

j i i jji

i j j iU

i jj i

i j i jU

U U

dudvu v

ffdudv

x u v x u v

f fdudv

x x u v

f u v N u v dudv f d


ברגנץהדי

1יהא 2 3( , , )f f f f שדה וקטורי גזיר ברציפות בתחום3K .של הדיברגנץf הוא

י "הפונקציה הסקלרית הנתונה ע

31 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ).ff f

div f p f p p p px y z

Sתהא :משפט הדיברגנץ K שפתKהמכוונת מחוץ ל- K . אזי

.

KS K

f d div f

0מספיק להוכיח זאת עבור , בדומה למשפט גרין :הוכחה 1 0 1 0 1[ , ] [ , ] [ , ]K a a b b c c .

0,1 -ל נסמן

1 0 1 0 1

2 0 1 0 1

3 0 1 0 1

( , , ) : , ,

( , , ) : , ,

( , , ) : , .

S a y z b y b c z c

S x b z a x a c z c

S x y c a x a b y b

iתהא הפרמטריזציה הטבעית שלiS

:

1 0 1 0 1 1:[ , ] [ , ]b b c c S 1י "נתונה ע ( , ) ( , , )y z a y z ,

2 0 1 0 1 2:[ , ] [ , ]a a c c S 2י "נתונה ע ( , ) ( , , )x z x b z ,

3 0 1 0 1 3:[ , ] [ , ]a a b b S 3י "נתונה ע ( , ) ( , , )x y x y c ,

iS -הנורמל ל iי הפרמטריזציה "הנקבע ע

הינו

1( ) ( 1)

i

iiN p e

לכלip S .


לכן1 0 0 1 1 01 1 2 2 3 3S K S S S S S S .

,עתה

1 1

1001

1 1

00

1

1

( , ) ( , )

( , , ) .

b c

z cy bS

b c

z cy b

f d f y z N y z dydz

f a y z dydz

ולכן

1 1

1 0 001 1

1 1 1 0( , , ) ( , , )

b c

z cy bS S

f d f a y z f a y z dydz

1 1 1

0 00

1 1( , , ) .

b c a

z c x a Ky b

f fx y z dxdydz

x x


כי!( שימו לב לסימנים)בדומה מראים

0 1 1 02 32 3

32 ,

K KS S S S

fff d f d

y z

לכן

1 0 0 1 1 01 2 31 2 3

31 2 .

S S S S S S S

K K

f d f d f d f d

ff fdiv f

x y z

תחום 3A אם קומפלקס תיבותנקרא

1

m

i

i

A K

כך ש- iK ולכל, תיבותi j ,

i jk U U היא דופן משותפת שלiK ושלjK .נשים לב כי אם S מימדית -היא דופן דו

.בכיוונים נגדיים jK -וב iK -אז היא מופיעה ב, jK שלו iK משותפת של

לכן

1 1

.

ii

m m

i i KA K A

f d f d div f div f

.י קירוב"ע תיבות לתחומים כלליים נובע מהמשפט לקןמפלקסי הדיברגנץמשפט

-התבנית הזויתית ב3

מימדית היא השדה הווקטורי -3 -ההתבנית הזויתית 3

( )4

uG u

u המוגדר על

3 {0}.

)יהא , )B a r הכדור הפתוח שמרכזוa ורדיוסוr , ותהא( , )S a r שפתו עם נורמל המכוון

.אל מחוץ לכדור


:טענה

(0, )

( ) ( ) 1u S r

G u d u

.

,0]: תהא. הוכחה ] [0,2 ] (0, )rT S r הפרמטריזציה

( , ) (sin cos ,sin sin ,cos )rT r

עם הנורמל

( , ) sin ( , )r rr r

T TN r T

אזי

2

30 0(0, )

( , )sin ( , )

4 ( , )( ) ( ) r

r

ru S r

Tr T d d

TG u d u

2

0 0

1sin 1

4d d

-קבוצה פתוחה וחסומה ב Aתהא : מסקנה3

-המכוונת אל מחוץ ל Aעם שפה חלקה

A . אזי לכלv A מתקיים

3

1( )

04u A

v Au vd u

v Au v

vאם : הוכחה A אז השדה3

u v

u v

ולכן לפי משפט הדיברגנץ, A -מוגדר וגזיר ב

33

( ) 04

( )4 u Au A

u vdiv dV u

u v

u vd u

u v

vנניח A ויהא( , )B v r כדור סביבv כך ש- ( , )B v r A . אזי\ ( , )B A B v r

)מקיימת , )B A S v r ,3

u v

u v

ולכן לפי משפט דיברגנץ, B -מוגדר וגזיר ב

3 3 3( , )

0 ( ) ( ) ( )4 4 4B A S v r

u v u v u vd u d u d u

u v u v u v

ולכן


3

1( )4A

u vd u

u v

הזוית המרחבית

-משטח ב Mיהא 3

ותהא , 0שאינו מכיל את

: (0,1)u

K u M Su

u,כי אם , לשם פשטות, נניח v M ,u v , אזu v

u v.

היא Mי "הנקבעת ע המרחביתהזוית

( ) ( )

( (0,1)) 4

area K area KM

area S

) :טענה ) ( )u M

M G u d u

1uנניח בלי הגבלת הכלליות כי : הוכחה לכלu M ונגדיר

1

: 1,A tu t u Mu

,

:נסמן. A -המכוונת אל מחוץ ל Aעם שפה

1: 1,P tu t u A

u

A אזי M K P .

) -ולכן גם ל v -ניצב ל vבנקודה P -נשים לב כי הנורמל ל )G v .לכן

( ) ( ) 0v P

G v d v

לכן

0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )M KA v A

divG dV G v d v G v d v G v d v

מכאן

( )

4( ) ( ) ( ) ( )

M K

area KG v d v G v d v

.


שדות מדוייקים ושדות סגורים

שדה וקטורי גזיר ברציפות על קבוצה פתוחה Fיהא 3A.

:הגדרה

1. F 1-אם קיימת מדוייק3: A גזירה כך ש- F . זו נקראת

.Fשל פוטנציאל סקלרי

2. F 1-0אם סגורF .

.הוכחנו את התוצאה הבאה

:משפט

1. F 1-אם ורק אם מדוייקF 0אם ורק אם כלומר, שדה משמרF dr

לכל

.A -ב מסילה סגורה

2. F 1- סגור אם ורק אםF כלומר אם ורק אם לכל , שדה משמר מקומיתp A

pקיימת סביבה פתוחה B A 0 -כך שF dr

לכל מסילה סגורה ב-

B.

.מימדית של מושגים אלה-בגרסא הדונדון כעת

שדה וקטורי גזיר ברציפות על קבוצה פתוחה Fיהא , שוב3A.


:הגדרה

1. F 2-אם קיים שדה וקטורי גזיר מדוייקG עלA כך ש- F G .G זה

.Fשל ריפוטנציאל וקטונקרא

2. F 2-אם סגורdiv 0F .

)divמתקיים Gנשים לב כי לכל שדה וקטורי : הערה ) 0G , 2ולכן כל שדה-

.סגור-2מדוייק הוא גם

תהא : הכיוון ההפוך לא בהכרח נכון3 \{0}A ויהא

3( )

| |

uF u

u . אזי

div 0F , כלומרF 2-אך כפי שנראה בהמשך , סגורF מדוייק-2אינו.

.מתלכדים מתואר בתוצאה הבאהמקרה חשוב בו שני המושגים

יהא : למת פואנקרה3B כדור פתוח ויהאF שדה וקטורי גזיר ברציפות עלB . אם

F 2-אזי סגורF 2-מדוייק.

,0), בלי הגבלת הכלליות: הוכחה )B B R . יהא 1 2 3, ,F f f f שדה המקיים

31 2divff f

Fx y z

.Bעל

נגדיר שדה וקטורי 1 2 3, ,G g g g עלB י"ע

1 2 30 0

2 10

3

( , , ) ( , , ) ( , ,0) ,

( , , ) ( , , ) ,

( , , ) 0

yz

t t

z

t

g x y z f x y t dt f x t dt

g x y z f x y t dt

g x y z

הראה כי 2 1 2 11 2 3, , , ,

g g g gG f f f

z z x y

.

,אכן

2

1 10

( , , ) ( , , )z

t

gf x y t dt f x y z

z z

12 2

0

( , , ) ( , , )z

t

gf x y t dt f x y z

z z

2 1 1 23

0 0 0

( , , ) ( , , ) ( , ,0)z z z

t t t

g g f fx y t dt x y t dt f x t dt

x y x y y


1 23

0

( , , ) ( , , ) ( , ,0)z

t

f fx y t x y t dt f x t

x y

33 3

0

( , , ) ( , ,0) ( , , )z

t

fx y t dt f x y f x y z

z

.ל.ש.מ

.אינטגרליסגירות יש אפיון -2-מדוייקות וה-2-גם למושגי ה, מימדי-בדומה למצב החד

:משפט

1. F 2-על מדוייק3A 0אם ורק אם

S

F d לכל משטח סגורS A.

2. F 2- סגור על3A אם ורק אם לכלp A סביבה פתוחה יש

p B A 0 -כך שS

F d משטח סגור לכלS B.

:הוכחה חלקית

1. : אםF 2-אזי מדוייקF G עבור שדה וקטוריG עלA . יהא

S A אזי לפי משפט סטוקס. משטח סגור:

0S S S

F d Gd Gdr Gdr

. (רהם-זהו מקרה פרטי של משפט חשוב של דה) קשה יותר ולא יוכח כאן הכיוון

2. : נניח בשלילה כי קיימתp Aכך ש- div ( ) 0F p . בלי הגבלת

div, הכלליות ( ) 0F p . תהיB A המכילה אתp כך ש-

0S

F d לכל משטח סגורS B . יהאC B כדור סגור סביבp כך

div -ש ( )2

F u

לכלu C . אזי עבורS C B מתקיים לפי משפט

הדיברגנץ

0 div vol( ) 02C C

F d F C

divלכן ! סתירה 0F על כלA.

: נניחdiv 0F . תהאp A ויהאB A כדור פתוח סביבp . לפי

G -כך ש Bעל Gקיים שדה וקטורי , למת פואנקרה F עלB . לכן לכל

Sמשטח סגור B מתקיים

0S S S

F d Gd Gdr Gdr


יהיו :דוגמא3 \{0}A ו-

3( )

| |

uF u

u .F 2- סגור אךF מדוייק כי -2אינו

4 0RS

F d לכל ספירה{ :| | }RS u u R עם נורמל המכוון הלאה

.מהראשית

ההיבט הטופולוגי

-נסמן ב2 ( )B A מדוייקים על -2-את אוסף השדות הווקטוריים הA ,וב-

2 ( )Z A את

. Aסגורים על -2-אוסף השדות הווקטוריים ה2 2( ) ( )B A Z A הם מרחבים וקטוריים

מרחב המנה . מעל

22

2

( )( ; )

( )

Z AH A

B A של הקוהומולוגיה השניהנקראA

(.במקדמים ממשיים)

מימדו 2

2 ( ) dim ( ; )A H A הוא אינווריאנט טופולוגי שלA המונה את מספר ה-

.A -תלויים ב-מחזורים הבלתי-2

:דוגמאות

אם .א1, , kp p נקודות שונות ב-

3 אזי

3

2 1( { , , })kp p k

.ב3

2 ( { -axis}) 0z

פונקציות הרמוניות

תהא 3U R על לפלסיאןה. קבוצה פתוחהU הוא האופרטור הלינארי

: ( ) ( )C U C U י"הנתון ע

2 2 2

2 2 2.div

x y z

)פונקציה )C U 0אם היא מקיימת את משוואת לפלס הרמוניתתיקרא .

:דוגמאות

)כל פונקציה אפינית .1 , , )x y z Ax By Cz D היא הרמונית ב- 3

.


2. 2 2 2( , , ) 2x y z x y z ניתן . 2היא דוגמא לפולינום הרמוני הומוגני מדרגה

-שהם היא הרמוניים ב mלהראות שאוסף הפולינומים ההומוגניים מדרגה 3

הוא ,

2)מרחב לינארי 1)m -מימדי.

הפונקציה .31

( )4

g uu

הרמונית ב- 3 0. (י חישוב"ניתן לבדוק ע)

אזי. קבוצה פתוחה עם שפה Uותהא , U -הרמונית ב תהא : טענה

0.d

,לפי משפט הדיברגנץ: הוכחה

0.d div dV dV

, כרגיל, נסמן ( , ) :B a r u u a r ו- ( , ) :S a r u u a r .

)אם : עצמשפט הערך הממו , )B a R U ,f הרמונית ב- U ,אזי

.א

( , )

1( )

( , )S a R

f a f darea S a R

.

.ב

( , )

1( )

( , )B a R

f a f dVvol B a R

.

תהא: הוכחה

:[0, ) [0, ] [0,2 ] (0, )T R B R

י "הפרמטריזציה הכדורית הנתונה ע

( , , ) (sin cos , sin sin , cos ),T r r

0r ולכל תהא

:[0, ] [0,2 ] (0, )rT S R

י "רית הנתונה עהפרמטריזציה הספ

( , ) ( , , ).rT T r


,0) -ניזכר כי הנורמל ל )S r בפרמטריזציהrT י"נתון ע

( , ) sin ( , ),r rr r

T TN r T

ואורכו הוא 2( , ) sinrN r .

י "נתון ע Tהיעקוביאן של 2( , , ) sinrJ r r .

0a, בלי הגבלת הכלליות. הוכחת א . תהא1

( )4

g uu

.

תהא :u u R 0)עם שפה, ) (0, )S R S .עתה,

( ) ( )f g g f d div f g g f dV

(1)

0.f g f g g f g f dV

rלכל , כמובן R מתקיים

(0, ) (0, )

10.

4S r S r

g f d f dr

(2)

0fנובע כי ( 2) -ו( 1) -מ g d

, כלומר

(0, ) (0, )S R S

f g d f g d

,

0לכל R .

:עתה

2

(0, ) 0 0

( ( , )) ( ( , )) ( , )R R R

S R

f g d f T g T N d d

2

3

0 0

( , )( ( , )) sin ( , )

4

RR R

Tf T R T d d

R


2

2

0 0

1( ( , )) ( , )

4R Rf T N d d

R

2

(0, )

1.

4S r

f dR

מכאן

2 2 0

(0, ) (0, )

1 1(0).

4 4S r S

f d f d fR

. הוכחת ב

(0, )

1

(0, )B R

f dVvol B R

22

0 0 0

1( ( , , )) sin

(0, )

R

r

f T r r dr d dvol B R

2

0 0 0

1( ( , )) ( , )

(0, )

R

r r

r

f T N dr d drvol B R

2

0 (0, ) 0

1 14 (0) (0).

(0, ) (0, )

R R

r S r r

f d dr r f dr fvol B R vol B R

-פונקציה הרמונית חסומה ב fאם : משפט ליוביל3

.היא פונקציה קבועה fאז ,

) -נניח ש: הוכחה )f u M לכל3u.

-נקודה קבועה ב uתהא 3

.

0Rלכל : טענה מתקיים

, (0, ) ( , ).2 2

uuB R B R B u R

,תהא : טענהההוכחת 2 2

uuv B R

אזי .


,2 2 2 2

u uu uv v R R

,0)ולכן )v B R ,ובדומה

,2 2

u uv u v R

)ולכן , )v B u R.

0Rכך שלכל ucקיים מספר , קבוע u עבור: מסקנה מתקיים

2( (0, ) ( , )) .uvol B R B u R c R

: הוכחת המסקנה

( (0, ) ( , )) (0, ) ,2 2

uuvol B R B u R vol B R vol B R

3

3 24.

3 2u

uR R c R

,במשפט הערך הממוצע' לפי סעיף ב: הוכחת משפט ליוביל

3

(0, ) ( , )

1( ) (0)

4

3B R B u R

f u f f dV f dV

R

3

(0, ) ( , ) ( , ) (0, )

1

4

3B R B u R B u R B R

f dV f dV

R


2

3

12 0.

4

3

u RMc R

R

)לכן ) (0)f u f .

גרסת גאוס לחוק הכבידה של ניוטון

י "הנתון ע Fמשרה שדה כבידה (0,0,0)הנמצא בנקודה Mשמסתו גוף נקודתי: חוק ניוטון

3( )

uF u GM

u , כאשרG האוניברסליהוא קבוע הכבידה.

:3תהא : גרסת גאוס צפיפות זו משרה שדה . 3צפיפות מסה אינטגרבילית על

המקיים Fכבידה

4div F G .

,3uלכל : הוכחה

3

3( ) ( )

v

v uF u G v dV

v u

:Sעם שפה מכוונת החוצה 3Bלכן לכל כדור סגור

33

( ) ( ) ( )v B u S u Sv

v udivF v dV F u d G v d dV

v u

3

( ) 4 1 ( ) 4 ( )B

v Bv

G v v dV G v dV

4divלכן F G .

(ניוטון)משפט הקליפה

)כלומר , צפיפות מסה סימטרית רדיאלית תהא ) ( )u g u . אזי שדה הכבידה

י "הנתון ע Fהמושרה

23

0

( ) 4 ( )u

r

uF u G g r r dr

u


), כלומר )F u י רכוז כל המסה הנמצאת בכדור ברדיוס "הוא השדה המושרה עu , בנקודה

(0,0,0).

המקיימת hמטעמי סימטריה קיימת : הוכחה

3

( )( ) h uu

F uu

.

:לפי הגרסה הדיפרנציאלית של חוק הכבידה

3 34 ( )G u div F div h u h u

u uu u

3 2

''

h uu uh u

u u u

כן ל 2 2' 4 ( ) 4h u G u u Gg u u ,

ולכן 2

0

( )4u

r

u g r r drh G.

חוקי קפלר

תחת השפעת הכבידה של עצם mחוקי קפלר מתארים את המסלול של עצם שמסתו

ולפי כך נתעלם M-קטן מאוד יחסית ל mלהלן נניח כי. הנמצא בראשית Mשמסתו

.מתנועת העצם הגדול

עם ( פרבולה או היפרבולה, כלומר אליפסה)הינה חתך חרוט המסילה : החוק הראשון

.מוקד בראשית

מישורית והרדיוס וקטור המתאר אותה מכסה שטחים שווים בזמנים המסילה : החוק השני

.שווים

מקיים Tאזי משך המחזור , היא אליפסה אם : ילישהחוק הש

13 2

2a

TGM

.הוא אורך הציר הגדול של האליפסה 2a כאשר

על סמך 1605 -בערך ב ניסח את חוקיו (Johannes Kepler, 1571-1630)קפלר : הערה

ניוטון הוכיח את חוקי . (Tycho Brahe, 1546-1601)תצפיות פרטניות של התוכן טיכו ברהה

.1670 -קפלר כמסקנה מחוק הכבידה שלו בערך ב


שקיימת דהיינו , החוק השני תלוי רק בכך שכוח הכבידה הוא מרכזי: ת החוק השניהוכח

)פונקציה )c t כך שלכלt מתקיים

(1) ''( ) ( ) ( )t c t t .

נובע כי( 1) -מ

( ')( ) '( ) '( ) ( ) ''( ) 0t t t t t

)0ולכן ) '( )t t v קבוע.

0י הפעלת העתקה אורתוגונאלית אפשר להניח כי "ע (0,0,1)v . 0נניח להלן כיL .

)נסמן ) ( ( ), ( ),0)t x t y t . אזי

(0,0,1) ( ) '( ) (0,0, ( ) '( ) ( ) '( ))t t x t y t y t x t .

0 -נסמן ב 1( , )A t t את התחום ששפתו היא1 2 3

כאשר

1 1

2 0

0 1 3

0 1 ( ) (1 ) ( )

0 1 ( ) ( )

( ) ( )

s s s t

s s s t

t t t t t


:לפי משפט גרין אזי

0 1 0 1

1 2 3

1

0

0 1

, ,

1 0

1,

2

1 1 1( ) ( ) ( )

2 2 2

10 0 ( ) ( ) ( ) ( )

2

2

A t t A t t

t

t t

area A t t dxdy ydx xdy

ydx xdy ydx xdy ydx xdy

y t x t x t y t dt

Lt t

תלויים בחוק הכבידה של ניוטון החוקים הראשון השלישי

(2) 3

( )''( )

( )

tt GM

t

.

נעבור להצגה קטבית : הוכחת החוק הראשון

( cos , sin ,0)r r

נקבל את מערכת המשוואות( 1) -מ

2

2

2

2

( '' ( ') )cos (2 ' ' '' )sin cos

( '' ( ') )sin (2 ' ' '' )cos sin

GMr r r r

r

GMr r r r

r

(3)

נקבל ( 3) -מ

2

2'' ( ')

GMr r

r (4)

,מאידך

2cos cos

det det '' ' ( cos )' ( sin )'

x y r rL r

x y r r

(5)

, נבצע שינוי משתנה1

ur

, (:5)אזי בעזרת


22 2 2' '

''

du dr r r rr r r r

d d L L

2 2

2 2 2

' '' 1 '' ''

'

d u d r r r r r

d L L L Ld L u

(6)

ונקבל( 4) -ב( 6) -ו( 5)נציב את

2

2 2

d u GMu

d L (7)

הוא( 7)הפתרון הכללי של

02cos( )

GMu A

L 0עבור,A (8) .קבועים

0י שינוי מערכת הצירים אפשר להניח כי "ע 0 ,0A.

י הצבה מחדש של "ע1

ur

נקבל( 8) -ב:

1 cos

r

(9)

כאשר

2L

GM ו-

2AL

GM .

.ואקסצנטריות 0הינו חתך חרוט עם מוקד ( 9)העקום

0 1 1, מתאר אליפסה 1 -ו, פרבולה היפרבולה.

הוא 2b -ו, הוא אורך הציר הגדול של האליפסה 2a.האיור הבא מתאר הצגה זו של אליפסה

-האקסצנטריות שווה ל. אורך הציר הקטן של האליפסה

2 2

2

a b

a

.


1, נעיין במקרה של מסלול אליפטי, הוכחת החוק השלישיל .

. אורך הציר הקטן של האליפסה 2b -ו, אורך הציר הגדול של האליפסה 2a ,שוב, יהיו

:מתקיים

/ 2a (מרחק בין מוקדי האליפסה = )אקסצנטריות

2(1 )a

21b a

,החוק השנילפי

21ab a שטח האליפסה

2

LT

,מאידך

22(1 )

La

GM

ולכן

12 2 2 2 3 2

2

1 12 2 2

(1 )

a a aT

L GMGM a

.ל.ש.מ

3 ילמיסטיניפניא ןובשח - technionmeshulam/courses/inf3_notes/... · 2012. 2....

Documents