49สนามแมเหลก
4. สนามแมเหลก
แมเหลกเปนสารชนดหนงซงสามารถออกแรงดงดดโลหะบางชนดได แมเหลกมสองชนดโดยเรยกเปนขวไดแกขวเหนอและขวใต เนองจากการคนพบแมเหลกในอดตไดใชแทงแมเหลกเปนเขมทศซงพบวาแทงแมเหลกจะวางตวในแนวเหนอใตของโลกเสมอ แรงระหวางแมเหลกจะมทงแรงดดทเกดจากแมเหลกตางขวและแรงผลกทเกดจากขวเดยวกนซงคลายคลงกบแรงระหวางประจ ขอแตกตางทสาคญระหวางประจกบขวแมเหลกคอขวแมเหลกจะอยเปนคเสมอไมสามารถแยกขวแมเหลกเหนอและใตออกจากกนได เพราะไมวาจะแบงแทงแมเหลกใหเลกลงเทาใดสวนทแยกออกมาจะมขวเหนอใตเสมอ สารบางอยางสามารถทาใหเปนแมเหลกไดเชนการวางแทงเหลกไวกบแมเหลก แมเหลกจะเหนยวนาใหแทงเหลกนนเปนแมเหลกได ทงนสารแมเหลกในธรรมชาตเกดขนจากการเหนยวนาของสนามแมเหลกโลก
สนามแมเหลกเปนปรมาณเวกเตอรมทงขนาดและทศทาง สนามแมเหลกมทศพงออกจากขวเหนอไปยงขวใตของแมเหลก สงทนาสนใจคอสนามแมเหลกสามารถสรางอทธพลใหเกดแรงกระทาตอประจได ผลของแรงแมเหลกทกระทาตอประจแสดงถงความสมพนธบางอยางระหวางสนามแมเหลกกบสนามไฟฟา
แรงแมเหลกทกระทากบประจ จากการทดลองโดยการใหสนามแมเหลก (B ) ในบรเวณทมประจ ( q ) พบวาเมอประจอยนง
จะไมมแรงกระทาตอประจ แตเมอประจเคลอนทดวยความเรว ( v ) ในสนามแมเหลกพบวามแรงเนองจากสนามแมเหลกกระทากบประจ (
BF ) โดยแรงนจะมคามากเมอประจเคลอนทตงฉากกบ
ทศทางของสนามแมเหลกและมคาลดลงจนเปนศนยเมอประจเคลอนทในทศทางเดยวกบสนาม แรงแมเหลกนจะมคามากเมอประจเคลอนทเรวขน แรงแมเหลกยงขนกบขนาดของประจดวยจงสรปไดวาแรงเนองจากแมเหลกทกระทากบประจหาไดจาก
sinBF qvB =
ในหนวย SI ขนาดของสนามแมเหลก B มหนวยเปนเทสลา (tesla, T ) หรอเวเบอร (weber, Wb ) ตอตารางเมตร
Wb N NB T
C m s A mm2é ù = = = =ë û ⋅ ⋅
ทงนทศทางของแรงเนองจากสนามแมเหลกทกระทากบประจจะมทศสอดคลองกบกฎมอขวาซงทศทางของแรงทเกดขนจะหาไดจากการคณแบบเวกเตอร (vector product) ระหวางทศทางของความเรว v กบทศทางของสนามแมเหลก B
ดงนนสมการทสมบรณในการหาแรงแมเหลกท
กระทากบประจคอ
Bq= ´F v B
(4.1) เนองจากประจไฟฟามสองชนดคอบวกและลบ ทศของแรงแมเหลกทกระทากบประจทงสองชนดจงตรงขามกน
สนามแมเหลกและสนามไฟฟาสามารถสรางอทธพลตอประจได สมการทอธบายแรงทกระทากบประจเนองจากสนามทงสองน เรยกวา กฎแรงลอเรนซ (Lorentz force law)
( )q q= + ´F E v B (4.2)
ทดสอบ อนภาคประจหนงเคลอนทเปนเสนตรง ขอใดกลาวถกตองเกยวกบสนามแมเหลกในบรเวณนน (1). ขนาดเปนศนย (2). องคประกอบของสนามแมเหลกในทศทตงฉากกบทศการเคลอนทของอนภาคเปนศนย
v
B
F
รป 1 ทศของแรงแมเหลกจากกฎมอขวา [2]
50 สนามแมเหลก
(3) องคประกอบของสนามแมเหลกในทศทขนานกบทศการเคลอนทของอนภาคเปนศนย
ทดสอบ อเลกตรอนเคลอนทบนระนาบกระดาษโดยเคลอนทขนไปทางดานบน ถามสนามแมเหลกชไปทางขวา แรงทกระทากบอเลกตรอนมทศใด (1) มทศไปทางขวา (2) มทศขน (3). มทศพงออกจากระนาบ (4) มทศพงเขาระนาบ
ตวอยาง แรงเนองจากสนามแมเหลกทกระทากบอนภาคประจ อเลกตรอนในโทรทศนเคลอนทออกจากปนอเลกตรอนเพอไปตกกระทบทหนาจอตามแนวแกน x ดวยความเรว . 68 0´10 m s ดงรป ถาในบรเวณนนมสนามแมเหลกขนาด .0 025 T มทศทามม 60 กบแกน x บนระนาบ xy แรงทกระทากบอเลกตรอนเปนเทาใด วธทา หาทศทางของแรงตามกฎมอขวา และหาขนาดของแรงจากสมการ
จากรปใชกฎมอขวาใหนวทงสชไปในทศของความเรว v ซงอยตามแนวแกน x+ แลวพบนวทงสไปยงทศของสนามแมเหลก B
นวโปงชทศของเวกเตอรลพธซงอยในแนวแกน z+ แต
เนองจากประจของอเลกตรอนเปนลบ ดงนนทศของแรงทกระทากบอเลกตรอนมทศตรงขามเปนแนวแกน z-
หาขนาดของแรงไดจาก
sin
. . . sin
. N
BF qvB
-19 6
-14
=
=1 6´10 ´8 0´10 ´0 025´ 60
= 2 8´10
แรงทกระทากบอเลกตรอนเปน ˆ. ( )B
-14=2 8´10 -F k
N โดยท k แทนเวกเตอรหนวยในทศทาง z
แรงแมเหลกบนประจเคลอนท เมอประจเคลอนทในระนาบทตงฉากกบสนามแมเหลกจะมแรงจากสนามกระทากบประจทา
ใหทศทางการเคลอนทของอนภาคเปลยนไป ดงนนเมออนภาคเปลยนทศทางการเคลอนทแรงเนองจากสนามแมเหลกกจะเปลยนทศทางดวยแตขนาดของแรงคงเดม โดยทศทางของแรงจะตงฉากกบทศของความเรวทาใหอนภาคเคลอนทเปนวงกลม โดยแรงเนองจากสนามแมเหลกจะชไปทจดศนยกลางของวงกลมนน ดงนนเมออนภาคประจเคลอนทในสนามแมเหลกอนภาคจะเคลอนทเปนวถโคงและวนเปนวงกลม
เนองจากอนภาคเคลอนทตงฉากกบสนามแมเหลก แรงแมเหลกจะมขนาดคงทและชไปยงจดศนยกลาง แรงแมเหลกทเกดขนจงเปนแรงสศนยกลางทาใหประจทวงอยในสนามแมเหลกเคลอนทเปนทางโคง
sinmv
F qvBr
2
= 90 =
ดงนนรศมความโคงของการเคลอนทจะเทากบ
mvqvB
r
mvr
qvB
2
2
=
=
mvr
qB= (4.3)
ถาความเรวของประจทามมคาหนงกบสนามแมเหลกวถการเคลอนทของประจจะวนเปนเกลยวรอบเสนสนามแมเหลก โดยองคประกอบของความเรวในทศทขนานกบสนามแมเหลกจะไมเปลยนแปลง แตองคประกอบในระนาบทตงฉากกบสนามแมเหลกจะเปนการเคลอนทแบบวงกลม
BF
B
60v
x
y
z
รป 2 รปประกอบตวอยาง [1]
อนภาค วนเปนเกลยว
B
x
y
z
รป 3 อนภาคเคลอนทเปนเกลยว [1]
51สนามแมเหลก
ทดสอบ อนภาคประจเคลอนทเปนวงกลมในสนามแมเหลกทมคาคงทและตงฉากกบการเคลอนทของประจ พลงงานจลนของอนภาคจะเปนอยางไร
(1). ไมเปลยนแปลง (2) เพมขน (3) ลดลง
แรงแมเหลกทกระทากบกระแสไฟฟาในลวดตวนาเสนตรง เมอประจเคลอนทในสนามแมเหลกจะมแรงแมเหลกกระทา ในลวดตวนาทประกอบดวยประจ
จานวนมาก ถามกระแสไฟฟาในเสนลวด สนามแมเหลกจะสงผลใหเกดแรงแมเหลกกระทากบประจทงหมดในเสนลวดซงมผลใหเสนลวดโคงงอได แรงทกระทากบเสนลวดทมกระแสไฟฟาจะหาไดจากการรวมแรงทกระทากบประจทงหมดโดยแรงทเกดกบประจหนงตวเทากบ
sinF qvB = จานวนประจทงหมดในเสนลวดอาจหาไดจากการสมมตให n เปนจานวนประจตอปรมาตรของวสดทนามาทาเปนเสนลวด ถาเสนลวดสวนทอยในสนามแมเหลกมพนทหนาตดสมาเสมอ A และยาว L ดงนนประจทงหมดทอยภายใตอทธพลของสนามแมเหลกจะเทากบ nAL แรงทกระทากบเสนลวดจะเทากบ
( ) sin
( ) sinBF nAL qvB
nqvA LB
=
=
จะเหนวาปรมาณ nqvA คอกระแสไฟฟาในเสนลวดนน ดงนนจะไดขนาดของแรง sin
BF ILB =
ทศของแรงหาไดตามกฎมอขวาหรอทศทไดจากการคณแบบเวกเตอรระหวางทศการเคลอนทของประจกบทศของสนามแมเหลก ดงนนอาจเขยนความสมพนธใหอยในรปเวกเตอรได
B
I= ´F L B
(4.4) สงเกตวาปรมาณทบอกทศการเคลอนทของประจคอ L
ซงเปนทศการกระจดของอนภาคใน
เสนลวดตวนา กระแสไฟฟา I เปนปรมาณของประจทไหลในเสนลวดและเปนปรมาณสเกลาร
แรงแมเหลกทกระทากบกระแสไฟฟาในลวดตวนาทมรปราง แรงแมเหลกทกระทากบกระแสไฟฟาในลวดตวนาทมรปรางหาไดโดยการแยกพจารณาเสน
ลวดออกเปนสวนสน ๆ แลวรวมแรงทกระทาจากแตละสวนเขาดวยกน เนองจากทศของการกระจดตามแนวเสนลวดทามมกบสนามแมเหลกเปนคาตาง ๆ จงตองหาแรงโดยการพจารณาเสนลวดเปนสวนสน ๆ ds ซงมแรงกระทาเทากบ
B
d Id= ´F s B
แรงทกระทาตลอดแนวเสนลวดหาไดจากการรวมแรงยอย ๆ B
dF
จากจด a ไป b
b
B
a
Id= ´òF s B
เนองจากกระแสไฟฟาทไหลผานสวนสน ๆ ds มคาคงทตลอดเสนลวด อกทงสนามแมเหลกทกระทากบสวนยอย ds มขนาดและทศทางคงทตลอดเสนลวด ดงนนกระแสไฟฟา I และสนามแมเหลก B
จงไมขนกบการอนทเกรต จดรปสมการใหมได
b
B
a
I dæ ö÷ç ÷ç= ´÷ç ÷ç ÷è øòF s B
จะเหนวา b
a
dò s คอ การรวมเวกเตอรสวนสน ๆ ds จาก a ไป b ดงนน
b
a
d ¢=ò s L
inB
inB
inB
I = 0
I I
รป 4 แรงแมเหลกทกระทากบเสนลวดเมอมกระแสไฟฟา [1]
inB
b
a
ds
¢L
I
รป 5 ผลลพธจากการรวมเสนลวดสวนสน ๆ [1]
52 สนามแมเหลก
เวกเตอรลพธ (เปนเสนตรง) ¢L
ทชจากจด a ไป b ดงนนแรงแมเหลกทกระทากบกระแสไฟฟาในลวดตวนาทมรปรางจะได
B
I ¢= ´F L B
(4.5) สงเกตวาถาเสนลวดมรปรางทเปลยนไปแตยงคงผานจด a และ b แรงแมเหลกทเกดขนจะไมขนกบรปรางของเสนลวดเลย และอกกรณทนาสนใจคอถาเสนลวดเปนเสนปด (จด a และ b อยทเดยวกน) แรงแมเหลกทกระทากบเสนลวดจะเปนศนย
ทดสอบ เสนลวดลกษณะตาง ๆ ดงรป อยในสนามแมเหลกทเหมอนกน ระยะจากจด A และ B เปน 1 เมตร จงเรยงลาดบแรงทกระทาตอเสนลวดในแตละกรณจากมากไปนอย
ทอรคเนองจากกระแสไฟฟาในลวดตวนาวงปด แมวาแรงแมเหลกทกระทากบกระแสไฟฟาในลวดตวนาวงปดจะเปนศนย แตถาพจารณา
สวนยอย ๆ ของวงปดจะพบวามแรงแมเหลกกระทากบสวนตาง ๆ ของวงปด พจารณาวงปดรปสเหลยมดงรป จะเหนวาสวนท 1 และ 3 วางตวในแนวเดยวกบสนามแมเหลกจงไมมแรงแมเหลกกระทากบสวนท 1 และ 3 เมอพจารณาสวนท 2 และ 4 ซงวางตวในแนวตงฉากกบสนามแมเหลก พบวาแรงแมเหลกทกระทากบสวนท 2 มขนาดเทากบ IBa มทศพงออกจากระนาบ และสวนท 4 มขนาดเทากบ IBa เชนกนแตมทศพงเขา แรงคควบนทาใหเกดทอรคกระทากบวงปด แมวาแรงลพธทเกดขนกบทงวงปดจะเปนศนย
พจารณารปดานขางของวงปดขณะทวงปดบดตวไปทาใหเวกเตอรพนทของวงปด (A
) ทามม กบทศของสนามแมเหลก สวนท 2 ของวงปดซงกระแสไฟฟามทศพงออก สนามแมเหลกไปทางขวา ทาใหแรงแมเหลก 2F
มทศขนมขนาดเทากบ IBa ดงนนทอรค ( = ´τ r F
) เนองจาก
2F
จะมทศพงเขามขนาดเทากบ
sinb
F 2 2=2
พจารณาสวนท 4 ของวงปดซงกระแสไฟฟามทศพงเขา สนามแมเหลกไปทางขวา ทาใหแรงแมเหลก 4F
มทศลงมขนาดเทากบ IBa ดงนนทอรคเนองจาก 4F
จะมทศพงเขามขนาดเทากบ
sinb
F 4 4=2
ดงนนทอรคลพธทกระทากบวงปดจะมทศพงเขาและมขนาดเทากบ
A
A
A
A
B
B
B
B
(a) (b)
(c) (d)
25
25
รป 6 รปประกอบคาถามทดสอบ [1]
I
I
II
B
a
b
2F
4F
A
B
b
2
sinb 2
รป 7 แรงแมเหลกในลวดตวนาวงปด [1]
53สนามแมเหลก
sin sin
sin
sin
b bF F
IBab
IBA
2 4
2 4
= +
= +2 2
==
จะเหนวาทอรคลพธทกระทากบวงปดนน สอดคลองกบการคณแบบเวกเตอรของเวกเตอรพนท A
กบสนามแมเหลก B
ตามกฎมอขวา ทอรคมคามากทสดเมอสนามแมเหลกมทศตงฉากกบเสน
ปกตของพนทของวงปด ดงนนจะเขยนสมการเวกเตอรได I= ´τ A B
(4.6) ปรมาณ IA
เกดจากกระแสไฟฟาไหลวนในวงปดทาใหวงปดสามารถมอนตรกรยากบ
สนามแมเหลกได เหมอนวาวงปดนทาตวกลายเปนแทงแมเหลกเมอมกระแสไฟฟาไหลจงเรยกปรมาณนวา โมเมนตขวคแมเหลก (magnetic dipole moment)
I=μ A (4.7)
ทศทางของ μ หรอ A
หาไดจากกฎมอขวา โดยใหนวทงสแทนทศการไหลวนของกระแสไฟฟาในวงปดนวโปงจะเปนทศของโมเมนตขวคแมเหลก μ ดงนนทอรคทกระทากบวงปดทมกระแสไหล (โมเมนตขวคแมเหลก) จะเทากบ
= ´τ μ B (4.8)
ทงนถาวงปดประกอบดวยลวดตวนาทพนไวเปนจานวน N รอบ ทอรคทเกดขนกจะเพมขนตามจานวนรอบทพน จะได
NI= ´τ A B (4.9)
ทดสอบ ถาลวดตวนาวงปดรปสเหลยม และวงกลมซงมพนทเทากนวางตวในสนามแมเหลก ถาใหกระแสไฟฟาขนาดเทากน รปทรงใดจะมทอรคแมเหลกสงกวา
(1) สเหลยม (2) วงกลม (3). เทากน (4) ขอมลไมเพยงพอ
ทดสอบ เสนลวดวงปดลกษณะตาง ๆ วางตวในสนามแมเหลกดงรป กระแสไฟฟาในวงปดมขนาดเทากน จงเรยงลาดบทอรคและแรงลพธทกระทากบวงปดแตละวงจากมากไปนอย
สนามแมเหลกจากกระแสไฟฟาในลวดตวนา เมอมกระแสไฟฟาในเสนลวดตวนาจะทาใหเกดสนามแมเหลกได สนามแมเหลกทเกดขนจะม
ทศตามกฎมอขวาเมอใหนวโปงแทนทศการไหลของกระแสไฟฟา นวทงสแทนทศของสนามแมเหลกทวนรอบเสนลวดตวนา ทงนขนาดของสนามแมเหลกและทศทางสามารถหาไดจากกฎของ บโอต-ซาวารต
(a) (b) (c)
I
μ
A
รป 8 ทศของโมเมนตแมเหลกตามกฎมอขวา [1]
รป 9 รปประกอบคาถามทดสอบ [1]
I
B
รป 10 ทศของสนามแมเหลกตามกฎมอขวา [1]
54 สนามแมเหลก
กฎของบโอต-ซาวารต (The Biot–Savart Law) อธบายการเกดสนามแมเหลกเนองจากกระแสไฟฟา ( I ) โดยสนามแมเหลกแปรผกผนกบ
ระยะทาง ( r ) จากสวนของตวนาทมกระแสไฟฟาไปยงจดทตองการทราบคาสนามแมเหลก และสนามแมเหลกขนกบความเขมของกระแสไฟฟาและขนาด (เชน ความยาว หรอรปราง) ของตวนา ทงนตนกาเนดของสนามแมเหลกคอกระแสไฟฟาทอย ในเสนลวด ดงนน สงททาให เกดสนามแมเหลกคอสวนของเสนลวดสน ๆ ( ds ) ทมกระแสไฟฟา I ตนกาเนดของสนามจงเกดจากปรมาณ
I ds ซงเหมอนเปนสงททาใหเกดสนามแมเหลกปรมาณ dB
0
2
´=
4
ˆI dd
r
s rB (4.10)
จะเหนวาสมการนอธบายความสมพนธของสงททาใหเกดสนาม ( I ds ) กบสนามแมเหลกทลดลง
ตามระยะทางกาลงสอง โดยคา 0 เปนคาคงตวทอธบายลกษณะของตวกลางซงในทนเปนสญญากาศ เรยกคานวาสภาพซมซาบของตวกลางสญญากาศ (permeability of free space) มคาเทากบ -74 ´10 ⋅T m A ทศของสนามแมเหลกเปนไปตามกฎมอขวา หาไดจากการคณแบบเวกเตอรระหวางทศทางการไหลของกระแสไฟฟากบเวกเตอรทชจากจดกาเนดกระแสไฟฟาไปยงจดทตองการหาสนามแมเหลก ในการหาสนามแมเหลกทเกดจากวตถทมรปราง (เชน เสนลวด วตถทเปนระนาบหรอเปนกอน) จาเปนตองรวมผลของสนามทเกดจากสวนกาเนดทมกระแสไฟฟาหรอจดกาเนดสนามทงหมด ดงนน
ˆI d
r
0
2
´=
4óõ
s rB
(4.11)
ทดสอบ จงเรยงลาดบขนาดของสนามแมเหลกเนองจากอทธพลของเสนลวดตวนาสวนสน ๆ ds ทจด A B และ C จากมากไปนอย
ตวอยาง สนามแมเหลกเนองจากกระแสไฟฟาในเสนลวดตวนา หาสนามแมเหลกทจด P เนองจากลวดยาววางตวบนแกน x และมกระแสไฟฟา I วธทา หาขนาดและทศทางของสนามแมเหลกจากกฎของบโอต-ซาวารต
A
B C
ds
I
O Ix
yP
ar
r
dsx
d dx=s
รป 12 รปประกอบตวอยาง [1]
รป 11 รปประกอบคาถามทดสอบ [1]
55สนามแมเหลก
หาสนามแมเหลกทจด P จากผลรวมของสนามแมเหลกทเกดจากกระแสในเสนลวดสวนสนสน ds ททาใหเกดสนามแมเหลกขนาด
dB
´=
0
2
ˆ
4
I dd
r
s rB
เนองจากสนามแมเหลกมทงขนาดและทศทาง เพอความสะดวกควรจะพจารณาทศทางของสนามแมเหลกกอน แลวคอยหาขนาดของสนามแมเหลก พจารณาทศทางของสนามแมเหลกตามกฎมอขวาโดยใหนวทงสชไปทางทศของ ds แลวพบนวทงสไปยงทศทชจากสวนของเสนลวดไปยงจดทจะหาสนาม P จะไดทศของสนามแมเหลกมทศตามนวโปงซงชออกจากหนากระดาษใหเปนทศ k และปรมาณ ˆI d ´s r
มขนาดเทากบ sinI ds เขยนสมการใหมไดเปน
0
2
sin
4
I dsdB
r
=
จะเหนวา ds dx= เปนระยะสน ๆ บนแกน x ซงแตละสวนสน ๆ นจะใหคา r และ ทตางกนออกไปตลอดความยาวเสนลวด ดงนนในการอนทเกรตเพอหาสนามแมเหลกรวมทเกดขนทจด P จาเปนตองเปลยนตวแปรในการอนทเกรตใหสอดคลองกน เพอความสะดวกจะเปลยนตวแปรใหอยในรปของมม ผานความสมพนธทเกดจากรปสามเหลยมทมดานยาว x r และ a ดงน
sin
ar
=
และ
1
2 2
2
2 2
2
tan
(tan )
(tan ) sec
cos 1
sin cos
sin
ax
dxa
d
a
a
adx d
-
-
=-
=-
=
=
=
ซงตดลบเพราะ x มคาเปนลบ จะได
20 sin sin
4
I adB
=2 2sina
0 sin4
d
Id
a
=
รวมสนามแมเหลกจากสวนสน ๆ ตลอดความยาวลวดโดยเรมตงแตจดปลายทมม 1
ถงมม 2
2
1
2
1
0
0
01 2
sin4
( cos )4
(cos cos )4
IB d
a
I
a
IB
a
=
= -
= -
óôõ
1
2
P
รป 13 แสดงมมจากผลเฉลย
56 สนามแมเหลก
ถาลวดยาวมากจะไดสนามแมเหลกเปน
0
0 0
(cos0 cos )4
(2)4 2
IB
a
I I
a a
= -
= =
ตวอยาง สนามแมเหลกเนองจากกระแสไฟฟาในเสนลวดตวนาทเปนสวนโคงของวงกลม หาสนามแมเหลกทจด O เนองจากกระแสไฟฟา I ในลวดตวนาทเปนสวนโคงของวงกลมรศม R และรองรบมม วธทา หาขนาดและทศทางของสนามแมเหลกจากกฎของบโอต-ซาวารต
หาสนามแมเหลกทจด O จากผลรวมของสนามแมเหลกทเกดจากกระแสในเสนลวดสวนสน สน ds ททาใหเกดสนามแมเหลกขนาด
dB
´=
0
2
ˆ
4
I dd
r
s rB
เนองจากสนามแมเหลกมทงขนาดและทศทาง เพอความสะดวกควรจะพจารณาทศทางของสนามแมเหลกกอน แลวคอยหาขนาดของสนามแมเหลก จากรปจะแบงเสนลวดตวนาได 3 สวน คอ สวนของเสนตรง A A¢ สวนโคง AC และสวนของเสนตรง CC¢ จะเหนวาสวนของเสนตรงทง 2 สวนจะไมทาใหเกดสนามแมเหลกทจด O เนองจากทศของ ds กบ r อยในแนวเดยวกน ดงนนสนามแมเหลกเกดจากสวนโคงเทานน พจารณาทศทางของสนามแมเหลกตามกฎมอขวาโดยใหนวทงสชไปทางทศของ ds แลวพบนวทงสไปยงทศทชจากสวนของเสนลวดไปยงจดทจะหาสนาม O จะไดทศของสนามแมเหลกมทศตามนวโปงซงชเขาหนากระดาษ และปรมาณ ˆI d ´s r
มขนาดเทากบ sin 90I ds ตลอดสวนโคงเขยนสมการใหมไดเปน
0
24
I dsdB
r
=
จะเหนวา ds เปนระยะสน ๆ บนสวนโคง AC ซงแตละสวนสน ๆ นจะหางจากจด O เปนระยะ R ทงหมด ดงนนอนทเกรตหาสนามแมเหลกรวมทจด O ได
02
02
0 02
4
4
( )44
C
A
C
A
I dsB
R
Ids
R
I IR
RR
=
=
= =
óôõ
ò
O
R
R
A
A¢
CC ¢
dsr
I
รป 14 รปประกอบตวอยาง [1]
57สนามแมเหลก
เมอความยาวของสวนโคงของวงกลม AC R= หาไดจากผลคณของรศมวงกลมกบมมทรองรบ ถาสวนโคงครบรอบวงกลมพอด จะไดสนามแมเหลกเนองจากกระแสไฟฟาในเสนลวดวงกลม
เปน
0
0
0
4
(2 )4
2
IB
R
I
R
I
R
=
=
=
ตวอยาง สนามแมเหลกเนองจากกระแสไฟฟาในเสนลวดตวนาวงกลม หาสนามแมเหลกทจด P เนองจากกระแสไฟฟา I ในลวดตวนาทเปนวงกลมรศม R และอยหางจากจดศนยกลางวงกลมเปนระยะ x ดงรป
วธทา หาขนาดและทศทางของสนามแมเหลกจากกฎของบโอต-ซาวารต หาสนามแมเหลกทจด P จากผลรวมของสนามแมเหลกทเกดจากกระแสในเสนลวดสวนสน ๆ
ds ททาใหเกดสนามแมเหลกขนาด
dB
´=
0
2
ˆ
4
I dd
r
s rB
เนองจากสนามแมเหลกมทงขนาดและทศทาง เพอความสะดวกควรจะพจารณาทศทางของสนามแมเหลกกอนแลวคอยหาขนาดของสนามแมเหลก จากรปจะเหนวาทกสวนสน ๆ ds ทามม 90 กบเวกเตอร r ทชจากสวน ds ไปยงจด P ดงนนขนาดของสนามแมเหลกเนองจากสวน ds เทากบ
024
I dsdB
r
=
พจารณาสนามแมเหลกเนองจากสวน ds ตลอดแนววงกลมแมวาขนาดของแตละสวนจะเทากนแตทศทางของสนามแมเหลก dB
จะทามม กบแนวแกน x เมอแยกองคประกอบของสนาม
ออกเปนสองแนวทตงฉากกนจะไดองคประกอบ x
dB
cos
xdB dB
RdBr
=
=
และ R
dB จะเหนวาทกสวนสน ๆ ds ตลอดแนววงกลมจะมองคประกอบ x
dB ไปทางเดยวกน แตองคประกอบ
RdB ทอยในระนาบ yz จะกระจายออกตามแนวรศมรอบจด P ซงหกลางกน
หมดพอด ดงนนสนามแมเหลกทจด P จะมทศไปทางแกน x เนองจากการรวมองคประกอบ
xdB ของทกสวน ds จนครบรอบวงกลม
y
z
x
dBR
dB
xdB
RO
rds
PI
r
x
รป 15 รปประกอบตวอยาง [1]
58 สนามแมเหลก
x
I RB ds
r r
0
2
1=
4óôõ
จะเหนวาทกสวนสน ๆ ds อยหางจากจดศนยกลางของวงกลมเปนระยะ R และหางจากจด P เปนระยะ ( )r x R 1 22 2= + เหมอนกนตลอดเสนรอบวงกลม ดงนน
x
IRB ds
r
0
3=4 ò
ผลรวมของสวนสน ๆ ds รอบวงกลม ds R= 2ò คอเสนรอบวงของวงกลมรศม R
( )
( )
x
P
IRB R
r
IR
r
IRB
x R
03
20
3
20
3 22 2
= 24
=2
=2 +
กฎของแอมแปร (Ampere's Law) ใชหาความสมพนธระหวางกระแสไฟฟากบสนามแมเหลก โดยผลรวมของผลคณระหวาง
สนามแมเหลก B ตามแนวเสนทางปดสมมต ทวนรอบลวดตวนา ขนกบกระแสไฟฟา I ในลวดตวนา
B I 0=å (4.12)
d I0⋅ =ò B s (4.13)
ตวอยาง สนามแมเหลกเนองจากกระแสไฟฟาในเสนลวดตวนาทยาวมาก หาสนามแมเหลกทระยะหาง a เนองจากกระแสไฟฟา I ในลวดตวนาทยาวมาก (ความยาวของเสนลวดมากกวาระยะหาง a มาก) วธทา หาขนาดและทศทางของสนามแมเหลกจากกฎของแอมแปร
การใชกฎของแอมแปรจาเปนตองสมมตเสนทางปดทวนรอบทางเดนของกระแสไฟฟา ในระบบลวดตวนาเสนตรงทยาวมากสนามแมเหลกของจดทอยหางจากเสนลวดเปนระยะทางเทากนยอมมคณสมบตเหมอนกน ดงนนขนาดของสนามแมเหลกทระยะหาง a รอบเสนลวดจะตองเทากน (มสมมาตรแบบวงกลม) รอบเสนลวด เมอพจารณาทศทางของสนามแมเหลกจากกฎมอขวาโดยใหนวโปงแทนทศของกระแสไฟฟา นวทงสแทนทศของสนามแมเหลกทวนเปนวงกลมรอบเสนลวดตวนา ดงนนการหาสนามแมเหลกของระบบจะงายขนถากาหนดเสนทางปดเปนวงกลมรศม a โดยใหลวดตวนาอยทจดศนยกลางของวงกลมดงรป จะเหนวาสนามแมเหลกจะมขนาดคงตวและมทศเดยวกบทศของเสนสมผสตลอดเสนทางปดวงกลมรศม a รอบเสนลวด จะได
d I
Bds I
B ds I
0
0
0
⋅ =
=
=
òòò
B s
ผลรวมของสวนสนสนตลอดเสนทางปดรศม a จะไดเสนรอบวงของวงกลมเปน a2 ดงนน
( )B a I
IB
a
0
0
2 =
=2
สนามแมเหลกทวนรอบเสนลวดตวนาทระยะหาง a เทากบ I a 0 2
I เสนทางปดใดใด
B
B
รป 16 เสนทางปดใดใดเพอใชหาสนามแมเหลกในแนวเสนสมผส [2]
Ba
I
รป 17 รปประกอบตวอยาง [2]
59สนามแมเหลก
ทดสอบ เรยงลาดบขนาดของ d⋅ò B s ในวงปด a , b , c , d จากนอยไปมาก
ตวอยาง สนามแมเหลกเนองจากกระแสไฟฟาในเสนลวดตวนาทยาวมาก เสนลวดยาวมกระแสไฟฟา .5 00 A จงหาคาสนามแมเหลกทงขนาดและทศทางทเกดจากเสนลวดนทระยะหาง .4 00 mm วธทา หาขนาดและทศทางของสนามแมเหลกจากกฎของแอมแปร
สนามแมเหลกเนองจากเสนลวดยาวจะมสมมาตรในแนวรศม ขนาดของสนามแมเหลกทระยะหาง r = .4 00 mm รอบเสนลวดจะเทากน โดยมสนามแมเหลกมทศวนเปนวงกลมรอบเสนลวดตวนา กาหนดใหเสนทางปดเปนวงกลมรศม r โดยใหลวดตวนาอยทจดศนยกลางของวงกลม จะได
d I
B ds I
0
0
⋅ =
=
òò
B s
ผลรวมของสวนสนสนตลอดเสนทางปดรศม r จะไดเสนรอบวงของวงกลมเปน r2 ดงนน
( )B r I
IB
r
0
0
2 =
=2
สนามแมเหลกทวนรอบเสนลวดตวนาทมกระแสไฟฟา .5 00 A ทระยะหาง .4 00 mm เทากบ
( ) .
( . )
. T
IB
r
0
-7
-3
-4
=24 ´10 ´5 00
=2 ´ 4 00´10
= 2 50´10
ตวอยาง สนามแมเหลกในเสนลวด เสนลวดยาวรศม R มกระแสไฟฟา I จงหาคาสนามแมเหลกทงขนาดและทศทางทเกดจากเสนลวดนทระยะตาง ๆ r วธทา หาขนาดและทศทางของสนามแมเหลกจากกฎของแอมแปร
a
b
c
dA1 A5
A2
a
b
c
d
I
R
rds
21
รป 18 รปประกอบตวอยาง [1]
60 สนามแมเหลก
สนามแมเหลกจากเสนลวดมสมมาตรในแนวรศม และมทศวนเปนวงกลมรอบทศการไหลของกระแสไฟฟาทลอมรอบภายในวงปด
inI กาหนดใหเสนทางปดเปนวงกลมรศม r โดยใหลวด
ตวนาอยทจดศนยกลางของวงกลม จะได
in
in
d I
B ds I
0
0
⋅ =
=
òò
B s
ผลรวมของสวนสนสนตลอดเสนทางปดรศม r จะไดเสนรอบวงของวงกลมเปน r2 ดงนน
in
in
( )B r I
IB
r
0
0
2 =
=2
เนองจากเสนลวดมขนาดรศม R เพอความสะดวกควรแบงบรเวณทพจารณาสนามแมเหลกเปนสองสวนคอสวนท 1 บรเวณภายนอกเสนลวด (R r£ ) และสวนท 2 บรเวณภายในเสนลวด (
r R0< £ ) ในบรเวณท 2 ( r R0< £ ) วงปดจะมขนาดเลกกวารศม R กระแสไฟฟาทลอมรอบดวยวง
ปด inI จะนอยกวากระแสไฟฟาทงหมด I ทผานพนทหนาตดของเสนลวด ถาประมาณวาความ
หนาแนนของกระแสไฟฟาสมาเสมอตลอดพนทหนาตด R 2 ของเสนลวดรศม R กระแสไฟฟา
inI ทอยภายในวงปดรศม r ซงมพนทหนาตดเปน r 2 จะมเทากบ
in
r rI I I
R R
2 2
2 2
æ ö÷ç ÷= =ç ÷ç ÷çè ø
ดงนนสนามแมเหลกในบรเวณ r R0< £ มทศวนทวนเขมนาฬกาและมขนาด
inI
Br
I r
r R
IB r
R
0
20
2
02
=2
æ ö÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç2 è øæ ö÷ç ÷=ç ÷ç ÷2è ø
ในบรเวณท 1 (R r£ ) วงปดจะทลอมรอบเสนลวดทมกระแสไฟฟา I ดงนนกระแสไฟฟาทอยภายในวงปด
inI I= จะไดสนามแมเหลกมทศวนทวนเขมนาฬกาและมขนาด
inI I
Br r
0 0= =2 2
ลวดโซลนอยด โซลนอยดไดจากการพนลวดหลาย ๆ รอบ N ให เปนเกลยวคลายขดสปรง ทาให
สนามแมเหลกภายในขดโซลนอยดมความสมาเสมอและมความเขมสงเมอมกระแสไฟฟา I ในเสนลวด โดยทวไปลวดทพนเปนขดสปรงจะอยชดกนมาก รศมของขดโซลนอยดนอยกวาความยาวของโซลนอยดมาก การหาคาสนามแมเหลกจากโซลนอยดจงพจารณาไดจากการรวมสนามแมเหลกทเกดจากลวดวงปดหลายวงซอนกน
พจารณาภาคตดขวางของโซลนอยดจะเหนวาทางดานทกระแสไฟฟาพงออก สนามแมเหลกทางซายของโซลนอยมทศลง สวนภายในแกนโซลนอยดและดานขวามทศขน เมอพจารณาดานทกระแสไฟฟาพงเขา สนามแมเหลกทางขวาของโซลนอยมทศลง สวนภายในแกนโซลนอยดและดานซายมทศขน จะเหนวาสนามแมเหลกภายในโซลนอยดจะมความเขมสงเนองจากสวนของกระแสทพงออกและพงเขาเสรมกน แตบรเวณภายนอกโซลนอยดจะมสนามแมเหลกออนมากเพราะสนามแมเหลกจากสวนของกระแสทพงออกและพงเขาหกลางกน เสนสนามแมเหลกของโซล
B
w
1
2
3
4
รป 19 การหาสนามแมเหลกในลวดโซลนอยดโดยใชกฎของแอมแปร [1]
61สนามแมเหลก
นอยดจงมลกษณะดงรป เมอใชกฎของแอมแปรหาสนามแมเหลกโดยสรางวงปดสเหลยมดงรป แบงไดเปน 4 บรเวณ
in
in
I d
I d d d d
0
0 1 2 3 41 2 3 4
= ⋅
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
òò ò ò ò
B s
B s B s B s B s
จะเหนวาวงปดกวาง w ยาว ลอมรอบเสนลวด N เสน มจานวนขดตอความยาวเปน n N= มกระแสไฟฟา I ดงนน
inI NI= พจารณา d⋅B s
ในแตละสวนตลอดเสนทางปดในทศตามเขมนาฬกา เสนทางท 3 เปนศนยเนองจากสนามแมเหลกภายนอกโซลนอยดมคานอยมาก B3 = 0 เสนทางท 2 และ 4 เปนศนยเนองจากทศของสนามแมเหลกในบรเวณนตงฉากกบเสนทาง เสนทางท 1 สนามแมเหลกมขนาดสมาเสมอและอยในแนวเดยวกบเสนทาง ดงนน
ind I
B ds NI
B ds NI
B NI
NB I
1 01
1 01
1 01
1 0
1 0
⋅ =
=
=
=
=
ò
ò
ò
B s
NB I nI 0 0= =
(4.14)
สนามแมเหลกภายในโซลนอยดขนกบจานวนรอบในการพนและสงทเปนแกนของโซลนอยด ซงเปนสญญากาศ ( 0 ) ถาใชวสดอนทมคาสภาพซมซาบของตวกลาง (permeability) มากกวาสญญากาศจะทาใหสนามแมเหลกมความเขมมากขนโดยใชกระแสไฟฟาเทาเดม
แรงแมเหลกระหวางลวดตวนาสองเสนทมกระแสไฟฟา ลวดตวนาทมกระแสไฟฟาจะสงแรงกระทาตอกนไดเนองจากผลของสนามแมเหลกทเกดจาก
กระแสไฟฟา พจารณาเสนลวดสองเสนหางกน a มกระแสไฟฟาในเสนท 1 เปน I1 ไปทางขวาและเสนท 2 เปน I2 ไปทางขวา ถาคดวากระแสไฟฟาในเสนท 2 ทาใหเกดสนามแมเหลก 2B
ขนาด
IB
a
0 2
2 = 2
มทศพงออกจากระนาบดงรปโดยใหนวโปงแทนทศของกระแสนวทงสเปนทศของสนามแมเหลก แลวกระแสไฟฟาในเสนท 1 อยภายใตสนามแมเหลกนทาใหเกดแรงแมเหลกกระทากบเสนลวดท 1 มทศเขาหาเสนลวดท 2 จาก F I= ´l B
โดยใหนวทงสชไปทางทศของกระแสไฟฟา I1 แลวพบ
ไปหาทศของสนามแมเหลก 2B
นวโปงแทนผลลพธทชลง ขนาดของแรงทเกดขนเปน
F I B
I I
aI IF
a
1 2
0 1 2
0 1 2
=
=2
=2
เมอกระแสไฟฟาไปในทศเดยวกนแรงทเกดขนจะดดเสนลวดทงสองเขาหากน ถาใหกระแสไฟฟาสวนทางกนแรงทเกดขนจะผลกเสนลวดออกจากกน
รป 20 ภาพจาลองเสนสนามแมเหลกจากลวดโซลนอยด [copyright by Paul Nylander]
1
2a
a
I1
I2
2B
1F
รป 21 แรงแมเหลกระหวางลวดตวนาสองเสน [1]
62 สนามแมเหลก
ทดสอบ ถา . AI1 = 2 0 และ . AI2 = 6 0 แรงทกระทากบลวดเสนท 1 (F1 ) และเสนท 2 (F2 ) เปนอยางไร
(1) F F1 2= 3 (2). F F1 2= (3) F F1 2= 3
ฟลกซแมเหลก ฟลกซแมเหลกเปนปรมาณของสนามแมเหลกททะลผานและตงฉากกบพนท มนยามคลายคลง
กบฟลกซไฟฟาในหวขอทผานมา โดย
Bd = ⋅ò B A
T m Wb2é ù⋅ =ê úë û (4.15)
A
มทศตามเวกเตอรปกตทตงฉากกบระนาบของพนทฟลกซแมเหลกมหนวยเปนเวเบอร
63สนามแมเหลก
แบบฝกหด 1) แรงลอเรนซ (Lorentz force) อธบายแรงทเกดขนกบประจเนองจากสนามใดบาง และทศทางของแรงทกระทากบประจบวกและลบเนองจากสนามเปนอยางไร 2) โปรตอนเคลอนทไปทางทศตะวนออก พบวามแรงกระทาในทศขนไปบนฟา และเมอเคลอนทไปทางทศเหนอจะไมมแรงกระทา ถาสนามแมเหลกโลกทบรเวณนนมคา . T55 0
1) สนามแมเหลกโลกมทศใด (ตอบ ชไปทางทศเหนอ) 2) ถาโปรตอนเคลอนทไปในทศตะวนออกเฉยงใตทามม 120 กบทศเหนอดวยอตราเรว
. m s52 50´10 จะมแรงกระทาขนาดเทาใดและในทศทางใด (ตอบ . N-181 91´10 มทศขน)
3) ถาอเลกตรอนตวหนงเคลอนทไปทางทศตะวนตกดวยอตราเรว . m s52 50´10 จะมแรงกระทาขนาดเทาใดและในทศทางใด (ตอบ . N-182 20´10 มทศขน)
4) เปรยบเทยบขนาดของแรงทเกดขนกบแรงโนมถวงทกระทากบอเลกตรอน (มวลของอเลกตรอน . kg
em -31= 9 11´10 ) (ตอบ แรงแมเหลกมขนาดมากกวาแรงโนมถวง (
. N-308 93´10 ) ประมาณ 1110 เทา) 5) โดยทวไปเวลาเกดฟาผาจะมการเคลอนทของอเลกตรอนจานวนมากจากกอนเมฆสพนดน
ดงนนการเกดฟาผาบนโลก สายฟาจะเบยงเบนไปในทศทางใด (ตอบ ทศตะวนตก) 3) สายไฟฟามกระแสไฟฟา . A22 0 จากทศตะวนตกไปยงทศตะวนออก ถาบรเวณนมสนามแมเหลกโลกในแนวระดบและชจากทศใตไปยงทศเหนอขนาด . T-40 500´10
1) ขนาดและทศทางของแรงแมเหลกทกระทาบนสายไฟฟาในชวงความยาว . m36 0 เปนเทาใด กาหนดใหคาสภาพซมซาบทางแมเหลกของตวกลางเทากบ T m A -74 ´10 ⋅ (ตอบ . N-23 96´10 ทศขน)
2) แรงโนมถวงทกระทากบสายไฟฟาเสนเดยวกนนมขนาดเทาใด สมมตวาสายไฟทาจากทองแดงมพนทหนาตด . m-6 22 50´10 ความหนาแนนของทองแดงเทากบ . 38 92´10
kg m3 (ตอบ . N7 87 )
4) เสนลวดสองเสนแตละเสนมนาหนกตอความยาวเทากบ . N m-41 00´10 วางขนานกน เสนลางถกตรงไว ลวดเสนบนวางสงขนไป . m0 10 ในแนวดง ถากระแสไฟฟาทไหลในเสนลวดมขนาดเทากนแตมทศตรงขาม
1) แรงแมเหลกทกระทากบลวดเสนบนมทศใด (ตอบ มทศขน) 2) ถาผลรวมของแรงแมเหลกกบแรงโนมถวงทกระทาในลวดเสนบนเปนศนย จงหาขนาดของ
กระแสไฟฟาทไหลในเสนลวด (ตอบ . A7 07 )
5) กฎของบโอต-ซาวารต อธบายการเกดสนามแมเหลกเนองจากปรมาณใด และสนามแมเหลกทเกดขนมความสมพนธกบตนกาเนดสนามแมเหลกอยางไร 6) กฎของแอมแปรอธบายการเกดสนามแมเหลกเนองจากปรมาณใด เปรยบเทยบกบกฎของบโอต-ซาวารต และมความคลายคลงกบกฎของเกาสอยางไร
64 สนามแมเหลก
7) ขดลวดมลกษณะดงภาพ มกระแสไฟฟาสมาเสมอไหลผาน . A2 51 บรเวณทเปนสวนโคงมรศม R L= 2 และดาน . cmL=10 0 จงหาขนาดและทศทางของสนามแมเหลกทจด O (ตอบ . T30 0 มทศพงเขา)
L/2
L
I
I
R
8) ลวดตวนายาวมากจานวน 3 เสนตงฉากกบระนาบกระดาษมกระแสไฟฟาผานเสนละ . A5 00 มทศทางดงรป จงหาขนาดและทศทางของสนามแมเหลกทจด P ซงอยหางจากลวดทงสามเปนระยะ . cm5 00 (ตอบ . T44 7 มทศทามม .26 6 กบแกน y- )
9) สายเคเบลทมแกนรวมกนยาวอนนตและวางตวตงฉากกบระนาบกระดาษมกระแสไฟฟาไหลสมาเสมอ โดยลวดดานใน
in. AI =19 9 มทศพงออกและดานนอก
out. AI =1 99 มทศพง
เขา จงคานวณหาขนาดของสนามแมเหลก ณ ตาแหนงทหางจากแกนรวมของเคเบลดงน
1) R a< (ตอบ in
RI
R a
20
2
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç2 è ø มทศทวนเขมนาฬกา)
2) a R b< < (ตอบ inI
R
0
2 มทศทวนเขมนาฬกา)
3) b R c< < (ตอบ in out
( )R bI I
R c b
2 20
2 2
é ù-ê ú-ê ú2 -ë û มทศทวนเขมนาฬกาเมอผลลพธเปน
บวก)
4) c R< (ตอบ in out
( )I IR
0 -2
มทศทวนเขมนาฬกาเมอผลลพธเปนบวก)
a
b
c
+
P5cm
5cm
5cm+
