11 Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
5. GERİBİLDİRİMİN AVANTAJLARI: KURAMSAL İSPATLAR ÜZERİNDEN AÇIK ÇEVRİMİN
ELEŞTİRİSİ
Serhat YILMAZ, Kocaeli Üniversitesi Mühendislik Fakültesi
Elektronik ve Haberleşme Bölümü
22 Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
5. GERİBİLDİRİMİN AVANTAJLARI: KURAMSAL İSPATLAR ÜZERİNDEN AÇIK ÇEVRİMİN ELEŞTİRİSİ
Bu bölümde, geri bildirim bir sistemde oluşan istenmeyen etkileri azaltma veya ortadan kaldırmada ne kadar etkili olduğu, gerekli argümanlar kullanılarak ispatlanmaya ve Matlab’ta yapılan benzetim sonuçlarıyla da bunların doğruluğu gösterilmeye çalışılacaktır. İstediğimiz çıkış değeriyle gerçek çıkış arasındaki hata, sistemin içinde çoğunlukla ısınmalar, aşınmalar gibi istenmeyen durumlar yüzünden meydana parametre değişimlerine karşı duyarlılık yani bunlardan etkilenme, yine dışarıdan istemimiz dışında gelen bozucu etkiler, bu etkilerden bir kaçıdır.
33 Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
5.1. Geri Bildirimin Hatayı Azaltma Etkisi ( E(s): sistem hatası )
Hata, yani istenilen çıkış değeri ile gerçek çıkış değeri arasındaki fark;E(s)=Yistenen –Ygerçek = Yi(s)-G(s)R(s) olacaktır.
G(s)
Şekil 5.1 Açık Çevrim Bir Sistem
Y(s)=R(s) G(s)
R(s)
44 Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
Bu hatayı azaltmak mümkün mü? Geri bildirimli bir sistemde, R(s) istenen çıkış değeri (Yistenen ) , Y(s) ise gerçek çıkış değeridir (Yg(s) ).
Hata ; E(s)=R(s)-Y(s) olur.
G(s)
Y(s)=T(s)*R(s)
R(s)
H(s)
+ E(s) -
T(s)
Şekil 5.2 Geri bildirimli Sistem
55 Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
H(s)=1 ise olduğu için
Kapalı çevrimde hata G(s)’ten 1+G(s) kat daha az etkilenecektir. Özellikle G(s)>>1 olduğu durumlarda paydadaki 1’i ihmal edebiliriz.
Geri bildirimli sistemde zaten Yi(s)=R(s) olduğundan hata sıfıra çok yakın çıkacaktır ve G(s)’teki değişimlerden hemen hemen hiç etkilenmeyecektir.
)s(R.)s(G1
)s(G)s(T).s(R)s(Y
E(s)= Yistenen –Ygerçek = )()(1
)()( sR
sG
sGsYi
E(s)= Yistenen –Ygerçek
=
)s(R)s(G1
)s(G)s(Yi )s(R)s(Yi
66 Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
Eğer geribildirim elemanının da H(s) gibi bir transfer fonksiyonu varsa;
5.2. Kontrol Sisteminin Parametre Değişimlerine Duyarlılığı ve Geribildirimin Duyarlılık Üzerindeki Etkisi
ise )(.)()(1
)()( sR
sHsG
sGsY
1)s(H)s(G
)s(R)s(H
1)s(R.
)s(H)s(G
)s(G)s(Y
77 Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
Açık çevrim sistemlerde sistemin transfer fonksiyonunda
)s(G gibi bir değişiklik olursa;
kadar değişir. (Açık çevrim sistemde)
Kapalı çevrim sistemde;
)s(R).s(G)s(Y
)s(Y)s(Y)s(Y)s(Y
s(Y)s(Y)s(Y
)s(G1
)s(R).s(G
)s(G)s(G1
)s(R.)s(G)s(G
)s(R
)s(G1
)s(G)s(R
)s(G1)s(G)s(G1
)s(G).s(G)s(G)s(G)s(G)s(G)s(G)s(G)s(G)s(Y
2
22
88 Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
Sistemin duyarlılık (Sensitivity) tanımı: : Tüm sistem içindeki açık çevrim bir sürecin transfer fonksiyonunda meydana gelen bir değişimin tüm sistemin transfer fonksiyonunda meydana getirdiği değişmeye etkisini yüzde olarak gösteren orandır.
(Genel formül)
(Duyarlılık formülü)
T
G
G
T
GG
TT
GG
TTST
G
Gln
Tln
GG
TT
99 Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
5.2.1. Açık çevrim sistemde duyarlılık T(s)=G(s)’tir.
Sistem duyarlılığı %100 oranında etkilenir.
5.2.2. Kapalı çevrim sistemde duyarlılık
Duyarlılık (1+G(s)) kat küçülür.
1T
G
G
TST
G
)(1
)()(
sG
sGsT
22 )s(G1
1
)s(G1
)s(G)s(G1T
G
T
)s(G1
1))s(G1(*
)s(G1
1S
2TG
G1
G1
GG
T
G
1010 Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
Eğer geribildirim transfer fonksiyonu varsa (H(s));
G(s)H(s)>>1 ise geri bildirimde meydana gelen değişim tüm sistemi %100 etkiler.
T
H
H
T
H
T
HH
TT
HH
TTS T
H
ln
ln
100%)()(1
)()(
)()(1)(
)(
)()(1
)()(02
sHsG
sHsG
sHsGsG
sH
sHsG
sGsG
H
T
1111 Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
Eğer değişim G(s)’te değil de G(s)’in içinde bir α parametresinde ise bunun tüm sisteme etkisi, zincirleme olarak, α’nın G(s)’te meydana getirdiği değişimin T(s)’e etkisi olarak yorumlanabilir.
Şekil 5.3 G(s)’ i bir α parametresiyle değişen geribildirimli sistem
G(s)
α
Y(s)
R(s)
H(s)
+ -
1212 Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
T(s) bir α ya bağlıysa denklem şu hale gelir.
Pay ve payda eşitse duyarlılık sıfır olur.
GTG
T SSS
)(
)(
)()(1
)()(
spayda
spay
sHsG
sGsT
),(
),(
)()(1
)(),(
spayda
spay
sHsG
sGsT
ln
)),(ln(
ln
)),(ln(
ln
),(),(ln
)()(1
)(
spaydaspayspaydaspay
sHsG
sGS T
paydapayT SSS
1313 Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
Örnek 5.1: Çıkışla giriş arasındaki gerilim bağıntısı V0 =-Ka.Vin olan geribildirimsiz sistemde transfer fonksiyonu doğrudan T=Ka ‘dır. Aynı sistemi kazancı dışardan potla (Toplam değeri R1+R2= 500K’lık pot) değiştirilebilen bir geribildirimli yükselteç haline dönüştürürsek;
Kazanç - K a
+ V i -
+ V o -
Şekil.5.4. Açık Çevrim Sistem
Kazanç - K a
+ V i -
Pot =500K R 1
+ V o -
R 2
Şekil.5.4. (devam) Kapalı Çevrim Sistem
G(s)
Y(s)
R(s)
β
+ +
Şekil.2.4. (devam) Kapalı Çevrim Sistem
1414 Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
Potansiyometrenin geri bildirim kazancı
,
Bu durumda
Kapalı çevrim sistemin Ka’daki değişimlere duyarlılığı;
Ka’yı büyük seçersek ona karşılık duyarlılık düşük olacaktır. β=0.1’e ayarlayalım. Eğer Ka kazancını da 10000 seçersek ;
21
2
RR
R
.K1
K)s(T
a
a
aaa
a2
a
aaa
a
TK K1
1
K1K
K
K1
)K(K1
T
K
K
TS
a
3
4TK 10
1.0101
1S
a
G(s)
Y(s)
R(s)
β
+ +
Şekil.2.4. (devam) Kapalı Çevrim Sistem
1515 Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
5.3. Geribildirimin geçici ve kalıcı durum yanıtları üzerindeki etkisi
Açık çevrim bir sistemde istenilen sonuç alınamıyorsa ya bu sistem değiştirilir, ya önüne bir denetleyici konulup parametreleriyle oynanır ya da geri beslemeli hale getirilir.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
zaman(sn)
tekerinhiz
i(ra
d/s
)
Geçici durum yanıtı
Kalıcı durum yanıtı
Şekil 5.5. Kontrol Sistemlerinin Kalıcı ve Geçici Durum Yanıtı
Şekil 5.6. Açık Çevrim sistemde yapılabilecek iyileştirmeler
+
-
sGD R(s) sG Y(s); istenen değeri vermiyorsa
sH
1. Sistem değiştirilebilir
2. Önüne denetleyici konulabilir
3. Son çare: Geri bildirim
1616 Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
Örnek.5.2. Endüvi (armatür) denetimli bir motorun çıkışında hızının zamana göre değişimini açık ve kapalı kontrol sistemleri açısından incelemek istiyoruz.
Çözüm: a) Öncelikle açık çevrim sistemin girişinin Laplace
dönüşümü bulunur. Va(s)= basamak girişidir. Bu gerilim
motora girmektedir. 3. bölümde sistemin blok şemasını ve giriş gerilimiyle çıkış hızı arasındaki yaklaşık transfer fonksiyonunu bulmuştuk.
Yük J=Eylemsizlik b=sürtünme
w ,
ia Armatür Akımı
Va=k2E
Ra
K2
E
Vb
+
- Va
Şekil 5.7. Açık çevrim hız kontrol sistemi
s
Ek 2
1717 Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
Şekil 5.8. Açık çevrim endüvi denetimli motorun blok diyagramı ile gösterimi
ve
motorun transfer fonksiyonu
Giriş Çıkış
Va(s)
aa RsL
Km
Armatür Tm(s) =TL(s)
bJs
1
Yük Hız w(s)
s
1 Konum
(s)
bK
+ -
G1(s)= sV
(s)
a
= 1s
K1
1
s
K1
=
bR KK
JR
abm
a
K1= bR KK
K
abm
m
=
1818 Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
Bu durumda Va(s)= basamak girişi uygulandığında
w(s) çıkış yanıtımız :
kısmi kesirlere ayrılırsa
bulunur.
s
Ek 2
)s(w G(s)Va(s)
1
s
/K1
s
Ek 2=
1
s
/K1
s
Ek 2
s
B1
s
A
=
A= (
1
s )* w(s)
1s
= (1
s )
1
s
/K1
s
Ek 2
1s
A= EkKEk/K 2121
1919 Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
Sonuç olarak
Sistemin basamak yanıtı: t=0’da değeri 1-1=0 olan, t sonsuza gittikçe değeri 1-0=1’e yaklaşan bir davranış gösterecektir.
)s(w EkK 21
1
s
1
s
1
w(t)= EkK 21 ( 1 - e /t)
B= (s) w(s)0s = (s)
1
s
/K1
s
Ek 20s EkK 21=
2020 Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
b) Devreyi takometre ile kapalı çevrim hale getirdikten sonra yine basamak yanıtına bakalım.
Kapalı çevrimde:
Şekil 5.9. Kapalı çevrim hale getirilmiş endüvi denetimli motorun blok diyagramı
R(s)=K2.E/s
Ka
Güç yükselteci
G(s)
Motor Hız(w(s))
Kt
+ -
Takometre
ps
KK
KKK1s
KK
K1s
KK1
1s
KK
K)s(GK1
)s(GK)s(T
)s(R
)s(w 11a
p
1
t1a
1
11a
t1
11a
1
11a
ta
a
2121 Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
( Yükseltecin kazancı Ka ve motora ait K1 katsayıları >>1)
1
t1a KKK1p
1
t1a KKK
ps
B
s
A
s
EK
ps
KK)s(R)s(T)s(w 211a
t
22
1
1ta1
11a2
11a211a
0s K
EKEK
KKK
KKEK
p
KK
s
EK
p0
KKs|)s(swA
t
22
1
1ta
11a211a
ps K
EKEK
KKKKK
p
EK
ps
KKps|)s(wpsB
2222 Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
0 5 10 150
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t
w(t) : Kapalı çevrim
Şekil.5.10. Sistemin Açık ve Kapalı Çevrim Zaman Yanıtı
w(t) : Açık çevrim
Açık çevrim ve Kapalı çevrim basamak yanıtını MATLAB’ta çizdirelim.Şekilden de görüldüğü gibi, takometre eklenerek sistemde bir geri bildirimin oluşturulması, geçici durum yanıtında bir iyileşmeye neden olmuş, sistemin istenen çıkışa çabukulaşmasında ve istenen değerle gerçek değer
arasındaki hatayı azaltmasında etkin rol oynamıştır.
ps
1
s
1
K
EK)s(w
t
2
1
1
1)( 2 t
KKK
t
ta
eK
EKtw
2323 Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
Kalıcı durum yanıtı ve kalıcı durum hatasına etkisi: Kalıcı durum hatası, sistemin geçici durum yanıtı yatıştıktan sonra sürekli durum boyunca gözlenen sabit hatadır. Kapalı çevrim bir sistemde E(s)= R(s)-Y(s) olduğuna göre,
Birim g.b. sistemlerde H(s)=1
olduğundan hata R(s) girişinin ne olduğuna göre değişir.
)s(R))s(H)s(G1
)s(G1()s(R))s(T1()s(R)s(T)s(R
)s(R)s(H)s(G1
)s(G)s(H)s(G1)s(R)
)s(H)s(G1
)s(G1(
E(s)= )()(1
1sR
sG
bulunur.
Son değer teoremine göre e() = telimt
sEslim0s
=
2424 Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
Örnek5.3. Transfer fonksiyonu, olan bir su seviyesi
kontrol sürecini ele alalım. Sistemin basamak girişine yanıtında meydana gelecek kalıcı durum hatası;
Örneğin K=100’e ayarlanmış ise sistemin kalıcı durum
) = 101
1
hatası e(
Diyelim ki K, Mars yüzeyinde çalışan bir robotun sürücü devresindeki bir pot ve değeri gece gündüz ısı farklılıklarından etkilenerek ayarlandığı değerden
(K
K= %10) kayarak 90 ohm oldu .
1s
K)s(G
e() = )0(G1
1
K1
1
10*
K1
1
=
2525 Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
Kazançtaki bu değişim açık çevrim sistemde doğrudan aynı oranda çıkışa yansıyacaktır.Açık çevrim sisteminin hatasındaki değişim e =0.1
Kapalı çevrimde ise kalıcı durum hatası e( ) = 91
1
olacaktır.
olacaktır.
Hatadaki değişim ise e101
1
91
1= - =0.0011
5.4. Geribildirimin Bozucu İşaretler Üzerindeki Etkisi
yani %0.11
Bir transistorün veya yükseltecin ürettiği gürültü, radar antenlerinin maruz kaldığı sert rüzgarlar, sistem üzerinde bozucu etki yaratırlar. Geri bildirimin en büyük avantajlarından biri bozucu işaretlerin sistem üzerindeki etkilerini azaltmasıdır.
2626 Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
Bir eskisine göre bir zorlanma göze çarpar. Açık ve kapalı çevrim kontrol sistemlerinin bozucu girişe yanıtını bulunuz.
Örnek.5.4. Çelik üretim sürecindeki motorlar, normal seyirlerinde dönerken (boşta çalışırken), çelik levha millerin arasına girdiğinde bir anda ani bir bozucu etkiyle karşılaşırlar. Motorlara ek bir eylemsizlik yükü binmiş gibi, dönüş hızında bir anlık bir yavaşlama, dönüşte az da olsa
Şekil.5.12. Armatür denetimli motor
( Kaynak: Dorf ve Bishop, 2005)
Taşıma Hattı
Çelik levha
Dönen Miller
Şekil.5.11. Haddehanedeki çelik levha üretim süreci
Giriş
TL(s) Va(s)
aa RsL
1
Armatür
Km
Motor Sabiti Ia(s) Tm(s) -
+
Td(s) ( Bozucu etki )
bJs
1
Yük Hız w(s)
0
bK
+ -
zıt emk
2727 Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
Çözüm: a) Td(s) basamak girişinin w(s) çıkış hızı üzerindeki azaltıcı etkisini (ya da bozucu etkinin neden olduğu hatayı ) görebilmek için diğer aralarındaki transfer fonksiyonunu bulmak gerekir.
Sistemin transfer fonksiyonu Mason kazanç formülünden;
Giriş
a
b m R
K K
T d (s) b Js
1
Yük Hız w(s)
-
-
+
Şekil.5.13 Bozucu Giriş-Çıkış Yanıtı İlişkisi (Açık Çevrim)
bJs
RKKbJs
bJs1
bJs
RKK
1
bJs1-
)s(T
)s(w
a
bm
a
bmd
abm R/KKbJs
1
=
2828 Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
basamak bozucu girişine sistemin yanıtı
E(s)=0-w(s)
Sürekli durumda bozucu etkiden kaynaklanan kalıcı durum hatası;
R(s)=0 iken eğer hala bir w(s) oluşuyorsa bu bozucu etkidendir.
s
B)s(Td
abm R/KKbJs
1
w(s)=s
B
E(s)= -w(s) = - abm R/KKbJs
1
s
B
e()= sEslim0s
slim0s s
B
R/KKbJs
1
abm
= abm R/KKb
B
=
2929 Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
b)
Şekil. 5.14. Geri bildirimli motor kontrol sistemi
Benzer şekilde geri bildirimli kontrol sistemini R(s)=wR(s)=0 için yeniden düzenleyelim:
a
m
R
K
Hız wY(s)
+ -
Denetleyici
Ka
Takometre Kt
wR(t)
+ -
Kb
Td(s)
bJ
1
s
Tm(s)
a
m R
K
Hız w Y (s)
- -
K t K a
K b
T d (s) b J
1
s
- +
Şekil. 5.15. Bozucu girişi ile çıkış arasındaki ilişki (R(s)=0)
3030 Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
Sistemin transfer fonksiyonu;
basamak bozucu girişine sistemin yanıtı;
‘dir.
atba
md KKKR
K
bJs
11
bJs1
)s(T
)s(w
atmbm
a
a
atmbm
a
atmbmKKKKKbJs
R-
RbJs
KKKKKbJs
bJs1-
RbJs
KKKKK1
bJs1-
s
B)s(Td
w(s)=atmbm
a
KKKKKbJs
R-
s
B
3131 Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
E(s)=0-w(s) E(s)= -w(s) =
Sürekli durumda bozucu etkiden kaynaklanan kalıcı durum hatası
Bu haliyle sonuçlara bakıldığında geribildirimin bozucu etkinin yarattığı hatayı azaltıp azaltmadığı anlaşılamayabilir.
atmbm
a
KKKKKbJs
R
s
B
e( )= sEslim0s
= slim0s
atmbm
a
KKKKKbJs
R
s
B
= atmbm
a
KKKKKb
BR
3232 Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
0 10 20 30 40 50 60-2
-1.8
-1.6
-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
Şekil.5.16. Bozucu giriş karşısında açık ve kapalı sistem hatalarının
zamana göre değişimi
Zamana göre her iki sistemin basamak yanıtları yandaki gibidir. Küçük olan kapalı çevrim hatasıdır. Açık çevrim ve kapalı çevrim sistemlerin hatalarını oranlar ve parametre değerlerini nicel olarak göz önüne alırsak
atmbm
a
abm
kapali
acik
KKKKKb
BRR/KKb
B
)(e
)(e
bma
atmbm
KKbR
KKKKKb
=
3333 Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
Tasarım Örneği: Manş Tünelinde Kullanılan Tünel Açma Makineleri Tünel açma makinesinin konum açısı kontrol modeli şekilde verilmiştir. Y(s) gerçek ilerleme yönü açısı, R(s) ise istenen açıdır. Karşılaşılan kaya kütleleri gibi yüklerin etkileri D(s) bozucu etkisi ile temsil edilmiştir. Tasarım hedefimiz, denetleyiciye ait uygun bir K kazancı seçmektir.
+ -
R(s) istenen açı
K+11s
Y (s)
gerçek açı Denetleyici
- +
s(s+1) 1
Makine
Bozucu etki D(s)
Şekil 5.17. Tünel Açma Makinesi Kontrol Sistemi
3434 Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
Çözüm: Bu iki girişe sistemin yanıtı Y(s) = T(s) R(s) + Td(s) D(s) ‘dir.
‘dir.
T(s)= 0)s(D)s(R
)s(Y =
1ss
1)s11K(1
1ss
1)s11K(
ss
s11Kssss
s11K
2
2
2
=
T(s)=Ks12s
s11K2
Td(s)= 0)s(R)s(D
)s(Y
1ss
1)s11K(1
1ss
1
= =
ss
s11Kssss
1
2
2
2
Ks12s
12
Td(s)= ‘dir.
3535 Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
Böylece
i) Bozucu D(s) girişinin çıkış üzerindeki etkisini azaltmak için K’yı büyük seçmeliyiz ( R(s)=0 ).
Sistemin r(t) birim basamak girişine yanıtı K kazancının büyük olmasından dolayı biraz salınımlı olacaktır.
( D(s) - işaretli bir engelleyici giriş)
Y(s) = Ks12s
s11K2
R(s) + Ks12s
12
D(s)
ii) D(s)=0 iken, K=100 için T(s)= 0)s(D)s(R
)s(Y =
100s12s
s111002
3636 Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
İki yanıtı da Matlab’ta görelim.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Şekil.5.18. K=100 için , basamak giriş ve basamak bozucu giriş yanıtları
3737 Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
Bozucunun makinenin yönü üzerinde yol açtığı hata gerçekten fazlasıyla küçük, ama istenen açıya ulaşırken meydana gelen salınımı biraz azaltmalıyız. K’yı 20 seçersek aşma oldukça azalacak, hata da %10’ların altında (%4) yani 0.04 civarında kalacaktır.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Şekil.5.19. K=20 için , basamak giriş ve basamak bozucu giriş yanıtları
3838 Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
Kapalı çevrim kontrol sisteminin ( T(s) ) makinedeki ve kontrolördeki (ileri yol G(s) ) değişimlere duyarlılığını ele alalım.
idi.
Buradan
Bir mekanik sistemdeki salınımlar gibi düşük frekanslar için s<1 ,
duyarlılık K 20 için TGS
K
s
çıkar. K arttıkça da sistemin duyarlılığı
azalır. Bu nedenle K=20 seçmek tüm ölçütler açısından ortak bir uygun değer olacaktır.
G(s)= 1ss
s11K
ss
s11K2
=
TGS =
T
G
G
T
)s(G1
1
)s(G)s(G1
)s(G*
)s(G1
1S
2TG
TGS =
ss
s11K1
1
2Ks12s
ss
s11Kss
ss2
2
2
2
=
3939 Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
Kaynaklar: 1) Dorf, R.,C., Bishop, R.,H., Modern Control Systems, Tenth Edition, Pearson Prentice Hall, 20052) Özdaş, M. N., Dinibütün, A. T., Kuzucu, A., Otomatik Kontrol Temelleri, Birsen Yayınevi, 19953)http://www.stanford.edu/~boyd/ee102/2nd_order.pdf4)ÇAPRAZ,S.,KOÜ. Müh .Fak. Elo ve Hab. Blm,Otomatik Kontrol Dersi Ödevi
4040 Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
Ek5.1. Çözümlü SorularÇS5.1. Ardışıl Tasarım Örneği: Disk Sürücüsü Okuma Sistemi (Dorf ve Bishop,2005)Hard disk sürücüsü, her türlü harekette, notbook’a ani şekilde bir şeyin çarpması gibi fiziksel şoklarda veya üzerinde bir parça değişimi yapıldıktan sonra bile hatasını tolore edip okuyucunun konumunu sağlıklı bir şekilde korumak ve okuma yapmak zorundadır. Tasarım sürecinin bu bölümle ilgili kısmı buna göre şekillenecektir. (Km=5, Lf = 1*10-3, J=1, b=20, Ka:10-1000, Rf=1, idi)
R(s) istenen kafakonumu
Hata
Ka
Yükselteç
ff
m
RsL
K
Sargılar V(s)
-
+
Tb(s)
bJss
1
Yük
Gerçek konum (s)
+
-
H(s)=1
Algılayıcı
Şekil.E5.1. Disk sürücüsü okuma sisteminin blok şema gösterimi (Dorf ve Bishop,2005)
4141 Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
Bozucu etki D(s) = 0 iken sistemin R(s)=0.1/s basamak girişine yanıtını inceleyelim. Sistemin transfer fonksiyonu;
maff2
f3
f
ma
KKbsRLJsRJsL
KK
=
T(s)=
bsJs
1
RsL
KK1
bsJs
1
RsL
KK
)s(R
)s(Y
2ff
ma
2ff
ma
ma2
ff
ma
KKbsJsRsL
KK
maf2
ff3
f
ma
KKbsRJsRbsLJsL
KK
)s(R
)s(Y
4242 Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
Ka’yı şimdilik 80 seçelim.
Program Sonuçları:
Transfer function:
400-------------------------------0.001 s^3 + s^2 + 20.02 s + 400
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12Step Response
Zaman (sn.) (sec)
y(t)
(ra
d.)
4343 Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
E(s)= R(s)-Y(s) = R(s) ( 1-T(s) ) = R(s)
maff
2f
3f
ma
KKbsRLJsRJsL
KK1= R(s)
maff2
f3
f
ff2
f3
f
KKbsRLJsRJsL
bsRLJsRJsL=s
1.0
e() = telimt
sEslim0s=
= slim0s
maff2
f3
f
ff2
f3
f
KKbsRLJsRJsL
bsRLJsRJsL
s
1.0
ma KK
0=0. =
4444 Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
Giriş, R(s)= 0 iken, D(s) = 0.1/s basamak bozucu girişine sistemin yanıtını inceleyelim. Sistemin transfer fonksiyonu
maff2
f3
f
ff
KKbsRLJsRJsL
RsL
)s(D
)s(Y
Td(s)=
bsJs
1
RsL
KK1
bsJs
1
)s(D
)s(Y
2ff
ma
2
bsJsRsL
KKbsJsRsLbsJs
1
2ff
ma2
ff
2
4545 Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
Ka=80 için
Program sonuçları: Transfer function: 0.001 s + 1-------------------------------0.001 s^3 + s^2 + 20.02 s + 400
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60
1
2
x 10-4 Step Response
Zaman (sn.) (sec)
y(t)
(ra
d.)
4646 Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
Çıkış grafiğine bakarsak (skala x10-4’tür) bozucu girişten kaynaklanan kalıcı durum hatası 3 x10-4 civarında olduğu görülür.
Daha küçük Ka değerleri için R(s) basamak girişine yanıtta aşma azalacaktır ama ikinci denklemde paydada olduğu için bozucu etkiden kaynaklanan hatanın da artmasına neden olacaktır.
maff2
f3
f
ff
KKbsRLJsRJsL
RsL
)s(D
)s(Y
e() telimt
)s(Tslim d0s
= =
slim0s
= maff2
f3
f
ff
KKbsRLJsRJsL
RsL
s
1.0
1.0KK
R
ma
f
5*80
1.0= =
=2.5 x10-4 bulunur.
4747 Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
ÇS.5.2. Şekildeki makine kontrol sisteminde ;
TbS
duyarlılığını bulun b)
c) Bozucu etkileri ve
TbS
duyarlılığını aynı501 K aralığında seçin
anda en aza indirecek en
a)T(s)=Y(s)/R(s) transfer fonksiyonunu bulun
uygun K değerini
+ -
R(s) girişi
K
Y (s) Denetleyici
K 1 =1
Duyarga
- +
1 s b
Makine
Bozucu etki D(s)
Şekil.E5.2
4848 Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
Çözüm:
a) 0sDsR
sYsT
= Kb1s
Kb
1s
bK1
1s
bK
G
b
b
G*
T
G
G
Tb/b
G/G*
G/G
T/TS*SS G
bTG
Tb
b)
22
22
2 KG1
K
KG1
GKGKK
KG1
KGKKG1K
GKG1
KG
G
T
bK1s
1s
1s
bK1
1
KG1
1
KG1
KGG
*KG1
K
T
G*
G
TS
2TG
4949 Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
i) D(s) bozucu girişine karşı Y(s) yanıtının küçük olması için K’nın büyük olması gerekir. ii) Yine
TbS
’nin küçük olması için K’nın büyük olması gerekir. Bu nedenle
K=50 seçilmelidir..
1s
1
b
1s
b
b
G
1
1s
bb
1s
1
G
b
b
GSG
b
,
bK1s
1s1*
bK1s
1sS*SS G
bTG
Tb
,
0sYsD
sYsTD
Kb1s
b
1s
bK1
1s
b
=c)
)s(D*Kb1s
b)s(D*)s(T)s(Y D
,
5050 Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
ÇS.5.3)Elektronik kalp pilleri, kalbin atış hızını düzenleyen cihazlardır.
Birim basamak şeklindeki bozucu girişe karşılık yanıtta oluşabilecek kalıcı durum hatası 0.02’den küçük olmalıdır.
+
-
R(s) istenen kalp at ış hızı
1
12
1 s
K
Y (s)
Gerçek kalp atış hızı
Kalp pili
Km=1
Nabız ö lçüm duyargası
+ +
s
1
Kalp
D(s) Bozucu etki
Şekil.E5.3.
a) Çıkışın R(s) ve D(s)’e bağlı genel denklemini yazın.
( Y(s)=T11 R(s) + T12 D(s) )
b) K için uygun bir değer veya değer aralığı bulun.c) Şayet K’nın ortalama değeri K=10 olsaydı, sistemin K parametresinde oluşabilecek küçük değişimlere duyarlılığı ne olacaktı?
5151 Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
Çözüm:
12s
K12
1s12
1K
*12
12
1s12
1K
a)
Açık çevrim transfer fonksiyonu; s12s
K12
s
1*
12s
K12)s(G
2
K12s12s
K12
s12s
K121
s12s
K12
)s(G1
)s(G
)s(R
)s(Y)s(T
2
2
2
11
K12s12s
12s
s12s
K12s12ss
1
s
1*
12s
K121
s
1
)s(D
)s(Y)s(T
2
2
212
i)
ii)
5252 Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
b) tasarım koşulu bozucu girişten kaynaklanan kalıcı durum hatasının büyüklüğünün 0.02’den küçük olmasıdır.
R(s)=0 iken bulunmuştu. Çıkış 0 olması
s
1)s(D bozucu girişi nedeniyle istenmeyen bir Y(s)
çıkışıs(D)s(T)s(Y 12 )
gerekirken
oluşur :
dir ve kalıcı durum hatası
K12s12s
12s
)s(D
)s(Y)s(T
212
)s(Y0)s(E s
1
K12s12s
12s2
=
s
1
K12s12s
12s)s(E
2
02.0K12
12
s
1
K12s12s
12sssEslime
20sss
02.0K
1 K
02.0
1 50K
5353 Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
G
K
K
G*
T
G
G
T
K/K
G/G*
G/G
T/TS*SS G
KTG
TK
c)
22 G1
1
G1
GG1
GG1
G
G
T
K12s12s
s12s
s12s
K121
1
G1
1
G1
GG
*G1
1
T
G*
G
TS
2
2
2
2TG
s12s
12
Ks12s
K12
K
G2
2
G
K*
K
GSG
K
s12s
K12K
*s12s
12
2
2
K12s12s
s12s1*
K12s12s
s12sS
2
2
2
2TK
10Kort 120s12s
s12s
10*12s12s
s12sS
2
2
2
2TK
için
5454 Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
Ek.5.2. Bu Bölümle İlgili Matlab Kodları:
Şekil.5.10’a ait kodlar
5555 Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
Şekil.5.16’ya ait kodlar
ans = -1.8157
5656 Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
Derste göreceğimiz tünel açma makinesine ait kodlar