對稱矩陣

轉置矩陣定義 (transpose matrix)若 A為任意 m×n矩陣，則 A的轉置矩陣為一 n×m矩陣且以符號 AT表示，其中 AT的元素係將 A的列與行交換。

(AT)ij=(A)ji

性質：設下列矩陣之階數使所有運算皆有意義，其中 k為任義實數，則(1) (A±B)T=AT±BT

(2) (kA)T=k AT

(3) (AB)T= BT AT

(4) (AT)T=A

對稱矩陣定義 (symmetric matrix)若方陣 A滿足 AT =A，則方陣 A稱為對稱方陣。

例：若矩陣

試求 AAT 與 ATA？解：

1 2 4

3 0 5A

1 31 2 4 21 17

2 03 0 5 17 34

4 5

1 3 10 2 111 2 4

2 0 2 4 83 0 5

4 5 11 8 41

T

T

AA

A A

跡數定義 (trace)若 A為一 n階方陣，則方陣 A主對角線元素的合稱為跡數(trace)，以符號 tr(A)表示，即

tr(A)=a11+a22+…+ann

例：若矩陣

則tr(A)=-1+5+7+0=11

1 2 7 0

3 5 8 4

1 2 7 3

4 2 1 0

A

性質：設下列矩陣之階數使所有運算皆有意義，其中 k為任義實數，則(1) tr(A±B)=tr(A)±tr(B)(2) tr(kA)=ktr(A)(3) tr(AB)=tr(BA)(4) tr(AT)=tr(A)