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考点知识精讲 中考典例精析
第 8 讲 分式方程
考点训练举一反三
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考点一 分式方程及解法
1 .分式方程
分母里含有 ________ 的方程,叫做分式方程.
2 .解分式方程的基本思想
把分式方程转化为整式方程,即
分式方程 ___________ 整式方程
(1) 去分母,转化为整式方程; (2) 解整式方程,得根; (3) 验根.
4 .增根
在方程变形时 , 使原分式方程的分母为零的根 , 称为原方程的增根 . 解分式方程时,有可能产生增根,因此解分式方程要验根 ( 其方法是代入最简公分母中,使最简公分母为 0 的是增根,否则不是 ) .
未知数
――→去分母转化
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第 8 讲 分式方程
考点训练举一反三
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考点二 与增根有关的问题
1 .分式方程的增根必须同时满足两个条件
(1)__________________________ ;
(2)________________________________.
2 .增根在含参数的分式方程中的应用
由增根求参数的值.解答思路为: (1) 将原方程化为整式方程; (2)
确定增根; (3) 将增根代入变形后的整式方程,求出参数的值.
是由分式方程化成的整式方程的根
使最简公分母为零
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考点三 列分式方程解应用题
1. 列分式方程解应用题和其他列方程解应用题一样 , 不同之处是列出的方程是分式方程 .
求出分式方程解后,一定要记住对所列方程和实际问题验根,不要缺少了这一步 .
2. 应用问题中常用的数量关系及题型
( 1 )数字问题 . (包括日历中的数字规律)
① 设个位数字为 c ,十位数字为 b ,百位数字为 a ,则这个三位数是 ____________ ;
② 日历中前后两日差 ___ ,上下两日差 _____.
100a+10b+c
1 7
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( 2 )体积变化问题 .
( 3 )打折销售问题 .
①利润 =_______- 成本;
② 利润率 =_________×100%.
( 4 )行程问题 .
路程 =____×_____.
若用 v 表示轮船的速度,用 v 顺、 v 逆、 v 水分别表示轮船顺水、逆水和水流的速度,在下列式子中填空 .
v 顺= v + v 逆= v - ____
v = __________ v 水= _________
售价利润成本
速度 时间
v 水v 水v顺-v逆
2
v顺-v逆2
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在轮船航行问题中,知 v 顺、 v 逆、 v 、 v 水中的任何两个量,总能
求出其他的量.
(5) 教育储蓄问题.
① 利息= ___________________ ;
② 本息和= _______________ =本金 ×(1 +利率 ×期数 ) ;
③ 利息税= _______________ ;
④ 贷款利息=贷款数额 ×利率 ×期数.
本金 ×利率 ×期数
本金+利息
利息 ×利息税率
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【解答】(1)C (2)D
(1)(2011· 芜湖)分式方程2x-5x-2
=3
2-x的解为( )
A.x=-2 B.x=2 C.x=1 D.x=1或 x=2
(2) 2011· 绥化分式方程x
x-1-1=
m x-1 x+2
有增根,则 m
的值为( ) A.0和 3 B.1 C.1和-2 D.3
【点拨】(1)去分母得 2x-5=-3,解得 x=1.经检验 x=1是原方程的解.
(2)由(x-1)(x+2)=0得增根可能是 x=1或 x=-2,把方程两边都乘(x-1)(x+2)得 x(x+2)-(x-1)· (x+2)=m,当 x=1时,得m=
3;当 x=-2时,得 m=0,此时方程变为x
x-1-1=0,即 x=x-1,此
时方程无解,故m=0舍去,∴ 当m=3时, 原方程有增根 x=1.
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【点拨】本题考查分式方程的解法,一般步骤为: (1) 去分母,转化为整式方程; (2) 解整式方程,得根; (3) 验根.这三步缺一不可.
方法总结:
解分式方程时,一定要记得验根,使分母为零的未知数的值,即是方程的增根 .
(2011· 大连)解方程:5
x-2+1=
x-12-x
.
【解答】5
x-2+1=-
x-1x-2
,
去分母得 5+(x-2)=-(x-1).
解得 x=-1.
检验:把 x=-1代入 x-2中 x-2≠0.
∴ x=-1是原方程的解
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(2011· 德州 ) 为创建“国家卫生城市”,进一步优化市中心城区的环境,德州市政府拟对部分路段的人行道地砖、花池、排水管道等公用设施全面更新改造,根据市政府建设的需要,须在 60天内完成工程,现在甲、乙两个工程队有能力承包这个工程,经调查知道:乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独完成多用 25天,甲、乙两队合作完成工程需要 30天,甲队每天的工程费用 2 500元,乙队每天的工程费用 2 000元.
(1)甲、乙两个工程队单独完成各需多少天?
(2)请你设计一种符合要求的施工方案,并求出所需的工程费用.
【点拨】列分式方程解决实际问题,要特别注意解的合理性,需检验求出的未知数的值是否是原方程的根以及是否符合题意.
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【解答】设甲工程队单独完成该工程需 x天,则乙工程队单独完成该工程需(x+25)天.
根据题意得:30x+
30x+25
=1.
方程两边同乘 x(x+25),得 30(x+25)+30x=x(x+25),即 x2-35x-750=0. 解之,得 x1=50,x2=-15. 经检验,x1=50,x2=-15都是原方程的解. 但 x2=-15不符合题意,应舍去. ∴ 当 x=50时,x+25=75. 答:甲工程队单独完成该工程需 50 天,乙工程队单独完成该工程需 75
天. (2)此问题只要设计出符合条件的一种方案即可. 方案一:由甲工程队单独完成. 所需费用:2 500×50=125 000(元). 方案二:甲、乙两队合作完成. 所需费用为:(2 500+2 000)×30=135 000(元). 其他方案略.
举 一 反 三
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1.分式方程2
x-1=
12的解是( )
A.3 B.4 C.5 D.无解 2.某车间加工 120个零件后,采用了新工艺,工效是原来的 1.5倍,这
样加工同样多的零件就少用 1小时,采用前每小时加工多少个零件?若设
采用新工艺前每小时加工 x个零件,则根据题意可列方程为___________.
3.解方程:x
x+1+1=
2x+1x
.
4.解方程:x
x-1-
2x-2x-1=0.
答案:C
答案:x=-12
答案:x1=12,x2=2
120x
-1201.5x
=1
举 一 反 三
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5 .为了提高产品的附加值,某公司计划将研发生产的 1 200 件新产品进行精加工后再投放市场.现在甲、乙两个工厂都具备加工能力,公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况,获得如下信息:
信息一:甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用 10天;
信息二:乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的 1.5倍.
根据以上信息,求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品?
答案:甲工厂每天加工 40 件产品,乙工厂每天加工 60 件产品
考 点 训 练
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分式方程
训练时间: 60 分钟 分值: 100 分
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一、选择题(每小题 4分,共 32分)
1.(2010中考变式题)方程3
x+2=
1x+1的解为( )
A.x=45 B.x=-
12
C.x=-2 D.无解
【解析】3
x+2=
1x+1
,3(x+1)=x+2,3x+3=x+2,2x=-1,
x=-12,经检验 x=-
12是原方程的根.
【答案】 B
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A . 2 - 1 - x = 1
B . 2 - 1 + x = 1
C . 2 - 1 + x = 2x
D . 2 - 1 - x = 2x
【解析】等号两边同乘以 2x ,去分母后为 2 - 1 + x = 2x.
【答案】 C
2.(2010中考变式题)以下是方程1x-
1-x2x=1去分母后的结果,其
中正确的是( )
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A . 5 B .- 5
C . 6 D . 4
【解析】原式去分母后得 x = 3(x - 5)- a ,把增根 x = 5 代入得 a =- 5.
【答案】 B
3.(2012中考预测题)已知方程x
x-5=3-
ax-5
有增根,则 a的值为
( )
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A . x =- 2 B. x = 2
C . x = 4 D .无解
【答案】 D
4.(2010中考变式题)解方程8
4-x2=2
2-x的结果是( )
【解析】8
4-x2=2
2-x,8=2(2+x),8=4+2x,x=2 当 x=2
时,4-x2=0,∴ x=2是原方程的增根,∴ 原方程无解.
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5 . (2010 中考变式题 ) 货车行驶 25千米与小车行驶 35千米所用的时间相同,已知小车每小时比货车多行驶 20千米,求两车的速度各为多少?设货车的速度为 x 千米 /小时,依题意列方程正确的是 ( ) A.
25x=
35x-20
B.25
x-20=
35x
C.25x=
35x+20
D.25
x+20=
35x
【解析】由题意知小车的速度为(x+20)千米/时,根据货车行驶
25千米与小车行驶 35千米所用的时间相同,得25x=
35x+20
.
【答案】 C
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6 . (2011·苏州 ) 下列四个结论中,正确的是 ( )
A.方程 x+1x=-2有两个不相等的实数根
B.方程 x+1x=1有两个不相等的实数根
C.方程 x+1x=2有两个不相等的实数根
D.方程 x+1x=a(其中 a为常数,且|a|>2)有两个不相等的实数根
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【解析】由 x+1x=-2得
x2+2x+1x
=0,得 x=-1,A项错误;由 x+
1x=1得
x2-x+1x
=0,(-1)2-4×1×1<0,B项错误;
由 x+1x=2得
x2-2x+1x
=0,得 x=1,C项错误;因此 D项正确.
【答案】 D
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7 . (2011·铜仁 ) 小明从家里骑自行车到学校,每小时骑 15
km ,可早到 10 分钟;每小时骑 12 km ,就会迟到 5 分钟.问他家到学校的路程是多少千米?设他家到学校的路程是 x km ,则根据题意列出的方程是 ( )
A.x15+
1060=
x12-
560
B.x15-
1060=
x12+
560
C.x15-
1060=
x12-
560
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D.x15+10=
x12-5
【解析】规定到校时间为x15+
1060或
x12-
560,∴ 得方程
x15+
1060
=x12-
560
.
【答案】 A
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8 . (2011·沈阳 ) 小明乘出租车去体育场,有两条路线可供选择:路线一的全程是 25千米,但交通比较拥堵;路线二的全程是 30
千米,平均车速比走路线一时的平均车速能提高 80% ,因此能比走路线一少用 10 分钟到达.若设走路线一时的平均车速为 x 千米 /时,则根据题意,得 ( )
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【答案】 A
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二、填空题(每小题4 分,共28分)
【解析】去分母得x=2(x+1),整理得-x=2 ,∴x=-2 ,经检验x=-2 是原方程的解.
【答案】-2
9.(2011· 吉林)方程x
x+1=2 的解是 x=________.
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10.(2011· 成都)已知 x=1 是分式方程1
x+1=
3kx的根,
则实数 k=________.
【解析】将 x=1 代入分式方程得12=3k,∴ k=
16.
【答案】16
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11.(2010中考变式题)当 x=________时,分式x+3x-1的值等
于 2.
【解析】x+3x-1
=2,x+3=2(x-1),x+3=2x-2,x=5,
经检验 x=5是原方程的根.
【答案】 5
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12. (2010 中考变式题 ) 某市为治理污水,需要铺设一段全长为300 m 的污水排放管道.铺设 120 m 后,为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响,后来每天的工效比原计划增加 20% ,结果共用 30
天完成这一任务,求原计划每天铺设管道的长度.如果设原计划每天铺设 x m 管道,那么根据题意,可得方程 ________________________ .
【解析】题目中的等量关系为:原计划铺设 120 m 用的天数+后来 180 m 新工效所用的天数= 30.
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13. (2011·青岛 ) 某车间加工 120 个零件后,采用了新工艺,工效是原来的 1.5倍,这样加工同样多的零件就少用 1 小时.采用新工艺前每小时加工多少个零件?若设采用新工艺前每小时加工 x 个零件,则根据题意可列方程为 ________________________ .
【解析】本题存在两个等量关系: (1)采用新工艺每小时加工零件数= 1.5×采用新工艺前每小时加工零件数; (2)采用旧工艺用的时间—采用新工艺用的时间= 1.
【答案】120x-
1201.5x=1
考 点 训 练
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14.(2012中考预测题)已知 x+1x=3,则代数式 x2+
1x2的
值为__________.
【解析】x2+1x2=(x+
1x)2-2=32-2=9-2=7.
【答案】 7
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15. (2010 中考变式题 ) 在 5 月汛期,重庆某沿江村庄因洪水而沦为孤岛.当时洪水流速为 10千米 /时,张师傅奉命用冲锋舟去救援,他发现沿洪水以最大速度顺流航行 2 千米所用的时间,与以最大速度逆流航行 1.2千米所用的时间相等,请你计算出该冲锋舟在静水中的最大航速为 __________ .
【解析】解:设该冲锋舟在静水中的最大航速为 x千米/
时,则有2
x+10=
1.2x-10
,解得 x=40,经检验,x=40是原方
程的根,即该冲锋舟在静水中的最大航速为 40千米/时.
【答案】 40千米 /时
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三、解答题 ( 共 40分 )
16. (20分 ) 解分式方程.
(1)(2011· 大连)5
x-2+1=
x-12-x
;
(2)(2011· 黄冈)2x+
xx+3
=1;
(3)(2010中考变式题)1x=
x3x-2
;
(4)(2011· 陕西)4x
x-2-1=
32-x
.
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【答案】解:(1)5
x-2+1=-
x-1x-2,
去分母得 5+(x-2)=-(x-1),解得 x=-1.
经检验 x=-1是原方程的解,∴ 原方程的解是 x=-1.
(2)2x+
xx+3=1,
去分母,得 2(x+3)+x2=x(x+3),
去括号,得 2x+6+x2=x2+3x,
移项、合并同类项,得-x+6=0,
系数化为 1,得 x=6.
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经检验: x = 6 是原分式方程的解.
∴原方程的解是 x = 6.
(3)1x=
x3x-2
,方程两边同乘以 x(3x-2)得 3x-2=x2,即 x2
-3x+2=0,∴ (x-2)(x-1)=0,∴ x1=2,x2=1,经检验 x1=2,
x2=1都是原方程的解,∴ 原方程的解为 x1=2,x2=1.
(4)方程两边同乘以 x-2得 4x-(x-2)=-3.
4x-x+2=-3,即 3x=-5∴ x=-53.
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经检验 x=-53是原方程的根.
∴ 原方程的解是 x=-53.
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17.(10分)(2011· 北京)列方程或方程组解应用题:京通公交
快速通道开通后,为响应市政府“ 绿色出行” 的号召,家住通州新
城的小王上班由自驾车改为乘坐公交车.已知小王家距上班地点 18
千米,他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他用自驾车的
方式平均每小时行驶的路程的 2倍还多 9千米,他从家出发到达上
班地点,乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的37.小王用
自驾车方式上班平均每小时行驶多少千米?
考 点 训 练
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【答案】解:设小王用自驾车方式上班平均每小时行驶
x千米
依题意,得18
2x+9=
37×
18x,解得 x=27.
经检验 x=27 是原方程的解,且符合题意.
答:小王用自驾车方式上班平均每小时行驶 27千米.
考 点 训 练
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18. (10分 )(2011·河北 ) 甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材,若甲单独整理需要 40 分钟完工;若甲、乙共同整理 20 分钟后,乙需再单独整理 20 分钟才能完工.
(1) 问乙单独整理多少分钟完工?
(2) 若乙因工作需要,他的整理时间不超过 30 分钟,则甲至少整理多少分钟才能完工?
【答案】解:(1)设乙单独整理 x分钟完工,根据题意,
得2040+
20+20x=1.
解得 x=80.
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经检验x=80 是原分式方程的解.
答:乙单独整理80分钟完工.
答:甲至少整理25分钟才能完工.
(2)设甲整理 y分钟完工,根据题意,得 1-y40
≤3080,解
得 y≥25.