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考点知识精讲中考典例精析

第 8 讲　分式方程

考点训练举一反三


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考点一分式方程及解法

1 ．分式方程

分母里含有 ________ 的方程，叫做分式方程．

2 ．解分式方程的基本思想

把分式方程转化为整式方程，即

分式方程 ___________ 整式方程

(1) 去分母，转化为整式方程； (2) 解整式方程，得根； (3) 验根．

4 ．增根

在方程变形时 , 使原分式方程的分母为零的根 , 称为原方程的增根 . 解分式方程时，有可能产生增根，因此解分式方程要验根 ( 其方法是代入最简公分母中，使最简公分母为 0 的是增根，否则不是 ) ．

未知数

――→去分母转化


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第 8 讲　分式方程

考点训练举一反三


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考点二与增根有关的问题

1 ．分式方程的增根必须同时满足两个条件

(1)__________________________ ；

(2)________________________________.

2 ．增根在含参数的分式方程中的应用

由增根求参数的值．解答思路为： (1) 将原方程化为整式方程； (2)

确定增根； (3) 将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值．

是由分式方程化成的整式方程的根

使最简公分母为零


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考点三列分式方程解应用题

1. 列分式方程解应用题和其他列方程解应用题一样 , 不同之处是列出的方程是分式方程 .

求出分式方程解后，一定要记住对所列方程和实际问题验根，不要缺少了这一步 .

2. 应用问题中常用的数量关系及题型

（ 1 ）数字问题 . （包括日历中的数字规律）

① 设个位数字为 c ，十位数字为 b ，百位数字为 a ，则这个三位数是 ____________ ；

② 日历中前后两日差 ___ ，上下两日差 _____.

100a+10b+c

1 7


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（ 2 ）体积变化问题 .

（ 3 ）打折销售问题 .

①利润 =_______- 成本；

② 利润率 =_________×100%.

（ 4 ）行程问题 .

路程 =____×_____.

若用 v 表示轮船的速度，用 v 顺、 v 逆、 v 水分别表示轮船顺水、逆水和水流的速度，在下列式子中填空 .

v 顺＝ v ＋　　　　　　 v 逆＝ v － ____

v ＝ __________ v 水＝ _________

售价利润成本

速度时间

v 水v 水v顺－v逆

2

v顺－v逆2


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在轮船航行问题中，知 v 顺、 v 逆、 v 、 v 水中的任何两个量，总能

求出其他的量．

(5) 教育储蓄问题．

① 利息＝ ___________________ ；

② 本息和＝ _______________ ＝本金 ×(1 ＋利率 ×期数 ) ；

③ 利息税＝ _______________ ；

④ 贷款利息＝贷款数额 ×利率 ×期数．

本金 ×利率 ×期数

本金＋利息

利息 ×利息税率

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【解答】(1)C (2)D

(1)(2011· 芜湖)分式方程2x－5x－2

＝3

2－x的解为( )

A．x＝－2 B．x＝2 C．x＝1 D．x＝1或 x＝2

(2) 2011· 绥化分式方程x

x－1-1=

m x－1 x＋2

有增根,则 m

的值为( ) A．0和 3 B．1 C．1和－2 D．3

【点拨】(1)去分母得 2x－5＝－3，解得 x＝1.经检验 x＝1是原方程的解．

(2)由(x－1)(x＋2)＝0得增根可能是 x＝1或 x＝－2，把方程两边都乘(x－1)(x＋2)得 x(x＋2)－(x－1)· (x＋2)＝m，当 x＝1时，得m＝

3；当 x＝－2时，得 m＝0，此时方程变为x

x－1－1＝0，即 x＝x－1，此

时方程无解，故m＝0舍去，∴ 当m＝3时，原方程有增根 x＝1.

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【点拨】本题考查分式方程的解法，一般步骤为： (1) 去分母，转化为整式方程； (2) 解整式方程，得根； (3) 验根．这三步缺一不可．

方法总结：

解分式方程时，一定要记得验根，使分母为零的未知数的值，即是方程的增根 .

(2011· 大连)解方程：5

x－2＋1＝

x－12－x

.

【解答】5

x－2＋1＝－

x－1x－2

，

去分母得 5＋(x－2)＝－(x－1)．

解得 x＝－1.

检验：把 x＝－1代入 x－2中 x－2≠0.

∴ x＝－1是原方程的解

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(2011· 德州 ) 为创建“国家卫生城市”，进一步优化市中心城区的环境，德州市政府拟对部分路段的人行道地砖、花池、排水管道等公用设施全面更新改造，根据市政府建设的需要，须在 60天内完成工程，现在甲、乙两个工程队有能力承包这个工程，经调查知道：乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独完成多用 25天，甲、乙两队合作完成工程需要 30天，甲队每天的工程费用 2 500元，乙队每天的工程费用 2 000元．

(1)甲、乙两个工程队单独完成各需多少天？

(2)请你设计一种符合要求的施工方案，并求出所需的工程费用．

【点拨】列分式方程解决实际问题，要特别注意解的合理性，需检验求出的未知数的值是否是原方程的根以及是否符合题意．

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【解答】设甲工程队单独完成该工程需 x天，则乙工程队单独完成该工程需(x＋25)天．

根据题意得：30x＋

30x＋25

＝1.

方程两边同乘 x(x+25),得 30(x+25)+30x=x(x+25),即 x2-35x-750＝0. 解之，得 x1＝50，x2＝－15. 经检验，x1＝50，x2＝－15都是原方程的解．但 x2＝－15不符合题意，应舍去． ∴ 当 x＝50时，x＋25＝75. 答:甲工程队单独完成该工程需 50 天,乙工程队单独完成该工程需 75

天． (2)此问题只要设计出符合条件的一种方案即可．方案一：由甲工程队单独完成．所需费用：2 500×50＝125 000(元)．方案二：甲、乙两队合作完成．所需费用为：(2 500＋2 000)×30＝135 000(元)．其他方案略．

举　一　反　三

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1．分式方程2

x－1＝

12的解是( )

A．3 B．4 C．5 D．无解 2.某车间加工 120个零件后,采用了新工艺,工效是原来的 1.5倍,这

样加工同样多的零件就少用 1小时,采用前每小时加工多少个零件?若设

采用新工艺前每小时加工 x个零件,则根据题意可列方程为___________.

3．解方程：x

x＋1＋1＝

2x＋1x

.

4．解方程：x

x－1－

2x－2x－1＝0.

答案：C

答案：x＝－12

答案：x1＝12，x2＝2

120x

-1201.5x

=1

举　一　反　三

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5 ．为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的 1 200 件新产品进行精加工后再投放市场．现在甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：

信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用 10天；

信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的 1.5倍．

根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？

答案：甲工厂每天加工 40 件产品，乙工厂每天加工 60 件产品

考　点　训　练

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分式方程

训练时间： 60 分钟分值： 100 分


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一、选择题(每小题 4分，共 32分)

1．(2010中考变式题)方程3

x＋2＝

1x＋1的解为( )

A．x＝45 B．x＝－

12

C．x＝－2 D．无解

【解析】3

x＋2＝

1x＋1

，3(x＋1)＝x＋2,3x＋3＝x＋2，2x＝－1，

x＝－12，经检验 x＝－

12是原方程的根．

【答案】 B　


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A ． 2 － 1 － x ＝ 1

B ． 2 － 1 ＋ x ＝ 1

C ． 2 － 1 ＋ x ＝ 2x

D ． 2 － 1 － x ＝ 2x

【解析】等号两边同乘以 2x ，去分母后为 2 － 1 ＋ x ＝ 2x.

【答案】 C 　

2．(2010中考变式题)以下是方程1x－

1－x2x＝1去分母后的结果，其

中正确的是( )


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A ． 5 　　　　 B ．－ 5

C ． 6 　　　　 D ． 4

【解析】原式去分母后得 x ＝ 3(x － 5)－ a ，把增根 x ＝ 5 代入得 a ＝－ 5.

【答案】 B 　

3．(2012中考预测题)已知方程x

x－5＝3－

ax－5

有增根，则 a的值为

( )


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A ． x ＝－ 2 B． x ＝ 2

C ． x ＝ 4 D ．无解

【答案】 D 　

4．(2010中考变式题)解方程8

4－x2＝2

2－x的结果是( )

【解析】8

4－x2＝2

2－x，8＝2(2＋x)，8＝4＋2x，x＝2 当 x＝2

时，4－x2＝0，∴ x＝2是原方程的增根，∴ 原方程无解．


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5 ． (2010 中考变式题 ) 货车行驶 25千米与小车行驶 35千米所用的时间相同，已知小车每小时比货车多行驶 20千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为 x 千米 /小时，依题意列方程正确的是 ( 　 ) A.

25x＝

35x－20

B.25

x－20＝

35x

C.25x＝

35x＋20

D.25

x＋20＝

35x

【解析】由题意知小车的速度为(x＋20)千米/时，根据货车行驶

25千米与小车行驶 35千米所用的时间相同，得25x＝

35x＋20

.

【答案】 C


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6 ． (2011·苏州 ) 下列四个结论中，正确的是 ( 　　 )

A．方程 x＋1x＝－2有两个不相等的实数根

B．方程 x＋1x＝1有两个不相等的实数根

C．方程 x＋1x＝2有两个不相等的实数根

D．方程 x＋1x＝a(其中 a为常数，且|a|＞2)有两个不相等的实数根


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【解析】由 x＋1x＝－2得

x2＋2x＋1x

＝0，得 x＝－1，A项错误；由 x＋

1x＝1得

x2－x＋1x

＝0，(－1)2－4×1×1＜0，B项错误；

由 x＋1x＝2得

x2－2x＋1x

＝0，得 x＝1，C项错误；因此 D项正确．

【答案】 D


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7 ． (2011·铜仁 ) 小明从家里骑自行车到学校，每小时骑 15

km ，可早到 10 分钟；每小时骑 12 km ，就会迟到 5 分钟．问他家到学校的路程是多少千米？设他家到学校的路程是 x km ，则根据题意列出的方程是 ( 　　 )

A.x15＋

1060＝

x12－

560

B.x15－

1060＝

x12＋

560

C.x15－

1060＝

x12－

560


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D.x15＋10＝

x12－5

【解析】规定到校时间为x15＋

1060或

x12－

560，∴ 得方程

x15＋

1060

＝x12－

560

.

【答案】 A


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8 ． (2011·沈阳 ) 小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是 25千米，但交通比较拥堵；路线二的全程是 30

千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高 80% ，因此能比走路线一少用 10 分钟到达．若设走路线一时的平均车速为 x 千米 /时，则根据题意，得 ( 　　 )


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二、填空题(每小题4 分，共28分)

【解析】去分母得x＝2(x＋1)，整理得－x＝2 ，∴x＝－2 ，经检验x＝－2 是原方程的解．

【答案】－2 　

9．(2011· 吉林)方程x

x＋1＝2 的解是 x＝________.


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10．(2011· 成都)已知 x＝1 是分式方程1

x＋1＝

3kx的根，

则实数 k＝________.

【解析】将 x＝1 代入分式方程得12＝3k，∴ k＝

16.

【答案】16


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11．(2010中考变式题)当 x＝________时，分式x＋3x－1的值等

于 2.

【解析】x＋3x－1

＝2，x＋3＝2(x－1)，x＋3＝2x－2，x＝5，

经检验 x＝5是原方程的根．

【答案】 5


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12． (2010 中考变式题 ) 某市为治理污水，需要铺设一段全长为300 m 的污水排放管道．铺设 120 m 后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加 20% ，结果共用 30

天完成这一任务，求原计划每天铺设管道的长度．如果设原计划每天铺设 x m 管道，那么根据题意，可得方程 ________________________ ．

【解析】题目中的等量关系为：原计划铺设 120 m 用的天数＋后来 180 m 新工效所用的天数＝ 30.


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13． (2011·青岛 ) 某车间加工 120 个零件后，采用了新工艺，工效是原来的 1.5倍，这样加工同样多的零件就少用 1 小时．采用新工艺前每小时加工多少个零件？若设采用新工艺前每小时加工 x 个零件，则根据题意可列方程为 ________________________ ．

【解析】本题存在两个等量关系： (1)采用新工艺每小时加工零件数＝ 1.5×采用新工艺前每小时加工零件数； (2)采用旧工艺用的时间—采用新工艺用的时间＝ 1.

【答案】120x－

1201.5x＝1


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14．(2012中考预测题)已知 x＋1x＝3，则代数式 x2＋

1x2的

值为__________．

【解析】x2＋1x2＝(x＋

1x)2－2＝32－2＝9－2＝7.

【答案】 7


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15． (2010 中考变式题 ) 在 5 月汛期，重庆某沿江村庄因洪水而沦为孤岛．当时洪水流速为 10千米 /时，张师傅奉命用冲锋舟去救援，他发现沿洪水以最大速度顺流航行 2 千米所用的时间，与以最大速度逆流航行 1.2千米所用的时间相等，请你计算出该冲锋舟在静水中的最大航速为 __________ ．

【解析】解：设该冲锋舟在静水中的最大航速为 x千米/

时，则有2

x＋10＝

1.2x－10

，解得 x＝40，经检验，x＝40是原方

程的根，即该冲锋舟在静水中的最大航速为 40千米/时．

【答案】 40千米 /时


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三、解答题 ( 共 40分 )

16． (20分 ) 解分式方程．

(1)(2011· 大连)5

x－2＋1＝

x－12－x

；

(2)(2011· 黄冈)2x＋

xx＋3

＝1；

(3)(2010中考变式题)1x＝

x3x－2

；

(4)(2011· 陕西)4x

x－2－1＝

32－x

.


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【答案】解：(1)5

x－2＋1＝－

x－1x－2，

去分母得 5＋(x－2)＝－(x－1)，解得 x＝－1.

经检验 x＝－1是原方程的解，∴ 原方程的解是 x＝－1.

(2)2x＋

xx＋3＝1，

去分母，得 2(x＋3)＋x2＝x(x＋3)，

去括号，得 2x＋6＋x2＝x2＋3x，

移项、合并同类项，得－x＋6＝0，

系数化为 1，得 x＝6.


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经检验： x ＝ 6 是原分式方程的解．

∴原方程的解是 x ＝ 6.

(3)1x＝

x3x－2

，方程两边同乘以 x(3x－2)得 3x－2＝x2，即 x2

－3x＋2＝0，∴ (x－2)(x－1)＝0，∴ x1＝2，x2＝1，经检验 x1＝2，

x2＝1都是原方程的解，∴ 原方程的解为 x1＝2，x2＝1.

(4)方程两边同乘以 x－2得 4x－(x－2)＝－3.

4x－x＋2＝－3，即 3x＝－5∴ x＝－53.


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经检验 x＝－53是原方程的根．

∴ 原方程的解是 x＝－53.


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17．(10分)(2011· 北京)列方程或方程组解应用题：京通公交

快速通道开通后，为响应市政府“ 绿色出行” 的号召，家住通州新

城的小王上班由自驾车改为乘坐公交车．已知小王家距上班地点 18

千米，他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他用自驾车的

方式平均每小时行驶的路程的 2倍还多 9千米，他从家出发到达上

班地点，乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的37.小王用

自驾车方式上班平均每小时行驶多少千米？


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【答案】解：设小王用自驾车方式上班平均每小时行驶

x千米

依题意，得18

2x＋9＝

37×

18x，解得 x＝27.

经检验 x＝27 是原方程的解，且符合题意．

答：小王用自驾车方式上班平均每小时行驶 27千米．


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18． (10分 )(2011·河北 ) 甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材，若甲单独整理需要 40 分钟完工；若甲、乙共同整理 20 分钟后，乙需再单独整理 20 分钟才能完工．

(1) 问乙单独整理多少分钟完工？

(2) 若乙因工作需要，他的整理时间不超过 30 分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？

【答案】解：(1)设乙单独整理 x分钟完工，根据题意，

得2040＋

20＋20x＝1.

解得 x＝80.


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经检验x＝80 是原分式方程的解．

答：乙单独整理80分钟完工．

答：甲至少整理25分钟才能完工．

(2)设甲整理 y分钟完工，根据题意，得 1－y40

≤3080，解

得 y≥25.

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