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7.2 分式线性变换
7.2.1 分式线性变换及其分解 7.2.2 分式线性变换的映射性质 1. 分式线性变换的保形性 2. 分式线性变换的保交比性 3. 分式线性变换的保圆周性 4. 分式线性变换的保对称性7.2.3 分式线性变换的应用
, 0
a baz bw ad bc
c dcz d(7.3)
为分式线性变换 . 简记为 w=L(z).
1. 定义
7.2.1 分式线性变换及其分解
称变换
说明
2 0ad bc
wce d
( ) constantw L z
② 对 w=L(z) 作如下的补充定义: a
w Lc
d d
w Lc c
a
w Lc
c0时
c=0时
① 条件 ad-bc0 是必要的。因若 ad-bc=0, 则
③ 约定: w=L(z) 的定义域为 C :
dw bz
cw a
(7.4)
结论①w=L(z) 将 CC
②w=L(z) 的逆变换为 ③ w=L(z) 在扩充 z 平面上是保域的
2. 分式线性变换 w=L(z) 的分解0 0
a bc d w z
d d
10
a adcz d baz b a bc adc cc w
cz d cz d c c cz d
由
复合而成
1
a bc adw
c c
cz d
结论:分式线性变换 w=L(z) 可以分解为如下简单变换的复合
0w kz h k Ⅰ
(1) iw e z R
(2) 0w z
(3) 0w z h 整线性变换
旋转变换
伸缩变换
平移变换
定义 7.3 二曲线在无穷远点处的交角为 a,就是它们在反演变换下的象曲线在原点处交角为 a.( 形如 w=1/z 的变换称为反演变换 .)
定理 7.7 线性变换 (7.3) 在扩充 z 平面上是保形的 .
1 w
zⅡ
1(4) w
z
1(5) w
z
反演变换
关于单位圆周的对称变换
关于实轴的对称变换
当四点中有一点为∞时 , 应将包含此点的项用 1代替 . 例如 z1= ∞ 时 , 即有
亦即先视 z1 为有限 , 再令 取极限而得 .
定义 7.4 扩充平面上顺序的四个相异点z1,z2,z3,z4 构成下面的量 , 称为它们的交比 , 记为 (z1,z2,z3,z4):
.:),,,(23
13
24
14
4321 zzzz
zzzzzzzz
,:),,,(2324
11432 zzzzzzz
1z
定理 7.8 在线性变换下 , 四点的交比不变 . 证 设
则
因此
,4,3,2,1,
idcz
bazw
i
ii
))((
))((
dczdcz
zzbcadww
ji
jiji
(7.9)
23
13
24
144321 :),,,(
ww
ww
ww
wwwwww
),,,(:)9.7( 432123
13
24
14 zzzzzz
zz
zz
zz
定理 7.9 设线性变换将扩充 z 平面上三个相异点 z1,z2,z3 指定为 w1,w2,w3, 则此线性比就被唯一确定 , 并且可以写成
(7.10)( 即三对对应点唯一确定一个线性变换 ).
23
13
2
1
23
12
2
1 ::zz
zz
zz
zz
ww
ww
ww
ww
定理 7.10 线性变换将平面上的圆周 ( 直线 )变成圆周或直线 . 注 : 在扩充平面上 , 直线可视为经过无穷远点的圆周 . 事实上 (7.11) 可改写为
欲其经过∞ , 必须且只须 A=0. 因此可以说 : 在线,0
zzC
zzA
性变换 (7.3) 下 , 扩充 z 平面上的圆周变为扩充 w 平面上的圆周 , 同时 , 圆被保形变换成圆 .( 这就是线性变换的保圆周 ( 圆 ) 性 .)
定义 7.5 z1,z2 关于圆周 对称是指 z1,z2 都在过圆心 a 的同一条射线上 , 且合
此外 , 还规定圆心 a 与点∞ 关于 为对称的。
Raz |:|
221 |||| Razaz (7.6)’
( z1,z2 关于圆周 对称 , 必须且只须 (7.6)’ )
Raz |:|
AzRaz 1
2
2
定理 7.11 扩充 z 平面上两点 z1,z2 关于圆周 对称的充要条件是 , 通过 z1,z2 的任意圆周都与 正交 .
定理 7.12 设扩充 z 平面上两点 z1,z2 关于圆周 对称 ,w=L(z) 为一线性变换 , 则 w1=L(z1)w2=L(z2) 两点关于圆周 对称 . 证 设 是扩充 z 平面上经过 w1,w2 的任意圆周 . 此时 , 必然存在一个圆周 , 它经过 z1,z2,并使 , 因为 z1,z2 关于 对称 , 故由定理7.11, 与 亦正交 . 这样 , 再由定理 7.11 即知w1,w2 关于 对称 .
)(L
)(L
)(L
定理 7.13 ( 黎曼存在与唯一性定理 ) 扩充z 平面上的单连通区域 D, 其边界点不止一点 ,则有一个在 D 内的单叶解析函数 w=f(z), 它将 D保形变换成单位圆 |w|<1; 且当合条件 f(a)=0,f’(a)>0 (a∈D) (7.19)时 , 这种函数 f(z) 就只有一个 . 注 (1) 唯一性条件 (7.19) 的几何意义是 : 指定a∈D 变成单位圆的圆心 , 而在点 a 的旋转角 它依赖于三个实参数 . (2) 在将单连通区域 D 变成单连通区域 G的一般情形 , 唯一条件可表成 f(z)=b,其中 a∈D,b G,∈ 而 a 为实参数 .
aaf )('arg
.0)('arg af
定理 7.14( 边界对应定理 ) 设 (1) 单连通区域 D 与 G 的边界分别为 C 和 T; (2)w=f(z) 将 D 保形变换成 G;则 f(z) 可以扩张成 F(z), 使在 D 内 F(z)=f(z), 在 上 F(z) 连续 , 并将 C 双方单值且双方连续地变成 T.
CDD
定理 7.15( 边界对应定理的逆定理 , 判断解析函数单叶性的充分条件 ). 设单连通区域 D 及 G, 分别是两条围线 C 及 T的内部 . 且函数 w=f(z) 满足下列条件 : (1)w=f(z) 在区域 D 内解析 , 在 D+C 上连续 , (2)w=f(z) 将 C 双方单值地变成 T.
则 (1)w=f(z) 在 D 内单叶 ; (2)G=f(D)( 从而 w=f(z) 将 D 保形变换成 G).
证 证明的关键 , 在应用辅角原理来证明集合等式 G=f(D). (1) 设 w0 为 G 内任一点 . 我们证明 w0∈f(D),而且方程 f(z)-w0=0 在 C 内部只有一个根 . 根据辅角原理
( 在 z 沿 C 的正方向绕行一周的假定下 ). 有假设条件 (2), 这时 w=f(z) 应沿 T 的正向或负向绕行一周 . 因此 , 起点在 w0 终点在 T 上的向量 w-w0 应该转角 . 于是
)arg(),)(( 021
0 wwCwzfN T
2
1)arg(),)(( 021
0 wwCwzfN T
负号显示应该除去 ( 因为 N≥0). 因此我们肯定w=f(z) 必须沿 T 的正向 (T 的内部在此方向的左边 ) 饶行 , 并且方程 f(z)-w0=0 在区域 D 内只有一个根 . (2) 设 w0 位于 T 的外部 , 则必 . 因为
即方程 f(z)-w0=0 在 D 内无根 . (3) 设 w1 为 T 上任意一点 , 我们来证明方程f(z)=w1 在 D 内无根 . 假定 D 内有一点 z1 使 f(z1)=w1,则可得一个以 w1 为中心的圆周 , 使对 内部任意一点 w’, 方程 f(z)=w’ 在 D 内部取一点 w’ 位于
)(0 Dfw ,0)arg(),)(( 02
10 wwCwzfN T
T 的外部 , 由 (2) 段证明 , 方程 f(z)=w’ 在 D 内无根 ,发生矛盾 . 由以上结果 , 可见函数 w=f(z) 在 D 内单叶 ,并将 D 保形变换为 T 的内部 G.