7.2 分式线性变换

7.2.1 分式线性变换及其分解 7.2.2 分式线性变换的映射性质 1. 分式线性变换的保形性 2. 分式线性变换的保交比性 3. 分式线性变换的保圆周性 4. 分式线性变换的保对称性7.2.3 分式线性变换的应用

, 0

a baz bw ad bc

c dcz d(7.3)

为分式线性变换 . 简记为 w=L(z).

1. 定义

7.2.1 分式线性变换及其分解

称变换

说明

2 0ad bc

wce d

( ) constantw L z

② 对 w=L(z) 作如下的补充定义： a

w Lc

d d

w Lc c

a

w Lc

c0时

c=0时

① 条件 ad-bc0 是必要的。因若 ad-bc=0, 则

③ 约定： w=L(z) 的定义域为 C ：

dw bz

cw a

(7.4)

结论①w=L(z) 将 CC

②w=L(z) 的逆变换为 ③ w=L(z) 在扩充 z 平面上是保域的

2. 分式线性变换 w=L(z) 的分解0 0

a bc d w z

d d

10

a adcz d baz b a bc adc cc w

cz d cz d c c cz d

由

复合而成

1

a bc adw

c c

cz d

结论：分式线性变换 w=L(z) 可以分解为如下简单变换的复合

0w kz h k Ⅰ

(1) iw e z R

(2) 0w z

(3) 0w z h 整线性变换

旋转变换

伸缩变换

平移变换

定义 7.3 二曲线在无穷远点处的交角为 a,就是它们在反演变换下的象曲线在原点处交角为 a.( 形如 w=1/z 的变换称为反演变换 .)

定理 7.7 线性变换 (7.3) 在扩充 z 平面上是保形的 .

1 w

zⅡ

1(4) w

z

1(5) w

z

反演变换

关于单位圆周的对称变换

关于实轴的对称变换

当四点中有一点为∞时 , 应将包含此点的项用 1代替 . 例如 z1= ∞ 时 , 即有

亦即先视 z1 为有限 , 再令 取极限而得 .

定义 7.4 扩充平面上顺序的四个相异点z1,z2,z3,z4 构成下面的量 , 称为它们的交比 , 记为 (z1,z2,z3,z4):

.:),,,(23

13

24

14

4321 zzzz

zzzzzzzz

,:),,,(2324

11432 zzzzzzz

1z

定理 7.8 在线性变换下 , 四点的交比不变 . 证 设

则

因此

,4,3,2,1,

idcz

bazw

i

ii

))((

))((

dczdcz

zzbcadww

ji

jiji

(7.9)

23

13

24

144321 :),,,(

ww

ww

ww

wwwwww

),,,(:)9.7( 432123

13

24

14 zzzzzz

zz

zz

zz

定理 7.9 设线性变换将扩充 z 平面上三个相异点 z1,z2,z3 指定为 w1,w2,w3, 则此线性比就被唯一确定 , 并且可以写成

(7.10)( 即三对对应点唯一确定一个线性变换 ).

23

13

2

1

23

12

2

1 ::zz

zz

zz

zz

ww

ww

ww

ww

定理 7.10 线性变换将平面上的圆周 ( 直线 )变成圆周或直线 . 注 : 在扩充平面上 , 直线可视为经过无穷远点的圆周 . 事实上 (7.11) 可改写为

欲其经过∞ , 必须且只须 A=0. 因此可以说 : 在线,0

zzC

zzA

性变换 (7.3) 下 , 扩充 z 平面上的圆周变为扩充 w 平面上的圆周 , 同时 , 圆被保形变换成圆 .( 这就是线性变换的保圆周 ( 圆 ) 性 .)

定义 7.5 z1,z2 关于圆周 对称是指 z1,z2 都在过圆心 a 的同一条射线上 , 且合

此外 , 还规定圆心 a 与点∞ 关于 为对称的。

Raz |:|

221 |||| Razaz (7.6)’

( z1,z2 关于圆周 对称 , 必须且只须 (7.6)’ )

Raz |:|

AzRaz 1

2

2

定理 7.11 扩充 z 平面上两点 z1,z2 关于圆周 对称的充要条件是 , 通过 z1,z2 的任意圆周都与 正交 .

定理 7.12 设扩充 z 平面上两点 z1,z2 关于圆周 对称 ,w=L(z) 为一线性变换 , 则 w1=L(z1)w2=L(z2) 两点关于圆周 对称 . 证 设 是扩充 z 平面上经过 w1,w2 的任意圆周 . 此时 , 必然存在一个圆周 , 它经过 z1,z2,并使 , 因为 z1,z2 关于 对称 , 故由定理7.11, 与 亦正交 . 这样 , 再由定理 7.11 即知w1,w2 关于 对称 .

)(L

)(L

)(L

定理 7.13 ( 黎曼存在与唯一性定理 ) 扩充z 平面上的单连通区域 D, 其边界点不止一点 ,则有一个在 D 内的单叶解析函数 w=f(z), 它将 D保形变换成单位圆 |w|<1; 且当合条件 f(a)=0,f’(a)>0 (a∈D) (7.19)时 , 这种函数 f(z) 就只有一个 . 注 (1) 唯一性条件 (7.19) 的几何意义是 : 指定a∈D 变成单位圆的圆心 , 而在点 a 的旋转角 它依赖于三个实参数 . (2) 在将单连通区域 D 变成单连通区域 G的一般情形 , 唯一条件可表成 f(z)=b,其中 a∈D,b G,∈ 而 a 为实参数 .

aaf )('arg

.0)('arg af

定理 7.14( 边界对应定理 ) 设 (1) 单连通区域 D 与 G 的边界分别为 C 和 T; (2)w=f(z) 将 D 保形变换成 G;则 f(z) 可以扩张成 F(z), 使在 D 内 F(z)=f(z), 在 上 F(z) 连续 , 并将 C 双方单值且双方连续地变成 T.

CDD

定理 7.15( 边界对应定理的逆定理 , 判断解析函数单叶性的充分条件 ). 设单连通区域 D 及 G, 分别是两条围线 C 及 T的内部 . 且函数 w=f(z) 满足下列条件 : (1)w=f(z) 在区域 D 内解析 , 在 D+C 上连续 , (2)w=f(z) 将 C 双方单值地变成 T.

则 (1)w=f(z) 在 D 内单叶 ; (2)G=f(D)( 从而 w=f(z) 将 D 保形变换成 G).

证 证明的关键 , 在应用辅角原理来证明集合等式 G=f(D). (1) 设 w0 为 G 内任一点 . 我们证明 w0∈f(D),而且方程 f(z)-w0=0 在 C 内部只有一个根 . 根据辅角原理

( 在 z 沿 C 的正方向绕行一周的假定下 ). 有假设条件 (2), 这时 w=f(z) 应沿 T 的正向或负向绕行一周 . 因此 , 起点在 w0 终点在 T 上的向量 w-w0 应该转角 . 于是

)arg(),)(( 021

0 wwCwzfN T

2

1)arg(),)(( 021

0 wwCwzfN T

负号显示应该除去 ( 因为 N≥0). 因此我们肯定w=f(z) 必须沿 T 的正向 (T 的内部在此方向的左边 ) 饶行 , 并且方程 f(z)-w0=0 在区域 D 内只有一个根 . (2) 设 w0 位于 T 的外部 , 则必 . 因为

即方程 f(z)-w0=0 在 D 内无根 . (3) 设 w1 为 T 上任意一点 , 我们来证明方程f(z)=w1 在 D 内无根 . 假定 D 内有一点 z1 使 f(z1)=w1,则可得一个以 w1 为中心的圆周 , 使对 内部任意一点 w’, 方程 f(z)=w’ 在 D 内部取一点 w’ 位于

)(0 Dfw ,0)arg(),)(( 02

10 wwCwzfN T

T 的外部 , 由 (2) 段证明 , 方程 f(z)=w’ 在 D 内无根 ,发生矛盾 . 由以上结果 , 可见函数 w=f(z) 在 D 内单叶 ,并将 D 保形变换为 T 的内部 G.