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TAGLIO
1. Comportamento fino a rottura di:
- Travi non armate a taglio:
- meccanismi resistenti a taglio
- Travi armate a taglio:
- traliccio a inclinazione variabile
2. Norme Tecniche DM 14.1.2008
3. [Eurocodice 2]
4. Esempi
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1. Il taglio in una sezione omogenea
y I
Vdz y
I
dM d
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per l’equilibrio alla traslazione orizzontale deve essere:
bI VS S Vdz dy yb
I Vdz dybd dz b (Jourawski 1856)
La max si ha sulla corda baricentrica. Nel caso di flessione semplice, si ha I/S = z (braccio dellacoppia interna): si usa quindi la formula
d z con z b
V 9,0max
AV maz
/5,1
AV maz /33,1
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2. Calcestruzzo armato
Flessione e taglio si combinano edanno luogo ad uno stato di sforzo biassiale.
Isostatiche di Trazione e
Compressione in una trave nonfessurata
Trave non fessurata: materialeomogeneo: sforzi alla Jourawski
- Per I=f ct si ha l’innesco dellefessure: dove il taglio è massimo si sviluppano tensioni principali di trazione inclinate a circa45°, che possono dare luogo a fessure inclinate
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Modello lineare - calcestruzzo resistente a trazione:
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modello lineare - calcestruzzo non resistente a trazione
La trattazione alla Jourawski è alla base delle formule del metodo delle TA. Si deve considerare lasezione reagente, che dipende da M e N.
id bJ
*VS
Per flessione semplice la max si ha sull’asse neutro che è baricentrico.
Per presso-flessione la max si ha sull’asse baricentrico; la poi decresce fino all’asse neutro.
Per tenso-flessione, il baricentro della sezione reagente è sotto l’asse neutro, quindi il diagramma
delle è interrotto bruscamente in corrispondenza dell’asse neutro.
M=130 kN N=480 kN N=-320
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La vecchia italiana (DM’92), nell’ambito del metodo delle TA, prescrive che non è necessario ilcalcolo dell’armatura a taglio (nelle travi deve comunque essere posata l’armatura minima) se:
75
154,00
ck
c
R
Prescrive inoltre che la non deve superare il valore (resistenza delle bielle compresse di cls):
35
154,11
ck
c
R
Dopo l’instaurarsi della fessurazione gli sforzi subiscono una grande ridistribuzione.
Lo studio delle direzioni e delle tensioni principali è di scarsa rilevanza, dato che sisviluppano meccanismi resistenti totalmente differenti. Non avrebbe senso parlare ditensioni alla Jouraswki.
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Secondo l’approccio tradizionale del modello di Ritter-Mörsch, in assenza di armatura ataglio la trave non sarebbe in grado di sostenere incrementi di taglio oltre il valore di
prima fessurazione.
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3. TRAVI NON ARMATE A TAGLIO
Considerando un generico concio di trave, Per travi rettilinee la relazione tra taglio emomento è:
p(x)
M
dx
V M+dM
V+dV
(A) z = cost COMPORTAMENTO A TRAVE (z costante)
(B) T = cost COMPORTAMENTO AD ARCO (z variabile)
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(A) COMPORTAMENTO A TRAVE (z=cost) - V= z (dT/dx)
Comportamento possibile se è garantita l’aderenza tra calcestruzzo ed armatura. Nell’ipotesi di perfetta aderenza, lo scorrimento q deve essere trasmesso dal corrente tesoa quello compresso.
dT/dx è la risultante del flusso degli sforzi di aderenza lungo il concio di lunghezza dx.
Il comportamento a trave è governato dalla resistenza massima dell’aderenza qmax, che èindipendente dalle condizioni di carico. La resistenza massima a taglio nel comportamentoa trave risulta quindi: Vmax= z qmax
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… Dopo la fessurazione non è possibile contare sulla distribuzione classica di per latrasmissione dello scorrimento: l’esistenza di sulla sezione parzializzata è un controsenso
perchè comporta implicitamente la esistenza di t di trazione. Esistono altriMECCANISMI RESISTENTI che permettono la trasmissione dello scorrimento
MECCANISMI RESISTENTI
1) Comportamento a pettine – “effetto pettine”
2) resistenza del cls integro nella zona compressa
3) resistenza per ingranamento degli inerti
4) resistenza per effetto spinotto
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1. Effetto Pettine
Le mensole di cls che si oppongono allo scorrimento. Il taglio è proporzionale alla
variazione di momento e quindi alla variazione Ns di tiro che può essere incassata perflessione dal dente.
Il contributo resistente è funzione della rigidezza della mensola:
- decresce all’aumentare della luce della mensola con l’avanzare della fessurazione;
- decresce al restringimento della sezione incastrata a seguito della propagazione dellafessura.
- è funzione della resistenza a trazione del cls (funzione di f ck )
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2. Resistenza del cls integro nella zona compressa
Risultante sforzi di taglio sopra la fessura+ 20% - 40% di VRd
+ Affidabile
Uno sforzo assiale di compressione incrementa la resistenza a taglio perché incrementa ledimensioni del corrente compresso e riduce l’altezza dei denti del pettine. La trazioneinvece riduce fortemente la resistenza a taglio.
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3. Resistenza per ingranamento degli inerti
Tra i blocchi di cls nascono degli scorrimenti relativi. Le asperità dei lembi delle fessure sioppongono allo scorrimento
Contributo modesto per sezioni soggette a trazione e per cls ad alte prestazioni
Il contributo resistente diminuisce al crescere dell’apertura di fessura.
fino a 50-70% di VRd; meccanismo affidabile per cls di normale resistenza
S
Kw
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4. Resistenza per effetto spinotto
L’armatura longitudinale si oppone allo scorrimento relativo tra i blocchi di cls.
Contributo resistente funzione:- della rigidezza flessionale dell’armatura;
- dell’altezza del copriferro;
- dell’interferro dell’armatura;
- della resistenza a trazione del calcestruzzo;
- presenza di staffe (per il contenimento spinte a vuoto sul copriferro).
fino a 20% di VRd; meccanismo poco affidabile.
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Riepilogando ……
T = T 1-T 2 = Gradiente di trazione nell’armatura(aderenza);va1 e va2 = sforzi dovuti ingranamento degli inerti lungo ilembi della fessura (esistono solo se c’è spostamento
relativo lungo la fessura);V d1 e V d2 = azione spinotto (esiste solo se c’è
spostamento relativo lungo la fessura);V h , P, M c = forze che nascono all’incastro della mensola
per equilibrio.
La resistenza alla variazione di sforzo nell’armatura (T) è offerta dall’ingranamento
degli aggregati, dall’azione spinotto e dal momento di incastro nella mensola, oltre chedalla resistenza del cls nella zona compressa.
Quantificare l’effetto dei singoli contributi è impossibile poiché i meccanismiinteragiscono tra loro. Es.: l’effetto ingranamento degli inerti è efficiente in presenza difessure di modesta apertura, viceversa il meccanismo a spinotto subentra quando le fessure
sono molto aperte e gli scorrimenti tra i blocchi significativi.
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(B) COMPORTAMENTO AD ARCO (z=cost) -
In assenza di aderenza tra armatura e calcestruzzo:
dT/dx
dx z d C
dx z d T V )()(
La resistenza a taglio può essere offerta solo dalla componente verticale della
compressione nel puntone inclinato. Nello spessore della trave si organizza un sistemaarco+catena .
Contributo resistente funzione di:- Efficiente ancoraggio delle armature agli appoggi;
- Il meccanismo ad arco si può instaurare solamente a spese dello scorrimento
dell’ancoraggio all’appoggio.
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Il meccanismo ad arco NON è affidabile nei seguenti casi:
1) Armatura non continuain funzione del contenimento esercitato da
f 1 potrà formarsi soltanto l’arco a1; perl’attivazione degli archi a2 e a3 è necessaria
l’introduzione di staffe che contrastino le fortispinte verticali.
2) Travi a T
- difficile deviare il puntone compressonell’anima della trave; se la piattabanda èmolto larga, il puntone può essere deviatogradualmente all’interno dell’anima solo se si
inseriscono armature verticali in grado diriprendere le spinte verticali.
a1
a3 a2 f 1
T
T
C
B
bw
T
C
T
C
B
bw
T
C
R
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COMPORTAMENTO SPERIMENTALE DI TRAVI NON ARMATE A TAGLIO
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Figura: Taglio e Momento flettente a colasso al variare del rapporto a/d
a/d<2 collasso dei puntoni dell’arco
a/d>3 collasso dei meccanismi a trave
2<a/d<4 valle del Kani (1967).
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3.1.
Normativa Italiana: NTC2008
È consentito l’impiego di solai, piastre e membrature a comportamento analogo, sprovviste diarmature trasversali resistenti a taglio.
La resistenza a taglio VRd di tali elementi deve essere valutata, utilizzando formule di comprovataaffidabilità, sulla base della resistenza a trazione del calcestruzzo.
La verifica di resistenza (SLU) si pone con
VRd ≥ VEd (4.1.13)
dove VEd è il valore di calcolo dello sforzo di taglio agente.
Con riferimento all’elemento fessurato da momento flettente, la resistenza al taglio si valuta con
k = 1 + (200/d )1/2≤ 2 vmin = 0,035 k 3/2 f ck
1/2
d è l’altezza utile della sezione (in mm); 1 = Asl /(bw×d ) è il rapporto geometrico di armatura longitudinale (≤ 0,02);
σ cp = N Ed / Ac è la tensione media di compressione nella sezione (≤ 0,2 f cd );
bw è la larghezza minima della sezione (in mm).
d b15.0vd b15.0/f 100k 18.0V wcpminwcpC3/1
ck Rd 1
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Si noti che la resistenza a taglio, in assenza di armatura specifica, varia poco con la resistenza delcalcestruzzo, dipendendo dalla radice cubica di f ck .
Nella formula si possono riconoscere i contributi di:- effetto pettine → f ck - effetto spinotto → l
- ingranamento degli inerti → k- effetto dello sforzo assiale → cp - effetto arco →
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L’effetto arco può essere sfruttato bene in prossimità degli appoggi, riducendo il contributo al tagliodi carichi concentrati applicati in prossimità degli appoggi stessi, purché l’armatura sia
adeguatamente ancorata.
Il D.M.’96 e l’EC2 consentono di ridurre il contributo al taglio di carichi concentrati applicati ad unadistanza a dal filo dell’appoggio minore di 2,5d, purché l’armatura sia adeguatamente ancorata.
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Esempio:
Solaio in latero-cemento 20+4 con travetti da 10cm, interasse 50cm e armati sull’appoggio con
110+114, cls C20/25 (f ck =20MPa).
Si noti che con il metodo delle tensioni ammissibili si avrebbe cheVadm = co [bw 0,9d]
Applicando il coefficiente di sicurezza, il taglio resistente allo SLU sarebbeVadm x 1.5=31,6 kN, valore superiore a quello ammesso dalle nuove NT2008 (+18%)
Applicando il coefficiente di sicurezza 1,5 il taglio resistente alla SLU sarebbe 21,1·1,5=31,6 kN,
valore notevolmente maggiore (18%) di quello ammesso dalla nuova normativa.
kN8,261000/2202006,0d b/f 100k 18.0V
29535,1220
200
1d
200
1k
01059,02220
)54,179,0(2
wC3/1
ck c,Rd
l
1
kN1.211000/2209,0200533.0V
MPa533,0
75
15R 4,0
adm
ck 0C
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4. TRAVI ARMATE A TAGLIO
RUOLO DELL’ARMATURA: La presenza di staffe risulta benefica nei confronti deimeccanismi visti in assenza di staffe. Inoltre, in aggiunta alla forza T resistita dai
meccanismi visti, si ha una ulteriore forza T’, resistita da quello che viene generalmentechiamato “comportamento a traliccio”.
La presenza di staffe:
sostiene l’armatura longitudinale - migliora il contributo dell’effetto spinotto;
riduce o sopprime la trazione all’incastro della “mensola” grazie all’insorgere dellacompressione Cd, conseguente al comportamento a traliccio, nella zona compresa tra
due fessure;
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limita l’apertura delle fessure diagonali, migliorando l’effetto dell’ingranamento;
fornisce confinamento al calcestruzzo compresso (con staffe vicine), migliorando laresistenza a compressione delle zone interessate dall’effetto arco.
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Armatura con sagomati a 45°
Modello basato sullo stato tensionale
Traliccio di M örsch
I due modelli danno gli stessi risultati.
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Nel tratto 2z i ferri sagomati devono portare la forza 2V . Se i ferri hanno passo s, il loro numeronel tratto 2z (passo del traliccio) è 2z/s, quindi l’area necessaria per ciascun sagomato è:
s s sag
z
sV
s z
V A
2)/2(
2
Armatura con staffe e ferri di parete
Usata in passato nell’Italia centrale e meridionale. La forza di trazione viene scomposta nelle duedirezioni .
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Armatura con staffe
Nel tratto z le staffe devono portare la forza V. Se le staffe hanno passo s, il loro numero nel tratto z
(passo del traliccio) è z/s, quindi l’area necessaria di ciascuna staffa (con n bracci) è:
s s st
z n sV
s z nV A
)/(
La forza di compressione nel puntone è 2V , come nel caso dei sagomati, ma agisce su un puntonedi altezza dimezzata.
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Metodo normale
Nella precedente edizione dell’EC2 e nel D.M.’96 erano presenti due metodi di verifica:
- il “metodo normale” nel quale si sommava la resistenza a taglio del solo cls (VRd,c) con la
resistenza dell’armatura (staffe e piegati), calcolata con il modello del traliccio di Mörsch, cioè
con puntoni a 45°
- il “metodo dell’inclinazione variabile del traliccio” nel quale si considera solo la resistenza
dell’armatura a taglio, ma si possono considerare inclinazioni del puntone < 45°
Nella versione attuale dell’EC2 e nel D.M. 2008 è ammesso solo il secondo metodo (la resistenzadel calcestruzzo non può essere sommata a quella dell’armatura).
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4.2 METODO DELL’INCLINAZIONE VARIABILE DEL TRALICCIO (EC2 e DM2008)
Il traliccio ISOSTATICO (TRALICCIO DI MÖRSCH) è costituito da un correnteinferiore teso (armatura longitudinale), da un corrente superiore compresso (cls) e da unsistema di bielle compresse (cls) e tese (armature trasversali o di parete).
Nel traliccio isostatico le armature di parete hanno interasse s pari a:
cotcotzs La forza massima di trazione della singola barra di armatura è pari a (n b bracci delle staffe):
bsywswywst nAf Af F
Il traliccio IPERSTATICO è dato dalla sovrapposizione di n tralicci semplici. Il taglio esterno
viene quindi diviso fra gli n tralicci isostatici, con passo s e braccio della coppia interna z:
molteplicità del traliccio: s/cotcotzn
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4.2.1 RESISTENZA DELGI ELEMENTI TESI
La resistenza a taglio è raggiunta con lo snervamento delle armature trasversali.Se si opera una sezione di Ritter parallela ai puntoni di cls (inclinata di ), la resistenza ataglio è data dalla componente verticale della trazione delle nST staffe che intercettano lafessura, che corrisponde alla molteplicità del traliccio n.
s/cotcotzncon
sinAf s/cotcotzV
sinFnV
nAf Af F
st
swyws,Rd
ststs,Rd
bsywswywst
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4.2.2 RESISTENZA LATO ELEMENTI COMPRESSI
La resistenza a taglio è raggiunta con lo schiacciamento dei puntoni di calcestruzzo. Se siopera una sezione di Ritter parallela alle armature trasversali (inclinata di a), la resistenzaa taglio è data dalla componente verticale della azione assiale NC di compressione agentesul puntone di calcestruzzo che intercetta la fessura. f c è la resistenza del calcestruzzo a
compressione; bw è la larghezza della sezione; l’inclinazione dei puntoni el’inclinazione dell’armatura.
2
2wcc,Rd
wcc,Rd
Cc,Rd
cot1/1sincon
cot1/cotcotz bf Vsinsincotcotz bf V
sin NV
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La resistenza del traliccio è data dal valore minimo della resistenza lato elementi tesi e
della resistenza lato elementi compressi:
min tra resistenza lato acciaio e resistenza lato cls.
c,Rds,RdRd V;VminV
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4.2.3 NORMATIVA ITALIANA D.M. 2008
La resistenza a taglio VRd di elementi strutturali dotati di specifica armatura a taglio deveessere valutata sulla base di una adeguata schematizzazione a traliccio. Gli elementi
resistenti dell’ideale traliccio sono: le armature trasversali, le armature longitudinali, il
corrente compresso di calcestruzzo e i puntoni d’anima inclinati. L’inclinazione dei puntoni di calcestruzzo rispetto all’asse della trave deve rispettare i limiti seguenti:
1 ≤ ctg ≤ 2,5 (4.1.16) [21°.8 < < 45°]
La verifica di resistenza (SLU) si pone conVRd ≥ VEd (4.1.17)
dove VEd è il valore di calcolo dello sforzo di taglio agente.
Con riferimento all’armatura trasversale, la resistenza di calcolo a “taglio trazione”e laresistenza di calcolo a “taglio compressione” valgono:
sincotcotf s
Ad9,0V yd
swRsd 2
cdcwRcd cot1/cotcot'f bd9,0V
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4.2.4 OSSERVAZIONI:
(i) La resistenza dei puntoni decresce con cot
mentre la resistenza delle staffe aumentacon cot
(ii) Scelta dell’inclinazione dei puntoni : tradizionalmente si pone: = 45°. Tale valore
NON sempre è cautelativo. Si consideri che il taglio sollecitante sia pari al taglio resistente
lato acciaio:
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lontano dagli appoggi le fessure sono quasi verticali e la forza attesa nella staffa sottostima
il valore della forza presente.
(iii) La scelta dell’inclinazione dei puntoni dovrebbe essere operata in base al rapporto
L/H:
tan
sin
cotcot
sin,
sz
VF90se
s
z
VF
FnVV
Est
Est
ststEsRd
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(iv) Agli appoggi l’armatura longitudinale deve resistere ad uno forza di trazione almeno
pari al taglio. La scelta di puntoni eccessivamente inclinati riduce l’armatura a taglio ma
incrementa enormemente il tasso di lavoro nell’armatura longitudinale e nei puntoni
compressi. Il DM2008 consente di considerare sempre T=R, ovvero agli appoggi l’angolo
è assunto pari a 45°
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Le armature longitudinali, dimensionate in base alle sollecitazioni flessionali, dovranno
essere prolungate di una misura pari a:
In presenza di staffe l’armatura a flessione va calcolata in base al momento “traslato” di z/2 (ècomunque conservativo considerare z=0.9d)