Download - 9. előadás SZLUCKIJ-TÉTEL
9. előadás
SZLUCKIJ-TÉTEL
Kertesi Gábor
Varian 8. fejezete erősen átdolgozva
2Kertesi mikro – http://www.econ.core.hu/~kertesi/kertesimikro/
9.1 A probléma
– Hogyan változik a fogyasztói magatartás a gazdasági környezet változásánakkövetkeztében, s miből adódhat ez a változás? – Megváltozik egy vagy több ár, változik afogyasztó jövedelme, változnak a fogyasztás egyéb külső körülményei. A változásokhatásának elemzésekor a fogyasztó keresleti függvényeit használjuk. Mik is azok? –Függvények sorozatai, amelyek megadják a fogyasztó teljes jószágkosarát képező javakmindegyi-kének optimális mennyiségét az összes jószág árának, a fogyasztó jövedelménekés egyéb lényeges külső körülményeknek – környezeti változóknak1 – a függvényében.Algebrailag:
9.1 fólia
– Kétféle egyszerűsítést alkalmazunk: (a) eltekintünk a környezeti hatásokat kifejezőváltozóktól; (b) a grafikus ábrázolás kedvéért a teljes jószágteret kétdimenziósra szűkítjük(n elemű vektor helyett kételemű vektor). Világosan látnunk kell: soha sem egyetlenkeresleti függvénnyel van dolgunk, hanem mindig a keresleti függvények rendszerével,amely pontosan annyi egyenletből tevődik össze, ahány jószágból a fogyasztójószágkosara áll. Kétdimenziós jószágtér esetében az alábbi egyenletrendszerreldolgozunk:
9.2 fólia
– Jól látható, hogy három független változónk van: a két termék ára és a fogyasztójövedelme. A múlt előadáson az itt felvetett problémát már tárgyaltuk: megvizsgáltuk, mitörténik az x1 jószág optimális fogyasztásával akkor, ha (a) valamennyi (itt: mindkét) árrögzítése mellett változik a jövedelem, illetve ha (b) az x1 jószág ára (p1) változik,miközben a többi termék (itt: a másik termék) ára és a fogyasztó jövedelme változatlanmarad.
– Hamarosan látni fogjuk, hogy a múlt órán alkalmazott megközelítés egy sor, sokszempontból megengedhetetlen egyszerűsítést tartalmazott:
(a) noha kétjószágos modellt alkalmaztunk, a jövedelemváltozás hatását csak az egyikjószágra nézve követtük, a másik jószág fogyasztásának esetleges változásátfigyelmen kívül hagytuk;
(b) nem vettük figyelembe azt a tényt, hogy ha egy ár változik (pl. csökken),miközben a másik ár és a fogyasztó nomináljövedelme változatlan marad, akkor afogyasztó reál-jövedelme (jövedelmének reálértéke) is változik (nő), melynekkövetkeztében fogyasztása valamennyi általa fogyasztott jószágból változhat;
(c) ugyanebben az esetben az árváltozásnak csak az adott jószág fogyasztásáragyakorolt hatását – a saját ár hatását – vettük számításba, és figyelmen kívülhagytuk azt a körülményt, hogy akárha csak egyetlen ár változik is, azzal aköltségvetési korlátunkhoz tartozó valamennyi árarány megváltozik, s ez
1 Mik lehetnek ezek? A szokások változása (például egészséges életmódra való áttérés), a divat változása,találmányok, új termékek, termékvariánsok megjelenése, a preferenciákat érő véletlen sokkok (példáulbioterrorizmus megjelenésének hatása a gázálarcok iránti keresletre), állami szabályozás (bizonyostevékenységek hatósági tiltása vagy kötelezővé tétele).
3Kertesi mikro – http://www.econ.core.hu/~kertesi/kertesimikro/
reagálásra késztet bennünket a fogyasztásunk tárgyát képező minden egyéb jószágfogyasztásával kapcsolatban.
– Ezeket az egyszerűsítéseket azonban csupán kifejtéstechnikai okokból alkalmaztuk annakérdekében, hogy néhány fontosabb fogalom jelentését világosabban lássuk. Bevezettük (a)a jövedelem-ajánlati görbét és a belőle származtatható Engel-görbét, (b) az ár-ajánlatigörbét és a belőle származtatható keresleti görbét (illetve az inverz keresleti görbét), (c) ahelyettesítés és a komplementaritás (kiegészítés), végül pedig (d) a normál, azalsóbbrendű és a Giffen-javak fogalmát. Mindezek a fogalmak a keresleti elemzés igenhasznos, jól bevált technikai eszközei. A múlt előadáson bemutatott összefüggésekazonban nem helyettesíthetik az árak és a jövedelem változására vonatkozó fogyasztóireakciók teljes körű elemzését. Ebben az előadásban erre teszünk kísérletet.
– Miért fontos ez? Erre a kérdésre a következő előadáson kapjuk meg a választ, amikor azegyéni keresleti függvények aggregálásával megkapjuk a piaci keresleti függvényeket.Intuitíve azonban már most is sejthetjük, hogy a piaci keresleti függvények (és alehetséges változások hatásirányainak) ismerete nem lehet közömbös a szóban forgó javaktermelőinek és forgalmazóinak. Továbbá azt is sejthetjük, hogy a gazdaság egészébenelőforduló valamennyi termékcsoport piaci keresleti függvényének aggregálása révénkeletkező makroszintű keresleti függvény ismerete nem lehet közömbös agazdaságpolitika irányítói számára.
9.2 A jövedelem- és helyettesítési hatás bevezetése
– Ha valamely exogén (külső) oknál fogva a keresleti rendszer egyik eleme megváltozik(megnő a fogyasztó jövedelme, vagy megváltozik az egyik ár, vagy akár mindkét ár),akkor annak következményei a keresleti rendszer minden elemében éreztetik hatásukat.Induljunk ki abból az egyszerű esetből, hogy csak egyetlen ár változik (p1 csökken),miközben a másik jószág ára és a fogyasztó pénzjövedelme nem változik. Már a múlt óránis láttuk, mi történik ekkor:
9.3 fólia
– Az új árarányoknak megfelelően áttértünk egy magasabb hasznossági szintet képviselőközömbösségi görbére. Az optimális választáshoz itt az érintőfeltételnek teljesülnie kell.Mi lenne, ha nem teljesülne? (Lásd a 7. előadás során alkalmazott arbitrázs-érvet!)
– De miért is kerültünk ez esetben az eredetinél magasabb hasznossági szintre? Ha egykéttermékes világban az egyik jószág ára csökken, miközben a másik ár és a jövedelemváltozatlan marad, akkor fogyasztó elkölthető jövedelme többet ér (több jószág vásár-lására alkalmas), mint korábban. Nomináljövedelme nem változott, de jövedelménekvásárlóértéke (reáljövedelme) megnőtt. Nyilvánvalóan többet fog fogyasztani valamelyik(esetleg mindkét) termékből.2 Ezt a hatást nevezzük jövedelemhatásnak. Mivel jól
2 Milyen feltétel mellett érvényes ez a következtetés? Akkor, ha a fogyasztónak nincs megtakarítása, vagyis haaz így megnövekedett reáljövedelméből nem rak félre jövőbeli fogyasztása céljaira. Ebben a modellben nincsidő. Jövedelmünket teljesen elköltjük. A mikroökonómia tárgy második félévében látunk majd olyan modellt is,amelyben szerepel megtakarítás, és így jelenbeli jövedelmünk egy részét átcsoportosíthatjuk jövőbelifogyasztásra.
4Kertesi mikro – http://www.econ.core.hu/~kertesi/kertesimikro/
viselkedő preferenciák esetén, a monotonitás feltétele miatt a több egyszersmind jobb,magasabb hasznossági szintre (magasabb indexű közömbösségi görbére) kerülünk.
– Másrészt az x1 jószág árának változása – mint említettük – megváltoztatja a rendszerbenelőforduló összes (n–1) árarányt is, jelen esetben a két termék árarányát:
)/()/( 2121 pppp <′ . x1 jószág relatíve olcsóbb lett x2-höz képest. Ha az eredeti döntésünk(p1, p2 áraknak és m jövedelemnek megfelelő optimális fogyasztás) ( *
2*1 , xx ) pontjában
egyfelől értékeljük azt, hogy számunkra szubjektíve milyen értéket képvisel a két termékegymáshoz képest (vagyis mekkora a helyettesítési határráta), másfelől mibe kerül a kéttermék objektíve a piacon egymáshoz képest (vagyis milyen arányban tudnánk egyiket amásikra cserélni), akkor azt látjuk, hogy az új árarányok mellett nem maradhatunk megeredeti választásunknál.
9.4 fólia
– Az adott pontban ugyanis az x1 termék az x2-höz képest nagyobb értéket képviselszámunkra, mint amibe kerül, vagy fordítva nézve: az x2 termék az x1-hez képest kisebbérteket képvisel, mint amibe kerül3. Optimális fogyasztói kosarunk összetételét tehát megkell változtatnunk: több x1 mennyiséget és kevesebb x2 mennyiséget kell fogyasztanunk.Fogyasztási szerkezetünkben x2 jószág egy részét x1-gyel helyettesítjük. Ezt a hatástnevezzük helyettesítési hatásnak.
9.3 A helyettesítési hatás és a jövedelemhatás szétválasztása grafikuseszközökkel
– Egy jószág árának változása (itt: csökkenése) tehát kétfajta következménnyel jár: egyrésztaz árcsökkenés megnöveli jövedelmünk reálértékét, ezért (legalább az egyik termékből)többet fogunk fogyasztani (jövedelemhatás), másrészt az árarány változása miatt a relatíveolcsóbbá vált jószágból többet, a relatíve megdrágult jószágból pedig kevesebbet fogunkfogyasztani (helyettesítési hatás). Hogyan lehetne ezt a két hatást szétválasztani?
– A helyettesítési hatás mérésére két lehetőség kínálkozik: (a) az eredeti döntésünknekmegfelelő reáljövedelmünket (jövedelmünk vásárlóerejét) rögzítjük, és megkeressük arögzített reáljövedelemnek és az új áraránynak megfelelő optimális jószágkosarat (ahelyettesítési hatás Szluckij-féle4 mérése), vagy pedig (b) az eredeti döntésünknekmegfelelő optimális hasznossági szintet rögzítjük, és megkeressük e rögzített hasznosságiszinthez, valamint az új árarányhoz tartozó optimális jószágkosarat (a helyettesítési hatásHicks-féle5 mérése). A két esetben a jövedelemhatás mérése is más.
9.5 fólia
– Mindkét esetben ugyanazt látjuk: a relatíve olcsóbbá vált termékből többet (nemkevesebbet), a megdrágult termékből kevesebbet (nem többet) fogyasztunk. A
3 „Amibe kerül”: egyik jószág alternatív költsége a másik jószág egységében mérve.4 Jevgenyij Szluckij (1880-1948) orosz közgazdász és statisztikus, a modern keresletelmélet egyik úttörője.5 John R. Hicks (1904-1989), Nobel-díjas angol közgazdász, a modern mikroelmélet egyik megteremtője.
5Kertesi mikro – http://www.econ.core.hu/~kertesi/kertesimikro/
továbbiakban mi a Hicks-féle hatás-felbontást (dekomponálást) használjuk.6 Egytovábbi technikai megjegyzés. A grafikus szemléltetés során a legjellegzetesebb(empirikusan leggyakrabban előforduló) esetet fogjuk alapul venni, amikor mindkéttermékünk normál jószág (vagyis a fogyasztás a reáljövedelem emelkedésekor nő).Természetesen más esetek is elképzelhetők (alsóbbrendű vagy Giffen-javak), ezeket a 9.4pontban tárgyaljuk majd.
– A Hicks-féle hatásfelbontás kapcsán azonban egy igen fontos dologra kell fölhívni afigyelmet. Egy korábban tanult modellt alkalmazunk a helyettesítési hatás Hicks-félemérése során:
9.6 fólia
– Megkeressük azt a kiadási szintet, amellyel – adott árarány mellett – a legkisebbköltséggel realizálni tudunk egy általunk előre rögzített hasznossági szintet. Ez az eljárásnem más, mint a 7. előadáson tanult kiadásminimalizálási probléma megoldása.
– A helyettesítési hatás Hicks-féle mérésekor tehát a következőképpen járunk el:
9.7 fólia
Az eredeti árarányok ( 21 / pp ) és jövedelemszint (m) mellett megoldjuk ahaszonmaximalizálási feladatot, és meghatározzuk az optimális megoldáshoz – az Aponthoz ( *
2*1 , xx )-höz – tartozó hasznossági szintet ),(~( *
2*1 xxuu = ). Rögzítjük ezt az u~
hasznossági szintet, és meghatározzuk az u~ -nak és a megváltozott árarányoknak ( 21 / pp′ )megfelelő új optimális megoldást (B pont) és a hozzá tartozó minimális kiadási szintet( m~ ).
Az eredeti optimum (A pont) és az újonnan meghatározott optimum (B pont) köztielmozdulás nem más, mint a helyettesítési hatás mértéke. Vegyük észre, hogy – mint aneve is mutatja – a helyettesítési hatás mindkét jószág fogyasztását érinti: a megváltozottáraránynak (és csakis annak) köszönhetően, a relatíve olcsóbbá vált jószág fogyasztásamegnő, a relatíve megdrágult jószágé pedig lecsökkent, – függetlenül attól, hogy csak azegyik jószág ára változott meg. Terminológia: saját-árhatás ( uupx ~11 |/ =∂∂ ); kereszt-árhatás( uupx ~12 |/ =∂∂ ).
− A jövedelemhatás mérése innen már egyszerűen megoldható: a 11 pp <′ árcsökkenésnekmegfelelő vásárlóerő- (reáljövedelem-) növekedést egyszerűen úgy ábrázoljuk, mintha afogyasztó jövedelme a B ponthoz tartozó minimális kiadási szintről megnőtt volna: mm ~>(ezzel a fogyasztó ismét az eredeti jövedelemszintre került).
9.8 fólia
– Rakjuk össze a modell két elemét: a helyettesítési hatást és a jövedelemhatást.
6 Noha a kétfajta eljárás egyaránt használatos, és bizonyos célokra az egyik, más célokra a másik tűnik jobbnak,a Szluckij-tétel kimondásához és bizonyításához a közgazdászok többnyire a Hicks-féle mérést szoktákhasználni.
6Kertesi mikro – http://www.econ.core.hu/~kertesi/kertesimikro/
9.9 fólia
– A helyettesítési hatás ellentétes előjelű a két terméknél. (Megjegyzés: kéttermékesmodellben elkerülhetetlen, hogy ha egy jószágból nő a fogyasztás – rögzített hasznosságiszint mellett –, a másik jószágból csökkenjen. 2>n termék esetében bonyolultabbösszefüggések is érvényesülhetnek.) Árváltozáskor a kiegészítő (komplementer) javakfogyasztása együtt mozog a kérdéses jószág fogyasztásával, a helyettesítő javakfogyasztása pedig ellentétesen.7 Erről a kérdésről részletesebben beszélünk majd akövetkező órán.
– Mi a helyzet a jövedelemhatással? Mivel a közömbösségi térképet úgy rajzoltuk meg,hogy mindkét termékünk normál jószág legyen, a jövedelemhatás előjele mindkét jószágesetében pozitív: magasabb jövedelem => több fogyasztás.
– A helyettesítési hatás és a jövedelemhatás additív: így a teljes hatás az ábrárólkönnyűszerrel leolvasható.
9.4 Kitérő az alesetekről: alsóbbrendű javak, Giffen-javak
– Ejtsünk néhány szót az alesetekről. Tegyük föl, hogy x1 jószág alsóbbrendű. Egy ilyenjószág fogyasztását a jövedelem növekedése bizonyos jövedelemszint felett inverz módonbefolyásolja. Lehetséges-e, hogy a fogyasztói kosarunkban levő valamennyi (jelenesetben: mindkét) jószág alsóbbrendű legyen? Nem. A jövedelemnövekményt valahogy elkell költeni. Legalább az egyik jószágnak normál jószágnak kell lennie.
– Rajzoljuk újra a preferenciatérképet alsóbbrendű jószág esetén:
9.10 fólia
– Alsóbbrendű javaknál a helyettesítési hatás és a jövedelemhatás ellentétes irányú. A teljeshatás előjele nyilvánvalóan a két hatás abszolút nagyságától függ. Abban az esetben, ha ahelyettesítési hatás erősebb, mint az (ebben a speciális esetben) vele ellentétes irányújövedelemhatás, akkor a teljes hatás negatív marad, jóllehet nagyságát tekintve gyengébblesz, mint abban az esetben, ha a termékünk normál jószág lenne.
– Az alsóbbrendű javak szélsőséges esete a Giffen-jószág, amelynél a helyettesítési hatássalellentétes irányú a jövedelemhatás, s erősebb is, mint a helyettesítési hatás. Ilyenkor ateljes hatás negatív lesz, vagyis a csökkenő árú jószág fogyasztása is csökkenni fog.
9.11 fólia
– Noha ez az eset elvileg lehetséges, empirikusan annyira ritka, hogy gyakorlatiszempontból teljesen érdektelennek tekinthető.
7 Belátható, hogy n termék esetén, ha vannak is kiegészítő javak, valamilyen mértékű helyettesítésnek lennie kella rendszerben.
7Kertesi mikro – http://www.econ.core.hu/~kertesi/kertesimikro/
– E rövid kitérő után visszatérünk a főcsapásra. A korábban bemutatott felbontásnakalgebrai formát is adunk. Továbbá kimondjuk és bebizonyítjuk a keresletelmélet egyikfontos tételét, a Szluckij-tételt.
9.5 A helyettesítési hatás és a jövedelemhatás algebrai szétválasztása:Szluckij-tétel
A tétel kimondásának és bizonyításának lépései a következők:
9.12 fólia
1. lépés: Felelevenítjük a hasznosságmaximalizálási feladatot, és levezetjük belőleszármaztatott (ún. marshalli) keresleti függvényt.
9.13 fólia
2. lépés: Felelevenítjük a kiadásminimalizálási feladatot, és levezetjük a belőleszármaztatott (ún. hicksi) keresleti függvényt.
9.14 fólia
Megjegyzés: a hicksi keresleti függvényt kompenzált keresleti függvénynek is nevezik:)~,,( 1111 uppxx HH = . Ennek az az oka, hogy a függvény definíciójából adódóan ( uu ~= )
nem teszünk egyebet, mint folyamatosan „hozzáigazítjuk” a fogyasztó reáljövedelmét azárváltozásokhoz annak érdekében, hogy a fogyasztót egy rögzített hasznossági szintentartsuk. Pl. ha – mint az előzőekben kifejtett esetben tettük – csökkentjük az egyik árat,akkor a fogyasztó reáljövedelmét is olyan mértékben csökkentjük, amely éppen elegendőahhoz, hogy hasznossági szintje az eredeti optimális döntéséhez tartozó szinten maradjon.Vagy ha – épp ellenkezőleg – növeljük az egyik árat, akkor éppen annyi pótlólagosjövedelemmel „kárpótoljuk” („kompenzáljuk”), hogy új optimális döntését azon feltételmellett tanulmányozhassuk, mintha korábbi optimumának megfelelő hasznossági szintjérőlnem mozdult volna el.
A marshalli keresleti függvényt, melyben ilyen korlátozással nem élünk, analóg módonkompenzálatlan keresleti függvénynek nevezzük.
3. lépés: A hicksi keresleti függvénnyel összhangban bevezetünk egy fontos új fogalmat: akiadási függvényt:
9.15 fólia
A kiadási függvény megadja egy rögzített hasznossági szint eléréséhez minimálisanszükséges pénzkiadás mértékét a mindenkori árak és az elérni kívánt hasznossági szintfüggvényében. A kiadási függvény tehát a mi kéttermékes esetünkben egy háromváltozósfüggvény. Függő változója az adott két árhoz és a rögzített hasznossági szinthezminimálisan szükséges pénzkiadás mértéke, amely kiadási szint a három argumentum – akét ár és a bárhol rögzíthető hasznossági szint – függvényében változhat.
8Kertesi mikro – http://www.econ.core.hu/~kertesi/kertesimikro/
A Szluckij-tétel bizonyítása céljából kiemelünk egyet a kiadási függvény számos fontos (ehelyütt nem részletezett) tulajdonsága közül. Ez a gondolat átvezet a 4. lépéshez.
4. lépés: Kimondjuk a kiadási függvény egy fontos tulajdonságát a Shephard-lemmát(segédtételt).
Shephard-lemma: A kiadási függvény ár szerinti parciális deriváltja (feltéve, hogylétezik) egyenlő a megfelelő jószág hicksi keresleti függvényével.
9.16 fólia
Bizonyítsuk be ezt a tételt.
9.17 és 9.18 fólia
5. lépés: A Szluckij-tétel kimondásához és bizonyításához szükséges legfontosabb gondolata dualitási szemlélet. Intuitíve igen világos és egyszerű dologról van szó. A fogyasztóidöntés problémáját – mint azt a 7. előadás során bemutattuk – kétféleképpen szemlélhet-jük:
(a) Adottnak vesszük a jövedelmünket és az árakat, és megkeressük az ilyen feltételekmellett számunkra elérhető legmagasabb hasznossági szintet. Kiválasztjuk aszámunkra megfizethető legjobb jószágkosarat => hasznosságmaximalizálás.
(b) Fordított módon is eljárhatunk. Rögzíthetünk egy hasznossági szintet, melynélkevesebbel nem érjük be, és megkeressük azt a minimális kiadási szintet (vagyelkölthető jövedelmet), amivel ezt a tervünket megvalósíthatjuk. Kiválasztjuk azadott hasznossági szintet elérő, legkisebb pénzkiadás révén megvásárolhatójószágkosarat => kiadásminimalizálás.
A dualitási szemlélet lényege, hogy minden haszonmaximalizálási problémánakmegfeleltethető egy kiadásminimalizálási probléma, amely pontosan ugyanazt amegoldást (ugyanazt az optimális jószágkosarat) adja, mint a kiindulópontnak választotthaszonmaximalizálási probléma. Ugyanez igaz megfordítva is.
9.19 fólia
De ha ez igaz, akkor az optimális jószágkosarak bármelyikét előállíthatjuk két egymásnakkölcsönösen megfeleltethető kiadásminimalizálási, illetve haszonmaximalizálási feladateredményeképpen. Ezt a hicksi és marshalli keresleti függvények segítségével operacio-nalizálhatjuk. A kiadásminimalizálási problémánál (és ebből adódóan a hicksi keresletifüggvényben) épp azon a hasznossági szinten minimalizáljuk kiadásainkat, ahová ahaszonmaximalizálási probléma megoldásakor eljutottunk. Vagy megfordítva: ahaszonmaximalizálási probléma költségvetési korlátjában (és ebből adódóan a marshallikeresleti függvényben) épp annyi jövedelmet adunk a fogyasztónak, amennyi akiadásminimalizálási feladatban elérni kívánt hasznossági szint realizálásáhozminimálisan szükségesnek bizonyult.
Amennyiben tehát a haszonmaximalizálási problémában szereplő rögzített jövedelmet,illetve a kiadásminimalizálási problémában szereplő rögzített hasznossági szintet az
9Kertesi mikro – http://www.econ.core.hu/~kertesi/kertesimikro/
előbbiek értelmében egymáshoz igazítjuk, akkor az ily módon meghatározott pontokban(jószágkosarak esetében) a marshalli és hicksi keresleti függvények értékei egybeesnek.
6. lépés: A Szluckij-tétel általános kimondásához írjuk föl az előző fólián láthatóazonosságot, és írjuk ki a függvények valamennyi argumentumát. Differenciáljuk azazonosságot valamelyik (az i-edik vagy j-edik) ár szerint.
9.20 fólia
A tételt ezzel kimondtuk, és egyszersmind be is bizonyítottuk. A fenti egyenletetértelemszerűen Szluckij-egyenletnek nevezik.
9.6 A Szluckij-tétel közgazdasági értelmezése és következményei
– Ugyanarról van szó, mint amiről eddig is beszéltünk: a Szluckij-egyenlet pontos formulátad annak, ahogy az árváltozás okozta keresletváltozást komponenseire – helyettesítési ésjövedelemhatásra – bontjuk.
9.21 fólia
– Szorozzuk végig az egyenletet az x1 terméket érintő árváltozással ( 0111 <−′= ppdp ):
9.22 fólia
– Az x1 termék árcsökkenése természetesen hatással van a keresleti rendszer összes többitermékéből (itt: a másik termékből) fogyasztott optimális mennyiségre is:
9.23 fólia
– A saját árhatással kapcsolatban kimondunk egy igen fontos tulajdonságot. Nevezetesen: asaját helyettesítési hatás előjele mindig ellentétes az árváltozás előjelével. Másképpen:a keresett mennyiség változása mindig ellentétes előjelű, mint a szóban forgó termékárának változása:
9.24 és 9.25 fólia
Következmény: A hicksi keresleti függvény negatív (nem-pozitív) meredekségű.
– A fejezet lezárásaként kimondjuk a keresletelmélet egy igen fontos megállapítását, akereslet törvényét8: ha egy termék normál jószág (vagyis fogyasztása a jövedelemnövekedésével emelkedik), akkor az árcsökkenés következtében az illető jószágfogyasztása nő, illetve árnövekedéskor a jószág fogyasztása csökken.
A kereslet törvénye nyilvánvalóan a Szluckij-tétel következménye, ugyanis normál jószágárváltozása esetén mind a saját árhatás (ezt az előbb láttuk be), mind a jövedelemhatásnegatív. Mivel a két hatás összeadódik, a teljes hatás előjele is negatív.
8 Samuelson ezt egyenesen a „keresletelmélet alaptételének” (fundamental theorem of consumption theory)nevezte.
10Kertesi mikro – http://www.econ.core.hu/~kertesi/kertesimikro/
Következmény: normál javak esetén a (marshalli) keresleti görbe negatív (nempozitív) meredekségű. Megjegyzés: amikor jelző nélkül használjuk a „keresleti görbe”kifejezést, akkor mindig – a helyettesítési hatást és jövedelemhatást egyaránt magábanfoglaló – marshalli keresleti görbéről beszélünk.
– Házi feladat: Rajzoljuk le a hicksi és marshalli keresleti görbét egy grafikonra, ésmutassuk meg rajta az árcsökkenés okozta saját helyettesítési és jövedelemhatást.
Jevgenyij Szluckij(1880–1948)
11Kertesi mikro – http://www.econ.core.hu/~kertesi/kertesimikro/
9. előadás
SZLUCKIJ-TÉTEL
MELLÉKLET
Kertesi Gábor
12Kertesi mikro – http://www.econ.core.hu/~kertesi/kertesimikro/
9.1A keresleti rendszer n termék esetén
( )
( )
( )
( )l1ni21nn
l1ni21ii
l1ni2122
l1ni2111
K,...,K,m,p,...,p,...,p,pxx
K,...,K,m,p,...,p,...,p,pxx
K,...,K,m,p,...,p,...,p,pxx
K,...,K,m,p,...,p,...,p,pxx
=
=
=
=
13Kertesi mikro – http://www.econ.core.hu/~kertesi/kertesimikro/
9.2Kéttermékes keresleti rendszer
(környezeti változók nélkül)
( )
( )m,p,pxx
m,p,pxx
2122
2111
=
=
14Kertesi mikro – http://www.econ.core.hu/~kertesi/kertesimikro/
9.3Az árváltozás hatása a fogyasztói döntésre
15Kertesi mikro – http://www.econ.core.hu/~kertesi/kertesimikro/
9.4Az új árarány mellett nem maradhatunk
meg eredeti döntésünknél
16Kertesi mikro – http://www.econ.core.hu/~kertesi/kertesimikro/
9.5A helyettesítési hatás kétféle mérése
17Kertesi mikro – http://www.econ.core.hu/~kertesi/kertesimikro/
9.6A kiadásminimalizálási probléma
18Kertesi mikro – http://www.econ.core.hu/~kertesi/kertesimikro/
9.7Helyettesítési hatás
19Kertesi mikro – http://www.econ.core.hu/~kertesi/kertesimikro/
9.8Jövedelemhatás
20Kertesi mikro – http://www.econ.core.hu/~kertesi/kertesimikro/
9.9A helyettesítési hatás és a jövedelemhatás
együtt
21Kertesi mikro – http://www.econ.core.hu/~kertesi/kertesimikro/
9.10Alsóbbrendű jószág (x1)
22Kertesi mikro – http://www.econ.core.hu/~kertesi/kertesimikro/
9.11Giffen-jószág ≡ szélsőségesen
alsóbbrendű jószág (x1)
23Kertesi mikro – http://www.econ.core.hu/~kertesi/kertesimikro/
9.12A Szluckij-tétel levezetésének
logikai lépései
1. lépés: hasznosságmax. ⇒ marshalli keresleti fv.
2. lépés: kiadásmin. ⇒ hicksi keresleti fv.
3. lépés: a kiadási függvény definiálása
4. lépés: a kiadási fv. egy tulajdonsága: Shephard-lemma
5. lépés: dualitás
6. lépés: a Szluckij-tétel kimondása és bizonyítása
24Kertesi mikro – http://www.econ.core.hu/~kertesi/kertesimikro/
9.13Hasznosságmax ⇒ marshalli keresleti fv.
( ) ( ) ( )mxpxpx,xu,x,xLmax 22112121x,x 21
−+λ−=λ
ERF:
0pxu:x
0pxu:x
22
2
11
1
=λ−∂∂
=λ−∂∂
2
1
2
1pp
xuxu
=∂∂∂∂
⇒
0mxpxp: 2211 =−+λ mxpxp 2211 =+⇒
⇒( )( )m,p,px~x
m,p,px~x
2122
2111∗∗
∗∗
=
=marshalli keresleti fv-k
Másképpen: ( ) m,p,pxx 21Mi
Mi =
25Kertesi mikro – http://www.econ.core.hu/~kertesi/kertesimikro/
9.14Kiadásmin ⇒ hicksi keresleti fv.
ERF:
0xup:x
0xup:x
222
111
=∂∂
µ−
=∂∂
µ−
2
1
2
1pp
xuxu
=∂∂∂∂
⇒
( ) 0u~x,xu: 21 =−µ ( ) u~x,xu 21 =⇒
⇒( )( )u~,p,px~x~
u~,p,px~x~
2122
2111
=
= hicksi keresleti fv-k
Másképpen: ( )u~,p,pxx 21Hi
Hi =
( )u~)x,x(uxpxp),x,x(Lmin 21221121x,x 21
−µ−+=µ
26Kertesi mikro – http://www.econ.core.hu/~kertesi/kertesimikro/
9.15A kiadási függvény fogalmának
bevezetése
Kiadási függvény:
( ) ( ){ }
{ }u~u|xpxp
x,xuu~ ,xpxpmin u~,p,pm
2211
21221121
=+=
=≤+=
∗∗
27Kertesi mikro – http://www.econ.core.hu/~kertesi/kertesimikro/
9.16Shephard-lemma
( )u,p,pm 21 kiadási függvény
Shephard-lemma:
( ) ( )u,p,pxp
u,p,pm21
Hi
i
21 =∂
∂
A kiadási függvény ár szerinti parciális deriváltja - feltéve, hogy
létezik - egyenlő a megfelelő jószág hicksi keresleti függvényével.
28Kertesi mikro – http://www.econ.core.hu/~kertesi/kertesimikro/
9.17A Shephard-lemma bizonyítása
− )p,p( 02
01 egy tetszőleges árvektor, u egy rögzített hasznossági
szint.
− )x,x( 02
01 a )p,p( 0
201 -hoz és u-hoz tartozó optimális jószágkosár.
Ez a kiadásmin. feladat megoldása.
− )p,p( 21 egy másik )p,p()p,p( 02
0121 ≠ árvektor.
− Definiáljunk egy )p,p(f 21 segédfüggvényt az alábbiak szerint:
− )u,p,p(mxpxp)p,p(f 21022
01121 −+= ,
− ahol )u,p,p(m 21 : a kiadásmin. feladatból származtatott
kiadási függvény
− Könnyen belátható, hogy: )p,p(f 21 ≥ 0. Miért?
( )02
01 x,x nem feltétlenül opt. )p,p( 21 árak mellett, )u,p,p(m 21
pedig )p,p( 21 árak mellett a minimális kiadás.
29Kertesi mikro – http://www.econ.core.hu/~kertesi/kertesimikro/
9.18A Shephard-lemma bizonyítása (folytatás)
− Ha viszont )p,p()p,p( 02
0121 = , akkor )p,p(f 21 felveszi a
minimumát: )p,p(f 21 = 0
− A minimumpontban azonban: 0p)p,p(f i02
01 =∂∂ (i=1,2)
szükséges feltételek fennállnak.
− Írjuk ki: 0p
)u,p,p(mx
p)p,p(f
i
02
010
ii
02
01 =
∂∂
−=∂
∂ !
− Vagyis: 0i
i
02
01 xp
)u,p,p(m=
∂∂ .
− Mivel )p,p( 02
01 egy önkényesen megválasztott pont volt,
ez tetszőleges )p,p( 21 -re igaz:
( ) ( )u,p,pxp
u,p,pm21
Hi
i
21 =∂
∂
(i=1,2)
30Kertesi mikro – http://www.econ.core.hu/~kertesi/kertesimikro/
9.19Dualitás
31Kertesi mikro – http://www.econ.core.hu/~kertesi/kertesimikro/
9.20A Szluckij-tétel kimondása és bizonyítása
( ) ( )( )u~,p,pm~,p,pxu~,p,px 2121Mi21
Hi ≡
Differenciáljuk tetszőleges pj (j=1,2) szerint!
( )j
21Mi
j
Mi
j
Hi
pu~,p,pm~
m~x
px
px
∂∂⋅
∂∂
+∂∂
=∂∂
lemma) (Shephard xHj=
Így:m~
xxpx
px M
ij
j
Mi
u~uj
Hi
∂∂
+∂∂
=∂∂
=
Átrendezve, megkapjuk a Szluckij-egyenletet:
j
Mi
u~uj
Hi
j
Mi x
m~x
px
px
∂∂
−∂∂
=∂∂
=
(i,j=1,2)
32Kertesi mikro – http://www.econ.core.hu/~kertesi/kertesimikro/
9.21Szluckij-tétel a mi speciális
(dp1<0; p2, m rögzített) esetünkben
1
M1
u~u1
H1
1
M1 x
m~x
px
px
∂∂
−∂∂
=∂∂
=
⇐ ( )m,p,pxx 21M1
M1 =
Saját-árhatás Jövedelemhatás
1
M2
u~u1
H2
1
M2 x
m~x
px
px
∂∂
−∂∂
=∂∂
=
⇐ ( )m,p,pxx 21M2
M2 =
Keresztárhatás Jövedelemhatás
33Kertesi mikro – http://www.econ.core.hu/~kertesi/kertesimikro/
9.22dp1<0 árváltozás hatása x1-re
Szorozzuk végig a Szluckij-egyenletet dp1-gyel!
11
M1
1u~u1
H1
11
M1 dpx
m~x
dppx
dppx
⋅⋅∂∂
−⋅∂∂
=⋅∂∂
=
!0m~d <=
vagyis:
m~dm~
xdp
px
dppx M
11
u~u1
H1
11
M1 ⋅
∂∂
−⋅∂∂
=⋅∂∂
=
TH1 HH1 JH1
34Kertesi mikro – http://www.econ.core.hu/~kertesi/kertesimikro/
9.23dp1<0 árváltozás hatása x2-re
Szorozzuk végig a Szluckij-egyenletet dp1-gyel!
11
M2
1u~u1
H2
11
M2 dpx
m~x
dppx
dppx
⋅⋅∂∂
−⋅∂∂
=⋅∂∂
=
!0m~d <=
vagyis:
m~dm~
xdppxdp
px M
21
u~u1
H2
11
M2 ⋅
∂∂
−⋅∂∂
=⋅∂∂
=
TH2 HH2 JH2
35Kertesi mikro – http://www.econ.core.hu/~kertesi/kertesimikro/
9.24A saját helyettesítési hatás előjele mindig
ellentétes az árváltozás előjelével
36Kertesi mikro – http://www.econ.core.hu/~kertesi/kertesimikro/
9.25A saját helyettesítési hatás előjele mindig
ellentétes az árváltozás előjelével (folytatás)
Vektorokkal:qxqypypx
≤≤
Összeadva és átrendezve:
( )( ) 0xypq ≤−−
Komponensekre bontva:
( )( ) ( )( ) 0xypqxypq 22221111 ≤−−+−−
Ha csak az egyik termék ára változik (vagyis, ha 22 pq = ):
( )( ) 0xypq 1111 ≤−− .
Általánosabban:0xp u~uii ≤∆∆ =
Átrendezve és határértékre nézve:
0px
px
limu~ui
Hi
u~ui
i0
≤∂∂
=∆∆
==→∆
0px
u~ui
Hi ≤
∂∂
=