Download - บทที่ 1 ปริภูมิเวกเตอร์ (Vector space) · (4) ฟังก์ชัน สอดคล้องสมการ ( , ) dy f x y dx บนช่วง
◙ 323731 Theory of Ordinary Differential Equations
Chapter 2 Existence and Uniqueness Theorem 2.1 Existence and Uniqueness Theorem ◙ W.T.Math.KKU 1
บทท 2 ทฤษฏบทเกยวกบการมจรง และมเพยงหนงเดยว ( Existence and Uniqueness Theorem)
___________________________________________________________________ 2.1 ทฤษฏบทเกยวกบการมจรง และมเพยงหนงเดยว ( Existence and Uniqueness Theorem)
พจารณาปญหาคาเรมตน (Initial-Value Problem)
( , )dy
f x ydx
(2.1)
พรอมดวยเงอนไข 0 0( )y x y (2.2) เราจะกลาววา ฟงกชน เปนผลเฉลยของปญหาดงกลาวบนชวง [ , ] กตอเมอ ( )x สอดคลองสมการ (2.1) นนคอ
( ) ( ), ( )d
x f x xdx
ส าหรบทก [ , ]x และ 0 0( )x y การหาผลเฉลยของปญหาดงกลาว ตองอาศยทฤษฎบทตอไปน ทฤษฏบท 2.1.1 ให f เปนฟงกชนตอเนองบน D และ เปนฟงกชนตอเนองบนชวง x และ , ( )x x D ส าหรบทก [ , ]x ถา 0x เปนจดใด ๆ ในชวง 0x แลว จะเปนผลเฉลยของสมการ (2.1) บนชวง [ , ] และสอดคลองเงอนไข 0 0( )x y กตอเมอ สอดคลองสมการเชงปรพนธ
0
( ) 0 , ( )
x
x
x y f t t dt (2.3)
ส าหรบทก [ , ]x
◙ 323731 Theory of Ordinary Differential Equations
Chapter 2 Existence and Uniqueness Theorem 2.1 Existence and Uniqueness Theorem ◙ W.T.Math.KKU 2
พสจน
( ) ถา เปนผลเฉลยของ (2.1)
( , )dy
f x ydx
บนชวง [ , ]
แลวจะไดวา
( ) ( , ( ))dy
x f x xdx
ส าหรบทก [ , ]x โดยการอนทเกรต จาก 0x ถง x จะไดวา
0 0
( ) ( , ( ))
x x
x x
d x f t t dt (2.4)
0
0
( ) ( , ( ))
xx
xx
x f t t dt
0
0
( ) ( ) ( , ( ))
x
x
x x f t t dt
เนองจาก 0 0( )x y
ดงนน 0
0
( ) ( , ( ))
x
x
x y f t t dt (2.5)
ส าหรบทก [ , ]x ( ) ถา สอดคลองสมการ (2.3)
0
0
( ) ( , ( ))
x
x
x y f t t dt
ส าหรบทก [ , ]x เหนไดชดวา 0 0( )x y และจากการหาอนพนธทงสองขาง โดยทฤษฎบทหลกมลของแคลคลส จะไดวา
( ) ( , ( ))d
x f x xdx
แสดงวา ( )x สอดคลองสมการ ( , )dy
f x ydx
และเงอนไข 0 0( )y x y ทก [ , ]x ■
◙ 323731 Theory of Ordinary Differential Equations
Chapter 2 Existence and Uniqueness Theorem 2.1 Existence and Uniqueness Theorem ◙ W.T.Math.KKU 3
ทฤษฏบท 2.1.2 (Existence and Uniqueness Theorem) ให f ตอเนองบน D และ สอดคลองเงอนไขลปชตซ เทยบกบ y ใน D และให 0 0( , )x y เปนจดภายในของ D และ R เปนสเหลยมผนผา ซง
0 0,x x a y y b โดยท R D ถา max ( , )M f x y ทก ( , )x y R และ min( , )b
h aM
แลวจะไดวามผลเฉลย และมเพยงผลเฉลยเดยว บนชวง 0x x h ทสอดคลองปญหาคาเรมตน
( , )dy
f x ydx
(2.6)
และเงอนไข 0 0( )y x y บนชวง 0x x h หมายเหต
1) เนองจาก f เปนฟงกชนตอเนองบน D และสอดคลองเงอนไขลปชตซ และ R เปนโดเมนปดใน D แสดงวามจ านวนจรงบวก 0M ซง
max ( , )M f x y และ ( , )x y R
และจาก min( , )b
h aM
กรณ ba
M จะได h a แสดงวา ผลเฉลย จะอยในชวง
0x x a
และกรณท ba
M จะไดวา b
h aM
แสดงวา ผลเฉลย จะอยในชวง ทเลกกวา คอ
0
bx x h a
M ดงรป
0 0( , )x y
( )x 0y y b
0y y b
0x x a
0x x h 0x x a
0x x h
D R
◙ 323731 Theory of Ordinary Differential Equations
Chapter 2 Existence and Uniqueness Theorem 2.1 Existence and Uniqueness Theorem ◙ W.T.Math.KKU 4
2) ในการพสจน เราจะใชการประมาณคาสบเนอง (Successive approximation or Picard Iterants) ดงน
ให x อยในชวง 0x x h เราก าหนดล าดบของฟงกชน n ดงน
0 0( )x y
1 0 0
0
( ) ( , ( ))
x
x
x y f t x dt
2 0 1
0
( ) ( , ( ))
x
x
x y f t x dt
3 0 2
0
( ) ( , ( ))
x
x
x y f t t dt
0 1
0
( ) ( , ( ))
x
n n
x
x y f t t dt (2.7)
แนวทางการพสจน เราจะแบงการพสจนเปน 5 ขนตอนดงตอไปน
(1) ฟงกชนในล าดบ n ทก าหนดใน (2.7) หาคาไดจรง และมอนพนธตอเนอง และสอดคลองอสมการ
0( )n x y b บนชวง 0x x h และ ท าให ( , ( ))nf x x หาคาได และตอเนองบนชวง 0x x h
(2) ฟงกชนในล าดบ n สอดคลองอสมการ
1
( )( ) ( )
!
n
n n
M khx x
k n บนชวง 0x x h
(3) ( )n x ลเขาแบบเอกรป สฟงกชนตอเนอง บนชวง 0x x h (4) ฟงกชน สอดคลองสมการ
( , )dy
f x ydx
บนชวง 0x x h และสอดคลองเงอนไขเรมตน 0 0( )y x y
(5) มฟงกชน เพยงฟงกชนเดยวทสอดคลองสมการ
( )dy
f xdx
บนชวง 0x x h
◙ 323731 Theory of Ordinary Differential Equations
Chapter 2 Existence and Uniqueness Theorem 2.1 Existence and Uniqueness Theorem ◙ W.T.Math.KKU 5
และสอดคลองเงอนไข 0 0( )x y พสจน ในแตละขนเราจะพจารณาเฉพาะบนชวง 0 0,x x h สวนชวง 0 0,x h x สามารถพสจนในท านองเดยวกน
(1) จะพสจนวา ฟงกชนในล าดบ n ทก าหนดใน (2.7) หาคาไดจรง และมอนพนธตอเนอง และสอดคลองอสมการ
0( )n x y b บนชวง 0x x h และ ท าให ( , ( ))nf x x หาคาได และตอเนองบนชวง 0x x h โดยใชหลกการอปนยเชงคณตศาสตร (Mathematical Induction) พจารณาส าหรบทก x บนชวง 0 0,x x h กรณท 1n จะเหนไดชดวาเปนจรงเนองจาก
1 0 0
0
( ) ( , )
x
x
x y f t y dt
หาคาได และมอนพนธตอเนองบนชวง 0 0,x x h เนองจาก f ตอเนองบน D
และ 1 0 0
0
( ) ( , )
x
x
x y f t y dt
0
0
( , )
x
x
f t y dt
0
x
x
Mdt
0( )M x x Mh b นนคอ 1 0( )x y b ดงนน 1( , ( ))f x x หาคาได และตอเนองบน 0 0,x x h ตอไปจะพจารณากรณทสมมตวาขอความ 1n เปนจรง นนคอ 1n หาคาได และมอนพนธตอเนอง และสอดคลอง 1 0( )n x y b ส าหรบทก x บนชวง 0 0,x x h และ 1, ( )nx x อยในบรเวณ R ทท าให 1, ( )nf x x หาคาได และตอเนอง บน 0 0,x x h และสอดคลองอสมการ
◙ 323731 Theory of Ordinary Differential Equations
Chapter 2 Existence and Uniqueness Theorem 2.1 Existence and Uniqueness Theorem ◙ W.T.Math.KKU 6
1, ( )nf x x M บนชวง 0 0,x x h ตอไปจะแสดงวา n เปนจรง
จาก 0 1
0
( ) ( , ( ))
x
n n
x
x y f t t dt
จะเหนวา n มอนพนธตอเนองบน 0 0,x x h
และ 0 1
0
( ) ( , ( ))
x
n n
x
x y f t t dt
1
0
( , ( ))
x
n
x
f t t dt
0
0
( )
x
x
Mdt M x x Mh b
นนคอ 0( )n x y b และ ( , ( ))nx x อยใน R ท าให , ( )nf x x หาคาได และ ตอเนองบน 0 0,x x h
ส าหรบทก x บนชวง 0 0,x h x สามารถพสจนในท านองเดยวกน โดยหลกการอปนยเชงคณตศาสตร แสดงวาขนตอน (1) เปนจรง ส าหรบทก x บนชวง 0x x h
(2) จะพสจนวา ฟงกชนในล าดบ n สอดคลองอสมการ
1
( )( ) ( )
!
n
n n
M khx x
k n บนชวง 0x x h (2.8)
ขนตอนนจะใชหลกการอปนยเชงคณตศาสตร เชนกน พจารณาส าหรบทก x บนชวง 0 0,x x h กรณท 1n จะเหนชดวา (2.8) เปนจรงเนองจาก
1 0 0
0
( ) ( , )
x
x
x y f t y dt
1 0 0
0
( ) ( ) ( , )
x
x
x x f t y dt
ดงนน 1
1 0 0
( )( ) ( ) ( )
1!
M khx x M x x Mh
k
◙ 323731 Theory of Ordinary Differential Equations
Chapter 2 Existence and Uniqueness Theorem 2.1 Existence and Uniqueness Theorem ◙ W.T.Math.KKU 7
สมมตวา ขอความดงกลาวเปนจรง ส าหรบ 1n นนคอ
1 21
1 2 0
( ) ( )( ) ( ) ( )
( 1)! ( 1)!
n nn
n n
M kh M kx x x x
k n n
(2.9)
บนชวง 0 0,x x h
เนองจาก 1 1 2
0
( ) ( ) [ ( , ( )) ( , ( ))]
x
n n n n
x
x x f t t f t t dt
1 2
0
( , ( )) ( , ( ))
x
n n
x
f t t f t t dt
จาก (1) เราทราบวา 0( )n x y b ส ากรบทก n บนชวง 0 0,x x h โดยการประยกตเงอนไขลปชตซ เมอ 1 1( )ny x และ 2 2( )ny x จะไดวามจ านวนบวก k ซง 1 2 1 2( , ( )) ( , ( ) ( ) ( )n n n nf x x f x x k x x ดงนน
1 1 2( ) ( ) ( ) ( )n n n nx x k x x จากสมมตฐาน (2.9) จะไดวา
2
11 0
0
( ) ( ) ( )( 1)!
x nn
n n
x
Mkx x k t x dt
n
1
10
0
( )( 1)!
xnn
x
Mkt x dt
n
1
0
0
( )
( 1)!
xnn
x
t xMk
n n
1
0( )!
nnMk
x xn
นนคอ
1 1
1 0
( )( ) ( ) ( )
! !
n n nn
n n
Mk Mk hx x x x
n n
◙ 323731 Theory of Ordinary Differential Equations
Chapter 2 Existence and Uniqueness Theorem 2.1 Existence and Uniqueness Theorem ◙ W.T.Math.KKU 8
ดงนน
1
( )( ) ( )
!
n
n n
M khx x
kn
ส าหรบทก x บนชวง 0 0,x x h และทก 1,2,3,...n ส าหรบทก x บนชวง 0 0,x h x สามารถพสจนในท านองเดยวกน โดยหลกการอปนยเชงคณตศาสตร แสดงวาขนตอน (2) เปนจรง ส าหรบทก x บนชวง 0x x h
(3) จะพสจนวา ล าดบ n ลเขาแบบเอกรป สฟงกชนตอเนอง บนชวง 0x x h
พจารณาอนกรม 1
( )
!
n
n
M kh
kn
จากการประยกอนกรมเทยเลอรเราทราบวา
2 3
0
1 ... ...2! 3! ! !
n nx
n
x x x xe x
n n
ดงนน
1 1
( ) ( )( 1)
! !
n nkh
n n
M kh M kh Me
kn k n k
แสดงวา 1
( )
!
n
n
M kh
kn
เปนอนกรมทลเขา
และจาก (2) ส าหรบทก x บนชวง 0x x h และทก 1,2,3,...n เราทราบวา
1
( )( ) ( )
!
n
n n
M khx x
k n
โดย Weierstrass M-Test จะไดวา
1
1
( ) ( )i i
i
x x
เปนอนกรมทลเขาแบบเอกรป
ท าให 0 1
1
( ) ( )i i
i
y x x
เปนอนกรมทลเขาแบบเอกรปดวย
เนองจาก 0 1
1
( ) ( ) ( )n
i i n
i
y x x x
ดงนน n เปนล าดบทลเขาแบบเอกรปบน 0x x h แสดงวาม ฟงกชน ทนยามบนชวง 0x x h
◙ 323731 Theory of Ordinary Differential Equations
Chapter 2 Existence and Uniqueness Theorem 2.1 Existence and Uniqueness Theorem ◙ W.T.Math.KKU 9
ทท าให lim nn
(2.10)
และโดยทฤษฏบท 1.4.1 จะไดวา เปนฟงกชนตอเนอง บน 0x x h ดงนน ล าดบ n ลเขาแบบเอกรป สฟงกชนตอเนอง บนชวง 0x x h (4) จะแสดงวา เปนผลเฉลยทตองการ เนองจากแตละ , 1,2,3,...n n สอดคลองอสมการ 0( )n x y b บนชวง 0x x h ท าให 0( )x y b บนชวง 0 0,x x h ดวย และโดยการประยกตเงอนไขลปชตซ เมอ 1 ( )y x และ 2 ( )ny x จะไดวา ( , ( )) ( , ( )) ( ) ( )nf x x f x x k x x (2.11) และจากขนตอน (3) ก าหนด 0 จะมจ านวนเตมบวก 0N
ซงท าให ( ) ( )nx xk
ส าหรบทก n N ส าหรบทก 0 0,x x h x h ดงนน
( ) ( ) ( )nk x x kk
(2.12)
จาก (2.11) และ (2.12) จะไดวา ( , ( )) ( , ( ))nf x x f x x ทก n N ส าหรบทก 0 0,x x h x h ดงนน ล าดบของฟงกชน ( , ( ))nf x x ลเขาแบบเอกรปสฟงกชน ( , ( ))f x x และเนองจากแตละฟงกชน ( , ( ))nf x x เปนฟงกชนตอเนอง ดงนน โดยทฤษฎบท 1.4.1 แสดงวา
( , ( ))f x x เปนฟงกชนตเนองบน 0 0,x h x h
และ 1 0
0
( ) lim ( ) lim ( , ( ))
x
n nn n
x
x x y t t dt
0
0
lim ( , ( ))
x
nn
x
y f t t dt
นนคอ 0
0
( ) ( , ( ))
x
x
x y f t t dt (2.13)
โดยทฤษฎบท 2.1.1 จะไดวา ( )x เปนผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ
( , )dy
f x ydx
บนชวง 0 0,x h x h
◙ 323731 Theory of Ordinary Differential Equations
Chapter 2 Existence and Uniqueness Theorem 2.1 Existence and Uniqueness Theorem ◙ W.T.Math.KKU 10
และ เงอนไข 0 0( )y x y ตามตองการ (5) ในขนสดทายน เราจะแสดงใหเหนวา มเพยงผลเฉลยเดยวเทานน สมมตวา มผลเฉลยอน ๆ คอมผลเฉลย บน 0 0,x h x h ซงท าให
( ) ( , ( ))dy
x f x xdx (2.14)
และ 0 0( )x y (2.15) แสดงวา 0( )x y b ให 1x เปนจดซงท าให 0( )x y b ส าหรบ x ซง 0 1x x x และ 1 0( )x y b สมมตวา 1 0x x h
ดงนน 1 01
1 0 1 0
( )x y b bM M
x x x x h
แตโดยทฤษฎบทคาเฉลยส าหรบอนพนธ จะม c ซง 0 1x c x ซง 1 ( ) ( , ( ))M c f c c M ซงท าใหเกดขอขดแยง แสดงวาสมมตฐานทวา 1 0x x h จงเปนไปไมได ดงนน 1 0x x h จงท าให 0( )x y b บนชวง 0 0,x x h และเนองจาก เปนผลเฉลยหนง โดยทฤษฎบท .2.1.1 จะไดวา
0
0
( ) ( , ( ))
x
x
x y f t t dt (2.16)
บนชวง 0 0,x x h ตอไปเราจะพสจนโดยการอปนยเชงคณตศาสตร วา
0( )( ) ( )
!
n n
n
k b x xx x
n
(2.17)
กรณท 1n จะเหนวา x
◙ 323731 Theory of Ordinary Differential Equations
Chapter 2 Existence and Uniqueness Theorem 2.1 Existence and Uniqueness Theorem ◙ W.T.Math.KKU 11
1 0
0
( ) ( ) ( , ( )) ( , )
x
x
x x f t t f t y dt
0 0
0
( ( ) ( )
x
x
k f t y dt kb x x
สมมตวา ขอความ (2.17) เปนจรง ส าหรบกรณ 1n นนคอ
1 1
01
( )( ) ( )
( 1)!
n n
n
k b x xx x
n
(2.18)
บนชวง 0 0,x x h ดงนน จาก (2.18) และนยามของ n จะไดวา
1
0
( ) ( ) ( , ( )) ( , ( ))
x
n n
x
x x f t t f t x dt
1
0
( , ( )) ( , ( ))
x
n
x
f t t f t x dt
และโดยเงอนไขลปชตซ จะไดวา
1
0
( ) ( ) ( ) ( )
x
n n
x
x x k t t dt
จาก (2.18) จะไดวา
1 1
0
0
. ( )( ) ( )
( 1)!
x n n
n
x
k k b t xx x k dt
n
0 0
0
( ) ( )
( 1)! !
xn n nn
x
t x k b x xk b
n n n
โดยหลกการอปนยเชงคณตศาสตร จะไดวา (2.17) เปนจรง ทก 1,2,3,...n
เนองจากอนกรม 0
( )
!
n
n
b kh
n
ลเขา
ท าให ( )lim 0
!
n
n
b kh
n
ดงนนจาก (2.17) จะไดวา ( ) lim ( )n
nx x
บนชวง 0 0,x x h
แตเนองจาก ( ) lim ( )nn
x x
บนชวง 0 0,x x h
◙ 323731 Theory of Ordinary Differential Equations
Chapter 2 Existence and Uniqueness Theorem 2.1 Existence and Uniqueness Theorem ◙ W.T.Math.KKU 12
ดงนน ( ) ( )x x บนชวง 0 0,x x h แสดงวาม ( )x เพยงผลเฉลยเดยวเทานน
ซงท าให ( , )dy
f x ydx
เปนจรง
และ 0 0( )x y บนชวง 0 0,x x h ส าหรบกรณทพจารณาบนชวง 0 0,x h x สามารถพสจนในท านองเดยวกน ดงนนจงสรปไดวา ม ( )x เพยงผลเฉลยเดยวเทานน
ซงท าให ( , )dy
f x ydx
เปนจรง
และ 0 0( )x y บนชวง 0x x h ■