บทที่ 1 ปริภูมิเวกเตอร์ (vector space) · (4)...

◙ 323731 Theory of Ordinary Differential Equations

Chapter 2 Existence and Uniqueness Theorem 2.1 Existence and Uniqueness Theorem ◙ W.T.Math.KKU 1

บทท 2 ทฤษฏบทเกยวกบการมจรง และมเพยงหนงเดยว ( Existence and Uniqueness Theorem)

___________________________________________________________________ 2.1 ทฤษฏบทเกยวกบการมจรง และมเพยงหนงเดยว ( Existence and Uniqueness Theorem)

พจารณาปญหาคาเรมตน (Initial-Value Problem)

( , )dy

f x ydx

(2.1)

พรอมดวยเงอนไข 0 0( )y x y (2.2) เราจะกลาววา ฟงกชน เปนผลเฉลยของปญหาดงกลาวบนชวง [ , ] กตอเมอ ( )x สอดคลองสมการ (2.1) นนคอ

( ) ( ), ( )d

x f x xdx

ส าหรบทก [ , ]x และ 0 0( )x y การหาผลเฉลยของปญหาดงกลาว ตองอาศยทฤษฎบทตอไปน ทฤษฏบท 2.1.1 ให f เปนฟงกชนตอเนองบน D และ เปนฟงกชนตอเนองบนชวง x และ , ( )x x D ส าหรบทก [ , ]x ถา 0x เปนจดใด ๆ ในชวง 0x แลว จะเปนผลเฉลยของสมการ (2.1) บนชวง [ , ] และสอดคลองเงอนไข 0 0( )x y กตอเมอ สอดคลองสมการเชงปรพนธ

0

( ) 0 , ( )

x

x

x y f t t dt (2.3)

ส าหรบทก [ , ]x



พสจน

( ) ถา เปนผลเฉลยของ (2.1)

( , )dy

f x ydx

บนชวง [ , ]

แลวจะไดวา

( ) ( , ( ))dy

x f x xdx

ส าหรบทก [ , ]x โดยการอนทเกรต จาก 0x ถง x จะไดวา

0 0

( ) ( , ( ))

x x

x x

d x f t t dt (2.4)

0

0

( ) ( , ( ))

xx

xx

x f t t dt

0

0

( ) ( ) ( , ( ))

x

x

x x f t t dt

เนองจาก 0 0( )x y

ดงนน 0

0

( ) ( , ( ))

x

x

x y f t t dt (2.5)

ส าหรบทก [ , ]x ( ) ถา สอดคลองสมการ (2.3)

0

0

( ) ( , ( ))

x

x

x y f t t dt

ส าหรบทก [ , ]x เหนไดชดวา 0 0( )x y และจากการหาอนพนธทงสองขาง โดยทฤษฎบทหลกมลของแคลคลส จะไดวา

( ) ( , ( ))d

x f x xdx

แสดงวา ( )x สอดคลองสมการ ( , )dy

f x ydx

และเงอนไข 0 0( )y x y ทก [ , ]x ■



ทฤษฏบท 2.1.2 (Existence and Uniqueness Theorem) ให f ตอเนองบน D และ สอดคลองเงอนไขลปชตซ เทยบกบ y ใน D และให 0 0( , )x y เปนจดภายในของ D และ R เปนสเหลยมผนผา ซง

0 0,x x a y y b โดยท R D ถา max ( , )M f x y ทก ( , )x y R และ min( , )b

h aM

แลวจะไดวามผลเฉลย และมเพยงผลเฉลยเดยว บนชวง 0x x h ทสอดคลองปญหาคาเรมตน

( , )dy

f x ydx

(2.6)

และเงอนไข 0 0( )y x y บนชวง 0x x h หมายเหต

1) เนองจาก f เปนฟงกชนตอเนองบน D และสอดคลองเงอนไขลปชตซ และ R เปนโดเมนปดใน D แสดงวามจ านวนจรงบวก 0M ซง

max ( , )M f x y และ ( , )x y R

และจาก min( , )b

h aM

กรณ ba

M จะได h a แสดงวา ผลเฉลย จะอยในชวง

0x x a

และกรณท ba

M จะไดวา b

h aM

แสดงวา ผลเฉลย จะอยในชวง ทเลกกวา คอ

0

bx x h a

M ดงรป

0 0( , )x y

( )x 0y y b

0y y b

0x x a

0x x h 0x x a

0x x h

D R



2) ในการพสจน เราจะใชการประมาณคาสบเนอง (Successive approximation or Picard Iterants) ดงน

ให x อยในชวง 0x x h เราก าหนดล าดบของฟงกชน n ดงน

0 0( )x y

1 0 0

0

( ) ( , ( ))

x

x

x y f t x dt

2 0 1

0

( ) ( , ( ))

x

x

x y f t x dt

3 0 2

0

( ) ( , ( ))

x

x

x y f t t dt

0 1

0

( ) ( , ( ))

x

n n

x

x y f t t dt (2.7)

แนวทางการพสจน เราจะแบงการพสจนเปน 5 ขนตอนดงตอไปน

(1) ฟงกชนในล าดบ n ทก าหนดใน (2.7) หาคาไดจรง และมอนพนธตอเนอง และสอดคลองอสมการ

0( )n x y b บนชวง 0x x h และ ท าให ( , ( ))nf x x หาคาได และตอเนองบนชวง 0x x h

(2) ฟงกชนในล าดบ n สอดคลองอสมการ

1

( )( ) ( )

!

n

n n

M khx x

k n บนชวง 0x x h

(3) ( )n x ลเขาแบบเอกรป สฟงกชนตอเนอง บนชวง 0x x h (4) ฟงกชน สอดคลองสมการ

( , )dy

f x ydx

บนชวง 0x x h และสอดคลองเงอนไขเรมตน 0 0( )y x y

(5) มฟงกชน เพยงฟงกชนเดยวทสอดคลองสมการ

( )dy

f xdx

บนชวง 0x x h



และสอดคลองเงอนไข 0 0( )x y พสจน ในแตละขนเราจะพจารณาเฉพาะบนชวง 0 0,x x h สวนชวง 0 0,x h x สามารถพสจนในท านองเดยวกน

(1) จะพสจนวา ฟงกชนในล าดบ n ทก าหนดใน (2.7) หาคาไดจรง และมอนพนธตอเนอง และสอดคลองอสมการ

0( )n x y b บนชวง 0x x h และ ท าให ( , ( ))nf x x หาคาได และตอเนองบนชวง 0x x h โดยใชหลกการอปนยเชงคณตศาสตร (Mathematical Induction) พจารณาส าหรบทก x บนชวง 0 0,x x h กรณท 1n จะเหนไดชดวาเปนจรงเนองจาก

1 0 0

0

( ) ( , )

x

x

x y f t y dt

หาคาได และมอนพนธตอเนองบนชวง 0 0,x x h เนองจาก f ตอเนองบน D

และ 1 0 0

0

( ) ( , )

x

x

x y f t y dt

0

0

( , )

x

x

f t y dt

0

x

x

Mdt

0( )M x x Mh b นนคอ 1 0( )x y b ดงนน 1( , ( ))f x x หาคาได และตอเนองบน 0 0,x x h ตอไปจะพจารณากรณทสมมตวาขอความ 1n เปนจรง นนคอ 1n หาคาได และมอนพนธตอเนอง และสอดคลอง 1 0( )n x y b ส าหรบทก x บนชวง 0 0,x x h และ 1, ( )nx x อยในบรเวณ R ทท าให 1, ( )nf x x หาคาได และตอเนอง บน 0 0,x x h และสอดคลองอสมการ



1, ( )nf x x M บนชวง 0 0,x x h ตอไปจะแสดงวา n เปนจรง

จาก 0 1

0

( ) ( , ( ))

x

n n

x

x y f t t dt

จะเหนวา n มอนพนธตอเนองบน 0 0,x x h

และ 0 1

0

( ) ( , ( ))

x

n n

x

x y f t t dt

1

0

( , ( ))

x

n

x

f t t dt

0

0

( )

x

x

Mdt M x x Mh b

นนคอ 0( )n x y b และ ( , ( ))nx x อยใน R ท าให , ( )nf x x หาคาได และ ตอเนองบน 0 0,x x h

ส าหรบทก x บนชวง 0 0,x h x สามารถพสจนในท านองเดยวกน โดยหลกการอปนยเชงคณตศาสตร แสดงวาขนตอน (1) เปนจรง ส าหรบทก x บนชวง 0x x h

(2) จะพสจนวา ฟงกชนในล าดบ n สอดคลองอสมการ

1

( )( ) ( )

!

n

n n

M khx x

k n บนชวง 0x x h (2.8)

ขนตอนนจะใชหลกการอปนยเชงคณตศาสตร เชนกน พจารณาส าหรบทก x บนชวง 0 0,x x h กรณท 1n จะเหนชดวา (2.8) เปนจรงเนองจาก

1 0 0

0

( ) ( , )

x

x

x y f t y dt

1 0 0

0

( ) ( ) ( , )

x

x

x x f t y dt

ดงนน 1

1 0 0

( )( ) ( ) ( )

1!

M khx x M x x Mh

k



สมมตวา ขอความดงกลาวเปนจรง ส าหรบ 1n นนคอ

1 21

1 2 0

( ) ( )( ) ( ) ( )

( 1)! ( 1)!

n nn

n n

M kh M kx x x x

k n n

(2.9)

บนชวง 0 0,x x h

เนองจาก 1 1 2

0

( ) ( ) [ ( , ( )) ( , ( ))]

x

n n n n

x

x x f t t f t t dt

1 2

0

( , ( )) ( , ( ))

x

n n

x

f t t f t t dt

จาก (1) เราทราบวา 0( )n x y b ส ากรบทก n บนชวง 0 0,x x h โดยการประยกตเงอนไขลปชตซ เมอ 1 1( )ny x และ 2 2( )ny x จะไดวามจ านวนบวก k ซง 1 2 1 2( , ( )) ( , ( ) ( ) ( )n n n nf x x f x x k x x ดงนน

1 1 2( ) ( ) ( ) ( )n n n nx x k x x จากสมมตฐาน (2.9) จะไดวา

2

11 0

0

( ) ( ) ( )( 1)!

x nn

n n

x

Mkx x k t x dt

n

1

10

0

( )( 1)!

xnn

x

Mkt x dt

n

1

0

0

( )

( 1)!

xnn

x

t xMk

n n

1

0( )!

nnMk

x xn

นนคอ

1 1

1 0

( )( ) ( ) ( )

! !

n n nn

n n

Mk Mk hx x x x

n n



ดงนน

1

( )( ) ( )

!

n

n n

M khx x

kn

ส าหรบทก x บนชวง 0 0,x x h และทก 1,2,3,...n ส าหรบทก x บนชวง 0 0,x h x สามารถพสจนในท านองเดยวกน โดยหลกการอปนยเชงคณตศาสตร แสดงวาขนตอน (2) เปนจรง ส าหรบทก x บนชวง 0x x h

(3) จะพสจนวา ล าดบ n ลเขาแบบเอกรป สฟงกชนตอเนอง บนชวง 0x x h

พจารณาอนกรม 1

( )

!

n

n

M kh

kn

จากการประยกอนกรมเทยเลอรเราทราบวา

2 3

0

1 ... ...2! 3! ! !

n nx

n

x x x xe x

n n

ดงนน

1 1

( ) ( )( 1)

! !

n nkh

n n

M kh M kh Me

kn k n k

แสดงวา 1

( )

!

n

n

M kh

kn

เปนอนกรมทลเขา

และจาก (2) ส าหรบทก x บนชวง 0x x h และทก 1,2,3,...n เราทราบวา

1

( )( ) ( )

!

n

n n

M khx x

k n

โดย Weierstrass M-Test จะไดวา

1

1

( ) ( )i i

i

x x

เปนอนกรมทลเขาแบบเอกรป

ท าให 0 1

1

( ) ( )i i

i

y x x

เปนอนกรมทลเขาแบบเอกรปดวย

เนองจาก 0 1

1

( ) ( ) ( )n

i i n

i

y x x x

ดงนน n เปนล าดบทลเขาแบบเอกรปบน 0x x h แสดงวาม ฟงกชน ทนยามบนชวง 0x x h



ทท าให lim nn

(2.10)

และโดยทฤษฏบท 1.4.1 จะไดวา เปนฟงกชนตอเนอง บน 0x x h ดงนน ล าดบ n ลเขาแบบเอกรป สฟงกชนตอเนอง บนชวง 0x x h (4) จะแสดงวา เปนผลเฉลยทตองการ เนองจากแตละ , 1,2,3,...n n สอดคลองอสมการ 0( )n x y b บนชวง 0x x h ท าให 0( )x y b บนชวง 0 0,x x h ดวย และโดยการประยกตเงอนไขลปชตซ เมอ 1 ( )y x และ 2 ( )ny x จะไดวา ( , ( )) ( , ( )) ( ) ( )nf x x f x x k x x (2.11) และจากขนตอน (3) ก าหนด 0 จะมจ านวนเตมบวก 0N

ซงท าให ( ) ( )nx xk

ส าหรบทก n N ส าหรบทก 0 0,x x h x h ดงนน

( ) ( ) ( )nk x x kk

(2.12)

จาก (2.11) และ (2.12) จะไดวา ( , ( )) ( , ( ))nf x x f x x ทก n N ส าหรบทก 0 0,x x h x h ดงนน ล าดบของฟงกชน ( , ( ))nf x x ลเขาแบบเอกรปสฟงกชน ( , ( ))f x x และเนองจากแตละฟงกชน ( , ( ))nf x x เปนฟงกชนตอเนอง ดงนน โดยทฤษฎบท 1.4.1 แสดงวา

( , ( ))f x x เปนฟงกชนตเนองบน 0 0,x h x h

และ 1 0

0

( ) lim ( ) lim ( , ( ))

x

n nn n

x

x x y t t dt

0

0

lim ( , ( ))

x

nn

x

y f t t dt

นนคอ 0

0

( ) ( , ( ))

x

x

x y f t t dt (2.13)

โดยทฤษฎบท 2.1.1 จะไดวา ( )x เปนผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ

( , )dy

f x ydx

บนชวง 0 0,x h x h



และ เงอนไข 0 0( )y x y ตามตองการ (5) ในขนสดทายน เราจะแสดงใหเหนวา มเพยงผลเฉลยเดยวเทานน สมมตวา มผลเฉลยอน ๆ คอมผลเฉลย บน 0 0,x h x h ซงท าให

( ) ( , ( ))dy

x f x xdx (2.14)

และ 0 0( )x y (2.15) แสดงวา 0( )x y b ให 1x เปนจดซงท าให 0( )x y b ส าหรบ x ซง 0 1x x x และ 1 0( )x y b สมมตวา 1 0x x h

ดงนน 1 01

1 0 1 0

( )x y b bM M

x x x x h

แตโดยทฤษฎบทคาเฉลยส าหรบอนพนธ จะม c ซง 0 1x c x ซง 1 ( ) ( , ( ))M c f c c M ซงท าใหเกดขอขดแยง แสดงวาสมมตฐานทวา 1 0x x h จงเปนไปไมได ดงนน 1 0x x h จงท าให 0( )x y b บนชวง 0 0,x x h และเนองจาก เปนผลเฉลยหนง โดยทฤษฎบท .2.1.1 จะไดวา

0

0

( ) ( , ( ))

x

x

x y f t t dt (2.16)

บนชวง 0 0,x x h ตอไปเราจะพสจนโดยการอปนยเชงคณตศาสตร วา

0( )( ) ( )

!

n n

n

k b x xx x

n

(2.17)

กรณท 1n จะเหนวา x



1 0

0

( ) ( ) ( , ( )) ( , )

x

x

x x f t t f t y dt

0 0

0

( ( ) ( )

x

x

k f t y dt kb x x

สมมตวา ขอความ (2.17) เปนจรง ส าหรบกรณ 1n นนคอ

1 1

01

( )( ) ( )

( 1)!

n n

n

k b x xx x

n

(2.18)

บนชวง 0 0,x x h ดงนน จาก (2.18) และนยามของ n จะไดวา

1

0

( ) ( ) ( , ( )) ( , ( ))

x

n n

x

x x f t t f t x dt

1

0

( , ( )) ( , ( ))

x

n

x

f t t f t x dt

และโดยเงอนไขลปชตซ จะไดวา

1

0

( ) ( ) ( ) ( )

x

n n

x

x x k t t dt

จาก (2.18) จะไดวา

1 1

0

0

. ( )( ) ( )

( 1)!

x n n

n

x

k k b t xx x k dt

n

0 0

0

( ) ( )

( 1)! !

xn n nn

x

t x k b x xk b

n n n

โดยหลกการอปนยเชงคณตศาสตร จะไดวา (2.17) เปนจรง ทก 1,2,3,...n

เนองจากอนกรม 0

( )

!

n

n

b kh

n

ลเขา

ท าให ( )lim 0

!

n

n

b kh

n

ดงนนจาก (2.17) จะไดวา ( ) lim ( )n

nx x


แตเนองจาก ( ) lim ( )nn

x x




ดงนน ( ) ( )x x บนชวง 0 0,x x h แสดงวาม ( )x เพยงผลเฉลยเดยวเทานน

ซงท าให ( , )dy

f x ydx

เปนจรง

และ 0 0( )x y บนชวง 0 0,x x h ส าหรบกรณทพจารณาบนชวง 0 0,x h x สามารถพสจนในท านองเดยวกน ดงนนจงสรปไดวา ม ( )x เพยงผลเฉลยเดยวเทานน

ซงท าให ( , )dy

f x ydx

เปนจรง

และ 0 0( )x y บนชวง 0x x h ■

บทที่ 1 ปริภูมิเวกเตอร์ (vector space) · (4)...

Documents