ACTIVITATS:PROPORCIONALITAT
NUMÈRICA iSEMBLANÇA
MAGNITUDS DIRECTAMENT I INVERSAMENT PROPORCIONALS
Dues magnituds són directament proporcionals quan la raó entre dues quantitats corresponents d'ambdues és constant:
a
a'=
b
b'=k
Esta constant k s’anomena constant de proporcionalitat directa.
Dues magnituds són inversament proporcionals si el producte de dos valors corresponents d'ambdues és constant:
a ∙a'=b ∙b'
=k
Esta constant k s’anomena constant de proporcionalitat directa.
I. PROPORCIONALITAT.
1. LAS AVENTURAS DE TRONCHO Y PONCHO.
URL: https://www.youtube.com/watch?v=MTWIW8E2TcU
ACTIVITATS: PROPORCIONALITAT NUMÈRICA 1
1.1. Completa les següents frases
Una__________________ és una propietat d'un objecte que podem
mesurar, per exemple, la longitud d'un front o la temperatura d'una oïda.
Si dues magnituds són directament proporcionals, en duplicar una,
l'altra es té que _________________.
Si amb 2 kg de pintura podem pintar 6 parets iguals, amb 4 kg
pintarem ____ parets iguals.
Perquè dues magnituds siguen _____________ proporcionals si
dupliquem una, l'altra es fa la meitat, si la tripliquem, l'altra es fa la
tercera part.
El __________________ de dues magnituds inversament proporcionals
sempre és constant.
1.2. La pel·lícula comença amb la frase: “La raó per la qual hem fet aquesta
pel·lícula és cinc mitjans”. Quins significats pot tindre la paraula raó en
aquesta frase?
1.3. Enumera cinc magnituds que es nomenen en el vídeo. Dóna altres cinc
que no apareguen en el vídeo.
1.4. Series capaç de donar tres exemples de coses que no siguen magnituds?
1.5. Per a explicar les magnituds directament proporcionals, poncho posa
l'exemple dels quilograms de pintura i el nombre de parets iguals que es
poden pintar amb ells. Completa la taula que vam mostrar a continuació
extreta de la pel·lícula:
1.6. En la primera Batalla de magnituds que guanya Troncho es mostra la
relació entre els kg de creïlles i el seu preu. Emplena la taula que
trobàvem allí:
ACTIVITATS: PROPORCIONALITAT NUMÈRICA 2
1.7. La segona Batalla de magnituds la perd Troncho perquè diu que l'edat
d'una persona és directament proporcional al nombre de dents que té.
Per què no són magnituds directament proporcionals?
1.8. La Megabatalla de magnituds planteja la relació entre la velocitat d'un
caragol i el temps que tarda a arribar a Conca. Podries completar la
següent taula?
Saps a quina distancia de Conca estaba el caragol?
1.9. Prepara la teua pròpia Megabatalla de Magnituds. Cerca deu parelles de
magnituds proporcionals. Fes cartes amb les magnituds que has triat
escrivint cadascuna de les magnituds en una carta diferent. Per
exemple:
1.10. Prepara a casa una Megabatalla de magnituds, d'una manera similar a
com s'explica en l'exercici 1.9, però aquesta vegada amb magnituds
inversament proporcionals
ACTIVITATS: PROPORCIONALITAT NUMÈRICA 3
II. PROPORCIONALITAT SIMPLE: DIRECTA I INVERSA
2. ÓRBITA LAIKA: UNA DE MATES EN EL SUPERMERCADO
URL: http://www.rtve.es/alacarta/videos/orbita-laika/orbita-laika-mates-matematicas-
supermercado/2891564/
2.1. Ofertes. Comprem 1 paquet de café que costa 2,45 euros i conté 250
g. Quant costarà el quilo de café?
Imaginem les següents dues ofertes:
Oferta 1. Ens donen el 25% gratis. Quina quantitat de café ens
donaran per 2,45 euros? I quant ens costaria el quilo de café?
Oferta 2. Pague 2 i emporte's 3. Calcula a quant t'ix el quilo de
café amb l'oferta de 3x2.
2.2. Malbaratament alimentari vs consum responsable: Quina oferta
és la millor? Quin triaries tu? Saps el que significa el consum responsable?
Has sentit parlar del malbaratament alimentari?
2.3. Les cues en el supermercat. Hem comprat menys de 10 productes
i no sabem que cua triar per a pagar, si la de caixa ràpida (per a menys de
10 productes) o la de la caixa normal. Sabent que es tarden 48 segons de
mitjana a pagar i 2,8 segons a passar un producte, respon a les següents
preguntes:
ACTIVITATS: PROPORCIONALITAT NUMÈRICA 4
Quant tardaran a passar 6 persones amb un únic producte en
una caixa ràpida?
Quant tardaran 2 persones que porten 30 productes cadascuna
i estan fent la cua en una caixa normal?
Quina cua triaràs?
2.4. El nombre d'empleats del supermercat. En un super hi ha 5
empleats que atenen 2500 persones al dia. L'amo del super li agradaria
ampliar el negoci i poder vendre a unes 3500 persones al dia, Quants
empleats necessitarà?
2.5. Compres En un forn de pa han pagat 42 € per 70 barres de pa. Quant
haurien de pagar si hagueren comprat 85 barres?
3. Per a construir una nau d'un supermercat en 60 dies són necessàries 30
persones. Si passats 24 dies s'incorporen 12 persones més, en quants dies
acabaran?
4. El pròxim estiu tinc planejat un viatge als Estats Units, per la qual cosa
necessitaré comprar dòlars. Actualment el banc em fa un canvi d'1 dòlar per 1,20
€. Quants dòlars em donaran per 1.500 €?
5. Dues rodes estan unides per una corretja transmissora. La primera té un radi
de 25 cm i la segona de 75 cm. Quan la primera ha donat 300 voltes, quantes
voltes haurà donat la segona?
ACTIVITATS: PROPORCIONALITAT NUMÈRICA 5
III. PROPORCIONALITAT COMPOSTA
6. TU CASA A JUICIO: ¿REFORMAR O VENDER?
URL: https://www.youtube.com/watch?v=5KwtPP70Rpo
6.1. Mur de la façana. Hilary, l'arquitecta de la teua Casa a judici, vol
realitzar una reforma espectacular per a aconseguir que els propietaris
estimen la seua casa, Ho aconseguirà…? Per a això en primer lloc
decideix construir un mur en la façana per a evitar el problema que
tenen de ser vistos per tot el veïnat. Per aquesta raó, haurà de
plantejar-se quants obrers haurà de contractar per a realitzar alçar el
mur.
Sabent que cinc obrers, treballant 6 hores diàries, han necessitat 12
dies per a alçar un mur d'una façana. Quants obrers necessitem per a
construir aqueix mur en 9 dies, treballant jornades de 10 hores?
6.2. Demolició de l'antic estable. Un altre problema que tenen els
propietaris de l'habitatge és que en la seua finca se situa un estable
antic que ocupa més de la meitat de la parcel·la i és fins i tot més gran
que el seu habitatge. Per això, un altre dels objectius que es planteja
Hilary és la seua demolició. Per a realitzar qualsevol demolició ha de
realitzar uns tràmits administratius respecte a la gestió de l'abocament
dels residus de la demolició i ha de saber quant tardarà a realitzar-ho:
ACTIVITATS: PROPORCIONALITAT NUMÈRICA 6
Sabent que cinc camions, fent 6 viatges al dia, aconsegueixen evacuar
600 m³ de residus en 4 dies. Quants dies tardaran 7 camions a moure
els 3500 m³ de l'estable si verteixen en un abocador més pròxim, la qual
cosa permet a cada camió realitzar 10 viatges al dia?
6.3. Pintar tota la casa. Per a donar-li un aspecte renovat i diàfan Hilary
decideix pintar tota la casa de blanc. I una vegada més es troba amb la
limitació del temps.
Si quatre obrers pinten 15 metres quadrats en 9 dies. Quants metres
quadrats pintaran 6 obrers en 15 dies?
6.4. Si Hilary vol realitzar totes les reformes anteriors i ha de contractar
obreres per a construir el mur i uns altres per a pintar la casa, a més de
transportar els 3500 m³ de l'estable demolit
a) quant temps com a mínim tardarà a dur a terme tota la reforma?
Quants empleats creus què haurà de contractar? Per què?
b) Si cada empleat costa 120 euros el dia, cada metre cúbic transportat
són 17 euros i el material de pintura en total val 2500 euros. Quin serà
el pressupost de la reforma?
6.5. L'agent immobiliari, David, els ha trobat una casa nova que s'ajusta a les
seues necessitats per 130.000 euros. Els propietaris no volen perdre
diners, així que hauran de vendre la seua casa per aqueix preu com a
mínim, a més li hauran d'afegir el preu de la reforma. Per quants diners
hauran de vendre la seua casa per a poder-se comprar una nova?
ACTIVITATS: PROPORCIONALITAT NUMÈRICA 7
7. Prepára’t per ser EL PROFESSOR PER UN DIA
En una cadena de muntatge de mòbils, 17 operaris, treballant 8 hores al
dia, assemblen 850 mòbils a la setmana. Quantes hores diàries han de
treballar la setmana vinent, per a atendre una comanda de 1000 aparells,
tenint en compte que s'afegirà un reforç de tres treballadors?
8. Tres molinets durant 5 hores molen 60 kg de café Quant moldran 8 molinets
durant 3 hores?
ACTIVITATS: PROPORCIONALITAT NUMÈRICA 8
IV. REPARTIMENTS PROPORCIONALS
Per a realitzar el repartiment d'una quantitat n de forma directament
proporcional a unes quantitats a, b, c…:
Se sumen les quantitats que cal repartir: a + b + c + ….
Es divideix la quantitat n entre aqueixa suma. Aquest quocient és la
constant de proporcionalitat.
K=n
a+b+c+…
Per a calcular cada part n'hi ha prou amb multiplicar cada quantitat a, b,
c… per aqueixa constant.
9. La Unió Europea ha concedit una subvenció de 15.000 € per a tres pobles. El
poble A té 1.800 habitants; el B, 700, i el C, 500. Com ha de repartir-se els
diners?
Repartir una quantitat n de forma inversament proporcional a altres quantitats
a, b, c…és equivalent a repartir-la de forma directament proporcional als
inversos de les quantitats a, b, c…
Cada part s'obté dividint la constant de proporcionalitat R entre la seua
quantitat corresponent a, b, c…
R=n
1/a+1 /b+1/c+…
ACTIVITATS: PROPORCIONALITAT NUMÈRICA 9
10. El premi d'una carrera és de 550 € i es repartirà entre els tres primers
corredors a acabar la prova de forma inversament proporcional a l'ordre
d'arribada, és a dir, inversament proporcional a 1, 2 i 3. Quina quantitat li
correspon a cada corredor?
11. LA LOTERIA DE NADAL: JOC
12. Vicente i José obrin una llibreta d'estalvis en el banc. Vicente ingressa 400 € i
José ingressa 800 €. Al cap d'uns anys els retornen 1.380 €. Com li'ls han de
repartir?
13. Prepara't per a ser el PROFESSOR PER UN DIA
Un pare acudeix amb els seus dos fills a una fira i en la tómbola guanya 50
caramels que els reparteix de forma inversament proporcional a les seues
edats, que són 9 i 6 anys. Quants caramels li dóna a cadascun?
ACTIVITATS: PROPORCIONALITAT NUMÈRICA 10
V. VARIACIONS PERCENTUALS
Per a augmentar o disminuir un percentatge r% a una quantitat, es pot calcular
el r% de Qi i sumar o restar aquesta quantitat a la quantitat inicial Qi.
Es pot calcular directament la quantitat final Qf calculant la variació
corresponent a cada unitat, anomenada índex de variació, i multiplicar-ho per
la quantitat inicial.
Qf =Qi∗ IV
Per a un augment: I.V = 1+r
100
Per a una disminució:I.V.= 1−r
100
Per a un encadenament d'augments i/o disminucions:
I.V.= I.V.1*I.V.2*…
14. Sara ha comprat un jersei que costava 35 €, però li han fet una rebaixa del
15%. Quant ha pagat?
15. Roberto ha pagat 29,75 € per uns pantalons que estaven rebaixats un 15%.
Quant costaven els pantalons sense rebaixar?
16. Adelaida ha pagat 34,40 € per una brusa que costava 43 €.Quin tant per cent
li han rebaixat?
17. He anat a comprar una pilota que costava 45 €, però m'han fet una rebaixa
del 12%. Quant he pagat per la pilota?
18. La paga mensual d'Andrea és de 25 € i li han promés un augment del 20%
per a el mes vinent. Quina serà la seua nova assignació mensual?
19. En l'aparador d'una botiga es mostren una jaqueta (156 €), un abric (380 €),
una falda (80 €) i uns guants (18 €). Però hi ha un gran rètol en el qual es pot
llegir “REBAIXES 15%!”. Calcula a quant ix cada peça.
ACTIVITATS: PROPORCIONALITAT NUMÈRICA 11
VI. SEMBLANÇA
20. Estudia la semblança dels polígons següents. En cas que siguen semblants,
calcula’n la raó de semblança:
a) b)
21. Calcula les mesures desconegudes:
22. Indica la raó de semblança entre els costats, els perímetres i les àrees
respectives dels polígons següents:
23. Una piscina té una capacitat de 200 000 L. Se n’ha construït una altra de
semblant però amb costats tres vegades més grans. Quants litres d’aigua
caben a la nova piscina?
ACTIVITATS: PROPORCIONALITAT NUMÈRICA 12
24. Un depòsit amb forma de prisma triangular té una capacitat de 500 cm3.
Volem construir-ne un altre de semblant amb una capacitat de 2000 cm3.
Quina és la raó de semblança entre els costats dels prismes?
25. L’escala d’un mapa és 1:15 000 000. Dues ciutats disten 5 cm en el mapa.
Quant disten en la realitat?
26. En el plànol d’una casa un dormitori té 6cm2 de superfície. Si l’escala és
1:150, quina és la superfície real del dormitori?
ACTIVITATS: PROPORCIONALITAT NUMÈRICA 13