BAB V
PERSAMAAN DIFERENSIAL TINGKAT TINGGI
Standar Kompetensi
Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan mahasiswa dapat
memahami cara menentukan akar-akar persamaan karakteristik dan
mengaplikasikan dalam menentukan selesaian umum dan selesaian persamaan
diferensial tingkat tinggi
Kompetensi Dasar
1. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial tingkat
tinggi homogen dengan koefisien konstan
2. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial tingkat
tinggi tidak homogen dengan koefisien konstan menggunakan metode invers
fungsi operator,
3. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial tingkat
tinggi tidak homogen dengan koefisien konstan menggunakan metode )(1DF
sebagai jumlah n pecahan parsial,
4. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial tingkat
tinggi tidak homogen dengan koefisien konstan menggunakan metode variasi
paramater,
5. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial tingkat
tinggi tidak homogen dengan koefisien konstan menggunakan Metode
koefisien tak tentu, dan
6. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial tingkat
tinggi tidak homogen dengan koefisien konstan menggunakan metode integral
khusus dimana Q(x) mempunyai bentuk yang sangat spesifik.
Bab V dalam buku ini membahas hal-hal pokok tentang (1) bentuk umum
persamaan diferensial tingkat tinggi, (2) selesaian umum persamaan diferensial
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo- 114
tingkat tinggi yang meliputi: persamaan diferensial tingkat tinggi homogen
dengan koefisien konstanta, persamaan diferensial tingkat tinggi tidak homogen
dengan koefisien konstanta, persamaan diferensial tingkat tinggi homogen dengan
koefisien variabel, persamaan diferensial tingkat tinggi tidak homogen dengan
koefisien variabel.
5.1 Bentuk Umum
Persamaan diferensial linear tingkat tinggi disebut pula sebagai persamaan
diferensial linear tingkat-n. Secara umum persamaan diferensial tingkat tinggi
dinyatakan dalam bentuk:
Dengan adalah fungsi atau konstanta.
karena , , ,....., , dan
maka persamaan
dapat dinyatakan dalam bentuk:
F(D) y = Q(x)
Persamaan yang berbentuk F(D)y = Q(x) dengan Q(x) = 0, maka bentuk
umumnya menjadi
.
Pada kasus Q(x) = 0 maka F(D)y = 0 disebut persamaan diferensial linear
homogen tingkat tinggi, sedangkan jika Q(x) 0 maka F(D)y = Q(x) disebut
persamaan diferensial linear tidak homogen tingkat tinggi.
Contoh
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo- 115
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Persamaan-persamaan pada contoh di atas selanjutnya dapat
dikelompokkan ke dalam persamaan homogen dan tidak homogen. Persamaan
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo- 116
pada contoh 1 disebut persamaan diferensial linear homogen tingkat dua dengan
koefisien konstan, persamaan pada contoh 2 disebut persamaan diferensial linear
tidak homogen tingkat tiga dengan koefisien konstan, persamaan pada contoh 3
disebut persamaan diferensial linear tidak homogen tingkat dua dengan koefisien
konstan, persamaan pada contoh 4 disebut persamaan diferensial linear tidak
homogen tingkat dua dengan koefisien variabel, persamaan pada contoh 5 adalah
persamaan diferensial linear homogen tingkat tiga dengan koefisien variabel,
sedangkan persamaan pada contoh 6 adalah persamaan diferensial linear tidak
homogen tingkat 3 dengan koefisien variabel.
5.2 Selesaian Umum Persamaan Diferensial Tingkat Tinggi
Misal adalah selesaian persamaan
Maka juga selesaian persamaan di atas. dimana adalah sebarang
konstanta.
Misal adalah selesaian persamaan
Maka juga selesaian persamaan di atas. dimana adalah sebarang
konstanta.
Misal adalah selesaian persamaan
Maka juga selesaian persamaan di atas.
Dengan asumsi yang sama, misal adalah
selesaian persamaan
, maka
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo- 117
juga selesaian persamaan
diferensial tingkat tinggi. .
Himpunan selesaian persamaan-persamaan berikut
disebut bebas liner jika persamaan
dimana c adalah konstanta dan terjadi hanya apabila
.
Syarat perlu dan cukup bahwa n selesaian merupakan bebas linear yaitu
jika diterminan matrik ordo n x n yang masing-masing sukunya adalah selesaian
dimaksud sampai turunan ke (n-1) 0.
Dengan kata lain adalah
primitif. Jika R(X) suatu selesaian khusus maka selesaian khususnya persamaan
diferensial linear tingkat tinggi dinyatakan dengan:
Untuk lebih memudahkan cara menentukan selesaian persamaan diferensial linear
tinggi, maka dalam menentukan selesaian tersebut dikelompok menjadi:
1) persamaan diferensial homogen tingkat tinggi dengan koefisien konstan
2) persamaan diferensial tidak homogen tingkat tinggi dengan koefisien konstan
3) persamaan diferensial homogen tingkat tinggi dengan koefisien variabel
4) persamaan diferensial tidak homogen tingkat tinggi dengan koefisien variabel.
1) Persamaan Diferensial Homogen dengan Koefisien Konstan
Sebagaimana telah disebutkan pada awal Bab V, bahwa persamaan
diferensial linear homogen tingkat tinggi dengan koefisien konstan dinyatakan
dalam bentuk umum:
Atau
atau
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo- 118
Atau
F(D) y = 0
dengan adalah konstan.
dan F(D) disebut fungsi operator diferensial.
Selanjutnya jika F(D) dapat difaktorkan, maka F(D) dapat dinyatakan
dalam bentuk . Sebaliknya jika F(D)
tidak dapat difaktorkan maka tetap ditulis sebagai F(D) = 0.
Bentuk dinamakan persamaan
karakteristik dengan m , m , m , ... m disebut akar-akar persaman karakteristik.
Perlu diingat bahwa tidak penting menulis persamaan karakteristik, karena akar-
akarnya dapat dibaca secara langsung dari fungsi operator diferensial.
Persamaan karakteristik f(m) = 0 setelah ditentukan akar-akarnya, untuk
menentukan selesaian umum persaamaan
ditentukan
dengan dimana akar persamaan karakteristik yang telah diketahui.
Karena adalah akar-akar persamaan karakteristik, maka jenis
akar-akarnya adalah bilangan nyata (real) dan tidak nyata (imajiner).
Untuk lebih jelasnya diberikan penjelasan sebagai berikut:
A. Andaikan ,
maka primitif persamaan diferensialnya
sehingga melibatkan n selesaian yang bebas linear dan n konstanta
sebarang.
Jika adalah selesaian
maka
juga selesaian dari persamaan.
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo- 119
Perhatikan beberapa contoh berikut ini:
1. Tentukan selesaian persamaan diferensial
Jawab
Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk
Sehingga persamaan karakteristik
(D+2)(D+3) = 0
akar-akarnya m = -2 dan m = -3, keduanya berberda.
Primitif persamaan di atas adalah
Karena adalah selesaian
Maka juga selesaian
2. Tentukan selesaian persamaan diferensial
Jawab
Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk
Sehingga persamaan karakteristik
(2D-3)(D+7) = 0
akar-akarnya persamaan karakteristik m = dan m = -7, keduanya
berbeda.
Primitif persamaan di atas adalah
Karena adalah selesaian
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo- 120
Maka juga selesaian persamaan.
3. Tentukan selesaian persaamaan
Jawab
Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk
, sehingga persamaan karakteristiknya adalah:
Akhirnya diperoleh akar-akar persamaan karaktristiknya
m = 0, m = 1, m = 2, dan m = 3.
Karena
Sehingga selesaian persamaan adalah
Karena Maka
juga selesaian.
4. Tentukan selesaian persamaan
Jawab
Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk
, sehingga persamaan karakteristiknya adalah:
Akhirnya diperoleh akar-akar persamaan karaktristiknya
m = 0, m = -1, m = 2
Karena
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo- 121
Sehingga selesaian persamaan adalah
Karena Maka
juga selesaian.
B. Andaikan ,
maka primitif persamaan diferensialnya
dalam hal ini selesaian persamaan melibatkan konstanta sebarang dan m
kali hubungan diantaranya.
Karena
Maka
Juga selesaian persamaan yang akar-akar persamaan karakteristiknya
memenuhi
Perhatikan contoh berikut ini
1. Tentukan selesaian persamaan
Jawab
Persamaan di atas dinyatakan dalam bentuk
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo- 122
Sehingga persamaan karakteristiknya adalah:
sehingga akar persamaan karakteristiknya
Diperoleh akar-akar persamaan karakteristik m = m
Sehingga selesaian persamaan di atas adalah
Karena
Maka juga selesaian
2. Tentukan selesaian persamaan
Jawab
Persamaan di atas dinyatakan dalam bentuk
Sehingga persamaan karakteristik
Diperoleh akar-akar persamaan karakteristik m = m = 3.
Akibatnya primitif persamaan di atas adalah
Karena selesaian maka
juga selesaian persamaan.
3. Tentukan selesaian persamaan
Jawab
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo- 123
Persamaan di atas dinyatakan dalam bentuk
Sehingga persamaan karakteristik
Diperoleh akar-akar persamaan karakteristik m = m =
Akibatnya primitif persamaan di atas adalah
Karena selesaian maka
juga selesaian persamaan.
4. Tentukan selesaian persamaan
Jawab
Bentuk lain persamaan di atas adalah
Sehingga persamaan karakteristik persamaan di atas adalah
Dan diperoleh akar-akar persamaan karakteristiknya m = m = 0
dan m = m = m = 2
Sehingga selesaian umum persamaan diferensial di atas adalah
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo- 124
Karena
selesaian persamaan, maka:
juga selesaian persamaan.
C. Andaikan terjadi kombinasi hubungan antar akar persamaan karakteristik
dalam bentuk 1 dan 2 di atas yaitu:
maka primitifnya
Perhatikan contoh berikut
1 Tentukan selesaian persamaan
Jawab
Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk
Sehingga persamaan karakteristiknya adalah
Akar persamaan karakteristik m = m = m = -1 dan m = 4
Sehingga selesaian umum persamaan di atas adalah
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo- 125
Karena
selesaian persamaan, maka
juga selesaian persamaan diferensial yang diketahui
2. Tentukan selesaian persamaan
Jawab
Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk
Sehingga persamaan karakteristiknya adalah
Akar persamaan karakteristik m = 0, m = m = m = 2
Sehingga selesaian umum persamaan di atas adalah
Karena
selesaian persamaan, maka
juga selesaian persamaan diferensial yang diketahui.
D. Jika akar-akar persamaan karakteristik tidak real (imajiner) dan misal akar-
akarnya dinyatakan dalam bentuk
maka diperoleh
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo- 126
Karena , maka:
dan
e
sehingga
Perhatikan contoh berikut:
1. Tentukan selesaian persamaan
Jawab
Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik
Sehingga akar-akarnya adalah
Atau
Dengan kata lain atau
Sehingga selesaian persamaan di atas adalah:
2. Tentukan selesaian umum persammaan
Jawab
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo- 127
Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik
Dan diperoleh akar-akarnya
, , m =- 3
Selesaian umum persamaan
E Akar-akar persamaan karakteristika gabungan real dan tidak real, maka
selesaian umumnya menggunakan perpaduan bentuk 1, 2, 3, dan 4 di atas.
Perhatikan contoh-contoh berikut:
1. Tentukan selesaian umum perasamaan diferensial
Jawab
Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik
akar-akarnya adalah , dan
Sehingga diperoleh selesaian umum (D + 4D )y = 0 adalah
2. Tentukan selesaian persamaan
Jawab
Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik
Sehingga akar-akar persamaan karakteristik
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo- 128
Dan primitifnya adalah
2) Persamaan Diferensial Tidak Homogen dengan Koefisien Konstan
Bentuk umum persamaan diferensial linear tidak homogen dengan
koefisien konstan adalah
Dengan adalah konstanta dan Q(x) 0
karena , , ,....., , dan
maka persamaan
dapat dinyatakan dalam bentuk:
F(D) y = Q(x)
Persamaan yang berbentuk F(D)y = Q(x) dengan Q(x) 0, maka bentuk
umumnya menjadi
Contoh
1.
2.
3.
Selesaian persamaan diferensial linear tidak homogen dengan koefisien konstan
dinyatakan dalam bentuk:
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo- 129
y(c) disebut fungsi komplemen dan merupakan selesaian dari F(D)y = 0,
y(p) disebut selesaian khusus (particular solution).
Dengan demikian untuk menentukan selesaian
Dengan konstana dan Q(x) 0
Untuk menentukan y(p), dapat dilakukan beberapa cara yaitu:
a) menggunakan metode invers fungsi operator,
b) metode )(1DF sebagai jumlah n pecahan parsial,
c) metode variasi paramater,
d) metode koefisien tak tentu, dan
e) metode integral khusus dimana Q(x) mempunyai bentuk yang sangat spesifik.
Metode Invers Fungsi Operator
Misal adalah persamaan diferensial linear tidak homogen dengan
koefisien konstan, maka selesaiannya
setelah ditentukan selanjutnya
Misal maka
misal -------------- (persamaan diferensial linear)
----------- (persamaan diferensial linear)
..................................
--------- (persamaan diferensial linear) yang selesaiannya
telah dijelaskan pada bab III
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo- 130
Misal
Jika
maka
Jika
maka
Perhatikan beberapa contoh berikut ini
1. Tentukan selesaian persamaan diferensial
Jawab
Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik
Sehingga akar-akarnya nyata yaitu
Dan fungsi komplemennya
Selesaian khususnya
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo- 131
Sehingga selesaian persamaan adalah
2. Tentukan selesaian umum persamaan diferensial
Jawab
Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik
Sehingga akar-akarnya nyata yaitu
Dan fungsi komplemennya
Selesaian khususnya
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo- 132
Sehingga selesaian persamaan adalah
3. Tentukan selesaian persamaan diferensial
Jawab
Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik
Sehingga akar-akarnya nyata yaitu
Dan fungsi komplemennya
Selesaian khususnya
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo- 133
Sehingga selesaian persamaan adalah
Metode Penjumlahan n Pecahan Parsial.
dinyatakan dalam bentuk penjumlahan n pecahan parsial yaitu
dan masing-masing merupakan persamaan diferensial linear tingkat 1 yang
selesaiannya sudah dibahas pada bab III. yaitu dinyatakan dalam bentuk
1. Tentukan selesaian persamaan
Jawab
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo- 134
Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik
Sehingga akar-akarnya adalah
Fungsi komplemennya adalah
Selesaian khususnya ditentukan dengan menggunakan metode
penjumlahan n pecahan parsial.
Diperoleh
Sehingga
Sehingga selesaian persamaan adalah
2. Tentukan selesaian persamaan
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo- 135
Jawab
Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik
Sehingga akar-akarnya adalah
Fungsi komplemennya adalah
Selesaian khususnya ditentukan dengan menggunakan metode
penjumlahan n pecahan parsial.
Diperoleh
Sehingga
Sehingga selesaian persamaan adalah
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo- 136
3. Tentukan selesaian persamaan
Jawab
Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik
Sehingga akar-akarnya adalah
Fungsi komplemennya adalah
Selesaian khususnya ditentukan dengan menggunakan metode
penjumlahan n pecahan parsial.
Diperoleh
Sehingga
Sehingga selesaian persamaan adalah
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo- 137
Metode Variasi Parameter
Selesaiannya
Fungsi komplemen
Diperoleh hubungan dasar
dengan mengganti C dengan fungsi x yang tidak diketahui, yaitu L .
Metode ini terdiri dari cara untuk menentukan L sedemikian sehingga
menjadi
Perhatikan beberapa contoh di bawah ini:
1. Tentukan selesaian persamaan
Jawab
Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik
atau dengan akar-akar nyata dan berbeda yaitu
sehingga fungsi kompelennya adalah
. Untuk menentukan y(p) selanjutnya dibentuk hubungan
dengan menurunkan dan
misal .......(1)
Karena , dengan memilih
.......(2)
Dari (2) diperoleh
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo- 138
Jadi
Dari (1) karena maka
Didapat
Selesaian persamaan adalah
=
=
2. Tentukan selesaman persamaan
Jawab
Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik
adalah dengan akar-
akar nyata dan tidak nyata yaitu 0 dan sehingga fungsi kompelennya
adalah
. Selanjutnya dibentuk hubungan
dengan menurunkan diperoleh
dan dengan memisalkan
.......(1)
Karena dan
dengan memisalkan ......(2)
maka
Dengan memisalkan .......(3)
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo- 139
Dari (1) dan (3)
Diperoleh
atau
dari (2) dan (3)
diperoleh
sehingga
Selesaian persamaan di atas adalah
=
3. Tentukan selesaian persamaan
Jawab
Persamaan karakteristiknya adalah
dengan akar-akar nyata dan sama
yaitu , sehingga fungsi komplemen
Selanjutnya dibentuk hubungan
dengan menurunkan diperoleh
Dengan memisalkan ......(1)
Maka
Dengan memisalkan
Dari (1) dan (2) diperoleh
sehingga
Selesaian persamaan di atas adalah
= +
=
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo- 140
Metode Koefisien tak Tentu
Yang dimaksud dengan metode koefisien tak tentu adalah membuat hubungan
dasar
Dimana adalah suku-suku Q dan fungsi-fungsi ini
muncul dari suku-suku Q dengan menurunkannya dan A, B, C, ....G adalah
konstanta.
Misal persamaannya maka
Misal persamaannya maka
Misal persamaannya maka
Misal persamaannya maka metode ini tidak dapat digunakan untuk
menentukan selesaiannya.
Selanjutnya substitusikan y kedalam f(D)y maka koefiesien A,B,C, .. diperoleh
dari menyelesaikan identintas.
Perhatikan contoh berikut:
1. Tentukan selesaian persamaan
Jawab
Selesaian persamaan
Fungsi komplemennya karena persamaan
karakteristiknya adalah
y(p) =
dengan menurunkan diperoleh
sehingga
Diperoleh -2A=1 dan -2B=0 sehingga selesaian persamaan
2. Tentukan selesaian persamaan
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo- 141
Jawab
Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik
Sehingga diperoleh
Fungsi komplemen
Selanjutnya ditentukan integral khususnya
Selesaian persamaan
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo- 142
3. Tentukan selesaian persamaan
Jawab
Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik
Sehingga diperoleh
Fungsi komplemen
Selanjutnya ditentukan integral khususnya
Selesaian persamaan
Metode Integral Khusus Q(x) Berbentuk Sangat Spesifik.
Integral khusus persamaan diferensial dengan koefisien konstan
dinyatakan dengan .
Untuk bentuk-bentuk tertentu Q(x) dapat dipandang sebagai bentuk khusus,
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo- 143
1. Jika
2. Jika
maka
maka
3. Jika maka
Diperoleh dengan mengembangkan dengan pangkat naik D dan
menghilangkan semua suku di atas karena
4. Jika maka
5. Jika maka
Perhatikan contoh-contoh berikut ini.
1. Tentukan selesaian persamaan
Jawab
Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik
Fungsi komplemennya adala6h
Integral khususnya adalah
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo- 144
Selesaian persamaan adalah
2. Tentukan selesaian persamaan
Jawab
Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik
Sehingga diperoleh
Fungsi komplemen
Selanjutnya ditentukan integral khususnya
Selesaian persamaan
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo- 145
3. Tentukan selesaian persamaan
Jawab
Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik
Diperoleh akar-akarnya tidak nyata dan berbeda yatu
dan
Persamaan komplemennya adalah
Integral khususnya
Selesaian persamaan adalah
Persamaan Diferensial Homogen dengan Koefisien Variabel
Bentuk umum persamaan diferensial linear homogen dengan koefisien variabel
adalah
Dimana
Contoh
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo- 146
1.
atau dapat ditulis dalam bentuk
2.
atau dapat ditulis dalam bentuk
Persamaan Diferensial Tidak Homogen dengan Koefisien Variabel
Bentuk umum persamaan diferensial linear tidak homogen dengan koefisien
variabel dinyatakan dengan
Dimana
Contoh
1.
2.
Cara yang digunakan untuk menentukan selesaian umum persamaan
diferensial homogen dan tidak homogen dengan koefisien konstan dan variabel
adalah dengan metode substitusi yaitu . Cara ini disebut metode
persamaan Cauchy dan . Cara ini disebut metode
persamaan Legendre.
Karena dan
karena Persamaan linear Cauchy dinyatakan
dalam bentuk
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo- 147
Dengan adalah konstanta sebarang.
Persamaan linear Legendre dinyatakan dalam bentuk
Dengan adalah konstanta sebarang yang
merupakan keadaan khusus persamaan linear Cauchy yaitu untuk a = 1 dan b = 0
yang dapat diubah ke persamaan linear dengan koefisien konstan dan variabel
bebasnya disesuaikan.
Selanjutnya menurut dalil rantai pada kalkulus diferensial diperoleh
sehingga
1.
2.
3.
dan seterusnya.
Dengan cara yang sama diperoleh:
,
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo- 148
Berdasarkan substitusi di atas, akhirnya persamaan semua dapat
diselesaikan dengan terlebih dahulu menentukan persamaan karakteristik dan
akar-akarnya sebagaimana yang telah dijelaskan pada bagian awal bab V.
1. Tentukan selesaian persamaan diferensial
Jawab
Persamaan diferensial di atas diubah menjadi:
Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik
dan akar-akarnya 1 dan -2 (tidak sama)
Sehingga selesaiannya adalah Karena maka
selesaian persamaan diferensial adalah
2. Tentukan selesaian persamaan diferensial
Jawab
Persamaan diferensial di atas diubah menjadi:
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo- 149
Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik
dan akar-akarnya real dan tidak real
Sehingga fungsi komplementernya
selesaiannya adalah
dan integral selesaian khususnya adalah
Sehinggan selesaian persamaan diferensial maka selesaian persamaan
diferensial adalah
5.3 Soal-soal
Tentukan selesaian umum persamaan diferensial berikut ini!
1.
2.
3.
4.
5.
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo- 150
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo- 151
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo- 152