Chapter 9Thermal Conductivity and the Mechanisms of
Energy Transport
第9章熱伝導とエネルギー移動の機構
2
Energy Transport (= Heat Transfer)
• Heat conduction (熱伝導) = Molecular (分子) energy transfer– the motion of constituent molecules
• Convective (対流) energy transfer– bulk motion of the fluid
• Radiative (放射,輻射) energy transfer– does not require a material medium
Heat Conduction = Conductive energy transfer 熱伝導,対流伝熱,放射伝熱を伝熱の3形態と呼ぶ
3
p.265
§9.1 Fourier’s Law of Heat Conduction
4
dydTkqy
YTk
AQ
(9.1-2)
Fig 9.1-1 厚さYの平板内の温度分布
ここに,T:温度差(=T1-T0)
熱流量Q:
y方向の熱流束qy(=Q/A):
(9.1-1)
Fourier’s Law(フーリエの法則 )
熱流束は温度勾配に比例し,比例定数を熱伝導率という.
k=熱伝導率 [W/(m K)]qy
qy
マイナスは,温度勾配が負の時に正方向へ熱が流れることを表している.
熱流束(Heat flux)はベクトルである
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dydTkqy
Cartesian coordinate
dxdTkqx
dzdTkqz
Tkq
332211 qqq δδδq
33
22
11 xxx
δδδ
一般的に,Fourierの法則は次式で表すことができる
ここに,
(9.1-6)
Gradient of a vector fields(p.821)
(nabla, del, eq.(A.3-1), p.819
(9.1-3,4,5)
円柱座標系,球座標系におけるqは,p.845§B.2 (p.845)
p.267
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例題 物体内に以下のような温度分布(等温線)が生じているときの熱流速ベクトルとその成分を記せ
qqx
qy
x
y
Tkq 熱流束は等温線に対して垂直方向
高温側
低温側
低温側
高温側
高温側
x
y
Tkq 等温線が密になるほど熱流束ベクトルは大きい
低温側
等温線の間隔が異なるときには,
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熱量1 Btu = 1 lbの水を1Fあげるのに必要な熱量
(Btu = British thermal unit) 1 cal = 1 gの水を1 ℃あげるのに必要な熱量1 J = 1 Nの力で物体を1 m動かす時の仕事
ヤード・ポンド法長さfeet(ft), inch(in)1 ft = 0.3048 m1 ft = 12 in (inch)1 in = 25.4 mm
質量pound(lb), ounce(oz)1 lb = 0.4536 kg1 lb = 12 oz
温度Fahrenheit(華氏): F [F]Celsius(摂氏): C [C]
5/932]F[]C[
FC
J/m2 s
8
Celsius(摂氏) = C [C]
Absolute temperature = K [K](絶対温度)
5/932][][
FFCC
Fahrenheit(華氏) = F [F]
Rankine temperature R [R ](ランキン温度)
65.459]F[]R[ FR
5/9]R[]K[
RK
8.1460]F[
5/967.45915.273
5/93215.273]K[
FFFCK
5/967.459]R[]K[
FK
(1)
(5)
(2)
(4)
問 Eq.(3)を,Eqs.(1)と(5)から求めよ.
15.273]C[]K[ CK
(3)
熱伝導率の特徴
• Table 9.1-2:気体
– 300Kにおけるオーダーは10-2 W/(mK).ただし,水素のみ10-1 W/(mK).
• Table 9.1-3:液体(有機化合物,水)
– 300Kにおけるオーダーは10-1 W/(mK)• Table 9.1-4:液体(液体金属)
– 300Kにおけるオーダーは101 W/(mK)• Table 9.1-5:主な固体
– 金属の熱伝導率のオーダーは 101 -102 W/(mK– ブロック,コンクリート,木など非金属の熱伝導率は小さい:10-1 -10-2 W/(mK)
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§9.2熱伝導率の温度依存性と圧力依存性の推算
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Tr=T/Tc :Reduced temperaturepr=p/pc :Reduced pressurekr=k/kc :Reduced thermal conductivity
ある温度・圧力における熱伝導率が既知の気体1. fig. 9-2.1からkrを求め,kcを求めておく.2. 異なる温度,圧力でのkrを同図から求る3. 先に求めたkcを用いて,kを求める.
下添え字Critical:臨界Reduced:換算,対応
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§9.3 低密度における気体の熱伝導率の理論
分子運動論に基づいた理論(Champman-Enskog formula)
Vk
CTmk ˆ3225
2
k
MTk 2
4 /109891.1
(9.3-13)T [K], [Å]k は Table E.2 (p.866)
VCMRk ˆ
25
415
(9.3-14)
[cal/(cm s K)]
Monatomic(単原子) gases
式(1.4-13)にp26のEq.(1.4-14)の粘度の推算式を代入すれば,以下のような熱伝導率,定圧比熱および粘度の関係式が得られる.
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Polyatomic(多原子) gases
Eucken formula
RC
Ck
C
p
pp
43ˆ
ˆˆPr
○Eq.(9.3-15)よりPrandtle数は
(9.3-15)
MRCk p 4
5ˆ
(9.3-16)
○monatomic(単原子分子)では,MRCp 2
5ˆ なので,これをEq.(9.3-15)に代入すれば
Eq.(9.3-14)が得られる.→Eq. (9.3-15)は単原子分子にも有効な場合がある.
混合ガス
N
Nmixx
kxk1
1
(9.3-17)
x ガスのモル分率k ガスの熱伝導率Φ = Eq.(1.4-16) p.27
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§9.5 固体の熱伝導率の理論
§9.4 液体の熱伝導率の理論
Bridgeman’s simple theory
svVNk
3/2
~~
80.2
(9.4-3)
= 分子の体積VN ~/~ vs = 音速 Eq.(9.4-4)
Wiedemann-Franz-Lorenz theory
pure metals
229 K/V 102922 LTk
k
c
(9.5-1)
§9.7 Convective Transport of Energy
全エネルギー=動力学(機械)エネルギー+内部エネルギーkinetic energy internal energy
2/)(2/ 2222zyx vvvv U
]J/kg[U
dsの面を横切るエネルギー流れのx方向成分は
dsvUv x)ˆ21( 2
各面を通過するエネルギー流れconvection energy flux vector
[kg m-3 (m/s)2] = [kg m-1 s-2] = [kg m2 s-2 m-3] =[J m-3]
J = N m=kg m2 s-2
p.872Notation
[J m-3 (m s-1) m2]=[J s-1]=[W]
]][[]([
smJ
mW
22 時間面積
仕事)エネルギー
対流
§9.8 Work Associated with Molecular Motions
rF W仕事 F
vFrF dtd
dtdW
単位時間当たりの仕事(仕事率)
単位面積、単位時間当たりの仕事(x方向)
vπvF xSdt
dWS1
各軸に垂直な面に流入する仕事は
単位面積に成される仕事率work flux
[J] [N] [m]
[J s-1]=[W]
[W m-2]
J = N m=kg m2 s-2
[N m-2]=[Pa]
p.17
τδπ p
combinedenergy flux
convectiveenergy flux
molecularwork flux
molecularheat flux
(conduction)
δπ p
/1ˆ V比容積
VpUH ˆˆˆ
Enthalpy エンタルピー
エンタルピーを温度で表したい
δπ p
qvτvv
qvτvδvv
qvτδvv
][)/ˆ()2/(
][])[ˆ()2/(
])[(ˆ)2/(
2
2
2
pUv
pUv
pUve
(A.3-20) p818vδvvδ ][][
基準状態reference state =p、T
○ideal gas: VpRT
pRT
TT
TVT
pp
ˆˆ
○constant density 0ˆ
,1ˆ
pTVV
)(ˆ ˆˆˆ
TTCdTCHH p
T
Tp
)(1)(ˆ )(1ˆˆˆ
ppTTCppdTCHH p
T
Tp
RTVp ˆ
qvτve ][)ˆ2/( 2 Hv 対流伝熱 粘性消散熱伝導
Combined energy flux
xxxx qvHve ][)2/( 2 vτ
yyyy qvHve ][)2/( 2 vτ
zzzz qvHve ][)2/( 2 vτ
Cartesian座標におけるeの成分:
zxzyxyxxxx vvv ][ vτ
zyzyyyxyxy vvv ][ vτ
zzzyzyxzxz vvv ][ vτ
xTkqx
yTkqy
zTkqz
ここに、
i
vjv ji
ij (i, j = x, y, z)
円柱座標、球座標については、§B.1-B.2を参照のこと
x座標に垂直な面
に流入するエネルギー流れ
22 mW
smJ
)(1)(ˆˆˆ ppTTCHH p
密度一定の場合
zxzyxyxxxx vvv ][ vτ
zyzyyyxyxy vvv ][ vτzzzyzyxzxz vvv ][ vτ
x][ vτ
y][ vτ
z][ vτ
qvτve ][)ˆ2/( 2 Hv Combined energy flux
xvHv )ˆ2/( 2
yvHv )ˆ2/( 2
zvHv )ˆ2/( 2
xq
yq
zq
Fluxが移動する方向
xy
x軸に垂直な面を通過するy-運動量フラックス
x方向へ向かうy-運動量フラックス(運動量フラックスのy成分)
Fluxの成分
xe
ye
ze