Chapter 9Thermal Conductivity and the Mechanisms of

Energy Transport

第9章熱伝導とエネルギー移動の機構

2

Energy Transport (= Heat Transfer)

• Heat conduction （熱伝導） = Molecular （分子） energy transfer– the motion of constituent molecules

• Convective （対流） energy transfer– bulk motion of the fluid

• Radiative （放射，輻射） energy transfer– does not require a material medium

Heat Conduction = Conductive energy transfer 熱伝導，対流伝熱，放射伝熱を伝熱の3形態と呼ぶ

3

p.265

§9.1 Fourier’s Law of Heat Conduction

4

dydTkqy

YTk

AQ

(9.1-2)

Fig 9.1-1 厚さYの平板内の温度分布

ここに，T:温度差（=T1-T0)

熱流量Ｑ:

y方向の熱流束qy(=Q/A):

(9.1-1)

Fourier’s Law（フーリエの法則 ）

熱流束は温度勾配に比例し，比例定数を熱伝導率という．

k＝熱伝導率 [W/(m K)]qy

qy

マイナスは，温度勾配が負の時に正方向へ熱が流れることを表している．

熱流束(Heat flux)はベクトルである

5

dydTkqy

Cartesian coordinate

dxdTkqx

dzdTkqz

Tkq

332211 qqq δδδq

33

22

11 xxx

δδδ

一般的に，Fourierの法則は次式で表すことができる

ここに，

(9.1-6)

Gradient of a vector fields(p.821)

(nabla, del, eq.(A.3-1), p.819

(9.1-3,4,5)

円柱座標系，球座標系におけるqは，p.845§B.2 (p.845)

p.267

6

例題 物体内に以下のような温度分布（等温線）が生じているときの熱流速ベクトルとその成分を記せ

qqx

qy

x

y

Tkq 熱流束は等温線に対して垂直方向

高温側

低温側

低温側

高温側

高温側

x

y

Tkq 等温線が密になるほど熱流束ベクトルは大きい

低温側

等温線の間隔が異なるときには，

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熱量1 Btu = 1 lbの水を1Fあげるのに必要な熱量

(Btu = British thermal unit) 1 cal = 1 gの水を1 ℃あげるのに必要な熱量1 J = 1 Nの力で物体を1 m動かす時の仕事

ヤード・ポンド法長さfeet(ft), inch(in)1 ft = 0.3048 m1 ft = 12 in (inch)1 in = 25.4 mm

質量pound(lb), ounce(oz)1 lb = 0.4536 kg1 lb = 12 oz

温度Fahrenheit（華氏）: F [F]Celsius（摂氏）: C [C]

5/932]F[]C[

FC

J/m2 s

8

Celsius（摂氏） = C [C]

Absolute temperature = K [K](絶対温度）

5/932][][

FFCC

Fahrenheit（華氏） = F [F]

Rankine temperature R [R ]（ランキン温度）

65.459]F[]R[ FR

5/9]R[]K[

RK

8.1460]F[

5/967.45915.273

5/93215.273]K[

FFFCK

5/967.459]R[]K[

FK

(1)

(5)

(2)

(4)

問 Eq.(3)を，Eqs.(1)と(5)から求めよ．

15.273]C[]K[ CK

(3)

熱伝導率の特徴

• Table 9.1-2：気体

– 300Kにおけるオーダーは10-2 W/(mK)．ただし，水素のみ10-1 W/(mK)．

• Table 9.1-3：液体（有機化合物，水）

– 300Kにおけるオーダーは10-1 W/(mK)• Table 9.1-4：液体（液体金属）

– 300Kにおけるオーダーは101 W/(mK)• Table 9.1-5：主な固体

– 金属の熱伝導率のオーダーは 101 -102 W/(mK– ブロック，コンクリート，木など非金属の熱伝導率は小さい：10-1 -10-2 W/(mK）

9

§9.2熱伝導率の温度依存性と圧力依存性の推算

11

Tr=T/Tc :Reduced temperaturepr=p/pc :Reduced pressurekr=k/kc :Reduced thermal conductivity

ある温度・圧力における熱伝導率が既知の気体1. fig. 9-2.1からkrを求め，kcを求めておく．2. 異なる温度，圧力でのkrを同図から求る3. 先に求めたkcを用いて，kを求める．

下添え字Critical：臨界Reduced：換算，対応

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§9.3 低密度における気体の熱伝導率の理論

分子運動論に基づいた理論（Champman-Enskog formula）

Vk

CTmk ˆ3225

2

k

MTk 2

4 /109891.1

(9.3-13)T [K], [Å]k は Table E.2 (p.866)

VCMRk ˆ

25

415

(9.3-14)

[cal/(cm s K)]

Monatomic(単原子) gases

式(1.4-13)にp26のEq.(1.4-14)の粘度の推算式を代入すれば，以下のような熱伝導率，定圧比熱および粘度の関係式が得られる．

13

Polyatomic（多原子） gases

Eucken formula

RC

Ck

C

p

pp

43ˆ

ˆˆPr

○Eq.(9.3-15）よりPrandtle数は

(9.3-15)

MRCk p 4

5ˆ

(9.3-16)

○monatomic（単原子分子）では，MRCp 2

5ˆ なので，これをEq.(9.3-15)に代入すれば

Eq.(9.3-14)が得られる．→Eq. (9.3-15)は単原子分子にも有効な場合がある．

混合ガス

N

Nmixx

kxk1

1

(9.3-17)

x ガスのモル分率k ガスの熱伝導率Φ = Eq.(1.4-16) p.27

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§9.5 固体の熱伝導率の理論

§9.4 液体の熱伝導率の理論

Bridgeman’s simple theory

svVNk

3/2

~~

80.2

(9.4-3)

= 分子の体積VN ~/~ vs = 音速 Eq.(9.4-4)

Wiedemann-Franz-Lorenz theory

pure metals

229 K/V 102922 LTk

k

c

(9.5-1)

§9.7 Convective Transport of Energy

全エネルギー=動力学(機械)エネルギー＋内部エネルギーkinetic energy internal energy

2/)(2/ 2222zyx vvvv U

]J/kg[U

dsの面を横切るエネルギー流れのx方向成分は

dsvUv x)ˆ21( 2

各面を通過するエネルギー流れconvection energy flux vector

[kg m-3 (m/s)2] = [kg m-1 s-2] = [kg m2 s-2 m-3] =[J m-3]

J = N m=kg m2 s-2

p.872Notation

[J m-3 (m s-1) m2]=[J s-1]=[W]

]][[]([

smJ

mW

22 時間面積

仕事）エネルギー

対流

§9.8 Work Associated with Molecular Motions

rF W仕事 F

vFrF dtd

dtdW

単位時間当たりの仕事（仕事率）

単位面積、単位時間当たりの仕事(x方向)

vπvF xSdt

dWS1

各軸に垂直な面に流入する仕事は

単位面積に成される仕事率work flux

[J] [N] [m]

[J s-1]=[W]

[W m-2]

J = N m=kg m2 s-2

[N m-2]=[Pa]

p.17

τδπ p

combinedenergy flux

convectiveenergy flux

molecularwork flux

molecularheat flux

(conduction)

δπ p

/1ˆ V比容積

VpUH ˆˆˆ

Enthalpy エンタルピー

エンタルピーを温度で表したい

δπ p

qvτvv

qvτvδvv

qvτδvv

][)/ˆ()2/(

][])[ˆ()2/(

])[(ˆ)2/(

2

2

2

pUv

pUv

pUve

(A.3-20) p818vδvvδ ][][

基準状態reference state =p、T

○ideal gas: VpRT

pRT

TT

TVT

pp

ˆˆ

○constant density 0ˆ

,1ˆ

pTVV

)(ˆ ˆˆˆ

TTCdTCHH p

T

Tp

)(1)(ˆ )(1ˆˆˆ

ppTTCppdTCHH p

T

Tp

RTVp ˆ

qvτve ][)ˆ2/( 2 Hv 対流伝熱 粘性消散熱伝導

Combined energy flux

xxxx qvHve ][)2/( 2 vτ

yyyy qvHve ][)2/( 2 vτ

zzzz qvHve ][)2/( 2 vτ

Cartesian座標におけるeの成分：

zxzyxyxxxx vvv ][ vτ

zyzyyyxyxy vvv ][ vτ

zzzyzyxzxz vvv ][ vτ

xTkqx

yTkqy

zTkqz

ここに、

i

vjv ji

ij (i, j = x, y, z)

円柱座標、球座標については、§B.1-B.2を参照のこと

x座標に垂直な面

に流入するエネルギー流れ

22 mW

smJ

)(1)(ˆˆˆ ppTTCHH p

密度一定の場合

zxzyxyxxxx vvv ][ vτ

zyzyyyxyxy vvv ][ vτzzzyzyxzxz vvv ][ vτ

x][ vτ

y][ vτ

z][ vτ

qvτve ][)ˆ2/( 2 Hv Combined energy flux

xvHv )ˆ2/( 2

yvHv )ˆ2/( 2

zvHv )ˆ2/( 2

xq

yq

zq

Fluxが移動する方向

xy

x軸に垂直な面を通過するy-運動量フラックス

x方向へ向かうy-運動量フラックス（運動量フラックスのy成分）

Fluxの成分

xe

ye

ze