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Esame di Analisi Matematica II del
19 gennaio 2009 ore 11
Versione A
Esercizio 1. (10 punti)
Dato il sistema di equazioni differenzialix= ey 1y = 2x2y+ 9x2 1,
a) determinare i punti critici (o punti di equilibrio) del sistema;
b) studiare la stabilita dei punti critici del sistema.
Svolgimento
a) Il sistema e autonomo non lineare. Posto X = (x, y) e F(x, y) =
ey 1, 2x2y+ 9x2 1,i punti critici (o di equilibrio) del sistema X = F(X) sono tutti i punti X R2 tali cheF(X) = 0.
Si ha che
F(X) = 0
ey 1 = 0
2x2
y+ 9x2
1 = 0 x= 13y = 0.
Quindi i punti critici del sistema X=F(X) sono X1=13 , 0
e X2=
13 , 0
.
b) La matrice Jacobiana di F inX= (x, y) R2 e
JF(x, y) =
0 ey
4xy+ 18x 2x2
.
Consideriamo inizialmente il punto X1=13 , 0
. Si ha che
JF1
3, 0= 0 1
6 29 .
1
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2 Esame scritto di Analisi Matematica II del 19 gennaio 2009
Determiniamo gli autovalori di JF13 , 0
. Si ha che
det
JF1
3 , 0 I= 16 29 =2
2
9 6.
Ne segue che
det
JF
1
3, 0
I
= 0 2 2
9 6 = 0 1,2 = 1
91
9
487.
Poiche1= 19+
19
487> 0, per il Teorema di linearizzazione si ha che il punto X1=
13 , 0
e instabile per il sistema X=F(X).
Consideriamo ora il punto X2= 1
3
, 0. Si ha cheJF
1
3, 0
=
0 16 29
.
Determiniamo gli autovalori di JF13 , 0
. Si ha che
det
JF
1
3, 0
I
=
16 29 =2 29 + 6.
Ne segue che
det
JF1
3, 0 I= 0 2 2
9+ 6 = 0 1,2 = 1
9 i 1
9485.
Poiche Re (1,2) > 0, per il Teorema di linearizzazione si ha che il punto X2 =13 , 0
e
instabile per il sistema X=F(X).
Esercizio 2. (10 punti)
Dato il campo vettoriale
G(x, y) = 12x(x2 +y2 3)2 , 12y(x2 +y2 3)2 ,
i) dire se esiste una regione del pianoR2 in cui G e conservativo e indicarla;
ii) in caso affermativo al punto i), calcolare i potenziali di G;
iii) dire se G e conservativo fuori dal cerchio di centro lorigine e raggio
3.
Svolgimento
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Versione A 3
i) Il campo G e definito su
dom( G) = (x, y) R2 : x2 +y2
=
3 .Inoltre G e di classe C su dom( G).
Posto G= (g1, g2), si ha che
g1
y(x, y) =
48xy
(x2 +y2 3)3 , g2
x(x, y) =
48xy
(x2 +y2 3)3 .
Poiche linsieme
A=
(x, y) R2 : x2 +y2 0, per il Teorema di linearizzazione si ha che il punto X1=
0, 13
e instabile per il sistema X=F(X).
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8 Esame scritto di Analisi Matematica II del 19 gennaio 2009
Consideriamo ora il punto X2=
0,13
. Si ha che
JF
0,1
3
= 29 61 0 .
Determiniamo gli autovalori di JF
0,13
. Si ha che
det
JF
0,1
3
I
=
29 61 =2 29 + 6.
Ne segue che
det
JF
0,1
3
I
= 0 2 2
9+ 6 = 0 1,2 = 1
9 i 1
9
485.
Poiche Re (1,2) > 0, per il Teorema di linearizzazione si ha che il punto X2 =
0,13
einstabile per il sistema X=F(X).
Esercizio 2. (10 punti)
Dato il campo vettoriale
G(x, y) =
10x(x2 +y2 5)2 ,
10y(x2 +y2 5)2
,
i) dire se esiste una regione del pianoR2 in cui G e conservativo e indicarla;
ii) in caso affermativo al punto i), calcolare i potenziali di G;
iii) dire se G e conservativo fuori dal cerchio di centro lorigine e raggio
5.
Svolgimento
i) Il campo G e definito su
dom(G) =
(x, y) R
2
: x2
+y2
= 5 .Inoltre G e di classe C su dom( G).
Posto G= (g1, g2), si ha che
g1
y(x, y) =
40xy
(x2 +y2 5)3 , g2
x(x, y) =
40xy
(x2 +y2 5)3 .
Poiche linsieme
A=
(x, y) R2 : x2 +y2 0, per il Teorema di linearizzazione si ha che il punto X1=
14 , 0
e instabile per il sistema X=F(X).
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14 Esame scritto di Analisi Matematica II del 19 gennaio 2009
Consideriamo ora il punto X2=14 , 0
. Si ha che
JF
1
4 , 0
= 0 28 14 .
Determiniamo gli autovalori di JF14 , 0
. Si ha che
det
JF
1
4, 0
I
=
28 14 =2 14 + 16.
Ne segue che
det
JF
1
4, 0
I
= 0 2 1
4+ 16 = 0 1,2 = 1
8 i 1
8
1023.
Poiche Re (1,2) > 0, per il Teorema di linearizzazione si ha che il punto X2 =14 , 0 e
instabile per il sistema X=F(X).
Esercizio 2. (10 punti)
Dato il campo vettoriale
G(x, y) =
8x(x2 +y2 7)2 ,
8y(x2 +y2 7)2
,
i) dire se esiste una regione del pianoR2 in cui G e conservativo e indicarla;
ii) in caso affermativo al punto i), calcolare i potenziali di G;
iii) dire se G e conservativo fuori dal cerchio di centro lorigine e raggio
7.
Svolgimento
i) Il campo G e definito su
dom(G) =
(x, y) R
2
: x2
+y2
= 7 .Inoltre G e di classe C su dom( G).
Posto G= (g1, g2), si ha che
g1
y(x, y) =
32xy
(x2 +y2 7)3 , g2
x(x, y) =
32xy
(x2 +y2 7)3 .
Poiche linsieme
A=
(x, y) R2 : x2 +y2 0, per il Teorema di linearizzazione si ha che il punto X1=
0, 14
e instabile per il sistema X=F(X).
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20 Esame scritto di Analisi Matematica II del 19 gennaio 2009
Consideriamo ora il punto X2=
0,14
. Si ha che
det
JF
0,1
4 I=
1
4
162
=2 14 + 16.Ne segue che
det
JF
0,1
4
I
= 0 2 1
4+ 16 = 0 1,2 = 1
8 i 1
8
1023.
Poiche Re (1,2) > 0, per il Teorema di linearizzazione si ha che il punto X2 =
0,14
e
instabile per il sistema X=F(X).
Esercizio 2. (10 punti)
Dato il campo vettoriale
G(x, y) =
6x(x2 +y2 9)2 ,
6y(x2 +y2 9)2
,
i) dire se esiste una regione del pianoR2 in cui G e conservativo e indicarla;
ii) in caso affermativo al punto i), calcolare i potenziali di G;
iii) dire se G e conservativo fuori dal cerchio di centro lorigine e raggio 3.
Svolgimento
i) Il campo G e definito su
dom( G) = (x, y) R2 : x2 +y2 = 9 .
Inoltre G e di classe C su dom( G).
Posto G= (g1, g2), si ha che
g1
y(x, y) =
24xy
(x2 +y2 9)3 , g2
x(x, y) =
24xy
(x2 +y2 9)3 .
Poiche linsieme
A=
(x, y) R2 : x2 +y2
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Versione D 21
O x
y
A
Fig. 4: Linsieme A (in azzurro).
ii) Sia g: A R un potenziale di G ristretto a A. Allora deve essereg
x(x, y) = 6x
(x2 +y2 9)2 , g
y(x, y) = 6y
(x2 +y2 9)2 .
Integrando la prima uguaglianza rispetto a x si ottiene
g(x, y) =
6x
(x2 +y2 9)2 dx= 3
x2 +y2 9+ c(y).
Derivando rispetto a y e imponendo che sussista luguaglianza con il secondo membro di
gy
(x, y) = 6y(x2+y29)2 si ottiene
g
y(x, y) = 6y
(x2 +y2 9)2 +c(y) = 6y
(x2 +y2 9)2 = c(y) = 0 = c(y) =c R.
Quindi tutti i potenziali di Gsu A sono
g(x, y) = 3
x2 +y2 9+ c, c R.
iii) Osserviamo che le funzionig(x, y) = 3x2+y29
+ csono definite e differenziabili su dom( G) con
g(x, y) = G(x, y), per ogni (x, y) dom( G). Quindi queste funzioni sono potenziali di Gsututto dom( G), e quindi anche al di fuori della circonferenza di centro lorigine e raggio 3 nel
piano Oxy.
Esercizio 3. (10 punti)
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22 Esame scritto di Analisi Matematica II del 19 gennaio 2009
a) Studiare la convergenza semplice e assoluta della serie
n=1
cos n
6 +n4 .
b) Determinare il raggio di convergenza e linsieme di convergenza puntuale della serie
n=1
1
1 +n
sin
1
4n
x
3
n.
c) Dire se esiste un intervallo aperto in cui converge uniformemente la serie
n=1
1
1 +n sin 1
4nx
3n
+ cos n
6 +n4 .
Svolgimento
a) La serien=1
cos n
6 +n4 e a termini di segno variabile. Studiamo inizialmente la convergenza
assoluta. Consideriamo quindi la serie
n=1
cos n
6 +n4
=
n=1| cos n|6 +n4
.
Poiche per ogni n 1 si ha che| cos n| 1, ne segue che per ogni n 1 si ha che| cos n|6 +n4
16 +n4
.
Essendo 16+n4
1n4
per n + ed essendo convergente la serien=1
1
n4, per il criterio
del confronto asintotico la serien=1
1
6 +n4 converge; per il criterio del confronto la serie
n=1
| cos n|6 +n4
converge e quindi la serie di partenza
n=1
cos n
6 +n4 converge assolutamente e di
conseguenza converge semplicemente.
b) Consideriamo la serie di potenze
n=1
1
1 +n
sin
1
4n
x
3
n.
Postot= x3 otteniamo la serie di potenze centrata in 0
n=1
1
1 +nsin 1
4n tn.
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Versione D 23
Determiniamo il raggio di convergenza di questa serie di potenze. Si ha che
limnn 11 +n sin
1
4n = limn n
1
1 +n
sin
1
4n
=
= limn
1
1 +n
sin
1
4n
1n
= limn
e1
nlog [ 1
1+n(sin 1
4n)].
Poiche sin 14n = 14n+ o
1n
per n +, si ha che
limn
1
nlog
1
1 +n
sin
1
4n
= lim
n
1
nlog
1
1 +n
1
4n+ o
1
n
=
= limn
1
nlog
1
4n(1 +n)+ o
1
n2
= lim
n
1
nlog [4n(1 +n)] = 0.
Quindi
limn
n
11 +n
sin 1
4n
= limn e 1n log [ 11+n(sin 14n)] = 1.Ne segue che il raggio di convergenza della serie di potenze
n=1
1
1 +n
sin
1
4n
tn e R =
1. Quindi questa serie di potenze converge assolutamente se t (1, 1). Controlliamo seconverge anche negli estremi di questo intervallo.
Se t= 1 abbiamo la serie a termini positivi
n=1
11 +n
sin 1
4n
.
Poiche sin 14n 14n per n +, si ha che1
4 +n
sin
1
4n
1
4n(1 +n) 1
4n2, n +.
Poiche la serien=1
1
n2 converge, per il criterio del confronto asintotico anche la serie
n=1
1
1 +n sin 1
4n converge.Se t= 1 abbiamo la serie a termini di segno alterno
n=1
(1)n 11 +n
sin
1
4n
.
Per quanto appena visto questa serie converge assoltamente e quindi converge. Ne segue che
la serien=1
1
1 +n
sin
1
4n
tn converge puntualmente se t [1, 1].
Ne segue che il raggio di convergenza della serie di potenzen=1
1
1 +n
sin
1
4n
x
3
neR = 3
e questa serie converge puntualmente in [3, 3].
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24 Esame scritto di Analisi Matematica II del 19 gennaio 2009
c) Consideriamo la serie di funzioni
n=1
11 +n
sin
1
4nx
3n
+
cos n
6 +n4
.
Poiche la serie di potenzen=1
1
1 +n
sin
1
4n
x
3
nconverge puntualmente in [3, 3], allora
converge uniformemente in [3, 3]. Inoltre per il punto a) la serie numerican=1
cos n
6 +n4 converge e quindi converge uniformemente su R.
Ne segue che la serien=1
1
1 +n
sin
1
4n
x
3
n+
cos n
6 +n4
converge uniformemente nellin-
tersezione di [
3, 3] e R, cioe in [
3, 3]. Quindi un intervallo aperto in cui questa serie
converge uniformemente e per esempio (3, 3).