DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK
Előadáson mutatott példa:
© Bércesné Novák Ágnes
1.
DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK
Előadáson mutatott példa:
© Bércesné Novák Ágnes
Algebrai alapok:
Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy
HH H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,bH
elempárhoz egyértelműen hozzárendel egy H-beli elemet.
Melyek műveletek az alábbiak közül?
- +, -, *, :, R, Z (C) -ben?
-sík egybevágósági transzformációinak halmazában a kompozíció?
- skalárszorzat
- vektoriális szorzat
-vegyes szorzat
Def.: Egy H-n értelmezett * művelet asszociatív, ha bármely a,b,cH-ra
a*(b*c)=(a*b)*c teljesül.
DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK
Előadáson mutatott példa:
© Bércesné Novák Ágnes
Példa:
Mátrixok szorzása asszociatív, de nem kommutatív
Def.: Egy H-n értelmezett * művelet kommutatív, ha bármely a,bH-ra a*b=b*a
teljesül.
DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK
Előadáson mutatott példa:
© Bércesné Novák Ágnes
Def.: Bal oldali egységelemnek egy olyan ebH elemet nevezünk, amelyre
minden aH-val eb*a=a teljesül.
Def.: Jobb oldali egységelemnek egy olyan ejH elemet nevezünk, amelyre
minden aH-val a*ej=a teljesül.
Def.: Az eH elem egyégelem (vagy kétoldali egységelem), ha mind bal, mind
pedig a jobb oldal egységelem, azaz minden aH-ra e*a=a*e=a.
Def.: Összeadás esetén az egységelemet nullelemnek vagy nullának nevezzük, és
0-val jelöljük.
Példák:
Az alábbiak közül melyik művelet, komm., asszoc, egységelemes, inverzelemes?
- páros számok/páratlan számok: +,-,*
- N és nulla halmazban: max (x, y), min(x,y), legkisebb-közös-többszörös(x,y)
DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK
Előadáson mutatott példa:
© Bércesné Novák Ágnes
- sík eltolásai, sík forgatásai adott, rögzített pont körül
Def.: Az aH elem bal oldali inverzén (vagy röviden balinverzén) egy olyan abH
elemet értünk, amelyre ab-1
*a=e.
Def.: Az aH elem jobb oldali inverzén (vagy röviden jobbinverzén) egy olyan ajH
elemet értünk, amelyre a* aj-1=e.
Def.: Az aH elem inverze (vagy kétoldali inverze) egy olyan a-1H elem,
amely az a-nak mind a bal, mind pedig a jobb oldali inverze, azaz a-1*a= a*a-1=e.
Tétel: Legyen értelmezve H—n egy asszociatív művelet. Ha a kétoldali inverzek
léteznek, akkor ab=aj=a-1 (az inverz kétoldali és egyértelmű)
Biz.: ab-1=ab
-1*e=ab-1* (a*aj
-1)= (ab-1*a) *aj
-1=a j-1
DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK
Előadáson mutatott példa:
© Bércesné Novák Ágnes
Def.: Csoport: Egy G nemüres halmazt csoportnak nevezünk, ha értelmezve van G-n
egy asszociatív művelet, létezik egységelem és minden elemnek van inverze.
(0. a,bG és a*bG, zártság, a művelet definíciójából következik!!!)
1. (a*b)*c=a*(b*c)
2. Létezik eG, e*a=a minden a-ra
3. létezik a-1G, és minden aG esetén igaz, hogy a-1*a=e
( Ha 4. a*b=b*a, akkor kommutatív, vagy Abel-csoport)
DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK
Előadáson mutatott példa:
© Bércesné Novák Ágnes
Példák csoportra:
sík-tér egybevágósági transzformációi
vektorok +
egész számok +
racionális számok +
valós számok +
nm-es mátrixok +, {{-1,1},}
Tétel: a, x, yG-re, (a*x=a*y) x=y
(x*a=y*a) x=y (G mert lehet, hogy G nem kommutatív!)
Biz.: x=e*x=ab-1*a*x= ab
-1*a*y=e*y=y
A másodikat ehhez hasonlóan, hf.
Tétel: a, x, yG ax=bx=(ab-1)b, illetve (xa=bx=b(aj
-1)
Biz .: x=e*x= ab-1*(a*x)= ab
-1 b. A másikat ehhez hasonlóan hf.
DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK
Előadáson mutatott példa:
© Bércesné Novák Ágnes
Def.: Egy T legalább kételemű halmazt kommutatív testnek nevezünk, ha:
Értelmezve van T-n két művelet – egyiket összeadásnak, másikat
szorzásnak hívjuk.
Az összeadás asszociatív és kommutatív, létezik nullelem, és minden
elemnek létezik ellentettje.
A szorzás asszociatív és kommutatív, létezik egységelem és a nullelemen
kívül minden elemnek létezik ( a szorzásra vonatkozó, azaz
multiplikatív) inverze.
bármely a, b, c T-re a*(b+c)=a*b+a*c teljesül.
Ezeket a tulajdonságokat szokás testaxiómáknak is nevezni.
Az elnevezésben a „kommutatív” jelző a szorzás kommutativitására utal. Ha a
szorzás kommutativitását nem kötjük ki, akkor nemkommutatív ill. ferdetestről
beszélünk.
Példák:
-Q, R, C, a+bSQRT(2), 2x2 mátrixok közül az aik=0, kivéve a22=x alakúak
DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK
Előadáson mutatott példa:
© Bércesné Novák Ágnes
Def: Struktúra, részstruktúra, csoport-részcsoport?
Félcsoport: egyetlen asszociatív művelet
Def.: Egy R nemüres halmazt gyűrűnek nevezünk, ha
értelmezve van R-en két művelet – az egyiket összeadásnak, a másikat szorzásnak
hívjuk,
az összeadás asszociatív és kommutatív, létezik nullelem és minden elemnek
létezik ellentettje (vagyis K csoport),
a szorzás asszocatív,
a két műveletet a disztributiv szabály kapcsolja össze, pontosabban a szirzás
disztibutív az összeadásra nézve: bármely a,b,c R –re a*(b+c)=a*b+a*c és
(b+c)*a=b*a+c*a teljesül.
DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK
Előadáson mutatott példa:
© Bércesné Novák Ágnes
Példák:
- n x n-es mátrixok gyűrűje a szokásos + és . műveletekre
- a páros számok (kommutatív) gyűrűje a szokásos + és * műveletekre
Az alábbi, sárgával jelölt rész a Lineéris algebra tárgyhoz tartozik, s teljesség
kedvéért említjük itt is.
Def.: A V nemüres halmazt vektortérnek nevezünk a T test felett, ha az alábbi
kikötések, ún. vektortéraxiómák teljesülnek:
A V halmazon értelmezve van egy összeadás nevű művelet, bármely u,v V
elempárhoz egyértelműen hozzárendelünk egy V-beli elemet, amelyet u+v-vel
jelöllünk. Az összeadás kommutatív csoport.
A T test és a V halmaz között értelmezve van a skalárral való szorzás (miért
nem művelet?) az alábbi módon: bármely T és uV elempárhoz egyértelműen
hozzárendelünk egy V-beli elemet, amelyet u-val jelölünk. (Művelet ez?)
DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK
Előadáson mutatott példa:
© Bércesné Novák Ágnes
Bármely , T és vV esetén:
(+)v=v+v
Bármely T és v, uV esetén:
(u+v)=u+v
Bármely , T és vV esetén:
()v=(v)
Bármely vV esetén:
1v=v,
ahol 1 a T test egységeleme (azaz amellyel minden T-re 1=1=).
Pl.:sík, tér vektorai, nm-es mátrixok
A vektortéraxiómák következményei:
a műveletek általános tulajdonságaiból azonnal következik, hogy a
nullvektor (0) és minden vektornak az ellentettje egyértelmű
DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK
Előadáson mutatott példa:
© Bércesné Novák Ágnes
elvégezhető a kivonás, azaz bármely u, vV vektorhoz egyértelműen
létezik olyan wV vektor, amelyre v+w=u, ezt w=u-v-vel jelöljük.
az összeadás asszociativitása és kommutativitása miatt a többtagú
összegek esetén a zárójelek elhagyhatók, és a tagok sorrendje is
tetszőlegesen átírható.
0.v=0, 0=0 (bizonyítás is kell!)
DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK
Előadáson mutatott példa:
© Bércesné Novák Ágnes
Def.: Egy T test feletti V vektortér egy nemüres WV részhalmazát altérnek nevezzük
a V-ben, ha W maga is vektortér ugyanazon T test felett ugyanazokra a V-beli
vektorműveletekre (pontosabban ezeknek a műveleteknek a W-re történő
megszorításaira) nézve.
Tétel: Egy T test feletti V vektortérben egy W nemüres részhalmaz akkor és csak
akkor altér, ha:
u, vWu+vW
vW, TvW.