diszkrÉt matematika: struktÚrÁk előadáson mutatott...

DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK

Előadáson mutatott példa:

© Bércesné Novák Ágnes

1.




Algebrai alapok:

Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy

HH H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,bH

elempárhoz egyértelműen hozzárendel egy H-beli elemet.

Melyek műveletek az alábbiak közül?

- +, -, *, :, R, Z (C) -ben?

-sík egybevágósági transzformációinak halmazában a kompozíció?

- skalárszorzat

- vektoriális szorzat

-vegyes szorzat

Def.: Egy H-n értelmezett * művelet asszociatív, ha bármely a,b,cH-ra

a*(b*c)=(a*b)*c teljesül.




Példa:

Mátrixok szorzása asszociatív, de nem kommutatív

Def.: Egy H-n értelmezett * művelet kommutatív, ha bármely a,bH-ra a*b=b*a

teljesül.




Def.: Bal oldali egységelemnek egy olyan ebH elemet nevezünk, amelyre

minden aH-val eb*a=a teljesül.

Def.: Jobb oldali egységelemnek egy olyan ejH elemet nevezünk, amelyre

minden aH-val a*ej=a teljesül.

Def.: Az eH elem egyégelem (vagy kétoldali egységelem), ha mind bal, mind

pedig a jobb oldal egységelem, azaz minden aH-ra e*a=a*e=a.

Def.: Összeadás esetén az egységelemet nullelemnek vagy nullának nevezzük, és

0-val jelöljük.

Példák:

Az alábbiak közül melyik művelet, komm., asszoc, egységelemes, inverzelemes?

- páros számok/páratlan számok: +,-,*

- N és nulla halmazban: max (x, y), min(x,y), legkisebb-közös-többszörös(x,y)




- sík eltolásai, sík forgatásai adott, rögzített pont körül

Def.: Az aH elem bal oldali inverzén (vagy röviden balinverzén) egy olyan abH

elemet értünk, amelyre ab-1

*a=e.

Def.: Az aH elem jobb oldali inverzén (vagy röviden jobbinverzén) egy olyan ajH

elemet értünk, amelyre a* aj-1=e.

Def.: Az aH elem inverze (vagy kétoldali inverze) egy olyan a-1H elem,

amely az a-nak mind a bal, mind pedig a jobb oldali inverze, azaz a-1*a= a*a-1=e.

Tétel: Legyen értelmezve H—n egy asszociatív művelet. Ha a kétoldali inverzek

léteznek, akkor ab=aj=a-1 (az inverz kétoldali és egyértelmű)

Biz.: ab-1=ab

-1*e=ab-1* (a*aj

-1)= (ab-1*a) *aj

-1=a j-1




Def.: Csoport: Egy G nemüres halmazt csoportnak nevezünk, ha értelmezve van G-n

egy asszociatív művelet, létezik egységelem és minden elemnek van inverze.

(0. a,bG és a*bG, zártság, a művelet definíciójából következik!!!)

1. (a*b)*c=a*(b*c)

2. Létezik eG, e*a=a minden a-ra

3. létezik a-1G, és minden aG esetén igaz, hogy a-1*a=e

( Ha 4. a*b=b*a, akkor kommutatív, vagy Abel-csoport)




Példák csoportra:

sík-tér egybevágósági transzformációi

vektorok +

egész számok +

racionális számok +

valós számok +

nm-es mátrixok +, {{-1,1},}

Tétel: a, x, yG-re, (a*x=a*y) x=y

(x*a=y*a) x=y (G mert lehet, hogy G nem kommutatív!)

Biz.: x=e*x=ab-1*a*x= ab

-1*a*y=e*y=y

A másodikat ehhez hasonlóan, hf.

Tétel: a, x, yG ax=bx=(ab-1)b, illetve (xa=bx=b(aj

-1)

Biz .: x=e*x= ab-1*(a*x)= ab

-1 b. A másikat ehhez hasonlóan hf.




Def.: Egy T legalább kételemű halmazt kommutatív testnek nevezünk, ha:

Értelmezve van T-n két művelet – egyiket összeadásnak, másikat

szorzásnak hívjuk.

Az összeadás asszociatív és kommutatív, létezik nullelem, és minden

elemnek létezik ellentettje.

A szorzás asszociatív és kommutatív, létezik egységelem és a nullelemen

kívül minden elemnek létezik ( a szorzásra vonatkozó, azaz

multiplikatív) inverze.

bármely a, b, c T-re a*(b+c)=a*b+a*c teljesül.

Ezeket a tulajdonságokat szokás testaxiómáknak is nevezni.

Az elnevezésben a „kommutatív” jelző a szorzás kommutativitására utal. Ha a

szorzás kommutativitását nem kötjük ki, akkor nemkommutatív ill. ferdetestről

beszélünk.

Példák:

-Q, R, C, a+bSQRT(2), 2x2 mátrixok közül az aik=0, kivéve a22=x alakúak




Def: Struktúra, részstruktúra, csoport-részcsoport?

Félcsoport: egyetlen asszociatív művelet

Def.: Egy R nemüres halmazt gyűrűnek nevezünk, ha

értelmezve van R-en két művelet – az egyiket összeadásnak, a másikat szorzásnak

hívjuk,

az összeadás asszociatív és kommutatív, létezik nullelem és minden elemnek

létezik ellentettje (vagyis K csoport),

a szorzás asszocatív,

a két műveletet a disztributiv szabály kapcsolja össze, pontosabban a szirzás

disztibutív az összeadásra nézve: bármely a,b,c R –re a*(b+c)=a*b+a*c és

(b+c)*a=b*a+c*a teljesül.




Példák:

- n x n-es mátrixok gyűrűje a szokásos + és . műveletekre

- a páros számok (kommutatív) gyűrűje a szokásos + és * műveletekre

Az alábbi, sárgával jelölt rész a Lineéris algebra tárgyhoz tartozik, s teljesség

kedvéért említjük itt is.

Def.: A V nemüres halmazt vektortérnek nevezünk a T test felett, ha az alábbi

kikötések, ún. vektortéraxiómák teljesülnek:

A V halmazon értelmezve van egy összeadás nevű művelet, bármely u,v V

elempárhoz egyértelműen hozzárendelünk egy V-beli elemet, amelyet u+v-vel

jelöllünk. Az összeadás kommutatív csoport.

A T test és a V halmaz között értelmezve van a skalárral való szorzás (miért

nem művelet?) az alábbi módon: bármely T és uV elempárhoz egyértelműen

hozzárendelünk egy V-beli elemet, amelyet u-val jelölünk. (Művelet ez?)




Bármely , T és vV esetén:

(+)v=v+v

Bármely T és v, uV esetén:

(u+v)=u+v

Bármely , T és vV esetén:

()v=(v)

Bármely vV esetén:

1v=v,

ahol 1 a T test egységeleme (azaz amellyel minden T-re 1=1=).

Pl.:sík, tér vektorai, nm-es mátrixok

A vektortéraxiómák következményei:

a műveletek általános tulajdonságaiból azonnal következik, hogy a

nullvektor (0) és minden vektornak az ellentettje egyértelmű




elvégezhető a kivonás, azaz bármely u, vV vektorhoz egyértelműen

létezik olyan wV vektor, amelyre v+w=u, ezt w=u-v-vel jelöljük.

az összeadás asszociativitása és kommutativitása miatt a többtagú

összegek esetén a zárójelek elhagyhatók, és a tagok sorrendje is

tetszőlegesen átírható.

0.v=0, 0=0 (bizonyítás is kell!)




Def.: Egy T test feletti V vektortér egy nemüres WV részhalmazát altérnek nevezzük

a V-ben, ha W maga is vektortér ugyanazon T test felett ugyanazokra a V-beli

vektorműveletekre (pontosabban ezeknek a műveleteknek a W-re történő

megszorításaira) nézve.

Tétel: Egy T test feletti V vektortérben egy W nemüres részhalmaz akkor és csak

akkor altér, ha:

u, vWu+vW

vW, TvW.

diszkrÉt matematika: struktÚrÁk előadáson mutatott...

Documents