Download - 中国大学先修课(CAP)第六次线下考试 微积分科目考试说明storage.xuetangx.com/public_assets/moocap/... · 第四节 定积分应用举例 第五节 反常积分
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中国大学先修课(CAP)第六次线下考试
微积分科目考试说明
一、考试性质与考查目标
微积分先修课线下考试是由中国大学先修课(CAP)联合理事会组织,由清
华大学学堂在线负责实施,面向学习过大学先修课的优秀中学生的考试。
考试要求考生比较系统地掌握MOOCAP微积分课程中的基本概念和基本理
论,熟练地掌握和运用 MOOCAP 微积分的基本内容和基本方法,具备一定的抽
象思维能力、逻辑推理能力、运算能力,能够运用所学知识分析和解决具有一定
难度的微积分问题。
一、考试范围与参考教材
考试范围与学堂在线(www.moocap.org.cn)平台上的 MOOCAP 微积分
课程内容一致,是参考教材中的第 2 章至第 9 章。
参考教材是由清华大学、北京大学、清华附中的教师合作编著、高等教育出
版社出版的中国大学先修课程《微积分》(主编 扈志明,2016 年 9 月,第一版),
这是中国大学先修课试点项目管理委员会组织开发、建设的首批教材之一。
附:MOOCAP 微积分课程教学内容。
第 1 章 极限
第一节 极限概念引例
第二节 极限的概念
第三节 极限的性质
第四节 极限的运算
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第五节 夹逼定理与单调有界收敛定理
第六节 两个重要的极限
第七节 无穷小量
第 2 章 连续函数
第一节 连续函数的概念
第二节 初等函数的连续性结论
第三节 连续函数的性质
第 3 章 导数与微分
第一节 导数与导函数
第二节 微分
第三节 导数的运算
第四节 隐函数与参数方程确定的函数的导数、对数求导法
第五节 高阶导数
第 4 章 微分中值定理和导数的应用
第一节 极值和极值点
第二节 微分中值定理
第三节 洛必达法则
第四节 函数单调性的判定
第五节 函数的极值及其求法
第六节 函数的最值及其应用
第七节 曲线的凸性和拐点
第八节 曲线的渐近线
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第九节 泰勒(Taylor)公式
第十节 原函数与微分方程初步
第 5 章 定积分
第一节 定积分问题举例
第二节 定积分的概念
第三节 定积分的基本性质
第四节 微积分基本定理
第五节 定积分的几何应用
第六节 定积分的物理应用
第 6 章 积分法与反常积分
第一节 换元积分法
第二节 分部积分法
第三节 有理函数的积分法
第四节 定积分应用举例
第五节 反常积分
第 7 章 无穷级数
第一节 无穷级数
第二节 正项级数
第三节 比值判敛法和根式判敛法
第四节 一般项级数
第五节 幂级数
第六节 函数的幂级数
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第七节 泰勒级数
第八节 幂级数的简单应用
第 8 章 常微分方程
第一节 一阶可求解常微分方程
第二节 一阶线性微分方程
第三节 二阶线性常系数微分方程
第四节 常系数微分方程简单应用举例
三、考试形式与试卷结构
(一)试卷满分为 100 分,考试时间为 120 分钟。
(二)试卷题型结构为:
单项选择题 4 小题 每小题 4 分 共 16 分
判断题 2 小题 每小题 4 分 共 8 分
填空题 4 小题 每小题 4 分 共 16 分
解答与证明题 6 小题 每小题 10 分 共 60 分
(三)考试方式为闭卷;考试禁止使用规定之外的辅助工具。
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四、题型示例及参考答案
MOOCAP 微积分试题
注意:全卷有选择题、判断题、填空题和解答题四道大题,共 16 道小题.满
分为 100 分.
一、选择题:1~4 小题,每小题 4 分,共 16 分.下列每题给出的四个选项中,
只有一个选项是符合题目要求的.
(1)设连续函数 的导函数 的图形如图
所示,则函数 的极值点个数与曲线
的拐点个数依次为
(A) ;
(B) ;
(C) ;
(D) ;
(2)设函数 在 的某邻域内有定义,则 在 处可导的充分必要条件是
(A) 存在 (B) 存在
(C) 存在 (D) 存在
(3)若级数 条件收敛,则 与 依次为幂级数 的
(A)收敛点,发散点 (B)发散点,收敛点
(C)绝对收敛点,收敛点 (D)收敛点,绝对收敛点
(4)设 ,则有
(A) (B)
( )f x ( )f x¢ 1
( )f x
( )y f x=
2 5
2 4
3 5
3 4
( )f x 0x ( )f x 0x
0 00
( ) ( )limh
f x f x hh®
- - 0 00
( ) ( )limh
f x h f x hh®
+ - -
0 00
( 2 ) ( )limh
f x h f x hh®
+ - +0 00
1lim [ ( ) ( )]hh f x f x
h®+ -
0 2nn
n
a¥
=å 2
3x = 3
2x =
1( 1)nn
n
a xn
¥
=
-å
2π20e sin d ( 1, 2, 3)
kx
kI x x k= =ò
1 2 3I I I< < 3 1 2I I I< <
图 1
y=f '(x)
y=f '(x)
O
y
x
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(C) (D)
二、判断题:5~6 小题,每小题 4 分,共 8 分.下列每题给了一个结论,若认
为题目给出的结论正确,请选“正确”,否则,请选“错误”.
(5)在区间 上存在连续函数 ,使得 对任意的
成立 .
(6)如果函数 在区间 上可导,而且 ,那么 .
三、填空题:7~10 小题,每小题 4 分,共 16 分.
(7) .
(8) .
(9)设函数 ,则 .
(10)微分方程 满足条件 和 的解为 .
四、解答题:11~16 小题,共 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.
(11)(本题满分 10 分)
设极限 ,求 的值.
3 2 1I I I< < 1 3 2I I I< <
( , )-¥ +¥ ( )f x3
2 21( )
1 1x x xfx x
+ +=
+ +
( , )xÎ -¥ +¥
( )f x (0, )+¥ lim ( ) 0x
f x®+¥
= lim ( ) 0x
f x®+¥
¢ =
20
ln(cos )lime 1xx
x®
=-
1 sin d1 cos
x xx
p2p
-2
+=
+ò
2( ) (1 )xf x x= + 1d
xf
==
3 2 2y y y x¢¢ ¢- + = 032xy =
= 0 2xy =¢ = y =
2
30
ln(1 )2lim 1
x
xx x
ax®
- - += a
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(12)(本题满分 10 分)
已知函数 由方程 确定,求 和 的值.
(13)(本题满分 10 分)
求不定积分:(1) ; (2) .
(14)(本题满分 10 分)
已知函数 满足 .设平面有界区域 由曲线
与直线 及 轴围成.
(Ⅰ)求 绕 轴旋转所成旋转体的体积 ;
(Ⅱ)当 的面积等于 时,求 的值使得体积 取到最小值.
(15)(本题满分 10 分)
设函数 在区间 上连续,且 ,函数 .求
的单调区间和 的极小值.
(16)(本题满分 10 分)
设函数 在区间 上具有二阶导数,且 , .证明:
)(xyy = 1e sin 02
xx y y- + = 0xy =¢ 0xy =¢¢
2
ln(1 )d(1 )
x xx+
+ò 2 2
ln(1 )d(1 )x x x
x+
+ò
2( )f x ax bx= + ( ) 0, [0,1]f x xÎ≥ D
( )y f x= 1=x x
D x V
D31
,a b V
( )f x ( , )-¥ +¥ ( ) 0f x >2
2
1( ) ( ) ( )d
xF x x t f t t= -ò
( )F x ( )F x
( )f x [ 1,1]- (0) 0f = (1) 1f =
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(Ⅰ)存在 ,使得 ;
(Ⅱ)若 ,则存在 ,使得 .
参考答案
一、选择题
(1)D (2)A (3)C (4)B
二、判断题
(5)错误 (6)错误
三、填空题
(7) (8)
(9) (10)
四、解答题
(11)解 利用罗比达法则,得
( 1,1)x Î - ( ) 1f x¢ =
( 1) 1f - = ( 1,1)hÎ - ( ) 2f h¢¢ =
12
- 2
2(1 ln 2)dx+ 2 3e e2
x x x- + +
2
3 20 0
11ln(1 )12lim lim
3x x
x xx xx
ax ax® ®
- -- - ++=
2
0
11(1 )lim6x
xax®
- ++=
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.
依题意得 ,所以 .
(12)解 在方程 两端关于 求导,得
.
在方程 两端关于 求导,得
.
将 代入 ,得 ,所以 .
将 , 代入 ,得 .
将 , , 代入 ,得
.
(13)解 (1)
.
(2)
.
3
0
21(1 )lim
6 3x
xa a®
-+= = -
1 13a
- =13
a = -
1e sin 02
xx y y- + = x
1(1 )e cos 02
xx y y y¢ ¢+ - + =
1(1 )e cos 02
xx y y y¢ ¢+ - + = x
21 1(2 )e cos ( ) sin 02 2
xx y y y y y¢¢ ¢¢ ¢+ - + - =
0x = 1e sin 02
xx y y- + = sin 2y y= (0) 0y =
0x = (0) 0y =1(1 )e cos 02
xx y y y¢ ¢+ - + = 0 2xy =¢ =
0x = (0) 0y = 0 2xy =¢ = 21 1(2 )e cos ( ) sin 02 2
xx y y y y y¢¢ ¢¢ ¢+ - + - =
0 4xy =¢¢ =
2 2
ln(1 ) ln(1 ) 1d d(1 ) 1 (1 )
x xx xx x x+ +
= - ++ + +ò ò
ln(1 ) 11 1
x Cx x+
= - - ++ +
2 2 2 2
ln(1 ) ln(1 ) 1 1d d(1 ) 2(1 ) 2 (1 )(1 )x x xx x
x x x x+ +
= - ++ + + +ò ò
2 2
ln(1 ) 1 1 1 d2(1 ) 4 1 1
x x xx x x+ -æ ö= - + +ç ÷+ + +è øò
22
ln(1 ) 1 1 1ln(1 ) arctan ln(1 )2(1 ) 4 4 8
x x x x Cx+
= - + + + - + ++
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(14)解 (Ⅰ)所求体积为
.
(Ⅱ)平面区域 的面积为
.
依题意 ,所以 ,这时
,
.
令 得 .
由于 ,所以这时的体积 最小,故当 时体积 最小.
(15)解 因为 在 上连续,所以 的定义域为 .
因为 且 连续,所以 可导,且
.
令 ,得 .
因为 ,所以当 时, ;当 时, .
列表讨论如下:
x 1
- + - +
2 21 2 20π( ) d π( )
5 2 3a ab bV ax bx x= + = + +ò
D
1 20( )d
3 2a bS ax bx x= + = +ò
13 2 3a b+ = ba
231-=
2 22 21 3 1 3 1π( ) π (1 ) (1 )
5 2 3 5 2 2 2 3a ab bV b b b bé ù= + + = - + - +ê úë û
d 1 1π( )d 15 10V bb= -
d 0dVb=
23
=b2
2d π 0
15dVb
= > V 5 3,4 2
a b= - = V
( )f x ( , )-¥ +¥ ( )F x ( , )-¥ +¥
2 22
1 1( ) ( )d ( )d
x xF x x f t t tf t t= -ò ò ( )f t ( )F x
2 23 2 3 2
1 1( ) 2 ( )d 2 ( ) 2 ( ) 2 ( )d
x xF x x f t t x f x x f x x f t t¢ = + - =ò ò
( ) 0F x¢ = 0, 1x = ±
( ) 0f x > 1x <2
1( )d 0
xf t t <ò 1x >
2
1( )d 0
xf t t >ò
( , 1)-¥ - 1- ( 1,0)- 0 (0,1) (1, )+¥
( )F x¢ 0 0 0
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极小 极大 极小
因此,函数 的单调递增区间为 和 ,单调递减区间为 和
.
极小值点为 和 ,极小值为 .
(16)证 (Ⅰ)因为 在区间 上具有二阶导数,所以在区间 上可
导,根据拉格朗日中值定理可知,存在 ,使得
.
又因为 , ,所以 .
(Ⅱ)令 .
由题设可知, 在区间 上具有二阶导数,且 .
根据罗尔定理,存在 , ,使得
, .
对 在区间 上使用罗尔定理,存在 ,使得
.
因为 ,所以 .
( )F x ! ! ! !
( )F x ( 1,0)- (1, )+¥ ( , 1)-¥ -
(0,1)
1x = - 1x =1
1( 1) (1) (1 ) ( )d 0F F t f t t- = = - =ò
( )f x [ 1,1]- [0,1]
(0,1) ( 1,1)x Î Ì -
(1) (0)( )1 0
f ff x -¢ =-
(0) 0f = (1) 1f = ( ) 1f x¢ =
2( ) ( )F x f x x= -
( )F x [ 1,1]- ( 1) (0) (1) 0F F F- = = =
1 ( 1, 0)x Î - 2 (0,1)x Î
1( ) 0F x¢ = 2( ) 0F x¢ =
( )F x¢ 1 2[ , ]x x 1 2( , ) ( 1,1)x xhÎ Ì -
( ) 0F h¢¢ =
( ) ( ) 2F x f x¢¢ ¢¢= - ( ) 2f h¢¢ =