1 / 11

中国大学先修课（CAP）第六次线下考试

微积分科目考试说明

一、考试性质与考查目标

微积分先修课线下考试是由中国大学先修课（CAP）联合理事会组织，由清

华大学学堂在线负责实施，面向学习过大学先修课的优秀中学生的考试。

考试要求考生比较系统地掌握MOOCAP微积分课程中的基本概念和基本理

论，熟练地掌握和运用 MOOCAP 微积分的基本内容和基本方法，具备一定的抽

象思维能力、逻辑推理能力、运算能力，能够运用所学知识分析和解决具有一定

难度的微积分问题。

一、考试范围与参考教材

考试范围与学堂在线（www.moocap.org.cn）平台上的 MOOCAP 微积分

课程内容一致，是参考教材中的第 2 章至第 9 章。

参考教材是由清华大学、北京大学、清华附中的教师合作编著、高等教育出

版社出版的中国大学先修课程《微积分》（主编 扈志明，2016 年 9 月，第一版），

这是中国大学先修课试点项目管理委员会组织开发、建设的首批教材之一。

附：MOOCAP 微积分课程教学内容。

第 1 章 极限

第一节 极限概念引例

第二节 极限的概念

第三节 极限的性质

第四节 极限的运算

2 / 11

第五节 夹逼定理与单调有界收敛定理

第六节 两个重要的极限

第七节 无穷小量

第 2 章 连续函数

第一节 连续函数的概念

第二节 初等函数的连续性结论

第三节 连续函数的性质

第 3 章 导数与微分

第一节 导数与导函数

第二节 微分

第三节 导数的运算

第四节 隐函数与参数方程确定的函数的导数、对数求导法

第五节 高阶导数

第 4 章 微分中值定理和导数的应用

第一节 极值和极值点

第二节 微分中值定理

第三节 洛必达法则

第四节 函数单调性的判定

第五节 函数的极值及其求法

第六节 函数的最值及其应用

第七节 曲线的凸性和拐点

第八节 曲线的渐近线

3 / 11

第九节 泰勒（Taylor）公式

第十节 原函数与微分方程初步

第 5 章 定积分

第一节 定积分问题举例

第二节 定积分的概念

第三节 定积分的基本性质

第四节 微积分基本定理

第五节 定积分的几何应用

第六节 定积分的物理应用

第 6 章 积分法与反常积分

第一节 换元积分法

第二节 分部积分法

第三节 有理函数的积分法

第四节 定积分应用举例

第五节 反常积分

第 7 章 无穷级数

第一节 无穷级数

第二节 正项级数

第三节 比值判敛法和根式判敛法

第四节 一般项级数

第五节 幂级数

第六节 函数的幂级数

4 / 11

第七节 泰勒级数

第八节 幂级数的简单应用

第 8 章 常微分方程

第一节 一阶可求解常微分方程

第二节 一阶线性微分方程

第三节 二阶线性常系数微分方程

第四节 常系数微分方程简单应用举例

三、考试形式与试卷结构

（一）试卷满分为 100 分，考试时间为 120 分钟。

（二）试卷题型结构为：

单项选择题 4 小题 每小题 4 分 共 16 分

判断题 2 小题 每小题 4 分 共 8 分

填空题 4 小题 每小题 4 分 共 16 分

解答与证明题 6 小题 每小题 10 分 共 60 分

（三）考试方式为闭卷；考试禁止使用规定之外的辅助工具。

5 / 11

四、题型示例及参考答案

MOOCAP 微积分试题

注意：全卷有选择题、判断题、填空题和解答题四道大题，共 16 道小题．满

分为 100 分．

一、选择题：1～4 小题，每小题 4 分，共 16 分．下列每题给出的四个选项中，

只有一个选项是符合题目要求的.

（1）设连续函数 的导函数 的图形如图

所示，则函数 的极值点个数与曲线

的拐点个数依次为

（A） ；

（B） ；

（C） ；

（D） ；

（2）设函数 在 的某邻域内有定义，则 在 处可导的充分必要条件是

（A） 存在 （B） 存在

（C） 存在 （D） 存在

（3）若级数 条件收敛，则 与 依次为幂级数 的

（A）收敛点，发散点 （B）发散点，收敛点

（C）绝对收敛点，收敛点 （D）收敛点，绝对收敛点

（4）设 ，则有

（A） （B）

( )f x ( )f x¢ 1

( )f x

( )y f x=

2 5

2 4

3 5

3 4

( )f x 0x ( )f x 0x

0 00

( ) ( )limh

f x f x hh®

- - 0 00

( ) ( )limh

f x h f x hh®

+ - -

0 00

( 2 ) ( )limh

f x h f x hh®

+ - +0 00

1lim [ ( ) ( )]hh f x f x

h®+ -

0 2nn

n

a¥

=å 2

3x = 3

2x =

1( 1)nn

n

a xn

¥

=

-å

2π20e sin d ( 1, 2, 3)

kx

kI x x k= =ò

1 2 3I I I< < 3 1 2I I I< <

图 1

y=f '(x)

y=f '(x)

O

y

x

6 / 11

（C） （D）

二、判断题：5～6 小题，每小题 4 分，共 8 分．下列每题给了一个结论，若认

为题目给出的结论正确，请选“正确”，否则，请选“错误”.

（5）在区间 上存在连续函数 ，使得 对任意的

成立 ．

（6）如果函数 在区间 上可导，而且 ，那么 ．

三、填空题：7～10 小题，每小题 4 分，共 16 分．

（7） ．

（8） ．

（9）设函数 ，则 ．

（10）微分方程 满足条件 和 的解为 ．

四、解答题：11～16 小题，共 60 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤．

（11）（本题满分 10 分）

设极限 ，求 的值．

3 2 1I I I< < 1 3 2I I I< <

( , )-¥ +¥ ( )f x3

2 21( )

1 1x x xfx x

+ +=

+ +

( , )xÎ -¥ +¥

( )f x (0, )+¥ lim ( ) 0x

f x®+¥

= lim ( ) 0x

f x®+¥

¢ =

20

ln(cos )lime 1xx

x®

=-

1 sin d1 cos

x xx

p2p

-2

+=

+ò

2( ) (1 )xf x x= + 1d

xf

==

3 2 2y y y x¢¢ ¢- + = 032xy =

= 0 2xy =¢ = y =

2

30

ln(1 )2lim 1

x

xx x

ax®

- - += a

7 / 11

（12）（本题满分 10 分）

已知函数 由方程 确定，求 和 的值．

（13）（本题满分 10 分）

求不定积分：（1） ； （2） ．

（14）（本题满分 10 分）

已知函数 满足 ．设平面有界区域 由曲线

与直线 及 轴围成．

（Ⅰ）求 绕 轴旋转所成旋转体的体积 ；

（Ⅱ）当 的面积等于 时，求 的值使得体积 取到最小值．

（15）（本题满分 10 分）

设函数 在区间 上连续，且 ，函数 ．求

的单调区间和 的极小值．

（16）（本题满分 10 分）

设函数 在区间 上具有二阶导数，且 ， ．证明：

)(xyy = 1e sin 02

xx y y- + = 0xy =¢ 0xy =¢¢

2

ln(1 )d(1 )

x xx+

+ò 2 2

ln(1 )d(1 )x x x

x+

+ò

2( )f x ax bx= + ( ) 0, [0,1]f x xÎ≥ D

( )y f x= 1=x x

D x V

D31

,a b V

( )f x ( , )-¥ +¥ ( ) 0f x >2

2

1( ) ( ) ( )d

xF x x t f t t= -ò

( )F x ( )F x

( )f x [ 1,1]- (0) 0f = (1) 1f =

8 / 11

（Ⅰ）存在 ，使得 ；

（Ⅱ）若 ，则存在 ，使得 ．

参考答案

一、选择题

（1）D （2）A （3）C （4）B

二、判断题

（5）错误 （6）错误

三、填空题

（7） （8）

（9） （10）

四、解答题

（11）解 利用罗比达法则，得

( 1,1)x Î - ( ) 1f x¢ =

( 1) 1f - = ( 1,1)hÎ - ( ) 2f h¢¢ =

12

- 2

2(1 ln 2)dx+ 2 3e e2

x x x- + +

2

3 20 0

11ln(1 )12lim lim

3x x

x xx xx

ax ax® ®

- -- - ++=

2

0

11(1 )lim6x

xax®

- ++=

9 / 11

．

依题意得 ，所以 ．

（12）解 在方程 两端关于 求导，得

．

在方程 两端关于 求导，得

．

将 代入 ，得 ，所以 ．

将 ， 代入 ，得 ．

将 ， ， 代入 ，得

．

（13）解 （1）

．

（2）

．

3

0

21(1 )lim

6 3x

xa a®

-+= = -

1 13a

- =13

a = -

1e sin 02

xx y y- + = x

1(1 )e cos 02

xx y y y¢ ¢+ - + =

1(1 )e cos 02

xx y y y¢ ¢+ - + = x

21 1(2 )e cos ( ) sin 02 2

xx y y y y y¢¢ ¢¢ ¢+ - + - =

0x = 1e sin 02

xx y y- + = sin 2y y= (0) 0y =

0x = (0) 0y =1(1 )e cos 02

xx y y y¢ ¢+ - + = 0 2xy =¢ =

0x = (0) 0y = 0 2xy =¢ = 21 1(2 )e cos ( ) sin 02 2

xx y y y y y¢¢ ¢¢ ¢+ - + - =

0 4xy =¢¢ =

2 2

ln(1 ) ln(1 ) 1d d(1 ) 1 (1 )

x xx xx x x+ +

= - ++ + +ò ò

ln(1 ) 11 1

x Cx x+

= - - ++ +

2 2 2 2

ln(1 ) ln(1 ) 1 1d d(1 ) 2(1 ) 2 (1 )(1 )x x xx x

x x x x+ +

= - ++ + + +ò ò

2 2

ln(1 ) 1 1 1 d2(1 ) 4 1 1

x x xx x x+ -æ ö= - + +ç ÷+ + +è øò

22

ln(1 ) 1 1 1ln(1 ) arctan ln(1 )2(1 ) 4 4 8

x x x x Cx+

= - + + + - + ++

10 / 11

（14）解 （Ⅰ）所求体积为

．

（Ⅱ）平面区域 的面积为

．

依题意 ，所以 ，这时

，

．

令 得 ．

由于 ，所以这时的体积 最小，故当 时体积 最小．

（15）解 因为 在 上连续，所以 的定义域为 ．

因为 且 连续，所以 可导，且

．

令 ，得 ．

因为 ，所以当 时， ；当 时， ．

列表讨论如下：

x 1

－ ＋ － ＋

2 21 2 20π( ) d π( )

5 2 3a ab bV ax bx x= + = + +ò

D

1 20( )d

3 2a bS ax bx x= + = +ò

13 2 3a b+ = ba

231-=

2 22 21 3 1 3 1π( ) π (1 ) (1 )

5 2 3 5 2 2 2 3a ab bV b b b bé ù= + + = - + - +ê úë û

d 1 1π( )d 15 10V bb= -

d 0dVb=

23

=b2

2d π 0

15dVb

= > V 5 3,4 2

a b= - = V

( )f x ( , )-¥ +¥ ( )F x ( , )-¥ +¥

2 22

1 1( ) ( )d ( )d

x xF x x f t t tf t t= -ò ò ( )f t ( )F x

2 23 2 3 2

1 1( ) 2 ( )d 2 ( ) 2 ( ) 2 ( )d

x xF x x f t t x f x x f x x f t t¢ = + - =ò ò

( ) 0F x¢ = 0, 1x = ±

( ) 0f x > 1x <2

1( )d 0

xf t t <ò 1x >

2

1( )d 0

xf t t >ò

( , 1)-¥ - 1- ( 1,0)- 0 (0,1) (1, )+¥

( )F x¢ 0 0 0

11 / 11

极小 极大 极小

因此，函数 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 和

．

极小值点为 和 ，极小值为 ．

（16）证 （Ⅰ）因为 在区间 上具有二阶导数，所以在区间 上可

导，根据拉格朗日中值定理可知，存在 ，使得

．

又因为 ， ，所以 ．

（Ⅱ）令 ．

由题设可知， 在区间 上具有二阶导数，且 ．

根据罗尔定理，存在 ， ，使得

， ．

对 在区间 上使用罗尔定理，存在 ，使得

．

因为 ，所以 ．

( )F x ! ! ! !

( )F x ( 1,0)- (1, )+¥ ( , 1)-¥ -

(0,1)

1x = - 1x =1

1( 1) (1) (1 ) ( )d 0F F t f t t- = = - =ò

( )f x [ 1,1]- [0,1]

(0,1) ( 1,1)x Î Ì -

(1) (0)( )1 0

f ff x -¢ =-

(0) 0f = (1) 1f = ( ) 1f x¢ =

2( ) ( )F x f x x= -

( )F x [ 1,1]- ( 1) (0) (1) 0F F F- = = =

1 ( 1, 0)x Î - 2 (0,1)x Î

1( ) 0F x¢ = 2( ) 0F x¢ =

( )F x¢ 1 2[ , ]x x 1 2( , ) ( 1,1)x xhÎ Ì -

( ) 0F h¢¢ =

( ) ( ) 2F x f x¢¢ ¢¢= - ( ) 2f h¢¢ =