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LFM – Mathématiques – 3ème

1

Ch 5 : Grandeurs et puissances I Les grandeurs usuelles et leurs unités Grandeur Unités Grandeur Unités Grandeur Unités Longueur cm , m , km .. Aire 𝑐𝑚! , 𝑚!.. Température ℃ , K …. Masse g , kg , t .. Volume 𝑑𝑚! , 𝑚!.. Prix € , $ , Rb Durée s , mn , h .. Contenance cL , L , hL .. Population hab. .. Quelques conversions : 1 t = …………. kg 1 𝑚! = ………….. 𝑐𝑚! 1 m = ……….. mm 1 L = ……….... 𝑑𝑚! 1 h = ………….. s 1 𝑚! = …………… 𝑑𝑚! = ……………. L II Notions de grandeurs Définition : Une grandeur est une quantité que l’on peut mesurer ou estimer. Pour un même objet, plusieurs grandeurs peuvent être étudiées. Exemple : On considère une citerne de forme cylindrique

• Pour étudier sa hauteur, on mesure une longueur, par exemple exprimée en mètres (m) • Pour étudier sa surface latérale, on mesure une aire, par exemple exprimée en mètres carrés (𝑚!) • Pour étudier son volume intérieur, on mesure une contenance, par exemple exprimée en litres (L)

III Grandeurs composées

1) Grandeur produit Définition : Une grandeur produit s’obtient en faisant le produit de deux grandeurs. L’unité de mesure de cette grandeur composée est généralement le produit des unités de chaque grandeur.

Exemple : On augmente un prix de 5 % : donc on multiplie par 1,05 Il valait 100 € et vaut maintenant 105 €

Prix initial 100

Prix après augmentation 105

On diminue un prix de 30% : donc on multiplie par 0,70 Exercices 8 à 12 de la feuille

II- Grandeurs composées Activité 3 page 97

1- Grandeurs et mesures Définition : Une grandeur est une quantité que l'on peut mesurer ou estimer. Une mesure est un nombre associé à une unité qui permet de quantifier une grandeur.

Exemple : Une voiture roule à 90 km/h. La grandeur est la vitesse et sa mesure est 90 km/h. Le km/h est l'unité choisie pour mesurer la grandeur.

Remarque : Une mesure peut être exprimée à l'aide d'unités différentes. Il existe alors des méthodes pour convertir la mesure d'une unité à une autre.

2- Grandeurs produit Définition : Une grandeur produit s’obtient en faisant le produit de deux grandeurs. L’unité de mesure de cette grandeur composée est généralement le produit des unités de chaque grandeur. Exemples : Volume d’un prisme : V = !"#$ &$ '! (!)$ × ℎ!,-$,#

V(m3) = A(m²) × h (m) Energie électrique : Energie = Puissance × temps E(Wh) = P(W) × t(h) Puissance : P (W) = U (V) × I (A) Propriété 4 : Pour convertir l’unité d’une grandeur produit, on convertit chacune des unités des facteurs du produit. Exemple : calculer l’énergie consommée (en kWh) par un appareil de 700 W qui fonctionne pendant 12 minutes. On sait que E = P × t Or P = 700 W = 0,7 kW et t = 12 min = ./

01 h = 0,2 h Donc E = P × t = 0,7 × 0,2 = 0,14 L’énergie consommée est de 0,14 kWh (ou 140 Wh) Exercices 15 page 101 et 28 page 102


2

Remarque : Pour convertir l’unité d’une grandeur produit, on convertit chacune des unités des facteurs du produit.

………………………………………………………………………………………………………………………………..………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………..………………..

2) Grandeur quotient Définition : Une grandeur quotient s’obtient en faisant le quotient de deux grandeurs. L’unité de mesure de cette grandeur composée est généralement le quotient des unités de chaque grandeur.

Remarque : Pour convertir l’unité d’une grandeur quotient, on convertit chacune des unités des grandeurs qui composent le quotient.

………………………………………………………………………………………………………………………………..………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………..……………….. IV Puissances

1) Définition

Remarque :

Exemple : On augmente un prix de 5 % : donc on multiplie par 1,05 Il valait 100 € et vaut maintenant 105 €

Prix initial 100

Prix après augmentation 105

On diminue un prix de 30% : donc on multiplie par 0,70 Exercices 8 à 12 de la feuille

II- Grandeurs composées Activité 3 page 97

1- Grandeurs et mesures Définition : Une grandeur est une quantité que l'on peut mesurer ou estimer. Une mesure est un nombre associé à une unité qui permet de quantifier une grandeur.

Exemple : Une voiture roule à 90 km/h. La grandeur est la vitesse et sa mesure est 90 km/h. Le km/h est l'unité choisie pour mesurer la grandeur.

Remarque : Une mesure peut être exprimée à l'aide d'unités différentes. Il existe alors des méthodes pour convertir la mesure d'une unité à une autre.

2- Grandeurs produit Définition : Une grandeur produit s’obtient en faisant le produit de deux grandeurs. L’unité de mesure de cette grandeur composée est généralement le produit des unités de chaque grandeur. Exemples : Volume d’un prisme : V = !"#$ &$ '! (!)$ × ℎ!,-$,#

V(m3) = A(m²) × h (m) Energie électrique : Energie = Puissance × temps E(Wh) = P(W) × t(h) Puissance : P (W) = U (V) × I (A) Propriété 4 : Pour convertir l’unité d’une grandeur produit, on convertit chacune des unités des facteurs du produit. Exemple : calculer l’énergie consommée (en kWh) par un appareil de 700 W qui fonctionne pendant 12 minutes. On sait que E = P × t Or P = 700 W = 0,7 kW et t = 12 min = ./

01 h = 0,2 h Donc E = P × t = 0,7 × 0,2 = 0,14 L’énergie consommée est de 0,14 kWh (ou 140 Wh) Exercices 15 page 101 et 28 page 102

3- Grandeurs quotient Définition : Une grandeur quotient s’obtient en faisant le quotient de deux grandeurs. L’unité de mesure de cette grandeur composée est généralement le quotient des unités de chaque grandeur. Exemples : Vitesse moyenne =

!"#$%&'()*+é( et V (km/h) =

!(-.)$(0)

Masse volumique ρ = .%##(

123*.( et ρ (kg/m3) = . (-5)1 (.6)

Propriété 4 : Pour convertir l’unité d’une grandeur quotient, on convertit chacune des unités des termes du quotient. Exemple : Une voiture roule à 90 km/h. Quelle est sa vitesse en m/s ? D = 90 km = 90 000 m et t = 1 h = 3 600 s

Donc V = 78 8886 988 = 25 m/s

Exercices 13, 14, 19, 23 page 101 et 25 page 102 et 41 page 104

3- Grandeurs quotient Définition : Une grandeur quotient s’obtient en faisant le quotient de deux grandeurs. L’unité de mesure de cette grandeur composée est généralement le quotient des unités de chaque grandeur. Exemples : Vitesse moyenne =

!"#$%&'()*+é( et V (km/h) =

!(-.)$(0)

Masse volumique ρ = .%##(

123*.( et ρ (kg/m3) = . (-5)1 (.6)

Propriété 4 : Pour convertir l’unité d’une grandeur quotient, on convertit chacune des unités des termes du quotient. Exemple : Une voiture roule à 90 km/h. Quelle est sa vitesse en m/s ? D = 90 km = 90 000 m et t = 1 h = 3 600 s

Donc V = 78 8886 988 = 25 m/s

Exercices 13, 14, 19, 23 page 101 et 25 page 102 et 41 page 104

Chapitre 12 : Puissances. I – Puissances de nombres relatifs. 1 – Puissances d’exposants entiers positifs. Définition : a désigne un nombre relatif et n un entier positif.

• Pour n ≥ 2, !" = a × a × … × a (n facteurs) • !# = a • Par convention, !$ = 1 avec a ≠ 0

!" est une puissance du nombre a et se lit « a exposant n » ou « a puissance n ».

Exemples : 2& = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 ; 7( = 7 × 7 × 7 = 147 ; (*(), = *( × *( × *( × *( = #-

.#

Remarques : • 1" = 1 avec n ≥ 0 et 0" = 0 avec n ≥ 1. • !* se lit aussi « a au carré » et !( se lit « a au cube ».

ATTENTION AU RÔLE DES PARENTHÈSES : Pour prendre une puissance d’un nombre négatif, il faut mettre ce nombre entre parenthèses.

Exemples : (– 5)( = (– 5) × (– 5) × (– 5) = – 125 ; (– 6)* = (– 6) × (– 6) = 36

Il ne faut pas confondre (– 4)* et – 4* : (– 4)* = (– 4) × (– 4) = 16 et – 4* = – (4 × 4) = – 16 ; donc (– 4)* ≠ – 4*

Propriétés : • Une puissance d’un nombre positif est un nombre positif. • Une puissance d’exposant pair d’un nombre négatif est un nombre positif. • Une puissance d’exposant impair d’un nombre négatif est un nombre négatif.

À savoir : Il est utile de connaître les carrés des premiers nombres entiers.

1² = 1 ; 2² = 4 ; 3² = 9 ; 4² = 16 ; 5² = 25 ; 6² = 36 ; 7² = 49 ; 8² = 64 ; 9² = 81 ;

10² = 100 ; 11² = 121 ; 12² = 144 ; 13² = 169 ; 14² = 196 ; 15² = 225. 2 – Puissances d’exposants entiers négatifs. Définition : a désigne un nombre relatif non nul et n un entier positif non nul. !– " désigne l’inverse de !" , c’est-à-dire !– " = #

67 .

Exemples : 3– * = #(9 = #

( × ( = #; ; (– 2)– ( = #(– *)< = #

=– *> × =– *> × (– *) = – #.

Cas particulier : Pour a ≠ 0, !– # est l’inverse de a. Donc !– # = #6 .

L’inverse de a peut donc se noter #6 ou !– #.

Exemple : 3– # est l’inverse de 3, donc 3– # = #( .

Chapitre 12 : Puissances. I – Puissances de nombres relatifs. 1 – Puissances d’exposants entiers positifs.

Définition : a désigne un nombre relatif et n un entier positif. • Pour n ≥ 2, !" = a × a × … × a (n facteurs) • !# = a • Par convention, !$ = 1 avec a ≠ 0


Exemples : 2& = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 ; 7( = 7 × 7 × 7 = 147 ; (*(), = *( × *( × *( × *( = #-

.#



Exemples : (– 5)( = (– 5) × (– 5) × (– 5) = – 125 ; (– 6)* = (– 6) × (– 6) = 36




1² = 1 ; 2² = 4 ; 3² = 9 ; 4² = 16 ; 5² = 25 ; 6² = 36 ; 7² = 49 ; 8² = 64 ; 9² = 81 ;

10² = 100 ; 11² = 121 ; 12² = 144 ; 13² = 169 ; 14² = 196 ; 15² = 225. 2 – Puissances d’exposants entiers négatifs.

Définition : a désigne un nombre relatif non nul et n un entier positif non nul. !– " désigne l’inverse de !" , c’est-à-dire !– " = #

67 .

Exemples : 3– * = #(9 = #

( × ( = #; ; (– 2)– ( = #(– *)< = #

=– *> × =– *> × (– *) = – #.





3

2) Propriétés

Quelques exemples : Calculer

𝐴 = 4!!

𝐵 = 2!×2!!×4!

𝐶 = 2! ! 𝐷 =

5!

5!

3) Priorité de calculs

V Cas particulier : Les puissances de 10

1) Calcul d’une puissance de 10

Chapitre 12 : Puissances. I – Puissances de nombres relatifs. 1 – Puissances d’exposants entiers positifs. Définition : a désigne un nombre relatif et n un entier positif.

• Pour n ≥ 2, !" = a × a × … × a (n facteurs) • !# = a • Par convention, !$ = 1 avec a ≠ 0


Exemples : 2& = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 ; 7( = 7 × 7 × 7 = 147 ; (*(), = *( × *( × *( × *( = #-

.#



Exemples : (– 5)( = (– 5) × (– 5) × (– 5) = – 125 ; (– 6)* = (– 6) × (– 6) = 36




1² = 1 ; 2² = 4 ; 3² = 9 ; 4² = 16 ; 5² = 25 ; 6² = 36 ; 7² = 49 ; 8² = 64 ; 9² = 81 ;

10² = 100 ; 11² = 121 ; 12² = 144 ; 13² = 169 ; 14² = 196 ; 15² = 225. 2 – Puissances d’exposants entiers négatifs. Définition : a désigne un nombre relatif non nul et n un entier positif non nul. !– " désigne l’inverse de !" , c’est-à-dire !– " = #

67 .

Exemples : 3– * = #(9 = #

( × ( = #; ; (– 2)– ( = #(– *)< = #

=– *> × =– *> × (– *) = – #.




3 – Règles de calcul sur les puissances. Propriétés : a et b désignent deux nombres relatifs et n et p deux nombres entiers relatifs.

!

#$ × #& = #$ ( &

)*

)+ = #$ – &

(#$)& = #$ × & /0

102

même nombre, exposants différents

!(# × 3)$ = #$ × 3$

()

4)$ = )*

4*

5 nombres différents, même exposant

Exemples : • #6 × #7 = a × a × a × a × a = #8

• )9

): = ) × )) × ) × ) × ) × ) = ;

)< = #– 7

• (#7)6 = #7 × 6 = #=

• (# × 3)6 = a × b × a × b = #6 × 36

• ()4)7 = )

<

4<

4 – Ordre des calculs. Dans une succession d’opérations, on effectue les calculs dans l’ordre suivant :

• les calculs entre parenthèses ; • les puissances ; • les multiplications et les divisions ; • les additions et les soustractions.

II – Cas particulier : les puissances de 10. 1 – Calcul d’une puissance de 10. Propriétés : n désigne un nombre entier positif. 10$ = 10 × … × 10 (n facteurs) = 100…00 (n zéros)

et 10– $ = ;;@* = 0,0…01 (n zéros, n chiffres après la virgule)

Exemples : 107 = 10 × 10 × 10 = 1 000 ; 10A = 10 000 000 ; 10– 6 = ;

;@9 = ;;@@ = 0,01 ; 10– 8 = 0,000 01

Remarques : Un million se note 10= et un milliard se note 10B. 2 – Produit par une puissance de 10. Propriétés : n désigne un nombre entier strictement positif. Pour multiplier un nombre en écriture décimale :

• par 10$, on décale la virgule de n rangs vers la droite, • par 10– $, on décale la virgule de n rangs vers la gauche,

en complétant éventuellement avec des zéros.


!

#$ × #& = #$ ( &

)*

)+ = #$ – &

(#$)& = #$ × & /0

102


!(# × 3)$ = #$ × 3$

()

4)$ = )*

4*


Exemples : • #6 × #7 = a × a × a × a × a = #8

• )9

): = ) × )) × ) × ) × ) × ) = ;

)< = #– 7

• (#7)6 = #7 × 6 = #=

• (# × 3)6 = a × b × a × b = #6 × 36

• ()4)7 = )

<

4<





Exemples : 107 = 10 × 10 × 10 = 1 000 ; 10A = 10 000 000 ; 10– 6 = ;

;@9 = ;;@@ = 0,01 ; 10– 8 = 0,000 01





!

#$ × #& = #$ ( &

)*

)+ = #$ – &

(#$)& = #$ × & /0

102


!(# × 3)$ = #$ × 3$

()

4)$ = )*

4*


Exemples : • #6 × #7 = a × a × a × a × a = #8

• )9

): = ) × )) × ) × ) × ) × ) = ;

)< = #– 7

• (#7)6 = #7 × 6 = #=

• (# × 3)6 = a × b × a × b = #6 × 36

• ()4)7 = )

<

4<





Exemples : 107 = 10 × 10 × 10 = 1 000 ; 10A = 10 000 000 ; 10– 6 = ;

;@9 = ;;@@ = 0,01 ; 10– 8 = 0,000 01





4

2) Produit par une puissance de 10

3) Ecriture scientifique

Quelques calculs avec les puissances de 10 : Donner l’écriture scientifique de E et F

𝐸 =10!×2×10!!

16×5!×10! ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

𝐹 = 1,25×10!×2,56×10!

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………


!

#$ × #& = #$ ( &

)*

)+ = #$ – &

(#$)& = #$ × & /0

102


!(# × 3)$ = #$ × 3$

()

4)$ = )*

4*


Exemples : • #6 × #7 = a × a × a × a × a = #8

• )9

): = ) × )) × ) × ) × ) × ) = ;

)< = #– 7

• (#7)6 = #7 × 6 = #=

• (# × 3)6 = a × b × a × b = #6 × 36

• ()4)7 = )

<

4<





Exemples : 107 = 10 × 10 × 10 = 1 000 ; 10A = 10 000 000 ; 10– 6 = ;

;@9 = ;;@@ = 0,01 ; 10– 8 = 0,000 01




Exemples : 25,1 × 10# = 2 510 000 et 25,1 × 10– # = 0,000 251 3 – Règles de calcul sur les puissances de 10.

Propriétés : n et p désignent deux nombres entiers relatifs. • 10& × 10' = 10& ( '

• )*+

)*, = 10& – '

• (10&)' = 10& × '

Exemples : 10– 0 × 101 = 10– 0 ( 1 = 10# ; )*2

)*3 = 104 – 5 = 100 ; (105)6 = 105 × 6 = 107

Remarque : La somme et la différence de deux puissances de 10 ne sont pas des puissances de 10. Par exemple : 106 + 105 = 100 + 1 000 = 1 100. 4 – Écriture scientifique.

Propriété : Un nombre décimal admet plusieurs écritures de la forme a × 10& dans laquelle a désigne un nombre décimal et n un entier relatif.

Exemples : 2 540 000 = 254 × 100 = 25,4 × 10# = 2,54 × 107 = 0,254 × 104 0,001 38 = 138 × 10– # = 13,8 × 10– 0 = 1,38 × 10– 5 = 0,138 × 10– 6

Définition : L’écriture scientifique (ou notation scientifique) d’un nombre décimal est l’unique forme a × 10& dans laquelle le nombre a possède un seul chiffre non nul avant la virgule.

Exemples : L’écriture scientifique de 2 540 000 est 2,54 × 107. L’écriture scientifique de 0,001 38 est 1,38 × 10– 5.

Exercice : Donner l’écriture scientifique des nombres suivants : 437,65 = 0,006 87 = III – Utilisation de l’écriture scientifique. 1 – Calculer avec des nombres de la forme a × 89:.

! Pour calculer un produit ou un quotient de nombres de la forme a × 10&, on regroupe les puissances de 10 d’une part, les autres nombres d’autre part.

Exemple : Calculer à la main et donner le résultat en écriture scientifique.

5 × )*; × # × )*– 2

0 × )*< = 5 × #0 × )*; × )*– 2

)*< = )#0 × )*; = 2

)*< = )#0 × )*= 3

)*< = 3,75 × 10> 5 > 6 = 3,75 × 10> #.

! Pour calculer une somme ou une différence de nombres de la forme a × 10&, on écrit chaque terme avec une même puissance de 10 et on factorise par cette puissance de 10.


3 × 100 + 5,2 × 105 = 3 × 100 + 0,52 × 100 = (3 + 0,52) × 100 = 3,52 × 100.

OU : 3 × 100 + 5,2 × 105 = 30 000 + 5 200 = 35 200 = 3,52 × 100.

Exemples : 25,1 × 10# = 2 510 000 et 25,1 × 10– # = 0,000 251 3 – Règles de calcul sur les puissances de 10. Propriétés : n et p désignent deux nombres entiers relatifs.

• 10& × 10' = 10& ( '

• )*+

)*, = 10& – '

• (10&)' = 10& × '

Exemples : 10– 0 × 101 = 10– 0 ( 1 = 10# ; )*2

)*3 = 104 – 5 = 100 ; (105)6 = 105 × 6 = 107

Remarque : La somme et la différence de deux puissances de 10 ne sont pas des puissances de 10. Par exemple : 106 + 105 = 100 + 1 000 = 1 100. 4 – Écriture scientifique.

Propriété : Un nombre décimal admet plusieurs écritures de la forme a × 10& dans laquelle a désigne un nombre décimal et n un entier relatif.

Exemples : 2 540 000 = 254 × 100 = 25,4 × 10# = 2,54 × 107 = 0,254 × 104 0,001 38 = 138 × 10– # = 13,8 × 10– 0 = 1,38 × 10– 5 = 0,138 × 10– 6

Définition : L’écriture scientifique (ou notation scientifique) d’un nombre décimal est l’unique forme a × 10& dans laquelle le nombre a possède un seul chiffre non nul avant la virgule.

Exemples : L’écriture scientifique de 2 540 000 est 2,54 × 107. L’écriture scientifique de 0,001 38 est 1,38 × 10– 5.

Exercice : Donner l’écriture scientifique des nombres suivants : 437,65 = 0,006 87 = III – Utilisation de l’écriture scientifique. 1 – Calculer avec des nombres de la forme a × 89:.

! Pour calculer un produit ou un quotient de nombres de la forme a × 10&, on regroupe les puissances de 10 d’une part, les autres nombres d’autre part.


5 × )*; × # × )*– 2

0 × )*< = 5 × #0 × )*; × )*– 2

)*< = )#0 × )*; = 2

)*< = )#0 × )*= 3

)*< = 3,75 × 10> 5 > 6 = 3,75 × 10> #.

! Pour calculer une somme ou une différence de nombres de la forme a × 10&, on écrit chaque terme avec une même puissance de 10 et on factorise par cette puissance de 10.


3 × 100 + 5,2 × 105 = 3 × 100 + 0,52 × 100 = (3 + 0,52) × 100 = 3,52 × 100.

OU : 3 × 100 + 5,2 × 105 = 30 000 + 5 200 = 35 200 = 3,52 × 100.

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