2/15/2014
1
سیستم هاي کنترل دیجیتالDigital Control Systems
1392بهمن 26: جلسه دوم و سوم
محمدرضا رمضانی
الرحمن الرحیم... بسم ا
1
گسسته zتبديل
فصل دوم کتاب کنترل ديجيتال اگاتا
2
مراجع
1. K. Ogata, Discrete-time control systems, Prentice Hall, 1995و دکتر اسمعیل زاده کنترل دیجیتال دانشگاه علم و صنعت دکتر بلنديدرس اسالیدهاي – 2
2/15/2014
2
: اهداف
z تبديل تعاريف -1 z تبديل به مربوط اساسی قضايای -2 z تبديل عکس تعيين روشهای -3وزنی دنباله و پالسی تبديل تابع -4
“zتبديل ”
3
های سيستم ترکيب و تحليل در معموالٌ که رياضی ابزارهای از يکی.باشد می z تبديل گسسته - زمان کنترل
الپالس تبديل نقش مشابه گسسته –زمان های سيستم در z تبديل نقش.است پيوسته –زمان های سيستم در
مقدمه
توجه
4
2/15/2014
3
v تبديل روش با z شود می جبری ماهيتاٌ خطی تفاضلی معادالت حل.
v تبديل z بر جبری معادالت به را ثابت خطی تفاضلی معادالت حل .کند می تبديل z حسب
v تفاضلی معادله يک خطی، گسسته –زمان کنترل سيستم يک در پاسخ آنکه برای .کند می مشخص را سيستم های ديناميک خطی
را تفاضلی معادله چنين بايد کنيم تعيين معينی ورودی به را سيستمی.کرد حل
zنقش تبديل
5
گسسته زمان های سيگنال
کامپيوتر يک با يافته انجام تکراری فرآيند يک شامل سيستمی اگر -2.باشد ديجيتال
.باشد برداری نمونه عمل يک شامل سيستمی اگر -1
زير صورت به را شود می حاصل برداری نمونه عمل از که مقاديری دنباله:دهند می نمايش
)(kTx
6
)(kxK=0,1,2,3,…
ساده شدن طرز نمايش
دوره تناوب نمونه برداری
2/15/2014
4
پالسی تبديل تابع
با توان می را گسسته – زمان خطی سيستم يک ، z تبديل بردن بکار با.شود می گفته پالسی تبديل تابع که داد نمايش تبديلی تابع
تبديل تابع حاصلضرب صورت به توان می را خروجی سيگنال z تبديل.نمود بيان ورودی سيگنال z تبديل و پالسی
سيگنال خروجی zتبديل
7
zتبديل : تعريف
از ای دنباله يا است، نامنفی آن در که زمانی تابع يک z تبديل کرده اختيار را مثبت يا صفر مقادير آن در که يا مقادير
:شود می تعريف زير معادله با است، برداری نمونه تناوب دوره T و
)(tx
8
t
)]([)]([)]([)( kxZkTxZtxZzX ===
)(kTxk
å å¥
=
¥
=
-- ==0 0
)()(k k
kk zkxzkTx
.شود می اطالق يکطرفه z تبديل فوق، z تبديل به
2/15/2014
5
: يکطرفه z درتبديل
0)( =tx
9
0)()( == kxkTx
0<t
0<k
: دوطرفه z تبديل
)]([)]([)]([)( kxZkTxZtxZzX ===
å å¥
-¥=
¥
-¥=
-- ==k k
kk zkxzkTx )()(
0<k
¥<<¥- t,...2,1,0 ±±=k يا
v تبديل z هستند از توانی های سری دوطرفه و يکطرفه.
0)( ¹tx0)()( ¹= kxkTx
0<t0<k
1-zv تبديل تنها دوره اين در z شود می گرفته درنظر تفصيل به يکطرفه.
: دوطرفه z درتبديل
10
2/15/2014
6
zعکس تبديل
)(zX )(kTx
11
)]([1 zXZ -
zروش های محاسبه عکس تبديل
مستقيم تقسيم روش -1
معکوس انتگرال روش -4جزيی کسرهای گسترش روش -3محاسباتی روش -2
dzzzXj
kxkTxzXZ k
C
11 )(21)()()]([ -- ò===p
1)( -kzzX
1-z
12
! توجه
عبارت قطبهای تمام که قسمی به z صفحه مبدا مرکز به است ای دايره :باشند آن درون زير
! توجه
چند صورت به را X(z) که است مرجح X(z) صفرهای و قطبها محاسبه در از هايی ای جمله چند صورت به نه کرد، بيان z از هايی ای جمله
:z تبديل عکس انتگرال
2/15/2014
7
توابع مقدماتی zتبديل :فرضيات
تابع که کنيم می فرض x(t) ناپيوسته تابع يک گيری نمونه در يکطرفه، z تبديل نظريه در به صورت اين در بيايد، پيش t=0 در ناپيوستگی اگر يعنی .است پيوسته راست سمت از
نشان 2/[x(0-)+x(0+)] ناپيوستگی در متوسط مقدار صورت به را x(0) اينکه جای.کنيم می فرض x(0+) برابر را x(0) مقدار دهيم،
واحد پله تابع -1
=)(tx 00³t)(1 t0<t
: فرض
1)0(1 =
13
å å¥
=
¥
=
-- ===0 0
.1)](1[)(k k
kk zztZzX
14
: حل
...1 321 ++++= --- zzz
111
1 -=
-= - z
zz
واحد پله دنباله : نکته
1(k)=1
0
k=0,1,2,3,…
K<0
2/15/2014
8
واحد شيب تابع -2=)(tx 0
0³tt0<t
kTkTx: حل =)(
åå å¥
=
-¥
=
¥
=
-- ====00 0
).(][)(k
k
k k
kk kzTkTzzkTxtZzX
15
...)32( 321 +++= --- zzzT
221
1
)1()1( -=
-= -
-
zTz
zzT
ای جمله چند تابع -3
=)(kx0
,...3,2,1,0=kka0<k
ka
å å¥
=
¥
=
-- ===0 0
)(][)(k k
kkkk zazkxaZzX: حل
...1 33221 ++++= --- zazaaz
16
azz
az -=
-= -11
1
2/15/2014
9
نمايی تابع -4=)(tx 0
0³tate-
0<t
: حل
å å¥
=
¥
=
---- ===0 0
)(][)(k k
kakTkat zezkTxeZzX
17
akTekTx -=)( ,...3,2,1,0=k
...1 33221 ++++= ------ zezeze aTaTaT
aTaT ezz
ze --- -=
-= 11
1
سينوسی تابع -5=)(tx 0
0³ttwsin
0<t: فرضيات
)(21sin tjtj eej
t www --=11
1][ ---
-=
zeeZ aT
aT
18
: حل
و
)1
11
1(21][sin 11 --- -
--
=zezej
tZ TjTj www
))(1)((
21
21
1
---
--
++--
=zzee
zeej TjTj
TjTj
ww
ww
1cos2sin
cos21sin
221
1
+-=
+-= --
-
TzTz
zTzTz
ww
ww
2/15/2014
10
کسينوسی تابع -6=)(tx 0
0³ttwcos
0<t
)(21][cos tjtj eeZtZ www -+=
: حل
)1
11
1(21
11 --- --
-=
zeze TjTj ww
))(1
)(2(21
21
1
---
--
++-+-
=zzee
zeeTjTj
TjTj
ww
ww
19
1cos2cos
2
2
+--
= -
-
TzzTzz
ww
سينوسی تابع - 7tx)(=ميرا 0
0³tte at wsin-
0<t][: حل
21]sin[ tjattjatat eeeej
teZ www ---- -=
)1
11
1(21
1)(1)( -+---- --
-=
zezej TjaTja ww
20
))(1
)((21
221
1
-----
---
++--
=zezeee
zeeej aTaTTjTj
aTTjTj
ww
ww
aTaT
aT
eTzezTze
22 cos2sin
--
-
+-=
ww
2/15/2014
11
کسينوسی تابع - 8tx)(=ميرا 0
0³tte at wcos-
0<t][: حل
21]cos[ tjattjatat eeeeteZ www ---- +=
)1
11
1(21
1)(1)( -+---- -+
-=
zeze TjaTja ww
))(1
)(2(21
221
1
-----
---
++-+-
=zezeee
zeeeaTaTTjTj
aTTjTj
ww
ww
aTaT
aT
eTzezTzez
22
2
cos2cos
--
-
+--
=w
w
21
: مثال )1(
1)(+
=ss
sX ?)( =zX
22
مربوط zسپس پيدا کردن تبديل و به X(s) تبديل : روش اولبه
)(tx)(tx
tesXL -- -=1)]([1 0³t
11 11
11]1[)( ---
-
--
-=-=
zezeZzX T
t
))(1()1(
)1)(1()1(
11
1
T
T
T
T
ezzze
zezze
-
-
---
--
---
=--
-=
Zبه کسرهای ساده و استفاده از جدول تبديل X(s)گسترش : روش دوم
2/15/2014
12
zخواص و قضايای مهم تبديل
ضرب در يک مقدار ثابت -1
)()]([)]([ zaXtxaZtaxZ ==
23
: اثبات
å å¥
=
¥
=
-- ===0 0
)()()()]([k k
kk zaXzkTxazkTaxtaxZ
zخطی بودن تبديل -2
)()()( kgkfkx ba +=
)()()( zGzFzX ba +=
])[(])()[(: اثبات kgkfZkxZ ba +=
24
åå¥
=
-¥
=
- +=00
)()(k
k
k
k zkgzkf ba
å¥
=
-+=0
)]()([k
kzkgkf ba
)]([)]([ kgZkfZ ba +=
)()( zGzF ba +=
2/15/2014
13
kaضرب در -3
25
)()]([ 1zaXkxaZ k -=: اثبات
å å¥
=
¥
=
---- ===0 0
11 )())(()()]([k k
kkkk zaXzakxzkxakxaZ
قضيه انتقال حقيقی -4
)()]([ zXznTtxZ n-=-
])()([)]([1
0å-
=
--=+n
k
kn zkTxzXznTtxZ
a)
b)
: مفروضات
0,0)( <= mmTx
26
0,0)( <= ttx 1(2( n مثبت صحيح عدد يک يا صفر
: (a) اثبات
åå¥
=
---¥
=
- -=-=-0
)(
0)()()]([
k
nkn
k
k znTkTxzznTkTxnTtxZ
=mبا تعريف k - n داريم:
å¥
-=
--=-nm
mn zmTxznTtxZ )()]([
: داريم) 1(با توجه به فرض
)()()([0
zXzzmTxznTtxZ n
m
mn -¥
=
-- ==- å
2/15/2014
14
: (b) اثبات
åå¥
=
+-¥
=
- +=+=+0
)(
0)()()([
k
nkn
k
k znTkTxzznTkTxnTtxZ
27
å åå-
=
-
=
--¥
=
+- -++=1
0
1
00
)( ])()()([n
k
n
k
kk
k
nkn zkTxzkTxznTkTxz
å å¥
=
-
=
-- -=0
1
0
])()([k
n
k
kkn zkTxzkTxz
])()([1
0å-
=
--=n
k
kn zkTxzXz
)1(آوريد بدست را زير عبارات z تبديل : مثال +kx
28
å¥
=
- -=0
)]0()([k
k xzkxz
å å¥
=
¥
=
+-- =+=+0 1
1)()1()]1([k k
kk zkxzkxkxZ
)0()( zxzzX -=
)]([.)]1([ kxZzkxZ =+
)0()( zxzzX -=
0)0( =x
خاص حالت : تذکر
:حل
2/15/2014
15
)( nkx -
)1()]1([.)]2([ zxkxZzkxZ -+=+
29
)1()0()( 22 zxxzzXz --
)2( +kx
)1(...)1()0()()]([ 1 -----=+ - nzxxzxzzXznkxZ nnn
)( nkx +
)1(...)1()0()()]([ 1 -----=+ - nzxxzxzzXznkxZ nnn
)()]([ zXznkxZ n-=-
:حل
:حل
:حل
آوريد بدست را زير عبارت z تبديل : مثال
=)(af
30
1-ka
0 0£k
,...3,2,1=k
دانيممي : حل0£k
)()]1([ 1 zXzkxZ -=-
111][ --
=az
aZ k
1
1
111
111][)]([ -
-
---
-=
-==
azz
azzaZafZ k
2/15/2014
16
تفاضل های معکوس و مستقيم
اول معکوس تفاضل z تبديل
)1()()( --=Ñ kxkxkx
31
تفاضل معکوس اول:
)]1([)]([)]([ --=Ñ kxZkxZkxZ
)()( 1 zXzzX --=
)()1( 1 zXz --=
دوم معکوس تفاضل z تبديل
)]2([)]1([2)]([)]([ 2 -+--=Ñ kxZkxZkxZkxZ
تفاضل معکوس دوم
)1()( -Ñ-Ñ= kxkx
)]2()1([)]1()([)(2 ------=Ñ kxkxkxkxkx
)2()1(2)( -+--= kxkxkx
)]1()([)]([)(2 --Ñ=ÑÑ=Ñ kxkxkxkx
)()1( 21 zXz--=
)()(2)( 21 zXzzXzzX -- +-=
32
2/15/2014
17
داريم مشابه طريق به : سوم معکوس تفاضل
)1()()( 11 -Ñ-Ñ=Ñ -- kxkxkx mmm
سوم معکوس تفاضل z تبديل
! توجه
.است در X(z) ضرب با متناظر معکوس تفاضل گرفتن عمل
)()1()]([ 313 zXzkxZ --=Ñ
)1( 1-- z
: ام m معکوس تفاضل
)1()()( 223 -Ñ-Ñ=Ñ kxkxkx
:ام m معکوس تفاضل z تبديل
)()1()]([ 1 zXzkxZ mm --=Ñ33
: مختلط انتقال قضيه-5
)]([ txe at-
34
)( atzeX تبديلz
: اثباتå¥
=
--- =0
)()]([k
kakTat zekTxtxeZ
)())((0
aT
k
kaT zeXzekTx ==å¥
=
-
؟ مختلط انتقال قضيه از استفاده با ميرا سينوسی تابع Z تبديل :1 مثال
?]sin[ =- teZ at w
2/15/2014
18
دانيم می : حل21
1
cos21sin][sin --
-
+-=
zTztztZ
www
35
aTzez ®
221
1
cos21sin]sin[ ----
---
+-=
zeTzetzeteZ aTaT
aTat
ww
w
][?:آوريد بدست را زير تابع Z تبديل :2 مثال =-atteZ: دانيم می : حل
)()1(
][ 21
1
zXz
TztZ =-
= -
-
21
1
)1()(][ --
---
-==
zezTezeXteZ aT
aTaTat
aTzez ®
36
2/15/2014
19
(0) ( )z
x LimX z®¥
=
37
6- قضیه مقدار اولیه
) اگر• و باشد z تبديل دارای (
) اگر• )→
باشد داشته وجود
آيد می بدست زير رابطه با (0) اوليه مقدار آنگاه•
( )x t
(0) = ( )→
¥®=
zzLimXx )()0(
38
¥®zzLimX )( است موجود
)()]([ zXtxZ =
مفروضات
2/15/2014
20
: اثبات
....)2()1()0()()( 21
0
+++== --¥
=
-å zxzxxzkxzXk
k
)0()( xzLimXz
=¥®
39
?=x(0) مقدار : مثال
)1)(1()1()( 11
1
---
--
---
=zez
zezX T
T
0)1)(1(
)1()0( 11
1
=--
-= ---
--
¥® zezzeLimx T
T
z
: حل
tetx --=1)(
?=x(0) مقدار : مثال
)1)(1(1)( 11 -- --
=azz
zX
1)1)(1(
1)0( 11 =--
= --¥® azzLimxz
40
: حل
: اول روش
: دوم روش
)1)(1(1)( 11 -- --
=azz
zX
]11
1[1
1)1(
1)1(
11
1111 ---- --
--=
---
--=
aza
zaaza
a
za
1]1[1
1)()0( =--
==¥®
aa
zXLimxz
2/15/2014
21
: نهايی مقدار قضيه-7
يک امکان استثنای به گيرند، قرار واحد دايره درون X(z) قطبهای تمام )2 . z=1 در ساده قطب
0)( =kx
])()1[()( 1
1zXzLimkLimx
zk
-
®¥®-=
41
0<k
: مفروضات
برای )1
å :اثبات¥
=
-==0
)()()]([k
kzkxzXkxZ
42
å¥
=
-- -==-0
1 )1()()]1([k
kzkxzXzkxZ
)()()1()( 1
00zXzzXzkxzkx
k
k
k
k -¥
=
-¥
=
- -=--åå
)]()([])1()([ 1
1001zXzzXLimzkxzkxLim
zk
k
k
k
z
-
®
¥
=
-¥
=
-
®-=--åå
: 1 فرض گرفتن نظر در با
+-+--=--åå¥
=
¥
=
)]0()1([)]1()0([)]1()([00
xxxxkxkxkk
)]([)(...)]1()2([ kxLimxxxk ¥®
=¥=+-+
)]()1[()]([ 1
1zXzLimkxLim
zk
-
®¥®-=
2/15/2014
22
آوريد بدست را زير تابع نهايی مقدار :مثال
11 11
11)( --- -
--
=zez
zX aT
43
نهايی مقدار قضيه از استفاده با :حل
)]()1[()( 1
1zXzLimx
z
-
®-=¥
)]1
11
1)(1[( 111
1 ----
® --
--=
zezzLim aTz
)]1
11
1)(1[( 111
1 ----
® --
--=
zezzLim aTz
1)1
11( 1
1
1=
--
-= --
-
® zezLim aTz
نهايی مقدار قضيه از استفاده بدون :حل
1)1()( =-=¥ -
¥®
at
teLimx
atetx --=1)(
آوريد بدست را زير تابع نهايی مقدار :مثال
)25.037.2)(1(387.0)( 2
2
+--=
zzzzzX
)]()1[()( 1
1zXzLimx
z
-
®-=¥
44
نهايی مقدار قضيه از استفاده با :حل
345.012.1
378.0]25.037.2
378.0[ 21-=
-=
+-=
® zzzLim
z
2/15/2014
23
مختلط گيریمشتق :قضيه-8
)()]([ zXdzdzkkxZ -=
45
:اثباتå¥
=
-=0
)()(k
kzkxzX
å¥
=
---=0
1)()()(k
kzkxkzXdzd
:نماييم می ضرب z– در را طرفين
)]([)()(0
kkxZzkkxzXdzdz
k
k ==- å¥
=
-
)()]([ zXdzdzkkxZ -=
:داد نشان توان می مشابه طريق به)()()]([ 22 zX
dzdzkxkZ -=
46
:داد نشان توان می فوق فرآيند تکرار با
)()()]([ zXdzdzkxkZ mm -=
: آوريد بدست را واحد شيب تابع z تبديل مختلط، گيری مشتق قضيه از استفاده با :مثال
kkx =)( ?)]([ =kxZ:دانيم مي :حل
111)](1[ --
=z
kZ
21
1
1 )1()
11()](1.[][)]([ -
-
- -=
--===
zz
zdzdzkkZkZkxZ
(See p. 62)