2/15/2014

1

سیستم هاي کنترل دیجیتالDigital Control Systems

1392بهمن 26: جلسه دوم و سوم

محمدرضا رمضانی

الرحمن الرحیم... بسم ا

1

گسسته zتبديل

فصل دوم کتاب کنترل ديجيتال اگاتا

2

مراجع

1. K. Ogata, Discrete-time control systems, Prentice Hall, 1995و دکتر اسمعیل زاده کنترل دیجیتال دانشگاه علم و صنعت دکتر بلنديدرس اسالیدهاي – 2

2/15/2014

2

: اهداف

z تبديل تعاريف -1 z تبديل به مربوط اساسی قضايای -2 z تبديل عکس تعيين روشهای -3وزنی دنباله و پالسی تبديل تابع -4

“zتبديل ”

3

های سيستم ترکيب و تحليل در معموالٌ که رياضی ابزارهای از يکی.باشد می z تبديل گسسته - زمان کنترل

الپالس تبديل نقش مشابه گسسته –زمان های سيستم در z تبديل نقش.است پيوسته –زمان های سيستم در

مقدمه

توجه

4

2/15/2014

3

v تبديل روش با z شود می جبری ماهيتاٌ خطی تفاضلی معادالت حل.

v تبديل z بر جبری معادالت به را ثابت خطی تفاضلی معادالت حل .کند می تبديل z حسب

v تفاضلی معادله يک خطی، گسسته –زمان کنترل سيستم يک در پاسخ آنکه برای .کند می مشخص را سيستم های ديناميک خطی

را تفاضلی معادله چنين بايد کنيم تعيين معينی ورودی به را سيستمی.کرد حل

zنقش تبديل

5

گسسته زمان های سيگنال

کامپيوتر يک با يافته انجام تکراری فرآيند يک شامل سيستمی اگر -2.باشد ديجيتال

.باشد برداری نمونه عمل يک شامل سيستمی اگر -1

زير صورت به را شود می حاصل برداری نمونه عمل از که مقاديری دنباله:دهند می نمايش

)(kTx

6

)(kxK=0,1,2,3,…

ساده شدن طرز نمايش

دوره تناوب نمونه برداری

2/15/2014

4

پالسی تبديل تابع

با توان می را گسسته – زمان خطی سيستم يک ، z تبديل بردن بکار با.شود می گفته پالسی تبديل تابع که داد نمايش تبديلی تابع

تبديل تابع حاصلضرب صورت به توان می را خروجی سيگنال z تبديل.نمود بيان ورودی سيگنال z تبديل و پالسی

سيگنال خروجی zتبديل

7

zتبديل : تعريف

از ای دنباله يا است، نامنفی آن در که زمانی تابع يک z تبديل کرده اختيار را مثبت يا صفر مقادير آن در که يا مقادير

:شود می تعريف زير معادله با است، برداری نمونه تناوب دوره T و

)(tx

8

t

)]([)]([)]([)( kxZkTxZtxZzX ===

)(kTxk

å å¥

=

¥

=

-- ==0 0

)()(k k

kk zkxzkTx

.شود می اطالق يکطرفه z تبديل فوق، z تبديل به

2/15/2014

5

: يکطرفه z درتبديل

0)( =tx

9

0)()( == kxkTx

0<t

0<k

: دوطرفه z تبديل

)]([)]([)]([)( kxZkTxZtxZzX ===

å å¥

-¥=

¥

-¥=

-- ==k k

kk zkxzkTx )()(

0<k

¥<<¥- t,...2,1,0 ±±=k يا

v تبديل z هستند از توانی های سری دوطرفه و يکطرفه.

0)( ¹tx0)()( ¹= kxkTx

0<t0<k

1-zv تبديل تنها دوره اين در z شود می گرفته درنظر تفصيل به يکطرفه.

: دوطرفه z درتبديل

10

2/15/2014

6

zعکس تبديل

)(zX )(kTx

11

)]([1 zXZ -

zروش های محاسبه عکس تبديل

مستقيم تقسيم روش -1

معکوس انتگرال روش -4جزيی کسرهای گسترش روش -3محاسباتی روش -2

dzzzXj

kxkTxzXZ k

C

11 )(21)()()]([ -- ò===p

1)( -kzzX

1-z

12

! توجه

عبارت قطبهای تمام که قسمی به z صفحه مبدا مرکز به است ای دايره :باشند آن درون زير

! توجه

چند صورت به را X(z) که است مرجح X(z) صفرهای و قطبها محاسبه در از هايی ای جمله چند صورت به نه کرد، بيان z از هايی ای جمله

:z تبديل عکس انتگرال

2/15/2014

7

توابع مقدماتی zتبديل :فرضيات

تابع که کنيم می فرض x(t) ناپيوسته تابع يک گيری نمونه در يکطرفه، z تبديل نظريه در به صورت اين در بيايد، پيش t=0 در ناپيوستگی اگر يعنی .است پيوسته راست سمت از

نشان 2/[x(0-)+x(0+)] ناپيوستگی در متوسط مقدار صورت به را x(0) اينکه جای.کنيم می فرض x(0+) برابر را x(0) مقدار دهيم،

واحد پله تابع -1

=)(tx 00³t)(1 t0<t

: فرض

1)0(1 =

13

å å¥

=

¥

=

-- ===0 0

.1)](1[)(k k

kk zztZzX

14

: حل

...1 321 ++++= --- zzz

111

1 -=

-= - z

zz

واحد پله دنباله : نکته

1(k)=1

0

k=0,1,2,3,…

K<0

2/15/2014

8

واحد شيب تابع -2=)(tx 0

0³tt0<t

kTkTx: حل =)(

åå å¥

=

-¥

=

¥

=

-- ====00 0

).(][)(k

k

k k

kk kzTkTzzkTxtZzX

15

...)32( 321 +++= --- zzzT

221

1

)1()1( -=

-= -

-

zTz

zzT

ای جمله چند تابع -3

=)(kx0

,...3,2,1,0=kka0<k

ka

å å¥

=

¥

=

-- ===0 0

)(][)(k k

kkkk zazkxaZzX: حل

...1 33221 ++++= --- zazaaz

16

azz

az -=

-= -11

1

2/15/2014

9

نمايی تابع -4=)(tx 0

0³tate-

0<t

: حل

å å¥

=

¥

=

---- ===0 0

)(][)(k k

kakTkat zezkTxeZzX

17

akTekTx -=)( ,...3,2,1,0=k

...1 33221 ++++= ------ zezeze aTaTaT

aTaT ezz

ze --- -=

-= 11

1

سينوسی تابع -5=)(tx 0

0³ttwsin

0<t: فرضيات

)(21sin tjtj eej

t www --=11

1][ ---

-=

zeeZ aT

aT

18

: حل

و

)1

11

1(21][sin 11 --- -

--

=zezej

tZ TjTj www

))(1)((

21

21

1

---

--

++--

=zzee

zeej TjTj

TjTj

ww

ww

1cos2sin

cos21sin

221

1

+-=

+-= --

-

TzTz

zTzTz

ww

ww

2/15/2014

10

کسينوسی تابع -6=)(tx 0

0³ttwcos

0<t

)(21][cos tjtj eeZtZ www -+=

: حل

)1

11

1(21

11 --- --

-=

zeze TjTj ww

))(1

)(2(21

21

1

---

--

++-+-

=zzee

zeeTjTj

TjTj

ww

ww

19

1cos2cos

2

2

+--

= -

-

TzzTzz

ww

سينوسی تابع - 7tx)(=ميرا 0

0³tte at wsin-

0<t][: حل

21]sin[ tjattjatat eeeej

teZ www ---- -=

)1

11

1(21

1)(1)( -+---- --

-=

zezej TjaTja ww

20

))(1

)((21

221

1

-----

---

++--

=zezeee

zeeej aTaTTjTj

aTTjTj

ww

ww

aTaT

aT

eTzezTze

22 cos2sin

--

-

+-=

ww

2/15/2014

11

کسينوسی تابع - 8tx)(=ميرا 0

0³tte at wcos-

0<t][: حل

21]cos[ tjattjatat eeeeteZ www ---- +=

)1

11

1(21

1)(1)( -+---- -+

-=

zeze TjaTja ww

))(1

)(2(21

221

1

-----

---

++-+-

=zezeee

zeeeaTaTTjTj

aTTjTj

ww

ww

aTaT

aT

eTzezTzez

22

2

cos2cos

--

-

+--

=w

w

21

: مثال )1(

1)(+

=ss

sX ?)( =zX

22

مربوط zسپس پيدا کردن تبديل و به X(s) تبديل : روش اولبه

)(tx)(tx

tesXL -- -=1)]([1 0³t

11 11

11]1[)( ---

-

--

-=-=

zezeZzX T

t

))(1()1(

)1)(1()1(

11

1

T

T

T

T

ezzze

zezze

-

-

---

--

---

=--

-=

Zبه کسرهای ساده و استفاده از جدول تبديل X(s)گسترش : روش دوم

2/15/2014

12

zخواص و قضايای مهم تبديل

ضرب در يک مقدار ثابت -1

)()]([)]([ zaXtxaZtaxZ ==

23

: اثبات

å å¥

=

¥

=

-- ===0 0

)()()()]([k k

kk zaXzkTxazkTaxtaxZ

zخطی بودن تبديل -2

)()()( kgkfkx ba +=

)()()( zGzFzX ba +=

])[(])()[(: اثبات kgkfZkxZ ba +=

24

åå¥

=

-¥

=

- +=00

)()(k

k

k

k zkgzkf ba

å¥

=

-+=0

)]()([k

kzkgkf ba

)]([)]([ kgZkfZ ba +=

)()( zGzF ba +=

2/15/2014

13

kaضرب در -3

25

)()]([ 1zaXkxaZ k -=: اثبات

å å¥

=

¥

=

---- ===0 0

11 )())(()()]([k k

kkkk zaXzakxzkxakxaZ

قضيه انتقال حقيقی -4

)()]([ zXznTtxZ n-=-

])()([)]([1

0å-

=

--=+n

k

kn zkTxzXznTtxZ

a)

b)

: مفروضات

0,0)( <= mmTx

26

0,0)( <= ttx 1(2( n مثبت صحيح عدد يک يا صفر

: (a) اثبات

åå¥

=

---¥

=

- -=-=-0

)(

0)()()]([

k

nkn

k

k znTkTxzznTkTxnTtxZ

=mبا تعريف k - n داريم:

å¥

-=

--=-nm

mn zmTxznTtxZ )()]([

: داريم) 1(با توجه به فرض

)()()([0

zXzzmTxznTtxZ n

m

mn -¥

=

-- ==- å

2/15/2014

14

: (b) اثبات

åå¥

=

+-¥

=

- +=+=+0

)(

0)()()([

k

nkn

k

k znTkTxzznTkTxnTtxZ

27

å åå-

=

-

=

--¥

=

+- -++=1

0

1

00

)( ])()()([n

k

n

k

kk

k

nkn zkTxzkTxznTkTxz

å å¥

=

-

=

-- -=0

1

0

])()([k

n

k

kkn zkTxzkTxz

])()([1

0å-

=

--=n

k

kn zkTxzXz

)1(آوريد بدست را زير عبارات z تبديل : مثال +kx

28

å¥

=

- -=0

)]0()([k

k xzkxz

å å¥

=

¥

=

+-- =+=+0 1

1)()1()]1([k k

kk zkxzkxkxZ

)0()( zxzzX -=

)]([.)]1([ kxZzkxZ =+

)0()( zxzzX -=

0)0( =x

خاص حالت : تذکر

:حل

2/15/2014

15

)( nkx -

)1()]1([.)]2([ zxkxZzkxZ -+=+

29

)1()0()( 22 zxxzzXz --

)2( +kx

)1(...)1()0()()]([ 1 -----=+ - nzxxzxzzXznkxZ nnn

)( nkx +

)1(...)1()0()()]([ 1 -----=+ - nzxxzxzzXznkxZ nnn

)()]([ zXznkxZ n-=-

:حل

:حل

:حل

آوريد بدست را زير عبارت z تبديل : مثال

=)(af

30

1-ka

0 0£k

,...3,2,1=k

دانيممي : حل0£k

)()]1([ 1 zXzkxZ -=-

111][ --

=az

aZ k

1

1

111

111][)]([ -

-

---

-=

-==

azz

azzaZafZ k

2/15/2014

16

تفاضل های معکوس و مستقيم

اول معکوس تفاضل z تبديل

)1()()( --=Ñ kxkxkx

31

تفاضل معکوس اول:

)]1([)]([)]([ --=Ñ kxZkxZkxZ

)()( 1 zXzzX --=

)()1( 1 zXz --=

دوم معکوس تفاضل z تبديل

)]2([)]1([2)]([)]([ 2 -+--=Ñ kxZkxZkxZkxZ

تفاضل معکوس دوم

)1()( -Ñ-Ñ= kxkx

)]2()1([)]1()([)(2 ------=Ñ kxkxkxkxkx

)2()1(2)( -+--= kxkxkx

)]1()([)]([)(2 --Ñ=ÑÑ=Ñ kxkxkxkx

)()1( 21 zXz--=

)()(2)( 21 zXzzXzzX -- +-=

32

2/15/2014

17

داريم مشابه طريق به : سوم معکوس تفاضل

)1()()( 11 -Ñ-Ñ=Ñ -- kxkxkx mmm

سوم معکوس تفاضل z تبديل

! توجه

.است در X(z) ضرب با متناظر معکوس تفاضل گرفتن عمل

)()1()]([ 313 zXzkxZ --=Ñ

)1( 1-- z

: ام m معکوس تفاضل

)1()()( 223 -Ñ-Ñ=Ñ kxkxkx

:ام m معکوس تفاضل z تبديل

)()1()]([ 1 zXzkxZ mm --=Ñ33

: مختلط انتقال قضيه-5

)]([ txe at-

34

)( atzeX تبديلz

: اثباتå¥

=

--- =0

)()]([k

kakTat zekTxtxeZ

)())((0

aT

k

kaT zeXzekTx ==å¥

=

-

؟ مختلط انتقال قضيه از استفاده با ميرا سينوسی تابع Z تبديل :1 مثال

?]sin[ =- teZ at w

2/15/2014

18

دانيم می : حل21

1

cos21sin][sin --

-

+-=

zTztztZ

www

35

aTzez ®

221

1

cos21sin]sin[ ----

---

+-=

zeTzetzeteZ aTaT

aTat

ww

w

][?:آوريد بدست را زير تابع Z تبديل :2 مثال =-atteZ: دانيم می : حل

)()1(

][ 21

1

zXz

TztZ =-

= -

-

21

1

)1()(][ --

---

-==

zezTezeXteZ aT

aTaTat

aTzez ®

36

2/15/2014

19

(0) ( )z

x LimX z®¥

=

37

6- قضیه مقدار اولیه

) اگر• و باشد z تبديل دارای (

) اگر• )→

باشد داشته وجود

آيد می بدست زير رابطه با (0) اوليه مقدار آنگاه•

( )x t

(0) = ( )→

¥®=

zzLimXx )()0(

38

¥®zzLimX )( است موجود

)()]([ zXtxZ =

مفروضات

2/15/2014

20

: اثبات

....)2()1()0()()( 21

0

+++== --¥

=

-å zxzxxzkxzXk

k

)0()( xzLimXz

=¥®

39

?=x(0) مقدار : مثال

)1)(1()1()( 11

1

---

--

---

=zez

zezX T

T

0)1)(1(

)1()0( 11

1

=--

-= ---

--

¥® zezzeLimx T

T

z

: حل

tetx --=1)(

?=x(0) مقدار : مثال

)1)(1(1)( 11 -- --

=azz

zX

1)1)(1(

1)0( 11 =--

= --¥® azzLimxz

40

: حل

: اول روش

: دوم روش

)1)(1(1)( 11 -- --

=azz

zX

]11

1[1

1)1(

1)1(

11

1111 ---- --

--=

---

--=

aza

zaaza

a

za

1]1[1

1)()0( =--

==¥®

aa

zXLimxz

2/15/2014

21

: نهايی مقدار قضيه-7

يک امکان استثنای به گيرند، قرار واحد دايره درون X(z) قطبهای تمام )2 . z=1 در ساده قطب

0)( =kx

])()1[()( 1

1zXzLimkLimx

zk

-

®¥®-=

41

0<k

: مفروضات

برای )1

å :اثبات¥

=

-==0

)()()]([k

kzkxzXkxZ

42

å¥

=

-- -==-0

1 )1()()]1([k

kzkxzXzkxZ

)()()1()( 1

00zXzzXzkxzkx

k

k

k

k -¥

=

-¥

=

- -=--åå

)]()([])1()([ 1

1001zXzzXLimzkxzkxLim

zk

k

k

k

z

-

®

¥

=

-¥

=

-

®-=--åå

: 1 فرض گرفتن نظر در با

+-+--=--åå¥

=

¥

=

)]0()1([)]1()0([)]1()([00

xxxxkxkxkk

)]([)(...)]1()2([ kxLimxxxk ¥®

=¥=+-+

)]()1[()]([ 1

1zXzLimkxLim

zk

-

®¥®-=

2/15/2014

22

آوريد بدست را زير تابع نهايی مقدار :مثال

11 11

11)( --- -

--

=zez

zX aT

43

نهايی مقدار قضيه از استفاده با :حل

)]()1[()( 1

1zXzLimx

z

-

®-=¥

)]1

11

1)(1[( 111

1 ----

® --

--=

zezzLim aTz

)]1

11

1)(1[( 111

1 ----

® --

--=

zezzLim aTz

1)1

11( 1

1

1=

--

-= --

-

® zezLim aTz

نهايی مقدار قضيه از استفاده بدون :حل

1)1()( =-=¥ -

¥®

at

teLimx

atetx --=1)(

آوريد بدست را زير تابع نهايی مقدار :مثال

)25.037.2)(1(387.0)( 2

2

+--=

zzzzzX

)]()1[()( 1

1zXzLimx

z

-

®-=¥

44

نهايی مقدار قضيه از استفاده با :حل

345.012.1

378.0]25.037.2

378.0[ 21-=

-=

+-=

® zzzLim

z

2/15/2014

23

مختلط گيریمشتق :قضيه-8

)()]([ zXdzdzkkxZ -=

45

:اثباتå¥

=

-=0

)()(k

kzkxzX

å¥

=

---=0

1)()()(k

kzkxkzXdzd

:نماييم می ضرب z– در را طرفين

)]([)()(0

kkxZzkkxzXdzdz

k

k ==- å¥

=

-

)()]([ zXdzdzkkxZ -=

:داد نشان توان می مشابه طريق به)()()]([ 22 zX

dzdzkxkZ -=

46

:داد نشان توان می فوق فرآيند تکرار با

)()()]([ zXdzdzkxkZ mm -=

: آوريد بدست را واحد شيب تابع z تبديل مختلط، گيری مشتق قضيه از استفاده با :مثال

kkx =)( ?)]([ =kxZ:دانيم مي :حل

111)](1[ --

=z

kZ

21

1

1 )1()

11()](1.[][)]([ -

-

- -=

--===

zz

zdzdzkkZkZkxZ

(See p. 62)