Jorge Luis Cárdenas Guillén
Modelagem Elasto-plástica da Liquefação Dinâmica de Solos
Tese de Doutorado
Tese apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Doutor pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio. Área de Concentração: Geotecnia.
Orientador: Celso Romanel
Rio de Janeiro
Dezembro de 2008
Jorge Luis Cárdenas Guillén
Modelagem Elasto-plástica da Liquefação Dinâmica de Solos
Tese apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Doutor pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada.
Prof. Celso Romanel Presidente / Orientador
Departamento de Engenharia Civil – PUC-Rio
Prof. Raul Rosas e Silva Departamento de Engenharia Civil – PUC-Rio
Prof. Paulo Batista Gonçalves
Departamento de Engenharia Civil – PUC-Rio
Prof. João Luis Pascal Roehl Departamento de Engenharia Civil – PUC-Rio
Profa. Christianne de Lyra Nogueira
Universidade Federal de Ouro Preto
Prof. Francisco Cláudio Pereira de Barros Comissão Nacional de Energia Nuclear - CNEN
Prof. José Eugênio Leal Coordenador Setorial do Centro Técnico Científico – PUC-Rio
Rio de Janeiro, Dezembro de 2008
Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e do orientador.
Jorge Luis Cárdenas Guillén
Graduou-se em Engenharia Civil pela Universidad Nacional de Ingeniería (UNI-Perú) em 1997. Atuou em engenharia geotécnica no Centro de Investigações Sísmicas e Mitigação de Desastres (CISMID-UNI). Em 2002 ingressou no curso de Mestrado e, em 2004, prosseguiu no curso de Doutorado em Engenharia Civil da Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, na área de Geotecnia, onde vem desenvolvendo investigações na linha de pesquisa em Geomecânica Computacional.
Ficha Catalográfica
Cárdenas Guillén, Jorge Luis
Modelagem elasto-plástica da liquefação dinâmica de solos / Jorge Luis Cárdenas Guillén ; orientador: Celso Romanel. – 2008.
246 f. :il. ; 30 cm
Tese (Doutorado em Engenharia Civil)–Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2008.
Incluí bibliográfia
1. Engenharia civil – Teses. 2. Método dos elementos finitos. 3. Plasticidade generalizada. 4. Liquefação dinâmica. 5. Dinâmica de solos. I. Romanel, Celso. II. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Civil. III. Título.
CDD: 624
A minha mãe Maura.
Agradecimentos
Não poderia começar estes agradecimentos sem expressar minha profunda e
sincera gratidão ao Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio, pelos
recursos fornecidos para a realização da presente tese, e a este grande Brasil,
pela oportunidade de ter aqui vivido e conseguido realizar uma grande aspiração
pessoal. Desejo também agradecer a todas as pessoas que contribuíram, de uma
ou outra maneira, com o desenvolvimento deste trabalho, em particular a:
ao professor e orientador Celso Romanel, pela orientação e amizade. Os seus
ensinamentos, sugestões e correção do manuscrito final tornaram possível a
apresentação da tese na presente forma;
a meus pais Maura e Maximo (Don Max), pelo inmenso amor recibido;
a minhas irmãs Alicia Cristina (negra Lí), Corina (Vicky) e Blanca Pilar (Pili),
pelo apoio em todo momento;
a meu irmaaozinho Luis Angel (in memoriam), pela luz eterna;
a Hilda, pelo amor e apoio continuo durante a tese;
ao professor e colega de trabalho Mitsuo Tsutsumi, da Universidade Federal de
Juiz de Fora, pela amizade, confiança e respeito;
a David Luna, do Laboratório de Geotecnia da Universidad Nacional de
Ingeniería no Perú, pelo apoio e amizade;
a Mery Cecilia, Flavio Silva, Marcos Ramidan, Fanny e Sandra Milagros, pela
confiança e apoio recebido;
a meus colegas da PUC-Rio, pela amizade, convivência e apoio nestes anos de
estudo;
a Rita, pela auxílio em todos os momentos de necessidade;
aos professores do Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio, pelos
excelentes conhecimentos transmitidos durante o curso de Doutorado;
a CNPq pelo apoio financeiro;
muito obrigado a todos.
Resumo
Guillén, Jorge Cárdenas; Romanel, Celso. Modelagem elasto-plástica da liquefação dinâmica de solos. Rio de Janeiro, 2008. 246p. Tese de Doutorado - Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
Mudanças das propriedades dos solos devido à ação de carregamentos
dinâmicos são responsáveis por danos significativos em geo-estruturas, tais como:
barragens, estruturas de contenção, fundações, taludes, etc. A ocorrência do
fenômeno da liquefação, em materiais suscetíveis como areias fofas saturadas,
representa um tipo de resposta desastrosa de solos. O termo liquefação tem sido
empregado para descrever uma variedade de fenômenos no qual tem em comum o
desenvolvimento de altas poropressões em materiais saturados sem coesão devido
a carregamentos monotônicos, transientes ou cíclicos. A previsão da liquefação
depende de uma adequada análise do comportamento não-drenado do material, em
termos do incremento de poropressões e da perda da rigidez da mistura sólido-
fluido, durante e após o período de movimento. O estabelecimento das equações
governantes é essencial para elaboração de um modelo matemático realista para
descrever o comportamento físico deste fenômeno. As equações a serem
consideradas são: equação de movimento da fase sólida, a equação do movimento
da mistura sólido-fluido, a equação de continuidade da fase fluida, as equações de
acoplamento das fases e as equações constitutivas desses materiais. Nesta tese a
resposta dinâmica do solo foi investigada numericamente mediante a técnica dos
elementos finitos. A discretização espacial das equações governantes foi feita
através do método de Galerkin e a discretização temporal pelo método de
Newmark Generalizado. Um modelo constitutivo elasto-plástico foi considerado
para descrever o comportamento mecânico da fase sólida, desenvolvido a partir de
conceitos da generalização da teoria da plasticidade, que apresenta algumas
vantagens em relação aos outros modelos baseados na teoria da plasticidade
clássica. A implementação computacional foi escrito em Fortran 90. Exemplos
numéricos analisados nesta tese comprovam tanto a eficiência do modelo
constitutivo na predição do comportamento do solo sobre liquefação como a
confiabilidade do programa computacional elaborado nesta pesquisa, em termos
da rapidez de processamento e da boa precisão dos resultados, quando
comparados com soluções analíticas e outros valores numéricos obtidos por vários
autores e diferentes modelos constitutivos.
Palavras-chave Método dos elementos finitos, plasticidade generalizada, liquefação
dinâmica, dinâmica de solos.
Abstract
Guillén, Jorge Cárdenas; Romanel, Celso (Advisor). Elasto-Plasticity Modelling of Soil Liquefaction. Rio de Janeiro, 2008. 246p . DSc. Thesis – Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
Changes in soil properties due to the action of dynamic loads are
responsible for significant damage of geo-structures such as dams, retaining
structures, building foundations, slopes, etc. The occurrence of liquefaction
phenomena in susceptible materials, such as loose sand saturated, represents a
type of disastrous response of soil. The term liquefaction has been used to refer
to a group of phenomena which have in common the development of high pore
pressures in saturated cohesionless material due to monotonic, transient, or
cyclic loads. The prediction of soil liquefaction depends of an adequate analysis
of the behavior of undrained materials, in terms of increase of pore water
pressure and weakening of the solid-fluid mixture, during and after the periodic
motion. The establishment of the governing equations is essential to provide a
realistic mathematical model to describe the physical behavior of this
phenomenon. The system of equations to be considered are: the equilibrium
equation of the solid phase, the equilibrium equation of the solid-fluid mixture,
the conservation mass of the fluid phase, the coupling equation of phases, and
the constitutive equations of materials. In this thesis the soil dynamic response
was numerically investigated by the finite element method. To obtain the spatial
discretization of the governing equation, the Galerkin method was used. The
dicretization in time was the Generalized Newmark method. An elastic-plastic
constitutive model was used to describe the mechanical behavior of the solid
phase. This model was developed in the framework of the generalized theory of
plasticity, which has some advantages when compared with other models based
on the classical plasticity theory. The computational implementation was written
in Fortran 90. Numerical examples considered in this thesis demonstrate the
efficiency of the constitutive model to simulated the predicted behavior of soil
under liquefaction as well as the reliability of the software developed in this
research, in terms of computational effort and good accuracy of the results, when
compared with some analytical solutions and other numerical values obtained by
various authors and different constitutive models.
Keywords Finite element method, generalized plasticity, dynamic liquefaction, soil
dynamic.
Sumário
1 Introdução 1.1 Aspectos gerais
1.2 Motivação e objetivo
1.3 Organização da tese
1.4 Notação utilizada
2 Fundamentos teóricos da liquefação de solos 2.1 Aspectos gerais
2.2 Fenômeno da liquefação de solos
2.2.1 Definição
2.2.2 Fluxo por liquefação e mobilidade cíclica
2.3 Comportamento dinâmico não-drenado de areias saturadas
2.4 Mecanismo de iniciação da liquefação
2.5 Suscetibilidade dos materiais à liquefação
2.5.1 Critério geológico
2.5.2 Critério de composição de material
2.5.3 Critérios de estado
3 Modelo constitutivo para liquefação de solos 3.1 Aspectos gerais
3.2 Desenvolvimento histórico dos modelos constitutivos para
carregamento cíclico
3.3 Teoria da plasticidade generalizada
3.3.1 Principais características da teoria da plasticidade clássica
3.3.2 Características da teoria da plasticidade generalizada
3.3.3 Formulação da matriz constitutiva elasto-plástica
3.4 Modelo constitutivo Pastor-Zienkiewicz
3.4.1 Formulação geral do modelo no plano triaxial
3.4.2 Sumário da formulação do modelo no plano triaxial
3.4.3 Formulação do modelo no espaço das tensões principais
38 38
44
46
47
48 48
49
49
49
53
62
66
66
66
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76 76
78
86
87
90
96
97
97
109
113
4 Equações governantes da interação dinâmica sólido-fluido 4.1 Introdução
4.2 Aspectos gerais
4.2.1 Lei de Darcy
4.2.2 Principio das tensões efetivas de Terzaghi
4.3 Equações governantes
4.3.1 Forma incremental das equações completas de Biot-Zienkiewicz
4.3.2 Forma incremental das equações simplificadas de
Biot-Zienkiewicz
5 Discretização das equações governantes na forma u-p 5.1 Discretização espacial
5.2 Discretização temporal
5.3 Linearização das equações discretas dos sistema sólido-fluido
6 Exemplos 6.1 Características gerais do programa computacional
6.2 Retroanálises de ensaios de laboratório em areias
6.2.1 Parâmetros do modelo Pastor-Zienkiewicz
6.2.2 Retroanálises de ensaios triaxiais monotônicos em areias
6.2.3 Retroanálises de ensaios de cisalhamento cíclico em areias
6.3 Exemplo 1 - coluna de solo submetida à excitação cíclica na base
6.3.1 Solo seco
6.3.2 Solo saturado
6.4 Exemplo 2 - Análise dinâmica da barragem de San Fernando, EUA
6.5 Exemplo 3 - Resposta dinâmica de um talude de solo submerso
7 Conclusões e sugestões 7.1 Conclusões
7.2 Sugestões para futuras pesquisas
8 Referências bibliográficas Anexo A
Anexo B
Anexo C
Apêndices
117 117
117
121
122
124
126
128
131 131
147
152
157 157
158
158
160
167
170
170
173
181
186
194 194
197
198 221
225
232
237
Lista de figuras
Figura 1.1 - Liquefação do solo de fundação em Niigata, Japão, 1964,
causando colapso do conjunto habitacional Kawagishi-cho [Earthquake
Engineering Research Center, University of California, Berkeley, USA].
Figura 1.2 - Liquefação do solo no terremoto de Good Friday, Alaska,
1964, causando grandes movimentos de massas [Earthquake
Engineering Research Center, University of California, Berkeley, USA].
Figura 2.1 - Ensaios triaxiais não-drenados em amostra de areia
saturada [Castro, G.; Poulos, S.J., 1977].
Figura 2.2 - Amostra M1 com 44,0=rD e 08,0=CSR . Resultados do
ensaio de cisalhamento cíclico não-drenado da areia do Rio Fraser. (a)
Curva τσ :v′ . (b) Curva 0: vwC pN σδ ′ , [Byrne, P.M., 2005].
Figura 2.3 - Amostra M2 com 80,0=rD e 25,0=CSR . Resultados do
ensaio de cisalhamento cíclico não-drenado da areia do Rio Fraser. (a)
Curva τσ :v′ . (b) Curva 0: vwC pN σδ ′ , [Byrne, P.M., 2005].
Figura 2.4 - Amostra M3 com 44,0=rD e 10,0=CSR . Resultados de
ensaio de cisalhamento cíclico não-drenado da areia do rio Fraser. (a)
Curva τσ :v′ . (b) Curva 0: vwC pN σδ ′ , [Byrne, P.M., 2005].
Figura 2.5 - Trajetória das tensões típica num ensaio cisalhante cíclico.
Plano τσ :v′ .
Figura 2.6 - Linha de transformação de fase (PLT) e linha de estado
permanente (SSL) nas amostras M2 (a) e M3 (b).
Figura 2.7 - Esquema geral da resposta não-drenada de areias
saturadas sob carregamento monotônico e cíclico. (a) Comportamento
contrativo. (b) Comportamento dilatante, [Rauch, A.F., 1997].
Figura 2.8 - Conceito de iniciação da ruptura do fluxo por liquefação,
[Kramer, S.L., 1996].
Figura 2.9 - Superfície de iniciação de ruptura do fluxo por liquefação.
Plano qp :′ , [Kramer, S.L., 1996].
Figura 2.10 - Região de suscetibilidade de ocorrência de fluxo por
liquefação, [Kramer, S.L., 1996].
Figura 2.11 - Região de suscetibilidade de ocorrência de mobilidade
40
40
50
55
56
57
58
59
61
63
63
65
cíclica, [Kramer, S.L., 1996].
Figura 2.12 - Recomendações de Seed, R.B. [Seed, R.B., et al., 2003]
considerando a influência dos finos na suscetibilidade da liquefação.
Figura 2.13 - Linha de índice de vazio crítico, [Kramer, S.L., 1996].
Figura 2.14 - Comportamento típico de areias em ensaios triaxiais não-
drenados monotônicos. (a) Plano: qa :ε , (b) Plano: qp :′ , (c) Plano:
wa p:ε , [Kramer, S.L., 1996].
Figura 2.15 - Linha de estado permanente em representação
tridimensional no espaço στ ′::e e nos planos e:τ , στ ′: , e σ ′:e ,
[Kramer, S.L., 1996].
Figura 2.16 - Proporcionalidade entre a linha de estado permanente
baseada em (a) resistência não-drenada e (b) tensão de confinamento
efetiva (escala logarítmica), [Kramer, S.L., 1996].
Figura 2.17 - Estimativa da suscetibilidade de liquefação pela linha de
estado permanente, [Kramer, S.L., 1996].
Figura 2.18 - Definição do parâmetro de estado ψ [Been, K.; Jefferies,
M.G., 1985].
Figura 3.1 - Deslizamento ocorrido na barragem de San Fernando, em
1971 (EERC, University of California, Berkeley, USA).
Figura 3.2 - Ruptura da barragem San Fernando. (a) Seção transversal
da barragem após a ruptura e (b) reconstrução das condições iniciais,
[Seed, H.B., 1979].
Figura 3.3 - Representação de um ciclo de carregamento num ensaio
triaxial cíclico uniaxial.
Figura 3.4 - Influência de 0
ˆ gp′ na forma da superfície do potencial
plástico ( 6,0=α , 6,1=gM ).
Figura 3.5 - Influência de gM na forma da superfície do potencial
plástico ( 6,0=α , kPapg 200ˆ0
=′ ).
Figura 3.6 - Influência de α na forma da superfície do potencial
plástico ( 6,1=gM , kPapg 200ˆ0
=′ ).
Figura 4.1 - Representação esquemática de um meio poroso
preenchido com um ou dois fluidos, [Bastian, P., 1999].
Figura 4.2 - Representação esquemática de um meio poroso permeável
e impermeável.
65
68
70
71
73
73
74
74
80
80
92
108
109
109
118
119
Figura 4.3 - Fases do solo; (a) estado natural, (b) representação
esquemática em termos de volumes e massas.
Figura 6.1 - Previsão da curva tensão efetiva média-tensão de desvio
nos ensaios triaxiais monotônicos em areias [Castro, G., 1969] com
emprego do modelo P-Z.
Figura 6.2 - Previsão da curva deformação cisalhante-tensão de desvio
nos ensaios triaxiais monotônicos em areias [Castro, G., 1969] com
emprego do modelo P-Z.
Figura 6.3 - Previsão da curva deformação cisalhante-poropressão nos
ensaios triaxiais monotônicos em areias [Castro, G., 1969] com
emprego do modelo P-Z.
Figura 6.4 - Influência do parâmetro α na representação da trajetória
de tensão efetiva qp :′ nos ensaios monotônicos com emprego do
modelo P-Z.
Figura 6.5 - Influência do parâmetro 0β na representação da trajetória
de tensão efetiva qp :′ no ensaio monotônico com emprego do modelo
P-Z.
Figura 6.6 - Influência do parâmetro 1β na representação da trajetória
de tensão efetiva qp :′ nos ensaios monotônicos com emprego do
modelo P-Z.
Figura 6.7 - Influência do parâmetro 0LH na representação da trajetória
de tensão efetiva qp :′ nos ensaios monotônicos com emprego do
modelo P-Z.
Figura 6.8 - Influência exponencial ( 0=n ;1; 2 ;3 ; 4 ;5 ) da razão da
tensão efetiva média com a tensão de confinamento efetiva na
representação da trajetória de tensão efetiva qp :′ nos ensaios
monotônicos com emprego do modelo P-Z modificado.
Figura 6.9 - Previsão da curva tensão efetiva média - tensão de desvio
nos ensaios triaxiais monotônicos em areias [Ishihara, K., 1993] com
emprego do modelo P-Z.
Figura 6.10 - Previsão da curva tensão efetiva média - tensão de desvio
nos ensaios triaxiais monotônicos em areias [Ishihara, K., 1993] com
emprego do modelo P-Z modificado.
Figura 6.11 - Previsão da trajetória de tensões efetivas para distintos
120
160
161
161
162
162
163
163
164
166
166
valores de tensões de confinamento ( 5,03 =′σ ; 5,1 ; 5,2 ; 5,3 MPa ) nos
ensaios triaxiais monotônicos em areias [Ishihara, K., 1993] com
emprego do modelo P-Z modificado.
Figura 6.12 - Previsão da curva tensão efetiva média - tensão de desvio
nos ensaios triaxiais cíclicos de areias com emprego do modelo P-Z.
Figura 6.13 - Previsão da curva deformação cisalhante - tensão de
desvio nos ensaios triaxiais cíclicos de areias com emprego do modelo
P-Z.
Figura 6.14 - Previsão da curva deformação cisalhante - poropressão
nos ensaios triaxiais cíclicos de areias com emprego do modelo P-Z.
Figura 6.15 - (a) Coluna de solo seco submetida a carregamento
sísmico em sua base; (b) Malha de elementos finitos Q4 utilizada na
análise numérica.
Figura 6.16 - Comparação entre respostas numérica e analítica para
deslocamentos do ponto B.
Figura 6.17 - Comparação entre respostas numérica e analítica para
deslocamentos do ponto A.
Figura 6.18 - (a) Coluna de solo, com presença do lençol freático,
submetida a carregamento (aceleração) sísmico em sua base; (b)
Malha de elementos finitos Q4 utilizada na análise numérica.
Figura 6.19 - Variação do incremento de poropressão com a
profundidade e tempo para ga r35.00 = .
Figura 6.20 - Variação do incremento de poropressão com a
profundidade e tempo para ga r40.00 = .
Figura 6.21 - Variação do incremento da poropressão com o tempo
para vários valores da amplitude da aceleração aplicada na base.
Figura 6.22 - Curva da variação da tensão de confinamento efetiva com
a profundidade no tempo t = 10s para ga r35,00 = e gr40,0 .
Figura 6.23 - (a) Trajetória de tensão no plano triaxial para ga r40,0= , t
= 10s, z = 20m, (b) Curvas tensão-deformação durante carregamento
cíclico.
Figura 6.24 - Variação com a profundidade do fator de segurança
contra a liquefação FS.
Figura 6.25 - Registro das acelerações sísmicas utilizado na simulação
numérica.
167
168
169
169
170
172
172
174
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176
176
177
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180
181
Figura 6.26 - Geometria e malha de elementos finitos. Barragem de
San Fernando. Letras C, D, G e H se referem a pontos nodais de
interesse.
Figura 6.27 - Variação temporal do incremento de poropressões
determinados numericamente para alguns pontos da barragem de San
Fernando.
Figura 6.28 - Geometria do problema e localização dos pontos de
instrumentação. Talude de solo submerso [Byrne, P.M., 2005].
Figura 6.29 - Registro das acelerações instrumentadas. Pontos A2, A5
e A7.
Figura 6.30 - Registros das poropressões instrumentadas. Pontos P2,
P5 e P7.
Figura 6.31 - Registro das acelerações do sismo A475 [Byrne, P.M.,
2005].
Figura 6.32 - Geometria e malhas de elementos finitos. Talude de solo
submerso.
Figura 6.33 - Registro das acelerações previstas. Ponto A2.
Figura 6.34 - Registro das acelerações previstas. Ponto A5.
Figura 6.35 - Registro das acelerações previstas. Ponto A7.
Figura 6.36 - História das poropressões previstas. Ponto P2.
Figura 6.37 - História das poropressões previstas. Ponto P5.
Figura 6.38 - História das poropressões previstas. Ponto P7.
182
185
187
187
188
188
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190
190
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192
192
193
Lista de tabelas
Tabela 6.1 - Parâmetros do modelo P-Z utilizados nas retroanálises dos
ensaios de laboratório monotônicos em areias [Castro, G., 1969].
Tabela 6.2 - Parâmetros do modelo P-Z utilizados nas retroanálises dos
ensaios de laboratório monotônicos em areias [Ishihara, K., 1993].
Tabela 6.3 - Parâmetros utilizados para obtenção do módulo de
cisalhamento e do modulo volumétrico dependentes da tensão de
cisalhamento.
Tabela 6.4 - Parâmetros do modelo P-Z utilizados nas retroanálises dos
ensaios de laboratório cíclicos em areias [Byrne, P.M., 2005].
Tabela 6.5 - Parâmetros do material, da aceleração sísmica e da
geometria da coluna de solo seco.
Tabela 6.6 - Comparação dos deslocamentos numéricos máximos com
a solução analítica.
Tabela 6.7 - Parâmetros do material da coluna de solo saturado.
Tabela 6.8 - Parâmetros do modelo P-Z da coluna de solo saturado.
Tabela 6.9 - Parâmetros utilizados para obtenção do módulo de
cisalhamento dependente da tensão de confinamento efetiva.
Tabela 6.10 - Cálculo do fator de segurança contra a liquefação para
436=WM .
Tabela 6.11 - Cálculo do fator de segurança contra a liquefação para
217=WM
Tabela 6.12 - Cálculo do fator de segurança contra a liquefação para
218=WM
Tabela 6.13 - Parâmetros dos materiais da barragem de San Fernando
Tabela 6.14 - Parâmetros do modelo P-Z para os materiais da
barragem de San Fernando.
Tabela 6.15 - Propriedades do material do talude (areia fofa).
Tabela 6.16 - Parâmetros do material do talude referentes ao modelo P-Z.
160
165
166
168
171
172
174
174
174
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186
186
Lista de Abreviaturas .
.
.
.
BBM - Modelo Básico Barcelona
CPT - ensaio de penetração de cone
CRR - razão da resistência cíclica
CSL - linha de estado crítico
CSR - razão de tensão cíclica
maxCSR - razão de tensão cíclica maxima
eqCSR - razão de tensão cíclica equivalente
DMT - ensaio de dilatômetro
MDWF - fator de correção da magnitude do terremoto
EERC - Earthquake Engineering Research Center
FC - fração fina
FLS - superfície de iniciação de ruptura por fluxo por liquefação
FS - fator de segurança
LI - indice de liquidez
IP - indice de plasticidade
LL - limite de liquidez
MEF - método dos elementos finitos
MSP - trajetória de tensão monotônica
NCEER - National Center for Earthquake Engineering Research
WM - magnitude do terremoto
rochaPHA - aceleração máxima horizontal na rocha
soloPHA - aceleração máxima horizontal no solo
PTL - linha de transformação de fase
P-Z - Pastor-Zienkiewicz
SPT - ensaio de penetração estándar
SSL - linha de estado permanente
Lista de símbolos .
.
.
.
ALFABETO ROMANO
a - aceleração horizontal
maxa - aceleração horizontal máxima
0a - amplitude da aceleração
1a , 2a - constantes de amortecimento
A - área da seção transversal
0A - amplitude do deslocamento
1A , 2A , 3A - quantidades matriciais
ib - componente do vetor b
b - vetor de força de corpo por unidade de massa
br
- vetor unitário de força de corpo wB - matriz das derivadas das funções de interpolação do fluido uB - matriz das derivadas das funções de interpolação do sólido
1B , 2B , 3B - quantidades matriciais
ijklC - tensor constitutivo deformação-tensão
LijklC - tensor constitutivo deformação-tensão (carrregamento)
UijklC - tensor constitutivo deformação-tensão (descarregamento)
sC - compressibilidade do sólido
wC - compressibilidade da água
NC - fator de correção
TC - compressibilidade do sistema sólido-água
C~ - compressibilidade equivalente do sistema sólido-água
*~TC - compressibilidade equivalente do sistema sólido-água-ar
[ ]C - matriz de amortecimento viscoso do sólido a nível local C - matriz constitutiva deformação-tensão C - matriz de amortecimento viscoso do sólido a nível local
eC - matriz constitutiva deformação-tensão elástica
cC - matriz de acoplamento sólido-fluido em termos da rigidez a nível local
LC - matriz constitutiva deformação-tensão (carregamento)
RC - matriz de amortecimento de Rayleigh
UC - matriz constitutiva deformação-tensão (descarregamento)
eC - matriz de amortecimento do elemento acoplado
C~ - matriz de amortecimento do sólido a nível global
SC~ - matriz de amortecimento do sistema
d - dilatância plástica
fd - dilatância plástica dependente da superfície de escoamento - modelo P-Z
gd - dilatância plástica dependente da superfície do potencial plástico - modelo P-Z
ijklD - tensor constitutivo tensão-deformação
rD - densidade relativa eqD - componente de desvio da matriz eD epD - componente volumétrica da matriz eD epijD - componente da matriz epD ( 2,1, =ji )
D - matriz constitutiva tensão-deformação eD - matriz constitutiva tensão-deformação elástica epD - matriz constitutiva tensão-deformação elasto-plástica
fD - matriz de amortecimento viscoso do fluido a nível local
sD - matriz de amortecimento viscoso do sólido a nível local
eD - matriz constitutiva tensão-deformação elástica - plano triaxial
qp :′ epD - matriz constitutiva tensão-deformação elasto-plástica - plano
triaxial qp :′ e - índice de vazios
ce - índice de vazio crítico
SSe - índice de vazios na condicao de estado permanente
0e - índice de vazios inicial
f - função da superfície de escoamento
f - função da superfície de escoamento - plano triaxial qp :′ ( )sf - vetor de força nodal a nível local do sólido ( )wf - vetor de força nodal a nível local do fluido
ef - vetor de força nodal do elemento acoplado
ttS Δ+f - vetor de força equivalente do sistema no tempo tt Δ+ ( )sf~ - vetor de força nodal do sólido a nível global ( )wf~ - vetor de força nodal do fluido a nível global ( )s
tf~ - vetor de força nodal do sólido a nível global no tempo t
( )wtf
~ - vetor de força nodal do fluido a nível global no tempo t ( )s
tt Δ+f~ - vetor de força nodal do sólido a nível global no tempo tt Δ+ ( )w
tt Δ+f~ - vetor de força nodal do fluido a nível global no tempo tt Δ+
Sf~ - vetor de força nodal do sistema
tSf~ - vetor de força nodal do sistema no tempo t
ttS Δ+f~ - vetor de força nodal do sistema no tempo tt Δ+
fF - vetor de força nodal do fluido a nível local
sF - vetor de força nodal do sólido a nível local g - função da superfície do potencial plástico g - função da superfície do potencial plástico - plano triaxial qp :′
gr - aceleração da gravidade G - módulo de cisalhamento
rG - parâmetro relacionado ao módulo de cisalhamento
[ ]G - matriz da inércia do fluido a nível local G - matriz de fluxo dinâmico do fluido a nível local
wh - carga hidráulica
H - altura da coluna de solo H - módulo plástico
fH - coeficiente do módulo plástico - modelo P-Z
sH - coeficiente do módulo plástico - modelo P-Z
vH - coeficiente do módulo plástico - modelo P-Z
DMH - coeficiente do módulo plástico - modelo P-Z
LH - módulo plástico (carregamento)
UH - módulo plástico (descarregamento)
ULH - módulo plástico (carregamento ou descarregamento)
LoH - parâmetro - modelo P-Z
0UH - parâmetro - modelo P-Z
H - módulo plástico - plano triaxial qp :′
LH - módulo plástico (carregamento) - plano triaxial qp :′
UH - módulo plástico (descarregamento) - plano triaxial qp :′
ULH - módulo plástico (carregamento ou descarregamento) - plano triaxial qp :′
H - matriz de fluxo do fluido a nível local
H~ - matriz de fluxo do fluido a nível global
321 ,, JJJ ′′′ - invariantes da tensão efetiva
DDD JJJ 321 ,, ′′′ - invariantes da tensão de desvio efetiva
J - matriz jacobiana k - permeabilidade absoluta
ijk - componente da matriz k
xk - permeabilidade absoluta na direção x
yk - permeabilidade absoluta na direção y
k ′ - permeabilidade relativa
epoK - parâmetro - modelo P-Z
eqoK - parâmetro - modelo P-Z
sK - módulo de deformação volumétrica do sólido
sK - parâmetro relacionado ao módulo de deformação volumétrica
wK - módulo de deformação volumétrica da água
TK - módulo de deformação volumétrica do sistema sólido- água
K ′ - módulo de deformação volumétrica efectiva
0K - coeficiente de empuxo no repouso
max2K - coeficiente cisalhamento máximo
σK - fator de correção da tensão vertical efetiva
[ ]K - matriz de rigidez do sólido a nível local
k - matriz de permeabilidade absoluta K - matriz de rigidez do sólido a nível local
fK - matriz de rigidez do fluido a nível local
sK - matriz de rigidez do sólido a nível local
eK - matriz de rigidez do elemento acoplado
SK - matriz de rigidez equivalente do sistema
K~ - matriz de rigidez do sólido a nível global
SK~ - matriz de rigidez do sistema
L - comprimento [ ]L - matriz de acoplamento sólido-fluido a nível local
SSLm - inclinação da linha de estado permanente M - massa total (meio poroso)
aM - massa do ar
fM - parâmetro - modelo P-Z
gM - parâmetro - modelo P-Z
sM - massa do sólido
wM - massa da água
[ ]M - matriz de massa do sólido a nível local
m - forma vetorial do delta de Kronecker M - matriz de massa do sólido a nível local
cΜ - matriz de acoplamento sólido-fluido em termos da massa a nível local
fΜ - matriz de massa do fluido a nível local
sΜ - matriz de massa do sólido a nível local
eM - matriz de massa do elemento acoplado
M~ - matriz massa do sólido a nível global
SM~ - matriz de massa do sistema
n - expoente n - porosidade
in - vetor unitário (teorema de Green)
in - componente do vetor n q
ULfn - componente de desvio do vetor ULfn p
ULfn - componente volumétrica do vetor ULfn q
ULgn - componente de desvio do vetor ULgn p
ULgn - componente volumétrica do vetor ULgn
{ }n - vetor de fluxo nodal do fluido a nível local uKN - componente da matriz uN uPN - componente da matriz u
PN wLN - componente da matriz wN wPN - componente da matriz w
PN
CN - número de ciclos de carregamento
( )60N - número de golpes do SPT
( )601N - número de golpes corrigidos do SPT
n - vetor unitário da direção do incremento de tensão
Lfn - vetor unitario normal à superficie de escoamento (carregamento)
Ufn - vetor unitario normal à superficie de escoamento (descarregamento)
ULfn - vetor unitario normal à superficie de escoamento (carregamento ou descarregamento)
gLn - vetor unitário normal à superfície do potencial plástico (carregamento)
gUn - vetor unitário normal à superfície do potencial plástico (descarregamento)
ULgn - vetor unitario normal à superficie do potencial plástico (carregamento ou descarregamento)
ULfn - vetor unitário normal à superfície de escoamento (carregamento ou decarregamento) - plano triaxial qp :′
ULgn - vetor unitário normal à superfície do potencial plástico (carregamento ou decarregamento) - plano triaxial qp :′
N - matriz de funções de interpolação da variável generalizada uN - matriz das funções de interpolação do deslocamento do sólido wN - matriz das funções de interpolação da poropressão do fluido uPN - matriz das funções de ponderação do deslocamento do sólido wPN - matriz das funções de ponderação da poropressão do fluido
PN - matriz das funções de ponderação da variável generalizada
wp - poropressão do fluido
iwp - componente do vetor wp
wp& - velocidade da poropressão do fluido
p′ - tensão efetiva média
0p′ - tensão efetiva média inicial
0ˆ fp′ - coeficiente da função de escoamento - modelo P-Z
0ˆ gp′ - coeficiente da função do potencial plástico - modelo P-Z
Liwp - componente do vetor wp
iwp* - poropressão atuante na wpΓ
aP - pressão do ar
atmP - pressão atmosférica
avP - poropressão média
refP - pressão de referência
{ }fp - vetor da poropressão nodal do fluido a nível local
wp - vetor da poropressão do fluido
wp - vetor da poropressão nodal do fluido a nível local
wp& - vetor da velocidade da poropressão nodal do fluido a nível local
wp&& - vetor da aceleração da poropressão nodal do fluido a nível local
wp~ - vetor da poropressão nodal do fluido a nível global
wp&~ - vetor da velocidade da poropressão nodal do fluido a nível global
wp&&~ - vetor da aceleração da poropressão nodal do fluido a nível global
0~
wp - vetor da poropressão nodal do fluido inicial a nível global - análise estática
twp~ - vetor da poropressão nodal do fluido a nível global no tempo t
twp&~ - vetor da velocidade da poropressão nodal do fluido a nível global no tempo t
twp&&~ - vetor da aceleração da poropressão nodal do fluido a nível global no tempo t
ttw Δ+p~ - vetor da poropressão nodal do fluido a nível global no tempo tt Δ+
ttw Δ+p&~ - vetor da velocidade da poropressão nodal do fluido a nível global no tempo tt Δ+
ttw Δ+p&&~ - vetor da aceleração da poropressão nodal do fluido a nível global no tempo tt Δ+
tw*~p -
vetor da poropressão nodal do fluido a nivel global atuante na wpΓ no tempo t
tw*~p& -
vetor da velocidade da poropressão nodal do fluido a nivel global atuante na w
pΓ no tempo t
uP δ - matriz de força nodal interna do sólido a nível local
uP ~~ δ - matriz de força nodal interna do sólido a nível global q - tensão de desvio Q - vazão do fluido
Q~ - módulo de deformação volumétrica equivalente do sistema sólido-água
*~Q - módulo de deformação volumétrica equivalente do sistema sólido-água-ar
{ }Q - vetor da vazão nodal do fluido a nível local q - vetor de influxo
*~tq - vetor de influxo nodal a nível global atuante na w
w&Γ no tempo t
Q - matriz de acoplamento sólido-fluido a nível local
Q~ - matriz de acoplamento sólido-fluido a nível global
r - parâmetro relacionado ao módulo de cisalhamento
dr - fator de redução da tensão cíclica devido à profundidade wiR - componente do vetor wR
{ }R - vetor de força nodal aplicado ao sólido a nível local
R - matriz de acoplamento sólido-fluido a nível local wR - vetor de forças de arrasto viscoso
s - parâmetro relacionado ao módulo de deformação volumétrica
0s& - variacao temporal dos efeitos de segunda ordem
rS - grau de saturação
arS - grau de saturação do ar
wrS - grau de saturação da água
uS - resistência não-drenada
ijS ′ - tensor de tensão de desvio efetiva
[ ]S - matriz da compressibilidade do fluido a nível local S - matriz de compressibilidade sólido-fluido a nível local
S - matriz operador de derivadas
S~ - matriz de compressibilidade sólido-fluido a nível global t - tempo
*it - força externa atuante na s
tΓ
t - vetor de força externa nodal atuante no sólido a nível local *~
tt - vetor da força nodal externa a nível global atuante na stΓ no
tempo t
u - deslocamento do sólido
iu - componente do vetor u
xu - deslocamento horizontal *iu - deslocamento do sólido prescrito na s
uΓ
Kiu - componente do vetor u
{ }u - vetor de deslocamento nodal do sólido a nível local
{ }u& - vetor da velocidade nodal do sólido a nível local
{ }u&& - vetor da aceleração nodal do sólido a nível local u - vetor de deslocamento do sólido
fu - vetor de deslocamento nodal do fluido a nível local
fu& - vetor da velocidade nodal do fluido a nível local
fu&& - vetor da aceleração nodal do fluido a nível local
su - vetor de deslocamento nodal do sólido a nível local
su& - vetor da velocidade nodal do sólido a nível local
su&& - vetor da aceleração nodal do sólido a nível local
u - vetor de deslocamento nodal do sólido a nível local
u& - vetor da velocidade nodal do sólido a nível local
u&& - vetor da aceleração nodal do sólido a nível local u~ - vetor de deslocamento nodal do sólido a nível global
u&~ - vetor da velocidade nodal do sólido a nível global
u&&~ - vetor da aceleração nodal do sólido a nível global
0~u - vetor da deslocamento nodal do sólido inicial a nível global -
análise estática tu~ - vetor da deslocamento nodal do sólido a nível global no tempo
t tu&~ - vetor da velocidade nodal do sólido a nível global no tempo t
tu&&~ - vetor da aceleração nodal do sólido a nível global no tempo t
tt Δ+u~ - vetor da deslocamento nodal do sólido a nível global no tempo tt Δ+
tt Δ+u&~ - vetor da velocidade nodal do sólido a nível global no tempo tt Δ+
tt Δ+u&&~ - vetor da aceleração nodal do sólido a nível global no tempo tt Δ+
*~tu -
vetor do deslocamento nodal do sólido a nivel global prescrito na s
uΓ no tempo t *~tu& -
vetor da velocidade nodal do sólido a nivel global prescrito na s
uΓ no tempo t *~tu&& -
vetor da aceleração nodal do sólido a nivel global prescrito na s
uΓ no tempo t U - deslocamento do fluido
iU - componente do vetor U
U - vetor de deslocamento do fluido V - volume total (meio poroso)
sV - velocidade de onda cisalhante
sV - volume ocupado pelo sólido
vV - volume ocupado pelo vazio
wV - volume ocupado pela água w - deslocamento do fluido relativo ao sólido
iw - componente do vetor w
w& - velocidade do fluido relativo ao sólido
iw& - componente do vetor w&
w&& - aceleração do fluido relativo ao sólido
iw&& - componente do vetor w&& *iw& - velocidade do fluido relativo ao sólido atuante na w
w&Γ
Cw - teor de umidade w - vetor deslocamento do fluido relativo ao sólido w& - vetor velocidade do fluido relativo ao sólido w&& - vetor aceleração do fluido relativo ao sólido z - profundidade
.
.
.
.
.
ALFABETO GREGO
α - constante do método de Newmark α - parâmetro - modelo P-Z
wα - constante do método de Newmark para a poropressão do fluido
rα - parâmetro relacionado ao módulo de cisalhamento
sα - constante do método de Newmark para o deslocamento do sólido
Rα - parâmetro do amortecimento de Rayleigh α~ - constante de Biot Α - quantidade escalar
1α , 2α , 3α - quantidades vetoriais
β - constante do método de Newmark
sβ - constante do método de Newmark para o deslocamento do sólido
sβ - parâmetro relacionado ao módulo de deformação volumétrica
wβ - constante do método de Newmark para a poropressão do fluido
Rβ - parâmetro do amortecimento de Rayleigh
0β - parâmetro - modelo P-Z
1β , 2β - constantes do método de Newmark Generalizado 22GN
1β - parâmetro - modelo P-Z
1β - constante do método de Newmark Generalizado 11GN
1Β , 2Β - quantidades escalares χ - escalar positivo
1Χ , 2Χ - quantidades escalares
δ - incremento
ijδ - delta de Kronecker
Δ - variação
1Δ , 2Δ - quantidades escalares
aε - deformação axial total
pε - deformação volumétrica total
qε - deformação de desvio total
rε - deformação radial total pε - deformação plástica ppε - deformação plástica volumétrica p
qε - deformação plástica de desvio
ijε - tensor deformação total
ijε& - variação temporal do tensor deformação total eijε - tensor deformação elástica p
ijε - tensor deformação plástica
pε - deformação volumétrica total - plano triaxial qp :′
qε - deformação de desvio total - plano triaxial qp :′ epε - componente volumétrica do vector eε eqε - componente de desvio do vector eε ppε - componente volumétrica do vector pε p
qε - componente de desvio do vector pε
ε - vetor deformação total
Lε - vetor deformação total (carregamento)
Uε - vetor deformação total (descarregamento) eε - vetor deformação elástica pε - vetor deformação plástica
ε - vetor deformação total - plano triaxial qp :′ eε - vetor deformação elástica - plano triaxial qp :′ pε - vetor deformação plástica - plano triaxial qp :′
CSφ - ângulo de atrito na condição de estado crítico
[ ]φ - matriz de fluxo nodal do fluido a nível local
Φ - vetor da variável generalizada a nível local
Φ& - vetor da velocidade da variável generalizada a nível local
Φ&& - vetor da aceleração da variável generalizada a nível local
Φ - vetor da variável nodal generalizada a nível local
Φ& - vetor da velocidade da variável nodal generalizada a nível local
Φ&& - vetor da aceleração da variável nodal generalizada a nível local
Φ~ - vetor da variável nodal generalizada a nível global
Φ&~ - vetor da velocidade da variável nodal generalizada a nível global
Φ&&~ - vetor da aceleração da variável nodal generalizada a nível global
tΦ~ - vetor da variável nodal generalizada a nível global no tempo t
tΦ&~ - vetor da velocidade da variável nodal generalizada a nível global no tempo t
tΦ&&~ - vetor da aceleração da variável nodal generalizada a nível global no tempo t
tt Δ+Φ~ - vetor da variável nodal generalizada a nível global no tempo tt Δ+
tt Δ+Φ&~ - vetor da velocidade da variável nodal generalizada a nível global no tempo tt Δ+
tt Δ+Φ&&~ - vetor da aceleração da variável nodal generalizada a nível global no tempo tt Δ+
0~Φ - vetor da variável nodal generalizada a nível global na condição
inicial γ - parâmetro - modelo P-Z
Uγ - parâmetro - modelo P-Z
Γ - contorno sΓ - condição de contorno do sólido wΓ - condição de contorno do fluido s
tΓ - condição de contorno do sólido em termos de força
suΓ - condição de contorno do sólido em termos de deslocamento wpΓ - condição de contorno do fluido em termos da poropressão ww&Γ - condição de contorno do fluido em termos da velocidade da
água relativo ao sólido η - razão de tensão
fη - coeficiente do módulo plástico - modelo P-Z
Uη - coeficiente do módulo plástico - modelo P-Z ϕ - função homogênea de incrementos de deformação e de tensão
iκ - parâmetro de endurecimento total
iκ ′ - parâmetro de endurecimento efetiva
κ′ - vetor de parâmetros de endurecimento efetiva λ - escalar positivo λ - constante de Lamé μ - constante de Lamé ν - coeficiente de Poisson π 3.1415... θ - ângulo de Lode ρ - massa específica total (meio poroso)
aρ - massa específica do ar
sρ - massa específica do sólido
wρ - massa específica da água
wρ& - variacão temporal da massa específica da água σ - tensão total
ijσ - tensor de tensão total
vσ - tensão vertical total
321 ,, σσσ - tensões principais totais, ( 321 σσσ >> )
σ ′ - tensão efetiva
aσ ′ - tensão axial efetiva
mσ ′ - tensão efetiva média
rσ ′ - tensão radial efetiva
vσ ′ - tensão vertical efetiva
0vσ ′ - tensão vertical efetiva inicial
321 ,, σσσ ′′′ - tensões principais efetivas, ( 321 σσσ ′>′>′ )
c3σ ′ - tensão de confinamento efetiva
SS3σ ′ - tensão principal efetiva menor na condição de estado permanente
03σ ′ - tensão efetiva principal menor inicial
ijσ ′ - tensor de tensão efetiva
σ - vetor de tensão total σ′ - vetor de tensão efetiva
eσ′ - vetor de tensão efetiva devido a deformação elástica σ - vetor de tensão total - plano triaxial qp :′
σ′ˆ - vetor de tensão efetiva - plano triaxial qp :′ σ vetor de tensão nodal a nível local
0σ - vetor de tensão nodal inicial a nível local
0~σ - vetor de tensão nodal inicial a nível global - análise estática τ - tensão cisalhante (no plano de cisalhamento)
0τ - tensão cisalhante inicial ω - freqüência da aceleração
0ω - freqüência fundamental não amortecida
Ω - dominio ξ - razão do amortecimento do solo ξ - deformação plástica de desvio acumulada ψ - parâmetro de estado ψ ′ - inclinação da linha de estado permanente
Lψ ′ - inclinação da superfície da iniciação de ruptura por fluxo por liquefação
Ψ - função da lei de endurecimento
SΨ - vetor de força nodal desequilibrada do sistema
( )sΨ - vetor de força nodal desequilibrada devido ao sólido a nível global
( )wΨ - vetor de força nodal desequilibrada devido ao fluido a nível global
ζ - coeficiente do módulo plástico - modelo P-Z
Paciencia y buen humor.
Don Max.
Há homens que lutam um dia e são bons, há outros que lutam um ano e são melhores, há os que lutam muitos anos e são muito bons, mas há os que lutam toda a vida e estes são imprescindíveis.
Bertold Brecht.
1 Introdução
1.1 Aspectos gerais
Mudanças do comportamento mecânico de maciços de solo devido à
aplicação de carregamentos monotônicos ou dinâmicos são responsáveis por
danos significativos ocorridos em geoestruturas, tais como em barragens, aterros,
encostas, estruturas de contenção, fundações, etc. Neste sentido, a ocorrência de
um fenômeno denominado liquefação de solos [Hazen, A., 1920] em materiais
saturados como areias [Castro, G., 1975] ou em areias com matriz fina de pouca
ou nula plasticidade ([Finn, W.D.L., et al., 1994], [Singh, S., 1994], [Puri, V.K., et
al., 1996], [Lade, P.V.; Yamamuro, J.A., 1997]) representa um tipo freqüente de
resposta dinâmica desastrosa de solos.
Comumente o fenômeno da liquefação manifesta-se em depósitos de solos
suscetíveis1 submetidos a ondas cisalhantes propagadas durante um terremoto. No
movimento sísmico a duração da aplicação de cada ciclo de carregamento é muito
pequena em comparação com o tempo necessário para que ocorra algum tipo de
drenagem (prevalece a condição não-drenada) e a tendência deste material em
diminuir de volume (comportamento contrativo) durante ciclos de cisalhamento é
então refletida no incremento progressivo da poropressão [Seed, H.B.; Lee, K.L.,
1966]. Este efeito acumulativo produz uma redução continua da tensão de
confinamento efetiva, e conseqüentemente, uma diminuição na resistência ao
cisalhamento do material.
Se durante o intervalo de duração do terremoto, a poropressão aumentar até
um valor igual ao da tensão de confinamento, a tensão efetiva atuante no
esqueleto sólido (sólido), é reduzida a zero e o material perde então a sua
resistência. Dito de outra forma, o material sofre um processo de liquefação,
1 Em solos argilosos, solos granulares secos e solos granulares densos saturados não se
esperam significativa perda de resistência devido ao fenômeno da liquefação.
39
comportando-se como um líquido viscoso, com a ocorrência de grandes
deformações que podem dar origem a diversos mecanismos de ruptura. Alguns
acontecimentos catastróficos, envolvendo rupturas de barragens [Seed, H.B., et
al., 1975], colapso de pontes [Ross, G., et al., 1969], deslizamento de taludes
[Keefer, D., 1984], etc., representam tipos de possíveis efeitos decorrentes da
liquefação de solos.
Com base no tipo do carregamento aplicado, o fenômeno pode ser
classificado em: (1) liquefação dinâmica e (2) liquefação monotônica ou estática.
A liquefação dinâmica acontece quando o carregamento aplicado é do tipo cíclico
ou dinâmico [Robertson, P.K.; Wride, C.E., 1998], enquanto que se o
carregamento for monotônico este fenômeno na literatura é conhecido como
liquefação monotônica ou estática [(Kramer, S.L.; Seed, H.B., 1988), (Yamamuro,
J.A.; Lade, P.V., 1997), (Olson, S.M., et al., 2000)].
De acordo com o mecanismo de ruptura observado, definem-se também as
seguintes duas situações: (1) fluxo por liquefação e (2) mobilidade cíclica
([Casagrande, A., 1975], [Castro, G., 1975], [Seed, H.B., 1976], [Ishihara, K.,
1993]). Colapsos causados por fluxo por liquefação são freqüentemente
caracterizados por movimentos rápidos e acompanhados de grandes deformações,
enquanto que na mobilidade cíclica observa-se um gradual desenvolvimento de
deformações cíclicas acumulativas2.
Sob o ponto de vista histórico, os danos catastróficos provocados por dois
sismos ocorridos no início do século XX (Kwanto, no Japão, em 1923, e Santa
Bárbara, nos EUA, em 1925) foram os principais fatores que motivaram o início
da realização de estudos sobre liquefação e seus mecanismos. Estes desastres, sob
perspectiva histórica, marcaram a introdução das considerações de efeitos
dinâmicos em projetos da engenharia geotécnica [Mononobe, N., 1925] bem
como o início das primeiras pesquisas em dinâmica de solos. No entanto, apenas 4
décadas mais tarde, em 1964, com a ocorrência de devastadores terremotos em
Niigata, no Japão, figura 1.1, e no Alaska, EUA, figura 1.2, é que finalmente se
constatou a necessidade urgente de se estabelecerem metodologias de análises
mais adequadas, confiáveis e realistas para previsão das respostas dinâmicas de
2 Seed, H.B. [Seed, H.B., 1976] inicialmente denominou este comportamento como
liquefação cíclica.
40
solos sob excitação sísmica [Marcuson III, W.F., et al., 2007]. A partir de então,
numerosos estudos foram desenvolvidos, tanto na área experimental como na
numérica, documentados em várias publicações da literatura ([Ishihara, K., 1995],
[Kramer, S.L., 1996], [Lade, P.V.; Yamamuro, J.A., 1999], [Jefferies, M.; Been,
K., 2006], dentre outros).
Figura 1.1 - Liquefação do solo de fundação em Niigata, Japão, 1964, causando colapso do conjunto habitacional Kawagishi-cho [Earthquake Engineering Research Center, University of California, Berkeley, USA].
Figura 1.2 - Liquefação do solo no terremoto Good Friday, Alaska - EUA, 1964, causando grandes movimentos de massas [Earthquake Engineering Research Center, University of California, Berkeley, USA].
41
O estudo da liquefação de solos trata de um problema particular da dinâmica
de meios porosos, onde se analisa o comportamento dinâmico de sistemas ou de
fases acopladas (sólido-fluido). Em termos gerais, a análise inicia-se com uma
adequada representação das fases do solo através da utilização da formulação da
mecânica dos meios contínuos ([Biot, M.A., 1955], [Malvern, L.E., 1969],
[Prévost, J.H., 1980]), pela qual o comportamento dos materiais pode ser definido
em função de equações diferenciais parciais conhecidas como equações
governantes ([Bear, J., 1972], [Astarita, G.; Marrucci, G., 1974], [Slattery, J.C.,
1999], [Bird, R.B., et al., 2002]). O comportamento de cada fase e as interações
entre elas resultam no acoplamento dessas equações ([Lewis, R.W.; Schrefler,
B.A., 1987], [Prevost J.H., 1993], [Zienkiewicz, et al., 1999], [Li, X.;
Zienkiewicz, O.C., 1992], [Schrefler, B.A., 2004], [Chen, Z., et al., 2006]) que
devem ainda atender a condições de contorno e iniciais apropriadas.
Geralmente, os sistemas de equações governantes não apresentam solução
analítica, o que leva à necessidade do emprego de métodos numéricos, como o
método dos elementos finitos, dos elementos de contorno, dos elementos discretos
e das diferenças finitas, principalmente. Em uma modelagem numérica, os
seguintes pontos devem ser cuidadosamente considerados [Pastor, M., et al.,
2000]: (1) formulação matemática (equações governantes) para descrição
apropriada do fenômeno investigado; (2) adequadas equações constitutivas para
os materiais envolvidos; (3) um procedimento de discretização espacial e temporal
das equações governantes, tendo em vista o cálculo de uma resposta numérica
aproximada.
A formulação matemática para o caso especifico da liquefação em meios
porosos saturados, requer que sejam escritas: (a) equações de movimento da
mistura sólido-fluido; (b) equações de movimento do fluido; (c) equações de
continuidade do fluido; (d) principio das tensões efetivas; (e) equações
constitutivas dos materiais. Este sistema de equações governantes, na forma
discreta, é conhecido como equações de Biot-Zienkiewicz.
Como as equações de movimento (ou equilíbrio) e de continuidade (ou
conservação de massa) são obtidas independentemente do comportamento do
material, a completa descrição do fenômeno requer equações constitutivas que
representem o comportamento das fases do material perante solicitações externas.
As equações constitutivas adotadas, chamadas também de modelos constitutivos,
42
devem ter capacidade de reproduzir os dois tipos de ruptura característicos na
liquefação de solos (fluxo por liquefação e mobilidade cíclica) e, adicionalmente,
devem também considerar as variações da resistência efetiva do solo com as
variações de poropressão.
O princípio das tensões efetivas [Terzaghi K., 1936] é utilizado para
estabelecer em solos saturados uma relação entre poropressões no fluido e tensões
(efetivas) no sólido, podendo ser estendido para uma condição de saturação
parcial [Lewis, R.W.; Schrefler, B.A., 1998]. Uma discussão da aplicabilidade
numérica do princípio das tensões efetivas pode ser encontrada em Zienkiewicz
[Zienkiewicz, O.C., et al., 1999].
Importantes avanços no desenvolvimento de modelos constitutivos para
liquefação de solos foram feitos com o objetivo de mais bem representar os
efeitos de carregamentos cíclicos. Com base na teoria da plasticidade,
mencionam-se aqui, por exemplo, os modelos de superfícies aninhadas (nested
surfaces) proposto por Mroz [Mroz, Z., et al., 1981], de superfícies limites
(bounding surfaces) sugerido por Dafalias [Dafalias, Y.F.; Hermann, L.R., 1986],
de superfícies de sub-carregamento (subloading surfaces) sugerido por
Hashiguchi [Hashiguchi, K., 1989] e a teoria da plasticidade generalizada
desenvolvido por Zienkiewicz [Zienkiewicz, O.C.; Mroz, Z., 1984], dentre outros.
Outros modelos inelásticos, tais como os baseados na teoria endocrônica ([Bazant,
Z.P.; Krizet, R. J., 1976], [Valanis, K.C., 1971]), teoria da hipoplasticidade
([Romano, M., 1974], [Bardet, J.P., 1990]), modelo linear equivalente [Seed,
H.B.; Idriss, I.M., 1970], modelo hiperbólico-histerético [Martin, G.R., et al.,
1975] são também utilizados em simulações numéricas de problemas da dinâmica
dos solos. Uma descrição detalhada de modelos constitutivos para solos
submetidos a carregamentos transientes pode ser obtida em Pande [Pande, G.;
Zienkiewicz, O.C., 1982].
Nesta tese, o procedimento numérico adotado para a discretização das
equações diferenciais governantes é o método dos elementos finitos (MEF),
através da técnica de Galerkin para a discretização espacial e a técnica das
diferenças finitas para a discretização temporal (esquema de integração temporal
explicito proposto por Newmark, chamado também de esquema de Newmark). O
processo de discretização no espaço independentemente do tempo é conhecido
43
como semi-discretização ([Hughes, T.J.R.; Belytschko, T., 1983], [Zienkiewicz,
O.C.; Morgan, K., 1983]).
A discretização espacial das equações governantes, inicialmente proposta
por Biot, considera três variáveis: deslocamento do sólido, velocidade do fluido
relativo ao sólido e poropressão. Esta formulação é chamada de formulação geral
ou formulação completa ou formulação u-w-p ([Zienkiewicz, O.C., et al., 1999],
[Jeremic, B., et al., 2006]).
Embora a consideração das 3 variáveis possa ser adequada quando em
associação com um esquema explícito de solução no tempo, é no entanto na
maioria das vezes conveniente empregar a formulação simplificada ou
formulação u-p, que produz resultados bastante próximos aos calculados com a
formulação geral ([Chan, A.H.C., 1988], [Zienkiewicz, O.C., et al., 1990],
[Zienkiewicz, O.C., et al., 1999], [Parra-Colmenares, E.J., 1996], dentre outros)
com menor esforço computacional quando associada com esquemas temporais
implícitos (incondicionalmente convergentes). A desconsideração da velocidade
do fluido é aparentemente pouco significativa para o caso de movimentos
dinâmicos de baixa freqüência. Uma análise da validade desta simplificação,
considerando carregamentos de baixa e alta freqüência, está apresentada em
Zienkiewicz [Zienkiewicz, O.C., et al., 1990].
Comumente a utilização de procedimentos numéricos para a análise de
liquefação de solos não é adotada na prática, seja pela complexidade na
determinação dos parâmetros do modelo constitutivo, que requer ensaios de
laboratório especiais, seja pela pouca familiaridade do engenheiro geotécnico com
o método de solução e com os modelos constitutivos incorporados em programas
computacionais. Assim, pode-se diferenciar o estado da prática e o estado de
arte. No primeiro, considera-se a aplicabilidade de procedimentos plenamente
aceitos pela comunidade de engenharia, enquanto que no segundo avança-se com
o estado atual de conhecimentos através da investigação de pesquisas numéricas e
experimentais, geralmente no âmbito acadêmico.
O estado da prática para a avaliação da ocorrência da liquefação em solos
saturados utiliza critérios para separadamente: (1) estabelecer condições de início
da liquefação com o emprego de critérios de suscetibilidade; (2) determinar o
potencial de ocorrência da liquefação através do cálculo de um fator de segurança
obtido pela aplicação de métodos de equilíbrio limite (métodos quase-estáticos);
44
(3) estimar deslocamentos permanentes através de técnicas baseadas na analogia
do bloco deslizante proposto por Newmark [Newmark, N.M., 1965]. Este
conjunto de análises é inteiramente independente entre si e, embora simples e
rápidas, pode por vezes levar a valores de acelerações e deslocamentos não-
confiáveis [Byrne, P.M., et al., 2003].
O estado de arte envolve análises dinâmicas mais sofisticadas em termos de
tensões efetivas, com previsão do comportamento do sólido e do fluido. O início
da liquefação, os deslocamentos permanentes e a ruptura devida a fluxo por
liquefação são consideradas numa única análise através do acoplamento das
diversas variáveis presentes nas equações governantes. Segundo diversos autores
([Prevost, J.H., 1985], [Finn, W.D.L., et al., 1989], [Chan, A.H.C., 1995], [Byrne,
P.M., et al., 2003]), a análise acoplada permite acompanhar o desenvolvimento da
liquefação da mesma forma com que é observada em ensaios de laboratório, com
precisão dependente dos modelos constitutivos considerados. Análises acopladas
para situações de carregamentos dinâmicos podem ser executadas nos seguintes
programas computacionais, comercialmente disponíveis: DYNAFLOW [Prevost,
J.H., 1981], DIANA3 [Kawai, T., 1985], FLAC4 ([Cundall, P.A.; Board, M.A.,
1988], [Itasca Consulting Group, 2005]), TARA-3 ([Finn, W.D.L., et al., 1986],
[Finn, W.D.L., et al., 1989]), DIANA-SWANDYNE II5 (Chan, A.H.C., 1995),
OpenSees6 (desenvolvido pelo PEERC7), dentre os principais.
1.2 Motivação e objetivo
O objetivo principal desta tese é a modelagem numérica da liquefação
dinâmica de solos, avaliando-se os efeitos da variação da poropressão sob ação de
carregamentos sísmicos. A modelagem é feita com base no MEF, implementado
em um programa de computador escrito em linguagem FORTRAN, desenvolvido
3 DIANA: Dynamic Interaction Approach and Nonlinear Analysis. 4 FLAC: Fast Lagrangian Analysis of Continua. 5 DIANA-SWANDYDNE II: Dynamic Interaction And Nonlinear Analysis – SWANsea
DYNamic vErsion II. 6 OPEN SEES: The Open System for Earthquake Engineering Simulation. 7 PEERC: Pacific Earthquake Engineering Research Center
45
especialmente para esta pesquisa. Na formulação do MEF foi utilizada a técnica
de Galerkin para discretização espacial, o esquema de Newmark para a
discretização temporal e o modelo constitutivo Pastor-Zienkiewicz, ou modelo P-
Z, para representação do comportamento dinâmico tensão-deformação do sólido,
com base na teoria da plasticidade generalizada. Esta teoria, inicialmente proposta
por Zienkiewicz [Zienkiewicz, O.C.; Mroz, Z., 1984] e depois adaptada para
comportamento dinâmico de solos por Pastor [Pastor, M., et al., 1990], representa
uma generalização da teoria da plasticidade infinitesimal tradicional para casos de
carregamentos monotônicos, sem necessidade da definição prévia das funções
correspondentes às superfície de escoamento e do potencial plástico.
O movimento de expansão ou contração das superfícies de escoamento ou
do potencial plástico é unicamente definido pelos vetores unitários normais às
superfícies, dependentes das trajetórias de tensão durante cada ciclo: (1)
carregamento; (2) descarregamento e (3) recarregamento. Esta importante
característica torna menos complicada a implementação numérica do modelo
constitutivo, sem a necessidade de serem aplicados algoritmos de retorno de
tensão (método preditor-corretor), utilizados para verificação do estado de tensão
atual em relação à superfície de escoamento, visto que a matriz constitutiva elasto-
plástica não depende das superfícies de escoamento e do potencial plástico.
Nesta tese os parâmetros elásticos do modelo P-Z foram considerados
dependente da tensão de confinamento efetiva ([Gutierrez, M.,; Verdugo, R.,
1995] e [Cárdenas, J.L., et al., 2004]) e um novo procedimento, em relação àquele
proposto por Zienkiewicz [Zienkiewicz, O.C., et al., 1999], foi implementado. No
procedimento original as variáveis primárias do sistema de equações são as
acelerações do sólido e a taxa de variação da poropressão no fluido, enquanto que
a alternativa proposta neste trabalho estabelece uma equação similar à equação de
equilíbrio para problemas estáticos, tendo como incógnitas os deslocamentos do
sólido e a poropressão no fluido, calculados diretamente e com maior eficiência
computacional.
46
1.3 Organização da tese
A presente tese compõe-se de sete capítulos, de referências bibliográficas,
anexos e apêndices. No capítulo 2 apresentam-se os conceitos básicos da
liquefação de solos, estabelecendo-se diferenças entre a ocorrência de fluxo por
liquefação e por mobilidade cíclica. Aspectos sobre o comportamento não-
drenado de areias saturadas, bem como sobre os mecanismos de iniciação e
critérios de suscetibilidade à liquefação de solos, são também apresentados e
discutidos.
O capitulo 3 faz uma revisão histórica sobre o desenvolvimento dos
modelos constitutivos para aplicações dinâmicas, com destaque especial para uma
descrição detalhada da teoria da plasticidade generalizada em areia,
especificamente o modelo P-Z, enquanto que o capítulo 4 é dedicado ao estudo
das equações de Biot-Zienkiewicz utilizadas em problemas de interação dinâmica
sólido-fluido.
O capítulo 5 trata sobre a metodologia utilizada para solucionar
numericamente as equações de equilíbrio dinâmico, com base em discretização
pelo MEF. A formulação do problema através da técnica de Galerkin é discutida,
bem como o esquema de Newmark para sistemas acoplados (sólido-fluido). O
capítulo termina com a apresentação, na forma vetorial, do sistema discreto de
equações governantes, previamente linearizadas.
O capítulo 6 é dedicado a validações do código computacional
desenvolvido nesta tese, comparando-se os resultados numéricos com valores
obtidos através de soluções analíticas ou outras soluções numéricas aproximadas
disponíveis na literatura, enquanto que o capítulo 7 apresenta as conclusões finais
do trabalho e sugestões para pesquisas futuras na modelagem da liquefação
monotônica (estática) ou dinâmica de solos.
O anexo A descreve um método simplificado para avaliação do potencial
da liquefação de solos, o anexo B apresenta uma proposta para a descrição das
equações governantes na formulação u-p para condição de solo não-saturado e o
anexo C contém um diagrama de blocos sumarizando os procedimentos adotados
no código computacional.
47
Finalmente, nos apêndices são mostrados gráficos das histórias dos
deslocamentos, velocidades e acelerações, elaborados a partir dos resultados das
análises dinâmicas efetuadas no capítulo 6.
1.4 Notação utilizada
Nesta tese as formulações foram expressas com base na notação vetorial,
com utilização de letras maiúsculas, gregas ou romanas, em negrito para
representação de matrizes e minúsculas para vetores. Foi adotada também a
notação de Voigt que permite escrever tensores de segunda ordem através de
vetores e tensores de quarta ordem, como o tensor constitutivo, através de
matrizes.
Na dedução das equações discretizadas do elemento finito foi utilizada a
notação indicial. Para representação dos valores de uma variável em determinados
intervalos de tempo, foram utilizados subscritos como indicação destes intervalos,
enquanto que em processos iterativos para representação dos valores de uma
variável em determinada iteração foram utilizados superescritos como indicação
das iterações.
2 Fundamentos teóricos da liquefação de solos
2.1 Aspectos gerais
A história registra ao longo do tempo inúmeros casos de rupturas
catastróficas de maciços de solos com consideráveis prejuízos econômicos, perdas
de vidas humanas e danos ao meio ambiente causados pela liquefação de solos.
Uma característica comum nestes casos é que os materiais nos locais dos desastres
poderiam ser considerados como solos arenosos ou arenosos com matriz siltosa de
baixa ou nula plasticidade, considerados como fofos em sistemas de classificação
baseados no número de golpes do ensaio de penetração estandár ou SPT
(Standard Penetration Test) ou do ensaio de penetração de cone ou CPT (Cone
Penetration Test) ([Douglas, B.J.; Olsen, R.S., 1981], [Robertson, P.K., 1990]) ou
nos valores de densidade relativa [Durham, G.N.; Townsend, F.C., 1973]. Uma
revisão sobre os tipos de solo suscetíveis à liquefação está apresentada em Seed,
R.B. [Seed, R.B., et al., 2003].
Acontecimentos ocorridos, tais como colapsos de fundações de barragens
[Seed, H.B., et al., 1975a], movimentos bruscos de taludes naturais [Keefer, D.,
1984], recalques severos de edificações e pontes [Ross, G., et al., 1969] e
flutuações de fundações [Kawasumi, H., 1968], representam exemplos de rupturas
causadas por liquefação. Algumas dessas rupturas foram desencadeadas por
carregamentos cíclicos, denominadas de liquefação cíclica [Robertson, P.K.;
Wride, C.E., 1998] e outras por um aumento monotônico do carregamento,
denominadas liquefação monotônica ou estática ([Kramer, S.L.; Seed, H.B.,
1988], [Yamamuro, J.A.; Lade, P.V., 1997], [Olson, S.M., et al., 2000]). A
distinção devido ao carregamento aplicado é bem referenciada na literatura por
distintos autores ([Vaid, Y.P.; Chern, J.C., 1985], [Hyodo, M., et al., 1994],
[Yamamuro, J.A.; Covert, K.M., 2001]).
Por outro lado, conforme ao mecanismo de ruptura, o fenômeno de
liquefação pode ser subdividido em dois grupos: fluxo por liquefação e
49
mobilidade cíclica ([Casagrande, A., 1975], [Castro, G., 1975], [Seed, H.B.,
1976], [Ishihara, K., 1993]).
2.2 Fenômeno da liquefação de solos
2.2.1 Definição
A liquefação é um fenômeno que ocorre pela diminuição da resistência
efetiva e da rigidez dos solos sob ação de forças externas cíclicas ou monotônicas.
Esse fenômeno manifesta-se geralmente em depósitos suscetíveis de materiais
saturados que, submetidos a tensões cisalhantes, apresentam tendência de
contração de volume. Como os poros do solo encontram-se totalmente
preenchidos por água, e o tempo necessário para drenagem é comparativamente
maior do que o tempo de aplicação do carregamento, esta tendência de contração
de volume na condição não-drenada corresponde a um aumento do valor da
pressão do fluido presente nos poros do solo.
Se durante o carregamento a poropressão aumenta gradualmente até um
valor igual ao da tensão de confinamento, a tensão efetiva ou inter-granular
atuante no esqueleto do material é reduzida a zero e, em conseqüência, o material
perde completamente sua resistência ao cisalhamento, comportando-se como
líquido viscoso. Uma característica importante deste fenômeno é que este tipo de
ruptura ocorre em certas regiões da massa de solo e não apenas ao longo de uma
determinada superfície de ruptura.
2.2.2 Fluxo por liquefação e mobilidade cíclica
Com base nas observações do mecanismo de ruptura por liquefação, tanto
em laboratório como em campo, o fenômeno da liquefação foi dividido em dois
grupos: fluxo por liquefação e mobilidade cíclica [Casagrande, A., 1971]. De
modo geral, fluxo por liquefação (ou comumente, apenas liquefação) designa o
fenômeno que apresenta surgimento progressivo de altas poropressões no interior
do material até a ocorrência da ruptura com presença de grandes deformações,
enquanto que mobilidade cíclica indica casos de ruptura com deformações
progressivas.
50
Kramer [Kramer, S.L., 1996] aponta Hazen [Hazen, A., 1920] como o
primeiro investigador a utilizar o termo liquefação para explicar a ruptura da
barragem de Calaveras na Califórnia, em 1918, enquanto que a terminologia
mobilidade cíclica foi introduzida mais tarde por Casagrande [Casagrande, A.,
1971] para denominar as respostas diferenciadas observadas em amostras de solos
arenosos submetidas a carregamentos cíclicos em laboratório.
A diferença entre fluxo por liquefação e mobilidade cíclica pode ser
melhor compreendida através da figura 2.1. A figura apresenta resultados de
ensaios triaxiais em amostras de areia saturada, considerando como eixos o índice
de vazios, e , e a tensão principal efetiva menor, 3σ ′ . A linha de estado
permanente ou SSL (Steady State Line) representa os estados de tensão sob os
quais o solo pode-se deformar tanto sob volume e tensões constantes. Sobre esta
linha acha-se indicado o ponto M, que se refere ao estado de areia movediça, onde
o solo perdeu completamente sua resistência sem tendência de contrair ou dilatar
seu volume. Nesta condição os grãos de areia não estão mais em contato
permanente entre si.
Figura 2.1 - Ensaios triaxiais não-drenados em amostra de areia saturada [Castro, G.; Poulos, S.J., 1977].
Fluxo por liquefação, de acordo com a figura 2.1, é o resultado da ruptura
não-drenada de uma amostra de areia fofa (tendência de contração de volume),
com carregamento iniciando num estado de tensão (tensão principal efetiva menor
e
3σ′
Fluxo por Liquefação
Carregamento monotônico
SSL
Fluxo a volumeconstante
B
Solos Contrativos(Fofos)
Solos Dilatantes (Densos)
03σ ′ 03σ ′
Mobilidade Cíclica
A
D
C
M
SS3σ ′
SSe
51
inicial, 03σ ′ ) localizado no ponto C, acima da SSL, e terminando no ponto A,
sobre a SSL (volume e tensão principal efetiva menor constante, SSe e SS3σ ′ ),
onde permanecerá enquanto continuar o escoamento.
No caso da mobilidade cíclica, considere o carregamento monotônico de
uma areia densa saturada com comportamento dilatante sob condição não-drenada
iniciando o carregamento a partir do ponto D. A correspondente trajetória poderá
mover-se levemente para a esquerda, no início, mas então se deslocará
horizontalmente para a SSL à medida que o carregamento monotônico aumentar.
Se, por outro lado, no ponto D for aplicado um carregamento cíclico,
comportamento que pode também ser observado no mesmo gráfico, o ponto se
movimentará horizontalmente para a esquerda porque o índice de vazios da
amostra se mantém constante (condição não-drenada) e a poropressão crescerá
devido ao carregamento cíclico. O valor desta poropressão dependerá da
intensidade do carregamento cíclico, do número de ciclos e do tipo de ensaio,
dentre outros fatores, mas eventualmente, e de forma seqüencial devido ao ciclo
de carregamento, o ponto B poderá ser atingido, ocorrendo gradualmente
sequências de liquefação sempre que 03 =′σ . Durante este processo de
carregamento, grandes deformações acumuladas podem aparecer, dizendo-se
então que a amostra de areia desenvolveu mobilidade cíclica.
Evidências de laboratório demonstram, no caso da mobilidade cíclica, a
existência de uma redistribuição do índice de vazios da amostra de solo,
aumentando no topo e decrescendo na base da amostra. A linha horizontal DB
representa uma condição média dos índices de vazios durante o ensaio. Durante
este tipo de ruptura, as deformações tornam-se progressivamente maiores à
medida que mais ciclos de carregamento são aplicados, e durante cada ciclo a
poropressão torna-se igual à tensão de confinamento quando a tensão de desvio é
nula, decaindo em seguida quando carregamentos de compressão ou de extensão
forem aplicados.
Logo, para amostras de areia saturada localizadas acima da SSL, poderá
ocorrer fluxo por liquefação se o carregamento aplicado, seja monotônico ou
cíclico sob condição não-drenada, for suficientemente grande para que a SSL seja
atingida. Quanto mais à direita o ponto inicial C estiver, maiores serão as
deformações associadas com o fenômeno da liquefação; se o ponto estiver
52
localizado acima de M, a resistência residual após a liquefação será nula. Para
amostras de areia saturada localizadas abaixo da SSL, com tendência de
comportamento dilatante, o ponto inicial D movimenta-se inicialmente para a
esquerda e logo para a direita se o carregamento for monotônico, e para a
esquerda se o carregamento aplicado for cíclico. Se o número de ciclos e a
amplitude dos mesmos forem suficientemente grandes, dentre outros fatores,
poderá ser atingido o ponto onde o acréscimo de poropressão torna-se igual à
tensão de confinamento efetiva inicial, provocando deformações do material,
porém sem perda significativa de resistência, como ocorre no fluxo por
liquefação. Seed, H.B. [Seed, H.B.; Lee, K.L., 1966] definiu este ponto como de
liquefação inicial, terminologia que erroneamente induz a idéia de que fluxo por
liquefação pode acontecer tanto em solos densos quanto fofos.
De acordo com o exposto, fluxo por liquefação somente poderá ocorrer em
areias saturadas fofas, sob carregamentos monotônicos ou dinâmicos que
provoquem tensões cisalhantes na massa de solo, como em taludes, sob as
fundações de edificações ou nas vizinhanças de uma estrutura enterrada mais leve
do que o solo escavado. Para um dado índice de vazios, a suscetibilidade de
liquefação aumenta com a tensão de confinamento e com as tensões cisalhantes
geradas pelo carregamento.
Mobilidade cíclica pode ser induzida em laboratório mesmo para areias
bastante densas, onde a resistência à mobilidade cíclica, para um dado valor do
índice de vazios, aumenta com a tensão de confinamento. Considera-se resistência
à mobilidade cíclica como a tensão de desvio necessária para produzir certa
deformação sob determinado número de ciclos. De acordo com alguns autores
([Castro, G., 1975], [Castro, G.; Poulos, S.J., 1977]) as deformações resultantes da
mobilidade cíclica em amostras de laboratório decorrem principalmente da
redistribuição dos vazios durante o carregamento cíclico.
Finalmente, é necessário comentar alguns aspectos sobre a SSL e a linha
de estado crítico ou CSL (Critical State Line) devido a dúvidas e discussões se
ambas as linhas são coincidentes ou não ([Casagrande, A., 1975], [Poulos, S.J.,
1981], [Sladen, J.A., et al., 1985], [Alarcon-Guzman, A., et al., 1988]). A SSL é
obtida para areias fofas (contrativas) sob solicitação não-drenada em ensaios
triaxiais de tensão controlada [Poulos, S.J., 1981], enquanto que a CSL é
geralmente obtida em ensaios com areias densas (dilatantes) sob solicitação
53
drenada em ensaios de deformação controlada (inicialmente idealizada para
argilas) [Schofield, A.N.; Wroth, C.P., 1968]. De acordo com Been [Been, K., et
al., 1991], após análise dos resultados de um extenso programa de ensaios
triaxiais drenados e não-drenados em areias, a SSL e a CSL são realmente
coincidentes e independentes das trajetórias de tensões.
Cabe ressaltar que a CSL é utilizado nos conhecidos modelos de estado
crítico [Schofield, A.N.; Wroth, C.P., 1968], como no modelo Cam Clay
Modificado [Roscoe, K.H.; Burland, J.B., 1968], para estudo do comportamento
mecânico de areias e argilas normalmente adensadas,
2.3 Comportamento dinâmico não-drenado de areias saturadas
Durante um terremoto, a propagação de ondas cisalhantes no interior de
uma camada de solo arenoso gera tensões cisalhantes dinâmicas [Seed, H.B.;
Idriss, I.M., 1982]. Se este material for saturado, excessos de poropressões podem
ser gerados com diminuição das tensões efetivas, dependendo do comportamento
dinâmico do solo.
De acordo com vários autores ([Castro, G., 1975], [Seed, H.B., 1976],
[Ishihara, K., 1993]), um solo arenoso saturado, sob um carregamento transiente
(dinâmico ou monotônico), pode experimentar dois possíveis comportamentos
dinâmicos: contrativo e dilatante, que dependerão fundamentalmente de dois
parâmetros de estado: compacidade inicial e estado de tensão atuante.
Para estudar este comportamento dinâmico da areia considere-se um
material arenoso submetido a um ensaio de cisalhamento cíclico em condições
não-drenadas. Inicialmente, durante o processo de aplicação do carregamento, a
estrutura interna do material experimentará um comportamento similar à
densificação, com uma tendência de reordenação das partículas sólidas em busca
de uma maior compacidade (tendência contrativa). A pressão no fluido (água)
presente nos poros do material (poropressão) incrementará gradualmente,
produzindo uma perda paulatina de tensão efetiva e da resistência ao cisalhamento
do sólido. Este comportamento é típico de areias fofas. Por outro lado, se durante
esse mesmo carregamento, a areia sofrer uma nova acomodação dos grãos, com
uma redistribuição dos vazios e uma equalização das poropressões, o material
54
poderá apresentar uma recuperação de sua resistência, com uma mudança da
tendência contrativa para a dilatante. Esta mudança repentina para comportamento
dilatante em areias fofas dependerá do estado de tensão e da amplitude do
carregamento atuante.
Com base nos resultados de ensaios de cisalhamento cíclico não-drenado em
areias do rio Fraser [Byrne, P.M., 2005], serão explicados os comportamentos
dinâmicos apresentados nas figuras 2.2, 2.3 e 2.4, correspondentes a três amostras
(M1, M2 e M3) para diferentes valores da razão de tensão cíclica ou CSR (Cyclic
Stress Ratio), definida como a razão entre a amplitude da tensão cisalhante cíclica
e a tensão vertical efetiva inicial. Na parte (a) de cada figura apresenta-se um
gráfico que relaciona a tensão vertical efetiva, vσ ′ , com a tensão cisalhante, τ , e
na parte (b) de cada figura observa-se o incremento da poropressão normalizada,
0vwp σδ ′ , em relação ao número de ciclos de carregamento, CN . Uma descrição
detalhada da execução dos ensaios dinâmicos de liquefação pode ser consultada
em Prakash [Prakash, S., 1981] ou Ishihara [Ishihara, K., 1995],
A figura 2.2 apresenta as respostas do ensaio da amostra M1 com densidade
relativa, rD , de 44,0 , tensão vertical efetiva inicial, 0vσ ′ , de kPa200 , e
amplitude da tensão cisalhante cíclica 008,0 vσ ′ (ou com 08,0=CSR ). De acordo
com a figura 2.2, passados os primeiros 30 ciclos de carregamento, o
comportamento dinâmico da amostra é totalmente contrativo e de ciclo para ciclo
se produz uma gradual perda da tensão efetiva. A taxa de crescimento da
poropressão é inicialmente rápida, apresentando em seguida um longo trecho com
taxa de crescimento constante para, finalmente, crescer de forma rápida
novamente para altos valores da poropressão normalizada, 0vwp σδ ′ . A areia
apresenta uma modificação substancial no seu comportamento, observando-se um
repentino ciclo de variações da poropressão até a ocorrência da ruptura do
material.
A figura 2.3 apresenta as respostas do ensaio da amostra M2 com
80,0=rD , kPav 2000 =′σ e 25,0=CSR . A figura apresenta um comportamento
que, desde o início do ensaio, consiste no crescimento e recuperação da
poropressão em cada ciclo, de maneira similar à parte final do ensaio da amostra
M1, na figura anterior. Comparando as figuras 2.2 e 2.3 observa-se a influência da
55
densidade relativa na resposta dinâmica da areia, com a diferença do
comportamento de um mesmo material (areia saturada) sob duas densidades
relativas distintas, com o solo da amostra M2 (areia densa) oferecendo maior
resistência frente à ruptura cíclica.
τ
( )kPa
vσ ′ ( )kPa
(a)
0v
wpσδ′
CN
(b)
Figura 2.2 - Amostra M1 com 44,0=rD e 08,0=CSR . Resultados do ensaio de
cisalhamento cíclico não-drenado da areia do rio Fraser. (a) Curva τσ :v′ . (b) Curva
0: vwC pN σδ ′ , [Byrne, P.M., 2005].
56
τ
( )kPa
vσ ′ ( )kPa
(a)
0v
wpσδ′
CN
(b)
Figura 2.3 - Amostra M2 com 80,0=rD e 25,0=CSR . Resultados do ensaio de
cisalhamento cíclico não-drenado da areia do rio Fraser. (a) Curva τσ :v′ . (b) Curva
0: vwC pN σδ ′ , [Byrne, P.M., 2005].
A figura 2.4 mostra as respostas do ensaio da amostra M3 com 44,0=rD ,
kPav 2000 =′σ , 10,0=CSR . Nota-se que a única diferença neste ensaio em
relação ao da amostra M1 (figura 2.2) é a amplitude da tensão cisalhante cíclica
que, neste caso, é ligeiramente superior. Observam-se também outras
características que diferenciam a forma das trajetórias de tensão e da evolução da
geração de poropressão em ambos os ensaios, embora a liquefação tenha
novamente ocorrido. Verifica-se que o número de ciclos para a liquefação da
amostra M3 diminuiu, porém apresentando uma maior taxa de crescimento da
poropressão até a ruptura. Comparando-se os resultados das figuras 2.2 e 2.4,
constata-se que uma maior amplitude da tensão de cisalhamento cíclica produz
uma ruptura por liquefação com um menor número de ciclos.
57
τ
( )kPa
vσ ′ ( )kPa
(a)
0v
wpσδ′
CN
(b)
Figura 2.4 - Amostra M3 com 44,0=rD e 10,0=CSR . Resultados de ensaio de
cisalhamento cíclico não-drenado da areia do rio Fraser. (a) Curva τσ :v′ . (b) Curva
0: vwC pN σδ ′ , [Byrne, P.M., 2005].
Neste ponto cabe mencionar outro critério de ruptura para estabelecer
algumas diferenças nos comportamentos observados nas figuras anteriores 2.2 a
2.4. De acordo com Alarcon-Guzman [Alarcon-Guzman, A., et al., 1988], o
colapso do material por fluxo por liquefação pode ser identificado através da
interseção da trajetória de tensões efetivas (no plano: τσ :v′ ) com a trajetória de
tensões monotônicas ou MSP (Monotonic Stress Path), obtida em ensaio triaxial
sob carregamento monotônico. Tendo em vista os resultados apresentados e o
critério proposto por Alarcon-Guzman, pode-se concluir que a trajetória de
tensões efetivas da amostra M2 não interceptou a MSP correspondente, enquanto
que a liquefação observada na amostra M3 da figura 2.4 indica que ambas as
trajetórias neste caso se interceptaram.
58
Para densidades relativas altas, as areias dilatam-se desde o início dos
ensaios (figura 2.3) enquanto que para densidades relativas baixas o
comportamento é marcadamente contrativo. Neste último caso, à medida que a
tensão de confinamento efetiva for reduzindo-se para baixos valores, ocorrerá uma
alternância entre a contração e a dilatação nos últimos ciclos de carregamento
(figuras 2.2 e 2.4). Este comportamento pode ser mais bem compreendido
mediante a introdução do conceito da linha de transformação de fase ou PTL
(Phase Transformation Line) [Ishihara, K., 1975]. Esta linha reta é o lugar
geométrico dos pontos, no plano: τσ :v′ , que demarca o comportamento
contrativo e dilatante do material (figura 2.5).
O fato que uma areia densa apresente comportamento dilatante no ensaio
ou, caso contrário, que uma areia fofa experimente diminuição de volume, é
representado por uma PTL com pequena inclinação para altos valores da
densidade relativa e grande inclinação da baixos valores da densidade relativa. O
valor máximo que esta inclinação pode alcançar é o correspondente ao da SSL. As
duas linhas existem para valores positivos ou negativos da tensão de
cisalhamento, τ . No caso particular das amostras M2 e M3 (figuras 2.3 e 2.4),
suas representações podem ser observadas na figura 2.6.
Figura 2.5 - Trajetória das tensões típica num ensaio cisalhante cíclico. Plano: τσ :v′ .
vσ ′ 0vσ ′
τ
A
SSL PTL
MSP
59
τ
( )kPa
τ
( )kPa
vσ ′ ( )kPa vσ ′ ( )kPa
(a) (b)
Figura 2.6 - Linha de transformação de fase (PTL) e linha de estado permanente (SSL) nas amostras M2 (a) e M3 (b).
Assim, uma areia saturada na condição não-drenada submetida a
solicitações cíclicas experimenta uma diminuição da tensão efetiva. Neste
processo, a trajetória de tensões efetivas pode interceptar a MSP ou a PTL antes
de atingir a SSL. Se a trajetória de tensões efetivas interceptar a MSP antes da
PTL, se produz então o colapso do material por liquefação; caso contrário, se a
trajetória de tensões efetivas interceptar antes a PTL, então o comportamento da
poropressão, com crescimento gradual até este momento, passa a produzir ciclos
de alternância de perda e recuperação da tensão efetiva, cabendo distinguir dois
comportamentos distintos: (a) tendência de contração a cada ciclo, típica das
areias fofas, com a ocorrência da liquefação do material uma vez atingida a PTL;
(b) tendência de dilatação a cada ciclo, típica das areias densas, com a trajetória de
tensões indicando que o material apresenta uma maior capacidade de recuperação
de sua tensão efetiva em cada ciclo, comportamento conhecido como mobilidade
cíclica. A distância entre a PTL e a SSL é maior do que no caso onde o solo exibe
comportamento contrativo.
Outra maneira geral de se reconhecerem os diferentes comportamentos
dinâmicos de areias relaciona-se com os gráficos da figura 2.7 [Rauch, A.F.,
1997], onde são apresentadas as respostas de areias saturadas em ensaios triaxiais
não-drenados submetidos a carregamentos monotônicos e cíclicos. As respostas,
considerando o mesmo material na condição fofa (contrativo) e densa (dilatante),
60
são mostradas nas partes (a) e (b) onde também estão representados os valores das
tensões cisalhantes estáticas atuantes inicialmente. No caso de areias fofas
saturadas, amostras deste material tendem a compactar-se e devido à condição
não-drenada os valores de poropressão são incrementados. De acordo com a
figura 2.7(a), o solo de tipo contrativo sob cisalhamento monotônico atinge uma
condição de resistência ao cisalhamento máxima ou de pico (trecho de
endurecimento), para em seguida decrescer gradualmente (trecho de
amolecimento) para um valor de resistência ao cisalhante residual. Caso este valor
seja menor do que a tensão cisalhante estática inicial, uma ruptura por fluxo de
liquefação deve ocorrer. Conforme mostra a figura 2.7(a), excessos de
poropressão são gerados em cada ciclo de carregamento, acumulando-se
gradualmente e direcionando a trajetória de tensões efetivas até a ruptura. Se a
resistência ao cisalhamento residual resultar menor do que a tensão cisalhante
inicial, rupturas típicas de um fluido ocorrem com as deformações progredindo
mesmo após o término do carregamento cíclico.
Assim, para que haja a ruptura de fluxo por liquefação, o material saturado,
com tendência de contração de volume sob cisalhamento, deve ser submetido a
amplitudes de tensões cisalhantes cíclicas de suficiente magnitude, ou de
suficiente número de ciclos, de tal modo que a resistência ao cisalhamento
residual seja inferior ao valor da tensão cisalhante inicial (condição estática), 0τ .
Grandes deformações então ocorrem, sem que uma condição de re-equilíbrio
possa ser atingida.
No caso de areias densas, tensões cisalhantes atuantes no solo podem
produzir alguns excessos de poropressão para pequenos níveis de deformações,
nos casos de carregamento monotônico ou cíclico. Para maiores níveis de
deformação, a amostra tende a dilatar de volume com a tendência ao
desenvolvimento de poropressões negativas. A trajetória de tensões efetivas não
atinge a envoltória de ruptura. Se esta amostra for submetida a um cisalhamento
estático após o término do carregamento cíclico, esta poderia mobilizar toda a sua
resistência.
Embora deformações possam ocorrer durante o carregamento cíclico,
grandes deformações associadas com o tipo de ruptura por fluxo de liquefação não
61
se desenvolvem em solos densos (dilatantes), onde a resistência ao cisalhamento
sempre permanecerá maior do que a tensão cisalhante estática inicial.
Figura 2.7 - Esquema geral da resposta não-drenada de areias saturadas sob carregamento monotônico e cíclico. (a) Comportamento contrativo. (b) Comportamento dilatante, [Rauch, A.F., 1997].
Resistência residual cisalhante
Fluxo por liquefação Mobilidade cíclica
Deformação axial Deformação axial
Deformação axial Deformação axial
Carregamento cíclico
Carregamento monotônico
( ) 231 σσ ′−′
( ) 231 σσ ′+′
Trajetória de tensões efetivas
Linha de ruptura
(a) Comportamento contrativo (b) Comportamento dilatante
τ τ
wp wp
( ) 231 σσ ′−′
( ) 231 σσ ′+′
0τ 0τ
62
2.4 Mecanismos de iniciação da liquefação
A liquefação de solos granulares pode ser iniciada sob várias circunstâncias.
Sob carregamento monotônico foi observada em depósitos de solos naturais
([Koppejan, A.W., et al., 1948], [Andersen, A.; Bjerrum, L., 1968], [Bjerrum, L.,
1971], [Kramer, S.L., 1988]), aterros ([Middlebrooks, T.A., 1942], [Cornforth,
D.H., et al., 1975], [Mitchell, D.E., 1984]), depósitos de rejeitos de mineração
([Kleiner, D.E., 1976], [Jennings, P.C., 1979], [Eckersley, J.D., 1985]). Sob
carregamento dinâmico, além de fontes sísmicas, foi também constatada como
efeito de vibrações causadas pela cravação de estacas ([Jakobsen, B., 1952],
[Broms, B.; Bennermark, H., 1967]), por tráfego de veículos [Fellenius, B., 1953],
exploração geofísica [Hryciw, R.D., et al., 1990] e explosões ([Conlon, R., 1966],
[Carter, D.P.; Seed, H.B., 1988]).
De acordo com Hanzawa [Hanzawa, K., et al., 1979], o mecanismo de início
do fenômeno de liquefação pode ser mais bem ilustrado com auxílio do gráfico da
trajetória de tensões no plano triaxial qp :′ , onde a iniciação pode ser visualizada
de forma mais clara mediante o uso da trajetória de tensões de um carregamento
monotônico.
Considere a resposta de uma série de amostras de areia saturadas submetidas
a ensaios triaxiais não-drenados (carregamento monotônico), conforme figura 2.8.
Como todas as amostras foram consolidadas isotropicamente para o mesmo índice
de vazios, sob diferentes valores de tensão de confinamento, devem então atingir
o mesmo estado de tensões efetivas na condição permanente, ao longo de várias
trajetórias de tensão. O estado de tensão inicial das amostras A e B localizam-se
abaixo da SSL, com comportamento dilatante sob cisalhamento, enquanto que as
amostras C, D, E, situadas acima da SSL, exibem comportamento contrativo,
atingindo um pico de resistência não-drenada e deformando-se rapidamente em
seguida até atingir a SSL. Os picos de resistência das amostras C, D, E definem
pontos de início de liquefação que, unidos, formam uma linha reta que se projeta
pela origem do plano triaxial qp :′ , chamada de superfície de iniciação de
ruptura por fluxo por liquefação ou FLS (Flow Liquefaction Surface) ([Hanzawa,
K., et al., 1979], [Vaid, Y.P.; Chern, J.C., 1983]). Como a liquefação não pode
63
ocorrer abaixo da SSL então o traçado da FLS deve ser interrompido no ponto de
estado permanente (figura 2.9).
Figura 2.8 - Conceito de iniciação da ruptura do fluxo por liquefação, [Kramer, S.L., 1996].
Figura 2.9 - Superfície de iniciação de ruptura do fluxo por liquefação. Plano: qp :′ , [Kramer, S.L., 1996].
q
ψ ′ Ponto de estado permanente
Lψ ′
FLS
SSL
p′
q
ψ ′
p′
e
Ponto de estado permanente
A B C D E
A B C D E
SSL
SSL
FLS
p′
64
A FLS marca uma fronteira entre estados estáveis e instáveis. Se o estado
de tensão em um elemento de solo atingir a FLS sob condição não-drenada, quer
sob carregamento monotônico ou cíclico, o fenômeno de liquefação será então
iniciado.
Portanto, o fluxo por liquefação ocorrerá em duas etapas: na primeira, que
acontece sob baixos níveis de deformação, a geração de poropressão será
suficiente para que a FLS seja atingida, tornando o solo instável. A segunda etapa,
controlada pelas tensões de cisalhamento necessárias para garantir equilíbrio
estático, envolve a ocorrência de amolecimento (strain softening) com geração
adicional de poropressão e desenvolvimento de grandes deformações, enquanto a
trajetória de tensões efetivas movimenta-se da FLS para a SSL. Se a primeira
etapa levar o solo à FLS sob condições não-drenadas, então a ocorrência da
segunda etapa será inevitável.
A iniciação do fenômeno da liquefação depende significativamente da
variação incremental da poropressão e do estado de tensão inicial. A ocorrência do
fluxo por liquefação ou da mobilidade cíclica dependem, dentre outros fatores, de
níveis distintos de poropressão que podem ocorrer.
O fluxo por liquefação pode ser iniciado sob carregamentos dinâmicos
unicamente quando a tensão cisalhante no equilíbrio estático inicial for maior que
a resistência do solo no estado residual, após aplicação do carregamento. No
campo, estas tensões cisalhantes iniciais são causadas por forças de gravitacionais
e permanecem constantes até o final de ocorrência das grandes deformações.
Portanto, estados de tensão iniciais localizados na região sombreada na figura
2.10 são suscetíveis a fluxo por liquefação. A ocorrência de fluxo por liquefação
requer a aplicação de uma forte excitação, suficiente para movimentar a trajetória
das tensões efetivas do ponto inicial para a FLS.
A mobilidade cíclica pode iniciar-se quando a tensão cisalhante estática
inicial é menor que a resistência no estado residual (ou permanente). Logo,
estados iniciais localizados dentro da região sombreada na figura 2.11 são
suscetíveis à mobilidade cíclica. Nota-se que esta pode ocorrer em casos de solos
fofos e densos (i.e. a região sombreada é estendida ao longo do eixo da tensão de
confinamento efetiva, que correspondem a estados de tensão localizados tanto
acima ou abaixo da SSL).
65
Figura 2.10 - Região de suscetibilidade de ocorrência de fluxo por liquefação, [Kramer, S.L., 1996].
Figura 2.11 - Região de suscetibilidade de ocorrência de mobilidade cíclica, [Kramer, S.L., 1996].
Como comentário final, pode-se afirmar que o estado de ruptura em fluxo
por liquefação é identificado pela FLS e sua iniciação é reconhecida em campo,
enquanto que para o caso de mobilidade cíclica sua caracterização é imprecisa –
um certo nível de deformação, decorrente de mobilidade cíclica, pode ser
aceitável em alguns maciços de solos, mas considerado excessivo em outros,
sendo difícil caracterizar um ponto no qual a ruptura inicia-se. A ruptura por
mobilidade cíclica é geralmente identificada quando as poropressões tornam-se
suficientemente grandes para produzir escorregamentos laterais (lateral
spreading) em terrenos pouco inclinados próximos a depósitos de água ou
pequenas erupções na superfície do solo (sand boils).
ψ ′ Ponto de estado permanente
Lψ ′ FLS
SSL
q
p′
ψ ′ Ponto de estado permanente
Lψ ′ SSL
FLS
q
p′
66
2.5 Suscetibilidade dos materiais à liquefação
Há muitos critérios publicados na literatura para estimar a suscetibilidade da
ocorrência de liquefação, sendo alguns deles apresentados a seguir [Kramer, S.L.,
1996]. Por outro lado, é fundamental lembrar que o fato de um depósito ser
considerado suscetível à liquefação não significa necessariamente que esta
acontecerá, pois sua iniciação depende da intensidade e do tipo de carregamento.
2.5.1 Critério geológico
Os processos geológicos que formam e transportam partículas
relativamente uniformes, produzem depósitos de solo de baixa densidade relativa
e altamente suscetíveis à liquefação. Conseqüentemente, depósitos fluviais,
coluviais e eólicos, quando saturados, podem sofrer liquefação por carregamento
estático (monotônico) ou cíclico. A suscetibilidade da ocorrência da liquefação em
depósitos antigos é geralmente menor do que em depósitos mais recentes. Como a
liquefação ocorre em solos saturados, quanto mais profundo for o nível da água
subterrâneo, menor é sua suscetibilidade à liquefação, pois a liquefação é
geralmente observada em maciços onde o nível da água situa-se poucos metros
abaixo da superfície. Depósitos formados pela ação do homem merecem também
atenção especial pois, quando pouco compactados (barragens de rejeito, aterros
hidráulicos) podem ser bastante suscetíveis à liquefação.
2.5.2 Critério de composição de material Por muitos anos acreditou-se que a liquefação estava restrita apenas a
depósitos de areia. Solos de granulometria mais fina eram considerados incapazes
de gerar os altos valores de poropressão associados com a liquefação, enquanto
que solos de granulometria mais grossa, por sua vez, eram considerados muito
permeáveis para manter acréscimos de poropressão pelo tempo necessário ao
desenvolvimento do mecanismo de liquefação. Mais recentemente, os limites dos
critérios baseados em granulometria foram expandidos. Liquefação de siltes não-
plásticos foi observada, tanto em laboratório como em campo ([Ishihara, K.,
1984], [Ishihara, K., 1985], [Troncoso, J.H.; Verdugo, R., 1985], [Troncoso, J.H.,
67
1990]), indicando que as características de plasticidade são mais influentes do que
a distribuição granulométrica no caso de solos finos.
De acordo com Wang [Wang, W., 1979], solos finos que satisfazem cada
uma das seguintes condições do critério chinês podem ser considerados
suscetíveis à liquefação: a) fração fina (diâmetro menor do que mm005,0 )
%15≤FC ; b) limite de liquidez %35≤LL ; c) teor de umidade LLwC 9,0≥ ; d)
índice de liquidez 75,0≤LI . Para considerar diferenças da prática americana, a
U.S. Army Corps of Engineers recomendou adaptar o critério chinês por meio das
seguintes modificações: a) decréscimo da fração de finos em 5%; b) acréscimo do
limite de liquidez em 1%; c) acréscimo do teor de umidade natural em 2% [Finn,
W.D.L., et al., 1994].
Andrews [Andrews, D.C.; Martin, G.R., 2000], depois de adaptar o critério
chinês modificado para o sistema americano (fração fina menor do que
mm002,0 ), recomendaram que: (1) solos com fração fina %10<FC e limite de
liquidez %32<LL sejam considerados como potencialmente suscetíveis à
liquefação; (2) solos com fração fina %10>FC e %32≥LL sejam classificados
como improváveis à ocorrência de liquefação; (3) solos com propriedades
intermediárias devem ter seu comportamento avaliado através de ensaios de
laboratório para verificar sua suscetibilidade à liquefação. Este critério é
comumente utilizado na prática ([Martin, G.R.; Lew, M., 1999]).
De acordo com pesquisas da NCEER1, publicadas por Youd ([Youd, T.L., et
al. 1997] e [Youd, T.L., et al. 2001]), há necessidade de se re-examinar o critério
chinês modificado para uma melhor definição do tipo de fino coesivo
potencialmente suscetível à liquefação. Dois terremotos ocorridos em 1999, em
Kocaeli (Turquia) e Chi-Chi (Taiwan), alteraram dramaticamente a aplicação
deste critério, com ocorrências de fluxo por liquefação em locais onde o material
possuía maiores porcentagens de finos do que os recomendados pelo critério
chinês modificado. Estudos posteriores ([Bray, J.D., et al., 2001], [Sancio, R.B., et
al., 2002] e [Sancio, R.B., et al., 2003]) confirmaram a influência significativa na
suscetibilidade à liquefação da quantidade de finos plásticos nas amostras de
areia.
1 NCEER: National Center for Earthquake Engineering Research.
68
Seed, R.B. [Seed, R.B., et al., 2003] recomenda que o critério chinês
modificado seja abandonado na prática da engenharia, questionando a
aplicabilidade de um critério baseado na dimensão de partículas, podendo
classificar solos suscetíveis à liquefação como não-suscetíveis.
As recomendações feitas por Seed, R.B. [Seed, R.B., et al., 2003] estão
resumidas na figura 2.12, similar à carta de Casagrande (limite de liquidez, LL ,
versus índice de plasticidade, IP ), onde indicam-se três regiões de
comportamento: (1) solos na zona A são considerados potencialmente suscetíveis
à liquefação induzida basicamente por carregamentos cíclicos; (2) solos na zona B
podem ser suscetíveis à liquefação tanto por carregamento cíclico ou monotônico;
(3) solos na zona C não são suscetíveis a liquefação por carregamento cíclico,
devendo sua suscetibilidade ainda ser verificada em relação a carregamento
monotônico.
IP
LL Figura 2.12 - Recomendações de Seed, R.B. [Seed, R.B., et al., 2003] considerando a influência dos finos na suscetibilidade da liquefação.
Quanto a solos grossos, foi observada liquefação em pedregulhos em
campo ([Coulter, M.; Migliaccio, L., 1966], [Chang, K.T., 1978], [Wong, W.,
1984], [Youd, T.L., et al., 1985], [Yegian, M.K., et al., 1994]) e em laboratório
([Wong, R.T., et al., 1975], [Evans, M.D.; Seed, H.B., 1987]). Quando a
dissipação das poropressões for impedida pela presença de camadas
impermeáveis, podem ser criadas condições para uma solicitação não-drenada e,
conseqüentemente, propiciar a ocorrência de liquefação neste tipo de solo.
69
A suscetibilidade à liquefação é influenciada também pela distribuição
granulométrica. Solos bem graduados são geralmente menos suscetíveis porque o
preenchimento dos vazios pelas partículas menores resulta numa menor variação
volumétrica, sob condição drenada, e, por conseguinte, em menores valores de
poropressão, na condição não-drenada. Evidências de campo indicam que a
maioria dos casos de ruptura por liquefação acontecem em depósitos de solo com
granulometria uniforme.
A forma da partícula pode igualmente influenciar. Solos com partículas
arredondadas tendem a tornarem-se fofos com maior facilidade do que aqueles
formados por grãos angulares, logo apresentando uma maior suscetibilidade à
liquefação. Depósitos com partículas arredondadas ocorrem geralmente em
ambientes de deposição fluvial e aluvionar, onde areias saturadas fofas são
freqüentemente encontradas, formando áreas de alto potencial de liquefação.
2.5.3 Critérios de estado
Os critérios mencionados, geológicos e de composição de material, ainda
não definem com certa precisão se a liquefação pode ou não acontecer, sendo que
o comportamento do solo depende tanto do estado de tensão inicial como da
densidade relativa. Varias condições de estado inicial são apresentadas na
literatura para prever a ocorrência da liquefação [Kramer, S.L., 1996]. A seguir
são resumidas as principais:
a) Critério do índice de vazio crítico. Casagrande [Casagrande, A., 1936]
executando ensaios triaxiais drenados (deformação controlada) em amostras de
areia fofa e densa verificou experimentalmente que sob uma mesma tensão efetiva
a densidade relativa do solo se aproximava de um valor constante à medida que as
amostras eram cisalhadas sob grandes deformações. O índice de vazios
correspondente a este estado final de volume constante foi denominado índice de
vazio crítico, ce . Com a execução de ensaios adicionais sob diferentes tensões de
confinamento efetivas, c3σ ′ , Casagrande constatou também que o índice de vazio
crítico podia ser unicamente relacionado com as tensões de confinamento através
da linha de índice de vazio crítico da figura 2.13. Ainda que equipamentos
necessários para medição de poropressão não estivessem disponíveis na época
70
(1936), Casagrande sugere que a linha de índice de vazios crítico também poderia
ser interpretada como uma fronteira entre regiões de desenvolvimento de excessos
de poropressão positiva (contração de volume, solos fofos) e de poropressão
negativa (expansão de volume, solos densos).
Admitindo-se então que a linha de índice de vazios crítico delimita uma
fronteira entre comportamentos de contração e expansão de volume, esta foi
também considerada como um critério de suscetibilidade de liquefação (figura
2.13). Solos saturados com índices de vazios altos o suficiente para serem
localizados acima desta linha foram considerados suscetíveis à liquefação,
enquanto que os plotados abaixo dela foram classificados como não-suscetíveis.
Todavia, quando a barragem de Fort Peck (Montana, EUA) sofreu processo de
ruptura por liquefação monotônica no talude de montante durante sua construção,
em 1938, uma pesquisa posterior mostrou que o estado inicial do solo estava
localizado abaixo da linha de índice de vazios crítico, devendo ser considerado
não-suscetível à liquefação [Middlebrooks, T.A., 1942]. Casagrande atribuiu esta
discrepância à inabilidade dos ensaios triaxiais drenados sob deformação
controlada em representar adequadamente todos os aspectos que influenciam o
comportamento do solo sob as condições reais não-drenadas que ocorrem na
liquefação em campo.
Figura 2.13 - Linha de índice de vazio crítico, [Kramer, S.L., 1996].
b) Critério do estado de deformação. Castro [Castro, G., 1969], sob orientação
acadêmica de Casagrande, executou um programa de ensaios triaxiais de tensão
controlada, não-drenados, estáticos (monotônicos) e cíclicos, em amostras de areia
consolidadas isotrópica e anisotropicamente. Três diferentes tipos de curvas para
e
Região não suscetível à liquefação
Região suscetível à liquefação
Linha de índice de vazio crítico
cLog 3σ ′
71
amostras consolidadas anisotropicamente e diferentes índices de vazios estão
representados na figura 2.14 [Castro, G., 1969].
Figura 2.14 - Comportamento típico de areias em ensaios triaxiais não-drenados monotônicos. (a) Plano: qa :ε , (b) Plano: qp :′ , (c) Plano: wa p:ε , [Kramer, S.L., 1996].
Solos fofos (amostra A) tipicamente exibiram um pico de resistência não-
drenada para baixos níveis de deformação axial, aε , colapsando rapidamente para
escoar sob pequenos valores de tensão de confinamento e de tensão de desvio.
Solos densos (amostra B) apresentaram inicialmente contração de volume,
seguido por expansão volumétrica mesmo sob tensões de confinamento
relativamente altas, atingindo consideráveis valores de resistência ao
cisalhamento. Para as amostras com densidade relativa intermediária (amostra C)
o pico de resistência no início do ensaio foi seguido por uma região de
amolecimento intermediária que terminou a partir do momento em que a variação
de volume foi novamente de expansão, caracterizando o chamado ponto de
q
aε
A - Liquefação
C - Liquefação Limitada
B - Dilatação Ponto de transformação de fase
C – Liquefação Limitada
B - Dilatação
wp
aε
A - Liquefação
C – Liquefação Limitada
B - Dilatação
q
A – Liquefação
p′ )(a )(b
)(c
72
transformação de fase [Ishihara, K., et al., 1975]. Com acréscimos de
carregamento subseqüentes o solo da amostra C continuou a apresentar dilatação
de volume sob altas tensões de confinamento, bem como altos valores de
resistência ao cisalhamento. O tipo de comportamento da amostra C foi
denominado de liquefação limitada.
O programa de ensaios de Castro mostra a existência de uma relação única
entre índice de vazios e tensão de confinamento sob grandes deformações que,
graficamente, é desenhada paralelamente mais abaixo da linha de índice de vazio
crítico de Casagrande (1936), obtida com ensaios triaxiais drenados de
deformação controlada. O estado no qual o solo flui continuamente sob tensão
cisalhante constante, volume constante e velocidade constante foi então definido
como linha de estado permanente ([Castro, G.; Poulos, S.J., 1977], [Poulos, S.J.,
1981]).
Mais recentemente, comprovou-se que a SSL não é unicamente definida
pela densidade relativa do solo, sendo diferente para trajetórias de compressão e
de extensão, particularmente se a estrutura do material for marcadamente
anisotrópica ([Vaid, Y.P., et al., 1990], [Riemer, M.F.; Seed, R.B., 1992], e [Vaid,
Y.P.; Thomas, J., 1995]), recomendando-se, portanto, que o ambiente do depósito
e a situação de carregamento sejam representados o mais próximo quanto possível
na investigação das condições de estado permanente em ensaios de laboratório.
De maneira geral, a SSL pode ser visualizada como uma curva no espaço
tridimensional τσ :: ′e (ou qpe :: ′ ) ou projetada em planos: στ ′: , e:τ ou
σ ′:e , conforme figura 2.15 [Kramer, S.L., 1996]. Adicionalmente, como a
resistência não-drenada, uS , é proporcional à tensão de confinamento efetiva na
condição permanente, uma SSL baseada na resistência não-drenada do solo
aparece paralela à SSL determinada com base na tensão de confinamento efetiva,
quando ambas são desenhadas em escala logarítmica, conforme figura 2.16
[Kramer, S.L., 1996].
73
Figura 2.15 - Linha de estado permanente em representação tridimensional no espaço
στ ′::e e nos planos: e:τ , στ ′: , e σ ′:e , [Kramer, S.L., 1996].
Figura 2.16 - Proporcionalidade entre a linha de estado permanente baseada em (a) resistência não-drenada e (b) tensão de confinamento efetiva (escala logarítmica), [Kramer, S.L., 1996].
A SSL é útil para identificação das condições sob as quais um solo pode ser
suscetível ao fluxo por liquefação (figura 2.17 - [Kramer, S.L., 1996]). Um solo
cujo estado esteja localizado abaixo da SSL não é considerado suscetível à
liquefação, enquanto que para um solo representado acima de SSL a liquefação
poderá ocorrer se as tensões cisalhantes necessárias para equilíbrio estático da
massa de solo forem maiores do que a resistência ao cisalhamento residual (estado
permanente). Como a SSL pode ser usada também para avaliar a resistência ao
cisalhamento não-drenado do solo liquefeito, então também seria possível
empregá-la para uma estimativa dos potenciais efeitos do fenômeno da liquefação.
τ
Projeção no plano σ ′:e
σ ′
Projeção no plano στ ′:
Projeção no plano τ:e e
SSL
e
cLog 3σ ′
e
uLogS
SSLm SSLm
SSLSSL
(a) (b)
74
Figura 2.17 - Estimativa da suscetibilidade de liquefação pela linha de estado permanente, [Kramer, S.L., 1996].
c) Critério de parâmetro de estado – densidade relativa ou índice de vazios
apenas tem aplicabilidade limitada quando se pretende estimar a suscetibilidade
de liquefação de solos, como bem ilustra a SSL. Um elemento de solo com um
particular índice de vazios (i.e. com determinada densidade relativa) pode ser
suscetível à liquefação sob altas tensões de confinamento, mas não suscetível caso
estas sejam baixas.
Been e Jefferies [Been, K.; Jefferies, M.G., 1985] introduziram o conceito
de parâmetro de estado, definido por,
SSee −= 0ψ (Eq. 2.1)
onde SSe é o índice de vazios na condição de estado permanente sob a tensão de
confinamento efetiva de interesse (figura 2.18).
Figura 2.18 - Definição do parâmetro de estado ψ [Been, K.; Jefferies, M.G., 1985].
e
Estadopermanente
Estadoinicial
SSL
cLog 3σ ′
SSe SSee −= 0ψ
0e
e
O solo não é suscetível à liquefação
O solo é suscetível à liquefação se as tensões estáticas foram superiores a uS
cLog 3σ ′ ou uLogS
SSL
75
Quando ψ for positivo, o solo exibe comportamento contrativo e pode ser
suscetível à liquefação, enquanto que para valores negativos de ψ a variação
volumétrica é negativa (dilatação) e o solo não é considerado suscetível ao fluxo
por liquefação. Vários pesquisadores ([Been, K., et al., 1986], [Been, K., et al.,
1987], [Sladen, J.A., 1985], [Ishihara, K., 1993]) relacionarem o parâmetro de
estado com o ângulo de atrito do solo, ângulo de dilatância e outros indicadores
obtidos em ensaios de campo (ensaios de penetração, CPT, ensaio de dilatômetro,
DMT - DilatoMeter Test).
A possibilidade de determinar o valor do parâmetro de estado ψ pela
execução de ensaios in-situ tem grande apelo prático, mas a precisão de sua
determinação depende daquela com que a posição da SSL é obtida.
3 Modelo constitutivo para liquefação de solos
3.1 Aspectos gerais
Durante as últimas décadas, grandes esforços foram dedicados tanto para
entender o comportamento de solos sob trajetórias complexas de carregamento,
através de ensaios de laboratório; como para formular equações constitutivas
capazes de reproduzir a maioria das características observáveis no laboratório e no
campo. Com relação a este último aspecto, uma grande variedade de equações
constitutivas, chamados também de modelos constitutivos, têm sido propostas
para representar as características do comportamento tensão-deformação de solos.
Estes modelos apresentam vantagens e limitações, variando de acordo com
o tipo de aplicação. Em termos gerais, o modelo constitutivo empregado na
análise do comportamento de materiais deve: (1) atender aos conceitos teóricos da
mecânica do contínuo; (2) representar tão fielmente quanto possível o
comportamento observado em ensaios de laboratório ou campo; (3) requerer
parâmetros do material que possam ser estimadas através de ensaios
convencionais da mecânica dos solos; (4) serem simples na implementação e
eficientes na execução computacional.
Dentre estes modelos, citam-se os modelos clássicos de Mohr-Coulomb,
principalmente, e de Drucker e Prager [Drucker, D.; Prager, W., 1952], o primeiro
deles freqüentemente utilizado em aplicações de geotecnia por fornecer boas
estimativas do comportamento tensão-resistência de solos com base em apenas
dois parâmetros (coesão, ângulo de resistência ao cisalhamento) facilmente
obtidos em laboratório.
Algumas limitações destes modelos (ausência de endurecimento plástico,
previsão de deformações apenas elásticas sob estado de tensão hidrostático, dentre
outros) foram levantadas por Roscoe e seu grupo de pesquisadores, da
universidade de Cambridge, com o desenvolvimento da teoria do estado crítico e
formulação do modelo Cam-Clay [Roscoe, K.H., et al., 1958] e Cam-Clay
77
Modificado [Roscoe, K.H.; Burland, J.B., 1968]. Infelizmente, estes modelos
constitutivos não permitem simular os incrementos de poropressão e deformações
permanentes geradas por carregamentos cíclicos. Estudos posteriores [Carter, J.P.,
et al., 1982] recomendaram que a forma mais adequada de representar
comportamento dinâmico seria assumir que tanto a forma quanto a posição da
superfície de escoamento sejam modificadas constantemente durante a etapa do
descarregamento (combinação de endurecimento isotrópico e cinemático), que no
modelo Cam-Clay Modificado é assumido ocorrer sob deformações apenas
elásticas.
Cabe enfatizar neste ponto que o modelo constitutivo Cam-Clay Modificado
marcou o início de uma fase de solução numérica de problemas geotécnicos
considerando modelos constitutivos elasto-plásticos, representado pelo trabalho de
Zienkiewicz e Naylor [Zienkiewicz, O.C.; Naylor, D.J., 1971], cujos bons
resultados incentivou vários outros pesquisadores na utilização da teoria da
plasticidade infinitesimal em solos, considerando carregamentos monotônicos ou
cíclicos. Até esta data, mais de três décadas após, importantes avanços na
modelagem de solos foram obtidos, através de modelos constitutivos cada vez
mais abrangentes, capazes de modelar efeitos de carregamento cíclico, alguns
mantendo características da teoria da plasticidade clássica e outros desenvolvidos
sob o enfoque de teorias multi-mecânicas tais como os baseados na teoria
endocrônica.
O objetivo deste capítulo é apresentar a formulação do modelo numérico
constitutivo que será empregado para reproduzir o comportamento de solos sob
solicitações dinâmicas. Inicia-se com uma descrição da evolução histórica dos
modelos constitutivos, seguida da apresentação da teoria da plasticidade
generalizada, em cujo ambiente podem-se desenvolver equações constitutivas com
capacidade de reproduzir aspectos como: fluxo por liquefação e/ou mobilidade
cíclica. Finalmente, descrevem-se as equações do modelo P-Z, baseado na teoria
da plasticidade generalizada, e utilizado nesta tese para simular numericamente a
liquefação de solos.
78
3.2 Desenvolvimento histórico dos modelos constitutivos para carregamento cíclico
O desenvolvimento da modelagem constitutiva em problemas da dinâmica
dos solos deveu-se à necessidade de: (1) prever respostas de ensaios de laboratório
em amostras submetidas a carregamentos cíclicos; (2) desenvolver modelagem
numérica adequada para simular efeitos de carregamentos dinâmicos em solos. A
primeira devido ao comportamento diferenciado das respostas cíclicas em relação
aos ensaios estáticos e a segunda para aplicação de metodologias mais racionais
do que as análises pseudo-estáticas simplificadas.
As primeiras tentativas de desenvolver uma análise não-linear no contexto
da dinâmica dos solos, usando modelos matemáticos discretos, foram reportadas
por Parmelee [Parmelee, R.A., et al., 1964] e Penzien [Penzien, J., et al., 1964]
através da aplicação de modelos baseados no sistema massa-mola-amortecedor.
Estes investigadores desenvolveram um modelo unidimensional para estudar a
resposta de maciços de solo formados por camadas horizontais semi-infinitas com
comportamento tensão-deformação bi-linear e amortecimento histerético, Cada
camada de solo foi dividida em um número finito de subcamadas, representadas
por um sistema massa-mola obedecendo ao modelo reológico de Kelvin,
conectados em série com um amortecedor. A técnica numérica via método das
diferenças finitas [Newmark, N.M., 1959] foi aplicada na solução numérica das
equações de movimento assim estabelecidas.
Provavelmente o fator que acelerou mais significativamente o
desenvolvimento da modelagem numérica nesta área foi a aplicação do MEF em
análises dinâmicas de barragens de terra, com o trabalho de Clough e Chopra
[Clough, R.W.; Chopra, A.K., 1966], considerando um modelo constitutivo
elástico-linear, as pesquisas de Chopra [Chopra, A.K., 1967], Dibaj e Penzien
[Dibaj, M.; Penzien, J., 1967a], Finn e Khanna [Finn, W.D.; Khanna, J., 1967],
Idriss [Idriss, I.M., 1968], considerando um modelo visco-linear, e o trabalho de
Dibaj e Penzien [Dibaj, M.; Penzien, J., 1969], com o modelo elasto-plástico de
Drucker e Prager, onde pela primeira vez se empregou, no contexto da dinâmica
dos solos, um procedimento incremental não-linear, etc.
Pesquisas paralelas à aplicação de modelos baseados na teoria elasto-
plástica em problemas dinâmicos foram feitas por Idriss e Seed, H.B. ([Idriss,
79
I.M.; Seed, H.B., 1967], [Idriss, I.M.; Seed, H.B., 1968]). Estes pesquisadores
propuseram também um modelo discreto 1D, constituído por um sistema massa-
mola-amortecedor, para determinar a resposta dinâmica de depósitos de solos
durante a ocorrência de terremotos, substituindo a curva tensão-deformação linear
adotada por Parmelee [Parmelee, R.A., et al., 1964] e Penzien [Penzien, J., et al.,
1964] por parâmetros lineares função do estado de deformação. Esta metodologia
é hoje conhecida como o método linear-equivalente [Seed, H.B.; Idriss, I.M.,
1970].
O método linear-equivalente foi incorporado nos programas SHAKE
[Schnabel, P.B., et al., 1972] e SHAKE91 [Idriss, I.M.; Sun, J.I., 1992] para
análises 1D da resposta de solos constituídos por camadas horizontais de
diferentes materiais, considerando a analogia masa-mola-amortecedor¸ e
estendido para análises bidimensionais e tridimensionais, mediante a utilização do
MEF, através dos programas computacionais QUAD4 [Idriss, I.M., et al., 1973] e
FLUSH [Lysmer, J., et al., 1975].
O programa SHAKE foi rapidamente adotado pela comunidade de
engenharia para a realização de estudos considerando a resposta sísmica de solos
excitados por ondas cisalhantes propagando-se verticalmente, devido à
confiabilidade de seus resultados numéricos e praticidade na determinação dos
parâmetros de entrada (módulo de cisalhamento, G , e razão de amortecimento,
ξ ). O valor destes parâmetros depende do nível das deformações ocorridas
durante o carregamento sísmico, devendo ser obtidas de curvas tensão-
deformação. Os efeitos de não-linearidade, no método linear-equivalente, são
introduzidos mediante a variação de G e ξ com as deformações axiais totais, aε ,
através de curvas obtidas experimentalmente e/ou, na ausência ou impossibilidade
da execução destes, por meio de correlações propostas na literatura para diversos
tipos de solo.
Os limites de validade do método linear-equivalente foram verificados por
Seed e colaboradores ([Seed, H.B., et al., 1973], [Seed, H.B., et al., 1975a], [Seed,
H.B., et al., 1975b]) através de um extensivo e minucioso estudo da ocorrência de
liquefação no corpo da barragem de terra San Fernando, durante o terremoto de
San Fernando, na Califórnia, em 1971, conforme figura 3.1. Os resultados
numéricos obtidos com o emprego do programa SHAKE indicaram que o corpo
80
da barragem poderia colapsar durante o terremoto devido à ocorrência de grandes
deformações nos taludes, mas observações in-situ demonstraram que a barragem
não sofreu deformações significativas durante o sismo, ocorrendo o colapso do
talude de montante após o término da excitação. Este tipo de ruptura, denominada
pós-sismo por Seed, H.B. [Seed, H.B., 1979], deveu-se à redistribuição da
poropressão no interior da barragem com fluxo por liquefação em algumas
regiões, como mostrado na figura 3.2.
Figura 3.1 - Deslizamento ocorrido na barragem de San Fernando, em 1971 (EERC, University of California, Berkeley, USA).
(a) seção transversal da barragem após a ruptura
(b) reconstrução das condições iniciais
Figura 3.2 - Ruptura da barragem San Fernando. (a) Seção transversal da barragem após a ruptura e (b) reconstrução das condições iniciais, [Seed, H.B., 1979].
81
As diferenças entre os resultados de análises executadas com o modelo
linear-equivalente e modelos não-lineares dependem fortemente do grau de não-
linearidade da resposta do solo. Para problemas onde o nível de deformações
permanece baixo (solos rígidos e⁄ou movimentos sísmicos de baixa magnitude), os
ambos os métodos de análise devem produzir estimativas razoáveis da resposta
dinâmica. Para situações onde os valores das tensões cisalhantes induzidas pelo
terremoto aproximam-se da resistência ao cisalhamento do solo, as análises não-
lineares devem fornecer resultados mais confiáveis que o modelo linear-equivalente,
entretanto. De acordo com Bray [Bray, J.D., et al., 1995] o programa SHAKE91, em
virtude da incorporação do modelo linear-equivalente, somente deve ser empregado
para movimentos com gr5,0PHArocha ≤ , onde gr é a aceleração da gravidade e
rochaPHA é a aceleração máxima horizontal na rocha. Outros investigadores não
recomendam o emprego do modelo linear-equivalente para situações onde
gr4,0PHAsolo > [Ishihara, K., 1985], sendo soloPHA a aceleração máxima
horizontal no solo, ou a deformação cisalhante máxima exceder aproximadamente
a %2 [Kavazanjian, E., et al., 1997]. Segundo Gazetas [Gazetas, G.; Dakoulas P.,
1992] em barragens modernas as análises dinâmicas com o método linear-
equivalente devem ser suficientes para movimentos com gr2,0PHAsolo ≤ .
O método linear-equivalente também não consegue obter deslocamentos
permanentes, já que todas as deformações elásticas tornam-se nulas uma vez
cessado o carregamento sísmico. Técnicas alternativas devem ser utilizadas para
este fim, como o método proposto por Newmark [Newmark, N.M., 1965],
baseado no comportamento de um bloco rígido deslizante, e o método
simplificado de Makdisi e Seed [Makdisi, F.I.; Seed, H.B., 1978] para uso prático
na avaliação de deslocamentos permanentes em taludes de barragens de terra.
Cabe ainda ressaltar que o método linear-equivalente foi formulado em termos de
tensões totais e, portanto, não considera ao efeito da poropressão na resistência do
solo, o que influencia significativamente a previsão da resposta dinâmica. Sua
aplicação em solos saturados tende a fornecer uma previsão conservadora da
resposta dos materiais sob carregamento dinâmico.
A ruptura da barragem de San Fernando significou, na época, um verdadeiro
estímulo para o desenvolvimento de métodos formulados em termos de tensões
efetivas. Martin e colaboradores [Martin, G.R., et al., 1975] propuseram um
82
modelo empírico, baseado no critério de Masing [Masing, G., 1926], que
incorpora uma equação para previsão de incrementos de poropressão gerados
durante um movimento sísmico. Neste modelo, a resposta do solo submetido a
tensões cisalhantes dinâmicas é modelada através de uma relação empírica não-
linear de forma hiperbólica, histerética, dependente da tensão normal efetiva
média. O termo empírico é usado para indicar que as formulações numéricas
foram estabelecidas tomando como referência a forma da trajetória tensão-
deformação observada em ensaios de laboratório sob carregamento monotônico
ou dinâmico. O modelo proposto por Martin [Martin, G.R., et al., 1975] foi
incorporado no programa computacional para análises 1D DESRA-2 [Lee,
M.K.W.; Finn, W.D.L., 1978] e análises 2D nos programas TARA-2
[Siddharthan, R.; Finn, W.D.L. 1982] e TARA-3 [Finn, W.D.L., et al., 1986].
De acordo com Liyanapathirana e Poulos [Liyanapathirana, D.S.; Poulos,
H.G., 2002] os modelos baseados em tensões efetivas para simular o fenômeno da
liquefação podem ser agrupados em quatro principais categorias: modelos elasto-
plásticos ([Prevost, J. H. 1985], [Pastor, M., et al., 1990]; [Wang, Z.L., et al.,
1990]; [Ishihara, K., 1993]; [Muraleetharan, K.K., et al., 1994]; [Byrne, P.M., et
al., 1995], [Fukutake, K.; Ohtsuki, A., 1995], [Parra-Colmenares, E.J., 1996]);
métodos baseados em trajetórias de tensões ([Ishihara, K.; Towhata, I., 1982],
[Kiku, H.; Tsujino, S., 1996]); em correlações entre resposta de poropressões e a
tendência da variação de volume de solos secos [Finn W.D.L., et al., 1977] e,
finalmente, no uso direto da resposta em termos das poropressões determinadas de
forma experimental em ensaios de laboratório ([Seed H.B,. et al., 1976]; [Sheriff,
M.A., et al., 1978]; [Kagawa, T.; Kraft, L.M., 1981]).
Na formulação de modelos constitutivos elasto-plásticos, segundo Pastor
[Pastor, M., et al., 2000], duas linhas de investigação foram seguidas com o
objetivo de estudar respostas de solos considerando a teoria do estado crítico. A
primeira abordagem se concentrou numa extensão da teoria da plasticidade
clássica, com ênfase no comportamento de areias considerando endurecimento
isotrópico, enquanto que a segunda abordagem procurou reproduzir deformações
plásticas considerando endurecimento anisotrópico bem como efeitos de
densificação (teoria endocrônica), causados por carregamentos cíclicos.
A primeira abordagem adaptou formulações do modelo Cam-clay
Modificado, considerando leis de fluxo não-associadas [Nova, R., 1977], formas
83
de endurecimento relacionadas com deformações de desvio ([Nova, R.,; Wood,
D.M., 1979], [Boukpeti, N.; Drescher, A., 2000], [Collins, I.F.; Kelly, P.A.,
2002]), conceitos de endurecimento duplo associado com a ocorrência de
deformação volumétrica e de desvio [Prevost, J.H.; Hoeg, K., 1975], consideração
de dilatância de areias ([Nova, R.; Wood, D.M., 1979], [Nova, R., 1982]),
liquefação sob carregamento monotônico (modelo Norsand desenvolvido por
Jefferies [Jefferies, M.G., 1993]), etc. Nova e Hueckel [Nova, R.; Hueckel, T.,
1981] adicionaram à formulação do modelo Cam-clay Modificado uma lei de
fluxo do tipo histerética para simular deslocamentos durante o descarregamento e
recarregamento, com parâmetros relacionados à memória do material e
comportamento dilatante. Ghaboussi e colaboradores ([Ghaboussi, J.; Momen, H.,
1979], [Ghaboussi, J.; Momen, H., 1982]) usaram o conceito de endurecimento
duplo para desenvolver um modelo elasto-plástico com endurecimento isotrópico
para areias sob carregamento cíclico ou monotônico, seguidos por outros
desenvolvimentos nesta mesma linha de pesquisa por Hirai [Hirai, H., 1987],
Aubry [Aubry, D., et al., 1982], dentre outros.
Mroz e Zienkiewicz ([Mroz, Z.; Zienkiewicz, O.C., 1981], [Zienkiewicz,
O.C.; Mroz, Z., 1984]) introduziram o conceito de plasticidade generalizada, onde
a superfície de escoamento e o potencial plástico são definidos pelos vetores
unitários das trajetórias de tensão durante o processo de carregamento e
descarregamento, com vantagens na implementação computacional, pois não é
necessário verificar a condição de consistência, como em aplicações da teoria da
plasticidade clássica. O modelo original foi aperfeiçoado com o decorrer dos anos
para simulação da resposta de areias sob carregamentos monotônicos ou cíclicos,
destacando-se as contribuições de Zienkiewicz e Pastor ([Zienkiewicz, O.C., et
al., 1985], [Pastor, M., et al., 1985], [Zienkiewicz, O.C.; Pastor, M. 1986], [Pastor,
M., et al., 1986], [Pastor, M., et al., 1987] e [Pastor, M., et al., 1990]), Bahda
[Bahda, F., 1997], Ling e Liu [Ling, H.; Liu, H., 2003]. Este modelo constitutivo é
conhecido como modelo P-Z.
A segunda abordagem procurou reproduzir a ocorrência de deformações
inelásticas e efeitos de densificação causados por carregamentos cíclicos que os
modelos constitutivos baseados na teoria da plasticidade plástica (primeira
abordagem) não conseguem simular. Um enfoque consistiu em introduzir em
modelo baseado na teoria endocrônica o efeito da densificação induzida pelo
84
cisalhamento cíclico através de uma adequada lei de densificação ([Cuéllar, V., et
al., 1977], [Zienkiewicz, O.C., et al., 1982]). A teoria endocrônica é
particularmente útil em descrever a variação de volume e a geração de
poropressões em areias saturadas devido a movimentos sísmicos. Foi
desenvolvida por Valanis [Valanis, K.C., 1971] para descrever a não-linearidade
da resposta do material, descrita através de um parâmetro que descreve uma
seqüência de eventos, permitindo assim a representação de estados sucessivos do
material. Embora estes parâmetros não são variáveis de tempo, mas funcionam
como um tipo de parâmetro de tempo intrínseco, o que justifica a denominação
endocrônica da teoria. A característica peculiar desta teoria é que não é necessário
identificar uma superfície de escoamento, tornando este modelo atraente para
modelagens que envolvam deformações plásticas ocorridas num ciclo de
carregamento e descarregamento. Por outro lado, em muitos casos existem
dificuldades para simular o comportamento dilatante de areias [Blázquez, R., et
al., 1980]. Recentemente Blázquez e López-Querol ([Blázquez, R.; López-
Querol, S., 2006], [López-Querol, S.; Blázquez, R., 2006]) propuseram uma
formulação combinando uma lei de densificação com uma lei de fluxo plástico
para tratar este problema.
Outro enfoque distinto consistiu em estender a teoria de plasticidade além
dos postulados estabelecidos pela teoria da plasticidade clássica. A primeira
extensão foi feita independentemente por Iwan [Iwan, W.D., 1967] e Mroz [Mroz,
Z., 1967] através do mecanismo de endurecimento cinemático com superfícies
múltiplas, obtendo-se um modelo constitutivo que postula a existência de uma
série de superfícies aninhadas de escoamento que se movimentam umas no
interior das outras. A partir desta concepção, diversos aperfeiçoamentos e
adaptações foram realizados ([Mroz, Z., et al., 1978], [Prévost, J.H., 1977], [di
Prisco, C., et al., 1993], dentre outros). Neste tipo de modelo, devido à quantidade
de superfícies de escoamento consideradas, é possível descrever condições
especiais de carregamento, como níveis de tensão máxima atingidos ou estados de
tensão onde as tensões correntes são revertidas. Postula-se ainda que um
comportamento elástico prevalece no interior da superfície de escoamento atual.
Como as tensões são incrementadas a partir de um estado de tensão inicial, as
superfícies de escoamento são deslocadas ao longo da trajetória de tensões até
atingirem uma nova superfície. Esta trajetória do movimento da superfície é
85
definida completamente através da uma lei de escoamento, a mesma que assegura
que as superfícies nunca sejam cruzadas. Estes modelos na literatura são
conhecidos como modelos de superfície aninhadas.
Dafalias e Popov [Dafalias, Y.F.; Popov, E.P., 1975] introduziram o
conceito de superfície limite (bounding surface) para descrever o endurecimento
não-linear em materiais submetidos a carregamentos complexos. De forma
similar, mas em investigação independente, um modelo com duas superfícies de
escoamento também foi proposto por Krieg [Krieg, R.D., 1975], definido em
termos de uma superfície de escoamento limite utilizada para definição da ruptura
e outra, para escoamento inicial. O campo de deformações é calculado pela
superfície de escoamento corrente, determinada entre as duas superfícies pré-
estabelecidas com base no estado de tensão atual. Em outras palavras, o parâmetro
de endurecimento é obtido por interpolação linear, considerando-se seus
respectivos valores nas superfícies de escoamento inicial e limite.
Este modelo combina endurecimentos de tipo isotrópico e cinemático,
apresentando vantagem em comparação com a formulação do modelo de
superfícies aninhadas. Outro modelo de características similares foi proposto por
Hashigushi e Ueno [Hashigushi, K.; Ueno, M., 1977], e foi definido como modelo
de superfície de subcarga. Da mesma forma que o modelo anterior, este emprega
duas superfícies similares, i.e. uma superfície interior de subcarga e uma outra
superfície de escoamento limite (ruptura). A diferença com o modelo anterior é
que o parâmetro de endurecimento é calculado usando uma condição de
consistência sobre a superfície de subcarga.
Outro modelo interessante é o modelo de bolha proposto por Al-Tabbaa [Al-
Tabbaa, A.; Wood, D.M., 1989], com endurecimento cinemático. Concebido
como uma extensão do modelo Cam-Clay mediante a introdução de superfície
(bolha) que se movimenta no interior da superfície de contorno limite. A
superfície-bolha funciona como uma superfície de escoamento convencional, i.e.
deformações são puramente elásticas para todos os estados de tensão situados em
seu interior. As deformações tornam-se elasto-plásticas quando o estado de tensão
atual encontrar se sobre a superfície-bolha e o acréscimo de tensão provocar o
movimento da mesma.
Um enfoque distinto consistiu na aplicação da teoria da hipoplasticidade
([Gudehus, G., 1996], [Herle, I.; Gudehus, G., 1999], [Niemunis, A., 2003]).
86
Diferentemente dos modelos elasto-plásticos, a relação entre o incremento de
tensões efetivas e o incremento de deformações é determinada por uma única
equação tensorial, não se calculando separadamente as componentes de
deformação elástica e plástica e também não se fazendo uso de superfícies de
escoamento e de potencial plástico.
Enquanto esforços em modelos computacionais eram empreendidos,
diversos equipamentos de laboratório foram também desenvolvidos, como o
ensaio triaxial cíclico [Seed, H.B.; Lee, K.L., 1966] que possibilitou investigações
experimentais do potencial de liquefação e das deformações induzidas em solos
por carregamentos cíclicos, e o ensaio da coluna ressonante, para a estimativa dos
módulos de cisalhamento máximo e dos amortecimentos sob pequenas
deformações [Drnevich, V.P., 1967]. O desenvolvimento destes equipamentos
contribuiu para o melhor entendimento do fluxo por liquefação [Castro, G., 1969]
e da mobilidade cíclica ([Castro, G., 1975], [Ishihara, K., et al., 1975]).
Neste ponto é importante enfatizar a notável contribuição dos trabalhos
feitos por Seed, H.B. e colaboradores da Universidade de Califórnia, em Berkeley,
nos EUA, com a consolidação da área de pesquisa em dinâmica dos solos, que
permitiu conceituar, interpretar e modelar respostas de materiais submetidos a
carregamentos dinâmicos, especificamente aqueles relacionados com o fenômeno
da liquefação.
3.3 Teoria da plasticidade generalizada
A teoria da plasticidade generalizada, proposta por Mroz e Zienkiewicz
[Mroz, Z.; Zienkiewicz, O.C., 1981], representa uma extensão da teoria da
plasticidade clássica para possibilitar a determinação de deformações permanentes
(plásticas) em um ciclo de carregamento.
No desenvolvimento desta teoria para solos, Pastor e colaboradores
([Pastor, M.; Zienkiewicz, O.C., 1986], [Pastor, M., et al., 1987], [Pastor, M., et
al., 1990]) utilizaram o conceito de estado crítico do modelo Cam-Clay
Modificado e estabeleceram formulação específica para cálculo do módulo
plástico H , assumindo uma lei de fluxo não-associada. Essas características
puderam representar, de forma satisfatória, os fenômenos de fluxo por liquefação
87
e/ou mobilidade cíclica em areias saturadas na condição de carregamento não-
drenado. Esta teoria não exige a definição prévia das superfícies de escoamento e
de potencial plástico, sendo determinadas totalmente pelos vetores unitários das
trajetórias de tensão durante os processos de carregamento, descarregamento e
recarregamento.
3.3.1 Principais características da teoria da plasticidade clássica
A teoria da plasticidade clássica infinitesimal proposta por Drucker e
Prager [Drucker, D.; Prager, W., 1952] assume que existe uma superfície no
espaço de tensões, chamada de superfície de escoamento, f , matematicamente
definida por
0, =iijf κσ (Eq. 3.1)
onde ijσ é o tensor de tensões totais e iκ parâmetros de endurecimento do
material que determina a forma, tamanho e posição da superfície de escoamento.
O símbolo denota função de. Ao considerar as tensões efetivas, como parte
desta análise, a função de escoamento toma a seguinte forma [Lewis, R.W.;
Schrefler, B.A., 1998]
0, =′′ iijf κσ (Eq. 3.2)
onde ijσ ′ é o tensor de tensões efetivas e iκ ′ parâmetros de endurecimento do
material na condição efetiva.
Não se admitem estados de tensões situados além da superfície de
escoamento. Esta deve se expandir ou se movimentar de tal forma que o estado de
tensão atual esteja situado sobre a nova posição da superfície de escoamento
(condição de consistência).
A teoria da plasticidade clássica também assume uma relação linear entre
incrementos de tensão e incrementos de deformação plástica, sendo estes
calculados de forma geral pela lei de fluxo generalizada proposta por Drucker
[Drucker, D., 1952]. Em termos das tensões efetivas, a lei de fluxo é definida
como [Lewis, R.W.; Schrefler, B.A., 1998]
88
ij
pij
gσ
λδε′∂
∂= (Eq. 3.3)
ou, na forma vetorial no espaço 3D,
σε
′∂∂
=gp λδ (Eq. 3.4)
com
{ }Tpzx
pyz
pxy
pzz
pyy
pxx
p δγδγδγδεδεδεδ =ε (Eq. 3.5)
{ }Tzxyzxyxxxxxx δτδτδτσδσδσδδ ′′′=′σ (Eq. 3.6)
onde pεδ é o vetor de incremento de deformações plásticas, σ′δ o vetor de
incremento de tensões efetivas, λ um escalar positivo e g representa a função da
superfície do potencial plástico.
A função da superfície do potencial plástico, g , depende do tensor de
tensões atuantes no material e seu gradiente, em qualquer ponto, determina a
direção dos acréscimos de deformação plástica. Caso as superfícies de escoamento
e do potencial plástico coincidam, a lei de fluxo é dita associada; caso contrário,
não-associada.
O escalar positivo, λ , é definido por,
p
eT
eT
gfH
f
ε
σD
σ
Dσ δλ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
′∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
′∂∂
+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
′∂∂
= (Eq. 3.7)
sendo eD a matriz constitutiva tensão-deformação elástica e H módulo plástico.
89
A matriz constitutiva tensão-deformação elástica é definida por
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+′
−′+′
−′−′+′
=
GGsimétrico
G
GK
GKGK
GKGKGK
e
202002
00034
00032
34
00032
32
34
D (Eq. 3.8)
onde G indica o módulo de cisalhamento e K ′ o módulo de deformação
volumétrica efetiva.
O módulo plástico é definido por
pp
TfH εεκ δ
κλ ∂′∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
−=1
(Eq. 3.9)
entanto que a função que descreve a lei de endurecimento, a mesma que
representa a evolução do tamanho da superfície de escoamento com as
deformações plásticas, é expressa como
i
pi κ
κ′′∂
=Ψκε, (Eq. 3.10)
onde κ′ representa um vetor contendo os parâmetros de endurecimento na
condição efetiva. Alternativamente, esta função é expressa, em vários modelos
constitutivos elasto-plásticos, como dependente do trabalho plástico.
De acordo com a condição de consistência, a matriz constitutiva tensão-
deformação elasto-plástica, epD , é dada por
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
′∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
′∂∂
+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
′∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
′∂∂
−=
σD
σ
Dσσ
DDD
gfH
fg
eT
eT
e
eep (Eq. 3.11)
O módulo plástico incorpora o processo do endurecimento ou
amolecimento durante o fluxo plástico. Para 0=H o material se comporta como
perfeitamente plástico, para 0>H apresenta endurecimento e para 0<H simular
a ocorrência de amolecimento do material.
90
3.3.2 Características da teoria da plasticidade generalizada
A teoria da plasticidade generalizada consiste em uma extensão da teoria
da plasticidade clássica que prescinde de uma superfície de escoamento, da
superfície potencial plástico e da lei de endurecimento para calcular as
deformações plásticas.
Esta teoria é baseada em uma relação constitutiva que não depende da
superfície de escoamento,
klijklij C σδδε ′= (Eq. 3.12)
onde ijδε é o tensor de incremento deformações totais, klσδ ′ o tensor de
incremento de tensões efetivas e ijklC o tensor constitutivo deformação-tensão de
quarta ordem, dependente do estado de tensões, do parâmetro de estado iκ ′
(similar ao parâmetro de endurecimento da teoria da plasticidade clássica) e das
componentes do vetor unitário da direção do incremento de tensões, in .
iiklijklijkl nCC ,,κσ ′′≡ (Eq. 3.13)
Os parâmetros de estado (condição efetiva) iκ ′ levam em conta a
influência da história de tensões no comportamento do material, enquanto que a
direção do incremento de tensões é definida pelo vetor unitário da direção do
incremento de tensões n ,
σσn′′
=δδ (Eq. 3.14)
onde o símbolo denota norma do vetor.
O ponto fundamental na aplicação desta teoria a solos é, de acordo com
Pastor [Pastor, M., et al., 1999], admitir a hipótese de que a resposta do material é
independente da velocidade da variação das tensões atuantes, o que permite
expressar se a relação entre incrementos de deformação e incrementos de tensão
mediante uma função genérica,
σε ′= δϕδ (Eq. 3.15)
91
onde σ′δϕ é uma função homogênea do primeiro grau em primeiro grau em σ′δ
que pode ser escrita da seguinte forma,
( ) σσσ
σ ′′∂
′∂=′ δ
δδϕ
δϕ (Eq. 3.16)
Substituindo-se na equação 3.15 resulta,
( ) σσσ
ε ′′∂
′∂= δ
δδϕ
δ (Eq. 3.17)
ou
σCε ′= δδ (Eq. 3.18)
com
( )σσ
C′∂
′∂=
δδϕ
(Eq. 3.19)
onde C é a matriz constitutiva deformação-tensão.
De acordo com Pastor [Pastor, M., 1990], a dependência de ijklC com in
poderia ser estabelecida como uma função contínua iijklijkl nCC ≡ , do mesmo
tipo utilizada no modelo incremental proposto por Darve [Darve, F.; Dendani, H.,
1988]. No entanto, na teoria da plasticidade generalizada utiliza-se uma relação
mais simples, do tipo descontínuo, para definição de uma matriz constitutiva em
cada situação de carregamento. Divide-se o espaço do incremento de tensões em
dois subespaços ou zonas tensoriais [Darve, F., et al., 1988]: o primeiro como um
subespaço de incrementos de carregamento e o segundo como de incrementos de
descarregamento. No primeiro subespaço utiliza-se o tensor constitutivo para
incrementos de carregamento, LijklC , e no outro o tensor constitutivo para
incrementos de descarregamento, UijklC .
A definição do tensor constitutivo em cada subespaço pode ser mais bem
compreendida através da figura 3.3. Considerando o comportamento do material
num carregamento cíclico uniaxial, a matriz constitutiva C se reduz a uma função
escalar representada em cada ponto da curva tensão-deformação pela inclinação
da tangente à curva. Durante a etapa de carregamento OC observa-se que a
inclinação da tangente à curva diminui com o aumento da tensão atuante, mas não
92
exclusivamente. Comparando-se as deformações nos pontos 1A , 2A , e 3A nota-se
que a relação constitutiva também depende de outros fatores como a história de
tensões e a microestrutura do solo que é modificada no processo de carregamento
e descarregamento. Na mesma figura, a inclinação da tangente à curva nos pontos
1B e 2B também indica uma dependência da relação constitutiva em relação à
condição de carregamento ou descarregamento ou, em outras palavras, da direção
do incremento de tensão.
A relação deformação-tensão para a condição de carregamento pode ser
escrita como,
σCε ′= δδ LL (Eq. 3.20)
e para a condição de descarregamento por,
σCε ′= δδ UU (Eq. 3.21)
onde os índices L e U indicam as etapas de carregamento e descarregamento,
respectivamente.
Figura 3.3 - Representação de um ciclo de carregamento num ensaio triaxial cíclico uniaxial.
Na aplicação de um ciclo infinitesimal de carregamento, as equações
anteriores são expressas como
σCε ′= δδ LL
σCε ′−= δδ UU (Eq. 3.22)
aε
C
1A 2A 3A 1B
2B
0
D
1σ ′
93
No caso de deformações cíclicas irreversíveis
0εεε ≠+= UL δδδ (Eq. 3.23)
ou
0σCσCε ≠′−′= δδδ UL (Eq. 3.24)
Para qualquer incremento de tensão σ′δ , sua direção (carregamento ou
descarregamento) é definida por
0>′σn δL
Tf (carregamento) então σCε ′= δδ LL
0<′σn δU
Tf (descarregamento) então σCε ′= δδ UU .
(Eq. 3.25)
onde Lfn ,
Ufn são vetores unitários que definem a expansão ou a contração da
superfície de escoamento respectivamente.
O carregamento neutro acontece quando
0=′σn δTULf (Eq. 3.26)
onde o índice UL indica os estados de carregamento ou de descarregamento das
tensões atuantes.
Na teoria da plasticidade generalizada, os vetores unitários normais à
superfície de escoamento para a etapa de carregamento, Lfn , e para a etapa de
descarregamento, Ufn , são definidos por
σ
σn
′∂∂′∂
∂
=f
f
ULf (Eq. 3.27)
onde
21
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛′∂
∂′∂
∂=
′∂∂
σσσfff T
(Eq. 3.28)
Logo, a introdução do vetor unitário ULfn , que define os estados de
carregamento ou de descarregamento, pode ser empregada para definição da
superfície normal a esta direção em cada ponto, como usual na teoria da
plasticidade clássica.
94
De acordo com Pastor [Pastor, M., et al., 1990], utilizando a condição de
continuidade entre os estados de carregamento e descarregamento, a matriz
constitutiva na condição de carregamento, LC , é expressa por
gLTfL
L
eL H
nnCC 1+= (Eq. 3.29)
e para a condição de descarregamento, UC ,
gUTfU
U
eU H
nnCC 1+= (Eq. 3.30)
onde gLn , gUn são vetores unitários que definem a expansão e contração da
superfície do potencial plástico e LH , UH representam os módulos plásticos nas
etapas de carregamento e descarregamento respectivamente e eC a matriz
constitutiva elástica deformação-tensão.
Os vetores unitários para a etapa de carregamento, gLn , e para a etapa de
descarregamento, gUn , são definidos por
σ
σn
′∂∂′∂
∂
=g
g
ULg (Eq. 3.31)
com
21
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛′∂
∂′∂
∂=
′∂∂
σσσggg T
(Eq. 3.32)
O vetor de incremento de deformação total pode ser definido por duas
parcelas aditivas,
pe εεε δδδ += (Eq. 3.33)
ou (da equação 3.15 com 3.29 e 3.30),
σnnσCε ′+′= δδδ ULgT
ULfUL
e
H1 (Eq. 3.34)
No caso de carregamento neutro, o comportamento do material é
reversível (elástico), i.e.
95
σCσCε ′=′= δδδ eLL (Eq. 3.35)
ou
σCσCε ′=′= δδδ eUU (Eq. 3.36)
É importante mencionar neste ponto que a introdução de deformações
plásticas nesta teoria foi feita sem a necessidade da definição prévia das
superfícies de escoamento e do potencial plástico, sendo necessário o
conhecimento dos valores do módulo plástico, ULH , das direções de expansão e
contração da superfície de escoamento, ULfn , das direções de expansão e
contração da superfície do potencial plástico, ULgn , bem como a matriz
constitutiva elástica, eC .
Finalmente, de acordo com Pastor [Pastor, M., et al., 1990], para levar em
consideração as situações de amolecimento do material (módulo plástico LH com
valor negativo), as equações constitutivas são modificadas da seguinte forma:
σCε ′= δδ LL para: 0>′eTfL σn δ (carregamento)
σCε ′= δδ UU para: 0<′eTfU σn δ (descarregamento)
(Eq. 3.37)
onde eσ′δ representa o incremento de tensões efetivas devido a deformações
elásticas,
εCσ δδ 1−=′ ee (Eq. 3.38)
A vantagem da teoria da plasticidade generalizada é a possibilidade de
simulação de comportamentos complexos do material, difíceis de serem
reproduzidos utilizando modelos da teoria da plasticidade clássica como, por
exemplo, considerando a ocorrência de deformações plásticas na etapa de
descarregamento. Outra observação adicional, é que sua implementação em
programas computacionais é bem mais simples que nos modelos baseados na
teoria da plasticidade clássica porque não necessitam satisfazer explicitamente a
condição de consistência, dispensando, portanto, o emprego de algoritmos de
retorno para correção do estado de tensão.
96
3.3.3 Formulação da matriz constitutiva elasto-plástica
O desenvolvimento descrito acima foi feito em termos da matriz
constitutiva deformação-tensão C , sendo necessária a obtenção da relação inversa
tensão-deformação ou matriz constitutiva tensão-deformação D para
implementação em programas computacionais baseados no MEF, na formulação
em deslocamentos. Esta inversão pode ser realizada unicamente quando o módulo
plástico H é diferente de zero, sendo executada de acordo com o procedimento
sugerido por Zienkiewicz [Zienkiewicz, O.C., et al., 1999].
Ao considerar que
σn ′= δχ TULf
ULH1 (Eq. 3.39)
onde χ é um escalar positivo.
O vetor de incremento de deformação total (equação 3.34) pode ser escrito
como
ULge nσCε χδδ +′= (Eq. 3.40)
Multiplicando a equação 3.40 por eTULf Dn resulta,
( ) ULgeT
ULfeeT
ULfeT
ULf nDnσCDnεDn χδδ )()( +′= (Eq. 3.41)
ou
ULgeT
ULfT
ULfeT
ULf nDnσnεDn χδδ +′= (Eq. 3.42)
Considerando
ULT
ULf Hχδ =′σn (Eq. 3.43)
e substituindo na equação 3.42, vem
χδ )( ULgeT
ULfULeT
ULf H nDnεDn += (Eq. 3.44)
Colocando χ em evidência,
ULgeT
ULfUL
eTULf
H nDnεDn
+=
δχ (Eq. 3.45)
Multiplicando a equação 3.40 por eD ,
97
ULgee nDσεD χδδ +′= (Eq. 3.46)
logo
ULgee nDεDσ χδδ −=′ (Eq. 3.47)
Substituindo o valor de χ (equação 3.45) na equação 3.47, resulta
εnDnDnnD
εDσ δδδULg
eTULfUL
eTULfULg
ee
H +−=′ (Eq. 3.48)
que pode ser re-escrita como
εDσ δδ ep=′ (Eq. 3.49)
com
ULgeT
ULfUL
eTULfULg
eeep
H nDnDnnD
DD+
−= (Eq. 3.50)
3.4 Modelo constitutivo Pastor–Zienkiewicz
3.4.1 Formulação geral do modelo no plano triaxial
Pastor e Zienkiewicz [Pastor, M.; Zienkiewicz, O.C., 1986] propuseram
uma formulação (modelo P-Z) no plano triaxial qp :′ para a simulação da
ocorrência de liquefação em areias. Nesta seção adotam-se como positivas as
tensões normais de compressão, de acordo com a convenção usual de mecânica
dos solos.
Assume-se válido o princípio das tensões efetivas [Terzaghi, K., 1936] para
solos saturados no espaço 3D,
ijwijij p δσσ −=′ (Eq. 3.51)
onde wp é a poropressão, ijδ o delta de Kronecker, ijσ ′ o tensor de tensão efetiva
e ijσ o tensor de tensão total.
A equação 3.51 pode também ser escrita na forma vetorial,
98
mσσ wp−=′ (Eq. 3.52)
com
{ }Tzxyzxyzzyyxx τττσσσ ′′′=′σ (Eq. 3.53)
{ }Tzxyzxyzzyyxx τττσσσ=σ (Eq. 3.54)
{ }T000111=m (Eq. 3.55)
onde σ′ é o vetor de tensão efetiva, σ o vetor de tensão total e m a forma
vetorial do delta de Kronecker.
O tensor de tensões efetivas atuantes no plano triaxial é representado, na
forma vetorial, por,
{ }Tzzyyxx 000σσσ ′′′=′σ (Eq. 3.56)
onde 1σσ ′=′xx , 2σσ ′=′yy , 3σσ ′=′zz são as tensões principais efetivas. No caso do
ensaio de compressão triaxial convencional: axx σσ ′=′ (tensão axial efetiva) e
rzzyy σσσ ′=′=′ (tensão radial efetiva).
O modelo P-Z é desenvolvido em termos das medidas da tensão efetiva
média, p′ , e da tensão de desvio, q , definidas como
1Jp ′=′ (Eq. 3.57)
DJq 23 ′= (Eq. 3.58)
com
31iiJ
σ ′=′ (Eq. 3.59)
22jiij
D
SSJ
′′=′ (Eq. 3.60)
sendo
ijijij JS δσ 1′−′=′ (Eq. 3.61)
onde 1J ′ é o primeiro invariante da tensão efetiva, DJ 2′ o segundo invariante da
tensão de desvio efetiva e ijS ′ o tensor de tensão de desvio efetiva.
99
A relação dos incrementos de tensão com os incrementos de deformação
total, no plano triaxial qp :′ , é expressa por
εDσ ˆˆˆ δδ ep=′ (Eq. 3.62)
sendo
{ }Tqp δδδ ′=′σ (Eq. 3.63)
{ }Tqp εδεδδ ˆˆˆ =ε (Eq. 3.64)
ULgeT
ULfUL
eTULfULg
eeep
H nDnDnnD
DDˆˆˆˆˆˆˆˆ
ˆˆ+
−= (Eq. 3.65)
onde a relação tensão-deformação elástica, eD , é definida por,
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ′=
GKe
300
D (Eq. 3.66)
A relação dos incrementos de tensão com os incrementos de deformação
elástica, no plano triaxial qp :′ , é expressa por
ee εDσ ˆˆˆ δδ =′ (Eq. 3.67)
sendo
{ }Teq
ep
e εδεδδ ˆˆˆ =ε (Eq. 3.68)
A relação entre as componentes do vetor incremento de deformação total
no plano triaxial qp :′ com as componentes do tensor de incremento de
deformação total no espaço 3D é apresentada a seguir,
iip δεεδ =ˆ (Eq. 3.69)
ijijq εδεδεδ ′′=32ˆ (Eq. 3.70)
com
3ii
ijijδε
δεεδ −=′ (Eq. 3.71)
sendo pε a deformação volumétrica total e qε representa a deformação de desvio
total.
100
Em termos de tensões efetivas e deformações totais axiais e radiais, as
seguintes relações podem ser estabelecidas no plano triaxial qp :′ ,
( )rap σσ ′+′=′ 231 (Eq. 3.72)
rap δεδεεδ 2ˆ += (Eq. 3.73)
raq σσ ′−′= (Eq. 3.74)
( )raq δεδεεδ −=32ˆ (Eq. 3.75)
onde aε é deformação axial total e rε deformação radial total. Nas equações
apresentadas nesta seção o sobrescrito ^ indica formulação no plano triaxial
qp :′ . O símbolo δ denota incrementos.
A seguir são apresentadas as equações necessárias para definição das
variáveis que compõem a matriz constitutiva elasto-plástica do modelo P-Z:
(a) Vetores unitários normais à superfície de escoamento e à superfície do
potencial plástico.
Segundo Pastor [Pastor, M., et al., 1990] para estabelecer a direção dos
incrementos de deformação plástica no plano triaxial qp :′ deve-se partir de
medições experimentais da dilatância plástica, d , definida por Wood [Wood,
D.M., 1990] como,
pq
ppd
δεδε
−= (Eq. 3.76)
onde ppδε é o incremento da deformação volumétrica plástica e p
qδε o incremento
da deformação de desvio plástica.
Resultados experimentais mostram que a dilatância depende unicamente
da razão de tensão, η , mas não do estado de tensão [Wood, D.M., 1990]. Neste
modelo, a dilatância, gd , foi obtida com base nos resultados experimentais de
Frossard [Frossard, E., 1983] e aproximada através de uma função linear da razão
de tensão [Nova, R.; Wood, D.M., 1979]
))(1( ηα −+= gg Md (Eq. 3.77)
101
com
pq′
=η (Eq. 3.78)
onde α e gM são parâmetros do modelo P-Z. O valor de α esta relacionado com
a dilatância e gM esta relacionado com a superfície potencial plástico e
representa a tangente do ângulo inclinação da linha de estado critico no
plano qp :′ .
A equação 3.77 se torna nula quando o estado de tensão atinge a linha
coincidente com a projeção da linha de estado crítico no plano qp :′ . Logo,
gM=η (Eq. 3.79)
No modelo P-Z duas zonas de analises são consideradas para definir a
inclinação da linha de estado critico: (1) zona de tensão de desvio positivo e (2)
zona de tensão de desvio negativo.
A inclinação da linha de estado crítico no plano triaxial qp :′ na zona de
tensão de desvio positivo é representada da seguinte forma [Zienkiewicz, O.C.;
Pande, G.N., 1977]
θφφ
3sinsin3sin6
CS
CSgM
−= (Eq. 3.80)
com
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ′−= −
331
227sin
31
qJ Dθ (Eq. 3.81)
sendo
66πθπ
≤≤− (Eq. 3.82)
[ ]ijD SJ ′=′ det3 (Eq. 3.83)
onde CSφ representa o ângulo de atrito na condição de estado crítico, θ o ângulo
de Lode e DJ 3′ o terceiro invariante das tensões de desvio efetiva. O símbolo
[ ]det denota determinante da matriz.
102
A inclinação da linha de estado crítico no plano triaxial qp :′ na zona de
tensão de desvio negativo é representada como
θφφ
3sinsin3sin6
CS
CSgM
+= (Eq. 3.84)
A direção, expansão (carregamento) ou contração (descarregamento), da
superfície do potencial plástico no plano triaxial qp :′ é determinada pelo vetor
unitário, ULgn ,
{ }TqULg
pULgULg nn ˆˆˆ =n (Eq. 3.85)
sendo para o carregamento,
{ }TqgL
pgLgL nn ˆˆˆ =n (Eq. 3.86)
com
21ˆ
g
gpgL
d
dn
+= (Eq. 3.87)
21
1ˆg
qgL
dn
+= (Eq. 3.88)
e para o descarregamento,
{ }TqgU
pgUgU nn ˆˆˆ =n (Eq. 3.89)
com
21ˆ
g
gpgU
d
dn
+−= (Eq. 3.90)
21
1ˆg
qgU
dn
+= (Eq. 3.91)
onde o símbolo denota valor absoluto.
A direção, expansão (carregamento) ou contração (descarregamento), da
superfície de escoamento no plano triaxial qp :′ é determinada pelo vetor
unitário, ULfn ,
103
{ }TqULf
pULfULf nn ˆˆˆ =n (Eq. 3.92)
sendo para o carregamento,
{ }TqfL
pfLfL nn ˆˆˆ =n (Eq. 3.93)
com
21ˆ
f
fpfL
d
dn
+= (Eq. 3.94)
21
1ˆf
qfL
dn
+= (Eq. 3.95)
e para o descarregamento,
{ }TqfU
pfUfU nn ˆˆˆ =n (Eq. 3.96)
com
21ˆ
f
fpfU
d
dn
+−= (Eq. 3.97)
21
1ˆf
qfU
dn
+= (Eq. 3.98)
onde
))(1( ηα −+= ff Md (Eq. 3.99)
sendo fM parâmetro do modelo P-Z relacionado com a superfície de
escoamento.
Para areias muito densas, Pastor e colaboradores [Pastor, M., et al., 1985]
consideraram que a razão gf MM é dependente da densidade relativa da areia,
rD , propondo a seguinte relação:
rg
f DMM
= (Eq. 3.100)
104
(b) Módulos plásticos
A obtenção do módulo plástico no plano triaxial qp :′ , H , nas condições
de carregamento, descarregamento e recarregamento é descrita a seguir:
(b.1) Condição de carregamento
Para a obtenção do módulo plástico na condição de carregamento LH ,
Pastor e Zienkiewicz [Pastor, M.; Zienkiewicz, O.C., 1986] consideraram as
seguintes evidências estabelecidas experimentalmente:
(i) A condição residual substitui a linha de estado crítico,
gresidual
Mpq
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛′
(Eq. 3.101)
(ii) A ruptura não necessariamente ocorre quando a linha de estado
crítico é atingida.
Propuseram então a seguinte expressão empírica para determinação de
LH :
( )svfLoL HHHpHH +′=ˆ (Eq. 3.102)
onde LoH é parâmetro do modelo P-Z e fH , vH e sH coeficientes do módulo
plástico, na condição de carregamento.
Os valores de fH e vH estão relacionados com a linha de estado
permanente e a linha de transformação de fase, definidas no capítulo 2, por
4
1 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
ffH
ηη (Eq. 3.103)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
gv M
H η1 (Eq. 3.104)
com
ff M⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
αη 11 (Eq. 3.105)
onde fη representa a linha da superfície de ruptura.
105
O coeficiente do módulo plástico sH é definido por,
( )ξβββ ⋅−= 010 eH s (Eq. 3.106)
sendo 0β , 1β parâmetros do modelo P-Z e ξ a deformação plástica de desvio
acumulada definida como
∫= pqδεξ (Eq. 3.107)
(b.2) Condição de descarregamento
Os modelos constitutivos baseados na teoria da plasticidade clássica
consideram que na etapa de descarregamento o material comporta-se
elasticamente. No entanto, resultados observados em ensaios triaxiais não-
drenados indicam que nesta etapa também ocorrem deformações plásticas
[Ishihara, K.; Okoda, S., 1982].
Pastor e colaboradores [Pastor, M., et al., 1990] propuseram a seguinte
expressão para estimativa do módulo plástico na condição de
descarregamento UH :
U
U
gUU
MHH
γ
η ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
0ˆ para 1>
U
gMη
(Eq. 3.108)
0ˆ
UU HH = para 1≤U
gMη
(Eq. 3.109)
onde 0UH , Uγ são parâmetros do modelo P-Z e Uη é o valor da razão de tensões
onde se inicia o descarregamento.
(b.3) Condição de recarregamento
Esta condição é assumida logo após a ocorrência do primeiro
descarregamento durante o ciclo. Para incorporar efeitos da história de tensões,
um fator de memória DMH é definido e utilizado para determinação do módulo
plástico no recarregamento LH :
DMsvfLoL HHHHpHH )(ˆ +′= (Eq. 3.110)
106
onde LoH é o mesmo parâmetro do modelo constitutivo definido na condição de
carregamento e fH , vH , sH são os mesmos coeficientes plásticos definidos na
condição de carregamento.
O fator de memória DMH é definido pela equação
γ
ζζ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= max
DMH (Eq. 3.111)
com
α
ηηζ
1
1−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−′=
f
p (Eq. 3.112)
onde γ é um parâmetro do modelo P-Z e maxζ o máximo valor de ζ alcançado
durante a história do carregamento do material.
(c) Matriz constitutiva tensão-deformação elástica
A matriz constitutiva elástica eD é definida como
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡= e
q
epe
DD
ˆ00ˆ
D (Eq. 3.113)
onde a relação dos módulos elásticos com os incrementos da tensão e deformação
é dada por,
pK
pDe
p
ep ′
′=′= δδδε 1
ˆ1 (Eq. 3.114)
qG
qDe
q
eq δδδε
31
ˆ1
== (Eq. 3.115)
Os módulos de deformação volumétrica efetiva, K ′ , e de cisalhamento,
G , são considerados dependentes da tensão efetiva média, p′ , da seguinte forma,
conforme admitido por Pastor [Pastor, M., et al., 1990],
0
ˆppKDK epo
ep ′
′==′ (Eq. 3.116)
0
ˆ3ppKDG eqo
eq ′
′== (Eq. 3.117)
107
onde epoK e eqoK são parâmetros do modelo P-Z e 0p′ é a tensão efetiva média
inicial.
Substituindo-se as equações 3.116 e 3.117 na equação 3.113, as relações
tensão-deformação elástica podem ser escritas da seguinte forma,
000ˆ
pp
KK
eqo
epoe
′′
⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=D (Eq. 3.118)
(d) Superfície de escoamento e do potencial plástico
Cabe lembrar neste ponto que, as direções do vetor unitário, indicadas nas
equações 3.85 e 3.92, foram definidas sem o conhecimento prévio da função que
descreve a superfície de escoamento f ou o potencial plástico g . As equações de
cada uma destas superfícies podem ser determinadas através da integração das
equações de dilatância plástica associadas a cada superfície.
De acordo com Pastor [Pastor, M., et al., 1985] a função que define a
superfície de escoamento, f , e a superfície do potencial plástico, g , são escritas
como
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
′′
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅′⋅−=
α
α0
ˆ111ˆ
ff p
ppMqf (Eq. 3.119)
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
′′
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅′⋅−=
α
α0
ˆ111ˆ
gg p
ppMqg (Eq. 3.120)
onde 0
ˆ fp′ e 0
ˆ gp′ são coeficientes que definem o tamanho das superfícies de
escoamento e do potencial plástico, respectivamente.
Embora a teoria da plasticidade generalizada não necessite explicitamente
das equações das superfícies f e g para implementação do modelo constitutivo,
é necessário definir suas direções, indicadas pelos vetores normais unitários ULfn
e ULgn , respectivamente. Por outro lado, ao observar as equações 3.85 e 3.92
nota-se que o cálculo destes vetores diferencia-se apenas pelas constantes gM e
fM . Para aplicação da hipótese de lei de fluxo associada basta então considerar
108
fg MM = . As figuras 3.4 a 3.6 apresentam uma análise da sensibilidade dos
parâmetros da função da superfície do potencial plástico.
O modelo descrito até este ponto corresponde ao da formulação original
desenvolvida por Pastor [Pastor, M., et al., 1990] e descrita em Zienkiewicz
[Zienkiewicz, O.C., et al., 1999]. Vários trabalhos têm introduzido modificações,
como Pastor [Pastor, M., et al., 1993] considerando efeitos de endurecimento
anisotrópico, Sassa [Sassa, S.; Sekiguchi, H., 2001] tratando dos efeitos de
rotação dos eixos principais, Ling [Ling, H.; Liu, H., 2003] considerando efeitos
da densificação de areias, Bahda [Bahda, F., et al., 1997] através da utilização de
leis de endurecimento duplo, Zhang [Zhang, H.W., et al., 2005] implementando
um algoritmo de integração implícita para melhorar a eficiência da solução
numérica do modelo. No caso de solos cimentados e parcialmente saturados,
Yang e colaboradores [Yang. C., et al., 2008] propuseram um modelo constitutivo
combinando a teoria da plasticidade generalizada com o Modelo Básico
Barcelona ou BBM (Basic Barcelona Model) proposto por Alonso [Alonso E.E.,
et al., 1990].
( )kPaq
( )kPap′
Figura 3.4 - Influência de 0
ˆ gp′ na forma da superfície do potencial plástico
( 6,0=α , 6,1=gM ).
109
( )kPaq
( )kPap′
Figura 3.5 - Influência de gM na forma da superfície do potencial plástico ( 6,0=α ,
kPapg 200ˆ0=′ ).
( )kPaq
( )kPap′
Figura 3.6 - Influência de α na forma da superfície do potencial plástico ( 6,1=gM ,
kPapg 200ˆ0=′ ).
3.4.2 Sumário da formulação do modelo no plano triaxial
A relação dos incrementos de tensão com os incrementos de deformação
total,
εDσ ˆˆˆ δδ ep=′ (Eq. 3.62)
O tensor de incremento de tensão,
{ }Tqp δδδ ′=′σ (Eq. 3.63)
com,
110
( )rap σσ ′+′=′ 231 (Eq. 3.72)
raq σσ ′−′= (Eq. 3.74)
O tensor de incremento de deformação total,
{ }Tqp εδεδδ ˆˆˆ =ε (Eq. 3.64)
com,
rap δεδεεδ 2ˆ += (Eq. 3.73)
( )raq δεδεεδ −=32ˆ (Eq. 3.75)
A matriz constitutiva tensão-deformação elasto-plástica,
ULgeT
ULfUL
eTULfULg
eeep
H nDnDnnD
DDˆˆˆˆˆˆˆˆ
ˆˆ+
−= Eq. (3.72)
O vetor unitário normal à superfície do potencial plástico,
{ }TqULg
pULgULg nn ˆˆˆ =n Eq. (3.85)
O vetor unitário normal à superfície de escoamento
{ }TqULf
pULfULf nn ˆˆˆ =n Eq. (3.92)
A matriz constitutiva tensão-deformação elástica,
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡= e
q
epe
DD
ˆ00ˆ
D Eq. (3.113)
A matriz constitutiva tensão-deformação elasto-plástica, considerando o
modelo P-Z, é obtida pela substituição das equações 3.85, 3.92 e 3.113 na equação
3.72,
111
( )( ) ⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⋅++
−⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
qULf
qULg
eq
pULf
qULg
eq
ep
qULf
pULg
eq
ep
pULf
pULg
ep
qULf
qULg
eq
pULf
pULg
epUL
eq
epep
nnDnnDD
nnDDnnD
nnDnnDH
DD
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆˆ1
ˆ00ˆ
ˆ
2
2
D
(Eq. 3.121)
ou
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅
Α=
epep
epepep
DDDD
1221
1211
ˆˆˆˆ1D (Eq. 3.122)
com
qULf
qULg
eq
pULf
pULg
epUL nnDnnDH ˆˆˆˆˆˆˆ ++=Α (Eq. 3.123)
qULf
qULg
eq
epUL
ep
ep nnDDHDD ˆˆˆˆˆˆˆ11 += (Eq. 3.124)
qULf
pULg
eq
ep
ep nnDDD ˆˆˆˆˆ12 −= (Eq. 3.125)
pULf
qULg
eq
ep
ep nnDDD ˆˆˆˆˆ21 −= (Eq. 3.126)
pULf
pULg
eq
epUL
eq
ep nnDDHDD ˆˆˆˆˆˆˆ22 += (Eq. 3.127)
(a) Situação de carregamento não-drenado - incremento de deformação
controlada
Para este caso 0=pδε e aq δεδε = . Da equação 3.121 obtém-se:
(a.1) Incremento da tensão efetiva média,
( ) aq
ULfp
ULgeq
ep nnDDp δεδ ˆˆˆˆ1
Α−=′ (Eq. 3.128)
(a.2) Incremento da tensão de desvio,
( ) ap
ULfp
ULgeq
epUL
eq nnDDHDq δεδ ˆˆˆˆˆˆ1
+Α
= (Eq. 3.129)
112
(b) Situação de carregamento drenado - incremento de deformação
controlada
Para este caso 3qp δδ =′ . Da equação 3.121 obtém-se:
(b.1) Incremento da tensão efetiva média,
( )
ULfp
ULgeq
ep
pq
ULfq
ULgeq
ep
epUL
nnDD
nnDDDHp
δε
δεδ
ˆˆˆˆ1
ˆˆˆˆˆˆ1
2
1
Β−
+Β
=′
(Eq. 3.130)
(b.2) Incremento da tensão de desvio,
( )
( ) qp
ULfp
ULgeq
ep
eqUL
pp
ULfq
ULgeq
ep
nnDDDH
nnDDq
δε
δεδ
ˆˆˆˆˆˆ1
ˆˆˆˆ1
2
1
+Β
+
Β−=
(Eq. 3.131)
com
pULf
qULg
eq
ep
qULf
qULg
eq
ep
epUL
qULf
pULg
eq
ep
pULf
pULg
eq
ep
eqUL
nnDDnnDD
DHnnDD
nnDDDH
ˆˆˆˆ3ˆˆˆˆ9
ˆˆ9ˆˆˆˆ6
ˆˆˆˆ2ˆˆ21
−−
−+
+=Β
(Eq. 3.132)
qULf
pULg
eq
ep
pULf
pULg
eq
ep
eq
pULf
qULg
eq
ep
qULf
qULg
eq
ep
ep
nnDDnnDD
DHnnDD
nnDDDH
ˆˆˆˆ6ˆˆˆˆ2
ˆˆ2ˆˆˆˆ6
ˆˆˆˆ18ˆˆ182
++
++
+=Β
(Eq. 3.133)
A relação entre os incrementos de deformação de desvio com a
deformação axial esta dado por,
aq δεδε21
1
Χ+ΧΧ
= (Eq. 3.134)
com
pULf
qULg
eq
ep
qULf
qULg
eq
ep
epUL
nnDD
nnDDDH
ˆˆˆˆ3
ˆˆˆˆ9ˆˆ91
+
+=Χ (Eq. 3.135)
qULf
pULg
eq
ep
pULf
pULg
eq
ep
eqUL
nnDD
nnDDDH
ˆˆˆˆ3
ˆˆˆˆˆˆ2
+
+=Χ (Eq. 3.136)
113
e a relação entre os incrementos de deformação volumétrica com a deformação
axial por,
ap δεδε21
1
33
Δ+ΔΔ
= (Eq. 3.137)
com
qULf
pULg
eq
ep
pULf
pULg
eq
ep
eqUL
nnDD
nnDDDH
ˆˆˆˆ3
ˆˆˆˆˆˆ1 ++=Δ
(Eq. 3.138)
pULf
qULg
eq
ep
qULf
qULg
eq
ep
epUL
nnDD
nnDDDH
ˆˆˆˆˆˆˆˆ3ˆˆ32 ++=Δ
(Eq. 3.139)
3.4.3 Formulação do modelo no espaço das tensões principais
Nesta seção, bem como na formulação adotada nos capítulos 4 e 5,
considera-se de sinal negativo a tensão normal de compressão. O tensor das
tensões atuantes no plano triaxial qp :′ , como já vimos, é definido por
{ }Tqp′=′σ (Eq. 3.140)
com
( )rap σσ ′+′−=′ 231 (Eq. 3.141)
( )raq σσ ′−′−= (Eq. 3.142)
Entanto, para propósitos de implementação da formulação em um
programa computacional baseado no MEF, é conveniente reformular as equações
anteriormente apresentadas em função do tensor de tensões definido no espaço
3D:
A invariância do produto escalar ULfT nσ′δ requer que se cumpra a
seguinte relação [Zienkiewicz, O.C., et al., 1999]:
ULfT
ULfT nσnσ ˆˆ ′=′ δδ (Eq. 3.143)
onde ULfn e ULfn são vetores unitários associados à superfície de escoamento,
definidos no espaço 3D e no plano triaxial qp :′ , respectivamente.
114
σσσσ ′′∂′∂
=′ δδˆˆ (Eq. 3.144)
Substituindo-se a equação 3.143 na equação 3.144 resulta,
ULfULf nσσn ˆˆ′∂′∂
= (Eq. 3.145)
Da forma similar, obtém-se,
ULgULg nσσn ˆˆ′∂′∂
= (Eq. 3.146)
onde ULgn e ULgn são os vetores unitários associados à superfície do potencial
plástico, definidos no espaço 3D e no plano triaxial qp :′ , respectivamente.
O termo ( )σσ ′∂′∂ ˆ , dos vetores unitários ULfn e ULgn corresponde às
derivadas de invariantes, explicitadas em Zienkiewicz [Zienkiewicz, O.C., et al.,
1999] e Lewis [Lewis, R.W.; Schrefler, B.A., 1998],
σσ
σσ
σσ
′∂∂
∂′∂
+′∂′∂
′∂′∂
=′∂′∂ q
qp
pˆˆˆ
(Eq. 3.147)
onde
( )zzyyxxp σσσ ′+′+′−=′ 31 (Eq. 3.148)
DJq 23 ′−= (Eq. 3.149)
com
( ) ( ) ( )( )222
2222 6
1
zxyzxy
zzyyxxD pppJ
τττ
σσσ
+++
′−′+′−′+′−′=′ (Eq. 3.150)
resultando em
Tp⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−=
′∂′∂ 000
31
31
31
σ (Eq. 3.151)
115
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
′−′−′′−′−′′−′−′
=′∂
∂
yz
zx
xy
xxyyzz
zzxxyy
zzyyxx
τττ
σσσσσσσσσ
666
222
21
σ (Eq. 3.152)
Para o caso bidimensional de tensões, as equações 3.151 e 3.152 são escritas
como,
Tp⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−=
′∂′∂ 0
31
31
σ (Eq. 3.153)
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧′−′′−′
=′∂
∂
xy
xxyy
yyxx
τσσσσ
6
22
21
σ (Eq. 3.154)
com
( ) ( )( ) 22221
22 323 xyyyxxD ppJq τσσ +′−′⋅+′−′=′= (Eq. 3.155)
( )
( )
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
′−′−
′−′−
=′∂′∂
xy
xxyy
yyxx
q
q
q
τ
σσ
σσ
30
21
31
131
ˆσσ (Eq. 3.156)
O vetor unitário associado à função de escoamento no triaxial qp :′ , em
termos das tensões no espaço 2D,
( )
( )
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
+⋅
+⋅′−′+
+−
+⋅′−′+
+−
=
2
22
2
22
113
11
21
131
111
131
f
xy
f
xxyy
f
f
f
yyxx
f
f
ULf
dq
dqd
ddqd
d
τ
σσ
σσ
n (Eq. 3.157)
116
O vetor unitário associado à função potencial plástico no triaxial qp :′ , em
termos das tensões no espaço 2D,
( )
( )
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
+⋅
+⋅′−′+
+−
+⋅′−′+
+−
=
2
22
22
113
11
21
131
111
131
g
xy
g
xxyy
g
g
g
yyxx
g
g
ULg
dq
dqd
ddqd
d
τ
σσ
σσ
n (Eq. 3.158)
4 Equações governantes da interação dinâmica sólido-fluido
4.1 Introdução
Uma abordagem macroscópica é utilizada nesta tese para o estudo dos
fenômenos que ocorrem em solos (meio poroso ou sistema sólido-fluido). As leis
físicas, baseadas no principio da conservação, usadas para a formulação das
equações diferenciais que modelam o movimento do sistema sólido-fluido são
aplicadas supondo o meio como contínuo. Estas equações, chamadas equações
fundamentais, são as equações da continuidade, de movimento e de energia. Por
outro lado, os fenômenos dinâmicos que ocorrem devido à interação sólido-fluido
devem ser modelados através de equações de acoplamento, envolvendo a
aplicação da lei de Darcy [Darcy, H., 1856] e o princípio das tensões efetivas para
solos saturados [Terzaghi, K., 1936]. As incógnitas do problema estão
relacionadas com os deslocamentos no sólido e as poropressões.
Em termos gerais, o procedimento para a formulação das equações
governantes consiste numa combinação das equações fundamentais, das equações
de acoplamento entre as fases e da equação constitutiva do meio poroso,
originando um sistema de equações diferenciais sujeitas a condições iniciais e de
contorno específicas para o problema estudado.
Neste capítulo são apresentadas as equações governantes de um solo
totalmente saturado por água ou sistema sólido-água, inicialmente propostas por
Biot [Biot, M.A., 1956a] e depois reformuladas para aplicações no MEF por
Zienkiewicz e Shiomi [Zienkiewicz, O.C.; Shiomi, T., 1984].
4.2 Aspectos gerais
Pode-se definir um meio poroso como um sistema composto por uma parte
sólida persistente, chamada matriz sólida (sólido), e espaços vazios (espaço
poroso) que podem estar preenchidos por um ou mais fluidos (água, óleo ou gás),
118
ver figura 4.1. Exemplos típicos no âmbito da mecânica dos solos são sedimentos
arenosos, rejeitos de mineração, rochas porosas, reservatórios de petróleo, etc.
Figura 4.1 - Representação esquemática de um meio poroso preenchido com um ou dois fluidos, [Bastian, P., 1999].
Os espaços vazios nos meios porosos podem estar interconectados ou
estanques, condicionando, portanto, a passagem do fluido através do solo ou, em
outras palavras, definindo a sua permeabilidade (figura 4.2). Um parâmetro
relacionado com a capacidade de armazenamento do meio poroso é a porosidade,
n , definida como a razão entre o volume ocupado pelos vazios, vV , e o volume
total do sistema sólido-fluido, V .
VV
n v= (Eq. 4.1)
Embora a porosidade possa variar espacialmente e com a pressão interna
nos vazios, na abordagem macroscópica da mecânica dos solos é usual assumir
um valor médio de porosidade.
De acordo com Bear e Bachmat [Bear, J.; Bachmat, Y., 1991], uma fase é
definida como uma região quimicamente homogênea de um sistema e delimitada
por um contorno físico definido. Se os espaços vazios do meio poroso contêm
fluidos com mais de duas fases inmiscíveis (água, óleo e gás) o meio é
caracterizada como um sistema multifásico. No caso de um sistema monofásico,
os espaços vazios são preenchidos por único fluido ou por vários fluidos
miscíveis. Um parâmetro que indica o volume relativo ocupado por cada fase do
fluido presente no meio poroso é o grau de saturação, rS . Por exemplo, num
Matriz sólida Água Ar
119
sistema bifásico formado com água e óleo, a saturação da água, wrS , é definida
por,
100⋅=v
wwr V
VS (Eq. 4.2)
onde wV é volume ocupado pela água presente no volume ocupados pelos vazios,
vV .
Figura 4.2 - Representação esquemática de um meio poroso permeável e impermeável.
Em Mecânica dos Solos, um elemento típico de solo (figura 4.3) é estudado
como um meio contínuo com uma matriz sólida (partículas minerais) com seus
poros (vazios) preenchidos por um fluido com duas fases: a líquida (normalmente
água) e a gasosa (normalmente ar).
Considerando um solo totalmente saturado por água, as massas específicas
deste sistema monofásico podem ser escritas como:
Massa específica do solo, ρ ,
VMM
VM ws +==ρ (Eq. 4.3)
Matriz sólida Água Ar
Permeável
Impermeável
Fraturas
Fraturas
Poros
Poros
120
Figura 4.3 - Fases do solo; (a) estado natural, (b) representação esquemática em termos de volumes e massas.
Massa específica do sólido, sρ ,
s
ss V
M=ρ (Eq. 4.4)
Massa específica do fluido (água), wρ ,
w
ww V
M=ρ (Eq. 4.5)
Das equações anteriores obtém-se facilmente que
( ) ws nn ρρρ +−= 1 (Eq. 4.6)
Sob o ponto de vista macroscópico, um fluido é definido como um material
que se deforma continuamente quando submetido a uma tensão de cisalhamento,
não importando quão pequena esta possa ser [Streeter, V.L., 1974]. Dependendo
da taxa de deformação e da tensão de cisalhamento, os fluidos podem ser
classificados como newtonianos ou não-newtonianos. No primeiro caso, existe
una relação linear entre a taxa de deformação e a tensão de cisalhamento, sendo a
constante de proporcionalidade denominada viscosidade absoluta ou dinâmica.
Para fluidos não-newtonianos, esta relação é do tipo não-linear.
Outra classificação pode ser também feita em termos da variação
volumétrica. Um fluido que apresenta resistência à redução de seu volume próprio
é denominado incompressível, enquanto que aquele que responde com uma
redução de volume sob ação de pressões é dito compressível. Um índice
Sólido
água
ar aV
wV
sV
vV
V
aM
wM
sM
M
( )b ( )a VOLUMES MASSA
121
quantitativo desta classificação é o número de Mach, definido pela razão entre a
velocidade de escoamento e a velocidade de propagação do som no fluido.
Quando o número de Mach for inferior a 0,3 o fluido é na prática caracterizado
como incompressível [Fox, R.W.; McDonald, A.T., 2001].
Os escoamentos onde se desprezam os efeitos da viscosidade são
denominados não-viscosos; caso contrário, viscosos, que podem acontecer sob
regimes de fluxo laminar ou turbulento. Em regime laminar, o escoamento é
caracterizado pelo movimento suave de camadas de fluido, que acontece abaixo
de uma velocidade crítica de absorção das turbulências pela viscosidade do fluido,
função do número de Reynolds.
4.2.1 Lei de Darcy
Uma lei que descreve o comportamento dos fluidos em meios porosos sob
regime laminar foi obtida experimentalmente por Darcy [Darcy, H., 1856].
Trabalhando com areias homogêneas não-consolidadas, Darcy concluiu que para
um fluxo unidimensional de um fluido incompressível (água), a vazão do fluido
(água), Q , através de uma amostra saturada por água, de comprimento L e seção
transversal de área A , pode ser satisfatoriamente estimada por (lei de Darcy)
Lh
AkQ wΔ′−= (Eq. 4.7)
onde whΔ é a variação da carga hidráulica e k ′ é a permeabilidade relativa do
meio poroso (empregada habitualmente na mecânica dos solos). O sinal negativo
desta expressão indica que a carga hidráulica diminui no sentido do fluxo.
Admitindo-se fluxo apenas na direção horizontal, com remoção de efeitos
gravitacionais, a equação acima pode ser escrita em termos da variação da
poropressão, wpΔ , da massa específica da água, wρ , e da aceleração da gravidade,
gr , como
Lp
Ag
kQ w
w
Δ⋅⋅
⋅′
−= rρ (Eq. 4.8)
ou, na forma diferencial
122
Lp
kAQw w
∂∂
−==& (Eq. 4.9)
com
gkkw
r⋅′
=ρ
(Eq. 4.10)
definida como permeabilidade absoluta.
A equação 4.9 pode ser generalizada para sistemas tridimensionais,
aplicando-a em cada uma das direções. Na notação indicial
iwiji pkw ,−=& (Eq. 4.11)
onde ijk é a componente da matriz de permeabilidade absoluta e iw& a
componente do vetor de velocidade do fluido relativo ao sólido,
tw
w ii ∂
∂=& (Eq. 4.12)
com iw a componente do vetor de deslocamento do fluido relativo ao sólido,
definido por
)( iii uUnw −= (Eq. 4.13)
onde n é a porosidade, iU a componente do vetor de deslocamento da fase fluida
e iu a componente do vetor do deslocamento do sólido.
Se os efeitos gravitacionais forem levados em conta no modelo matemático,
admitindo-se que a direção do eixo y é vertical, orientado positivamente para
cima, então
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
∂∂
⋅−= gy
pkw w
wyy
r& ρ (Eq. 4.14)
4.2.2 Principio das tensões efetivas de Terzaghi
O principio das tensões efetivas, postulado por [Terzaghi, K., 1936] para
solos saturados, diz que “todos os efeitos verificados por uma variação de tensão,
tais como compressão, distorção e variação da resistência ao cisalhamento são
devidos exclusivamente à variação do estado de tensões efetivas”.
123
A tensão normal total, σ , atuante em um plano qualquer, deve ser
considerada como a soma de duas parcelas: (1) a tensão transmitida pelos contatos
entre partículas, designada tensão efetiva, σ ′ ; (2) a poropressão na água, wp .
Assim,
wp−=′ σσ (Eq. 4.15)
assumindo-se implicitamente que as partículas sólidas e a água são
incompressíveis.
A equação acima pode ser generalizada como
wijijij pδασσ ~+=′ (Eq. 4.16)
onde ijδ é o delta de Kronecker e α~ a constante de Biot, que incorpora os efeitos
de compressibilidade das partículas sólidas,
s
T
KK
−= 1~α (Eq. 4.17)
onde TK é módulo de deformação volumétrica do sistema sólido-água e sK o
módulo de deformação volumétrica das partículas sólidas.
Para materiais elásticos isotrópicos,
969 μλ +
=TK (Eq. 4.18)
com λ , μ as constantes de Lamé.
A diferença de sinal entre as equações 4.15 e 4.16 se justifica, porque na
segunda a convenção de sinais adotada é que as componentes normais de tensão
são positivas no caso de tração (consideradas negativas na convenção clássica de
mecânica de solos, implícita na equação 4.15).
Para a grande maioria dos problemas da mecânica dos solos, o módulo de
deformação volumétrica das partículas sólidas é muito maior que o módulo de
deformação volumétrica do sistema sólido-água, i.e. 0≈sT KK e 1~ ≈α . Nesta
condição, a equação 4.16 pode ser reescrita como,
wijijij pδσσ −′= (Eq. 4.19)
124
4.3 Equações governantes
O modelo matemático do fenômeno da liquefação deve proporcionar uma
adequada descrição do comportamento acoplado sólido-fluido sob ação de forças
externas transientes. Um conjunto de equações diferenciais foi proposto
inicialmente por [Biot, M.A., 1956a] e depois adequadas para aplicações
numéricas por diversos pesquisadores ([Ghaboussi, J.; Wilson, E., 1972],
[Zienkiewicz, O.C.; Shiomi, T., 1984], [Prevost, J.H., 1985], [Zienkiewicz, O.C.,
et al., 1980], [Schrefler, B.A.; Zhan, X., 1993]), exceto em casos de cravação de
estacas ou em explosões, onde a aplicação do carregamento é muito rápida.
Formulações relacionadas com estas condições podem ser encontradas em Biot
[Biot, M.A., 1956b].
De acordo com Zienkiewicz e Shiomi [Zienkiewicz, O.C.; Shiomi, T.,
1984], as equações que governam o comportamento de um meio poroso saturado
(sistema sólido-água) sob carregamento dinâmico compreendem: (a) as equações
de movimento do sistema sólido-fluido; (b) as equações de continuidade do
fluido; (c) as equações de movimento do fluido; (d) o principio das tensões
efetivas; (e) as equações constitutivas do esqueleto sólido. Este conjunto de
equações diferenciais é conhecido como equações de Biot-Zienkiewicz.
(a) Equações de movimento do sistema sólido-fluido
A equação de movimento do sistema sólido-água é dada por
( ) 0,, =++−− ijijiwijij bwwwu ρρρσ &&&&&& (Eq. 4.20)
onde ib é a força de corpo por unidade de massa, ρ a massa específica do
sistema sólido-água conforme equação 4.6
( ) ws nn ρρρ +−= 1 (Eq. 4.6)
e iw& e iw&& representam a velocidade e a aceleração do fluido (água) relativo ao
sólido,
tw
w ii ∂
∂=& (Eq. 4.21)
125
tw
w ii ∂
∂=
&&& (Eq. 4.22)
(b) Equações de continuidade do fluido
Considerando um volume de controle, a variação da velocidade do fluido
(água), ( iiw ,&− ), entre as faces deste volume é devida à superposição da variação
no tempo dos seguintes 4 fatores [Xie, Y.M., 1990]: (1) deformação volumétrica
do volume de controle, ( iiε& ); (2) deformação das partículas sólidas devido a
poropressões, ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
s
w
Kpn &)1(
; (3) deformação das partículas sólidas devido a
tensões efetivas, ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
s
wii
s
T
Kp
KK &
&ε ; (4) compressibilidade da água, ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
w
w
Kpn&
.
Adicionando ainda as contribuições devido a variações no tempo da massa
específica da água, ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
w
wnρρ&
, e os efeitos de segunda ordem, 0s& , resulta então
0)1(
0, =++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
−+++ sn
Kp
KK
Kpn
Kpn
ww
w
s
wii
s
T
s
w
w
wiiii &
&&&
&&&&
ρρ
εε (Eq. 4.23)
onde wK representa o módulo de deformação volumétrica da água.
Considerando
CK
nKn
Q sw
~~~1
=−
+≡α
(Eq. 4.24)
onde Q~ representa o módulo de deformação volumétrica equivalente do sistema
sólido-água, C~ a compressibilidade equivalente do sistema sólido-água e α~
definido na equação 4.17.
Assim, a equação 4.23 pode ser expressa por,
0~~0, =++++ sn
Qp
ww
wwiiii &
&&&&
ρρ
εα (Eq. 4.25)
126
(c) Equações de movimento do fluido
A equação de movimento do fluido é dada por
( ) 0,, =++−−−− iwjijiw
iwwiiw bwww
nuRp ρ
ρρ &&&&&& (Eq. 4.26)
onde wiR representa a componente do vetor de forças de arraste viscoso.
Da mesma forma que na equação 4.20, os termos acima sublinhados
representam a aceleração da água relativa ao sólido e os termos convectivos desta
aceleração.
(d) Principio das tensões efetivas
Dada por
wijijij pδσσ +=′ (Eq. 4.19)
(e) Equações constitutivas tensão-deformação do sistema sólido-fluido
As equações constitutivas para solos, definidas pela relação funcional entre
o tensor de tensões efetivas e o tensor de deformações, é de caráter não-linear,
razão pela qual devem ser expressas na forma incremental,
klijklij D δεσδ =′ (Eq. 4.27)
onde ijklD representa o tensor constitutivo tensão-deformação do solo.
4.3.1 Forma incremental das equações completas de Biot-Zienkiewicz
(a) Equações de movimento do sistema sólido-fluido
0, =+−− iiwijij bwu δρδρδρδσ &&&& (Eq. 4.28)
(b) Equações de continuidade do fluido
0~ 0, =++++ snQp
ww
wwiiii &
&&&& δ
ρρδδ
εαδδ (Eq. 4.29)
127
(c) Equações de movimento do fluido
( )( ) 0,, =++−−−− iwjijif
iwwiiw bwww
nuRp δρδδ
ρδρδδ &&&&&& (Eq. 4.30)
(d) Principio das tensões efetivas
wijijij pδσσ +=′ (Eq. 4.19)
(e) Equações constitutivas tensão-deformação do sistema sólido-fluido
klijklij D δεσδ =′ (Eq. 4.27)
As variáveis incógnitas do sistema de equações são: (1) a pressão do fluido
(água), wp ; (2) a velocidade do fluido relativo ao sólido, iw& ; (3) o deslocamento
do sólido, iu .
As condições de contorno impostas sobre as equações completas de Biot-
Zienkiewicz (forma u-p-w), Γ , compreendem da união da condição de contorno
para o sólido, sΓ , e para o fluido, wΓ ,
ws Γ∪Γ=Γ (Eq. 4.31)
(1) Para o sólido.
As condições de contorno do sólido, sΓ , são compreendidas como a união
de dois tipos de contornos: (1) condição de contorno do sólido em termos das
forcas, stΓ , e (2) condição de contorno do sólido em termos do deslocamento, s
uΓ ,
su
st
s Γ+Γ=Γ (Eq. 4.32)
Sobre o contorno stΓ especificam-se valores de forcas externas atuantes *
it e
sobre o contorno suΓ valores de deslocamento prescrito, *
iu ,
*it em s
ts Γ=Γ (Eq. 4.33)
*iu em s
us Γ=Γ (Eq. 4.34)
128
(2) Para o fluido.
As condições de contorno do fluido (água), wΓ , decorrem da união de dois
diferentes tipos de contorno: (1) condição de contorno do fluido em termos da
poropressão, wpΓ , e (2) condição de contorno do fluido em termos da velocidade
do fluido relativo ao sólido, ww&Γ ,
ww
wp
w&Γ+Γ=Γ (Eq. 4.35)
Sobre o contorno wpΓ especificam-se valores da poropressão atuante iwp* e
sobre o contorno ww&Γ velocidades do fluido relativo ao sólido atuante, *
iw& ,
iwp* em wp
w Γ=Γ (Eq. 4.36)
*iw& em w
ww
&Γ=Γ (Eq. 4.37)
4.3.2 Forma incremental das equações simplificadas de Biot-Zienkiewicz
Vários pesquisadores ([Ghaboussi, J.; Wilson, E., 1972], [Chan, A.H.C., et
al., 1991]) mostraram que o sistema completo das equações (forma u-p-w) é
adequado para uma resolução numérica através do método explícito. Entretanto,
no caso da utilização de métodos implícitos, onde o sistema de equações deve ser
resolvida a cada passo de iteração no tempo, é conveniente, para fins de eficiência
computacional, reduzir o número de variáveis através da adoção da formulação
simplificada na forma u-p.
De acordo com Zienkiewicz [Zienkiewicz, O.C., et al., 1980], no caso de
fluxo laminar é possível assumirem-se as seguintes hipóteses simplificadoras: (a)
variação da aceleração do fluido (água) em relação ao fluido pode ser
desconsiderada, 0=iw&&δ ; (b) variação nula do termo convectivo da equação 4.30,
( ) 0, =jijww &&δ ; (c) fluido incompressível com variação da massa específica nula,
0=fρδ & ; (d) desconsideração da variação temporal dos efeitos de segunda ordem,
00 =s&δ .
129
Se essas simplificações forem introduzidas nas equações completas de Biot-
Zienkiewicz, é possível então eliminarem-se da formulação os graus de liberdade
correspondentes à variável iw& , obtendo-se um sistema de equações simplificadas
conhecido na literatura como de forma u-p.
(a) Equações simplificadas de movimento do sólido
Introduzindo a condição 0=iwδ nas equações 4.28 resulta,
0, =+− iijij bu δρρδδσ && (Eq. 4.38)
(b) Equações simplificadas de movimento-continuidade do fluido
Considerando ( ) 0, =jij ww &&δ e 0=iw&&δ as equações 4.30 se transformam em,
0, =+−−− iwiwwiiw buRp δρδρδδ && (Eq. 4.39)
A força de arrasto viscosa wiR , definida com auxílio da lei de Darcy, pode
ser escrita como
wiiji Rkw =& (Eq. 4.40)
possibilitando evidenciar wiR
iijwi wkR &1−= (Eq. 4.41)
ou na forma incremental,
iijwi wkR &δδ 1−= (Eq. 4.42)
Introduzindo a equação 4.42 na equação 4.39, obtém-se as seguintes
equações simplificadas de movimento do fluido
01, =+−−− −
iwiwjijiw buwkp δρδρδδ &&& (Eq. 4.43)
Substituindo-se
( )iwiwiwijj bupkw δρδρδδ +−−= &&& , (Eq. 4.44)
e
iiii u ,δδε = (Eq. 4.45)
130
nas equações de continuidade do fluido (equação 4.29), tem-se as equações
simplificadas de movimento-continuidade do fluido:
( ) 0~)( ,', =+++−−Qp
ubupk wiijjwjwjwij
&&&&
δδδρδρδ (Eq. 4.46)
O sistema de equações formadas pelas equações 4.19, 4.27, 4.38, 4.46, e as
condições de contorno (equações 4.32, 4.34 e 4.36) pode ser diretamente aplicado
na simulação do comportamento acoplado de sistemas sólido-fluido [Zienkiewicz,
O.C.; Shiomi, T., 1984]. A validade das hipóteses simplificadoras da formulação
u-p para análise de problemas com carregamentos sísmicos é considerada
adequada por Leung [Leung, K.H., 1984].
5 Discretização das equações governantes na forma u-p
5.1 Discretização espacial
Sistemas de equações diferenciais governantes geralmente não têm solução
analítica exata, necessitando do emprego de um método numérico, como o MEF,
para obtenção de uma solução aproximada ([Cook, R., et al., 1989], [Bathe, K.J.,
1996], [Zienkiewicz, O.C., et al., 2006], [Hughes, T.J.R, 1987]). No MEF as
equações diferenciais são satisfeitas, no sentido integral, no domínio do elemento
(formulação fraca), enquanto que na solução analítica estas equações são
satisfeitas em cada ponto do problema (formulação forte).
No MEF os valores de deslocamento do sólido e da poropressão do fluido,
são aproximados nos pontos nodais a nível local (elemento acoplado) por funções
de interpolação contínuas, geralmente polinomiais, cujo grau depende do número
de nós do elemento finito utilizado.
Para o campo dos deslocamentos da matriz sólida (ou sólido),
uNu u≅ (Eq. 5.1)
ou,
KiuKi uNu ≅ (Eq. 5.2)
e para o campo das poropressões do fluido (água)
ww
w pNp ≅ (Eq. 5.3)
ou,
LiwwLiw pNp ≅ (Eq. 5.4)
onde u é o vetor de deslocamento do sólido, u o vetor de deslocamento do sólido
nodal a nível local, uN a matriz das funções de interpolação para o campo dos
deslocamentos do sólido, wp o vetor da poropressão do fluido, wp o vetor da
132
poropressão do fluido nodal a nível local e wN a matriz das funções de
interpolação para o campo das poropressões.
As equações 5.1 e 5.3 podem ser escritas da forma combinada para um
elemento acoplado (sistema sólido-fluido a nível local) como,
ΦNΦΦ =≅)
(Eq. 5.5)
sendo { }TwpuΦ = o vetor da variável generalizada, { }T
wpuΦ = o vetor da
variável generalizada nodal a nível local e N a matriz das funções de interpolação
da variável generalizada definida por
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= w
u
NN
N0
0 (Eq. 5.6)
No caso de uma análise dinâmica, a discretização deve-se estender às
derivadas do vetor da variável generalizada nodal a nível local, obtendo-se
t∂∂
=ΦΦ& (Eq. 5.7)
t∂∂
=ΦΦ&
&& (Eq. 5.8)
onde Φ& representa o vetor da velocidade da variável generalizada nodal a nível
local e Φ&& o vetor da aceleração da variável generalizada nodal a nível local.
Na literatura, as equações discretizadas do MEF são obtidas através de
duas abordagens gerais: (a) formulação variacional; (b) formulação baseada no
método dos resíduos ponderados.
Na formulação variacional as equações de equilíbrio e as condições de
contorno naturais são obtidas pela minimização de um funcional conhecido, como
o que expressa, por exemplo, a energia potencial de um sistema mecânico
conservativo, frequentemente empregado em problemas da mecânica do contínuo.
Hardy [Hardy, S., 2003] estabelece a equação discretizada a nível local para o
sólido através do princípio da energia potencial estacionária, estendida para o
contexto dinâmico pela aplicação do princípio de d’Alembert1, enquanto que o
1 Princípio de d’Alembert: “As ações e reações internas de um sistema de corpos em
movimento estão em equilíbrio”.
133
acoplamento sólido-fluido foi obtido mediante o princípio das tensões efetivas
[Terzaghi, K., 1936] para solos saturados.
[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }RpLuKuCuM f Δ=Δ+Δ+Δ+Δ &&&& (Eq. 5.9)
onde { }u , { }u& e { }u&& são os vetores de deslocamento, da velocidade e da aceleração
do sólido, respectivamente, { }fp o vetor da poropressão do fluido, [ ]M a matriz
de massa do sólido, [ ]C a matriz de amortecimento viscoso, [ ]K a matriz de
rigidez do sólido, [ ]L a matriz de acoplamento sólido-fluido e { }R vetor de forca
do sólido.
Para desenvolver a equação discretizada a nível local para o fluido, Hardy
[Hardy, S., 2003], considerando a lei de Darcy, as equações de movimento e da
continuidade do fluido, obteve pela aplicação do princípio dos trabalhos virtuais,
[ ] { } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { } { }( ) tQnpStpuGuL ffT Δ+=Δ−Δ−Δ+Δ φ&& (Eq. 5.10)
onde [ ]G representa a matriz de inércia do fluido, [ ]φ a matriz de fluxo do fluido,
[ ]S a matriz da compressibilidade do fluido, { }n o vetor de fluxo do fluido, { }Q
vetor da vazão do fluido e t o tempo. O símbolo Δ significa variação.
Ghaboussi e Wilson [Ghaboussi, J.; Wilson, E.L, 1972] apresentam uma
formulação do MEF desenvolvida com base em um funcional de energia para
problemas acoplados em meios porosos saturados proposto por Sandhu e Pister
[Sandhu, R.S.; Pister, K.S., 1970], que resulta no seguinte sistema de equações
algébricas, discretizada a nível local,
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
f
s
f
s
fT
c
cs
f
s
f
s
f
s
fTc
cs
FF
uu
KCCK
uu
D00D
uu
ΜΜΜΜ
&
&
&&
&&
(Eq. 5.11)
onde su , su& , e su&& são vetores de deslocamento, da velocidade e da aceleração do
sólido, respectivamente; fu , fu& , e fu&& os vetores de deslocamento, da velocidade
e da aceleração do fluido, respectivamente, sK e fK as matrizes de rigidez do
sólido e do fluido, respectivamente, sΜ e fΜ as matrizes de massa do sólido e
do fluido, respectivamente, sD e fD as matrizes de amortecimento viscoso do
134
sólido e do fluido, respectivamente, sF e fF os vetores de forca do sólido e do
fluido, respectivamente, cC e cΜ matrizes de acoplamento sólido-fluido em
termos da massa e da rigidez, respectivamente.
Cabe ressaltar que a matriz de amortecimento sD foi introduzida nesta
equação para representar a energia dissipada pelo sólido, podendo ser determinada
pela combinação linear da matriz de massa e da matriz de rigidez do sólido
(amortecimento de Rayleigh), ou seja
( ) ( )fsfss ana KKMMD 22
21
~α−+−= (Eq. 5.12)
onde 1a e 2a são constantes de amortecimento, n a porosidade e α~ a constante
de Biot.
De acordo com Ghaboussi e Wilson [Ghaboussi, J.; Wilson, E.L, 1972] o
sistema de equações 5.11 poderiam também ser obtidas através de uma extensão
do princípio de Hamilton2, assumindo a existência de uma função de dissipação
de energia para levar em conta os efeitos de amortecimento.
Há várias formulações disponíveis na abordagem pelo método dos
resíduos ponderados para obtenção das equações do MEF, dependendo da escolha
do tipo de função de ponderação, PN , para minimização dos resíduos. A mais
popular, parece ser a do método de Galerkin, utilizada no presente estudo, onde as
funções de ponderação são as próprias funções de interpolação empregadas no
MEF.
As equações diferenciais governantes a resolver em casos de problemas
dinâmicos são da forma geral (equação continua),
0ΦAΦAΦA =++ 321&&& (Eq. 5.13)
onde 1A , 2A , 3A representam quantidades matriciais.
2 Princípio de Hamilton: “De todos os caminhos possíveis ao longo dos quais um sistema
dinâmico pode se mover em um intervalo de tempo específico, o caminho percorrido é
aquele que minimiza na integral do tempo a diferença entre as energias potencial e
cinética”.
135
Considerando que
ΦNΦ P≅ (Eq. 5.14)
com
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= w
P
uP
P NN
N0
0 (Eq. 5.15)
a aplicação do método de Galerkin produz então
( ) 0ΦAΦAΦAN ≠Ω++∫Ω
dTP 321
&&& (Eq. 5.16)
que, após a integração, será reduzida à seguinte forma (equação discretizada),
0ΦBΦCBΦB =+′+ 321&&& (Eq. 5.17)
onde 1B , 2B , 3B são quantidades matriciais.
(a) Discretização das equações simplificadas de movimento do sólido
0, =+− iijij bu ρδρδδσ && (Eq. 4.38)
Seguindo-se o procedimento do método de Galerkin, onde as funções de
interpolação para o campo de deslocamentos uKN são utilizadas como funções de
ponderação uPN (i.e. u
KuP NN = ) para minimização dos resíduos no domínio do
elemento. Multiplicando-se a equação 4.35 pela transposta da matriz das funções
de interpolação uKN e integrando-se no domínio do elemento Ω ,
( ) 0, =Ω+−∫Ω
dbuN iijijTu
K ρδρδδσ && (Eq. 5.18)
Do princípio das tensões efetivas para solos saturados,
wijijij pδσσ −′= (Eq. 4.19)
resulta na equação 5.18 em
( ) 0,, =Ω+−−′∫Ω
dbupN iijwijjijTu
K ρδρδδδσδ && (Eq. 5.19)
ou
136
0
,,
=Ω+
Ω−Ω−Ω′
∫
∫∫∫
Ω
ΩΩΩ
dbN
duNdpNdN
iTu
K
iTu
KjwijTu
KjijTu
K
ρδ
ρδδδσδ &&
(Eq. 5.20)
Integrando por partes os dois primeiros termos da equação 5.20,
( ) Ω′−Ω′=Ω′ ∫∫∫ΩΩΩ
dNdNdN ijT
juKjij
TuKjij
TuK σδσδσδ ,,, (Eq. 5.21)
( ) Ω−Ω=Ω ∫∫∫ΩΩΩ
dpNdpNdpN wijTu
jKjwijTu
KjwijTu
K δδδδδδ ,,, (Eq. 5.22)
Aplicando-se o teorema de Green nos termos sublinhados das equações 5.21
e 5.22, vem,
( ) Γ′=Ω′ ∫∫ΓΩ
dnNdN ijjTu
KjijTu
K σδσδ,
(Eq. 5.23)
( ) Γ=Ω ∫∫ΓΩ
dpnNdpN wijjTu
KjwijTu
K δδδδ,
(Eq. 5.24)
Substituindo-se as relações anteriores na equação 5.20,
0
,
,
=
Ω+
Ω−
Ω+Γ−
Ω′−Γ′
∫
∫
∫∫
∫∫
Ω
Ω
ΩΓ
ΩΓ
dbN
duN
dpNdpnN
dNdnN
iTu
K
iTu
K
wijTu
jKwijjTu
K
ijT
juKijj
TuK
ρδ
ρδ
δδδδ
σδσδ
&& (Eq. 5.25)
e reorganizando-se os termos,
( ) Γ−′+Ω=
Ω−Ω′+Ω
∫∫
∫∫∫
ΓΩ
ΩΩΩ
dnpNdbN
dpNdNduN
jwijijTu
KiTu
K
wijTu
jKijT
juKi
TuK
δδσδρδ
δδσδδρ ,,&&
(Eq. 5.26)
Considerando os valores nodais da variável deslocamento, Kiu , e
poropressão, Liwp , de acordo com as equações 5.2 e 5.4,
KiuKi uNu ≅ (Eq. 5.2)
137
LiwwLiw pNp ≅ (Eq. 5.4)
então a equação 5.26 pode ser reescrita como
( ) Γ−′+Ω=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Ω−
Ω′+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Ω
∫∫
∫
∫∫
ΓΩ
Ω
ΩΩ
dnpNdbN
pdNN
dNudNN
jwijijTu
KiTu
K
LiwwLij
TujK
ijTu
jKKiuK
TuK
δδσδρδ
δδ
σδδρ
,
,&&
(Eq. 5.27)
As equações anteriores podem também ser expressas na forma vetorial
(equação discretizada a nível local),
( ) 0fpQuPuM =−−+ sw δδδδ && (Eq. 5.28)
onde
Ω= ∫Ω
dNN uK
TuKρM (Eq. 5.29)
Ω= ∫Ω
dNN wLij
TujK δ,Q (Eq. 5.30)
Ω′= ∫Ω
dN ijT
juK σδδ ,uP (Eq. 5.31)
( ) ( ) Γ−′+Ω= ∫∫ΓΩ
dnpNdbN jwijijTu
KiTu
Ks δδσδρδδf (Eq. 5.32)
onde M é a matriz de massa do sólido, Q matriz de acoplamento sólido-fluido,
uP δ matriz de força interna do sólido que dará origem à matriz de rigidez do
sólido; ( )sfδ vetor de incremento de força do sólido, uδ vetor de incremento de
deslocamento do sólido e wpδ vetor de incremento da poropressão do fluido.
A matriz de massa do sólido pode ser definida por duas formulações: (1)
matriz consistente; (2) matriz de massas concentradas. A matriz de massa
consistente representa a discretização de uma distribuição contínua de massa no
elemento (equação 5.29) enquanto que a matriz de massas concentradas, visando a
um menor tempo de execução computacional, é obtida da matriz de massa por
meio de um processo de diagonalização (lumping), como a técnica HRZ [Hinton,
E., Rock, T.; Zienkiewicz, O.C., 1976].
138
A matriz de acoplamento sólido-fluido (equação 5.30) pode ser escrita na
forma vetorial,
∫Ω
Ω= dwTu NmBQ (Eq. 5.33)
onde wN é a matriz das funções de interpolação que descrevem o campo das
poropressões e m é a forma vetorial do delta de Kronecker dado por,
[ ]T011=m (Eq. 5.34)
A matriz de força interna do sólido (equação 5.31) pode ser escrita na
forma vetorial,
Ω= ∫Ω
dTu σBuP δδ (Eq. 5.35)
considerando-se
uu NSB = (Eq. 5.36)
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
yx
y
x0
0
S (Eq. 5.37)
onde σ é o vetor de tensão, uB a matriz das derivadas das funções de
interpolação uN que descrevem o campo dos deslocamentos do sólido e S matriz
de operador de derivadas.
Considerando a relação tensão-deformação para o sólido, dada pela
equação 4.27,
klijklij D δεσδ =′ (Eq. 4.27)
o tensor das deformações,
)( ,,21
kllkkl uu δδδε += (Eq. 5.38)
e o campo de deslocamentos nodais descrito pela equação 5.2
KiuKi uNu ≅ (Eq. 5.2)
139
então a matriz uP δ pode ser expressa como,
( ) Ω+= ∫Ω
duNuNDN kKlkuKlKkl
uKijkl
Tj
uK )( ,,,,2
1, δδδuP (Eq. 5.39)
ou, na forma vetorial,
uKuP δδ = (Eq. 5.40)
onde
∫Ω
Ω= duTu BDBK (Eq. 5.41)
sendo K a matriz de rigidez do sólido e D a matriz constitutiva tensão-
deformação, i.e. em termos das tensões efetivas.
Da teoria da plasticidade generalizada (equação 3.65), i.e. modelo Pastor–
Zienkiewicz, tem-se epDD = (Eq. 3.50)
O vetor de incremento de força do sólido (equação 5.32) pode ser escrito
na forma vetorial,
( ) ∫∫ΓΩ
Γ+Ω= dd TuTus tNbNf ρδ (Eq. 5.42)
com b representando o vetor de força de corpo por unidade de massa e t o vetor
de força externa (força cisalhante e normal) atuante no sólido.
(b) Discretização das equações simplificadas de movimento-continuidade do
fluido
( ) 0~)( ,', =+++−−Qp
ubupk wiijjwjwjwij
&&&&
δδδρδρδ (Eq. 4.46)
Seguindo-se o procedimento do método de Galerkin, onde as funções de
interpolação para o campo de poropressão wLN são utilizadas como funções de
ponderação wPN (i.e. w
LwP NN = ) para minimização dos resíduos no domínio do
elemento. Multiplicando-se a equação 4.43 pela transposta da matriz das funções
de interpolação wLN e integrando-se no domínio do elemento Ω ,
140
( ) 0~)( ,', =Ω⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++−−∫
Ω
dQp
ubupkN wiijjwjwjwij
TwL
&&&&
δδδρδρδ (Eq. 5.43)
ou
0~
)(
)()(
,'
'',
=Ω+
Ω+Ω+
Ω−Ω−
∫
∫∫
∫∫
Ω
ΩΩ
ΩΩ
dQp
N
duNdbkN
dukNdpkN
wTwL
iiTw
LjjwijTw
L
jjwijTw
LjjwijTw
L
&
&
&&
δ
δδρ
δρδ
(Eq. 5.44)
Integrando por partes os quatro primeiros termos da equação 5.44,
Ω−Ω
=Ω
∫∫
∫
ΩΩ
Ω
dpkNdpkN
dpkN
jwijTw
jLjjwijTw
L
jjwijTw
L
,,',
',
)(
)(
δ
δ
(Eq. 5.45)
Ω−Ω
=Ω
∫∫
∫
ΩΩ
Ω
dukNdukN
dukN
jwijTw
jLjjwijTw
L
jjwijTw
L
&&&&
&&
δρδρ
δρ
,'
'
)(
)(
(Eq. 5.46)
Ω−Ω
=Ω
∫∫
∫
ΩΩ
Ω
dbkNdbkN
dbkN
jwijTw
jLjjwijTw
L
jjwijTw
L
δρδρ
δρ
,'
'
)(
)(
(Eq. 5.47)
( ) Ω−Ω
=Ω
∫∫
∫
ΩΩ
Ω
duNduN
duN
iTw
iLiiTw
L
iiTw
L
&&
&
δδ
δ
,,
,
(Eq. 5.48)
Aplicado-se o teorema de Green nos termos sublinhados das equações 5.45
a 5.48,
Γ=Ω ∫∫ΓΩ
dnpkNdpkN jjwijTw
LjjwijTw
L ,', )( δδ (Eq. 5.49)
Γ=Ω ∫∫ΓΩ
dnukNdukN jjwijTw
LjjwijTw
L &&&& δρδρ ')( (Eq. 5.50)
Γ=Ω ∫∫ΓΩ
dnbkNdbkN jjwijTw
LjjwijTw
L δρδρ ')( (Eq. 5.51)
141
( ) Γ=Ω ∫∫ΓΩ
dnuNduN iiTw
LiiTw
L && δδ , (Eq. 5.52)
Substituindo-se as equações 5.49 a 5.52 na equação 5.44, resulta
0
~
,
,
,
,,,
=
Ω+
Ω−Γ+
Ω−Γ+
Ω+Γ−
Ω+Γ−
∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
Ω
ΩΓ
ΩΓ
ΩΓ
ΩΓ
dQp
N
duNdnuN
dnbkNdbkN
dnukNdukN
dnpkNdpkN
wTwL
iTw
iLiiTw
L
jjwijTw
jLjwijTw
L
jjwijTw
jLjwijTw
L
jjwijTw
jLjwijTw
L
&
&&
&&&&
δ
δδ
δρδρ
δρδρ
δδ
(Eq. 5.53)
Reorganizando-se os termos,
Γ−Γ−
Γ−Γ=
Ω+
Ω−
Ω−
Ω+
Ω+
∫∫
∫∫
∫
∫
∫
∫
∫
ΓΓ
ΓΓ
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
dnuNdnbkN
dnukNdnpkN
dQp
N
duN
dbkN
dukN
dpkN
iiTw
LjjwijTw
L
jjwijTw
LjjwijTw
L
wTwL
iTw
iL
jwijw
jL
jwijTw
jL
jwijTw
jL
&
&&
&
&
&&
δδρ
δρδ
δ
δ
δρ
δρ
δ
,
,
,
,
,,
~
(Eq. 5.54)
Considerando os valores nodais da variável deslocamento, Kiu , e
poropressão, Liwp , de acordo com as equações 5.2 e 5.4,
KiuKi uNu ≅ (Eq. 5.2)
LiwwLiw pNp ≅ (Eq. 5.4)
então a equação 5.54 pode ser reescrita como
142
Γ−
Γ−Γ−
Γ+Ω=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Ω+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Ω+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Ω+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Ω
∫
∫∫
∫∫
∫
∫
∫∫
Γ
ΓΓ
ΓΩ
Ω
Ω
ΩΩ
dnuN
dnbkNdnukN
dnpkNdbkN
udNkN
pdNkN
pdQ
NNudNN
iiTw
L
jjwijTw
LjjwijTw
L
jjwijTw
LjwijTw
jL
KiuKwij
TwjL
iww
jLijTw
jL
iw
wL
TwL
KiuK
TwiL
&
&&
&&
&&
δ
δρδρ
δδρ
δρ
δ
δδ
,,
,
,,
, ~
(Eq. 5.55)
a qual pode ser expressa na forma vetorial (equação discretizada a nível local) por,
( )www fuGpHpSuR δδδδδ =+++ &&&& (Eq. 5.56)
onde
Ω= ∫Ω
dNN uK
TwiL,R (Eq. 5.57)
Ω= ∫Ω
dQ
NN wL
TwL ~S (Eq. 5.58)
Ω= ∫Ω
dNkN wjLij
TwjL ,,H (Eq. 5.59)
Ω= ∫Ω
dNkN uKwij
TwjL ρ,G (Eq. 5.60)
( )
Γ−
Γ−Γ−
Γ+Ω=
∫
∫∫
∫∫
Γ
ΓΓ
ΓΩ
dnuN
dnbkNdnukN
dnpkNdbkN
iiTw
L
jjwijTw
LjjwijTw
L
jjwijTw
LjwijTw
jLw
&
&&
δ
δρδρ
ρδ ,,f
(Eq. 5.61)
onde R é a matriz de acoplamento sólido-fluido, S a matriz de compressibilidade
sólido-fluido, H a matriz de fluxo do fluido, G a matriz de fluxo dinâmico do
fluido e ( )wfδ o vetor de incremento de força do fluido.
143
A matriz de acoplamento sólido-fluido (equação 5.57) pode ser escrita na
forma vetorial,
∫Ω
Ω= duTw NBR (Eq. 5.62)
com
ww NSB = (Eq. 5.63)
onde wB é a matriz das derivadas das funções de interpolação wN que descrevem
o campo das poropressões.
De acordo com Zienkiewicz [Zienkiewicz, O.C., et al., 1999] pode-se
admitir (caso particular) que a matriz de acoplamento sólido-fluido R (equação
5.62) é similar à transposta da matriz de acoplamento sólido-fluido Q (equação
5.33), ou seja,
TQR = (Eq. 5.64)
A matriz de compressibilidade sólido-fluido (equação 5.58) pode ser escrita
na forma vetorial,
Ω= ∫Ω
dQ
wTw NNS ~1
(Eq. 5.65)
onde
sw Kn
Kn
Q−
+≡α~
~1
(Eq. 4.24)
A matriz de fluxo do fluido (equação 5.59) pode ser escrita na forma
vetorial,
∫Ω
Ω∇∇= dwTw NkNH (Eq. 5.66)
com
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
∂∂
=∇y
Nx
N wwTwN (Eq. 5.67)
onde k é a matriz de permeabilidade absoluta. No caso de considerar a
permeabilidade absoluta principal, a matriz de permeabilidade é dada por
144
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
y
x
kk0
0k (Eq. 5.68)
sendo xk , yk valores da permeabilidade absoluta na direção x e y ,
respectivamente. No caso de isotropia: yx kkk == .
A matriz de fluxo dinâmico do fluido (equação 5.60) pode ser escrita na
forma vetorial,
∫Ω
Ω∇= duw
Tw NkNG ρ (Eq. 5.69)
O vetor de incremento de força do fluido (equação 5.61) pode ser escrito
na forma vetorial,
( ) ( ) Γ+Ω∇−= ∫∫ΓΩ
dd Tww
TTww qNbkNfr
ρδ (Eq. 5.70)
onde
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
∂∂
=∇yx
T (Eq. 5.71)
sendo br
o vetor unitário de força de corpo e q o vetor de influxo através do
contorno do elemento.
De acordo com Chan [Chan, A.H.C., 1988] a matriz de fluxo dinâmico
(equação 5.71) e os termos sublinhados do vetor dos fluxos nodais (equação 5.57)
influem marginalmente nos resultados numéricos podendo ser desconsiderados da
formulação. Logo,
( ) 0fpSpHuQ =−++ www
T δδδδ && (Eq. 5.72)
As equações 5.28 e 5.72, aqui desenvolvidas em detalhe, são aquelas
apresentadas diretamente por Zienkiewicz [Zienkiewicz, O.C., et al., 1999].
(c) Acoplamento das equações simplificadas discretas
Combinando as equações 5.28 e 5.72 para descrever, a nível local
(elemento acoplado), o comportamento dinâmico acoplado sólido-fluido, tem-se
145
( )
( ) 0ff
pu
H0QK
pu
SQ00
pu
000M
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
w
s
wwT
w
δδ
δδ
δδ
δδ
&
&
&&
&&
(Eq. 5.73)
Neste ponto, um comentário sobre o amortecimento em solos deve ser
feito. Quando geo-estruturas sob carregamento dinâmico são estudadas, para
simular os efeitos de comportamento plástico de solos através de uma análise
simplificada puramente elástica, adiciona-se nas equações de equilíbrio da fase
sólida (equação 5.24) uma matriz de amortecimento viscoso, C ,
( )sw fpQuKuCuM δδδδδ =−++ &&& (Eq. 5.74)
Esta matriz de amortecimento tem significado físico, porém devido à falta
de informação sobre a natureza do amortecimento, é usual assumir, a nível do
elemento, que a mesma possa ser determinada como uma combinação linear da
matriz de massa do sólido, M , e da matriz de rigidez do sólido, K . Dita matriz é
conhecida também como matriz de amortecimento de Rayleigh, RC ,
KMC RRR βα += (Eq. 5.75)
onde Rα e Rβ são parâmetros que podem ser estimados como:
oR ξωα = (Eq. 5.76)
oR ω
ξβ = (Eq. 5.77)
sendo ξ uma razão de amortecimento típica para o solo investigado (geralmente
de 3% a 7%) e oω a freqüência fundamental do sistema não-amortecido.
Tomando em conta a matriz de amortecimento de Rayleigh (equação
5.75), a equação que descreve o comportamento dinâmico do elemento acoplado
(equação 5.73) pode então ser reescrita como
( )
( ) 0ff
pu
H0QK
pu
SQ0C
pu
000M
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
w
s
wwTR
w
δδ
δδ
δδ
δδ
&
&
&&
&&
(Eq. 5.78)
ou, na forma vetorial,
146
0fΦKΦCΦM =−++ eeee δδδδ &&& (Eq. 5.79)
sendo eM a matriz de massa do elemento acoplado; eC a matriz de
amortecimento do elemento acoplado; eK a matriz de rigidez do elemento
acoplado; efδ o vetor de incremento de força do elemento acoplado; Φδ , Φ&δ ,
Φ&&δ representam os vetores de incremento da variável generalizada a nível local e
suas velocidades e acelerações, respectivamente; ( )sfδ , ( )wfδ representam os
vetores de incremento de força a nível local do sólido e do fluido,
respectivamente; uδ , u&δ , u&&δ representam os vetores de incremento do
deslocamento do sólido a nível local e suas velocidades e acelerações,
respectivamente e wpδ , wp&δ , wp&&δ representam os vetores de incremento da
poropressão do fluido a nível local e suas velocidades e acelerações,
respectivamente.
Após o procedimento de montagem dos elementos finitos, a equação
discreta que descreve o comportamento dinâmico acoplado sólido-fluido a nível
global (sistema), tem a seguinte forma,
( )
( ) 0ff
pu
H0QK
pu
SQ0C
pu
000M
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
w
s
wwT
w
~~
~~
~~~
~~
~~~
~~~
δδ
δδ
δδ
δδ
&
&
&&
&&
(Eq. 5.80)
ou, na forma vetorial,
0fΦKΦCΦM =−++ SSSS~~~~~~~ δδδδ &&& (Eq. 5.81)
onde SM~ representa a matriz de massa do sistema; SC~ a matriz de
amortecimento do sistema; SK~ a matriz de rigidez do sistema; Sf~δ o vetor de
incremento de força do sistema; Φ~δ , Φ&~δ , Φ&&~δ representam os vetores de
incremento da variável generalizada a nível global e suas velocidades e
acelerações, respectivamente; ( )sf~δ , ( )wf~δ representam os vetores de incremento
de força a nível global do sólido e do fluido, respectivamente; u~δ , u&~δ , u~δ
representam os vetores de incremento do deslocamento do sólido a nível global e
147
suas velocidades e acelerações, respectivamente e wp~δ , wp&~δ , wp&&~δ representam os
vetores de incremento da poropressão do fluido a nível global e suas velocidades e
acelerações, respectivamente.
5.2 Discretização temporal
Após a discretização espacial das equações governantes a nível local
(elemento acoplado) e a obtenção da equação discreta a nível global (sistema),
através do procedimento de montagens dos elementos finitos, é necessário
executar-se a discretização temporal (integração temporal) da equação 5.81 para
completar a solução numérica do problema dinâmico. Nesta tese utiliza-se o
esquema de integração temporal proposto por Newmark ou método de Newmark
[Newmark, N.M., 1959]. O método de Newmark, baseado na técnica das
diferencias finitas, e descrito a seguir.
No tempo tt Δ+ , a equação que descreve o comportamento dinâmico
acoplado sólido-fluido a nível global (equação 5.74), chamada também equação
de equilíbrio dinâmico do sistema, pode ser escrita como,
0fΦKΦCΦM =−++ Δ+Δ+Δ+Δ+ ttSttSttSttS~~~~~~~ δδδδ &&& (Eq. 5.82)
onde tt Δ+Φ~δ , tt Δ+Φ&~δ e tt Δ+Φ&&~δ são vetores do incremento da variável generalizada
a nível global e suas velocidades e acelerações, respectivamente, no tempo tt Δ+ .
Pelo método de Newmark, a relação entre valores temporais sucessivos
( tΔ ) da variável generalizada a nível global, suas velocidades e acelerações
podem ser determinados por
( ) 22 ~~~21~~~ ttt tttttttt Δ−+Δ+Δ+= Δ+Δ+ ΦΦΦΦΦΦ &&&&&&& δδβδδδδ (Eq. 5.83)
( ) tt ttttttt Δ−+Δ+= Δ+Δ+ ΦΦΦΦΦ &&&&&&&& ~~~~~ δδαδδδ (Eq. 5.84)
( ) ttttttt ttΦΦΦΦΦ &&&&& ~1
21~1~~1~
2 δα
δα
δδα
δ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
Δ−−
Δ= Δ+Δ+ (Eq. 5.85)
onde α , β são constantes do método de Newmark e tΦ~δ , tΦ&~δ e tΦ&&~δ são
vetores do incremento da variável generalizada a nível global e suas velocidades e
acelerações, respectivamente, no tempo t .
148
Considerando as equações 5.83 a 5.85, a equação de equilíbrio dinâmico
do sistema (equação 5.82), pode ser escrita de forma equivalente ao equilíbrio
estático,
ttSttS Δ+Δ+ = fΦK δδ~ (Eq. 5.86)
com
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
Δ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
Δ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= SSSS
ttKCMK ~~1~11
2 αβ
α (Eq. 5.87)
Stt
Stt
tSttSttS
t
t
CΦΦ
MΦΦ
fff
~~121~
~~121~11
~~
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
Δ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+−= Δ+Δ+
&&&
&&&
δαβδ
αβ
δα
δα
δδδ
(Eq. 5.88)
onde SK é a matriz de rigidez equivalente do sistema; ttS Δ+fδ o vetor de
incremento de força equivalente do sistema no tempo tt Δ+ e ttS Δ+f~δ , tSf~δ
representam os vetores de incremento de força do sistema no tempo tt Δ+ e t ,
respectivamente.
O vetor da variável generalizada a nível global no tempo tt Δ+ , tt Δ+Φ~ ,
pode ser obtido por
ttttt Δ+Δ+ ++= ∑ ΦΦΦΦ ~~~~0 δδδ (Eq. 5.89)
sendo 0~Φδ o vetor de incremento da variável generalizada a nível global na
condição inicial ( 0=t ), obtido previamente da analise estática, tt Δ+Φ~δ o vetor de
incremento da variável generalizada a nível global no tempo tt Δ+ , obtido da
solução da equação 5.86, e ∑ tΦ~δ a suma dos vetores de incremento da variável
generalizada a nível global previamente calculados até o tempo t .
Em seguida, o vetor de incremento da aceleração da variável generalizada
a nível global, tt Δ+Φ&&~δ , é calculado pela equação 5.85 e o vetor de incremento da
velocidade da variável generalizada a nível global, tt Δ+Φ&~δ , pelas equações 5.84.
149
Cabe mencionar que a equação 5.86 representa um sistema de equações
cujas incógnitas são os incrementos de deslocamento do sólido e as poropressões
do fluido a nível global, devendo ser utilizados diferentes valores das constantes
α e β nas equações correspondentes ao sólido e à fase fluida.
Substituindo-se nas equações 5.87 e 5.88 os escalares α e β pelos vetores T
ws ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=αα11
1α (Eq. 5.90)
T
w
w
s
s
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=αβ
αβ
2α (Eq. 5.91)
obtém-se,
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
Δ+
Δ= SSSS
ttKCαMαK ~~1~1
221 (Eq. 5.92)
e
( ) Stt
Stt
tSttSttS
t
t
CΦαΦα
MΦαΦα
fff
~~~
~~21~1
~~
32
11
&&&
&&&
δδ
δδ
δδδ
Δ++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
Δ+
+−= Δ+Δ+
(Eq. 5.93)
com
T
w
w
s
s
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−−= 1211
21
3 αβ
αβα (Eq. 5.94)
considerando sα e sβ as constantes do método de Newmark para o
deslocamento do sólido e wα e wβ para a poropressão do fluido.
Explicitamente, a matriz de rigidez equivalente do sistema (equação 5.87)
é reescrita como
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+ΔΔ
−+Δ
+Δ=
HSQ
QKCMK ~~~
~~~~12
tt
tt
w
wT
w
w
s
s
sS
αβ
αβ
αβ
α (Eq. 5.95)
e o vetor de incremento de força equivalente do sistema (equação 5.88) por
150
( ) ( ) Twtt
sttttS
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧= Δ+Δ+Δ+ fff δδδ (Eq.5.96)
com ( ) ( ) ( )
Cuu
Muu
fff
~~12
~
~~2
1~1
~~
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−Δ++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
Δ+
+−= Δ+Δ+
ts
st
s
s
ts
ts
st
stt
stt
t
t
&&&
&&&
δαβ
δαβ
δα
δα
δδδ
(Eq.5.97)
( ) ( ) ( )
Sp
Quu
fff
~~
~~12
~
~~
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−Δ++
+−= Δ+Δ+
tww
w
Tt
s
st
s
s
wt
wtt
wtt
t
&
&&&
δαβ
δαβ
δαβ
δδδ
(Eq.5.98)
Diversos pesquisadores ([Lewis, R.W.; Schrefler, B.A., 1998],
[Zienkiewicz, O.C., et al., 1999], [Pastor, M., et al., 1999], [Schrefler, B.A.,
2004]) recomendam a utilização do método de Newmark Generalizado para
integração no tempo da equação 5.82. Este método foi denominado inicialmente
método beta-m por Katona [Katona, M.G., 1985] e renomeado método de
Newmark Generalizado (GNpj ) por Katona e Zienkiewicz [Katona, M.G.;
Zienkiewicz, O.C., 1985], onde p é a ordem do esquema de integração numérica
e j a ordem da equação diferencial no tempo, sendo que jp ≥ .
Para análises dinâmicas, Katona e Zienkiewicz [Katona, M.G.;
Zienkiewicz, O.C., 1985] recomendam 22GN na integração dos deslocamentos e
11GN para as poropressões, resultando nas equações seguintes:
( ) 22
2 ~~21~
21~~~ ttt tttttttt Δ−+Δ+Δ+= Δ+Δ+ uuuuuu &&&&&&& δδβδδδδ (Eq. 5.99)
( ) tt ttttttt Δ−+Δ+= Δ+Δ+ uuuuu &&&&&&&& ~~~~~1 δδβδδδ (Eq. 5.100)
( ) ttttttt ttuuuuu &&&&& ~1
21~1~~1~
112
1
δβ
δβ
δδβ
δ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
Δ−−
Δ= Δ+Δ+ (Eq. 5.101)
onde 1β e 2β são constantes do método de Newmark Generalizado 22GN (para
o deslocamento do sólido).
151
( )twttwtwtwttw t ppppp ~~~~~1 δδβδδδ −+Δ+= Δ+Δ+
& (Eq. 5.102)
ttwttw
twttw Δ−
+= Δ+Δ+
pppp
~~~~ δδδδ && (Eq. 5.103)
onde 1β é a constante do método de Newmark Generalizado 11GN (para a
poropressão do fluido).
Observe que considerando-se 221 βββ == s e 1βαα == s nas equações
5.83 a 5.85 obtêm-se expressões similares às do método 22GN (equações 5.99 a
5.101). Da mesma forma, tomando-se 1βββ == w , 1== wαα e admitindo-se
0p =Δ+ ttw&&~δ resulta nas equações 5.83 e 5.84 expressões semelhantes às do
método 11GN (equações 5.102 e 5.103).
Logo, basta fazer a equivalência entre estes valores para transformar a
equação 5.95 em
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+ΔΔ
−+Δ
+Δ=
HSQ
QKCMK ~~1~1
~~~121~11
11
1
22
1
tt
ttT
S
ββ
ββ
β (Eq.5.104)
e as equações 5.97 e 5.98 em
( ) ( ) ( )
Cuu
Muu
fff
~~141~
21
~~21~11
~~
1
2
1
2
11
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−Δ++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
Δ+
+−= Δ+Δ+
tt
tt
st
stt
stt
t
t
&&&
&&&
δββ
δββ
δβ
δβ
δδδ
(Eq. 5.105)
( ) ( ) ( )
( )Sp
Quu
fff
~~
~~141~
21
~~
1
1
2
1
2
tw
Ttt
wt
wtt
wtt
t
&
&&&
δβ
δββ
δββ
δδδ
+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−Δ++
+−= Δ+Δ+
(Eq. 5.106)
152
O método de Newmark Generalizado é condicionalmente estável, devendo
satisfazer as seguintes condições para assegurar a convergência da solução
numérica:
21
12 ≥≥ ββ (Eq. 5.107)
21
1 ≥β (Eq. 5.108)
O emprego da equação 5.86, considerando as equações 5.104 e 5.96 com
5.105 e 5.106, permitem o cálculo direto das incógnitas tt Δ+u~δ e ttw Δ+p~δ . Este
procedimento, utilizado nesta tese, se diferencia daquele sugerido por Zienkiewicz
[Zienkiewicz, O.C., et al., 1999], baseado primeiramente no cálculo das
incógnitas tt Δ+u&&~δ e ttw Δ+p&~δ e, em seguida, das quantidades incrementais tt Δ+u~δ e
ttw Δ+p~δ através de integração temporal. A alternativa adotada neste trabalho é
mais eficiente em termos de execução computacional.
5.3 Linearização das equações discretas do sistema sólido-fluido
Na solução de sistema de equações não-lineares, a equação 5.86
geralmente não é satisfeita, existindo uma força desequilibrada do sistema xΨ S
que deve ser reduzida, dentro de certos limites de tolerância do erro relativo,
através de técnicas iterativas.
ttSttSS Δ+Δ+ −= fΦKxΨ δδ~ (Eq. 5.109)
com
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
==Δ+
Δ+Δ+
ttw
tttt p
uΦx ~
~~δδ
δ (Eq. 5.110)
( )
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
= w
s
S ΨΨ
xΨ (Eq. 5.111)
153
Dentre estas, o método de Newton-Raphson baseado na expansão da
equação 5.109 por série de Taylor
( )0
xx
xΨx
x
xΨ
xΨ
xΨ
=
+∂
∂+
∂
∂
+
=+
K2
2
2
1
i
iSi
iS
iS
iS
dd
(Eq. 5.112)
Considerando que na iteração 1+i a solução exata é obtida,
0xΨ =+1iS (Eq. 5.113)
e truncando-se a série de Taylor de modo a ignorar os termos de segunda ou maior
ordem (sublinhados na equação 5.112), resulta
0xx
xΨxΨ =
∂
∂+ i
iSi
S d (Eq. 5.114)
ou
iS
id xΨxJ −= (Eq. 5.115)
sendo J a matriz jacobiana definida por
x
xΨJ
∂
∂=
iS
(Eq. 5.116)
ou, no caso do problema acoplado, no passo de tempo tt Δ+
( ) ( )
( ) ( )
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
Δ+Δ+
Δ+Δ+
ttw
iw
tt
iwttw
is
tt
is
p
Ψ
u
Ψ
p
Ψ
u
Ψ
J
~~
~~
δδ
δδ (Eq. 5.117)
154
A matriz jacobiana pode ser calculada pelas equações 5.117 e 5.109 como
( )
i
S
i
ttSi
tt
i
Si
tt
iSi
tt
i
K
fΦKΦ
ΨΦ
J
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
∂
∂=
∂
∂=
Δ+Δ+
Δ+
Δ+
δδδ
δ
~~
~
(Eq. 5.118)
sendo
iS
iS xΨΨ = (Eq. 5.119)
ou (da equação 5.104)
i
T
i
tt
tt
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+ΔΔ
−+Δ
+Δ=
HSQ
QKCMJ ~~1~1
~~~121~11
11
1
22
1
ββ
ββ
β (Eq. 5.120)
O sistema de equações fica finalmente expresso da seguinte forma,
( )( )
( )
( )
i
w
si
ttw
tti
dd
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+
Δ+
Δ+
ΨΨ
pu
J1
~~
δδ
(Eq. 5.121)
ou
( ) iS
i
tti d ΨΦJ −=
+
Δ+
1~δ (Eq. 5.122)
onde ( ) 1~ +
Δ+
i
ttd Φδ é a solução da equação 5.122.
Observe-se que a matriz jacobiana J não é simétrica, devendo sua
segunda coluna ser multiplicada por tΔ− 1β para obter-se
( )( )
( )
( )
i
w
s
i
ttw
tt
i
T
t
dd
ttt
ttt
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
Δ−−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
ΔΔ−
Δ
Δ+
Δ+
Δ+
Δ+
Δ+
ΨΨ
pu
HSQ
QKCM
1
~~
~~11~1
~1~~121~11
1
1
111
11
22
1
β
δδ
βββ
βββ
β
(Eq.
5.123)
155
O vetor iSΨ é calculado da equação 5.109 por
( )
( )
( )
( )
i
wtt
stt
i
ttw
tti
S
i
w
s
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
Δ+
Δ+
Δ+
Δ+
f
fpu
KΨΨ
δ
δδδ~~
(Eq. 5.124)
onde
( ) ( )
ttwtt
tttt
stt
is
tt
Δ+Δ+
Δ+Δ+Δ+
−+
Δ+
Δ+−=
pQuP
uCuMfΨ
~~~~
~~121~~11
1
22
1
δδ
δββ
δβ
δ (Eq. 5.125)
( ) ( )
ttw
ttwttT
wtt
iw
tt
Δ+
Δ+Δ+Δ+
+
Δ+
Δ+−=
pH
pSuQfΨ
~~
~~1~~111
δ
δβδβδ (Eq. 5.126)
e
ttTu
tt d uPσBuP ~~~~ δδδ +⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω= ∑ ∫
ΩΔ+ (Eq. 5.127)
com
tu
tt uBDσ δδ = (Eq. 5.128)
onde o símbolo [ ]∑ representa o procedimento de montagem dos elementos
finitos.
Em cada iteração o vetor de incremento da variável generalizada a nível
global é acumulada,
( )( )
11
~~
~~
~~ +
Δ+
Δ+
Δ+
Δ+
+
Δ+
Δ+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
i
ttw
tti
ttw
tti
ttw
tt
dd
pu
pu
pu
δδ
δδ
δδ
(Eq. 5.129)
ou,
( ) 11 ~~~ +
Δ+Δ+
+
Δ+ +=i
tt
i
tt
i
tt d ΦΦΦ δδδ (Eq. 5.130)
Finalmente, a solução na iteração 1+n é obtida como
( )( )∑
= Δ+
Δ+
Δ+
Δ+
+
Δ+
Δ+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ n
j
j
ttw
tt
ttw
ttn
ttw
tt
dd
1
01
~~
~~
~~
pu
pu
pu
δδ
δδ
δδ
(Eq. 5.131)
ou
156
( )∑=
Δ+Δ+
+
Δ+ +=n
j
j
tttt
n
tt d1
01 ~~~ ΦΦΦ δδδ (Eq. 5.132)
admitindo-se o seguinte critério de convergência para a variável generalizada a
nível global tt Δ+Φ~δ ,
( )tolerância~
~
1≤
+
Δ+
Δ+
i
tt
i
ttd
Φ
Φ
δ
δ (Eq. 5.133)
Observe-se que o termo sublinhado da equação 5.132 representa a solução
da equação 5.86.
Na solução numérica do sistema de equações não-lineares pelo método de
Newton-Raphson (equação 5.122) naturalmente devem ser impostas as condições
iniciais ( 0=t ) e as condições de contorno do problema específico.
6 Exemplos
6.1 Características gerais do programa computacional
A formulação do MEF discutida nos capítulos anteriores foi implementada
em um programa computacional (anexo C) para análises dinâmicas 2D (estado
plano de deformação), elaborado nesta pesquisa em Fortran 90. Para geração de
malhas dos elementos finitos é utilizado o programa gráfico iterativo MTOOL
desenvolvido na PUC-Rio.
A discretização espacial tem como base elementos finitos isoparamétricos
triangulares e quadrilaterais enquanto que a discretização temporal é feita com o
método de Newmark Generalizado considerando constantes 5,01 =β e 55,02 =β
para a fase sólida e 50,01 =β para a fase fluida, atendendo às condições de
estabilidade condicional do algoritmo ( 50,012 ≥≥ ββ e 50,01 ≥β ) propostas por
Katona e Zienkiewicz [Katona, M.G.; Zienkiewicz, O.C., 1985]. Adota-se
também a formulação consistente para a matriz de massa.
As condições iniciais da análise dinâmica, representadas pela análise
estática ( 0=t ), são fornecidas ao programa através de um arquivo de entrada
(deformações, poropressões e tensões iniciais). O modelo constitutivo utilizado
nesta análise corresponde ao modelo P-Z, proposto por Pastor [Pastor, M., et al.,
1990], baseado na teoria da plasticidade generalizada. A solução não-linear
aproximada, em cada incremento de tempo, é obtida com o método de Newton-
Raphson e o sistema de equações é resolvido pelo tradicional método de
eliminação de Gauss.
O carregamento externo pode ser dado na forma de: (1) condição de
contorno de deslocamento ou poropressão, (2) força nodal ou influxo e (3)
carregamento distribuído sob a fase sólida. Estes carregamentos podem ser dados
também em função do tempo. O movimento sísmico, tanto horizontal quanto
vertical, é pré-definido como aceleração de contorno.
158
As equações de equilíbrio dinâmico do sistema acoplado sólido-fluido
(equação 5.80), apresentadas no capítulo 5, foram ainda simplificadas devido a:
a) hipótese de carregamento não-drenado, usual no estudo do comportamento
sísmico de solos saturados, com possível exceção para o caso de
pedregulhos, implicando que a parcela do influxo q (equação 5.70) seja
admitido nulo;
b) matriz de amortecimento de Rayleigh, RC , (equação 5.75) será ignorada,
tendo em vista que, o amortecimento do material sob carregamento cíclico
será admitido representado pelo modelo constitutivo P-Z.
Neste capítulo são apresentadas inicialmente as retroanálises de ensaios de
laboratório utilizando o modelo P-Z, tanto sobre carregamentos monotônicos
quanto cíclicos. Três exemplos foram analisados utilizando o programa
desenvolvido nesta pesquisa. O primeiro exemplo avalia o comportamento de uma
coluna de solo, tanto sob condição seca quanto saturada. O segundo exemplo
estuda o comportamento dinâmico da barragem de San Fernando enquanto que o
último analisa o comportamento de um talude submerso sobre carregamento
dinâmico.
6.2 Retroanálises de ensaios de laboratório em areias
6.2.1 – Parâmetros do modelo Pastor-Zienkiewicz
Para determinação dos parâmetros1 do modelo P-Z, Pastor e colaboradores
[Pastor, M., et al., 1990] recomendam os seguintes critérios:
a) parâmetro epoK - valor do módulo de deformação volumétrica efetiva,
K ′ , (equação 6.1) quando a tensão efetiva média, p′ , for igual à tensão
efetiva média inicial, 0p′ ,
1 Para mais detalhes da estimativa dos 11 parâmetros do modelo P-Z, o leitor
interessado pode consultar em Zienkiewicz [Zienkiewicz, O.C., et al., 1999].
159
KK epo ′= (Eq. 6.1)
b) parâmetro eqoK - três vezes o valor do módulo de cisalhamento, G ,
(equação 6.2) quando a tensão efetiva média, p′ , for igual à tensão
efetiva média inicial, 0p′ ,
GKeqo 3= (Eq. 6.2)
c) parâmetro LoH (adimensional) - módulo plástico do primeiro
carregamento;
d) parâmetro α (adimensional) - inclinação da reta formada com os valores
de dilatância, d , e da razão de tensões, η , na SSL . O valor geralmente
varia entre 0,2 e 0,8, sendo 45,0=α frequentemente utilizado;
e) parâmetro gM (adimensional) - obtido através de ensaios triaxiais não-
drenados observando-se a mudança de fase entre os comportamentos
contrativo e dilatante, ou a partir do ângulo de atrito efetivo mobilizado
sob grandes deformações, ou em função do ângulo de atrito na condição
residual em ensaios triaxiais drenados, ou através das equações 3.80 e
3.84;
f) parâmetro fM - para areias muito densas com densidade relativa, rD ,
estimado através da seguinte correlação:
grf MDM = (Eq. 6.3)
g) parâmetro 0β (adimensional) - usualmente considera-se 4,2 num
intervalo de valores recomendados entre 1,5 e 8,0;
h) parâmetro 1β (adimensional)- usualmente considera-se 0,2 num intervalo
de valores recomendados entre 0,1 e 0,6;
i) parâmetro 0UH (unidade de tensão) - módulo plástico no primeiro
descarregamento;
j) parâmetro Uγ (adimensional) – obtido por ajuste entre os parâmetros
0UH , gM e η , em etapa de descarregamento, conforme equações 3.108
ou 3.109;
k) parâmetro: γ (adimensional) – obtido através de procedimento de
tentativa e erro na equação 3.112.
160
6.2.2 Retroanálises de ensaios triaxiais monotônicos em areias
Este exemplo ilustra a potencialidade do modelo P-Z na simulação do
comportamento de areias sob condições não-drenados em ensaios triaxiais
monotônicos. No caso da aplicação em ensaios monotônicos, o modelo P-Z
precisa unicamente de 7 parâmetros. Os valores destes parâmetros, para as
diferentes retroanálises, são listados na tabela 6.1 e correspondem aos resultados
de laboratório extraídos da literatura [Castro, G., 1969], referenciados por Pastor
[Pastor, M., et al., 1990]. As figuras 6.1 a 6.3 mostram a comparação dos valores
experimentais (pontos) com as retroanálises executadas (traço continuo) com
auxilio do modelo P-Z.
Tabela 6.1 - Parâmetros do modelo P-Z utilizados nas retroanálises dos ensaios de laboratório monotônicos em areias [Castro, G., 1969].
Ensaio rD (%)
epoK ( kPa )
eqoK ( kPa )
gM fM α 0β 1β LoH
(a) 29 35000 52500 1,30 0,34 0,45 4,2 0,2 350 (b) 44 35000 52500 1,14 0,48 0,45 4,2 0,2 350 (c) 47 35000 52500 1,08 0,57 0,45 4,2 0,2 350 (d) 66 35000 52500 0,94 0,70 0,45 4,2 0,2 350
q ( )kPa
p′ ( )kPa
Figura 6.1 - Previsão da curva tensão efetiva média - tensão de desvio nos ensaios triaxiais monotônicos em areias [Castro, G., 1969] com emprego do modelo P-Z.
161
q ( )kPa
qε ( )%
Figura 6.2 - Previsão da curva deformação cisalhante - tensão de desvio nos ensaios triaxiais monotônicos em areias [Castro, G., 1969] com emprego do modelo P-Z.
wp ( )kPa
qε ( )%
Figura 6.3 - Previsão da curva deformação cisalhante - poropressão nos ensaios triaxiais monotônicos em areias [Castro, G., 1969] com emprego do modelo P-Z.
A figura 6.1 apresenta os resultados da previsão da tensão efetiva média e
tensão de desvio, observando-se que este modelo simula satisfatoriamente os
resultados de laboratório. Uma característica da modelagem a ser notada, é sua
habilidade em simular comportamentos de amolecimento, inclusive representando
os fenômenos de fluxo por liquefação (solo a) e mobilidade cíclica (solos b, c, d).
A figura 6.2 mostra o resultado da previsão da tensão de desvio, percebendo-se,
para o solo d, um leve aumento nos seus valores entanto que para os outros
materiais (solo a,b,c), apresentam-se valores coincidentes com as observações
experimentais. A figura 6.3 ilustra o resultado da previsão da poropressão. É
162
possível observar, para o solo a, um leve aumento nos seus valores entanto que
para os outros materiais apresentam concordância com os resultados de
laboratório.
Tendo em vista o bom desempenho do modelo P-Z, são apresentadas a
seguir as figuras 6.4 a 6.7 as quais destacam alguns pontos particulares da
influência dos parâmetros na previsão dos resultados (ensaio c da tabela 6.1).
Cabe ressaltar que, estas características servem como indicativo para uma melhor
tomada de decisões no caso de assumir parâmetros através da técnica de tentativa
e erro.
q ( )kPa
p′ ( )kPa
Figura 6.4 - Influência do parâmetro α na representação da trajetória de tensão efetiva qp :′ nos ensaios monotônicos com emprego do modelo P-Z.
q ( )kPa
p′ ( )kPa
Figura 6.5 - Influência do parâmetro 0β na representação da trajetória de tensão efetiva
qp :′ no ensaio monotônico com emprego do modelo P-Z.
163
q ( )kPa
p′ ( )kPa
Figura 6.6 - Influência do parâmetro 1β na representação da trajetória de tensão efetiva qp :′ nos ensaios monotônicos com emprego do modelo P-Z.
q ( )kPa
p′ ( )kPa
Figura 6.7 - Influência do parâmetro 0LH na representação da trajetória de tensão
efetiva qp :′ nos ensaios monotônicos com emprego do modelo P-Z.
Em vista que o modelo P-Z considera a influencia da razão da tensão
efetiva média com a tensão de confinamento efetiva (equação 3.118) nos módulos
elásticos, a seguir é apresentada a influência exponencial ( 0=n ;1; 2 ;3 ; 4 ;5 )
desta razão de tensões, ( )npp 0′′ , na previsão dos resultados (ensaio c da tabela
6.1). Esta modificação é feita através da substituição dos termos da matriz
constitutiva elástica (equação 3.118) pelas seguintes equações:
164
n
epoep p
pKD ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛′′
=0
ˆ (Eq. 6.4)
n
eqoeq p
pKD ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛′′
=0
ˆ (Eq. 6.5)
Na figura 6.8 apresenta-se a influência do expoente, n , na resposta em
ensaios monotônicos (ensaio c da tabela 6.1). Observe-se que para 1=n o
resultado corresponde ao modelo P-Z original, percebendo-se que para 1>n , em
comparação ao modelo P-Z original, a resposta do material tende a ser mais
rígida, ocorrendo o contrario para 1<n . A inclusão deste expoente pode
contribuir a um melhor ajuste das curvas obtidas, sendo seu valor determinado
unicamente pelo método de tentativa e erro.
q ( )kPa
p′ ( )kPa
Figura 6.8 - Influência exponencial ( 0=n ;1; 2 ; 3 ; 4 ;5 ) da razão da tensão efetiva média com a tensão de confinamento efetiva na representação da trajetória de tensão efetiva qp :′ nos ensaios monotônicos com emprego do modelo P-Z modificado. .
Nesta tese é feita uma modificação aos parâmetros elásticos do modelo P-Z,
considerando estas dependentes da tensão de confinamento efetiva através das
inclusões das equações 6.6 e 6.7 no modelo original. A efetividade destas
equações foi verificada por Cárdenas [Cárdenas, J.L., 2004] na previsão de
respostas para tensões de confinamento variáveis. Através desta adaptação, o
modelo P-Z modificado torna-se hábil para representar o comportamento sob
distintas condições de confinamento e não apenas de valores constantes como no
modelo original.
165
r
pPGG
r
refr
ασσ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛′′
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ′= 33 (Eq. 6.6)
s
pPKK
s
refs
βσσ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛′′
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ′= 33 (Eq. 6.7)
onde refP é uma pressão de referência, geralmente a pressão atmosférica, atmP , e
rG , r , rα , sK , s , sβ correspondem a parâmetros2 deste modelo.
Ao considerar as equações 6.6 e 6.7, os parâmetros elásticos do modelo P-Z
são modificados para:
r
pPGK
r
refreqo
ασσ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡′′
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ′= 333 (Eq. 6.8)
βσσ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛′′
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ′=
pPKK
s
refsepo
33 (Eq. 6.9)
Para avaliar esta modificação foram realizadas comparações com o modelo
original. Os dados da curva experimental foram extraídos da literatura [Ishihara,
K., 1993] e referenciado por Cárdenas [Cárdenas, J.L., 2004]. A tabela 6.2. indica
os parâmetros do modelo P-Z enquanto que a tabela 6.3 lista os coeficientes
utilizados para definir os módulos de cisalhamento e volumétricos dependentes da
tensão de confinamento efetiva.
Tabela 6.2 - Parâmetros do modelo P-Z utilizados nas retroanálises dos ensaios de laboratório monotônicos em areias [Ishihara, K., 1993].
Ensaio epoK ( kPa )
eqoK ( kPa )
gM fM α 0β 1β LoH
(a) 10000 57000 1,25 0,38 0,25 4,5 0,6 300 (b) 20000 58500 1,25 0,38 0,25 4,5 0,6 300 (c) 33500 60000 1,25 0,38 0,25 4,5 0,6 300
2 Para mais detalhes da estimativa destes parâmetros, o leitor interessado pode
consultar em Cárdenas [Cárdenas, J.L., 2004].
166
Tabela 6.3 - Parâmetros utilizados para obtenção do módulo de cisalhamento e do modulo volumétrico dependentes da tensão de cisalhamento.
rG ( )kPa r rα sK
( )kPa s sβ refP
( )MPa 17076,1 0,05 0,75 800,02 1,09 0,75 0,101
q ( )MPa
p′ ( )MPa
Figura 6.9 - Previsão da curva tensão efetiva média - tensão de desvio nos ensaios triaxiais monotônicos em areias [Ishihara, K., 1993] com emprego do modelo P-Z.
q ( )MPa
p′ ( )MPa
Figura 6.10 - Previsão da curva tensão efetiva média - tensão de desvio nos ensaios triaxiais monotônicos em areias [Ishihara, K., 1993] com emprego do modelo P-Z modificado.
167
A figura 6.9 apresenta os resultados em termos da previsão da trajetória da
tensão efetiva através do modelo P-Z mantendo suas características originais,
enquanto que a figura 6.10 apresenta resultados utilizando o modelo P-Z
modificado.
Embora se tenha empregado os mesmos parâmetros, as previsões do
modelo modificado apresentam uma melhor aproximação aos resultados de
laboratório quando comparados com os resultados obtidos pelo modelo original.
Através da modificação sugerida nesta tese, o modelo torna-se hábil em
representar o comportamento para diferentes estados de tensão confinante efetiva
e não apenas valores constantes como na proposta original. Neste sentido, a figura
6.11 mostra a previsão das trajetórias de tensão efetiva para distintos valores de
tensões de confinamento ( 5,03 =′σ ; 5,1 ; 5,2 ; 5,3 MPa ).
q ( )MPa
p′ ( )MPa
Figura 6.11 - Previsão da trajetória de tensões efetivas para distintos valores de tensões de confinamento ( 5,03 =′σ ; 5,1 ; 5,2 ; 5,3 MPa ) nos ensaios triaxiais monotônicos em areias [Ishihara, K., 1993] com emprego do modelo P-Z modificado.
6.2.3 Retroanálises de ensaios de cisalhamento cíclico em areias
Este exemplo ilustra a potencialidade do modelo P-Z na simulação do
comportamento de areias sob carregamento não-drenado em ensaios de
cisalhamento cíclico. Os dados da curva experimental, apresentados nas figuras
6.12 a 6.14, foram extraídos da literatura [Byrne, P.M., 2005]. O material
168
analisado corresponde a uma areia com densidade relativa, rD , de 44,0 , e foi
testado sob tensão vertical efetiva inicial, 0vσ ′ , de kPa200 , e amplitude da tensão
cisalhante cíclica 012,0 vσ ′ (ou com 12,0=CSR ). De acordo com a figura 6.12,
passados os primeiros 4 ciclos de carregamento, o comportamento dinâmico da
amostra apresentou-se totalmente contrativo seguido de uma gradual perda da
tensão efetiva. Os valores dos parâmetros do modelo P-Z para a retroanálise
estarão listados na tabela 6.4.
Tabela 6.4 - Parâmetros do modelo P-Z utilizados nas retroanálises dos ensaios de laboratório cíclicos em areias [Byrne, P.M, 2005].
epoK ( kPa )
eqoK ( kPa )
gM fM α 0β 1β LoH UoH ( kPa ) Uγ γ
14000 20000 0,42 0,15 0,45 8,0 0,3 26 550 1,9 1,8
q ( )kPa
p′ ( )kPa
Figura 6.12 - Previsão da curva tensão efetiva média-tensão de desvio nos ensaios triaxiais cíclicos de areias com emprego do modelo P-Z.
A figura 6.12 apresenta os resultados da previsão da tensão efetiva média e
tensão de desvio sob carregamento dinâmico, observa-se que este modelo simula
satisfatoriamente os ciclos de carga necessários para a ocorrência da ruptura.
Embora não exista uma concordância com os valores da tensão de desvio para
cada tensão efetiva média, o modelo permite previsão aproximada do
comportamento cíclico dada sua fácil implementação computacional.
169
Neste ponto cabe ressaltar a dificuldade da determinação dos parâmetros
do modelo, sendo que, para pequenas variações destes, a resposta obtida apresenta
características distintas.
q ( )kPa
qε ( )%
Figura 6.13 - Previsão da curva deformação cisalhante-tensão de desvio nos ensaios triaxiais cíclicos de areias com emprego do modelo P-Z.
wp ( )kPa
qε ( )%
Figura 6.14 - Previsão da curva deformação cisalhante-poropressão nos ensaios triaxiais cíclicos de areias com emprego do modelo P-Z.
170
As figuras 6.13 e 6.14 mostram o resultado da previsão tanto da tensão de
desvio dinâmica como da poropressão. Observa-se que, inicialmente para os
quatro primeiros ciclos existe uma boa representação das respostas, observando-se
no último ciclo uma discordância com os resultados de laboratório.
6.3 Exemplo 1 – coluna de solo submetida à excitação cíclica na base
6.3.1 Solo seco
Neste exemplo considera-se uma coluna de solo seco, este admitido como
material linearmente elástico, submetida a uma excitação em sua base, conforme
figura 6.15(a). O principal propósito é verificar, através deste exemplo, que
possui solução analítica, o funcionamento do programa computacional em relação
a rotinas e algoritmos empregados para a análise dinâmica, como o esquema de
integração no tempo.
(a) (b) Figura 6.15 - (a) Coluna de solo seco submetida a carregamento sísmico em sua base; (b) Malha de elementos finitos Q4 utilizada na análise numérica.
ρ,G
taa =
x
A
B
y
H
C tyux ,
171
A aceleração horizontal na base, a , é descrita pela função temporal
( )tsenataa ω0== (Eq. 6.10)
onde 0a representa a amplitude da aceleração e ω a freqüência da aceleração.
A solução analítica para este problema é dada pela expressão [Cuéllar, V.,
1974],
( )( )
( )
( ) ( )( )
∑∞
=
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−⋅
−
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅−
⋅
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−
−
=
1
22
222
20
212
sin12
2sin
212
sin
412
124
,
n
s
s
s
x
HtnV
nVHt
Hyn
HnV
nA
tyu
ππ
ωω
π
ωππ
ω
(Eq. 6.11)
com
ρGVs = (Eq. 6.12) 2
00 ωaA = (Eq. 6.13)
onde sV é a velocidade de propagação de onda cisalhante, 0A representa a
amplitude do deslocamento na base, G o módulo de cisalhamento, ρ a massa
especifica do solo, H a altura da coluna de solo e xu deslocamento horizontal.
Na modelagem numérica da coluna considerou-se a malha indicada na
figura 6.15(b), composta por elementos Q4 com 2,5m de altura. Valores
numéricos dos parâmetros necessários para a execução da análise dinâmica deste
exemplo estão sumarizados na tabela 6.5.
Tabela 6.5 - Parâmetros do material, da aceleração sísmica e da geometria da coluna de solo seco.
ρ ( )3mkg
G ( )kPa
0a ( )2sm
ω ( )rad
H ( )m
2000 20000 3 π2 50
A tabela 6.6 e as figuras 6.16 e 6.17 apresentam a comparação dos
resultados numéricos com a solução analítica (equação 6.11), obtidos para os
pontos A (topo da coluna) e B (na meia altura).
172
Tabela 6.6 - Comparação dos deslocamentos numéricos máximos com a solução analítica.
Deslocamentos máximos ( )m Ponto B Ponto A Tipo de solução
( )+ ( )− ( )+ ( )− Analítica 0,227 0,227 0,360 0,360 Numérica 0,232 0,218 0,360 0,351 Erro relativo ( )% 2,20 3,96 0,00 2,50
Figura 6.16 - Comparação entre respostas numérica e analítica para deslocamentos do ponto B.
Figura 6.17 - Comparação entre respostas numérica e analítica para deslocamentos do ponto A.
Embora a malha de elementos finitos não seja muito refinada, isto é, o
tamanho do elemento finito é 2,5m, há boa concordância entre ambos os tipos de
resultados, sugerindo que o programa computacional é confiável, ao menos para
as condições simplificadas envolvidas neste exemplo (solo seco, material
linearmente elástico). Por outro lado, o erro relativo indicado na tabela 6.6 em
173
termos do deslocamento deve-se ao tamanho do elemento finito utilizado neste
exemplo.
Nos apêndices A e B são apresentados resultados gráficos em termos da
historia de deslocamentos a cada profundidade da coluna, percebendo-se uma boa
similitude dos resultados numéricos obtidos pela solução analítica (figura A.1)
quando são comparados com os resultados pelo FEM (figura B.1). Com o objetivo
de visualizar as características da variação temporal das velocidades e das
acelerações, são apresentados no anexo B (figuras B.2 e B.3) a historia das
velocidades e das acelerações obtidas pelo MEF.
6.3.2 – Solo saturado
a) Análise numérica pelo MEF
Neste caso considerou-se a presença de lençol freático situado a mH w 5=
abaixo do topo da coluna (ponto A), conforme geometria indicada na figura 6.18.
Os parâmetros do material estão indicados nas tabelas 6.7 e 6.8, esta última
contendo informações requeridas pelo modelo P-Z. O material acima da linha
freática é considerado seco, neste caso as propriedades deste material são listadas
na tabela 6.5.
Neste exemplo o valor do módulo de cisalhamento do solo, G , foi
considerado constante nos 10 primeiros metros de profundidade ( MPaG 2,101= )
e, em seguida admitido variar com a tensão de confinamento efetiva através da
relação indicada na equação 6.6 ([Gutierrez, M.; Verdugo, R., 1995] e [Cárdenas,
J.L., et al., 2004]). Nesta análise, o modulo volumétrico considerado corresponde
ao utilizado pelo modelo P-Z na sua versão original (equação 3.116). Os valores
dos parâmetros utilizados para obtenção do módulo de cisalhamento dependente
da tensão de confinamento efetiva (equação 6.6) estão listados na tabela 6.9.
174
(a) (b)
Figura 6.18 - (a) Coluna de solo, com presença do lençol freático, submetida a carregamento (aceleração) sísmico em sua base; (b) Malha de elementos finitos Q4 utilizada na análise numérica
Tabela 6.7 - Parâmetros do material da coluna de solo saturado.
ν k
( )sm510− ρ
( )3mkg α~
0,4 6,5 2000 1
Tabela 6.8 - Parâmetros do modelo P-Z da coluna de solo saturado.
fg MM = α 0β 1β LoH 0UH ( )kPa Uγ γ
0,75 0,45 2,25 0,45 16000 4000 2,0 2,0 Tabela 6.9 - Parâmetros utilizados para obtenção do módulo de cisalhamento dependente da tensão de confinamento efetiva.
rG ( )kPa r refP
( )Pa rα
78300 0,36 101 0,345
νρ ,,, kG
taa =
x
A
B
y C
wH
H
175
Valores das constantes da tabela 6.9 foram calculados comparando-se
resultados obtidos com a equação 6.6 e a correlação proposta por Seed, H.B. e
Idriss [Seed, H.B.; Idriss, I.M., 1970] para areias e pedregulhos (equação 6.14).
mKG σ ′= max28,218 (Eq. 6.14)
com
vmK
σσ ′+=′
321 0 (Eq. 6.15)
onde mσ ′ é a tensão efetiva média, vσ ′ a tensão efetiva vertical, 0K o coeficiente
de empuxo no repouso e max2K um coeficiente cisalhamento máximo que depende
do tipo de solo. Valor de 30max2 =K refere-se a areias muito fofas e 70max2 =K
para areias muito densas; no caso de pedregulhos, estes valores estão situados no
intervalo entre 80 a 180. Neste exemplo considerou-se 45max2 =K e 67,00 =K .
As figuras 6.19 e 6.20 apresentam a variação temporal dos incrementos de
poropressão, wpδ , com a profundidade, considerando-se amplitudes de aceleração
na base ga r35,00 = e ga r40,00 = . Nota-se que os incrementos de poropressão
aumentam com a profundidade e com o tempo de aplicação do carregamento
senoidal.
z ( )m
wpδ ( )kPa
Figura 6.19 - Variação do incremento de poropressão com a profundidade e tempo para ga r35.00 = .
176
z ( )m
wpδ ( )kPa
Figura 6.20 - Variação do incremento de poropressão com a profundidade e tempo para ga r40.00 = .
A figura 6.21 ilustra a variação temporal dos incrementos de poropressão
determinados em ponto situado na profundidade de 30m para diferentes
amplitudes de aceleração da base ( ga r10.00 = , gv20.0 , gr30.0 e gr40.0 ). Estes
incrementos crescem com o tempo de aplicação do carregamento senoidal,
oscilando mais fortemente quanto maior for a amplitude da aceleração.
A figura 6.22 apresenta a variação das tensões efetivas com a profundidade
no tempo st 10= , notando-se o início da liquefação do solo na profundidade
mz 20= para a situação ga r40,00 = , quando a tensão de confinamento efetiva
diminui para um valor próximo a zero ( kPac 87,33 =′σ ).
wpδ ( )kPa
t ( )s
Figura 6.21 - Variação do incremento de poropressão com o tempo para vários valores da amplitude da aceleração aplicada na base.
177
z ( )m
c3σ ′ ( )kPa
Figura 6.22 - Curva da variação da tensão de confinamento efetiva com a profundidade no tempo t = 10s para ga r35,00 = e gr40,0 .
Com o propósito de melhor entender as características da liquefação neste
exemplo, a figura 6.23 apresenta as trajetórias de tensão e a curva tensão-
deformação nesta condição (figura 6.22). O gráfico à esquerda representa as
trajetórias de tensões efetivas no plano triaxial qp :′ , onde se constata que ao
final do carregamento ( st 10= ) a tensão de confinamento efetiva é mínima,
reduzindo-se praticamente a zero, enquanto que à direita observam-se as curvas
tensão-deformação durante o carregamento cíclico. No final do carregamento, a
rigidez do material (representado pela inclinação da tangente à curva
aproximando-se da horizontal) apresenta perda quase total.
178
q
( )kPa
c3σ ′ ( )kPa (b)
q
( )kPa
qε ( )% (a)
Figura 6.23 - (a) Trajetória de tensão no plano triaxial para ga r40,0= , t = 10s, z = 20m, (b) Curvas tensão-deformação durante carregamento cíclico.
a) Análise do potencial de liquefação por método empírico
Com o objetivo de verificar os resultados numéricos obtidos, o potencial de
ocorrência de liquefação foi estimada com base em um método empírico, bastante
utilizado na prática, proposto por Seed, H.B. e Idriss [Seed, H.B.; Idriss, I.M.,
1971] e posteriormente aperfeiçoado ([Youd, T.L., et al., 2001], [Seed, R.B., et
al., 2003]). No anexo A apresenta-se a descrição da metodologia para a avaliação
do potencial de liquefação em solos saturados.
179
O valor da aceleração máxima utilizado nos cálculos foi retirado da análise
numérica precedente ( ga r6,0max = ). O valor do número de golpes do ensaio SPT
foi considerado constante com a profundidade ( ) 30601 =N , compatível com o tipo
de solo considerado na análise pelo MEF. O fator de correção devido à tensão
vertical efetiva foi admitido 1=σK (para tensão efetiva inicial menor do que
psf2000 ).
As tabelas 6.10 a 6.12 listam os dados necessários para cálculo do fator de
segurança pelo método empírico de Seed, H.B. e Idriss [Seed, H.B.; Idriss, I.M.,
1971] considerando 3 valores para magnitude do sismo ( 43
W 6M = , 217 e 2
18 ).
Tabela 6.10 - Cálculo do fator de segurança contra a liquefação para 43
W 6M = .
z ( )m
vσ ( )kPa
0vσ ′ ( )kPa dr CSR CRR FS
5 98,10 98,10 0,925 0,361 0,660 1,830 10 196,20 147,15 0,850 0,442 0,660 1,493 15 294,30 196,20 0,775 0,453 0,409 0,903 20 392,40 245,25 0,700 0,437 0,370 0,846 25 490,50 294,30 0,625 0,406 0,343 0,845 30 588,60 343,35 0,550 0,368 0,317 0,862 35 686,70 392,40 0,475 0,324 0,304 0,936 40 784,80 441,45 0,400 0,277 0,290 1,047 45 882,90 490,50 0,325 0,228 0,264 1,157 50 981,00 539,55 0,250 0,177 0,238 1,340
Tabela 6.11 - Cálculo do fator de segurança contra a liquefação para 21
W 7M = .
z ( )m
vσ ( )kPa
0vσ ′ ( )kPa dr CSR CRR FS
5 98,10 98,10 0,925 0,361 0,500 1,386 10 196,20 147,15 0,850 0,442 0,500 1,131 15 294,30 196,20 0,775 0,453 0,310 0,684 20 392,40 245,25 0,700 0,437 0,280 0,641 25 490,50 294,30 0,625 0,406 0,260 0,640 30 588,60 343,35 0,550 0,368 0,240 0,653 35 686,70 392,40 0,475 0,324 0,230 0,709 40 784,80 441,45 0,400 0,277 0,220 0,793 45 882,90 490,50 0,325 0,228 0,200 0,877 50 981,00 539,55 0,250 0,177 0,180 1,015
180
Tabela 6.12 - Cálculo do fator de segurança contra a liquefação para 21
W 8M = .
z ( )m
vσ ( )kPa
0vσ ′ ( )kPa dr CSR CRR FS
5 98,10 98,10 0,925 0,361 0,445 1,234 10 196,20 147,15 0,850 0,442 0,445 1,007 15 294,30 196,20 0,775 0,453 0,276 0,609 20 392,40 245,25 0,700 0,437 0,249 0,571 25 490,50 294,30 0,625 0,406 0,231 0,570 30 588,60 343,35 0,550 0,368 0,214 0,581 35 686,70 392,40 0,475 0,324 0,205 0,631 40 784,80 441,45 0,400 0,277 0,196 0,706 45 882,90 490,50 0,325 0,228 0,178 0,780 50 981,00 539,55 0,250 0,177 0,160 0,904
Com nos resultados listados nas tabelas 6.10 a 6.12, foi possível traçar os
gráficos da distribuição com a profundidade do fator de segurança contra
liquefação (figura 6.24), observando-se a tendência de ocorrência de liquefação a
profundidades entre 15m a 20m.
Figura 6.24 - Variação com a profundidade do fator de segurança contra a liquefação FS.
Com base dos resultados apresentados na figura 6.22 e 6.24 nota-se uma
concordância, em termos de profundidade, da ocorrência da liquefação. No caso
da análise numérica pelo FEM, a previsão da ocorrência da liquefação é
aproximadamente a profundidade m20 enquanto que mediante o método
empírico, a liquefação ocorre ( 1<FS ) entre 15m a 20m de profundidade.
181
6.4 Exemplo 2 - Análise dinâmica da barragem de San Fernando, EUA
O terceiro exemplo estudado refere-se à análise dinâmica da barragem de
San Fernando (Califórnia, EUA), cuja crista foi rebaixada em aproximadamente 9
metros (30 pés) em consequência do deslizamento do talude de montante, após
terremoto ocorrido em 1971. Na época, a barragem de San Fernando era
responsável por 80% do abastecimento d´água da cidade de Los Angeles. As
respostas numéricas obtidas nesta tese, em termos de incrementos de
poropressões, são comparadas com resultados publicados na literatura [Khoei,
A.H., et al., 2004].
Uma característica importante da ruptura acontecida nesta barragem é que o
processo de liquefação ocorreu após o término da excitação sísmica, razão pela
qual o registro sísmico foi preenchido adicionalmente com valores nulos para
acompanhar o comportamento da geo-estrutura no período pós-sismo.
A figura 6.25 ilustra o registro das acelerações sísmicas, aplicado na base da
malha de elementos finitos, com duração total de 100s, embora o terremoto na
realidade tenha ocorrido durante 40 segundos. As tabelas 6.13 e 6.14 listam os
parâmetros dos materiais e do modelo P-Z utilizados na simulação numérica pelo
MEF, extraídos da publicação de Khoei [Khoei, A.R., et al., 2004].
Figura 6.25 - Registro das acelerações sísmicas utilizado na simulação numérica.
A figura 6.26(a) apresenta quatro regiões da barragem de terra zonada e as
figuras 6.26(b) e (c) as malhas de elementos finitos utilizadas por Khoei [Khoei,
A.H., et al., 2004] e na presente pesquisa. Os pontos nodais: C , D , G e H ,
identificado na figura 6.26(b), correspondem à região ocorreu liquefação (ver
figura 3.2b). A definição destas zonas com diferentes propriedades foi
182
estabelecida mediante retroanálises executadas por Seed, H.B. [Seed, H.B., 1979],
mencionadas anteriormente no capítulo 3 (ver figura 3.2a).
(a) Geometria e zonas da barragem de San Fernando na simulação numérica pelo MEF, conforme
Khoei [Khoei, A.H., et al., 2004].
(b) Malha de elementos finitos utilizada por Khoei [Khoei, A.H., et al., 2004].
(b) Malha de elementos finitos utilizada na presente pesquisa.
Figura 6.26 - Geometria e malha de elementos finitos. Barragem de San Fernando. Letras C, D, G e H se referem a pontos nodais de interesse.
Tabela 6.13 - Parâmetros dos materiais da barragem de San Fernando.
Material epoK ( )kPa
eqoK ( )kPa
ν sK ( )Pa
wK ( )Pa
sρ ( )3mkg
n k
( )sm
1 120 180 0,2857 1,0e+22 2,0e+9 2756 0,375 0,001 2 70 105 0,2857 1,0e+22 2,0e+9 2756 0,375 0,010 3 80 120 0,2857 1,0e+22 2,0e+9 2756 0,375 0,001 4 78 112 0,2857 1,0e+22 2,0e+9 2756 0,375 0,010
183
Tabela 6.14 - Parâmetros do modelo P-Z para os materiais da barragem de San Fernando.
Material gM fM α 0β
1β LoH 0UH
( )kPa710
Uγ γ
1 1,550 1,400 0,45 4,2 0,2 700,3 6,00 2,0 2,0 2 1,510 0.750 0,45 4,2 0,2 408,3 3,50 2,0 2,0 3 1,510 1,330 0,45 4,2 0,2 467,0 4,00 2,0 2,0 4 1,510 0,906 0,45 4,2 0,2 408,3 3,75 2,0 2,0
A figura 6.27(a) apresenta a variação da poropressão nos pontos nodais
onde ocorreu liquefação, identificados na figura 6.26(b), conforme Khoei [Khoei,
A.R., et al., 2004], enquanto que a figura 6.27(b) mostra as respostas
determinadas na presente pesquisa para os mesmos pontos.
De acordo a estes resultados alguns comentários podem ser mencionados:
(1) Ponto C: de acordo com Khoei, o valor máximo da poropressão
( kPa60000≅ ) ocorreu aproximadamente aos 25 segundos depois de
iniciado o sismo; já na presente pesquisa o valor máximo ( kPa63267 )
ocorreu num tempo menor (5,6 segundos). Por outro lado, de acordo ao
Khoei, ainda existe excedentes de poropressão aos 100 segundos
( kPa10000≅ ). Nesta pesquisa, a poropressão tornou-se zero aos 75
segundos.
(2) Ponto D: de acordo com Khoei, o valor máximo da poropressão
( kPa80000≅ ) ocorreu aproximadamente aos 25 segundos depois de
iniciado o sismo. Nesta pesquisa, o valor máximo ( kPa101080 ) ocorreu
aproximadamente aos 3,8 segundos. De acordo ao Khoei, a poropressão
torna-se zero aos 100 segundos ( kPa10000≅ ); já na presente pesquisa,
a poropressão tornou-se zero aos 75 segundos.
(3) Ponto G: de acordo com Khoei, o valor máximo da poropressão
( kPa140000≅ ) ocorreu aproximadamente aos 20 segundos depois de
iniciado o sismo. Como resultado da presente pesquisa, o valor máximo
da poropressão ( kPa136197 ) ocorreu aproximadamente aos 4,7
segundos. Por outro lado, de acordo ao Khoei, a poropressão torna-se
184
zero aos 100 segundos ( kPa25000≈ ) já nesta pesquisa, a poropressão
tornou-se zero aos 75 segundos.
(4) Ponto H: o valor máximo da poropressão ( kPa150000≅ ), de acordo
com Khoei, ocorreu aproximadamente aos 20 segundos depois de
iniciado o sismo. Na presente pesquisa, o valor máximo obtido
( kPa178869 ) ocorreu aproximadamente aos 4,7 segundos. Por outro
lado, de acordo ao Khoei, a poropressão torna-se zero aos 100 segundos
( kPa25000≅ ); já nesta pesquisa, a poropressão tornou-se zero aos 75
segundos.
Em termos gerais, as previsões do tempo de ocorrência dos valores
máximos das poropressões determinadas nesta pesquisa ocorrem antes dos
calculados pelo Khoei, enquanto que, os valores máximos destes são
aproximadamente coincidentes (pouca diferença) em apenas um ponto analisado
(ponto C) sendo os outros diferentes. Observa-se também diferenças em termos
dos valores das poropressões no final do tempo de análise. De forma geral, as
poropressões finais, previstas nesta pesquisa, tornam-se zero aos 75 segundos,
enquanto que os calculados por Khoei apresentam ainda valores de poropressão
no final da análise, salvo no ponto nodal D, onde a poropressão tornou-se zero no
tempo 100 segundos.
185
(a.1) nó C (a.2) nó D
(a.3) nó G (a.4) nó H
(a) Resultados numéricos de Khoei [Khoei, A.H., et al., 2004].
(b.1) nó C (b.2) nó D
(b.3) nó G (b.4) nó H
(b) Resultados numéricos da presente pesquisa.
Figura 6.27 - Variação temporal do incremento de poropressões determinados numericamente para alguns pontos da barragem de San Fernando.
186
6.5 Exemplo 3 - Resposta dinâmica de um talude de solo submerso
Este exemplo numérico trata da previsão da resposta dinâmica de um talude
de solo submerso testado no ensaio de centrifugação (figura 6.28). Este protótipo
foi desenvolvido por Byrne e colaboradores na universidade de British Columbia,
Canadá [Byrne, P.M., 2005]. A previsão da resposta deste ensaio foi investigada
anteriormente pelos seguintes pesquisadores: (1) Jafari e Popescu [Jafari, A.;
Popescu, R., 2004]; (2) Naesgaard e Byrne [Naesgaard, E.; Byrne, P.M., 2004];
(3) Haigh [Haigh, S., 2002]. Nessas pesquisas foram utilizados, respectivamente,
os seguintes modelos elasto-plásticos para simulação do comportamento
hidráulico-mecânico de solos saturados sob carregamento cíclico: (a) modelo de
superfícies múltiplas [Prevost, J.H., 1985]; (b) modelo UBCSAND ([Byrne, P.M.,
et al., 1995], [Beaty, M.H.; Byrne, P.M., 1998], [Puebla, H., 1999]); (c) modelo P-
Z [Pastor, M., et al., 1990].
Nesta tese, os resultados numéricos obtidos, em termos das acelerações e
das poropressões, foram comparados com aqueles determinados nos pontos
instrumentados, A2, A5 e A7 para as acelerações e P2, P5 e P7 para as
poropressões (figuras 6.28), considerando para tal, as pesquisas feitas por Byrne e
Haigh.
A geometria do problema, localização dos pontos de instrumentação (figura
6.28) e as propriedades do material correspondentes ao modelo P-Z (tabelas 6.15 e
6.16) foram retiradas da publicação de Byrne [Byrne, P.M., 2005].
Tabela 6.15 - Propriedades do material do talude (areia fofa).
Material K ′ ( )MPa
G ( )MPa ν sK
( )Pa wK
( )Pa sρ
( )3mkgn
k ( )sm410−
Areia fofa
43 20 0,2857 1,0e+22 2,0e+9 2756 0,375 6,0
Tabela 6.16 - Parâmetros do material do talude referentes ao modelo P-Z.
Material gM fM α 0β
1β LoH 0UH
( )MPa
Uγ γ
Areia fofa 0,75 1,15 0,45 4,2 0,2 200 400 2,0 4,2
187
Figura 6.28 Geometria e localização dos pontos de instrumentação. Talude de solo submerso [Byrne, P.M., 2005].
(a) Ponto A2
(b) Ponto A5
(c) Ponto A7
Figura 6.29 - Registro das acelerações instrumentadas. Pontos A2, A5 e A7.
188
(a) Ponto P2
(b) Ponto P5
(c) Ponto P7
Figura 6.30 - Registros das poropressões instrumentadas. Pontos P2, P5 e P7.
Figura 6.31 - Registro das acelerações do sismo A475 [Byrne, P.M., 2005].
As figuras 6.29 e 6.30 apresentam o registro de acelerações e poropressões
instrumentados do talude submerso durante o ensaio de centrifugação. A figura
6.31 apresenta o registro das acelerações do sismo A475 [Byrne, P.M., 2005],
com duração de 32s, aplicado na base do talude durante o ensaio de centrifugação.
189
(a) Naesgaard [Naesgaard, E.; Byrne. P.M., 2004] com o modelo UBCSAND.
(b) Haigh [Haigh, S., 2002] com o modelo P-Z.
(c) Presente pesquisa com o modelo P-Z.
Figura 6.32 - Geometria e malhas de elementos finitos. Talude de solo submerso.
A figura 6.32 apresenta as malhas de elementos finitos utilizadas pelos
diferentes autores. A primeira malha (figura 6.32a) foi utilizada por Naesgaard
[Naesgaard, E.; Byrne. P.M., 2004] considerando o modelo UBCSAND de Byrne
[Byrne, P.M., et al., 2003] incorporado no programa FLAC, enquanto que a
segunda malha (figura 6.32b) se refere àquela empregada por Haigh [Haigh, S.,
2002] com o modelo P-Z. A figura 6.32c apresenta a malha de elementos finitos
da presente pesquisa, semelhante à usada por Haigh [Haigh, S., 2002] com o
mesmo modelo P-Z.
190
(a) Naesgaard [Naesgaard, E.; Byrne. P.M., 2004] com o modelo UBCSAND.
(c) Haigh [Haigh, S., 2002] com o modelo P-Z.
(d) Presente pesquisa com o modelo P-Z.
Figura 6.33 - Registro das acelerações previstas. Ponto A2.
(a) Naesgaard [Naesgaard, E.; Byrne. P.M., 2004] com o modelo UBCSAND.
(b) Haigh [Haigh, S., 2002] com o modelo P-Z.
(c) Presente pesquisa com o modelo P-Z.
Figura 6.34 - Registro das acelerações previstas. Ponto A5.
191
(a) Naesgaard [Naesgaard, E.; Byrne. P.M., 2004] com o modelo UBCSAND.
(b) Haigh [Haigh, S., 2002] com o modelo P-Z.
(c) Presente pesquisa com o modelo P-Z.
Figura 6.35 - Registro das acelerações previstas. Ponto A7
As figuras 6.33 a 6.35 apresentam os registros de acelerações previstos nos
pontos de instrumentação A2, A5 e A7 do talude (figura 6.28).
De acordo com as figuras 6.33, 6.35 e 6.29, nota-se a concordância entre as
respostas obtidas pelo Haigh e na presente pesquisa, isto é, devido à utilização do
mesmo modelo constitutivo e das mesmas características tanto nas propriedades
do material quando geométricas. Por outro lado, em comparação com a pesquisa
de Naesgaard, estas apresentam maiores valores das acelerações máximas. Cabe
ressaltar também que, a forma do registro de acelerações obtidas por Naesgaard é
mais próxima aos obtidos em forma experimental, no entanto, os resultados
obtidos na presente pesquisa e pelo Haigh apresentam características diferentes
aos experimentais, isto é, em termos de forma e de valores picos máximos.
Finalmente, cabe mencionar que, em todos os pontos instrumentados, os
resultados previstos apresentam valores das acelerações máximas menores que as
acelerações máximas obtidas em forma experimental.
192
(a) Naesgaard [Naesgaard, E.; Byrne. P.M., 2004] com o modelo UBCSAND.
(b) Haigh [Haigh, S., 2002] com o modelo P-Z.
(c) Presente pesquisa com o modelo P-Z.
Figura 6.36 - História das poropressões previstas. Ponto P2.
(a) Naesgaard [Naesgaard, E.; Byrne. P.M., 2004] com o modelo UBCSAND.
(b) Haigh [Haigh, S., 2002] com o modelo P-Z.
(c) Presente pesquisa com o modelo P-Z.
Figura 6.37 - História das poropressões previstas. Ponto P5.
193
(a) Naesgaard [Naesgaard, E.; Byrne. P.M., 2004] com o modelo UBCSAND.
(b) Haigh [Haigh, S., 2002] com o modelo P-Z.
(c) Presente pesquisa com o modelo P-Z.
Figura 6.38 - História das poropressões previstas. Ponto P7.
As figuras 6.36 a 6.38 ilustram a história das poropressões previstas para os
pontos P2, P5 e P7 do talude (figura 6.28).
De acordo com as figuras 6.36 e 6.38 e 6.30, nota-se, da mesma forma que
nos registros das acelerações, a concordância entre as respostas obtidas pelo
Haigh e na presente pesquisa. Por outro lado, em comparação com a pesquisa pelo
Naesgaard, estas apresentam maiores valores picos das poropressões,
apresentando outras formas diferentes do registro (forma incremental), já no
resultados de Naesgaard, esta apresenta um pico e logo um decremento nos seus
valores, similares aos obtidos de forma experimental. Finalmente cabe ressaltar
que, os resultados previstos pelo Naesgaard, em termos das poropressões,
apresentam boa concordância tanto na forma do registro como nos seus valores
com os resultados experimentais.
7 Conclusões e sugestões
7.1 Conclusões
As seguintes conclusões podem ser obtidas do desenvolvimento da presente
tese:
O estudo da liquefação em solos pode ser compreendido como um caso
particular da dinâmica dos meios porosos. Nesta tese, utiliza-se um sistema
de equações governantes simplificadas (forma u-p) para representar
matematicamente o comportamento acoplado de materiais, em termos de
deslocamentos do sólido e da pressão no fluido. Este conjunto de equações
governantes, previamente discretizadas, proposto por Zienkiewicz e Shiomi
[Zienkiewicz, O.C.; Shiomi, T., 1984] para aplicações computacionais, está
baseado nas equações desenvolvidas por Biot [Biot, M.A., 1956a] para
problemas de propagação de ondas a baixas freqüências em meios porosos
saturados. Nesta pesquisa opta-se pela utilização da formulação u-p devido à
maior simplicidade das implementações computacionais.
Baseado na formulação simplificada (forma u-p) apresenta-se um novo
algoritmo para a solução numérica das equações governantes, baseado no
emprego de um procedimento alternativo da discretização temporal. Em
conseqüência, estabelece-se um sistema de equações de equilíbrio onde as
variáveis primárias são os incrementos de deslocamento no sólido e
incrementos da pressão no fluido, diferentemente da formulação
desenvolvida por Zienkiewicz [Zienkiewicz, O.C., et al., 1999] onde as
incógnitas são os incrementos das acelerações no sólido e incrementos da
taxa de variação da pressão no fluido. O algoritmo utilizado nesta pesquisa
não executa integrações no tempo para determinação dos valores dos
195
incrementos de deslocamentos e poropressões, mostrando-se mais eficiente
sob o ponto de vista da execução computacional.
Com a finalidade de deduzir as equações do MEF, é apresentado em
detalhes o processo de discretização das equações diferenciais de equilíbrio
do sistema acoplado sólido-fluido. A discretização espacial é obtida
considerando-se o método dos resíduos ponderados (formulação de
Galerkin) e a discretização temporal com base no método de Newmark
Generalizado [Katona, M.G.; Zienkiewicz O.C., 1985]. O desenvolvimento
detalhado para obtenção das equações do MEF permitiu constatar-se a
existência de grandezas que não são apresentadas em muitas das referências
bibliográficas ou que são desconsideradas sem maiores explicações pelos
autores. Exemplos são a matriz de fluxo dinâmico G (equação 5.67) e
alguns termos relacionados com o vetor de fluxos nodais no contorno
(equação 5.57).
Utiliza-se nesta pesquisa o modelo constitutivo proposto de Pastor-
Zienkiewicz, modelo P-Z, para representar o comportamento mecânico da
fase sólida, em termos de tensões efetivas. O modelo, baseado na teoria da
plasticidade generalizada, apresenta como principal vantagem o fato de que
as superfícies de escoamento e do potencial plástico são implicitamente
definidas apenas por vetores normais unitários, permitindo que a
implementação computacional do modelo torne-se mais simples do que no
caso de modelos da teoria da plasticidade clássica, por não demandarem
algoritmos de retorno (preditor-corretor) para verificação do estado de
tensão em relação à superfície de escoamento.
Foi verificada, através da comparação com resultados de laboratório tanto
em ensaios monotônicos como em ensaios cíclicos, a eficiência do modelo
P-Z na previsão da liquefação. Nesta tese, o modelo original P-Z foi
modificado permitindo que os parâmetros relacionados com os módulos
elásticos sejam também função da tensão de confinamento efetivo.
196
A principal desvantagem do modelo P-Z é a quantidade de parâmetros que
utiliza em comparação com outras formulações mais simples utilizadas na
prática para solução aproximada de problemas dinâmicos em solos, como o
modelo linear equivalente implementado nos programas computacionais
SHAKE [Idriss, I.M.; Sun, J.I., 1992] e QUAD4M [Hudson, M.; Idriss, I.M.;
Beikae, M., 1994] e o modelo histerético-hiperbólico implementado nos
programas TARA3FL [Finn, W.D.L.; Yogendrakumar, M., 1989] e
FLAC v.5 [Itasca Consulting Group, 2005]. O modelo P-Z utiliza 11
parâmetros (7 utilizadas nas análises monotônicas e mais 4 nas análises
dinâmicas) para simular efeitos como mudanças do comportamento
contrativo para dilatante (mobilidade cíclica), variação dos módulos
elásticos com o estado das tensões efetivas, condição de ruptura baseada na
teoria do estado crítico, efeitos de memória do material em carregamentos
cíclicos, etc.
Foi desenvolvido um programa computacional, escrito em Fortran 90, para
execução das análises dinâmicas não-lineares em solos saturados com
capacidade de simulação da ocorrência de fluxo por liquefação em areias
fofas saturadas e outros tipos de solo suscetíveis à liquefação. Com base no
MEF e formulação apresentada no capítulo 5, o programa foi utilizado para
análise de alguns exemplos numéricos cujos resultados mostraram tanto a
aplicabilidade do modelo P-Z para simular a resposta dinâmica de solos
saturados quanto a confiabilidade do código computacional, evidenciada
através da comparação de seus resultados com soluções analíticas ou outros
valores numéricos obtidos por diferentes autores.
A utilização de modelos elasto-plásticos em situações de carregamentos
cíclicos, permite a desconsideração da matriz de amortecimento do material
C , empregada usualmente em análises baseadas no amortecimento
histerético de solos (como no método linear equivalente) ou no tradicional
amortecimento de Rayleigh, RC . De acordo com Zienkiewicz [Zienkiewicz,
O.C. et al., 1999] a utilização da matriz de amortecimento pode ser
necessária unicamente para materiais rígidos ou em análises onde o
197
comportamento tensão-deformação do material é admitido, por
simplicidade, linearmente elástico.
7.2 Sugestões para pesquisas futuras
No âmbito do tema desta pesquisa serão propostos os seguintes tópicos a
serem considerados:
Estender as equações governantes para análise dinâmica de meios porosos
parcialmente saturados. No anexo B é deduzido um procedimento de
discretização espacial e temporal das equações governantes para este tipo de
análise.
Estender a aplicação da modelagem numérica para prever a ocorrência de
fenômenos de liquefação monotônica mediante a aplicação do modelo P-Z
em obras geotécnicas, especificamente em barragens e estruturas de
contenção.
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221
Anexo A Método simplificado para avaliação do potencial da liquefação de solos.
Um método simplificado para determinar o potencial da liquefação de solos,
proposto por Seed e Idriss [Seed, H.B. & Idriss, I.M., 1971] e aperfeiçoado por
diversos autores ([Finn, W.D.L., 1993], [Youd, T.L., et al., 2001], [Seed, R.B., et
al., 2003]) consiste em verificar em determinada profundidade se as tensões
geradas pelo carregamento sísmico excedem à resistência ao cisalhamento do solo
na condição residual.
Este critério de análise permite estabelecer um fator de segurança contra a
liquefação, FS, definido por
CSRCRRFS = (Eq. A.1)
onde CRR é a razão de resistência cíclica na liquefação (Cyclic Resistance Ratio)
e CSR a razão de tensão cíclica gerado pelo terremoto de projeto (Cyclic Stress
Ratio). Se o fator de segurança for menor que a unidade ( 1FS < ), então a
liquefação deve ocorrer.
A razão de resistência cíclica, CRR, é determinada da figura A.1 [Seed,
R.B., et al., 2003], onde o número de golpes corrigidos do ensaio SPT, ( )601N , é
estimado pela relação
( ) ( ) NCNN ⋅= 60601 (Eq. A.2)
onde NC é um fator de correção e ( )60N o número de golpes do ensaio SPT.
Liao e Whitman [Liao, S.S.C. & Whitman, R.V., 1986] sugerem a
seguinte equação para este fator de correção,
0
1
vNC
σ ′= (Eq. A.3)
onde 0vσ ′ é a tensão vertical efetiva inicial expressa em 2cmkgf . Outras
correlações similares para cálculo de NC podem ser encontradas na literatura
([Youd, T.L., et al., 2001], [Seed, R.B., et al., 2003]).
222
CRR
Numero de golpes corrigidos do ensaio SPT, ( )601N .
Figura A.1 Razão de resistência cíclica (CRR) versus número de golpes corrigidos do ensaio SPT, ( )601N , para terremotos com magnitude igual a 7,5 [Youd, T.L., et al., 2001].
A razão de tensão cíclica, CSR, é expressa por
σKM7,5Mw eq DWFCSRCSR == (Eq. A.4)
onde 7,5Mw eqCSR = é a razão de tensão cíclica equivalente correspondente a um
terremoto de magnitude ( WM ) igual a 7,5; MDWF o fator de correção da
magnitude do terremoto (Magnitude-Correlated Duration Weighting Factor) e
σK o fator de correção da tensão vertical efetiva. As figuras A.2 e A.3 são
utilizadas para a determinação de MDWF e σK , respectivamente. Kramer
[Kramer, S.L., 1996] recomenda também a utilização da tabela A.1 para a
estimativa do fator de correção da magnitude do sismo.
223
MDWF
Magnitude do terremoto, WM
Figura A.2 Fator de correção da magnitude do terremoto [Seed, R.B., et al., 2003].
σK
Tensão vertical efetiva vσ ′ ( )psf .
Figura A.3 Fator de correção devido à tensão inicial de cisalhamento [Seed, R.B., et al., 2003].
A razão de tensão cíclica equivalente com 5,7M W = , 7,5Mw eqCSR = , pode
ser escrita como
7,5Mwmax 7,5Mw eq CSR65,0CSR == = (Eq. A.5)
com
dvo
v rg
a⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛′
== σσ
rmax
7,5Mw eqCSR (Eq. A.6)
224
onde 7,5Mwmax CSR = é a razão de tensão cíclica máxima com 5,7M W = ; maxa a
aceleração horizontal máxima do terremoto na superfície; gr a aceleração da
gravidade; dr um fator de redução da tensão cíclica devido à profundidade; vσ a
tensão total vertical e 0vσ ′ a tensão vertical efetiva inicial.
De acordo com Finn [Finn, W.D.L., 1993], na prática japonesa o fator de
redução de tensão devido à profundidade é frequentemente aproximado pela
seguinte correlação
zrd 0015,01−= (Eq. A.7)
onde z indica a profundidade do terreno em metros. Youd e colaboradores
[Youd, T.L., et al., 2001] recomendam a utilização da figura A.4 para
determinação do fator de redução da tensão cíclica devido à profundidade.
Fator de redução da tensão cíclica, dr .
( )mz
Figura A.4 Fator de redução da tensão cíclica devido à profundidade [Youd, T.L., et al., 2001]. Tabela A.1 Fator de correção da magnitude do sismo [Kramer, S.L., 1996].
Magnitude do terremoto, WM
Fator de correção, MDWF
415 1.50
5 1,32 436 1,13
217 1,00
218 0,89
225
Anexo B Discretizacão das equações fundamentais para a condição não-saturada na forma u-p.
As equações fundamentais em meios porosos saturados na forma u-w-p são
[Zienkiewicz, O.C., et al., 1999]:
( ) 0, =++−− iijjiwijij bwwwu ρρρσ &&&&&& (Eq. B.1)
( ) 0,, =++−−−− iwjijiw
iwiiw bwwwn
uRp ρρ
ρ &&&&&& (Eq. B.2)
0)1(
0, =++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
−+++ sn
Kp
KK
Kpn
Kpn
ww
w
s
wii
s
T
s
w
w
wiiii &
&&&
&&&&
ρρ
εε (Eq. B.3)
onde as equações B.1 e B.2 representam as equações de movimento para o sistema
sólido-fluido e para o fluido respectivamente, e a equação B.3 representa a
equação de continuidade do fluido.
Com o objeto de estabelecer as equações fundamentais para descrever o
comportamento dinâmico do meio poroso em condição não-saturada (sistema
sólido-água-ar) algumas modificações devem ser introduzidas:
Os vazios contidos no meio poroso são preenchidos parcialmente por água e
parcialmente por ar, resultando
1=+ arwr SS (Eq. B.4)
onde wrS e arS é o grau de saturação da água e do ar, respectivamente.
A densidade do meio poroso é expressa por
( ) saarwwr nnSnS ρρρρ −++= 1 (Eq. B.5)
onde wρ , aρ e sρ são as massas especificas da água, do ar e do sólido
respectivamente.
A pressão do ar é desconsiderada, i.e. 0=aP [Zienkiewicz, O.C., et al.,
1990b].
O principio das tensões efetivas [Terzaghi, K., 1936] pode ser adaptado para
solos parcialmente saturados modificando-se a expressão da poropressão de
acordo com [Bishop, A.W. & Blight, G.E., 1963],
226
( ) awav PpP χχ −+= 1 (Eq. B.6)
onde χ é um parâmetro que depende do grau de saturação do sistema. Uma
boa aproximação de χ pode ser dada pelo grau de saturação da água, wrS ,
[Zienkiewicz, O.C., et al., 1999],
wrS=χ (Eq. B.7)
Desconsiderando-se o valor da pressão do ar ( 0=aP ). a equação B.6 pode
ser aproximada por,
wwrav pSp = (Eq. B.8)
modificando-se o princípio das tensões efetivas para solos saturados para:
wwrijijij pSδσσ +=′ (Eq. B.9)
Considerando a permeabilidade dependente do grau de saturação, vem
wrSkk = (Eq. B.10)
Vários estudos reportados na literatura estabelecem relações entre o grau de
saturação, permeabilidade e a poropressão ([Huang, M. & Zienkiewicz
O.C., 1998], [Alonso, E.E., et al., 1987], [Bear, J., et al., 1984], [Lloret, A.
& Alonso, E.E., 1980], [Safai, N.M. & Pinder, G.F., 1979], [Narasimhan,
T.N. & Witherspoon, P.A., 1978], [Van Genuchten, M.T.; Pinder, G.F. &
Saukin, W.P., 1977], [Neuman, S.P., 1975], [Liakopoulos, A.C., 1965]).
Levando-se em conta as observações feitas anteriormente para solos não-
saturados, as equações B.1, B.2 e B.3 podem então ser modificadas.
A equação de continuidade do fluido (equação B.3) é modificada para,
0
1)1(
0
,
=++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
−+++
sn
pSKK
KpSK
npSKnw
w
w
wwrs
iis
Twwr
swwr
wiiii
&&
&&&&&&
ρρ
εε(Eq. B.11)
ou
227
0~~0*, =++++ snS
Qp
ww
wwr
wiiii &
&&&&
ρρ
εα (Eq. B.12)
onde
w
wr
swwr p
Sn
Kn
KnS
Q &
&+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+≡α~
~1
* (Eq. B.13)
sendo
s
T
KK
−= 1~α (Eq. B.14)
A definição da compressibilidade equivalente do sistema sólido-agua-ar
(condição não-saturada) pode ser expressa como
( )[ ]w
wrswwrT p
SnCnnCSC&
&+−+≡ α~~* (Eq. B.15)
onde ** ~1~ QCT = é a compressibilidade equivalente do sistema sólido-agua-ar;
ww KC 1= a compressibilidade do fluido (água) e ss KC 1= a compressibilidade
do sólido. A equação B.15 também pode ser escrita em termos da
compressibilidade equivalente do sistema sólido-agua (condição saturada) TC .
w
wrTwrT p
SnCSC&
&+≡*~ (Eq. B.16)
com
( ) swT CnCnC −+= α~ (Eq. B.17)
No caso das equações B.1 e B.2 a componente de tensão total deve ser
substituída em função do princípio das tensões efetivas na condição não-saturada
(equacao B.9).
A formulação simplificada u-p, com a eliminação eliminação da variável iw&
nas equações acima, pode então ser escrita, na sua forma incremental, para meios
porosos não-saturados,
0, =+− iijij bu δρρδδσ && (Eq. B.18)
228
( ) 0~)(*,', =+++−−
Qp
ubSuSpk wiijjwwrjwwrjwij
&&&&
δδδρδρδ (Eq. B.19)
com
wwrijijij pS δδσδδσ −′= (Eq. B.20)
Com o objetivo de obter a solução numérica das equações governantes, é
necessário discretizar estas equações, tanto espacial quanto temporalmente,
conservando como variáveis primárias os incrementos de deslocamento nodal do
sólido e da poropressão nodal do fluido.
Aplicando-se o método de Galerkin na equação B.18, obtém-se a seguinte
equação discretizada a nível local para o sólido:
( ) 0fpQuPuM =−−+ sw δδδδ && (Eq. B.21)
com
∫Ω
Ω= duTu NNM ρ (Eq. B.22)
Ω= ∫Ω
dTu σBuP δδ (Eq. B.23)
∫Ω
Ω= dS wwr
Tu NmBQ (Eq. B.24)
( ) ∫∫ΓΩ
Γ+Ω= dd TuTus tNbNfδ (Eq. B.25)
De forma similar, considerando-se a equação B.19 resulta a seguinte
equação discretizada a nível local para o fluido:
( ) 0fpSpHuQ =−++ www
T δδδδ && (Eq. B.26)
com
∫Ω
Ω∇∇= dwTw NkNH (Eq. B.27)
Ω= ∫Ω
dQ
wTw NNS*~
1 (Eq. B.28)
( ) ( ) Γ+Ω∇−= ∫∫ΓΩ
ddS Twwwr
TTww qNbkNfr
ρδ (Eq. B.29)
229
Combinando as equações B.21 e B.26 para descrever, a nível local, o
comportamento dinâmico do elemento acoplado (sólido-água-ar), tem-se
( )
( ) 0ff
pu
H0QK
pu
SQ00
pu
000M
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
w
s
wwT
w
δδ
δδ
δδ
δδ
&
&
&&
&&
(Eq. B.30)
Após o procedimento de montagem dos elementos finitos acoplados, a
equação discreta que descreve o comportamento dinamico acoplado sólido-água-
ar a nível global (sistema), tem a seguinte forma,
( )
( ) 0ff
pu
H0QK
pu
SQ00
pu
000M
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
w
s
wwT
w
~~
~~
~~~
~~
~~~~~
δδ
δδ
δδ
δδ
&
&
&&
&&
(Eq. B.31)
O processo de solução numérica se completa com a discretização temporal
das componentes da equação de equilíbrio dinâmico do sistema (equaçao B.31)
no tempo tt Δ+ ,
( ) 0fpQuPuM =−−+ Δ+Δ+Δ+Δ+s
ttttwtttt~~~~~~~ δδδδ && (Eq. B.32)
( ) 0fpSpHuQ =−++ Δ+Δ+Δ+Δ+w
ttttwttwtt~~~~~~~ δδδδ && (Eq. B.33)
através do método de Newmark Generalizado, GNij .
Considerando-se o esquema GN22 para o sólido,
( ) 22
2 ~~21~
21~~~ ttt tttttttt Δ−+Δ+Δ+= Δ+Δ+ uuuuuu &&&&&&& δδβδδδδ (Eq. B.34)
( ) tt ttttttt Δ−+Δ+= Δ+Δ+ uuuuu &&&&&&&& ~~~~~1 δδβδδδ (Eq. B.35)
( ) ttttttt ttuuuuu &&&&& ~1
21~1~~1~
112
1
δβ
δβ
δδβ
δ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
Δ−−
Δ= Δ+Δ+ (Eq. B.36)
e GN11 para o fluido,
( ) tt twttwtwtwttw Δ−+Δ+= Δ+Δ+ ppppp ~~~~~1 δδβδδδ & (Eq. B.37)
ttwttw
twttw Δ−
+= Δ+Δ+
pppp
~~~~ δδδδ && (Eq. B.38)
230
onde as variáveis no tempo tt Δ+ são quantidades a calcular e as variaveis no
tempo t são valores conhecidos ou previamente determinados.
A equação de equação de equilíbrio dinâmico do sistema (equação B.31),
pode ser escrita de forma equivalente ao equilíbrio estático,
ttSttS Δ+Δ+ = fΦK δδ~ (Eq. B.39)
com
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+ΔΔ
−+Δ
+Δ=
HSQ
QKCMK ~~~
~~~~12
tt
tt
w
wT
w
w
s
s
sS
αβ
αβ
αβ
α (Eq. B.40)
{ }Tttwtttt Δ+Δ+Δ+ = puΦ ~~~ δδδ (Eq. B.41)
( ) ( ) Twtt
sttttS
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧= Δ+Δ+Δ+ fff δδδ (Eq. B.42)
onde ( ) ( ) ( )
Cuu
Muu
fff
~~12
~
~~2
1~1
~~
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−Δ++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
Δ+
+−= Δ+Δ+
ts
st
s
s
ts
ts
st
stt
stt
t
t
&&&
&&&
δαβ
δαβ
δα
δα
δδδ
(Eq. B.43)
( ) ( ) ( )
Sp
Quu
fff
~~
~~12
~
~~
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−Δ++
+−= Δ+Δ+
tww
w
Tt
s
st
s
s
wt
wtt
wtt
t
&
&&&
δαβ
δαβ
δαβ
δδδ
(Eq. B.44)
A utilização da equação B.39 como procedimento de solução numérica
permite a determinação direta das variáveis primárias tt Δ+u~δ e tt Δ+p~δ .
Finalmente, é necessário incorporar na formulação das equações
fundamentais discretas relações constitutivas (em termos de tensões efetivas) de
modo de obter as equações governantes totalmente discretizadas e prever o
comportamento dinâmico de solos não-saturados atraves da sua solução numerica.
Neste sentido, uma adaptação da teoria da plasticidade generalizada feita por
231
[Bolzon, G., et al., 1996] para simulação de carregamentos sob condições
parcialmente saturadas, pode ser utilizada. Para o caso de solos cimentados
parcialmente saturados, Yang e colaboradores [Yang, C., et al., 2008] formularam
também um modelo constitutivo combinando conceitos da teoria da plasticidade
generalizada com o modelo BBB (Modelo Básico Barcelona) porposto por Alonso
[Alonso, E.E., et al., 1990].
232
Anexo C Diagrama de blocos do programa computacional
Figura C.1(a) Esquema geral do programa desenvolvido nesta pesquisa.
Montagem das matrizes e vetores (a nível local):
M , S , Q , H
Condições iniciais: tσ~ , tu~ , twp~
0=t
Inicio
Condições de contorno:
*~tq , *~
tt
Amortecimento viscoso?
tRt KMCC βα +==
Sim Não
0C =t
1
Modelo elástico-plástico
ept DD =
Sim Não
et DD =
∫Ω
Ω= dut
Tut BDBK
Análise estática
233
Figura C.1(b) Esquema geral do programa desenvolvido nesta pesquisa.
Condição de contorno variável:
*~tuδ , *~
tu&δ , *~tu&&δ , *~
ttδ , *~tqδ , tw
*~pδ , tw*~p&δ
ndtt →= 0
Atualização das condições de iniciais
2
Arquivo de entrada
[ ]∑← MM~
[ ]∑← tt CC~
[ ]∑← tt KK~
[ ]∑← HH~
[ ]∑← QQ~
[ ]∑← SS~
( ) ( )[ ]∑← st
st ff δδ~
( ) ( )[ ]∑← wt
wt ff δδ~
Montagem das matrizes e vetores (a nível global):
1
*~~tt uu δδ ← *~~tt uu && δδ ← *~~tt uu &&&& δδ ←
*~~tt tt δδ ←
twtw*~~ pp δδ ←
twtw*~~ pp && δδ ←
*~~tt qq δδ ←
( ) ( ) *11
~~~t
st
st tff δδδ ++ ←( ) ( ) *
11~~~
ts
ts
t qff δδδ ++ ←
234
Figura C.1(c) Esquema geral do programa desenvolvido nesta pesquisa.
Montagem da matriz equivalente do sistema:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2221
1211
KKKK
tSK
Montagem do vetor incremento de forca equivalente do sistema:
HS
Q
Q
KCM
~~1
~1
~
~~121~11
122
121
12
1
22
111
+Δ
=
Δ=
−=
+Δ
+Δ
=
tK
tK
K
ttK
T
tt
β
β
ββ
β
( ) ( ) ( ) CMfff ~~~~2111 aas
ts
t
st +++−= ++ δδδ
( ) ( ) ( ) SQfff ~~~~4311 aa Tw
tw
t
wt +++−= ++ δδδ
( )tw
tt
tt
tt
a
ta
ta
ta
p
uu
uu
uu
&
&&&
&&&
&&&
~
~141~
21
~141~
21
~21~11
14
1
2
1
23
1
2
1
22
111
δβ
δββ
δββ
δββ
δββ
δβ
δβ
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−Δ+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−Δ+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
Δ=
( )
( )⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
+w
t
st
tS
1
1
fff
δδδ
3
2
235
Figura C.1(d) Esquema geral do programa desenvolvido nesta pesquisa.
Não-linear?
Solução não- linear Solução linear
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=+
+
1
1~~~
tw
tt p
uΦ
δδ
δ
1~
+tu&δ
1~
+tu&&δ
1~
+twp&δ
Sim Não
( ) ttttt ttuuuuu &&&&& ~1
21~1~~1~
1112
11 δ
βδ
βδδ
βδ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
Δ−−
Δ= ++
( ) tt ttttt Δ−+Δ+= ++ uuuuu &&&&&&&& ~~~~~111 δδβδδδ
ttwtw
twtw Δ−
+= ++
pppp
~~~~ 1
1
δδδδ &&
4
Obtenção do vetor de incremento da variável primaria temporal:
Solução da equação de equilíbrio dinâmico do sistema:
11 ++ = ttt uDσ δδ Obtenção do vetor de incremento da variável secundaria temporal (tensão) :
3
[ ]∑ ++ ← 11~
tt σσ δδ Montagem do vetor incremento da variável secundaria temporal (a nível global):
236
Figura C.1(e) Esquema geral do programa desenvolvido nesta pesquisa.
1+= tt
Atualização da matriz de rigidez (a nível local)
Amortecimento viscoso?
11 ++ +== tRt KMCC βα
Sim Não
0C =+1t
Modelo elástico-plástico
11 ++ = tep
t σDD δ
Sim Não
11 ++ = te
t σDD δ
∫Ω
+ Ω= dut
Tut BDBK 1
[ ]∑ ++ ← 11~
tt KK
[ ]∑ ++ ← 11~
tt CC
Montagem das matrizes e vetores (a nível global):
Fim
Plotagens dos resultados
4
11~~~
++ += ttt uuu δ
11~~~
++ += twtwtw ppp δ
11~~~
++ += ttt σσσ δ
Obtenção da variável primaria temporal:
Obtenção da variável secundaria temporal:
237
Apêndices
Apêndice A Resultados em termos da história dos deslocamentos. Coluna de solo seco. Solução analítica.
0 2 4 6 8 10
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4-0.4
-0.2
0
0.2
0.4-0.4
-0.2
0
0.2
0.4-0.4
-0.2
0
0.2
0.4-0.4
-0.2
0
0.2
0.4-0.4
-0.2
0
0.2
0.4Deslocamento (m)
Tempo (s)
= 0m
= 5m
= 10m
= 15m
=20m
Profundidade = 25m
0 2 4 6 8 10
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4-0.4
-0.2
0
0.2
0.4-0.4
-0.2
0
0.2
0.4-0.4
-0.2
0
0.2
0.4-0.4
-0.2
0
0.2
0.4-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
= 30m
= 35m
= 40m
= 45m
= 50m
Deslocamento (m)
Tempo (s) (a) (b)
Figura A.1 História dos deslocamentos para a coluna de solo seco. Solução analítica.
238
Apêndice B Histórias dos deslocamentos, velocidades e acelerações para a coluna de solo seco. Solução aproximada [FEM].
0 2 4 6 8 10
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4-0.4
-0.2
0
0.2
0.4-0.4
-0.2
0
0.2
0.4-0.4
-0.2
0
0.2
0.4-0.4
-0.2
0
0.2
0.4-0.4
-0.2
0
0.2
0.4Deslocamento (m)
Tempo (s)
= 0m
= 5m
= 10m
= 20m
Profundidade = 25m
= 15m
0 2 4 6 8 10
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4-0.4
-0.2
0
0.2
0.4-0.4
-0.2
0
0.2
0.4-0.4
-0.2
0
0.2
0.4-0.4
-0.2
0
0.2
0.4-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
= 30m
= 35m
= 40m
= 45m
= 50m
Deslocamento (m)
Tempo (s) (a) (b)
Figura B.1 História dos deslocamentos para coluna de solo seco. Solução aproximada MEF.
239
0 2 4 6 8 10
-2
-1
0
1
2-2
-1
0
1
2-2
-1
0
1
2-2
-1
0
1
2-2
-1
0
1
2-2
-1
0
1
2Velocidade (m/s)
Tempo (s)
= 0m
= 5m
= 10m
= 15m
= 20m
Profundidade = 25m
0 2 4 6 8 10
-2
-1
0
1
2-2
-1
0
1
2-2
-1
0
1
2-2
-1
0
1
2-2
-1
0
1
2-2
-1
0
1
2Velocidade (m/s)
Tempo (s)
= 30m
= 35m
= 40m
= 45m
= 50m
(a) (b)
Figura B.2 História das velocidades para coluna de solo seco. Solução aproximada MEF.
240
0 2 4 6 8 10
-0.8
-0.4
0
0.4
0.8-0.8
-0.4
0
0.4
0.8-0.8
-0.4
0
0.4
0.8-0.8
-0.4
0
0.4
0.8-0.8
-0.4
0
0.4
0.8-0.8
-0.4
0
0.4
0.8
Aceleração (g)
Tempo (s)
= 0m
= 5m
= 10m
= 15m
= 20m
Profundidade = 25m
0 2 4 6 8 10
-0.8
-0.4
0
0.4
0.8-0.8
-0.4
0
0.4
0.8-0.8
-0.4
0
0.4
0.8-0.8
-0.4
0
0.4
0.8-0.8
-0.4
0
0.4
0.8-0.8
-0.4
0
0.4
0.8
Aceleração (g)
Tempo (s)
= 30m
= 35m
= 40m
= 45m
= 50m
(a) (b)
Figura B.3 História das acelerações para coluna de solo seco. Solução aproximada MEF.
241
Apêndice C Histórias dos deslocamentos, incrementos de poropressão e de acelerações para coluna de solo saturado. Amplitude da onda excitante 0,35g.
0 2 4 6 8 10
-0.2
0
0.2
-0.2
0
0.2
-0.2
0
0.2
-0.2
0
0.2
-0.2
0
0.2
-0.2
0
0.2
Tempo (s)
Deslocamento (m)
= 0m
= 5m
= 10m
= 15m
= 20m
Profundidade = 25m
0 2 4 6 8 10
-0.2
0
0.2
-0.2
0
0.2
-0.2
0
0.2
-0.2
0
0.2
-0.2
0
0.2
-0.2
0
0.2
Deslocamento (m)
Tempo (s)
= 30m
= 35m
= 40m
= 45m
= 50m
(a) (b)
Figura C.1 História dos deslocamentos para coluna de solo saturado. Solução aproximada MEF considerando aceleração horizontal máxima g35,0 .
242
0 2 4 6 8 10
0
200
400
600
0
200
400
600
0
200
400
600
0
200
400
600
0
200
400
600
0
200
400
600
= 0m
= 5m
= 10m
= 15m
= 20m
Profundidade = 25m
Tempo (s)
Excesso de poropressão (kPa)
0 2 4 6 8 10
0
200
400
600
0
200
400
600
0
200
400
600
0
200
400
600
0
200
400
600
0
200
400
600
= 30m
= 35m
= 40m
= 45m
= 50m
Tempo (s)
Excesso de poropressão (kPa)
(a) (b)
Figura C.2 História dos incrementos de poropressão para coluna de solo saturado. Solução aproximada MEF. Aceleração horizontal máxima g35,0 .
243
0 2 4 6 8 10-0.8
-0.4
0
0.4
0.8-0.8
-0.4
0
0.4
0.8-0.8
-0.4
0
0.4
0.8-0.8
-0.4
0
0.4
0.8-0.8
-0.4
0
0.4
0.8-0.8
-0.4
0
0.4
0.8
= 0m
= 5m
= 10m
= 15m
= 20m
Tempo (s)
aceleração (g)
Profundidade = 25m
0 2 4 6 8 10
-0.8
-0.4
0
0.4
0.8-0.8
-0.4
0
0.4
0.8-0.8
-0.4
0
0.4
0.8-0.8
-0.4
0
0.4
0.8-0.8
-0.4
0
0.4
0.8-0.8
-0.4
0
0.4
0.8
= 30m
= 35m
= 40m
= 45m
= 50m
Tempo (s)
Aceleração (g)
(a) (b)
Figura C.3 História das acelerações para coluna de solo saturado. Solução aproximada MEF. Amplitude do registro de aceleração da onda excitante g35,0 .
244
Apêndice D Registro dos deslocamentos, incrementos de poropressão e acelerações para coluna de solo saturado. Aceleração horizontal máxima 0,40g.
0 2 4 6 8 10
-0.2
0
0.2
-0.2
0
0.2
-0.2
0
0.2
-0.2
0
0.2
-0.2
0
0.2
-0.2
0
0.2
= 0m
= 5m
= 10m
= 15m
= 20m
Profundidade = 25m
Tempo (s)
Deslocamento (m)
0 2 4 6 8 10
-0.2
0
0.2
-0.2
0
0.2
-0.2
0
0.2
-0.2
0
0.2
-0.2
0
0.2
-0.2
0
0.2
= 30m
= 35m
= 40m
= 45m
= 50m
Tempo (s)
Deslocamento (m)
(a) (b)
Figura D.1 História dos deslocamentos para coluna de solo saturado. Solução aproximada MEF. Aceleração horizontal máxima g40,0 .
245
0 2 4 6 8 10
0
200
400
600
0
200
400
600
0
200
400
600
0
200
400
600
0
200
400
600
0
200
400
600
Excesso de poropresão (kPa)
Tempo (s)
= 0m
= 5m
= 10m
= 15m
= 20m
Profundidade = 25m
0 2 4 6 8 10
0
200
400
600
0
200
400
600
0
200
400
600
0
200
400
600
0
200
400
600
0
200
400
600
= 30m
= 35m
= 40m
= 45m
= 50m
Excesso de poropresão (kPa)
Tempo (s) (a) (b)
Figura D.2 História dos incremento de poropressão para coluna de solo saturado. Solução aproximada MEF. Aceleração horizontal máxima g40,0 .
246
0 2 4 6 8 10
-0.8
-0.4
0
0.4
0.8-0.8
-0.4
0
0.4
0.8-0.8
-0.4
0
0.4
0.8-0.8
-0.4
0
0.4
0.8-0.8
-0.4
0
0.4
0.8-0.8
-0.4
0
0.4
0.8
0 2 4 6 8 10= 0m
= 10m
= 15m
= 20m
= 25m
Profundidade = 30m
Tempo (s)
Aceleração (g)
0 2 4 6 8 10
-0.8
-0.4
0
0.4
0.8-0.8
-0.4
0
0.4
0.8-0.8
-0.4
0
0.4
0.8-0.8
-0.4
0
0.4
0.8-0.8
-0.4
0
0.4
0.8-0.8
-0.4
0
0.4
0.8
= 30m
= 35m
= 40m
= 45m
= 50m
Tempo (s)
Aceleração (g)
(a) (b)
Figura D.3 - História das acelerações para coluna de solo saturado. Solução aproximada MEF. Aceleração horizontal máxima g40,0 .