jorge luis cárdenas guillén modelagem elasto … tese (doutorado em engenharia...

Jorge Luis Cárdenas Guillén

Modelagem Elasto-plástica da Liquefação Dinâmica de Solos

Tese de Doutorado

Tese apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Doutor pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio. Área de Concentração: Geotecnia.

Orientador: Celso Romanel

Rio de Janeiro

Dezembro de 2008

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PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410742/CA


Modelagem Elasto-plástica da Liquefação Dinâmica de Solos

Tese apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Doutor pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada.

Prof. Celso Romanel Presidente / Orientador

Departamento de Engenharia Civil – PUC-Rio

Prof. Raul Rosas e Silva Departamento de Engenharia Civil – PUC-Rio

Prof. Paulo Batista Gonçalves

Departamento de Engenharia Civil – PUC-Rio

Prof. João Luis Pascal Roehl Departamento de Engenharia Civil – PUC-Rio

Profa. Christianne de Lyra Nogueira

Universidade Federal de Ouro Preto

Prof. Francisco Cláudio Pereira de Barros Comissão Nacional de Energia Nuclear - CNEN

Prof. José Eugênio Leal Coordenador Setorial do Centro Técnico Científico – PUC-Rio

Rio de Janeiro, Dezembro de 2008

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Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e do orientador.


Graduou-se em Engenharia Civil pela Universidad Nacional de Ingeniería (UNI-Perú) em 1997. Atuou em engenharia geotécnica no Centro de Investigações Sísmicas e Mitigação de Desastres (CISMID-UNI). Em 2002 ingressou no curso de Mestrado e, em 2004, prosseguiu no curso de Doutorado em Engenharia Civil da Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, na área de Geotecnia, onde vem desenvolvendo investigações na linha de pesquisa em Geomecânica Computacional.

Ficha Catalográfica

Cárdenas Guillén, Jorge Luis

Modelagem elasto-plástica da liquefação dinâmica de solos / Jorge Luis Cárdenas Guillén ; orientador: Celso Romanel. – 2008.

246 f. :il. ; 30 cm

Tese (Doutorado em Engenharia Civil)–Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2008.

Incluí bibliográfia

1. Engenharia civil – Teses. 2. Método dos elementos finitos. 3. Plasticidade generalizada. 4. Liquefação dinâmica. 5. Dinâmica de solos. I. Romanel, Celso. II. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Civil. III. Título.

CDD: 624

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A minha mãe Maura.

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Agradecimentos

Não poderia começar estes agradecimentos sem expressar minha profunda e

sincera gratidão ao Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio, pelos

recursos fornecidos para a realização da presente tese, e a este grande Brasil,

pela oportunidade de ter aqui vivido e conseguido realizar uma grande aspiração

pessoal. Desejo também agradecer a todas as pessoas que contribuíram, de uma

ou outra maneira, com o desenvolvimento deste trabalho, em particular a:

ao professor e orientador Celso Romanel, pela orientação e amizade. Os seus

ensinamentos, sugestões e correção do manuscrito final tornaram possível a

apresentação da tese na presente forma;

a meus pais Maura e Maximo (Don Max), pelo inmenso amor recibido;

a minhas irmãs Alicia Cristina (negra Lí), Corina (Vicky) e Blanca Pilar (Pili),

pelo apoio em todo momento;

a meu irmaaozinho Luis Angel (in memoriam), pela luz eterna;

a Hilda, pelo amor e apoio continuo durante a tese;

ao professor e colega de trabalho Mitsuo Tsutsumi, da Universidade Federal de

Juiz de Fora, pela amizade, confiança e respeito;

a David Luna, do Laboratório de Geotecnia da Universidad Nacional de

Ingeniería no Perú, pelo apoio e amizade;

a Mery Cecilia, Flavio Silva, Marcos Ramidan, Fanny e Sandra Milagros, pela

confiança e apoio recebido;

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a meus colegas da PUC-Rio, pela amizade, convivência e apoio nestes anos de

estudo;

a Rita, pela auxílio em todos os momentos de necessidade;

aos professores do Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio, pelos

excelentes conhecimentos transmitidos durante o curso de Doutorado;

a CNPq pelo apoio financeiro;

muito obrigado a todos.

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Resumo

Guillén, Jorge Cárdenas; Romanel, Celso. Modelagem elasto-plástica da liquefação dinâmica de solos. Rio de Janeiro, 2008. 246p. Tese de Doutorado - Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.

Mudanças das propriedades dos solos devido à ação de carregamentos

dinâmicos são responsáveis por danos significativos em geo-estruturas, tais como:

barragens, estruturas de contenção, fundações, taludes, etc. A ocorrência do

fenômeno da liquefação, em materiais suscetíveis como areias fofas saturadas,

representa um tipo de resposta desastrosa de solos. O termo liquefação tem sido

empregado para descrever uma variedade de fenômenos no qual tem em comum o

desenvolvimento de altas poropressões em materiais saturados sem coesão devido

a carregamentos monotônicos, transientes ou cíclicos. A previsão da liquefação

depende de uma adequada análise do comportamento não-drenado do material, em

termos do incremento de poropressões e da perda da rigidez da mistura sólido-

fluido, durante e após o período de movimento. O estabelecimento das equações

governantes é essencial para elaboração de um modelo matemático realista para

descrever o comportamento físico deste fenômeno. As equações a serem

consideradas são: equação de movimento da fase sólida, a equação do movimento

da mistura sólido-fluido, a equação de continuidade da fase fluida, as equações de

acoplamento das fases e as equações constitutivas desses materiais. Nesta tese a

resposta dinâmica do solo foi investigada numericamente mediante a técnica dos

elementos finitos. A discretização espacial das equações governantes foi feita

através do método de Galerkin e a discretização temporal pelo método de

Newmark Generalizado. Um modelo constitutivo elasto-plástico foi considerado

para descrever o comportamento mecânico da fase sólida, desenvolvido a partir de

conceitos da generalização da teoria da plasticidade, que apresenta algumas

vantagens em relação aos outros modelos baseados na teoria da plasticidade

clássica. A implementação computacional foi escrito em Fortran 90. Exemplos

numéricos analisados nesta tese comprovam tanto a eficiência do modelo

constitutivo na predição do comportamento do solo sobre liquefação como a

confiabilidade do programa computacional elaborado nesta pesquisa, em termos

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da rapidez de processamento e da boa precisão dos resultados, quando

comparados com soluções analíticas e outros valores numéricos obtidos por vários

autores e diferentes modelos constitutivos.

Palavras-chave Método dos elementos finitos, plasticidade generalizada, liquefação

dinâmica, dinâmica de solos.

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Abstract

Guillén, Jorge Cárdenas; Romanel, Celso (Advisor). Elasto-Plasticity Modelling of Soil Liquefaction. Rio de Janeiro, 2008. 246p . DSc. Thesis – Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.

Changes in soil properties due to the action of dynamic loads are

responsible for significant damage of geo-structures such as dams, retaining

structures, building foundations, slopes, etc. The occurrence of liquefaction

phenomena in susceptible materials, such as loose sand saturated, represents a

type of disastrous response of soil. The term liquefaction has been used to refer

to a group of phenomena which have in common the development of high pore

pressures in saturated cohesionless material due to monotonic, transient, or

cyclic loads. The prediction of soil liquefaction depends of an adequate analysis

of the behavior of undrained materials, in terms of increase of pore water

pressure and weakening of the solid-fluid mixture, during and after the periodic

motion. The establishment of the governing equations is essential to provide a

realistic mathematical model to describe the physical behavior of this

phenomenon. The system of equations to be considered are: the equilibrium

equation of the solid phase, the equilibrium equation of the solid-fluid mixture,

the conservation mass of the fluid phase, the coupling equation of phases, and

the constitutive equations of materials. In this thesis the soil dynamic response

was numerically investigated by the finite element method. To obtain the spatial

discretization of the governing equation, the Galerkin method was used. The

dicretization in time was the Generalized Newmark method. An elastic-plastic

constitutive model was used to describe the mechanical behavior of the solid

phase. This model was developed in the framework of the generalized theory of

plasticity, which has some advantages when compared with other models based

on the classical plasticity theory. The computational implementation was written

in Fortran 90. Numerical examples considered in this thesis demonstrate the

efficiency of the constitutive model to simulated the predicted behavior of soil

under liquefaction as well as the reliability of the software developed in this

research, in terms of computational effort and good accuracy of the results, when

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compared with some analytical solutions and other numerical values obtained by

various authors and different constitutive models.

Keywords Finite element method, generalized plasticity, dynamic liquefaction, soil

dynamic.

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Sumário

1 Introdução 1.1 Aspectos gerais

1.2 Motivação e objetivo

1.3 Organização da tese

1.4 Notação utilizada

2 Fundamentos teóricos da liquefação de solos 2.1 Aspectos gerais

2.2 Fenômeno da liquefação de solos

2.2.1 Definição

2.2.2 Fluxo por liquefação e mobilidade cíclica

2.3 Comportamento dinâmico não-drenado de areias saturadas

2.4 Mecanismo de iniciação da liquefação

2.5 Suscetibilidade dos materiais à liquefação

2.5.1 Critério geológico

2.5.2 Critério de composição de material

2.5.3 Critérios de estado

3 Modelo constitutivo para liquefação de solos 3.1 Aspectos gerais

3.2 Desenvolvimento histórico dos modelos constitutivos para

carregamento cíclico

3.3 Teoria da plasticidade generalizada

3.3.1 Principais características da teoria da plasticidade clássica

3.3.2 Características da teoria da plasticidade generalizada

3.3.3 Formulação da matriz constitutiva elasto-plástica

3.4 Modelo constitutivo Pastor-Zienkiewicz

3.4.1 Formulação geral do modelo no plano triaxial

3.4.2 Sumário da formulação do modelo no plano triaxial

3.4.3 Formulação do modelo no espaço das tensões principais

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4 Equações governantes da interação dinâmica sólido-fluido 4.1 Introdução

4.2 Aspectos gerais

4.2.1 Lei de Darcy

4.2.2 Principio das tensões efetivas de Terzaghi

4.3 Equações governantes

4.3.1 Forma incremental das equações completas de Biot-Zienkiewicz

4.3.2 Forma incremental das equações simplificadas de

Biot-Zienkiewicz

5 Discretização das equações governantes na forma u-p 5.1 Discretização espacial

5.2 Discretização temporal

5.3 Linearização das equações discretas dos sistema sólido-fluido

6 Exemplos 6.1 Características gerais do programa computacional

6.2 Retroanálises de ensaios de laboratório em areias

6.2.1 Parâmetros do modelo Pastor-Zienkiewicz

6.2.2 Retroanálises de ensaios triaxiais monotônicos em areias

6.2.3 Retroanálises de ensaios de cisalhamento cíclico em areias

6.3 Exemplo 1 - coluna de solo submetida à excitação cíclica na base

6.3.1 Solo seco

6.3.2 Solo saturado

6.4 Exemplo 2 - Análise dinâmica da barragem de San Fernando, EUA

6.5 Exemplo 3 - Resposta dinâmica de um talude de solo submerso

7 Conclusões e sugestões 7.1 Conclusões

7.2 Sugestões para futuras pesquisas

8 Referências bibliográficas Anexo A

Anexo B

Anexo C

Apêndices

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Lista de figuras

Figura 1.1 - Liquefação do solo de fundação em Niigata, Japão, 1964,

causando colapso do conjunto habitacional Kawagishi-cho [Earthquake

Engineering Research Center, University of California, Berkeley, USA].

Figura 1.2 - Liquefação do solo no terremoto de Good Friday, Alaska,

1964, causando grandes movimentos de massas [Earthquake

Engineering Research Center, University of California, Berkeley, USA].

Figura 2.1 - Ensaios triaxiais não-drenados em amostra de areia

saturada [Castro, G.; Poulos, S.J., 1977].

Figura 2.2 - Amostra M1 com 44,0=rD e 08,0=CSR . Resultados do

ensaio de cisalhamento cíclico não-drenado da areia do Rio Fraser. (a)

Curva τσ :v′ . (b) Curva 0: vwC pN σδ ′ , [Byrne, P.M., 2005].

Figura 2.3 - Amostra M2 com 80,0=rD e 25,0=CSR . Resultados do

ensaio de cisalhamento cíclico não-drenado da areia do Rio Fraser. (a)


Figura 2.4 - Amostra M3 com 44,0=rD e 10,0=CSR . Resultados de

ensaio de cisalhamento cíclico não-drenado da areia do rio Fraser. (a)


Figura 2.5 - Trajetória das tensões típica num ensaio cisalhante cíclico.

Plano τσ :v′ .

Figura 2.6 - Linha de transformação de fase (PLT) e linha de estado

permanente (SSL) nas amostras M2 (a) e M3 (b).

Figura 2.7 - Esquema geral da resposta não-drenada de areias

saturadas sob carregamento monotônico e cíclico. (a) Comportamento

contrativo. (b) Comportamento dilatante, [Rauch, A.F., 1997].

Figura 2.8 - Conceito de iniciação da ruptura do fluxo por liquefação,

[Kramer, S.L., 1996].

Figura 2.9 - Superfície de iniciação de ruptura do fluxo por liquefação.

Plano qp :′ , [Kramer, S.L., 1996].

Figura 2.10 - Região de suscetibilidade de ocorrência de fluxo por

liquefação, [Kramer, S.L., 1996].

Figura 2.11 - Região de suscetibilidade de ocorrência de mobilidade

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cíclica, [Kramer, S.L., 1996].

Figura 2.12 - Recomendações de Seed, R.B. [Seed, R.B., et al., 2003]

considerando a influência dos finos na suscetibilidade da liquefação.

Figura 2.13 - Linha de índice de vazio crítico, [Kramer, S.L., 1996].

Figura 2.14 - Comportamento típico de areias em ensaios triaxiais não-

drenados monotônicos. (a) Plano: qa :ε , (b) Plano: qp :′ , (c) Plano:

wa p:ε , [Kramer, S.L., 1996].

Figura 2.15 - Linha de estado permanente em representação

tridimensional no espaço στ ′::e e nos planos e:τ , στ ′: , e σ ′:e ,

[Kramer, S.L., 1996].

Figura 2.16 - Proporcionalidade entre a linha de estado permanente

baseada em (a) resistência não-drenada e (b) tensão de confinamento

efetiva (escala logarítmica), [Kramer, S.L., 1996].

Figura 2.17 - Estimativa da suscetibilidade de liquefação pela linha de

estado permanente, [Kramer, S.L., 1996].

Figura 2.18 - Definição do parâmetro de estado ψ [Been, K.; Jefferies,

M.G., 1985].

Figura 3.1 - Deslizamento ocorrido na barragem de San Fernando, em

1971 (EERC, University of California, Berkeley, USA).

Figura 3.2 - Ruptura da barragem San Fernando. (a) Seção transversal

da barragem após a ruptura e (b) reconstrução das condições iniciais,

[Seed, H.B., 1979].

Figura 3.3 - Representação de um ciclo de carregamento num ensaio

triaxial cíclico uniaxial.

Figura 3.4 - Influência de 0

ˆ gp′ na forma da superfície do potencial

plástico ( 6,0=α , 6,1=gM ).

Figura 3.5 - Influência de gM na forma da superfície do potencial

plástico ( 6,0=α , kPapg 200ˆ0

=′ ).

Figura 3.6 - Influência de α na forma da superfície do potencial

plástico ( 6,1=gM , kPapg 200ˆ0

=′ ).

Figura 4.1 - Representação esquemática de um meio poroso

preenchido com um ou dois fluidos, [Bastian, P., 1999].

Figura 4.2 - Representação esquemática de um meio poroso permeável

e impermeável.

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Figura 4.3 - Fases do solo; (a) estado natural, (b) representação

esquemática em termos de volumes e massas.

Figura 6.1 - Previsão da curva tensão efetiva média-tensão de desvio

nos ensaios triaxiais monotônicos em areias [Castro, G., 1969] com

emprego do modelo P-Z.

Figura 6.2 - Previsão da curva deformação cisalhante-tensão de desvio

nos ensaios triaxiais monotônicos em areias [Castro, G., 1969] com


Figura 6.3 - Previsão da curva deformação cisalhante-poropressão nos

ensaios triaxiais monotônicos em areias [Castro, G., 1969] com


Figura 6.4 - Influência do parâmetro α na representação da trajetória

de tensão efetiva qp :′ nos ensaios monotônicos com emprego do

modelo P-Z.

Figura 6.5 - Influência do parâmetro 0β na representação da trajetória

de tensão efetiva qp :′ no ensaio monotônico com emprego do modelo

P-Z.

Figura 6.6 - Influência do parâmetro 1β na representação da trajetória


modelo P-Z.

Figura 6.7 - Influência do parâmetro 0LH na representação da trajetória


modelo P-Z.

Figura 6.8 - Influência exponencial ( 0=n ;1; 2 ;3 ; 4 ;5 ) da razão da

tensão efetiva média com a tensão de confinamento efetiva na

representação da trajetória de tensão efetiva qp :′ nos ensaios

monotônicos com emprego do modelo P-Z modificado.

Figura 6.9 - Previsão da curva tensão efetiva média - tensão de desvio

nos ensaios triaxiais monotônicos em areias [Ishihara, K., 1993] com



nos ensaios triaxiais monotônicos em areias [Ishihara, K., 1993] com

emprego do modelo P-Z modificado.

Figura 6.11 - Previsão da trajetória de tensões efetivas para distintos

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valores de tensões de confinamento ( 5,03 =′σ ; 5,1 ; 5,2 ; 5,3 MPa ) nos

ensaios triaxiais monotônicos em areias [Ishihara, K., 1993] com

emprego do modelo P-Z modificado.


nos ensaios triaxiais cíclicos de areias com emprego do modelo P-Z.

Figura 6.13 - Previsão da curva deformação cisalhante - tensão de

desvio nos ensaios triaxiais cíclicos de areias com emprego do modelo

P-Z.

Figura 6.14 - Previsão da curva deformação cisalhante - poropressão

nos ensaios triaxiais cíclicos de areias com emprego do modelo P-Z.

Figura 6.15 - (a) Coluna de solo seco submetida a carregamento

sísmico em sua base; (b) Malha de elementos finitos Q4 utilizada na

análise numérica.

Figura 6.16 - Comparação entre respostas numérica e analítica para

deslocamentos do ponto B.

Figura 6.17 - Comparação entre respostas numérica e analítica para

deslocamentos do ponto A.

Figura 6.18 - (a) Coluna de solo, com presença do lençol freático,

submetida a carregamento (aceleração) sísmico em sua base; (b)

Malha de elementos finitos Q4 utilizada na análise numérica.

Figura 6.19 - Variação do incremento de poropressão com a

profundidade e tempo para ga r35.00 = .

Figura 6.20 - Variação do incremento de poropressão com a

profundidade e tempo para ga r40.00 = .

Figura 6.21 - Variação do incremento da poropressão com o tempo

para vários valores da amplitude da aceleração aplicada na base.

Figura 6.22 - Curva da variação da tensão de confinamento efetiva com

a profundidade no tempo t = 10s para ga r35,00 = e gr40,0 .

Figura 6.23 - (a) Trajetória de tensão no plano triaxial para ga r40,0= , t

= 10s, z = 20m, (b) Curvas tensão-deformação durante carregamento

cíclico.

Figura 6.24 - Variação com a profundidade do fator de segurança

contra a liquefação FS.

Figura 6.25 - Registro das acelerações sísmicas utilizado na simulação

numérica.

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Figura 6.26 - Geometria e malha de elementos finitos. Barragem de

San Fernando. Letras C, D, G e H se referem a pontos nodais de

interesse.

Figura 6.27 - Variação temporal do incremento de poropressões

determinados numericamente para alguns pontos da barragem de San

Fernando.

Figura 6.28 - Geometria do problema e localização dos pontos de

instrumentação. Talude de solo submerso [Byrne, P.M., 2005].

Figura 6.29 - Registro das acelerações instrumentadas. Pontos A2, A5

e A7.

Figura 6.30 - Registros das poropressões instrumentadas. Pontos P2,

P5 e P7.

Figura 6.31 - Registro das acelerações do sismo A475 [Byrne, P.M.,

2005].

Figura 6.32 - Geometria e malhas de elementos finitos. Talude de solo

submerso.

Figura 6.33 - Registro das acelerações previstas. Ponto A2.



Figura 6.36 - História das poropressões previstas. Ponto P2.



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Lista de tabelas

Tabela 6.1 - Parâmetros do modelo P-Z utilizados nas retroanálises dos

ensaios de laboratório monotônicos em areias [Castro, G., 1969].


ensaios de laboratório monotônicos em areias [Ishihara, K., 1993].

Tabela 6.3 - Parâmetros utilizados para obtenção do módulo de

cisalhamento e do modulo volumétrico dependentes da tensão de

cisalhamento.


ensaios de laboratório cíclicos em areias [Byrne, P.M., 2005].

Tabela 6.5 - Parâmetros do material, da aceleração sísmica e da

geometria da coluna de solo seco.

Tabela 6.6 - Comparação dos deslocamentos numéricos máximos com

a solução analítica.

Tabela 6.7 - Parâmetros do material da coluna de solo saturado.

Tabela 6.8 - Parâmetros do modelo P-Z da coluna de solo saturado.

Tabela 6.9 - Parâmetros utilizados para obtenção do módulo de

cisalhamento dependente da tensão de confinamento efetiva.

Tabela 6.10 - Cálculo do fator de segurança contra a liquefação para

436=WM .


217=WM


218=WM

Tabela 6.13 - Parâmetros dos materiais da barragem de San Fernando

Tabela 6.14 - Parâmetros do modelo P-Z para os materiais da

barragem de San Fernando.

Tabela 6.15 - Propriedades do material do talude (areia fofa).

Tabela 6.16 - Parâmetros do material do talude referentes ao modelo P-Z.

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Lista de Abreviaturas .

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BBM - Modelo Básico Barcelona

CPT - ensaio de penetração de cone

CRR - razão da resistência cíclica

CSL - linha de estado crítico

CSR - razão de tensão cíclica

maxCSR - razão de tensão cíclica maxima

eqCSR - razão de tensão cíclica equivalente

DMT - ensaio de dilatômetro

MDWF - fator de correção da magnitude do terremoto

EERC - Earthquake Engineering Research Center

FC - fração fina

FLS - superfície de iniciação de ruptura por fluxo por liquefação

FS - fator de segurança

LI - indice de liquidez

IP - indice de plasticidade

LL - limite de liquidez

MEF - método dos elementos finitos

MSP - trajetória de tensão monotônica

NCEER - National Center for Earthquake Engineering Research

WM - magnitude do terremoto

rochaPHA - aceleração máxima horizontal na rocha

soloPHA - aceleração máxima horizontal no solo

PTL - linha de transformação de fase

P-Z - Pastor-Zienkiewicz

SPT - ensaio de penetração estándar

SSL - linha de estado permanente

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Lista de símbolos .

.

.

.

ALFABETO ROMANO

a - aceleração horizontal

maxa - aceleração horizontal máxima

0a - amplitude da aceleração

1a , 2a - constantes de amortecimento

A - área da seção transversal

0A - amplitude do deslocamento

1A , 2A , 3A - quantidades matriciais

ib - componente do vetor b

b - vetor de força de corpo por unidade de massa

br

- vetor unitário de força de corpo wB - matriz das derivadas das funções de interpolação do fluido uB - matriz das derivadas das funções de interpolação do sólido

1B , 2B , 3B - quantidades matriciais

ijklC - tensor constitutivo deformação-tensão

LijklC - tensor constitutivo deformação-tensão (carrregamento)

UijklC - tensor constitutivo deformação-tensão (descarregamento)

sC - compressibilidade do sólido

wC - compressibilidade da água

NC - fator de correção

TC - compressibilidade do sistema sólido-água

C~ - compressibilidade equivalente do sistema sólido-água

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*~TC - compressibilidade equivalente do sistema sólido-água-ar

[ ]C - matriz de amortecimento viscoso do sólido a nível local C - matriz constitutiva deformação-tensão C - matriz de amortecimento viscoso do sólido a nível local

eC - matriz constitutiva deformação-tensão elástica

cC - matriz de acoplamento sólido-fluido em termos da rigidez a nível local

LC - matriz constitutiva deformação-tensão (carregamento)

RC - matriz de amortecimento de Rayleigh

UC - matriz constitutiva deformação-tensão (descarregamento)

eC - matriz de amortecimento do elemento acoplado

C~ - matriz de amortecimento do sólido a nível global

SC~ - matriz de amortecimento do sistema

d - dilatância plástica

fd - dilatância plástica dependente da superfície de escoamento - modelo P-Z

gd - dilatância plástica dependente da superfície do potencial plástico - modelo P-Z

ijklD - tensor constitutivo tensão-deformação

rD - densidade relativa eqD - componente de desvio da matriz eD epD - componente volumétrica da matriz eD epijD - componente da matriz epD ( 2,1, =ji )

D - matriz constitutiva tensão-deformação eD - matriz constitutiva tensão-deformação elástica epD - matriz constitutiva tensão-deformação elasto-plástica

fD - matriz de amortecimento viscoso do fluido a nível local

sD - matriz de amortecimento viscoso do sólido a nível local

eD - matriz constitutiva tensão-deformação elástica - plano triaxial

qp :′ epD - matriz constitutiva tensão-deformação elasto-plástica - plano

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triaxial qp :′ e - índice de vazios

ce - índice de vazio crítico

SSe - índice de vazios na condicao de estado permanente

0e - índice de vazios inicial

f - função da superfície de escoamento

f - função da superfície de escoamento - plano triaxial qp :′ ( )sf - vetor de força nodal a nível local do sólido ( )wf - vetor de força nodal a nível local do fluido

ef - vetor de força nodal do elemento acoplado

ttS Δ+f - vetor de força equivalente do sistema no tempo tt Δ+ ( )sf~ - vetor de força nodal do sólido a nível global ( )wf~ - vetor de força nodal do fluido a nível global ( )s

tf~ - vetor de força nodal do sólido a nível global no tempo t

( )wtf

~ - vetor de força nodal do fluido a nível global no tempo t ( )s

tt Δ+f~ - vetor de força nodal do sólido a nível global no tempo tt Δ+ ( )w

tt Δ+f~ - vetor de força nodal do fluido a nível global no tempo tt Δ+

Sf~ - vetor de força nodal do sistema

tSf~ - vetor de força nodal do sistema no tempo t

ttS Δ+f~ - vetor de força nodal do sistema no tempo tt Δ+

fF - vetor de força nodal do fluido a nível local

sF - vetor de força nodal do sólido a nível local g - função da superfície do potencial plástico g - função da superfície do potencial plástico - plano triaxial qp :′

gr - aceleração da gravidade G - módulo de cisalhamento

rG - parâmetro relacionado ao módulo de cisalhamento

DBD


[ ]G - matriz da inércia do fluido a nível local G - matriz de fluxo dinâmico do fluido a nível local

wh - carga hidráulica

H - altura da coluna de solo H - módulo plástico

fH - coeficiente do módulo plástico - modelo P-Z

sH - coeficiente do módulo plástico - modelo P-Z

vH - coeficiente do módulo plástico - modelo P-Z

DMH - coeficiente do módulo plástico - modelo P-Z

LH - módulo plástico (carregamento)

UH - módulo plástico (descarregamento)

ULH - módulo plástico (carregamento ou descarregamento)

LoH - parâmetro - modelo P-Z

0UH - parâmetro - modelo P-Z

H - módulo plástico - plano triaxial qp :′

LH - módulo plástico (carregamento) - plano triaxial qp :′

UH - módulo plástico (descarregamento) - plano triaxial qp :′

ULH - módulo plástico (carregamento ou descarregamento) - plano triaxial qp :′

H - matriz de fluxo do fluido a nível local

H~ - matriz de fluxo do fluido a nível global

321 ,, JJJ ′′′ - invariantes da tensão efetiva

DDD JJJ 321 ,, ′′′ - invariantes da tensão de desvio efetiva

J - matriz jacobiana k - permeabilidade absoluta

ijk - componente da matriz k

xk - permeabilidade absoluta na direção x

yk - permeabilidade absoluta na direção y

DBD


k ′ - permeabilidade relativa

epoK - parâmetro - modelo P-Z

eqoK - parâmetro - modelo P-Z

sK - módulo de deformação volumétrica do sólido

sK - parâmetro relacionado ao módulo de deformação volumétrica

wK - módulo de deformação volumétrica da água

TK - módulo de deformação volumétrica do sistema sólido- água

K ′ - módulo de deformação volumétrica efectiva

0K - coeficiente de empuxo no repouso

max2K - coeficiente cisalhamento máximo

σK - fator de correção da tensão vertical efetiva

[ ]K - matriz de rigidez do sólido a nível local

k - matriz de permeabilidade absoluta K - matriz de rigidez do sólido a nível local

fK - matriz de rigidez do fluido a nível local

sK - matriz de rigidez do sólido a nível local

eK - matriz de rigidez do elemento acoplado

SK - matriz de rigidez equivalente do sistema

K~ - matriz de rigidez do sólido a nível global

SK~ - matriz de rigidez do sistema

L - comprimento [ ]L - matriz de acoplamento sólido-fluido a nível local

SSLm - inclinação da linha de estado permanente M - massa total (meio poroso)

aM - massa do ar

fM - parâmetro - modelo P-Z

gM - parâmetro - modelo P-Z

DBD


sM - massa do sólido

wM - massa da água

[ ]M - matriz de massa do sólido a nível local

m - forma vetorial do delta de Kronecker M - matriz de massa do sólido a nível local

cΜ - matriz de acoplamento sólido-fluido em termos da massa a nível local

fΜ - matriz de massa do fluido a nível local

sΜ - matriz de massa do sólido a nível local

eM - matriz de massa do elemento acoplado

M~ - matriz massa do sólido a nível global

SM~ - matriz de massa do sistema

n - expoente n - porosidade

in - vetor unitário (teorema de Green)

in - componente do vetor n q

ULfn - componente de desvio do vetor ULfn p

ULfn - componente volumétrica do vetor ULfn q

ULgn - componente de desvio do vetor ULgn p

ULgn - componente volumétrica do vetor ULgn

{ }n - vetor de fluxo nodal do fluido a nível local uKN - componente da matriz uN uPN - componente da matriz u

PN wLN - componente da matriz wN wPN - componente da matriz w

PN

CN - número de ciclos de carregamento

( )60N - número de golpes do SPT

DBD


( )601N - número de golpes corrigidos do SPT

n - vetor unitário da direção do incremento de tensão

Lfn - vetor unitario normal à superficie de escoamento (carregamento)

Ufn - vetor unitario normal à superficie de escoamento (descarregamento)

ULfn - vetor unitario normal à superficie de escoamento (carregamento ou descarregamento)

gLn - vetor unitário normal à superfície do potencial plástico (carregamento)

gUn - vetor unitário normal à superfície do potencial plástico (descarregamento)

ULgn - vetor unitario normal à superficie do potencial plástico (carregamento ou descarregamento)

ULfn - vetor unitário normal à superfície de escoamento (carregamento ou decarregamento) - plano triaxial qp :′

ULgn - vetor unitário normal à superfície do potencial plástico (carregamento ou decarregamento) - plano triaxial qp :′

N - matriz de funções de interpolação da variável generalizada uN - matriz das funções de interpolação do deslocamento do sólido wN - matriz das funções de interpolação da poropressão do fluido uPN - matriz das funções de ponderação do deslocamento do sólido wPN - matriz das funções de ponderação da poropressão do fluido

PN - matriz das funções de ponderação da variável generalizada

wp - poropressão do fluido

iwp - componente do vetor wp

wp& - velocidade da poropressão do fluido

p′ - tensão efetiva média

0p′ - tensão efetiva média inicial

0ˆ fp′ - coeficiente da função de escoamento - modelo P-Z

0ˆ gp′ - coeficiente da função do potencial plástico - modelo P-Z

Liwp - componente do vetor wp

iwp* - poropressão atuante na wpΓ

aP - pressão do ar

DBD


atmP - pressão atmosférica

avP - poropressão média

refP - pressão de referência

{ }fp - vetor da poropressão nodal do fluido a nível local

wp - vetor da poropressão do fluido

wp - vetor da poropressão nodal do fluido a nível local

wp& - vetor da velocidade da poropressão nodal do fluido a nível local

wp&& - vetor da aceleração da poropressão nodal do fluido a nível local

wp~ - vetor da poropressão nodal do fluido a nível global

wp&~ - vetor da velocidade da poropressão nodal do fluido a nível global

wp&&~ - vetor da aceleração da poropressão nodal do fluido a nível global

0~

wp - vetor da poropressão nodal do fluido inicial a nível global - análise estática

twp~ - vetor da poropressão nodal do fluido a nível global no tempo t

twp&~ - vetor da velocidade da poropressão nodal do fluido a nível global no tempo t

twp&&~ - vetor da aceleração da poropressão nodal do fluido a nível global no tempo t

ttw Δ+p~ - vetor da poropressão nodal do fluido a nível global no tempo tt Δ+

ttw Δ+p&~ - vetor da velocidade da poropressão nodal do fluido a nível global no tempo tt Δ+

ttw Δ+p&&~ - vetor da aceleração da poropressão nodal do fluido a nível global no tempo tt Δ+

tw*~p -

vetor da poropressão nodal do fluido a nivel global atuante na wpΓ no tempo t

tw*~p& -

vetor da velocidade da poropressão nodal do fluido a nivel global atuante na w

pΓ no tempo t

uP δ - matriz de força nodal interna do sólido a nível local

uP ~~ δ - matriz de força nodal interna do sólido a nível global q - tensão de desvio Q - vazão do fluido

Q~ - módulo de deformação volumétrica equivalente do sistema sólido-água

DBD


*~Q - módulo de deformação volumétrica equivalente do sistema sólido-água-ar

{ }Q - vetor da vazão nodal do fluido a nível local q - vetor de influxo

*~tq - vetor de influxo nodal a nível global atuante na w

w&Γ no tempo t

Q - matriz de acoplamento sólido-fluido a nível local

Q~ - matriz de acoplamento sólido-fluido a nível global

r - parâmetro relacionado ao módulo de cisalhamento

dr - fator de redução da tensão cíclica devido à profundidade wiR - componente do vetor wR

{ }R - vetor de força nodal aplicado ao sólido a nível local

R - matriz de acoplamento sólido-fluido a nível local wR - vetor de forças de arrasto viscoso

s - parâmetro relacionado ao módulo de deformação volumétrica

0s& - variacao temporal dos efeitos de segunda ordem

rS - grau de saturação

arS - grau de saturação do ar

wrS - grau de saturação da água

uS - resistência não-drenada

ijS ′ - tensor de tensão de desvio efetiva

[ ]S - matriz da compressibilidade do fluido a nível local S - matriz de compressibilidade sólido-fluido a nível local

S - matriz operador de derivadas

S~ - matriz de compressibilidade sólido-fluido a nível global t - tempo

*it - força externa atuante na s

tΓ

t - vetor de força externa nodal atuante no sólido a nível local *~

tt - vetor da força nodal externa a nível global atuante na stΓ no

tempo t

DBD


u - deslocamento do sólido

iu - componente do vetor u

xu - deslocamento horizontal *iu - deslocamento do sólido prescrito na s

uΓ

Kiu - componente do vetor u

{ }u - vetor de deslocamento nodal do sólido a nível local

{ }u& - vetor da velocidade nodal do sólido a nível local

{ }u&& - vetor da aceleração nodal do sólido a nível local u - vetor de deslocamento do sólido

fu - vetor de deslocamento nodal do fluido a nível local

fu& - vetor da velocidade nodal do fluido a nível local

fu&& - vetor da aceleração nodal do fluido a nível local

su - vetor de deslocamento nodal do sólido a nível local

su& - vetor da velocidade nodal do sólido a nível local

su&& - vetor da aceleração nodal do sólido a nível local

u - vetor de deslocamento nodal do sólido a nível local

u& - vetor da velocidade nodal do sólido a nível local

u&& - vetor da aceleração nodal do sólido a nível local u~ - vetor de deslocamento nodal do sólido a nível global

u&~ - vetor da velocidade nodal do sólido a nível global

u&&~ - vetor da aceleração nodal do sólido a nível global

0~u - vetor da deslocamento nodal do sólido inicial a nível global -

análise estática tu~ - vetor da deslocamento nodal do sólido a nível global no tempo

t tu&~ - vetor da velocidade nodal do sólido a nível global no tempo t

tu&&~ - vetor da aceleração nodal do sólido a nível global no tempo t

tt Δ+u~ - vetor da deslocamento nodal do sólido a nível global no tempo tt Δ+

tt Δ+u&~ - vetor da velocidade nodal do sólido a nível global no tempo tt Δ+

DBD


tt Δ+u&&~ - vetor da aceleração nodal do sólido a nível global no tempo tt Δ+

*~tu -

vetor do deslocamento nodal do sólido a nivel global prescrito na s

uΓ no tempo t *~tu& -

vetor da velocidade nodal do sólido a nivel global prescrito na s

uΓ no tempo t *~tu&& -

vetor da aceleração nodal do sólido a nivel global prescrito na s

uΓ no tempo t U - deslocamento do fluido

iU - componente do vetor U

U - vetor de deslocamento do fluido V - volume total (meio poroso)

sV - velocidade de onda cisalhante

sV - volume ocupado pelo sólido

vV - volume ocupado pelo vazio

wV - volume ocupado pela água w - deslocamento do fluido relativo ao sólido

iw - componente do vetor w

w& - velocidade do fluido relativo ao sólido

iw& - componente do vetor w&

w&& - aceleração do fluido relativo ao sólido

iw&& - componente do vetor w&& *iw& - velocidade do fluido relativo ao sólido atuante na w

w&Γ

Cw - teor de umidade w - vetor deslocamento do fluido relativo ao sólido w& - vetor velocidade do fluido relativo ao sólido w&& - vetor aceleração do fluido relativo ao sólido z - profundidade

DBD


.

.

.

.

.

ALFABETO GREGO

α - constante do método de Newmark α - parâmetro - modelo P-Z

wα - constante do método de Newmark para a poropressão do fluido

rα - parâmetro relacionado ao módulo de cisalhamento

sα - constante do método de Newmark para o deslocamento do sólido

Rα - parâmetro do amortecimento de Rayleigh α~ - constante de Biot Α - quantidade escalar

1α , 2α , 3α - quantidades vetoriais

β - constante do método de Newmark

sβ - constante do método de Newmark para o deslocamento do sólido

sβ - parâmetro relacionado ao módulo de deformação volumétrica

wβ - constante do método de Newmark para a poropressão do fluido

Rβ - parâmetro do amortecimento de Rayleigh

0β - parâmetro - modelo P-Z

1β , 2β - constantes do método de Newmark Generalizado 22GN

1β - parâmetro - modelo P-Z

1β - constante do método de Newmark Generalizado 11GN

1Β , 2Β - quantidades escalares χ - escalar positivo

1Χ , 2Χ - quantidades escalares

DBD


δ - incremento

ijδ - delta de Kronecker

Δ - variação

1Δ , 2Δ - quantidades escalares

aε - deformação axial total

pε - deformação volumétrica total

qε - deformação de desvio total

rε - deformação radial total pε - deformação plástica ppε - deformação plástica volumétrica p

qε - deformação plástica de desvio

ijε - tensor deformação total

ijε& - variação temporal do tensor deformação total eijε - tensor deformação elástica p

ijε - tensor deformação plástica

pε - deformação volumétrica total - plano triaxial qp :′

qε - deformação de desvio total - plano triaxial qp :′ epε - componente volumétrica do vector eε eqε - componente de desvio do vector eε ppε - componente volumétrica do vector pε p

qε - componente de desvio do vector pε

ε - vetor deformação total

Lε - vetor deformação total (carregamento)

Uε - vetor deformação total (descarregamento) eε - vetor deformação elástica pε - vetor deformação plástica

DBD


ε - vetor deformação total - plano triaxial qp :′ eε - vetor deformação elástica - plano triaxial qp :′ pε - vetor deformação plástica - plano triaxial qp :′

CSφ - ângulo de atrito na condição de estado crítico

[ ]φ - matriz de fluxo nodal do fluido a nível local

Φ - vetor da variável generalizada a nível local

Φ& - vetor da velocidade da variável generalizada a nível local

Φ&& - vetor da aceleração da variável generalizada a nível local

Φ - vetor da variável nodal generalizada a nível local

Φ& - vetor da velocidade da variável nodal generalizada a nível local

Φ&& - vetor da aceleração da variável nodal generalizada a nível local

Φ~ - vetor da variável nodal generalizada a nível global

Φ&~ - vetor da velocidade da variável nodal generalizada a nível global

Φ&&~ - vetor da aceleração da variável nodal generalizada a nível global

tΦ~ - vetor da variável nodal generalizada a nível global no tempo t

tΦ&~ - vetor da velocidade da variável nodal generalizada a nível global no tempo t

tΦ&&~ - vetor da aceleração da variável nodal generalizada a nível global no tempo t

tt Δ+Φ~ - vetor da variável nodal generalizada a nível global no tempo tt Δ+

tt Δ+Φ&~ - vetor da velocidade da variável nodal generalizada a nível global no tempo tt Δ+

tt Δ+Φ&&~ - vetor da aceleração da variável nodal generalizada a nível global no tempo tt Δ+

0~Φ - vetor da variável nodal generalizada a nível global na condição

inicial γ - parâmetro - modelo P-Z

Uγ - parâmetro - modelo P-Z

Γ - contorno sΓ - condição de contorno do sólido wΓ - condição de contorno do fluido s

tΓ - condição de contorno do sólido em termos de força

DBD


suΓ - condição de contorno do sólido em termos de deslocamento wpΓ - condição de contorno do fluido em termos da poropressão ww&Γ - condição de contorno do fluido em termos da velocidade da

água relativo ao sólido η - razão de tensão

fη - coeficiente do módulo plástico - modelo P-Z

Uη - coeficiente do módulo plástico - modelo P-Z ϕ - função homogênea de incrementos de deformação e de tensão

iκ - parâmetro de endurecimento total

iκ ′ - parâmetro de endurecimento efetiva

κ′ - vetor de parâmetros de endurecimento efetiva λ - escalar positivo λ - constante de Lamé μ - constante de Lamé ν - coeficiente de Poisson π 3.1415... θ - ângulo de Lode ρ - massa específica total (meio poroso)

aρ - massa específica do ar

sρ - massa específica do sólido

wρ - massa específica da água

wρ& - variacão temporal da massa específica da água σ - tensão total

ijσ - tensor de tensão total

vσ - tensão vertical total

321 ,, σσσ - tensões principais totais, ( 321 σσσ >> )

σ ′ - tensão efetiva

aσ ′ - tensão axial efetiva

mσ ′ - tensão efetiva média

DBD


rσ ′ - tensão radial efetiva

vσ ′ - tensão vertical efetiva

0vσ ′ - tensão vertical efetiva inicial

321 ,, σσσ ′′′ - tensões principais efetivas, ( 321 σσσ ′>′>′ )

c3σ ′ - tensão de confinamento efetiva

SS3σ ′ - tensão principal efetiva menor na condição de estado permanente

03σ ′ - tensão efetiva principal menor inicial

ijσ ′ - tensor de tensão efetiva

σ - vetor de tensão total σ′ - vetor de tensão efetiva

eσ′ - vetor de tensão efetiva devido a deformação elástica σ - vetor de tensão total - plano triaxial qp :′

σ′ˆ - vetor de tensão efetiva - plano triaxial qp :′ σ vetor de tensão nodal a nível local

0σ - vetor de tensão nodal inicial a nível local

0~σ - vetor de tensão nodal inicial a nível global - análise estática τ - tensão cisalhante (no plano de cisalhamento)

0τ - tensão cisalhante inicial ω - freqüência da aceleração

0ω - freqüência fundamental não amortecida

Ω - dominio ξ - razão do amortecimento do solo ξ - deformação plástica de desvio acumulada ψ - parâmetro de estado ψ ′ - inclinação da linha de estado permanente

Lψ ′ - inclinação da superfície da iniciação de ruptura por fluxo por liquefação

Ψ - função da lei de endurecimento

SΨ - vetor de força nodal desequilibrada do sistema

DBD


( )sΨ - vetor de força nodal desequilibrada devido ao sólido a nível global

( )wΨ - vetor de força nodal desequilibrada devido ao fluido a nível global

ζ - coeficiente do módulo plástico - modelo P-Z

DBD


Paciencia y buen humor.

Don Max.

Há homens que lutam um dia e são bons, há outros que lutam um ano e são melhores, há os que lutam muitos anos e são muito bons, mas há os que lutam toda a vida e estes são imprescindíveis.

Bertold Brecht.

DBD


1 Introdução

1.1 Aspectos gerais

Mudanças do comportamento mecânico de maciços de solo devido à

aplicação de carregamentos monotônicos ou dinâmicos são responsáveis por

danos significativos ocorridos em geoestruturas, tais como em barragens, aterros,

encostas, estruturas de contenção, fundações, etc. Neste sentido, a ocorrência de

um fenômeno denominado liquefação de solos [Hazen, A., 1920] em materiais

saturados como areias [Castro, G., 1975] ou em areias com matriz fina de pouca

ou nula plasticidade ([Finn, W.D.L., et al., 1994], [Singh, S., 1994], [Puri, V.K., et

al., 1996], [Lade, P.V.; Yamamuro, J.A., 1997]) representa um tipo freqüente de

resposta dinâmica desastrosa de solos.

Comumente o fenômeno da liquefação manifesta-se em depósitos de solos

suscetíveis1 submetidos a ondas cisalhantes propagadas durante um terremoto. No

movimento sísmico a duração da aplicação de cada ciclo de carregamento é muito

pequena em comparação com o tempo necessário para que ocorra algum tipo de

drenagem (prevalece a condição não-drenada) e a tendência deste material em

diminuir de volume (comportamento contrativo) durante ciclos de cisalhamento é

então refletida no incremento progressivo da poropressão [Seed, H.B.; Lee, K.L.,

1966]. Este efeito acumulativo produz uma redução continua da tensão de

confinamento efetiva, e conseqüentemente, uma diminuição na resistência ao

cisalhamento do material.

Se durante o intervalo de duração do terremoto, a poropressão aumentar até

um valor igual ao da tensão de confinamento, a tensão efetiva atuante no

esqueleto sólido (sólido), é reduzida a zero e o material perde então a sua

resistência. Dito de outra forma, o material sofre um processo de liquefação,

1 Em solos argilosos, solos granulares secos e solos granulares densos saturados não se

esperam significativa perda de resistência devido ao fenômeno da liquefação.

DBD


39

comportando-se como um líquido viscoso, com a ocorrência de grandes

deformações que podem dar origem a diversos mecanismos de ruptura. Alguns

acontecimentos catastróficos, envolvendo rupturas de barragens [Seed, H.B., et

al., 1975], colapso de pontes [Ross, G., et al., 1969], deslizamento de taludes

[Keefer, D., 1984], etc., representam tipos de possíveis efeitos decorrentes da

liquefação de solos.

Com base no tipo do carregamento aplicado, o fenômeno pode ser

classificado em: (1) liquefação dinâmica e (2) liquefação monotônica ou estática.

A liquefação dinâmica acontece quando o carregamento aplicado é do tipo cíclico

ou dinâmico [Robertson, P.K.; Wride, C.E., 1998], enquanto que se o

carregamento for monotônico este fenômeno na literatura é conhecido como

liquefação monotônica ou estática [(Kramer, S.L.; Seed, H.B., 1988), (Yamamuro,

J.A.; Lade, P.V., 1997), (Olson, S.M., et al., 2000)].

De acordo com o mecanismo de ruptura observado, definem-se também as

seguintes duas situações: (1) fluxo por liquefação e (2) mobilidade cíclica

([Casagrande, A., 1975], [Castro, G., 1975], [Seed, H.B., 1976], [Ishihara, K.,

1993]). Colapsos causados por fluxo por liquefação são freqüentemente

caracterizados por movimentos rápidos e acompanhados de grandes deformações,

enquanto que na mobilidade cíclica observa-se um gradual desenvolvimento de

deformações cíclicas acumulativas2.

Sob o ponto de vista histórico, os danos catastróficos provocados por dois

sismos ocorridos no início do século XX (Kwanto, no Japão, em 1923, e Santa

Bárbara, nos EUA, em 1925) foram os principais fatores que motivaram o início

da realização de estudos sobre liquefação e seus mecanismos. Estes desastres, sob

perspectiva histórica, marcaram a introdução das considerações de efeitos

dinâmicos em projetos da engenharia geotécnica [Mononobe, N., 1925] bem

como o início das primeiras pesquisas em dinâmica de solos. No entanto, apenas 4

décadas mais tarde, em 1964, com a ocorrência de devastadores terremotos em

Niigata, no Japão, figura 1.1, e no Alaska, EUA, figura 1.2, é que finalmente se

constatou a necessidade urgente de se estabelecerem metodologias de análises

mais adequadas, confiáveis e realistas para previsão das respostas dinâmicas de

2 Seed, H.B. [Seed, H.B., 1976] inicialmente denominou este comportamento como

liquefação cíclica.

DBD


40

solos sob excitação sísmica [Marcuson III, W.F., et al., 2007]. A partir de então,

numerosos estudos foram desenvolvidos, tanto na área experimental como na

numérica, documentados em várias publicações da literatura ([Ishihara, K., 1995],

[Kramer, S.L., 1996], [Lade, P.V.; Yamamuro, J.A., 1999], [Jefferies, M.; Been,

K., 2006], dentre outros).

Figura 1.1 - Liquefação do solo de fundação em Niigata, Japão, 1964, causando colapso do conjunto habitacional Kawagishi-cho [Earthquake Engineering Research Center, University of California, Berkeley, USA].

Figura 1.2 - Liquefação do solo no terremoto Good Friday, Alaska - EUA, 1964, causando grandes movimentos de massas [Earthquake Engineering Research Center, University of California, Berkeley, USA].

DBD


41

O estudo da liquefação de solos trata de um problema particular da dinâmica

de meios porosos, onde se analisa o comportamento dinâmico de sistemas ou de

fases acopladas (sólido-fluido). Em termos gerais, a análise inicia-se com uma

adequada representação das fases do solo através da utilização da formulação da

mecânica dos meios contínuos ([Biot, M.A., 1955], [Malvern, L.E., 1969],

[Prévost, J.H., 1980]), pela qual o comportamento dos materiais pode ser definido

em função de equações diferenciais parciais conhecidas como equações

governantes ([Bear, J., 1972], [Astarita, G.; Marrucci, G., 1974], [Slattery, J.C.,

1999], [Bird, R.B., et al., 2002]). O comportamento de cada fase e as interações

entre elas resultam no acoplamento dessas equações ([Lewis, R.W.; Schrefler,

B.A., 1987], [Prevost J.H., 1993], [Zienkiewicz, et al., 1999], [Li, X.;

Zienkiewicz, O.C., 1992], [Schrefler, B.A., 2004], [Chen, Z., et al., 2006]) que

devem ainda atender a condições de contorno e iniciais apropriadas.

Geralmente, os sistemas de equações governantes não apresentam solução

analítica, o que leva à necessidade do emprego de métodos numéricos, como o

método dos elementos finitos, dos elementos de contorno, dos elementos discretos

e das diferenças finitas, principalmente. Em uma modelagem numérica, os

seguintes pontos devem ser cuidadosamente considerados [Pastor, M., et al.,

2000]: (1) formulação matemática (equações governantes) para descrição

apropriada do fenômeno investigado; (2) adequadas equações constitutivas para

os materiais envolvidos; (3) um procedimento de discretização espacial e temporal

das equações governantes, tendo em vista o cálculo de uma resposta numérica

aproximada.

A formulação matemática para o caso especifico da liquefação em meios

porosos saturados, requer que sejam escritas: (a) equações de movimento da

mistura sólido-fluido; (b) equações de movimento do fluido; (c) equações de

continuidade do fluido; (d) principio das tensões efetivas; (e) equações

constitutivas dos materiais. Este sistema de equações governantes, na forma

discreta, é conhecido como equações de Biot-Zienkiewicz.

Como as equações de movimento (ou equilíbrio) e de continuidade (ou

conservação de massa) são obtidas independentemente do comportamento do

material, a completa descrição do fenômeno requer equações constitutivas que

representem o comportamento das fases do material perante solicitações externas.

As equações constitutivas adotadas, chamadas também de modelos constitutivos,

DBD


42

devem ter capacidade de reproduzir os dois tipos de ruptura característicos na

liquefação de solos (fluxo por liquefação e mobilidade cíclica) e, adicionalmente,

devem também considerar as variações da resistência efetiva do solo com as

variações de poropressão.

O princípio das tensões efetivas [Terzaghi K., 1936] é utilizado para

estabelecer em solos saturados uma relação entre poropressões no fluido e tensões

(efetivas) no sólido, podendo ser estendido para uma condição de saturação

parcial [Lewis, R.W.; Schrefler, B.A., 1998]. Uma discussão da aplicabilidade

numérica do princípio das tensões efetivas pode ser encontrada em Zienkiewicz

[Zienkiewicz, O.C., et al., 1999].

Importantes avanços no desenvolvimento de modelos constitutivos para

liquefação de solos foram feitos com o objetivo de mais bem representar os

efeitos de carregamentos cíclicos. Com base na teoria da plasticidade,

mencionam-se aqui, por exemplo, os modelos de superfícies aninhadas (nested

surfaces) proposto por Mroz [Mroz, Z., et al., 1981], de superfícies limites

(bounding surfaces) sugerido por Dafalias [Dafalias, Y.F.; Hermann, L.R., 1986],

de superfícies de sub-carregamento (subloading surfaces) sugerido por

Hashiguchi [Hashiguchi, K., 1989] e a teoria da plasticidade generalizada

desenvolvido por Zienkiewicz [Zienkiewicz, O.C.; Mroz, Z., 1984], dentre outros.

Outros modelos inelásticos, tais como os baseados na teoria endocrônica ([Bazant,

Z.P.; Krizet, R. J., 1976], [Valanis, K.C., 1971]), teoria da hipoplasticidade

([Romano, M., 1974], [Bardet, J.P., 1990]), modelo linear equivalente [Seed,

H.B.; Idriss, I.M., 1970], modelo hiperbólico-histerético [Martin, G.R., et al.,

1975] são também utilizados em simulações numéricas de problemas da dinâmica

dos solos. Uma descrição detalhada de modelos constitutivos para solos

submetidos a carregamentos transientes pode ser obtida em Pande [Pande, G.;

Zienkiewicz, O.C., 1982].

Nesta tese, o procedimento numérico adotado para a discretização das

equações diferenciais governantes é o método dos elementos finitos (MEF),

através da técnica de Galerkin para a discretização espacial e a técnica das

diferenças finitas para a discretização temporal (esquema de integração temporal

explicito proposto por Newmark, chamado também de esquema de Newmark). O

processo de discretização no espaço independentemente do tempo é conhecido

DBD


43

como semi-discretização ([Hughes, T.J.R.; Belytschko, T., 1983], [Zienkiewicz,

O.C.; Morgan, K., 1983]).

A discretização espacial das equações governantes, inicialmente proposta

por Biot, considera três variáveis: deslocamento do sólido, velocidade do fluido

relativo ao sólido e poropressão. Esta formulação é chamada de formulação geral

ou formulação completa ou formulação u-w-p ([Zienkiewicz, O.C., et al., 1999],

[Jeremic, B., et al., 2006]).

Embora a consideração das 3 variáveis possa ser adequada quando em

associação com um esquema explícito de solução no tempo, é no entanto na

maioria das vezes conveniente empregar a formulação simplificada ou

formulação u-p, que produz resultados bastante próximos aos calculados com a

formulação geral ([Chan, A.H.C., 1988], [Zienkiewicz, O.C., et al., 1990],

[Zienkiewicz, O.C., et al., 1999], [Parra-Colmenares, E.J., 1996], dentre outros)

com menor esforço computacional quando associada com esquemas temporais

implícitos (incondicionalmente convergentes). A desconsideração da velocidade

do fluido é aparentemente pouco significativa para o caso de movimentos

dinâmicos de baixa freqüência. Uma análise da validade desta simplificação,

considerando carregamentos de baixa e alta freqüência, está apresentada em

Zienkiewicz [Zienkiewicz, O.C., et al., 1990].

Comumente a utilização de procedimentos numéricos para a análise de

liquefação de solos não é adotada na prática, seja pela complexidade na

determinação dos parâmetros do modelo constitutivo, que requer ensaios de

laboratório especiais, seja pela pouca familiaridade do engenheiro geotécnico com

o método de solução e com os modelos constitutivos incorporados em programas

computacionais. Assim, pode-se diferenciar o estado da prática e o estado de

arte. No primeiro, considera-se a aplicabilidade de procedimentos plenamente

aceitos pela comunidade de engenharia, enquanto que no segundo avança-se com

o estado atual de conhecimentos através da investigação de pesquisas numéricas e

experimentais, geralmente no âmbito acadêmico.

O estado da prática para a avaliação da ocorrência da liquefação em solos

saturados utiliza critérios para separadamente: (1) estabelecer condições de início

da liquefação com o emprego de critérios de suscetibilidade; (2) determinar o

potencial de ocorrência da liquefação através do cálculo de um fator de segurança

obtido pela aplicação de métodos de equilíbrio limite (métodos quase-estáticos);

DBD


44

(3) estimar deslocamentos permanentes através de técnicas baseadas na analogia

do bloco deslizante proposto por Newmark [Newmark, N.M., 1965]. Este

conjunto de análises é inteiramente independente entre si e, embora simples e

rápidas, pode por vezes levar a valores de acelerações e deslocamentos não-

confiáveis [Byrne, P.M., et al., 2003].

O estado de arte envolve análises dinâmicas mais sofisticadas em termos de

tensões efetivas, com previsão do comportamento do sólido e do fluido. O início

da liquefação, os deslocamentos permanentes e a ruptura devida a fluxo por

liquefação são consideradas numa única análise através do acoplamento das

diversas variáveis presentes nas equações governantes. Segundo diversos autores

([Prevost, J.H., 1985], [Finn, W.D.L., et al., 1989], [Chan, A.H.C., 1995], [Byrne,

P.M., et al., 2003]), a análise acoplada permite acompanhar o desenvolvimento da

liquefação da mesma forma com que é observada em ensaios de laboratório, com

precisão dependente dos modelos constitutivos considerados. Análises acopladas

para situações de carregamentos dinâmicos podem ser executadas nos seguintes

programas computacionais, comercialmente disponíveis: DYNAFLOW [Prevost,

J.H., 1981], DIANA3 [Kawai, T., 1985], FLAC4 ([Cundall, P.A.; Board, M.A.,

1988], [Itasca Consulting Group, 2005]), TARA-3 ([Finn, W.D.L., et al., 1986],

[Finn, W.D.L., et al., 1989]), DIANA-SWANDYNE II5 (Chan, A.H.C., 1995),

OpenSees6 (desenvolvido pelo PEERC7), dentre os principais.

1.2 Motivação e objetivo

O objetivo principal desta tese é a modelagem numérica da liquefação

dinâmica de solos, avaliando-se os efeitos da variação da poropressão sob ação de

carregamentos sísmicos. A modelagem é feita com base no MEF, implementado

em um programa de computador escrito em linguagem FORTRAN, desenvolvido

3 DIANA: Dynamic Interaction Approach and Nonlinear Analysis. 4 FLAC: Fast Lagrangian Analysis of Continua. 5 DIANA-SWANDYDNE II: Dynamic Interaction And Nonlinear Analysis – SWANsea

DYNamic vErsion II. 6 OPEN SEES: The Open System for Earthquake Engineering Simulation. 7 PEERC: Pacific Earthquake Engineering Research Center

DBD


45

especialmente para esta pesquisa. Na formulação do MEF foi utilizada a técnica

de Galerkin para discretização espacial, o esquema de Newmark para a

discretização temporal e o modelo constitutivo Pastor-Zienkiewicz, ou modelo P-

Z, para representação do comportamento dinâmico tensão-deformação do sólido,

com base na teoria da plasticidade generalizada. Esta teoria, inicialmente proposta

por Zienkiewicz [Zienkiewicz, O.C.; Mroz, Z., 1984] e depois adaptada para

comportamento dinâmico de solos por Pastor [Pastor, M., et al., 1990], representa

uma generalização da teoria da plasticidade infinitesimal tradicional para casos de

carregamentos monotônicos, sem necessidade da definição prévia das funções

correspondentes às superfície de escoamento e do potencial plástico.

O movimento de expansão ou contração das superfícies de escoamento ou

do potencial plástico é unicamente definido pelos vetores unitários normais às

superfícies, dependentes das trajetórias de tensão durante cada ciclo: (1)

carregamento; (2) descarregamento e (3) recarregamento. Esta importante

característica torna menos complicada a implementação numérica do modelo

constitutivo, sem a necessidade de serem aplicados algoritmos de retorno de

tensão (método preditor-corretor), utilizados para verificação do estado de tensão

atual em relação à superfície de escoamento, visto que a matriz constitutiva elasto-

plástica não depende das superfícies de escoamento e do potencial plástico.

Nesta tese os parâmetros elásticos do modelo P-Z foram considerados

dependente da tensão de confinamento efetiva ([Gutierrez, M.,; Verdugo, R.,

1995] e [Cárdenas, J.L., et al., 2004]) e um novo procedimento, em relação àquele

proposto por Zienkiewicz [Zienkiewicz, O.C., et al., 1999], foi implementado. No

procedimento original as variáveis primárias do sistema de equações são as

acelerações do sólido e a taxa de variação da poropressão no fluido, enquanto que

a alternativa proposta neste trabalho estabelece uma equação similar à equação de

equilíbrio para problemas estáticos, tendo como incógnitas os deslocamentos do

sólido e a poropressão no fluido, calculados diretamente e com maior eficiência

computacional.

DBD


46

1.3 Organização da tese

A presente tese compõe-se de sete capítulos, de referências bibliográficas,

anexos e apêndices. No capítulo 2 apresentam-se os conceitos básicos da

liquefação de solos, estabelecendo-se diferenças entre a ocorrência de fluxo por

liquefação e por mobilidade cíclica. Aspectos sobre o comportamento não-

drenado de areias saturadas, bem como sobre os mecanismos de iniciação e

critérios de suscetibilidade à liquefação de solos, são também apresentados e

discutidos.

O capitulo 3 faz uma revisão histórica sobre o desenvolvimento dos

modelos constitutivos para aplicações dinâmicas, com destaque especial para uma

descrição detalhada da teoria da plasticidade generalizada em areia,

especificamente o modelo P-Z, enquanto que o capítulo 4 é dedicado ao estudo

das equações de Biot-Zienkiewicz utilizadas em problemas de interação dinâmica

sólido-fluido.

O capítulo 5 trata sobre a metodologia utilizada para solucionar

numericamente as equações de equilíbrio dinâmico, com base em discretização

pelo MEF. A formulação do problema através da técnica de Galerkin é discutida,

bem como o esquema de Newmark para sistemas acoplados (sólido-fluido). O

capítulo termina com a apresentação, na forma vetorial, do sistema discreto de

equações governantes, previamente linearizadas.

O capítulo 6 é dedicado a validações do código computacional

desenvolvido nesta tese, comparando-se os resultados numéricos com valores

obtidos através de soluções analíticas ou outras soluções numéricas aproximadas

disponíveis na literatura, enquanto que o capítulo 7 apresenta as conclusões finais

do trabalho e sugestões para pesquisas futuras na modelagem da liquefação

monotônica (estática) ou dinâmica de solos.

O anexo A descreve um método simplificado para avaliação do potencial

da liquefação de solos, o anexo B apresenta uma proposta para a descrição das

equações governantes na formulação u-p para condição de solo não-saturado e o

anexo C contém um diagrama de blocos sumarizando os procedimentos adotados

no código computacional.

DBD


47

Finalmente, nos apêndices são mostrados gráficos das histórias dos

deslocamentos, velocidades e acelerações, elaborados a partir dos resultados das

análises dinâmicas efetuadas no capítulo 6.

1.4 Notação utilizada

Nesta tese as formulações foram expressas com base na notação vetorial,

com utilização de letras maiúsculas, gregas ou romanas, em negrito para

representação de matrizes e minúsculas para vetores. Foi adotada também a

notação de Voigt que permite escrever tensores de segunda ordem através de

vetores e tensores de quarta ordem, como o tensor constitutivo, através de

matrizes.

Na dedução das equações discretizadas do elemento finito foi utilizada a

notação indicial. Para representação dos valores de uma variável em determinados

intervalos de tempo, foram utilizados subscritos como indicação destes intervalos,

enquanto que em processos iterativos para representação dos valores de uma

variável em determinada iteração foram utilizados superescritos como indicação

das iterações.

DBD


2 Fundamentos teóricos da liquefação de solos

2.1 Aspectos gerais

A história registra ao longo do tempo inúmeros casos de rupturas

catastróficas de maciços de solos com consideráveis prejuízos econômicos, perdas

de vidas humanas e danos ao meio ambiente causados pela liquefação de solos.

Uma característica comum nestes casos é que os materiais nos locais dos desastres

poderiam ser considerados como solos arenosos ou arenosos com matriz siltosa de

baixa ou nula plasticidade, considerados como fofos em sistemas de classificação

baseados no número de golpes do ensaio de penetração estandár ou SPT

(Standard Penetration Test) ou do ensaio de penetração de cone ou CPT (Cone

Penetration Test) ([Douglas, B.J.; Olsen, R.S., 1981], [Robertson, P.K., 1990]) ou

nos valores de densidade relativa [Durham, G.N.; Townsend, F.C., 1973]. Uma

revisão sobre os tipos de solo suscetíveis à liquefação está apresentada em Seed,

R.B. [Seed, R.B., et al., 2003].

Acontecimentos ocorridos, tais como colapsos de fundações de barragens

[Seed, H.B., et al., 1975a], movimentos bruscos de taludes naturais [Keefer, D.,

1984], recalques severos de edificações e pontes [Ross, G., et al., 1969] e

flutuações de fundações [Kawasumi, H., 1968], representam exemplos de rupturas

causadas por liquefação. Algumas dessas rupturas foram desencadeadas por

carregamentos cíclicos, denominadas de liquefação cíclica [Robertson, P.K.;

Wride, C.E., 1998] e outras por um aumento monotônico do carregamento,

denominadas liquefação monotônica ou estática ([Kramer, S.L.; Seed, H.B.,

1988], [Yamamuro, J.A.; Lade, P.V., 1997], [Olson, S.M., et al., 2000]). A

distinção devido ao carregamento aplicado é bem referenciada na literatura por

distintos autores ([Vaid, Y.P.; Chern, J.C., 1985], [Hyodo, M., et al., 1994],

[Yamamuro, J.A.; Covert, K.M., 2001]).

Por outro lado, conforme ao mecanismo de ruptura, o fenômeno de

liquefação pode ser subdividido em dois grupos: fluxo por liquefação e

DBD


49

mobilidade cíclica ([Casagrande, A., 1975], [Castro, G., 1975], [Seed, H.B.,

1976], [Ishihara, K., 1993]).

2.2 Fenômeno da liquefação de solos

2.2.1 Definição

A liquefação é um fenômeno que ocorre pela diminuição da resistência

efetiva e da rigidez dos solos sob ação de forças externas cíclicas ou monotônicas.

Esse fenômeno manifesta-se geralmente em depósitos suscetíveis de materiais

saturados que, submetidos a tensões cisalhantes, apresentam tendência de

contração de volume. Como os poros do solo encontram-se totalmente

preenchidos por água, e o tempo necessário para drenagem é comparativamente

maior do que o tempo de aplicação do carregamento, esta tendência de contração

de volume na condição não-drenada corresponde a um aumento do valor da

pressão do fluido presente nos poros do solo.

Se durante o carregamento a poropressão aumenta gradualmente até um

valor igual ao da tensão de confinamento, a tensão efetiva ou inter-granular

atuante no esqueleto do material é reduzida a zero e, em conseqüência, o material

perde completamente sua resistência ao cisalhamento, comportando-se como

líquido viscoso. Uma característica importante deste fenômeno é que este tipo de

ruptura ocorre em certas regiões da massa de solo e não apenas ao longo de uma

determinada superfície de ruptura.

2.2.2 Fluxo por liquefação e mobilidade cíclica

Com base nas observações do mecanismo de ruptura por liquefação, tanto

em laboratório como em campo, o fenômeno da liquefação foi dividido em dois

grupos: fluxo por liquefação e mobilidade cíclica [Casagrande, A., 1971]. De

modo geral, fluxo por liquefação (ou comumente, apenas liquefação) designa o

fenômeno que apresenta surgimento progressivo de altas poropressões no interior

do material até a ocorrência da ruptura com presença de grandes deformações,

enquanto que mobilidade cíclica indica casos de ruptura com deformações

progressivas.

DBD


50

Kramer [Kramer, S.L., 1996] aponta Hazen [Hazen, A., 1920] como o

primeiro investigador a utilizar o termo liquefação para explicar a ruptura da

barragem de Calaveras na Califórnia, em 1918, enquanto que a terminologia

mobilidade cíclica foi introduzida mais tarde por Casagrande [Casagrande, A.,

1971] para denominar as respostas diferenciadas observadas em amostras de solos

arenosos submetidas a carregamentos cíclicos em laboratório.

A diferença entre fluxo por liquefação e mobilidade cíclica pode ser

melhor compreendida através da figura 2.1. A figura apresenta resultados de

ensaios triaxiais em amostras de areia saturada, considerando como eixos o índice

de vazios, e , e a tensão principal efetiva menor, 3σ ′ . A linha de estado

permanente ou SSL (Steady State Line) representa os estados de tensão sob os

quais o solo pode-se deformar tanto sob volume e tensões constantes. Sobre esta

linha acha-se indicado o ponto M, que se refere ao estado de areia movediça, onde

o solo perdeu completamente sua resistência sem tendência de contrair ou dilatar

seu volume. Nesta condição os grãos de areia não estão mais em contato

permanente entre si.

Figura 2.1 - Ensaios triaxiais não-drenados em amostra de areia saturada [Castro, G.; Poulos, S.J., 1977].

Fluxo por liquefação, de acordo com a figura 2.1, é o resultado da ruptura

não-drenada de uma amostra de areia fofa (tendência de contração de volume),

com carregamento iniciando num estado de tensão (tensão principal efetiva menor

e

3σ′

Fluxo por Liquefação

Carregamento monotônico

SSL

Fluxo a volumeconstante

B

Solos Contrativos(Fofos)

Solos Dilatantes (Densos)

03σ ′ 03σ ′

Mobilidade Cíclica

A

D

C

M

SS3σ ′

SSe

DBD


51

inicial, 03σ ′ ) localizado no ponto C, acima da SSL, e terminando no ponto A,

sobre a SSL (volume e tensão principal efetiva menor constante, SSe e SS3σ ′ ),

onde permanecerá enquanto continuar o escoamento.

No caso da mobilidade cíclica, considere o carregamento monotônico de

uma areia densa saturada com comportamento dilatante sob condição não-drenada

iniciando o carregamento a partir do ponto D. A correspondente trajetória poderá

mover-se levemente para a esquerda, no início, mas então se deslocará

horizontalmente para a SSL à medida que o carregamento monotônico aumentar.

Se, por outro lado, no ponto D for aplicado um carregamento cíclico,

comportamento que pode também ser observado no mesmo gráfico, o ponto se

movimentará horizontalmente para a esquerda porque o índice de vazios da

amostra se mantém constante (condição não-drenada) e a poropressão crescerá

devido ao carregamento cíclico. O valor desta poropressão dependerá da

intensidade do carregamento cíclico, do número de ciclos e do tipo de ensaio,

dentre outros fatores, mas eventualmente, e de forma seqüencial devido ao ciclo

de carregamento, o ponto B poderá ser atingido, ocorrendo gradualmente

sequências de liquefação sempre que 03 =′σ . Durante este processo de

carregamento, grandes deformações acumuladas podem aparecer, dizendo-se

então que a amostra de areia desenvolveu mobilidade cíclica.

Evidências de laboratório demonstram, no caso da mobilidade cíclica, a

existência de uma redistribuição do índice de vazios da amostra de solo,

aumentando no topo e decrescendo na base da amostra. A linha horizontal DB

representa uma condição média dos índices de vazios durante o ensaio. Durante

este tipo de ruptura, as deformações tornam-se progressivamente maiores à

medida que mais ciclos de carregamento são aplicados, e durante cada ciclo a

poropressão torna-se igual à tensão de confinamento quando a tensão de desvio é

nula, decaindo em seguida quando carregamentos de compressão ou de extensão

forem aplicados.

Logo, para amostras de areia saturada localizadas acima da SSL, poderá

ocorrer fluxo por liquefação se o carregamento aplicado, seja monotônico ou

cíclico sob condição não-drenada, for suficientemente grande para que a SSL seja

atingida. Quanto mais à direita o ponto inicial C estiver, maiores serão as

deformações associadas com o fenômeno da liquefação; se o ponto estiver

DBD


52

localizado acima de M, a resistência residual após a liquefação será nula. Para

amostras de areia saturada localizadas abaixo da SSL, com tendência de

comportamento dilatante, o ponto inicial D movimenta-se inicialmente para a

esquerda e logo para a direita se o carregamento for monotônico, e para a

esquerda se o carregamento aplicado for cíclico. Se o número de ciclos e a

amplitude dos mesmos forem suficientemente grandes, dentre outros fatores,

poderá ser atingido o ponto onde o acréscimo de poropressão torna-se igual à

tensão de confinamento efetiva inicial, provocando deformações do material,

porém sem perda significativa de resistência, como ocorre no fluxo por

liquefação. Seed, H.B. [Seed, H.B.; Lee, K.L., 1966] definiu este ponto como de

liquefação inicial, terminologia que erroneamente induz a idéia de que fluxo por

liquefação pode acontecer tanto em solos densos quanto fofos.

De acordo com o exposto, fluxo por liquefação somente poderá ocorrer em

areias saturadas fofas, sob carregamentos monotônicos ou dinâmicos que

provoquem tensões cisalhantes na massa de solo, como em taludes, sob as

fundações de edificações ou nas vizinhanças de uma estrutura enterrada mais leve

do que o solo escavado. Para um dado índice de vazios, a suscetibilidade de

liquefação aumenta com a tensão de confinamento e com as tensões cisalhantes

geradas pelo carregamento.

Mobilidade cíclica pode ser induzida em laboratório mesmo para areias

bastante densas, onde a resistência à mobilidade cíclica, para um dado valor do

índice de vazios, aumenta com a tensão de confinamento. Considera-se resistência

à mobilidade cíclica como a tensão de desvio necessária para produzir certa

deformação sob determinado número de ciclos. De acordo com alguns autores

([Castro, G., 1975], [Castro, G.; Poulos, S.J., 1977]) as deformações resultantes da

mobilidade cíclica em amostras de laboratório decorrem principalmente da

redistribuição dos vazios durante o carregamento cíclico.

Finalmente, é necessário comentar alguns aspectos sobre a SSL e a linha

de estado crítico ou CSL (Critical State Line) devido a dúvidas e discussões se

ambas as linhas são coincidentes ou não ([Casagrande, A., 1975], [Poulos, S.J.,

1981], [Sladen, J.A., et al., 1985], [Alarcon-Guzman, A., et al., 1988]). A SSL é

obtida para areias fofas (contrativas) sob solicitação não-drenada em ensaios

triaxiais de tensão controlada [Poulos, S.J., 1981], enquanto que a CSL é

geralmente obtida em ensaios com areias densas (dilatantes) sob solicitação

DBD


53

drenada em ensaios de deformação controlada (inicialmente idealizada para

argilas) [Schofield, A.N.; Wroth, C.P., 1968]. De acordo com Been [Been, K., et

al., 1991], após análise dos resultados de um extenso programa de ensaios

triaxiais drenados e não-drenados em areias, a SSL e a CSL são realmente

coincidentes e independentes das trajetórias de tensões.

Cabe ressaltar que a CSL é utilizado nos conhecidos modelos de estado

crítico [Schofield, A.N.; Wroth, C.P., 1968], como no modelo Cam Clay

Modificado [Roscoe, K.H.; Burland, J.B., 1968], para estudo do comportamento

mecânico de areias e argilas normalmente adensadas,

2.3 Comportamento dinâmico não-drenado de areias saturadas

Durante um terremoto, a propagação de ondas cisalhantes no interior de

uma camada de solo arenoso gera tensões cisalhantes dinâmicas [Seed, H.B.;

Idriss, I.M., 1982]. Se este material for saturado, excessos de poropressões podem

ser gerados com diminuição das tensões efetivas, dependendo do comportamento

dinâmico do solo.

De acordo com vários autores ([Castro, G., 1975], [Seed, H.B., 1976],

[Ishihara, K., 1993]), um solo arenoso saturado, sob um carregamento transiente

(dinâmico ou monotônico), pode experimentar dois possíveis comportamentos

dinâmicos: contrativo e dilatante, que dependerão fundamentalmente de dois

parâmetros de estado: compacidade inicial e estado de tensão atuante.

Para estudar este comportamento dinâmico da areia considere-se um

material arenoso submetido a um ensaio de cisalhamento cíclico em condições

não-drenadas. Inicialmente, durante o processo de aplicação do carregamento, a

estrutura interna do material experimentará um comportamento similar à

densificação, com uma tendência de reordenação das partículas sólidas em busca

de uma maior compacidade (tendência contrativa). A pressão no fluido (água)

presente nos poros do material (poropressão) incrementará gradualmente,

produzindo uma perda paulatina de tensão efetiva e da resistência ao cisalhamento

do sólido. Este comportamento é típico de areias fofas. Por outro lado, se durante

esse mesmo carregamento, a areia sofrer uma nova acomodação dos grãos, com

uma redistribuição dos vazios e uma equalização das poropressões, o material

DBD


54

poderá apresentar uma recuperação de sua resistência, com uma mudança da

tendência contrativa para a dilatante. Esta mudança repentina para comportamento

dilatante em areias fofas dependerá do estado de tensão e da amplitude do

carregamento atuante.

Com base nos resultados de ensaios de cisalhamento cíclico não-drenado em

areias do rio Fraser [Byrne, P.M., 2005], serão explicados os comportamentos

dinâmicos apresentados nas figuras 2.2, 2.3 e 2.4, correspondentes a três amostras

(M1, M2 e M3) para diferentes valores da razão de tensão cíclica ou CSR (Cyclic

Stress Ratio), definida como a razão entre a amplitude da tensão cisalhante cíclica

e a tensão vertical efetiva inicial. Na parte (a) de cada figura apresenta-se um

gráfico que relaciona a tensão vertical efetiva, vσ ′ , com a tensão cisalhante, τ , e

na parte (b) de cada figura observa-se o incremento da poropressão normalizada,

0vwp σδ ′ , em relação ao número de ciclos de carregamento, CN . Uma descrição

detalhada da execução dos ensaios dinâmicos de liquefação pode ser consultada

em Prakash [Prakash, S., 1981] ou Ishihara [Ishihara, K., 1995],

A figura 2.2 apresenta as respostas do ensaio da amostra M1 com densidade

relativa, rD , de 44,0 , tensão vertical efetiva inicial, 0vσ ′ , de kPa200 , e

amplitude da tensão cisalhante cíclica 008,0 vσ ′ (ou com 08,0=CSR ). De acordo

com a figura 2.2, passados os primeiros 30 ciclos de carregamento, o

comportamento dinâmico da amostra é totalmente contrativo e de ciclo para ciclo

se produz uma gradual perda da tensão efetiva. A taxa de crescimento da

poropressão é inicialmente rápida, apresentando em seguida um longo trecho com

taxa de crescimento constante para, finalmente, crescer de forma rápida

novamente para altos valores da poropressão normalizada, 0vwp σδ ′ . A areia

apresenta uma modificação substancial no seu comportamento, observando-se um

repentino ciclo de variações da poropressão até a ocorrência da ruptura do

material.

A figura 2.3 apresenta as respostas do ensaio da amostra M2 com

80,0=rD , kPav 2000 =′σ e 25,0=CSR . A figura apresenta um comportamento

que, desde o início do ensaio, consiste no crescimento e recuperação da

poropressão em cada ciclo, de maneira similar à parte final do ensaio da amostra

M1, na figura anterior. Comparando as figuras 2.2 e 2.3 observa-se a influência da

DBD


55

densidade relativa na resposta dinâmica da areia, com a diferença do

comportamento de um mesmo material (areia saturada) sob duas densidades

relativas distintas, com o solo da amostra M2 (areia densa) oferecendo maior

resistência frente à ruptura cíclica.

τ

( )kPa

vσ ′ ( )kPa

(a)

0v

wpσδ′

CN

(b)

Figura 2.2 - Amostra M1 com 44,0=rD e 08,0=CSR . Resultados do ensaio de

cisalhamento cíclico não-drenado da areia do rio Fraser. (a) Curva τσ :v′ . (b) Curva

0: vwC pN σδ ′ , [Byrne, P.M., 2005].

DBD


56

τ

( )kPa

vσ ′ ( )kPa

(a)

0v

wpσδ′

CN

(b)

Figura 2.3 - Amostra M2 com 80,0=rD e 25,0=CSR . Resultados do ensaio de


0: vwC pN σδ ′ , [Byrne, P.M., 2005].

A figura 2.4 mostra as respostas do ensaio da amostra M3 com 44,0=rD ,

kPav 2000 =′σ , 10,0=CSR . Nota-se que a única diferença neste ensaio em

relação ao da amostra M1 (figura 2.2) é a amplitude da tensão cisalhante cíclica

que, neste caso, é ligeiramente superior. Observam-se também outras

características que diferenciam a forma das trajetórias de tensão e da evolução da

geração de poropressão em ambos os ensaios, embora a liquefação tenha

novamente ocorrido. Verifica-se que o número de ciclos para a liquefação da

amostra M3 diminuiu, porém apresentando uma maior taxa de crescimento da

poropressão até a ruptura. Comparando-se os resultados das figuras 2.2 e 2.4,

constata-se que uma maior amplitude da tensão de cisalhamento cíclica produz

uma ruptura por liquefação com um menor número de ciclos.

DBD


57

τ

( )kPa

vσ ′ ( )kPa

(a)

0v

wpσδ′

CN

(b)

Figura 2.4 - Amostra M3 com 44,0=rD e 10,0=CSR . Resultados de ensaio de


0: vwC pN σδ ′ , [Byrne, P.M., 2005].

Neste ponto cabe mencionar outro critério de ruptura para estabelecer

algumas diferenças nos comportamentos observados nas figuras anteriores 2.2 a

2.4. De acordo com Alarcon-Guzman [Alarcon-Guzman, A., et al., 1988], o

colapso do material por fluxo por liquefação pode ser identificado através da

interseção da trajetória de tensões efetivas (no plano: τσ :v′ ) com a trajetória de

tensões monotônicas ou MSP (Monotonic Stress Path), obtida em ensaio triaxial

sob carregamento monotônico. Tendo em vista os resultados apresentados e o

critério proposto por Alarcon-Guzman, pode-se concluir que a trajetória de

tensões efetivas da amostra M2 não interceptou a MSP correspondente, enquanto

que a liquefação observada na amostra M3 da figura 2.4 indica que ambas as

trajetórias neste caso se interceptaram.

DBD


58

Para densidades relativas altas, as areias dilatam-se desde o início dos

ensaios (figura 2.3) enquanto que para densidades relativas baixas o

comportamento é marcadamente contrativo. Neste último caso, à medida que a

tensão de confinamento efetiva for reduzindo-se para baixos valores, ocorrerá uma

alternância entre a contração e a dilatação nos últimos ciclos de carregamento

(figuras 2.2 e 2.4). Este comportamento pode ser mais bem compreendido

mediante a introdução do conceito da linha de transformação de fase ou PTL

(Phase Transformation Line) [Ishihara, K., 1975]. Esta linha reta é o lugar

geométrico dos pontos, no plano: τσ :v′ , que demarca o comportamento

contrativo e dilatante do material (figura 2.5).

O fato que uma areia densa apresente comportamento dilatante no ensaio

ou, caso contrário, que uma areia fofa experimente diminuição de volume, é

representado por uma PTL com pequena inclinação para altos valores da

densidade relativa e grande inclinação da baixos valores da densidade relativa. O

valor máximo que esta inclinação pode alcançar é o correspondente ao da SSL. As

duas linhas existem para valores positivos ou negativos da tensão de

cisalhamento, τ . No caso particular das amostras M2 e M3 (figuras 2.3 e 2.4),

suas representações podem ser observadas na figura 2.6.

Figura 2.5 - Trajetória das tensões típica num ensaio cisalhante cíclico. Plano: τσ :v′ .

vσ ′ 0vσ ′

τ

A

SSL PTL

MSP

DBD


59

τ

( )kPa

τ

( )kPa

vσ ′ ( )kPa vσ ′ ( )kPa

(a) (b)

Figura 2.6 - Linha de transformação de fase (PTL) e linha de estado permanente (SSL) nas amostras M2 (a) e M3 (b).

Assim, uma areia saturada na condição não-drenada submetida a

solicitações cíclicas experimenta uma diminuição da tensão efetiva. Neste

processo, a trajetória de tensões efetivas pode interceptar a MSP ou a PTL antes

de atingir a SSL. Se a trajetória de tensões efetivas interceptar a MSP antes da

PTL, se produz então o colapso do material por liquefação; caso contrário, se a

trajetória de tensões efetivas interceptar antes a PTL, então o comportamento da

poropressão, com crescimento gradual até este momento, passa a produzir ciclos

de alternância de perda e recuperação da tensão efetiva, cabendo distinguir dois

comportamentos distintos: (a) tendência de contração a cada ciclo, típica das

areias fofas, com a ocorrência da liquefação do material uma vez atingida a PTL;

(b) tendência de dilatação a cada ciclo, típica das areias densas, com a trajetória de

tensões indicando que o material apresenta uma maior capacidade de recuperação

de sua tensão efetiva em cada ciclo, comportamento conhecido como mobilidade

cíclica. A distância entre a PTL e a SSL é maior do que no caso onde o solo exibe

comportamento contrativo.

Outra maneira geral de se reconhecerem os diferentes comportamentos

dinâmicos de areias relaciona-se com os gráficos da figura 2.7 [Rauch, A.F.,

1997], onde são apresentadas as respostas de areias saturadas em ensaios triaxiais

não-drenados submetidos a carregamentos monotônicos e cíclicos. As respostas,

considerando o mesmo material na condição fofa (contrativo) e densa (dilatante),

DBD


60

são mostradas nas partes (a) e (b) onde também estão representados os valores das

tensões cisalhantes estáticas atuantes inicialmente. No caso de areias fofas

saturadas, amostras deste material tendem a compactar-se e devido à condição

não-drenada os valores de poropressão são incrementados. De acordo com a

figura 2.7(a), o solo de tipo contrativo sob cisalhamento monotônico atinge uma

condição de resistência ao cisalhamento máxima ou de pico (trecho de

endurecimento), para em seguida decrescer gradualmente (trecho de

amolecimento) para um valor de resistência ao cisalhante residual. Caso este valor

seja menor do que a tensão cisalhante estática inicial, uma ruptura por fluxo de

liquefação deve ocorrer. Conforme mostra a figura 2.7(a), excessos de

poropressão são gerados em cada ciclo de carregamento, acumulando-se

gradualmente e direcionando a trajetória de tensões efetivas até a ruptura. Se a

resistência ao cisalhamento residual resultar menor do que a tensão cisalhante

inicial, rupturas típicas de um fluido ocorrem com as deformações progredindo

mesmo após o término do carregamento cíclico.

Assim, para que haja a ruptura de fluxo por liquefação, o material saturado,

com tendência de contração de volume sob cisalhamento, deve ser submetido a

amplitudes de tensões cisalhantes cíclicas de suficiente magnitude, ou de

suficiente número de ciclos, de tal modo que a resistência ao cisalhamento

residual seja inferior ao valor da tensão cisalhante inicial (condição estática), 0τ .

Grandes deformações então ocorrem, sem que uma condição de re-equilíbrio

possa ser atingida.

No caso de areias densas, tensões cisalhantes atuantes no solo podem

produzir alguns excessos de poropressão para pequenos níveis de deformações,

nos casos de carregamento monotônico ou cíclico. Para maiores níveis de

deformação, a amostra tende a dilatar de volume com a tendência ao

desenvolvimento de poropressões negativas. A trajetória de tensões efetivas não

atinge a envoltória de ruptura. Se esta amostra for submetida a um cisalhamento

estático após o término do carregamento cíclico, esta poderia mobilizar toda a sua

resistência.

Embora deformações possam ocorrer durante o carregamento cíclico,

grandes deformações associadas com o tipo de ruptura por fluxo de liquefação não

DBD


61

se desenvolvem em solos densos (dilatantes), onde a resistência ao cisalhamento

sempre permanecerá maior do que a tensão cisalhante estática inicial.

Figura 2.7 - Esquema geral da resposta não-drenada de areias saturadas sob carregamento monotônico e cíclico. (a) Comportamento contrativo. (b) Comportamento dilatante, [Rauch, A.F., 1997].

Resistência residual cisalhante

Fluxo por liquefação Mobilidade cíclica

Deformação axial Deformação axial

Deformação axial Deformação axial

Carregamento cíclico

Carregamento monotônico

( ) 231 σσ ′−′

( ) 231 σσ ′+′

Trajetória de tensões efetivas

Linha de ruptura

(a) Comportamento contrativo (b) Comportamento dilatante

τ τ

wp wp

( ) 231 σσ ′−′

( ) 231 σσ ′+′

0τ 0τ

DBD


62

2.4 Mecanismos de iniciação da liquefação

A liquefação de solos granulares pode ser iniciada sob várias circunstâncias.

Sob carregamento monotônico foi observada em depósitos de solos naturais

([Koppejan, A.W., et al., 1948], [Andersen, A.; Bjerrum, L., 1968], [Bjerrum, L.,

1971], [Kramer, S.L., 1988]), aterros ([Middlebrooks, T.A., 1942], [Cornforth,

D.H., et al., 1975], [Mitchell, D.E., 1984]), depósitos de rejeitos de mineração

([Kleiner, D.E., 1976], [Jennings, P.C., 1979], [Eckersley, J.D., 1985]). Sob

carregamento dinâmico, além de fontes sísmicas, foi também constatada como

efeito de vibrações causadas pela cravação de estacas ([Jakobsen, B., 1952],

[Broms, B.; Bennermark, H., 1967]), por tráfego de veículos [Fellenius, B., 1953],

exploração geofísica [Hryciw, R.D., et al., 1990] e explosões ([Conlon, R., 1966],

[Carter, D.P.; Seed, H.B., 1988]).

De acordo com Hanzawa [Hanzawa, K., et al., 1979], o mecanismo de início

do fenômeno de liquefação pode ser mais bem ilustrado com auxílio do gráfico da

trajetória de tensões no plano triaxial qp :′ , onde a iniciação pode ser visualizada

de forma mais clara mediante o uso da trajetória de tensões de um carregamento

monotônico.

Considere a resposta de uma série de amostras de areia saturadas submetidas

a ensaios triaxiais não-drenados (carregamento monotônico), conforme figura 2.8.

Como todas as amostras foram consolidadas isotropicamente para o mesmo índice

de vazios, sob diferentes valores de tensão de confinamento, devem então atingir

o mesmo estado de tensões efetivas na condição permanente, ao longo de várias

trajetórias de tensão. O estado de tensão inicial das amostras A e B localizam-se

abaixo da SSL, com comportamento dilatante sob cisalhamento, enquanto que as

amostras C, D, E, situadas acima da SSL, exibem comportamento contrativo,

atingindo um pico de resistência não-drenada e deformando-se rapidamente em

seguida até atingir a SSL. Os picos de resistência das amostras C, D, E definem

pontos de início de liquefação que, unidos, formam uma linha reta que se projeta

pela origem do plano triaxial qp :′ , chamada de superfície de iniciação de

ruptura por fluxo por liquefação ou FLS (Flow Liquefaction Surface) ([Hanzawa,

K., et al., 1979], [Vaid, Y.P.; Chern, J.C., 1983]). Como a liquefação não pode

DBD


63

ocorrer abaixo da SSL então o traçado da FLS deve ser interrompido no ponto de

estado permanente (figura 2.9).

Figura 2.8 - Conceito de iniciação da ruptura do fluxo por liquefação, [Kramer, S.L., 1996].

Figura 2.9 - Superfície de iniciação de ruptura do fluxo por liquefação. Plano: qp :′ , [Kramer, S.L., 1996].

q

ψ ′ Ponto de estado permanente

Lψ ′

FLS

SSL

p′

q

ψ ′

p′

e

Ponto de estado permanente

A B C D E

A B C D E

SSL

SSL

FLS

p′

DBD


64

A FLS marca uma fronteira entre estados estáveis e instáveis. Se o estado

de tensão em um elemento de solo atingir a FLS sob condição não-drenada, quer

sob carregamento monotônico ou cíclico, o fenômeno de liquefação será então

iniciado.

Portanto, o fluxo por liquefação ocorrerá em duas etapas: na primeira, que

acontece sob baixos níveis de deformação, a geração de poropressão será

suficiente para que a FLS seja atingida, tornando o solo instável. A segunda etapa,

controlada pelas tensões de cisalhamento necessárias para garantir equilíbrio

estático, envolve a ocorrência de amolecimento (strain softening) com geração

adicional de poropressão e desenvolvimento de grandes deformações, enquanto a

trajetória de tensões efetivas movimenta-se da FLS para a SSL. Se a primeira

etapa levar o solo à FLS sob condições não-drenadas, então a ocorrência da

segunda etapa será inevitável.

A iniciação do fenômeno da liquefação depende significativamente da

variação incremental da poropressão e do estado de tensão inicial. A ocorrência do

fluxo por liquefação ou da mobilidade cíclica dependem, dentre outros fatores, de

níveis distintos de poropressão que podem ocorrer.

O fluxo por liquefação pode ser iniciado sob carregamentos dinâmicos

unicamente quando a tensão cisalhante no equilíbrio estático inicial for maior que

a resistência do solo no estado residual, após aplicação do carregamento. No

campo, estas tensões cisalhantes iniciais são causadas por forças de gravitacionais

e permanecem constantes até o final de ocorrência das grandes deformações.

Portanto, estados de tensão iniciais localizados na região sombreada na figura

2.10 são suscetíveis a fluxo por liquefação. A ocorrência de fluxo por liquefação

requer a aplicação de uma forte excitação, suficiente para movimentar a trajetória

das tensões efetivas do ponto inicial para a FLS.

A mobilidade cíclica pode iniciar-se quando a tensão cisalhante estática

inicial é menor que a resistência no estado residual (ou permanente). Logo,

estados iniciais localizados dentro da região sombreada na figura 2.11 são

suscetíveis à mobilidade cíclica. Nota-se que esta pode ocorrer em casos de solos

fofos e densos (i.e. a região sombreada é estendida ao longo do eixo da tensão de

confinamento efetiva, que correspondem a estados de tensão localizados tanto

acima ou abaixo da SSL).

DBD


65

Figura 2.10 - Região de suscetibilidade de ocorrência de fluxo por liquefação, [Kramer, S.L., 1996].

Figura 2.11 - Região de suscetibilidade de ocorrência de mobilidade cíclica, [Kramer, S.L., 1996].

Como comentário final, pode-se afirmar que o estado de ruptura em fluxo

por liquefação é identificado pela FLS e sua iniciação é reconhecida em campo,

enquanto que para o caso de mobilidade cíclica sua caracterização é imprecisa –

um certo nível de deformação, decorrente de mobilidade cíclica, pode ser

aceitável em alguns maciços de solos, mas considerado excessivo em outros,

sendo difícil caracterizar um ponto no qual a ruptura inicia-se. A ruptura por

mobilidade cíclica é geralmente identificada quando as poropressões tornam-se

suficientemente grandes para produzir escorregamentos laterais (lateral

spreading) em terrenos pouco inclinados próximos a depósitos de água ou

pequenas erupções na superfície do solo (sand boils).


Lψ ′ FLS

SSL

q

p′


Lψ ′ SSL

FLS

q

p′

DBD


66

2.5 Suscetibilidade dos materiais à liquefação

Há muitos critérios publicados na literatura para estimar a suscetibilidade da

ocorrência de liquefação, sendo alguns deles apresentados a seguir [Kramer, S.L.,

1996]. Por outro lado, é fundamental lembrar que o fato de um depósito ser

considerado suscetível à liquefação não significa necessariamente que esta

acontecerá, pois sua iniciação depende da intensidade e do tipo de carregamento.

2.5.1 Critério geológico

Os processos geológicos que formam e transportam partículas

relativamente uniformes, produzem depósitos de solo de baixa densidade relativa

e altamente suscetíveis à liquefação. Conseqüentemente, depósitos fluviais,

coluviais e eólicos, quando saturados, podem sofrer liquefação por carregamento

estático (monotônico) ou cíclico. A suscetibilidade da ocorrência da liquefação em

depósitos antigos é geralmente menor do que em depósitos mais recentes. Como a

liquefação ocorre em solos saturados, quanto mais profundo for o nível da água

subterrâneo, menor é sua suscetibilidade à liquefação, pois a liquefação é

geralmente observada em maciços onde o nível da água situa-se poucos metros

abaixo da superfície. Depósitos formados pela ação do homem merecem também

atenção especial pois, quando pouco compactados (barragens de rejeito, aterros

hidráulicos) podem ser bastante suscetíveis à liquefação.

2.5.2 Critério de composição de material Por muitos anos acreditou-se que a liquefação estava restrita apenas a

depósitos de areia. Solos de granulometria mais fina eram considerados incapazes

de gerar os altos valores de poropressão associados com a liquefação, enquanto

que solos de granulometria mais grossa, por sua vez, eram considerados muito

permeáveis para manter acréscimos de poropressão pelo tempo necessário ao

desenvolvimento do mecanismo de liquefação. Mais recentemente, os limites dos

critérios baseados em granulometria foram expandidos. Liquefação de siltes não-

plásticos foi observada, tanto em laboratório como em campo ([Ishihara, K.,

1984], [Ishihara, K., 1985], [Troncoso, J.H.; Verdugo, R., 1985], [Troncoso, J.H.,

DBD


67

1990]), indicando que as características de plasticidade são mais influentes do que

a distribuição granulométrica no caso de solos finos.

De acordo com Wang [Wang, W., 1979], solos finos que satisfazem cada

uma das seguintes condições do critério chinês podem ser considerados

suscetíveis à liquefação: a) fração fina (diâmetro menor do que mm005,0 )

%15≤FC ; b) limite de liquidez %35≤LL ; c) teor de umidade LLwC 9,0≥ ; d)

índice de liquidez 75,0≤LI . Para considerar diferenças da prática americana, a

U.S. Army Corps of Engineers recomendou adaptar o critério chinês por meio das

seguintes modificações: a) decréscimo da fração de finos em 5%; b) acréscimo do

limite de liquidez em 1%; c) acréscimo do teor de umidade natural em 2% [Finn,

W.D.L., et al., 1994].

Andrews [Andrews, D.C.; Martin, G.R., 2000], depois de adaptar o critério

chinês modificado para o sistema americano (fração fina menor do que

mm002,0 ), recomendaram que: (1) solos com fração fina %10<FC e limite de

liquidez %32<LL sejam considerados como potencialmente suscetíveis à

liquefação; (2) solos com fração fina %10>FC e %32≥LL sejam classificados

como improváveis à ocorrência de liquefação; (3) solos com propriedades

intermediárias devem ter seu comportamento avaliado através de ensaios de

laboratório para verificar sua suscetibilidade à liquefação. Este critério é

comumente utilizado na prática ([Martin, G.R.; Lew, M., 1999]).

De acordo com pesquisas da NCEER1, publicadas por Youd ([Youd, T.L., et

al. 1997] e [Youd, T.L., et al. 2001]), há necessidade de se re-examinar o critério

chinês modificado para uma melhor definição do tipo de fino coesivo

potencialmente suscetível à liquefação. Dois terremotos ocorridos em 1999, em

Kocaeli (Turquia) e Chi-Chi (Taiwan), alteraram dramaticamente a aplicação

deste critério, com ocorrências de fluxo por liquefação em locais onde o material

possuía maiores porcentagens de finos do que os recomendados pelo critério

chinês modificado. Estudos posteriores ([Bray, J.D., et al., 2001], [Sancio, R.B., et

al., 2002] e [Sancio, R.B., et al., 2003]) confirmaram a influência significativa na

suscetibilidade à liquefação da quantidade de finos plásticos nas amostras de

areia.

1 NCEER: National Center for Earthquake Engineering Research.

DBD


68

Seed, R.B. [Seed, R.B., et al., 2003] recomenda que o critério chinês

modificado seja abandonado na prática da engenharia, questionando a

aplicabilidade de um critério baseado na dimensão de partículas, podendo

classificar solos suscetíveis à liquefação como não-suscetíveis.

As recomendações feitas por Seed, R.B. [Seed, R.B., et al., 2003] estão

resumidas na figura 2.12, similar à carta de Casagrande (limite de liquidez, LL ,

versus índice de plasticidade, IP ), onde indicam-se três regiões de

comportamento: (1) solos na zona A são considerados potencialmente suscetíveis

à liquefação induzida basicamente por carregamentos cíclicos; (2) solos na zona B

podem ser suscetíveis à liquefação tanto por carregamento cíclico ou monotônico;

(3) solos na zona C não são suscetíveis a liquefação por carregamento cíclico,

devendo sua suscetibilidade ainda ser verificada em relação a carregamento

monotônico.

IP

LL Figura 2.12 - Recomendações de Seed, R.B. [Seed, R.B., et al., 2003] considerando a influência dos finos na suscetibilidade da liquefação.

Quanto a solos grossos, foi observada liquefação em pedregulhos em

campo ([Coulter, M.; Migliaccio, L., 1966], [Chang, K.T., 1978], [Wong, W.,

1984], [Youd, T.L., et al., 1985], [Yegian, M.K., et al., 1994]) e em laboratório

([Wong, R.T., et al., 1975], [Evans, M.D.; Seed, H.B., 1987]). Quando a

dissipação das poropressões for impedida pela presença de camadas

impermeáveis, podem ser criadas condições para uma solicitação não-drenada e,

conseqüentemente, propiciar a ocorrência de liquefação neste tipo de solo.

DBD


69

A suscetibilidade à liquefação é influenciada também pela distribuição

granulométrica. Solos bem graduados são geralmente menos suscetíveis porque o

preenchimento dos vazios pelas partículas menores resulta numa menor variação

volumétrica, sob condição drenada, e, por conseguinte, em menores valores de

poropressão, na condição não-drenada. Evidências de campo indicam que a

maioria dos casos de ruptura por liquefação acontecem em depósitos de solo com

granulometria uniforme.

A forma da partícula pode igualmente influenciar. Solos com partículas

arredondadas tendem a tornarem-se fofos com maior facilidade do que aqueles

formados por grãos angulares, logo apresentando uma maior suscetibilidade à

liquefação. Depósitos com partículas arredondadas ocorrem geralmente em

ambientes de deposição fluvial e aluvionar, onde areias saturadas fofas são

freqüentemente encontradas, formando áreas de alto potencial de liquefação.

2.5.3 Critérios de estado

Os critérios mencionados, geológicos e de composição de material, ainda

não definem com certa precisão se a liquefação pode ou não acontecer, sendo que

o comportamento do solo depende tanto do estado de tensão inicial como da

densidade relativa. Varias condições de estado inicial são apresentadas na

literatura para prever a ocorrência da liquefação [Kramer, S.L., 1996]. A seguir

são resumidas as principais:

a) Critério do índice de vazio crítico. Casagrande [Casagrande, A., 1936]

executando ensaios triaxiais drenados (deformação controlada) em amostras de

areia fofa e densa verificou experimentalmente que sob uma mesma tensão efetiva

a densidade relativa do solo se aproximava de um valor constante à medida que as

amostras eram cisalhadas sob grandes deformações. O índice de vazios

correspondente a este estado final de volume constante foi denominado índice de

vazio crítico, ce . Com a execução de ensaios adicionais sob diferentes tensões de

confinamento efetivas, c3σ ′ , Casagrande constatou também que o índice de vazio

crítico podia ser unicamente relacionado com as tensões de confinamento através

da linha de índice de vazio crítico da figura 2.13. Ainda que equipamentos

necessários para medição de poropressão não estivessem disponíveis na época

DBD


70

(1936), Casagrande sugere que a linha de índice de vazios crítico também poderia

ser interpretada como uma fronteira entre regiões de desenvolvimento de excessos

de poropressão positiva (contração de volume, solos fofos) e de poropressão

negativa (expansão de volume, solos densos).

Admitindo-se então que a linha de índice de vazios crítico delimita uma

fronteira entre comportamentos de contração e expansão de volume, esta foi

também considerada como um critério de suscetibilidade de liquefação (figura

2.13). Solos saturados com índices de vazios altos o suficiente para serem

localizados acima desta linha foram considerados suscetíveis à liquefação,

enquanto que os plotados abaixo dela foram classificados como não-suscetíveis.

Todavia, quando a barragem de Fort Peck (Montana, EUA) sofreu processo de

ruptura por liquefação monotônica no talude de montante durante sua construção,

em 1938, uma pesquisa posterior mostrou que o estado inicial do solo estava

localizado abaixo da linha de índice de vazios crítico, devendo ser considerado

não-suscetível à liquefação [Middlebrooks, T.A., 1942]. Casagrande atribuiu esta

discrepância à inabilidade dos ensaios triaxiais drenados sob deformação

controlada em representar adequadamente todos os aspectos que influenciam o

comportamento do solo sob as condições reais não-drenadas que ocorrem na

liquefação em campo.

Figura 2.13 - Linha de índice de vazio crítico, [Kramer, S.L., 1996].

b) Critério do estado de deformação. Castro [Castro, G., 1969], sob orientação

acadêmica de Casagrande, executou um programa de ensaios triaxiais de tensão

controlada, não-drenados, estáticos (monotônicos) e cíclicos, em amostras de areia

consolidadas isotrópica e anisotropicamente. Três diferentes tipos de curvas para

e

Região não suscetível à liquefação

Região suscetível à liquefação

Linha de índice de vazio crítico

cLog 3σ ′

DBD


71

amostras consolidadas anisotropicamente e diferentes índices de vazios estão

representados na figura 2.14 [Castro, G., 1969].

Figura 2.14 - Comportamento típico de areias em ensaios triaxiais não-drenados monotônicos. (a) Plano: qa :ε , (b) Plano: qp :′ , (c) Plano: wa p:ε , [Kramer, S.L., 1996].

Solos fofos (amostra A) tipicamente exibiram um pico de resistência não-

drenada para baixos níveis de deformação axial, aε , colapsando rapidamente para

escoar sob pequenos valores de tensão de confinamento e de tensão de desvio.

Solos densos (amostra B) apresentaram inicialmente contração de volume,

seguido por expansão volumétrica mesmo sob tensões de confinamento

relativamente altas, atingindo consideráveis valores de resistência ao

cisalhamento. Para as amostras com densidade relativa intermediária (amostra C)

o pico de resistência no início do ensaio foi seguido por uma região de

amolecimento intermediária que terminou a partir do momento em que a variação

de volume foi novamente de expansão, caracterizando o chamado ponto de

q

aε

A - Liquefação

C - Liquefação Limitada

B - Dilatação Ponto de transformação de fase

C – Liquefação Limitada

B - Dilatação

wp

aε

A - Liquefação

C – Liquefação Limitada

B - Dilatação

q

A – Liquefação

p′ )(a )(b

)(c

DBD


72

transformação de fase [Ishihara, K., et al., 1975]. Com acréscimos de

carregamento subseqüentes o solo da amostra C continuou a apresentar dilatação

de volume sob altas tensões de confinamento, bem como altos valores de

resistência ao cisalhamento. O tipo de comportamento da amostra C foi

denominado de liquefação limitada.

O programa de ensaios de Castro mostra a existência de uma relação única

entre índice de vazios e tensão de confinamento sob grandes deformações que,

graficamente, é desenhada paralelamente mais abaixo da linha de índice de vazio

crítico de Casagrande (1936), obtida com ensaios triaxiais drenados de

deformação controlada. O estado no qual o solo flui continuamente sob tensão

cisalhante constante, volume constante e velocidade constante foi então definido

como linha de estado permanente ([Castro, G.; Poulos, S.J., 1977], [Poulos, S.J.,

1981]).

Mais recentemente, comprovou-se que a SSL não é unicamente definida

pela densidade relativa do solo, sendo diferente para trajetórias de compressão e

de extensão, particularmente se a estrutura do material for marcadamente

anisotrópica ([Vaid, Y.P., et al., 1990], [Riemer, M.F.; Seed, R.B., 1992], e [Vaid,

Y.P.; Thomas, J., 1995]), recomendando-se, portanto, que o ambiente do depósito

e a situação de carregamento sejam representados o mais próximo quanto possível

na investigação das condições de estado permanente em ensaios de laboratório.

De maneira geral, a SSL pode ser visualizada como uma curva no espaço

tridimensional τσ :: ′e (ou qpe :: ′ ) ou projetada em planos: στ ′: , e:τ ou

σ ′:e , conforme figura 2.15 [Kramer, S.L., 1996]. Adicionalmente, como a

resistência não-drenada, uS , é proporcional à tensão de confinamento efetiva na

condição permanente, uma SSL baseada na resistência não-drenada do solo

aparece paralela à SSL determinada com base na tensão de confinamento efetiva,

quando ambas são desenhadas em escala logarítmica, conforme figura 2.16

[Kramer, S.L., 1996].

DBD


73

Figura 2.15 - Linha de estado permanente em representação tridimensional no espaço

στ ′::e e nos planos: e:τ , στ ′: , e σ ′:e , [Kramer, S.L., 1996].

Figura 2.16 - Proporcionalidade entre a linha de estado permanente baseada em (a) resistência não-drenada e (b) tensão de confinamento efetiva (escala logarítmica), [Kramer, S.L., 1996].

A SSL é útil para identificação das condições sob as quais um solo pode ser

suscetível ao fluxo por liquefação (figura 2.17 - [Kramer, S.L., 1996]). Um solo

cujo estado esteja localizado abaixo da SSL não é considerado suscetível à

liquefação, enquanto que para um solo representado acima de SSL a liquefação

poderá ocorrer se as tensões cisalhantes necessárias para equilíbrio estático da

massa de solo forem maiores do que a resistência ao cisalhamento residual (estado

permanente). Como a SSL pode ser usada também para avaliar a resistência ao

cisalhamento não-drenado do solo liquefeito, então também seria possível

empregá-la para uma estimativa dos potenciais efeitos do fenômeno da liquefação.

τ

Projeção no plano σ ′:e

σ ′

Projeção no plano στ ′:

Projeção no plano τ:e e

SSL

e

cLog 3σ ′

e

uLogS

SSLm SSLm

SSLSSL

(a) (b)

DBD


74

Figura 2.17 - Estimativa da suscetibilidade de liquefação pela linha de estado permanente, [Kramer, S.L., 1996].

c) Critério de parâmetro de estado – densidade relativa ou índice de vazios

apenas tem aplicabilidade limitada quando se pretende estimar a suscetibilidade

de liquefação de solos, como bem ilustra a SSL. Um elemento de solo com um

particular índice de vazios (i.e. com determinada densidade relativa) pode ser

suscetível à liquefação sob altas tensões de confinamento, mas não suscetível caso

estas sejam baixas.

Been e Jefferies [Been, K.; Jefferies, M.G., 1985] introduziram o conceito

de parâmetro de estado, definido por,

SSee −= 0ψ (Eq. 2.1)

onde SSe é o índice de vazios na condição de estado permanente sob a tensão de

confinamento efetiva de interesse (figura 2.18).

Figura 2.18 - Definição do parâmetro de estado ψ [Been, K.; Jefferies, M.G., 1985].

e

Estadopermanente

Estadoinicial

SSL

cLog 3σ ′

SSe SSee −= 0ψ

0e

e

O solo não é suscetível à liquefação

O solo é suscetível à liquefação se as tensões estáticas foram superiores a uS

cLog 3σ ′ ou uLogS

SSL

DBD


75

Quando ψ for positivo, o solo exibe comportamento contrativo e pode ser

suscetível à liquefação, enquanto que para valores negativos de ψ a variação

volumétrica é negativa (dilatação) e o solo não é considerado suscetível ao fluxo

por liquefação. Vários pesquisadores ([Been, K., et al., 1986], [Been, K., et al.,

1987], [Sladen, J.A., 1985], [Ishihara, K., 1993]) relacionarem o parâmetro de

estado com o ângulo de atrito do solo, ângulo de dilatância e outros indicadores

obtidos em ensaios de campo (ensaios de penetração, CPT, ensaio de dilatômetro,

DMT - DilatoMeter Test).

A possibilidade de determinar o valor do parâmetro de estado ψ pela

execução de ensaios in-situ tem grande apelo prático, mas a precisão de sua

determinação depende daquela com que a posição da SSL é obtida.

DBD


3 Modelo constitutivo para liquefação de solos

3.1 Aspectos gerais

Durante as últimas décadas, grandes esforços foram dedicados tanto para

entender o comportamento de solos sob trajetórias complexas de carregamento,

através de ensaios de laboratório; como para formular equações constitutivas

capazes de reproduzir a maioria das características observáveis no laboratório e no

campo. Com relação a este último aspecto, uma grande variedade de equações

constitutivas, chamados também de modelos constitutivos, têm sido propostas

para representar as características do comportamento tensão-deformação de solos.

Estes modelos apresentam vantagens e limitações, variando de acordo com

o tipo de aplicação. Em termos gerais, o modelo constitutivo empregado na

análise do comportamento de materiais deve: (1) atender aos conceitos teóricos da

mecânica do contínuo; (2) representar tão fielmente quanto possível o

comportamento observado em ensaios de laboratório ou campo; (3) requerer

parâmetros do material que possam ser estimadas através de ensaios

convencionais da mecânica dos solos; (4) serem simples na implementação e

eficientes na execução computacional.

Dentre estes modelos, citam-se os modelos clássicos de Mohr-Coulomb,

principalmente, e de Drucker e Prager [Drucker, D.; Prager, W., 1952], o primeiro

deles freqüentemente utilizado em aplicações de geotecnia por fornecer boas

estimativas do comportamento tensão-resistência de solos com base em apenas

dois parâmetros (coesão, ângulo de resistência ao cisalhamento) facilmente

obtidos em laboratório.

Algumas limitações destes modelos (ausência de endurecimento plástico,

previsão de deformações apenas elásticas sob estado de tensão hidrostático, dentre

outros) foram levantadas por Roscoe e seu grupo de pesquisadores, da

universidade de Cambridge, com o desenvolvimento da teoria do estado crítico e

formulação do modelo Cam-Clay [Roscoe, K.H., et al., 1958] e Cam-Clay

DBD


77

Modificado [Roscoe, K.H.; Burland, J.B., 1968]. Infelizmente, estes modelos

constitutivos não permitem simular os incrementos de poropressão e deformações

permanentes geradas por carregamentos cíclicos. Estudos posteriores [Carter, J.P.,

et al., 1982] recomendaram que a forma mais adequada de representar

comportamento dinâmico seria assumir que tanto a forma quanto a posição da

superfície de escoamento sejam modificadas constantemente durante a etapa do

descarregamento (combinação de endurecimento isotrópico e cinemático), que no

modelo Cam-Clay Modificado é assumido ocorrer sob deformações apenas

elásticas.

Cabe enfatizar neste ponto que o modelo constitutivo Cam-Clay Modificado

marcou o início de uma fase de solução numérica de problemas geotécnicos

considerando modelos constitutivos elasto-plásticos, representado pelo trabalho de

Zienkiewicz e Naylor [Zienkiewicz, O.C.; Naylor, D.J., 1971], cujos bons

resultados incentivou vários outros pesquisadores na utilização da teoria da

plasticidade infinitesimal em solos, considerando carregamentos monotônicos ou

cíclicos. Até esta data, mais de três décadas após, importantes avanços na

modelagem de solos foram obtidos, através de modelos constitutivos cada vez

mais abrangentes, capazes de modelar efeitos de carregamento cíclico, alguns

mantendo características da teoria da plasticidade clássica e outros desenvolvidos

sob o enfoque de teorias multi-mecânicas tais como os baseados na teoria

endocrônica.

O objetivo deste capítulo é apresentar a formulação do modelo numérico

constitutivo que será empregado para reproduzir o comportamento de solos sob

solicitações dinâmicas. Inicia-se com uma descrição da evolução histórica dos

modelos constitutivos, seguida da apresentação da teoria da plasticidade

generalizada, em cujo ambiente podem-se desenvolver equações constitutivas com

capacidade de reproduzir aspectos como: fluxo por liquefação e/ou mobilidade

cíclica. Finalmente, descrevem-se as equações do modelo P-Z, baseado na teoria

da plasticidade generalizada, e utilizado nesta tese para simular numericamente a

liquefação de solos.

DBD


78

3.2 Desenvolvimento histórico dos modelos constitutivos para carregamento cíclico

O desenvolvimento da modelagem constitutiva em problemas da dinâmica

dos solos deveu-se à necessidade de: (1) prever respostas de ensaios de laboratório

em amostras submetidas a carregamentos cíclicos; (2) desenvolver modelagem

numérica adequada para simular efeitos de carregamentos dinâmicos em solos. A

primeira devido ao comportamento diferenciado das respostas cíclicas em relação

aos ensaios estáticos e a segunda para aplicação de metodologias mais racionais

do que as análises pseudo-estáticas simplificadas.

As primeiras tentativas de desenvolver uma análise não-linear no contexto

da dinâmica dos solos, usando modelos matemáticos discretos, foram reportadas

por Parmelee [Parmelee, R.A., et al., 1964] e Penzien [Penzien, J., et al., 1964]

através da aplicação de modelos baseados no sistema massa-mola-amortecedor.

Estes investigadores desenvolveram um modelo unidimensional para estudar a

resposta de maciços de solo formados por camadas horizontais semi-infinitas com

comportamento tensão-deformação bi-linear e amortecimento histerético, Cada

camada de solo foi dividida em um número finito de subcamadas, representadas

por um sistema massa-mola obedecendo ao modelo reológico de Kelvin,

conectados em série com um amortecedor. A técnica numérica via método das

diferenças finitas [Newmark, N.M., 1959] foi aplicada na solução numérica das

equações de movimento assim estabelecidas.

Provavelmente o fator que acelerou mais significativamente o

desenvolvimento da modelagem numérica nesta área foi a aplicação do MEF em

análises dinâmicas de barragens de terra, com o trabalho de Clough e Chopra

[Clough, R.W.; Chopra, A.K., 1966], considerando um modelo constitutivo

elástico-linear, as pesquisas de Chopra [Chopra, A.K., 1967], Dibaj e Penzien

[Dibaj, M.; Penzien, J., 1967a], Finn e Khanna [Finn, W.D.; Khanna, J., 1967],

Idriss [Idriss, I.M., 1968], considerando um modelo visco-linear, e o trabalho de

Dibaj e Penzien [Dibaj, M.; Penzien, J., 1969], com o modelo elasto-plástico de

Drucker e Prager, onde pela primeira vez se empregou, no contexto da dinâmica

dos solos, um procedimento incremental não-linear, etc.

Pesquisas paralelas à aplicação de modelos baseados na teoria elasto-

plástica em problemas dinâmicos foram feitas por Idriss e Seed, H.B. ([Idriss,

DBD


79

I.M.; Seed, H.B., 1967], [Idriss, I.M.; Seed, H.B., 1968]). Estes pesquisadores

propuseram também um modelo discreto 1D, constituído por um sistema massa-

mola-amortecedor, para determinar a resposta dinâmica de depósitos de solos

durante a ocorrência de terremotos, substituindo a curva tensão-deformação linear

adotada por Parmelee [Parmelee, R.A., et al., 1964] e Penzien [Penzien, J., et al.,

1964] por parâmetros lineares função do estado de deformação. Esta metodologia

é hoje conhecida como o método linear-equivalente [Seed, H.B.; Idriss, I.M.,

1970].

O método linear-equivalente foi incorporado nos programas SHAKE

[Schnabel, P.B., et al., 1972] e SHAKE91 [Idriss, I.M.; Sun, J.I., 1992] para

análises 1D da resposta de solos constituídos por camadas horizontais de

diferentes materiais, considerando a analogia masa-mola-amortecedor¸ e

estendido para análises bidimensionais e tridimensionais, mediante a utilização do

MEF, através dos programas computacionais QUAD4 [Idriss, I.M., et al., 1973] e

FLUSH [Lysmer, J., et al., 1975].

O programa SHAKE foi rapidamente adotado pela comunidade de

engenharia para a realização de estudos considerando a resposta sísmica de solos

excitados por ondas cisalhantes propagando-se verticalmente, devido à

confiabilidade de seus resultados numéricos e praticidade na determinação dos

parâmetros de entrada (módulo de cisalhamento, G , e razão de amortecimento,

ξ ). O valor destes parâmetros depende do nível das deformações ocorridas

durante o carregamento sísmico, devendo ser obtidas de curvas tensão-

deformação. Os efeitos de não-linearidade, no método linear-equivalente, são

introduzidos mediante a variação de G e ξ com as deformações axiais totais, aε ,

através de curvas obtidas experimentalmente e/ou, na ausência ou impossibilidade

da execução destes, por meio de correlações propostas na literatura para diversos

tipos de solo.

Os limites de validade do método linear-equivalente foram verificados por

Seed e colaboradores ([Seed, H.B., et al., 1973], [Seed, H.B., et al., 1975a], [Seed,

H.B., et al., 1975b]) através de um extensivo e minucioso estudo da ocorrência de

liquefação no corpo da barragem de terra San Fernando, durante o terremoto de

San Fernando, na Califórnia, em 1971, conforme figura 3.1. Os resultados

numéricos obtidos com o emprego do programa SHAKE indicaram que o corpo

DBD


80

da barragem poderia colapsar durante o terremoto devido à ocorrência de grandes

deformações nos taludes, mas observações in-situ demonstraram que a barragem

não sofreu deformações significativas durante o sismo, ocorrendo o colapso do

talude de montante após o término da excitação. Este tipo de ruptura, denominada

pós-sismo por Seed, H.B. [Seed, H.B., 1979], deveu-se à redistribuição da

poropressão no interior da barragem com fluxo por liquefação em algumas

regiões, como mostrado na figura 3.2.

Figura 3.1 - Deslizamento ocorrido na barragem de San Fernando, em 1971 (EERC, University of California, Berkeley, USA).

(a) seção transversal da barragem após a ruptura

(b) reconstrução das condições iniciais

Figura 3.2 - Ruptura da barragem San Fernando. (a) Seção transversal da barragem após a ruptura e (b) reconstrução das condições iniciais, [Seed, H.B., 1979].

DBD


81

As diferenças entre os resultados de análises executadas com o modelo

linear-equivalente e modelos não-lineares dependem fortemente do grau de não-

linearidade da resposta do solo. Para problemas onde o nível de deformações

permanece baixo (solos rígidos e⁄ou movimentos sísmicos de baixa magnitude), os

ambos os métodos de análise devem produzir estimativas razoáveis da resposta

dinâmica. Para situações onde os valores das tensões cisalhantes induzidas pelo

terremoto aproximam-se da resistência ao cisalhamento do solo, as análises não-

lineares devem fornecer resultados mais confiáveis que o modelo linear-equivalente,

entretanto. De acordo com Bray [Bray, J.D., et al., 1995] o programa SHAKE91, em

virtude da incorporação do modelo linear-equivalente, somente deve ser empregado

para movimentos com gr5,0PHArocha ≤ , onde gr é a aceleração da gravidade e

rochaPHA é a aceleração máxima horizontal na rocha. Outros investigadores não

recomendam o emprego do modelo linear-equivalente para situações onde

gr4,0PHAsolo > [Ishihara, K., 1985], sendo soloPHA a aceleração máxima

horizontal no solo, ou a deformação cisalhante máxima exceder aproximadamente

a %2 [Kavazanjian, E., et al., 1997]. Segundo Gazetas [Gazetas, G.; Dakoulas P.,

1992] em barragens modernas as análises dinâmicas com o método linear-

equivalente devem ser suficientes para movimentos com gr2,0PHAsolo ≤ .

O método linear-equivalente também não consegue obter deslocamentos

permanentes, já que todas as deformações elásticas tornam-se nulas uma vez

cessado o carregamento sísmico. Técnicas alternativas devem ser utilizadas para

este fim, como o método proposto por Newmark [Newmark, N.M., 1965],

baseado no comportamento de um bloco rígido deslizante, e o método

simplificado de Makdisi e Seed [Makdisi, F.I.; Seed, H.B., 1978] para uso prático

na avaliação de deslocamentos permanentes em taludes de barragens de terra.

Cabe ainda ressaltar que o método linear-equivalente foi formulado em termos de

tensões totais e, portanto, não considera ao efeito da poropressão na resistência do

solo, o que influencia significativamente a previsão da resposta dinâmica. Sua

aplicação em solos saturados tende a fornecer uma previsão conservadora da

resposta dos materiais sob carregamento dinâmico.

A ruptura da barragem de San Fernando significou, na época, um verdadeiro

estímulo para o desenvolvimento de métodos formulados em termos de tensões

efetivas. Martin e colaboradores [Martin, G.R., et al., 1975] propuseram um

DBD


82

modelo empírico, baseado no critério de Masing [Masing, G., 1926], que

incorpora uma equação para previsão de incrementos de poropressão gerados

durante um movimento sísmico. Neste modelo, a resposta do solo submetido a

tensões cisalhantes dinâmicas é modelada através de uma relação empírica não-

linear de forma hiperbólica, histerética, dependente da tensão normal efetiva

média. O termo empírico é usado para indicar que as formulações numéricas

foram estabelecidas tomando como referência a forma da trajetória tensão-

deformação observada em ensaios de laboratório sob carregamento monotônico

ou dinâmico. O modelo proposto por Martin [Martin, G.R., et al., 1975] foi

incorporado no programa computacional para análises 1D DESRA-2 [Lee,

M.K.W.; Finn, W.D.L., 1978] e análises 2D nos programas TARA-2

[Siddharthan, R.; Finn, W.D.L. 1982] e TARA-3 [Finn, W.D.L., et al., 1986].

De acordo com Liyanapathirana e Poulos [Liyanapathirana, D.S.; Poulos,

H.G., 2002] os modelos baseados em tensões efetivas para simular o fenômeno da

liquefação podem ser agrupados em quatro principais categorias: modelos elasto-

plásticos ([Prevost, J. H. 1985], [Pastor, M., et al., 1990]; [Wang, Z.L., et al.,

1990]; [Ishihara, K., 1993]; [Muraleetharan, K.K., et al., 1994]; [Byrne, P.M., et

al., 1995], [Fukutake, K.; Ohtsuki, A., 1995], [Parra-Colmenares, E.J., 1996]);

métodos baseados em trajetórias de tensões ([Ishihara, K.; Towhata, I., 1982],

[Kiku, H.; Tsujino, S., 1996]); em correlações entre resposta de poropressões e a

tendência da variação de volume de solos secos [Finn W.D.L., et al., 1977] e,

finalmente, no uso direto da resposta em termos das poropressões determinadas de

forma experimental em ensaios de laboratório ([Seed H.B,. et al., 1976]; [Sheriff,

M.A., et al., 1978]; [Kagawa, T.; Kraft, L.M., 1981]).

Na formulação de modelos constitutivos elasto-plásticos, segundo Pastor

[Pastor, M., et al., 2000], duas linhas de investigação foram seguidas com o

objetivo de estudar respostas de solos considerando a teoria do estado crítico. A

primeira abordagem se concentrou numa extensão da teoria da plasticidade

clássica, com ênfase no comportamento de areias considerando endurecimento

isotrópico, enquanto que a segunda abordagem procurou reproduzir deformações

plásticas considerando endurecimento anisotrópico bem como efeitos de

densificação (teoria endocrônica), causados por carregamentos cíclicos.

A primeira abordagem adaptou formulações do modelo Cam-clay

Modificado, considerando leis de fluxo não-associadas [Nova, R., 1977], formas

DBD


83

de endurecimento relacionadas com deformações de desvio ([Nova, R.,; Wood,

D.M., 1979], [Boukpeti, N.; Drescher, A., 2000], [Collins, I.F.; Kelly, P.A.,

2002]), conceitos de endurecimento duplo associado com a ocorrência de

deformação volumétrica e de desvio [Prevost, J.H.; Hoeg, K., 1975], consideração

de dilatância de areias ([Nova, R.; Wood, D.M., 1979], [Nova, R., 1982]),

liquefação sob carregamento monotônico (modelo Norsand desenvolvido por

Jefferies [Jefferies, M.G., 1993]), etc. Nova e Hueckel [Nova, R.; Hueckel, T.,

1981] adicionaram à formulação do modelo Cam-clay Modificado uma lei de

fluxo do tipo histerética para simular deslocamentos durante o descarregamento e

recarregamento, com parâmetros relacionados à memória do material e

comportamento dilatante. Ghaboussi e colaboradores ([Ghaboussi, J.; Momen, H.,

1979], [Ghaboussi, J.; Momen, H., 1982]) usaram o conceito de endurecimento

duplo para desenvolver um modelo elasto-plástico com endurecimento isotrópico

para areias sob carregamento cíclico ou monotônico, seguidos por outros

desenvolvimentos nesta mesma linha de pesquisa por Hirai [Hirai, H., 1987],

Aubry [Aubry, D., et al., 1982], dentre outros.

Mroz e Zienkiewicz ([Mroz, Z.; Zienkiewicz, O.C., 1981], [Zienkiewicz,

O.C.; Mroz, Z., 1984]) introduziram o conceito de plasticidade generalizada, onde

a superfície de escoamento e o potencial plástico são definidos pelos vetores

unitários das trajetórias de tensão durante o processo de carregamento e

descarregamento, com vantagens na implementação computacional, pois não é

necessário verificar a condição de consistência, como em aplicações da teoria da

plasticidade clássica. O modelo original foi aperfeiçoado com o decorrer dos anos

para simulação da resposta de areias sob carregamentos monotônicos ou cíclicos,

destacando-se as contribuições de Zienkiewicz e Pastor ([Zienkiewicz, O.C., et

al., 1985], [Pastor, M., et al., 1985], [Zienkiewicz, O.C.; Pastor, M. 1986], [Pastor,

M., et al., 1986], [Pastor, M., et al., 1987] e [Pastor, M., et al., 1990]), Bahda

[Bahda, F., 1997], Ling e Liu [Ling, H.; Liu, H., 2003]. Este modelo constitutivo é

conhecido como modelo P-Z.

A segunda abordagem procurou reproduzir a ocorrência de deformações

inelásticas e efeitos de densificação causados por carregamentos cíclicos que os

modelos constitutivos baseados na teoria da plasticidade plástica (primeira

abordagem) não conseguem simular. Um enfoque consistiu em introduzir em

modelo baseado na teoria endocrônica o efeito da densificação induzida pelo

DBD


84

cisalhamento cíclico através de uma adequada lei de densificação ([Cuéllar, V., et

al., 1977], [Zienkiewicz, O.C., et al., 1982]). A teoria endocrônica é

particularmente útil em descrever a variação de volume e a geração de

poropressões em areias saturadas devido a movimentos sísmicos. Foi

desenvolvida por Valanis [Valanis, K.C., 1971] para descrever a não-linearidade

da resposta do material, descrita através de um parâmetro que descreve uma

seqüência de eventos, permitindo assim a representação de estados sucessivos do

material. Embora estes parâmetros não são variáveis de tempo, mas funcionam

como um tipo de parâmetro de tempo intrínseco, o que justifica a denominação

endocrônica da teoria. A característica peculiar desta teoria é que não é necessário

identificar uma superfície de escoamento, tornando este modelo atraente para

modelagens que envolvam deformações plásticas ocorridas num ciclo de

carregamento e descarregamento. Por outro lado, em muitos casos existem

dificuldades para simular o comportamento dilatante de areias [Blázquez, R., et

al., 1980]. Recentemente Blázquez e López-Querol ([Blázquez, R.; López-

Querol, S., 2006], [López-Querol, S.; Blázquez, R., 2006]) propuseram uma

formulação combinando uma lei de densificação com uma lei de fluxo plástico

para tratar este problema.

Outro enfoque distinto consistiu em estender a teoria de plasticidade além

dos postulados estabelecidos pela teoria da plasticidade clássica. A primeira

extensão foi feita independentemente por Iwan [Iwan, W.D., 1967] e Mroz [Mroz,

Z., 1967] através do mecanismo de endurecimento cinemático com superfícies

múltiplas, obtendo-se um modelo constitutivo que postula a existência de uma

série de superfícies aninhadas de escoamento que se movimentam umas no

interior das outras. A partir desta concepção, diversos aperfeiçoamentos e

adaptações foram realizados ([Mroz, Z., et al., 1978], [Prévost, J.H., 1977], [di

Prisco, C., et al., 1993], dentre outros). Neste tipo de modelo, devido à quantidade

de superfícies de escoamento consideradas, é possível descrever condições

especiais de carregamento, como níveis de tensão máxima atingidos ou estados de

tensão onde as tensões correntes são revertidas. Postula-se ainda que um

comportamento elástico prevalece no interior da superfície de escoamento atual.

Como as tensões são incrementadas a partir de um estado de tensão inicial, as

superfícies de escoamento são deslocadas ao longo da trajetória de tensões até

atingirem uma nova superfície. Esta trajetória do movimento da superfície é

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85

definida completamente através da uma lei de escoamento, a mesma que assegura

que as superfícies nunca sejam cruzadas. Estes modelos na literatura são

conhecidos como modelos de superfície aninhadas.

Dafalias e Popov [Dafalias, Y.F.; Popov, E.P., 1975] introduziram o

conceito de superfície limite (bounding surface) para descrever o endurecimento

não-linear em materiais submetidos a carregamentos complexos. De forma

similar, mas em investigação independente, um modelo com duas superfícies de

escoamento também foi proposto por Krieg [Krieg, R.D., 1975], definido em

termos de uma superfície de escoamento limite utilizada para definição da ruptura

e outra, para escoamento inicial. O campo de deformações é calculado pela

superfície de escoamento corrente, determinada entre as duas superfícies pré-

estabelecidas com base no estado de tensão atual. Em outras palavras, o parâmetro

de endurecimento é obtido por interpolação linear, considerando-se seus

respectivos valores nas superfícies de escoamento inicial e limite.

Este modelo combina endurecimentos de tipo isotrópico e cinemático,

apresentando vantagem em comparação com a formulação do modelo de

superfícies aninhadas. Outro modelo de características similares foi proposto por

Hashigushi e Ueno [Hashigushi, K.; Ueno, M., 1977], e foi definido como modelo

de superfície de subcarga. Da mesma forma que o modelo anterior, este emprega

duas superfícies similares, i.e. uma superfície interior de subcarga e uma outra

superfície de escoamento limite (ruptura). A diferença com o modelo anterior é

que o parâmetro de endurecimento é calculado usando uma condição de

consistência sobre a superfície de subcarga.

Outro modelo interessante é o modelo de bolha proposto por Al-Tabbaa [Al-

Tabbaa, A.; Wood, D.M., 1989], com endurecimento cinemático. Concebido

como uma extensão do modelo Cam-Clay mediante a introdução de superfície

(bolha) que se movimenta no interior da superfície de contorno limite. A

superfície-bolha funciona como uma superfície de escoamento convencional, i.e.

deformações são puramente elásticas para todos os estados de tensão situados em

seu interior. As deformações tornam-se elasto-plásticas quando o estado de tensão

atual encontrar se sobre a superfície-bolha e o acréscimo de tensão provocar o

movimento da mesma.

Um enfoque distinto consistiu na aplicação da teoria da hipoplasticidade

([Gudehus, G., 1996], [Herle, I.; Gudehus, G., 1999], [Niemunis, A., 2003]).

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86

Diferentemente dos modelos elasto-plásticos, a relação entre o incremento de

tensões efetivas e o incremento de deformações é determinada por uma única

equação tensorial, não se calculando separadamente as componentes de

deformação elástica e plástica e também não se fazendo uso de superfícies de

escoamento e de potencial plástico.

Enquanto esforços em modelos computacionais eram empreendidos,

diversos equipamentos de laboratório foram também desenvolvidos, como o

ensaio triaxial cíclico [Seed, H.B.; Lee, K.L., 1966] que possibilitou investigações

experimentais do potencial de liquefação e das deformações induzidas em solos

por carregamentos cíclicos, e o ensaio da coluna ressonante, para a estimativa dos

módulos de cisalhamento máximo e dos amortecimentos sob pequenas

deformações [Drnevich, V.P., 1967]. O desenvolvimento destes equipamentos

contribuiu para o melhor entendimento do fluxo por liquefação [Castro, G., 1969]

e da mobilidade cíclica ([Castro, G., 1975], [Ishihara, K., et al., 1975]).

Neste ponto é importante enfatizar a notável contribuição dos trabalhos

feitos por Seed, H.B. e colaboradores da Universidade de Califórnia, em Berkeley,

nos EUA, com a consolidação da área de pesquisa em dinâmica dos solos, que

permitiu conceituar, interpretar e modelar respostas de materiais submetidos a

carregamentos dinâmicos, especificamente aqueles relacionados com o fenômeno

da liquefação.

3.3 Teoria da plasticidade generalizada

A teoria da plasticidade generalizada, proposta por Mroz e Zienkiewicz

[Mroz, Z.; Zienkiewicz, O.C., 1981], representa uma extensão da teoria da

plasticidade clássica para possibilitar a determinação de deformações permanentes

(plásticas) em um ciclo de carregamento.

No desenvolvimento desta teoria para solos, Pastor e colaboradores

([Pastor, M.; Zienkiewicz, O.C., 1986], [Pastor, M., et al., 1987], [Pastor, M., et

al., 1990]) utilizaram o conceito de estado crítico do modelo Cam-Clay

Modificado e estabeleceram formulação específica para cálculo do módulo

plástico H , assumindo uma lei de fluxo não-associada. Essas características

puderam representar, de forma satisfatória, os fenômenos de fluxo por liquefação

DBD


87

e/ou mobilidade cíclica em areias saturadas na condição de carregamento não-

drenado. Esta teoria não exige a definição prévia das superfícies de escoamento e

de potencial plástico, sendo determinadas totalmente pelos vetores unitários das

trajetórias de tensão durante os processos de carregamento, descarregamento e

recarregamento.

3.3.1 Principais características da teoria da plasticidade clássica

A teoria da plasticidade clássica infinitesimal proposta por Drucker e

Prager [Drucker, D.; Prager, W., 1952] assume que existe uma superfície no

espaço de tensões, chamada de superfície de escoamento, f , matematicamente

definida por

0, =iijf κσ (Eq. 3.1)

onde ijσ é o tensor de tensões totais e iκ parâmetros de endurecimento do

material que determina a forma, tamanho e posição da superfície de escoamento.

O símbolo denota função de. Ao considerar as tensões efetivas, como parte

desta análise, a função de escoamento toma a seguinte forma [Lewis, R.W.;

Schrefler, B.A., 1998]

0, =′′ iijf κσ (Eq. 3.2)

onde ijσ ′ é o tensor de tensões efetivas e iκ ′ parâmetros de endurecimento do

material na condição efetiva.

Não se admitem estados de tensões situados além da superfície de

escoamento. Esta deve se expandir ou se movimentar de tal forma que o estado de

tensão atual esteja situado sobre a nova posição da superfície de escoamento

(condição de consistência).

A teoria da plasticidade clássica também assume uma relação linear entre

incrementos de tensão e incrementos de deformação plástica, sendo estes

calculados de forma geral pela lei de fluxo generalizada proposta por Drucker

[Drucker, D., 1952]. Em termos das tensões efetivas, a lei de fluxo é definida

como [Lewis, R.W.; Schrefler, B.A., 1998]

DBD


88

ij

pij

gσ

λδε′∂

∂= (Eq. 3.3)

ou, na forma vetorial no espaço 3D,

σε

′∂∂

=gp λδ (Eq. 3.4)

com

{ }Tpzx

pyz

pxy

pzz

pyy

pxx

p δγδγδγδεδεδεδ =ε (Eq. 3.5)

{ }Tzxyzxyxxxxxx δτδτδτσδσδσδδ ′′′=′σ (Eq. 3.6)

onde pεδ é o vetor de incremento de deformações plásticas, σ′δ o vetor de

incremento de tensões efetivas, λ um escalar positivo e g representa a função da

superfície do potencial plástico.

A função da superfície do potencial plástico, g , depende do tensor de

tensões atuantes no material e seu gradiente, em qualquer ponto, determina a

direção dos acréscimos de deformação plástica. Caso as superfícies de escoamento

e do potencial plástico coincidam, a lei de fluxo é dita associada; caso contrário,

não-associada.

O escalar positivo, λ , é definido por,

p

eT

eT

gfH

f

ε

σD

σ

Dσ δλ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

′∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

′∂∂

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

′∂∂

= (Eq. 3.7)

sendo eD a matriz constitutiva tensão-deformação elástica e H módulo plástico.

DBD


89

A matriz constitutiva tensão-deformação elástica é definida por

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+′

−′+′

−′−′+′

=

GGsimétrico

G

GK

GKGK

GKGKGK

e

202002

00034

00032

34

00032

32

34

D (Eq. 3.8)

onde G indica o módulo de cisalhamento e K ′ o módulo de deformação

volumétrica efetiva.

O módulo plástico é definido por

pp

TfH εεκ δ

κλ ∂′∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−=1

(Eq. 3.9)

entanto que a função que descreve a lei de endurecimento, a mesma que

representa a evolução do tamanho da superfície de escoamento com as

deformações plásticas, é expressa como

i

pi κ

κ′′∂

=Ψκε, (Eq. 3.10)

onde κ′ representa um vetor contendo os parâmetros de endurecimento na

condição efetiva. Alternativamente, esta função é expressa, em vários modelos

constitutivos elasto-plásticos, como dependente do trabalho plástico.

De acordo com a condição de consistência, a matriz constitutiva tensão-

deformação elasto-plástica, epD , é dada por

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

′∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

′∂∂

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

′∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

′∂∂

−=

σD

σ

Dσσ

DDD

gfH

fg

eT

eT

e

eep (Eq. 3.11)

O módulo plástico incorpora o processo do endurecimento ou

amolecimento durante o fluxo plástico. Para 0=H o material se comporta como

perfeitamente plástico, para 0>H apresenta endurecimento e para 0<H simular

a ocorrência de amolecimento do material.

DBD


90

3.3.2 Características da teoria da plasticidade generalizada

A teoria da plasticidade generalizada consiste em uma extensão da teoria

da plasticidade clássica que prescinde de uma superfície de escoamento, da

superfície potencial plástico e da lei de endurecimento para calcular as

deformações plásticas.

Esta teoria é baseada em uma relação constitutiva que não depende da

superfície de escoamento,

klijklij C σδδε ′= (Eq. 3.12)

onde ijδε é o tensor de incremento deformações totais, klσδ ′ o tensor de

incremento de tensões efetivas e ijklC o tensor constitutivo deformação-tensão de

quarta ordem, dependente do estado de tensões, do parâmetro de estado iκ ′

(similar ao parâmetro de endurecimento da teoria da plasticidade clássica) e das

componentes do vetor unitário da direção do incremento de tensões, in .

iiklijklijkl nCC ,,κσ ′′≡ (Eq. 3.13)

Os parâmetros de estado (condição efetiva) iκ ′ levam em conta a

influência da história de tensões no comportamento do material, enquanto que a

direção do incremento de tensões é definida pelo vetor unitário da direção do

incremento de tensões n ,

σσn′′

=δδ (Eq. 3.14)

onde o símbolo denota norma do vetor.

O ponto fundamental na aplicação desta teoria a solos é, de acordo com

Pastor [Pastor, M., et al., 1999], admitir a hipótese de que a resposta do material é

independente da velocidade da variação das tensões atuantes, o que permite

expressar se a relação entre incrementos de deformação e incrementos de tensão

mediante uma função genérica,

σε ′= δϕδ (Eq. 3.15)

DBD


91

onde σ′δϕ é uma função homogênea do primeiro grau em primeiro grau em σ′δ

que pode ser escrita da seguinte forma,

( ) σσσ

σ ′′∂

′∂=′ δ

δδϕ

δϕ (Eq. 3.16)

Substituindo-se na equação 3.15 resulta,

( ) σσσ

ε ′′∂

′∂= δ

δδϕ

δ (Eq. 3.17)

ou

σCε ′= δδ (Eq. 3.18)

com

( )σσ

C′∂

′∂=

δδϕ

(Eq. 3.19)

onde C é a matriz constitutiva deformação-tensão.

De acordo com Pastor [Pastor, M., 1990], a dependência de ijklC com in

poderia ser estabelecida como uma função contínua iijklijkl nCC ≡ , do mesmo

tipo utilizada no modelo incremental proposto por Darve [Darve, F.; Dendani, H.,

1988]. No entanto, na teoria da plasticidade generalizada utiliza-se uma relação

mais simples, do tipo descontínuo, para definição de uma matriz constitutiva em

cada situação de carregamento. Divide-se o espaço do incremento de tensões em

dois subespaços ou zonas tensoriais [Darve, F., et al., 1988]: o primeiro como um

subespaço de incrementos de carregamento e o segundo como de incrementos de

descarregamento. No primeiro subespaço utiliza-se o tensor constitutivo para

incrementos de carregamento, LijklC , e no outro o tensor constitutivo para

incrementos de descarregamento, UijklC .

A definição do tensor constitutivo em cada subespaço pode ser mais bem

compreendida através da figura 3.3. Considerando o comportamento do material

num carregamento cíclico uniaxial, a matriz constitutiva C se reduz a uma função

escalar representada em cada ponto da curva tensão-deformação pela inclinação

da tangente à curva. Durante a etapa de carregamento OC observa-se que a

inclinação da tangente à curva diminui com o aumento da tensão atuante, mas não

DBD


92

exclusivamente. Comparando-se as deformações nos pontos 1A , 2A , e 3A nota-se

que a relação constitutiva também depende de outros fatores como a história de

tensões e a microestrutura do solo que é modificada no processo de carregamento

e descarregamento. Na mesma figura, a inclinação da tangente à curva nos pontos

1B e 2B também indica uma dependência da relação constitutiva em relação à

condição de carregamento ou descarregamento ou, em outras palavras, da direção

do incremento de tensão.

A relação deformação-tensão para a condição de carregamento pode ser

escrita como,

σCε ′= δδ LL (Eq. 3.20)

e para a condição de descarregamento por,

σCε ′= δδ UU (Eq. 3.21)

onde os índices L e U indicam as etapas de carregamento e descarregamento,

respectivamente.

Figura 3.3 - Representação de um ciclo de carregamento num ensaio triaxial cíclico uniaxial.

Na aplicação de um ciclo infinitesimal de carregamento, as equações

anteriores são expressas como

σCε ′= δδ LL

σCε ′−= δδ UU (Eq. 3.22)

aε

C

1A 2A 3A 1B

2B

0

D

1σ ′

DBD


93

No caso de deformações cíclicas irreversíveis

0εεε ≠+= UL δδδ (Eq. 3.23)

ou

0σCσCε ≠′−′= δδδ UL (Eq. 3.24)

Para qualquer incremento de tensão σ′δ , sua direção (carregamento ou

descarregamento) é definida por

0>′σn δL

Tf (carregamento) então σCε ′= δδ LL

0<′σn δU

Tf (descarregamento) então σCε ′= δδ UU .

(Eq. 3.25)

onde Lfn ,

Ufn são vetores unitários que definem a expansão ou a contração da

superfície de escoamento respectivamente.

O carregamento neutro acontece quando

0=′σn δTULf (Eq. 3.26)

onde o índice UL indica os estados de carregamento ou de descarregamento das

tensões atuantes.

Na teoria da plasticidade generalizada, os vetores unitários normais à

superfície de escoamento para a etapa de carregamento, Lfn , e para a etapa de

descarregamento, Ufn , são definidos por

σ

σn

′∂∂′∂

∂

=f

f

ULf (Eq. 3.27)

onde

21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′∂

∂′∂

∂=

′∂∂

σσσfff T

(Eq. 3.28)

Logo, a introdução do vetor unitário ULfn , que define os estados de

carregamento ou de descarregamento, pode ser empregada para definição da

superfície normal a esta direção em cada ponto, como usual na teoria da

plasticidade clássica.

DBD


94

De acordo com Pastor [Pastor, M., et al., 1990], utilizando a condição de

continuidade entre os estados de carregamento e descarregamento, a matriz

constitutiva na condição de carregamento, LC , é expressa por

gLTfL

L

eL H

nnCC 1+= (Eq. 3.29)

e para a condição de descarregamento, UC ,

gUTfU

U

eU H

nnCC 1+= (Eq. 3.30)

onde gLn , gUn são vetores unitários que definem a expansão e contração da

superfície do potencial plástico e LH , UH representam os módulos plásticos nas

etapas de carregamento e descarregamento respectivamente e eC a matriz

constitutiva elástica deformação-tensão.

Os vetores unitários para a etapa de carregamento, gLn , e para a etapa de

descarregamento, gUn , são definidos por

σ

σn

′∂∂′∂

∂

=g

g

ULg (Eq. 3.31)

com

21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′∂

∂′∂

∂=

′∂∂

σσσggg T

(Eq. 3.32)

O vetor de incremento de deformação total pode ser definido por duas

parcelas aditivas,

pe εεε δδδ += (Eq. 3.33)

ou (da equação 3.15 com 3.29 e 3.30),

σnnσCε ′+′= δδδ ULgT

ULfUL

e

H1 (Eq. 3.34)

No caso de carregamento neutro, o comportamento do material é

reversível (elástico), i.e.

DBD


95

σCσCε ′=′= δδδ eLL (Eq. 3.35)

ou

σCσCε ′=′= δδδ eUU (Eq. 3.36)

É importante mencionar neste ponto que a introdução de deformações

plásticas nesta teoria foi feita sem a necessidade da definição prévia das

superfícies de escoamento e do potencial plástico, sendo necessário o

conhecimento dos valores do módulo plástico, ULH , das direções de expansão e

contração da superfície de escoamento, ULfn , das direções de expansão e

contração da superfície do potencial plástico, ULgn , bem como a matriz

constitutiva elástica, eC .

Finalmente, de acordo com Pastor [Pastor, M., et al., 1990], para levar em

consideração as situações de amolecimento do material (módulo plástico LH com

valor negativo), as equações constitutivas são modificadas da seguinte forma:

σCε ′= δδ LL para: 0>′eTfL σn δ (carregamento)

σCε ′= δδ UU para: 0<′eTfU σn δ (descarregamento)

(Eq. 3.37)

onde eσ′δ representa o incremento de tensões efetivas devido a deformações

elásticas,

εCσ δδ 1−=′ ee (Eq. 3.38)

A vantagem da teoria da plasticidade generalizada é a possibilidade de

simulação de comportamentos complexos do material, difíceis de serem

reproduzidos utilizando modelos da teoria da plasticidade clássica como, por

exemplo, considerando a ocorrência de deformações plásticas na etapa de

descarregamento. Outra observação adicional, é que sua implementação em

programas computacionais é bem mais simples que nos modelos baseados na

teoria da plasticidade clássica porque não necessitam satisfazer explicitamente a

condição de consistência, dispensando, portanto, o emprego de algoritmos de

retorno para correção do estado de tensão.

DBD


96

3.3.3 Formulação da matriz constitutiva elasto-plástica

O desenvolvimento descrito acima foi feito em termos da matriz

constitutiva deformação-tensão C , sendo necessária a obtenção da relação inversa

tensão-deformação ou matriz constitutiva tensão-deformação D para

implementação em programas computacionais baseados no MEF, na formulação

em deslocamentos. Esta inversão pode ser realizada unicamente quando o módulo

plástico H é diferente de zero, sendo executada de acordo com o procedimento

sugerido por Zienkiewicz [Zienkiewicz, O.C., et al., 1999].

Ao considerar que

σn ′= δχ TULf

ULH1 (Eq. 3.39)

onde χ é um escalar positivo.

O vetor de incremento de deformação total (equação 3.34) pode ser escrito

como

ULge nσCε χδδ +′= (Eq. 3.40)

Multiplicando a equação 3.40 por eTULf Dn resulta,

( ) ULgeT

ULfeeT

ULfeT

ULf nDnσCDnεDn χδδ )()( +′= (Eq. 3.41)

ou

ULgeT

ULfT

ULfeT

ULf nDnσnεDn χδδ +′= (Eq. 3.42)

Considerando

ULT

ULf Hχδ =′σn (Eq. 3.43)

e substituindo na equação 3.42, vem

χδ )( ULgeT

ULfULeT

ULf H nDnεDn += (Eq. 3.44)

Colocando χ em evidência,

ULgeT

ULfUL

eTULf

H nDnεDn

+=

δχ (Eq. 3.45)

Multiplicando a equação 3.40 por eD ,

DBD


97

ULgee nDσεD χδδ +′= (Eq. 3.46)

logo

ULgee nDεDσ χδδ −=′ (Eq. 3.47)

Substituindo o valor de χ (equação 3.45) na equação 3.47, resulta

εnDnDnnD

εDσ δδδULg

eTULfUL

eTULfULg

ee

H +−=′ (Eq. 3.48)

que pode ser re-escrita como

εDσ δδ ep=′ (Eq. 3.49)

com

ULgeT

ULfUL

eTULfULg

eeep

H nDnDnnD

DD+

−= (Eq. 3.50)

3.4 Modelo constitutivo Pastor–Zienkiewicz

3.4.1 Formulação geral do modelo no plano triaxial

Pastor e Zienkiewicz [Pastor, M.; Zienkiewicz, O.C., 1986] propuseram

uma formulação (modelo P-Z) no plano triaxial qp :′ para a simulação da

ocorrência de liquefação em areias. Nesta seção adotam-se como positivas as

tensões normais de compressão, de acordo com a convenção usual de mecânica

dos solos.

Assume-se válido o princípio das tensões efetivas [Terzaghi, K., 1936] para

solos saturados no espaço 3D,

ijwijij p δσσ −=′ (Eq. 3.51)

onde wp é a poropressão, ijδ o delta de Kronecker, ijσ ′ o tensor de tensão efetiva

e ijσ o tensor de tensão total.

A equação 3.51 pode também ser escrita na forma vetorial,

DBD


98

mσσ wp−=′ (Eq. 3.52)

com

{ }Tzxyzxyzzyyxx τττσσσ ′′′=′σ (Eq. 3.53)

{ }Tzxyzxyzzyyxx τττσσσ=σ (Eq. 3.54)

{ }T000111=m (Eq. 3.55)

onde σ′ é o vetor de tensão efetiva, σ o vetor de tensão total e m a forma

vetorial do delta de Kronecker.

O tensor de tensões efetivas atuantes no plano triaxial é representado, na

forma vetorial, por,

{ }Tzzyyxx 000σσσ ′′′=′σ (Eq. 3.56)

onde 1σσ ′=′xx , 2σσ ′=′yy , 3σσ ′=′zz são as tensões principais efetivas. No caso do

ensaio de compressão triaxial convencional: axx σσ ′=′ (tensão axial efetiva) e

rzzyy σσσ ′=′=′ (tensão radial efetiva).

O modelo P-Z é desenvolvido em termos das medidas da tensão efetiva

média, p′ , e da tensão de desvio, q , definidas como

1Jp ′=′ (Eq. 3.57)

DJq 23 ′= (Eq. 3.58)

com

31iiJ

σ ′=′ (Eq. 3.59)

22jiij

D

SSJ

′′=′ (Eq. 3.60)

sendo

ijijij JS δσ 1′−′=′ (Eq. 3.61)

onde 1J ′ é o primeiro invariante da tensão efetiva, DJ 2′ o segundo invariante da

tensão de desvio efetiva e ijS ′ o tensor de tensão de desvio efetiva.

DBD


99

A relação dos incrementos de tensão com os incrementos de deformação

total, no plano triaxial qp :′ , é expressa por

εDσ ˆˆˆ δδ ep=′ (Eq. 3.62)

sendo

{ }Tqp δδδ ′=′σ (Eq. 3.63)

{ }Tqp εδεδδ ˆˆˆ =ε (Eq. 3.64)

ULgeT

ULfUL

eTULfULg

eeep

H nDnDnnD

DDˆˆˆˆˆˆˆˆ

ˆˆ+

−= (Eq. 3.65)

onde a relação tensão-deformação elástica, eD , é definida por,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ′=

GKe

300

D (Eq. 3.66)


elástica, no plano triaxial qp :′ , é expressa por

ee εDσ ˆˆˆ δδ =′ (Eq. 3.67)

sendo

{ }Teq

ep

e εδεδδ ˆˆˆ =ε (Eq. 3.68)

A relação entre as componentes do vetor incremento de deformação total

no plano triaxial qp :′ com as componentes do tensor de incremento de

deformação total no espaço 3D é apresentada a seguir,

iip δεεδ =ˆ (Eq. 3.69)

ijijq εδεδεδ ′′=32ˆ (Eq. 3.70)

com

3ii

ijijδε

δεεδ −=′ (Eq. 3.71)

sendo pε a deformação volumétrica total e qε representa a deformação de desvio

total.

DBD


100

Em termos de tensões efetivas e deformações totais axiais e radiais, as

seguintes relações podem ser estabelecidas no plano triaxial qp :′ ,

( )rap σσ ′+′=′ 231 (Eq. 3.72)

rap δεδεεδ 2ˆ += (Eq. 3.73)

raq σσ ′−′= (Eq. 3.74)

( )raq δεδεεδ −=32ˆ (Eq. 3.75)

onde aε é deformação axial total e rε deformação radial total. Nas equações

apresentadas nesta seção o sobrescrito ^ indica formulação no plano triaxial

qp :′ . O símbolo δ denota incrementos.

A seguir são apresentadas as equações necessárias para definição das

variáveis que compõem a matriz constitutiva elasto-plástica do modelo P-Z:

(a) Vetores unitários normais à superfície de escoamento e à superfície do

potencial plástico.

Segundo Pastor [Pastor, M., et al., 1990] para estabelecer a direção dos

incrementos de deformação plástica no plano triaxial qp :′ deve-se partir de

medições experimentais da dilatância plástica, d , definida por Wood [Wood,

D.M., 1990] como,

pq

ppd

δεδε

−= (Eq. 3.76)

onde ppδε é o incremento da deformação volumétrica plástica e p

qδε o incremento

da deformação de desvio plástica.

Resultados experimentais mostram que a dilatância depende unicamente

da razão de tensão, η , mas não do estado de tensão [Wood, D.M., 1990]. Neste

modelo, a dilatância, gd , foi obtida com base nos resultados experimentais de

Frossard [Frossard, E., 1983] e aproximada através de uma função linear da razão

de tensão [Nova, R.; Wood, D.M., 1979]

))(1( ηα −+= gg Md (Eq. 3.77)

DBD


101

com

pq′

=η (Eq. 3.78)

onde α e gM são parâmetros do modelo P-Z. O valor de α esta relacionado com

a dilatância e gM esta relacionado com a superfície potencial plástico e

representa a tangente do ângulo inclinação da linha de estado critico no

plano qp :′ .

A equação 3.77 se torna nula quando o estado de tensão atinge a linha

coincidente com a projeção da linha de estado crítico no plano qp :′ . Logo,

gM=η (Eq. 3.79)

No modelo P-Z duas zonas de analises são consideradas para definir a

inclinação da linha de estado critico: (1) zona de tensão de desvio positivo e (2)

zona de tensão de desvio negativo.

A inclinação da linha de estado crítico no plano triaxial qp :′ na zona de

tensão de desvio positivo é representada da seguinte forma [Zienkiewicz, O.C.;

Pande, G.N., 1977]

θφφ

3sinsin3sin6

CS

CSgM

−= (Eq. 3.80)

com

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′−= −

331

227sin

31

qJ Dθ (Eq. 3.81)

sendo

66πθπ

≤≤− (Eq. 3.82)

[ ]ijD SJ ′=′ det3 (Eq. 3.83)

onde CSφ representa o ângulo de atrito na condição de estado crítico, θ o ângulo

de Lode e DJ 3′ o terceiro invariante das tensões de desvio efetiva. O símbolo

[ ]det denota determinante da matriz.

DBD


102

A inclinação da linha de estado crítico no plano triaxial qp :′ na zona de

tensão de desvio negativo é representada como

θφφ

3sinsin3sin6

CS

CSgM

+= (Eq. 3.84)

A direção, expansão (carregamento) ou contração (descarregamento), da

superfície do potencial plástico no plano triaxial qp :′ é determinada pelo vetor

unitário, ULgn ,

{ }TqULg

pULgULg nn ˆˆˆ =n (Eq. 3.85)

sendo para o carregamento,

{ }TqgL

pgLgL nn ˆˆˆ =n (Eq. 3.86)

com

21ˆ

g

gpgL

d

dn

+= (Eq. 3.87)

21

1ˆg

qgL

dn

+= (Eq. 3.88)

e para o descarregamento,

{ }TqgU

pgUgU nn ˆˆˆ =n (Eq. 3.89)

com

21ˆ

g

gpgU

d

dn

+−= (Eq. 3.90)

21

1ˆg

qgU

dn

+= (Eq. 3.91)

onde o símbolo denota valor absoluto.

A direção, expansão (carregamento) ou contração (descarregamento), da

superfície de escoamento no plano triaxial qp :′ é determinada pelo vetor

unitário, ULfn ,

DBD


103

{ }TqULf

pULfULf nn ˆˆˆ =n (Eq. 3.92)

sendo para o carregamento,

{ }TqfL

pfLfL nn ˆˆˆ =n (Eq. 3.93)

com

21ˆ

f

fpfL

d

dn

+= (Eq. 3.94)

21

1ˆf

qfL

dn

+= (Eq. 3.95)

e para o descarregamento,

{ }TqfU

pfUfU nn ˆˆˆ =n (Eq. 3.96)

com

21ˆ

f

fpfU

d

dn

+−= (Eq. 3.97)

21

1ˆf

qfU

dn

+= (Eq. 3.98)

onde

))(1( ηα −+= ff Md (Eq. 3.99)

sendo fM parâmetro do modelo P-Z relacionado com a superfície de

escoamento.

Para areias muito densas, Pastor e colaboradores [Pastor, M., et al., 1985]

consideraram que a razão gf MM é dependente da densidade relativa da areia,

rD , propondo a seguinte relação:

rg

f DMM

= (Eq. 3.100)

DBD


104

(b) Módulos plásticos

A obtenção do módulo plástico no plano triaxial qp :′ , H , nas condições

de carregamento, descarregamento e recarregamento é descrita a seguir:

(b.1) Condição de carregamento

Para a obtenção do módulo plástico na condição de carregamento LH ,

Pastor e Zienkiewicz [Pastor, M.; Zienkiewicz, O.C., 1986] consideraram as

seguintes evidências estabelecidas experimentalmente:

(i) A condição residual substitui a linha de estado crítico,

gresidual

Mpq

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′

(Eq. 3.101)

(ii) A ruptura não necessariamente ocorre quando a linha de estado

crítico é atingida.

Propuseram então a seguinte expressão empírica para determinação de

LH :

( )svfLoL HHHpHH +′=ˆ (Eq. 3.102)

onde LoH é parâmetro do modelo P-Z e fH , vH e sH coeficientes do módulo

plástico, na condição de carregamento.

Os valores de fH e vH estão relacionados com a linha de estado

permanente e a linha de transformação de fase, definidas no capítulo 2, por

4

1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

ffH

ηη (Eq. 3.103)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

gv M

H η1 (Eq. 3.104)

com

ff M⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

αη 11 (Eq. 3.105)

onde fη representa a linha da superfície de ruptura.

DBD


105

O coeficiente do módulo plástico sH é definido por,

( )ξβββ ⋅−= 010 eH s (Eq. 3.106)

sendo 0β , 1β parâmetros do modelo P-Z e ξ a deformação plástica de desvio

acumulada definida como

∫= pqδεξ (Eq. 3.107)

(b.2) Condição de descarregamento

Os modelos constitutivos baseados na teoria da plasticidade clássica

consideram que na etapa de descarregamento o material comporta-se

elasticamente. No entanto, resultados observados em ensaios triaxiais não-

drenados indicam que nesta etapa também ocorrem deformações plásticas

[Ishihara, K.; Okoda, S., 1982].

Pastor e colaboradores [Pastor, M., et al., 1990] propuseram a seguinte

expressão para estimativa do módulo plástico na condição de

descarregamento UH :

U

U

gUU

MHH

γ

η ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0ˆ para 1>

U

gMη

(Eq. 3.108)

0ˆ

UU HH = para 1≤U

gMη

(Eq. 3.109)

onde 0UH , Uγ são parâmetros do modelo P-Z e Uη é o valor da razão de tensões

onde se inicia o descarregamento.

(b.3) Condição de recarregamento

Esta condição é assumida logo após a ocorrência do primeiro

descarregamento durante o ciclo. Para incorporar efeitos da história de tensões,

um fator de memória DMH é definido e utilizado para determinação do módulo

plástico no recarregamento LH :

DMsvfLoL HHHHpHH )(ˆ +′= (Eq. 3.110)

DBD


106

onde LoH é o mesmo parâmetro do modelo constitutivo definido na condição de

carregamento e fH , vH , sH são os mesmos coeficientes plásticos definidos na

condição de carregamento.

O fator de memória DMH é definido pela equação

γ

ζζ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= max

DMH (Eq. 3.111)

com

α

ηηζ

1

1−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−′=

f

p (Eq. 3.112)

onde γ é um parâmetro do modelo P-Z e maxζ o máximo valor de ζ alcançado

durante a história do carregamento do material.

(c) Matriz constitutiva tensão-deformação elástica

A matriz constitutiva elástica eD é definida como

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡= e

q

epe

DD

ˆ00ˆ

D (Eq. 3.113)

onde a relação dos módulos elásticos com os incrementos da tensão e deformação

é dada por,

pK

pDe

p

ep ′

′=′= δδδε 1

ˆ1 (Eq. 3.114)

qG

qDe

q

eq δδδε

31

ˆ1

== (Eq. 3.115)

Os módulos de deformação volumétrica efetiva, K ′ , e de cisalhamento,

G , são considerados dependentes da tensão efetiva média, p′ , da seguinte forma,

conforme admitido por Pastor [Pastor, M., et al., 1990],

0

ˆppKDK epo

ep ′

′==′ (Eq. 3.116)

0

ˆ3ppKDG eqo

eq ′

′== (Eq. 3.117)

DBD


107

onde epoK e eqoK são parâmetros do modelo P-Z e 0p′ é a tensão efetiva média

inicial.

Substituindo-se as equações 3.116 e 3.117 na equação 3.113, as relações

tensão-deformação elástica podem ser escritas da seguinte forma,

000ˆ

pp

KK

eqo

epoe

′′

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=D (Eq. 3.118)

(d) Superfície de escoamento e do potencial plástico

Cabe lembrar neste ponto que, as direções do vetor unitário, indicadas nas

equações 3.85 e 3.92, foram definidas sem o conhecimento prévio da função que

descreve a superfície de escoamento f ou o potencial plástico g . As equações de

cada uma destas superfícies podem ser determinadas através da integração das

equações de dilatância plástica associadas a cada superfície.

De acordo com Pastor [Pastor, M., et al., 1985] a função que define a

superfície de escoamento, f , e a superfície do potencial plástico, g , são escritas

como

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

′′

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅′⋅−=

α

α0

ˆ111ˆ

ff p

ppMqf (Eq. 3.119)

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

′′

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅′⋅−=

α

α0

ˆ111ˆ

gg p

ppMqg (Eq. 3.120)

onde 0

ˆ fp′ e 0

ˆ gp′ são coeficientes que definem o tamanho das superfícies de

escoamento e do potencial plástico, respectivamente.

Embora a teoria da plasticidade generalizada não necessite explicitamente

das equações das superfícies f e g para implementação do modelo constitutivo,

é necessário definir suas direções, indicadas pelos vetores normais unitários ULfn

e ULgn , respectivamente. Por outro lado, ao observar as equações 3.85 e 3.92

nota-se que o cálculo destes vetores diferencia-se apenas pelas constantes gM e

fM . Para aplicação da hipótese de lei de fluxo associada basta então considerar

DBD


108

fg MM = . As figuras 3.4 a 3.6 apresentam uma análise da sensibilidade dos

parâmetros da função da superfície do potencial plástico.

O modelo descrito até este ponto corresponde ao da formulação original

desenvolvida por Pastor [Pastor, M., et al., 1990] e descrita em Zienkiewicz

[Zienkiewicz, O.C., et al., 1999]. Vários trabalhos têm introduzido modificações,

como Pastor [Pastor, M., et al., 1993] considerando efeitos de endurecimento

anisotrópico, Sassa [Sassa, S.; Sekiguchi, H., 2001] tratando dos efeitos de

rotação dos eixos principais, Ling [Ling, H.; Liu, H., 2003] considerando efeitos

da densificação de areias, Bahda [Bahda, F., et al., 1997] através da utilização de

leis de endurecimento duplo, Zhang [Zhang, H.W., et al., 2005] implementando

um algoritmo de integração implícita para melhorar a eficiência da solução

numérica do modelo. No caso de solos cimentados e parcialmente saturados,

Yang e colaboradores [Yang. C., et al., 2008] propuseram um modelo constitutivo

combinando a teoria da plasticidade generalizada com o Modelo Básico

Barcelona ou BBM (Basic Barcelona Model) proposto por Alonso [Alonso E.E.,

et al., 1990].

( )kPaq

( )kPap′

Figura 3.4 - Influência de 0

ˆ gp′ na forma da superfície do potencial plástico

( 6,0=α , 6,1=gM ).

DBD


109

( )kPaq

( )kPap′

Figura 3.5 - Influência de gM na forma da superfície do potencial plástico ( 6,0=α ,

kPapg 200ˆ0=′ ).

( )kPaq

( )kPap′

Figura 3.6 - Influência de α na forma da superfície do potencial plástico ( 6,1=gM ,

kPapg 200ˆ0=′ ).

3.4.2 Sumário da formulação do modelo no plano triaxial


total,

εDσ ˆˆˆ δδ ep=′ (Eq. 3.62)

O tensor de incremento de tensão,

{ }Tqp δδδ ′=′σ (Eq. 3.63)

com,

DBD


110

( )rap σσ ′+′=′ 231 (Eq. 3.72)

raq σσ ′−′= (Eq. 3.74)

O tensor de incremento de deformação total,

{ }Tqp εδεδδ ˆˆˆ =ε (Eq. 3.64)

com,

rap δεδεεδ 2ˆ += (Eq. 3.73)

( )raq δεδεεδ −=32ˆ (Eq. 3.75)

A matriz constitutiva tensão-deformação elasto-plástica,

ULgeT

ULfUL

eTULfULg

eeep

H nDnDnnD

DDˆˆˆˆˆˆˆˆ

ˆˆ+

−= Eq. (3.72)

O vetor unitário normal à superfície do potencial plástico,

{ }TqULg

pULgULg nn ˆˆˆ =n Eq. (3.85)

O vetor unitário normal à superfície de escoamento

{ }TqULf

pULfULf nn ˆˆˆ =n Eq. (3.92)

A matriz constitutiva tensão-deformação elástica,

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡= e

q

epe

DD

ˆ00ˆ

D Eq. (3.113)

A matriz constitutiva tensão-deformação elasto-plástica, considerando o

modelo P-Z, é obtida pela substituição das equações 3.85, 3.92 e 3.113 na equação

3.72,

DBD


111

( )( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⋅++

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

qULf

qULg

eq

pULf

qULg

eq

ep

qULf

pULg

eq

ep

pULf

pULg

ep

qULf

qULg

eq

pULf

pULg

epUL

eq

epep

nnDnnDD

nnDDnnD

nnDnnDH

DD

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆˆ1

ˆ00ˆ

ˆ

2

2

D

(Eq. 3.121)

ou

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅

Α=

epep

epepep

DDDD

1221

1211

ˆˆˆˆ1D (Eq. 3.122)

com

qULf

qULg

eq

pULf

pULg

epUL nnDnnDH ˆˆˆˆˆˆˆ ++=Α (Eq. 3.123)

qULf

qULg

eq

epUL

ep

ep nnDDHDD ˆˆˆˆˆˆˆ11 += (Eq. 3.124)

qULf

pULg

eq

ep

ep nnDDD ˆˆˆˆˆ12 −= (Eq. 3.125)

pULf

qULg

eq

ep

ep nnDDD ˆˆˆˆˆ21 −= (Eq. 3.126)

pULf

pULg

eq

epUL

eq

ep nnDDHDD ˆˆˆˆˆˆˆ22 += (Eq. 3.127)

(a) Situação de carregamento não-drenado - incremento de deformação

controlada

Para este caso 0=pδε e aq δεδε = . Da equação 3.121 obtém-se:

(a.1) Incremento da tensão efetiva média,

( ) aq

ULfp

ULgeq

ep nnDDp δεδ ˆˆˆˆ1

Α−=′ (Eq. 3.128)

(a.2) Incremento da tensão de desvio,

( ) ap

ULfp

ULgeq

epUL

eq nnDDHDq δεδ ˆˆˆˆˆˆ1

+Α

= (Eq. 3.129)

DBD


112

(b) Situação de carregamento drenado - incremento de deformação

controlada

Para este caso 3qp δδ =′ . Da equação 3.121 obtém-se:

(b.1) Incremento da tensão efetiva média,

( )

( ) qq

ULfp

ULgeq

ep

pq

ULfq

ULgeq

ep

epUL

nnDD

nnDDDHp

δε

δεδ

ˆˆˆˆ1

ˆˆˆˆˆˆ1

2

1

Β−

+Β

=′

(Eq. 3.130)

(b.2) Incremento da tensão de desvio,

( )

( ) qp

ULfp

ULgeq

ep

eqUL

pp

ULfq

ULgeq

ep

nnDDDH

nnDDq

δε

δεδ

ˆˆˆˆˆˆ1

ˆˆˆˆ1

2

1

+Β

+

Β−=

(Eq. 3.131)

com

pULf

qULg

eq

ep

qULf

qULg

eq

ep

epUL

qULf

pULg

eq

ep

pULf

pULg

eq

ep

eqUL

nnDDnnDD

DHnnDD

nnDDDH

ˆˆˆˆ3ˆˆˆˆ9

ˆˆ9ˆˆˆˆ6

ˆˆˆˆ2ˆˆ21

−−

−+

+=Β

(Eq. 3.132)

qULf

pULg

eq

ep

pULf

pULg

eq

ep

eq

pULf

qULg

eq

ep

qULf

qULg

eq

ep

ep

nnDDnnDD

DHnnDD

nnDDDH

ˆˆˆˆ6ˆˆˆˆ2

ˆˆ2ˆˆˆˆ6

ˆˆˆˆ18ˆˆ182

++

++

+=Β

(Eq. 3.133)

A relação entre os incrementos de deformação de desvio com a

deformação axial esta dado por,

aq δεδε21

1

Χ+ΧΧ

= (Eq. 3.134)

com

pULf

qULg

eq

ep

qULf

qULg

eq

ep

epUL

nnDD

nnDDDH

ˆˆˆˆ3

ˆˆˆˆ9ˆˆ91

+

+=Χ (Eq. 3.135)

qULf

pULg

eq

ep

pULf

pULg

eq

ep

eqUL

nnDD

nnDDDH

ˆˆˆˆ3

ˆˆˆˆˆˆ2

+

+=Χ (Eq. 3.136)

DBD


113

e a relação entre os incrementos de deformação volumétrica com a deformação

axial por,

ap δεδε21

1

33

Δ+ΔΔ

= (Eq. 3.137)

com

qULf

pULg

eq

ep

pULf

pULg

eq

ep

eqUL

nnDD

nnDDDH

ˆˆˆˆ3

ˆˆˆˆˆˆ1 ++=Δ

(Eq. 3.138)

pULf

qULg

eq

ep

qULf

qULg

eq

ep

epUL

nnDD

nnDDDH

ˆˆˆˆˆˆˆˆ3ˆˆ32 ++=Δ

(Eq. 3.139)

3.4.3 Formulação do modelo no espaço das tensões principais

Nesta seção, bem como na formulação adotada nos capítulos 4 e 5,

considera-se de sinal negativo a tensão normal de compressão. O tensor das

tensões atuantes no plano triaxial qp :′ , como já vimos, é definido por

{ }Tqp′=′σ (Eq. 3.140)

com

( )rap σσ ′+′−=′ 231 (Eq. 3.141)

( )raq σσ ′−′−= (Eq. 3.142)

Entanto, para propósitos de implementação da formulação em um

programa computacional baseado no MEF, é conveniente reformular as equações

anteriormente apresentadas em função do tensor de tensões definido no espaço

3D:

A invariância do produto escalar ULfT nσ′δ requer que se cumpra a

seguinte relação [Zienkiewicz, O.C., et al., 1999]:

ULfT

ULfT nσnσ ˆˆ ′=′ δδ (Eq. 3.143)

onde ULfn e ULfn são vetores unitários associados à superfície de escoamento,

definidos no espaço 3D e no plano triaxial qp :′ , respectivamente.

DBD


114

σσσσ ′′∂′∂

=′ δδˆˆ (Eq. 3.144)

Substituindo-se a equação 3.143 na equação 3.144 resulta,

ULfULf nσσn ˆˆ′∂′∂

= (Eq. 3.145)

Da forma similar, obtém-se,

ULgULg nσσn ˆˆ′∂′∂

= (Eq. 3.146)

onde ULgn e ULgn são os vetores unitários associados à superfície do potencial

plástico, definidos no espaço 3D e no plano triaxial qp :′ , respectivamente.

O termo ( )σσ ′∂′∂ ˆ , dos vetores unitários ULfn e ULgn corresponde às

derivadas de invariantes, explicitadas em Zienkiewicz [Zienkiewicz, O.C., et al.,

1999] e Lewis [Lewis, R.W.; Schrefler, B.A., 1998],

σσ

σσ

σσ

′∂∂

∂′∂

+′∂′∂

′∂′∂

=′∂′∂ q

qp

pˆˆˆ

(Eq. 3.147)

onde

( )zzyyxxp σσσ ′+′+′−=′ 31 (Eq. 3.148)

DJq 23 ′−= (Eq. 3.149)

com

( ) ( ) ( )( )222

2222 6

1

zxyzxy

zzyyxxD pppJ

τττ

σσσ

+++

′−′+′−′+′−′=′ (Eq. 3.150)

resultando em

Tp⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−=

′∂′∂ 000

31

31

31

σ (Eq. 3.151)

DBD


115

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

′−′−′′−′−′′−′−′

=′∂

∂

yz

zx

xy

xxyyzz

zzxxyy

zzyyxx

qq

τττ

σσσσσσσσσ

666

222

21

σ (Eq. 3.152)

Para o caso bidimensional de tensões, as equações 3.151 e 3.152 são escritas

como,

Tp⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−=

′∂′∂ 0

31

31

σ (Eq. 3.153)

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧′−′′−′

=′∂

∂

xy

xxyy

yyxx

qq

τσσσσ

6

22

21

σ (Eq. 3.154)

com

( ) ( )( ) 22221

22 323 xyyyxxD ppJq τσσ +′−′⋅+′−′=′= (Eq. 3.155)

( )

( )

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

′−′−

′−′−

=′∂′∂

xy

xxyy

yyxx

q

q

q

τ

σσ

σσ

30

21

31

131

ˆσσ (Eq. 3.156)

O vetor unitário associado à função de escoamento no triaxial qp :′ , em

termos das tensões no espaço 2D,

( )

( )

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

+⋅

+⋅′−′+

+−

+⋅′−′+

+−

=

2

22

2

22

113

11

21

131

111

131

f

xy

f

xxyy

f

f

f

yyxx

f

f

ULf

dq

dqd

ddqd

d

τ

σσ

σσ

n (Eq. 3.157)

DBD


116

O vetor unitário associado à função potencial plástico no triaxial qp :′ , em

termos das tensões no espaço 2D,

( )

( )

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

+⋅

+⋅′−′+

+−

+⋅′−′+

+−

=

2

22

22

113

11

21

131

111

131

g

xy

g

xxyy

g

g

g

yyxx

g

g

ULg

dq

dqd

ddqd

d

τ

σσ

σσ

n (Eq. 3.158)

DBD


4 Equações governantes da interação dinâmica sólido-fluido

4.1 Introdução

Uma abordagem macroscópica é utilizada nesta tese para o estudo dos

fenômenos que ocorrem em solos (meio poroso ou sistema sólido-fluido). As leis

físicas, baseadas no principio da conservação, usadas para a formulação das

equações diferenciais que modelam o movimento do sistema sólido-fluido são

aplicadas supondo o meio como contínuo. Estas equações, chamadas equações

fundamentais, são as equações da continuidade, de movimento e de energia. Por

outro lado, os fenômenos dinâmicos que ocorrem devido à interação sólido-fluido

devem ser modelados através de equações de acoplamento, envolvendo a

aplicação da lei de Darcy [Darcy, H., 1856] e o princípio das tensões efetivas para

solos saturados [Terzaghi, K., 1936]. As incógnitas do problema estão

relacionadas com os deslocamentos no sólido e as poropressões.

Em termos gerais, o procedimento para a formulação das equações

governantes consiste numa combinação das equações fundamentais, das equações

de acoplamento entre as fases e da equação constitutiva do meio poroso,

originando um sistema de equações diferenciais sujeitas a condições iniciais e de

contorno específicas para o problema estudado.

Neste capítulo são apresentadas as equações governantes de um solo

totalmente saturado por água ou sistema sólido-água, inicialmente propostas por

Biot [Biot, M.A., 1956a] e depois reformuladas para aplicações no MEF por

Zienkiewicz e Shiomi [Zienkiewicz, O.C.; Shiomi, T., 1984].

4.2 Aspectos gerais

Pode-se definir um meio poroso como um sistema composto por uma parte

sólida persistente, chamada matriz sólida (sólido), e espaços vazios (espaço

poroso) que podem estar preenchidos por um ou mais fluidos (água, óleo ou gás),

DBD


118

ver figura 4.1. Exemplos típicos no âmbito da mecânica dos solos são sedimentos

arenosos, rejeitos de mineração, rochas porosas, reservatórios de petróleo, etc.

Figura 4.1 - Representação esquemática de um meio poroso preenchido com um ou dois fluidos, [Bastian, P., 1999].

Os espaços vazios nos meios porosos podem estar interconectados ou

estanques, condicionando, portanto, a passagem do fluido através do solo ou, em

outras palavras, definindo a sua permeabilidade (figura 4.2). Um parâmetro

relacionado com a capacidade de armazenamento do meio poroso é a porosidade,

n , definida como a razão entre o volume ocupado pelos vazios, vV , e o volume

total do sistema sólido-fluido, V .

VV

n v= (Eq. 4.1)

Embora a porosidade possa variar espacialmente e com a pressão interna

nos vazios, na abordagem macroscópica da mecânica dos solos é usual assumir

um valor médio de porosidade.

De acordo com Bear e Bachmat [Bear, J.; Bachmat, Y., 1991], uma fase é

definida como uma região quimicamente homogênea de um sistema e delimitada

por um contorno físico definido. Se os espaços vazios do meio poroso contêm

fluidos com mais de duas fases inmiscíveis (água, óleo e gás) o meio é

caracterizada como um sistema multifásico. No caso de um sistema monofásico,

os espaços vazios são preenchidos por único fluido ou por vários fluidos

miscíveis. Um parâmetro que indica o volume relativo ocupado por cada fase do

fluido presente no meio poroso é o grau de saturação, rS . Por exemplo, num

Matriz sólida Água Ar

DBD


119

sistema bifásico formado com água e óleo, a saturação da água, wrS , é definida

por,

100⋅=v

wwr V

VS (Eq. 4.2)

onde wV é volume ocupado pela água presente no volume ocupados pelos vazios,

vV .

Figura 4.2 - Representação esquemática de um meio poroso permeável e impermeável.

Em Mecânica dos Solos, um elemento típico de solo (figura 4.3) é estudado

como um meio contínuo com uma matriz sólida (partículas minerais) com seus

poros (vazios) preenchidos por um fluido com duas fases: a líquida (normalmente

água) e a gasosa (normalmente ar).

Considerando um solo totalmente saturado por água, as massas específicas

deste sistema monofásico podem ser escritas como:

Massa específica do solo, ρ ,

VMM

VM ws +==ρ (Eq. 4.3)

Matriz sólida Água Ar

Permeável

Impermeável

Fraturas

Fraturas

Poros

Poros

DBD


120

Figura 4.3 - Fases do solo; (a) estado natural, (b) representação esquemática em termos de volumes e massas.

Massa específica do sólido, sρ ,

s

ss V

M=ρ (Eq. 4.4)

Massa específica do fluido (água), wρ ,

w

ww V

M=ρ (Eq. 4.5)

Das equações anteriores obtém-se facilmente que

( ) ws nn ρρρ +−= 1 (Eq. 4.6)

Sob o ponto de vista macroscópico, um fluido é definido como um material

que se deforma continuamente quando submetido a uma tensão de cisalhamento,

não importando quão pequena esta possa ser [Streeter, V.L., 1974]. Dependendo

da taxa de deformação e da tensão de cisalhamento, os fluidos podem ser

classificados como newtonianos ou não-newtonianos. No primeiro caso, existe

una relação linear entre a taxa de deformação e a tensão de cisalhamento, sendo a

constante de proporcionalidade denominada viscosidade absoluta ou dinâmica.

Para fluidos não-newtonianos, esta relação é do tipo não-linear.

Outra classificação pode ser também feita em termos da variação

volumétrica. Um fluido que apresenta resistência à redução de seu volume próprio

é denominado incompressível, enquanto que aquele que responde com uma

redução de volume sob ação de pressões é dito compressível. Um índice

Sólido

água

ar aV

wV

sV

vV

V

aM

wM

sM

M

( )b ( )a VOLUMES MASSA

DBD


121

quantitativo desta classificação é o número de Mach, definido pela razão entre a

velocidade de escoamento e a velocidade de propagação do som no fluido.

Quando o número de Mach for inferior a 0,3 o fluido é na prática caracterizado

como incompressível [Fox, R.W.; McDonald, A.T., 2001].

Os escoamentos onde se desprezam os efeitos da viscosidade são

denominados não-viscosos; caso contrário, viscosos, que podem acontecer sob

regimes de fluxo laminar ou turbulento. Em regime laminar, o escoamento é

caracterizado pelo movimento suave de camadas de fluido, que acontece abaixo

de uma velocidade crítica de absorção das turbulências pela viscosidade do fluido,

função do número de Reynolds.

4.2.1 Lei de Darcy

Uma lei que descreve o comportamento dos fluidos em meios porosos sob

regime laminar foi obtida experimentalmente por Darcy [Darcy, H., 1856].

Trabalhando com areias homogêneas não-consolidadas, Darcy concluiu que para

um fluxo unidimensional de um fluido incompressível (água), a vazão do fluido

(água), Q , através de uma amostra saturada por água, de comprimento L e seção

transversal de área A , pode ser satisfatoriamente estimada por (lei de Darcy)

Lh

AkQ wΔ′−= (Eq. 4.7)

onde whΔ é a variação da carga hidráulica e k ′ é a permeabilidade relativa do

meio poroso (empregada habitualmente na mecânica dos solos). O sinal negativo

desta expressão indica que a carga hidráulica diminui no sentido do fluxo.

Admitindo-se fluxo apenas na direção horizontal, com remoção de efeitos

gravitacionais, a equação acima pode ser escrita em termos da variação da

poropressão, wpΔ , da massa específica da água, wρ , e da aceleração da gravidade,

gr , como

Lp

Ag

kQ w

w

Δ⋅⋅

⋅′

−= rρ (Eq. 4.8)

ou, na forma diferencial

DBD


122

Lp

kAQw w

∂∂

−==& (Eq. 4.9)

com

gkkw

r⋅′

=ρ

(Eq. 4.10)

definida como permeabilidade absoluta.

A equação 4.9 pode ser generalizada para sistemas tridimensionais,

aplicando-a em cada uma das direções. Na notação indicial

iwiji pkw ,−=& (Eq. 4.11)

onde ijk é a componente da matriz de permeabilidade absoluta e iw& a

componente do vetor de velocidade do fluido relativo ao sólido,

tw

w ii ∂

∂=& (Eq. 4.12)

com iw a componente do vetor de deslocamento do fluido relativo ao sólido,

definido por

)( iii uUnw −= (Eq. 4.13)

onde n é a porosidade, iU a componente do vetor de deslocamento da fase fluida

e iu a componente do vetor do deslocamento do sólido.

Se os efeitos gravitacionais forem levados em conta no modelo matemático,

admitindo-se que a direção do eixo y é vertical, orientado positivamente para

cima, então

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

⋅−= gy

pkw w

wyy

r& ρ (Eq. 4.14)

4.2.2 Principio das tensões efetivas de Terzaghi

O principio das tensões efetivas, postulado por [Terzaghi, K., 1936] para

solos saturados, diz que “todos os efeitos verificados por uma variação de tensão,

tais como compressão, distorção e variação da resistência ao cisalhamento são

devidos exclusivamente à variação do estado de tensões efetivas”.

DBD


123

A tensão normal total, σ , atuante em um plano qualquer, deve ser

considerada como a soma de duas parcelas: (1) a tensão transmitida pelos contatos

entre partículas, designada tensão efetiva, σ ′ ; (2) a poropressão na água, wp .

Assim,

wp−=′ σσ (Eq. 4.15)

assumindo-se implicitamente que as partículas sólidas e a água são

incompressíveis.

A equação acima pode ser generalizada como

wijijij pδασσ ~+=′ (Eq. 4.16)

onde ijδ é o delta de Kronecker e α~ a constante de Biot, que incorpora os efeitos

de compressibilidade das partículas sólidas,

s

T

KK

−= 1~α (Eq. 4.17)

onde TK é módulo de deformação volumétrica do sistema sólido-água e sK o

módulo de deformação volumétrica das partículas sólidas.

Para materiais elásticos isotrópicos,

969 μλ +

=TK (Eq. 4.18)

com λ , μ as constantes de Lamé.

A diferença de sinal entre as equações 4.15 e 4.16 se justifica, porque na

segunda a convenção de sinais adotada é que as componentes normais de tensão

são positivas no caso de tração (consideradas negativas na convenção clássica de

mecânica de solos, implícita na equação 4.15).

Para a grande maioria dos problemas da mecânica dos solos, o módulo de

deformação volumétrica das partículas sólidas é muito maior que o módulo de

deformação volumétrica do sistema sólido-água, i.e. 0≈sT KK e 1~ ≈α . Nesta

condição, a equação 4.16 pode ser reescrita como,

wijijij pδσσ −′= (Eq. 4.19)

DBD


124

4.3 Equações governantes

O modelo matemático do fenômeno da liquefação deve proporcionar uma

adequada descrição do comportamento acoplado sólido-fluido sob ação de forças

externas transientes. Um conjunto de equações diferenciais foi proposto

inicialmente por [Biot, M.A., 1956a] e depois adequadas para aplicações

numéricas por diversos pesquisadores ([Ghaboussi, J.; Wilson, E., 1972],

[Zienkiewicz, O.C.; Shiomi, T., 1984], [Prevost, J.H., 1985], [Zienkiewicz, O.C.,

et al., 1980], [Schrefler, B.A.; Zhan, X., 1993]), exceto em casos de cravação de

estacas ou em explosões, onde a aplicação do carregamento é muito rápida.

Formulações relacionadas com estas condições podem ser encontradas em Biot

[Biot, M.A., 1956b].

De acordo com Zienkiewicz e Shiomi [Zienkiewicz, O.C.; Shiomi, T.,

1984], as equações que governam o comportamento de um meio poroso saturado

(sistema sólido-água) sob carregamento dinâmico compreendem: (a) as equações

de movimento do sistema sólido-fluido; (b) as equações de continuidade do

fluido; (c) as equações de movimento do fluido; (d) o principio das tensões

efetivas; (e) as equações constitutivas do esqueleto sólido. Este conjunto de

equações diferenciais é conhecido como equações de Biot-Zienkiewicz.

(a) Equações de movimento do sistema sólido-fluido

A equação de movimento do sistema sólido-água é dada por

( ) 0,, =++−− ijijiwijij bwwwu ρρρσ &&&&&& (Eq. 4.20)

onde ib é a força de corpo por unidade de massa, ρ a massa específica do

sistema sólido-água conforme equação 4.6

( ) ws nn ρρρ +−= 1 (Eq. 4.6)

e iw& e iw&& representam a velocidade e a aceleração do fluido (água) relativo ao

sólido,

tw

w ii ∂

∂=& (Eq. 4.21)

DBD


125

tw

w ii ∂

∂=

&&& (Eq. 4.22)

(b) Equações de continuidade do fluido

Considerando um volume de controle, a variação da velocidade do fluido

(água), ( iiw ,&− ), entre as faces deste volume é devida à superposição da variação

no tempo dos seguintes 4 fatores [Xie, Y.M., 1990]: (1) deformação volumétrica

do volume de controle, ( iiε& ); (2) deformação das partículas sólidas devido a

poropressões, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

s

w

Kpn &)1(

; (3) deformação das partículas sólidas devido a

tensões efetivas, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

s

wii

s

T

Kp

KK &

&ε ; (4) compressibilidade da água, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

w

w

Kpn&

.

Adicionando ainda as contribuições devido a variações no tempo da massa

específica da água, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

w

wnρρ&

, e os efeitos de segunda ordem, 0s& , resulta então

0)1(

0, =++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

−+++ sn

Kp

KK

Kpn

Kpn

ww

w

s

wii

s

T

s

w

w

wiiii &

&&&

&&&&

ρρ

εε (Eq. 4.23)

onde wK representa o módulo de deformação volumétrica da água.

Considerando

CK

nKn

Q sw

~~~1

=−

+≡α

(Eq. 4.24)

onde Q~ representa o módulo de deformação volumétrica equivalente do sistema

sólido-água, C~ a compressibilidade equivalente do sistema sólido-água e α~

definido na equação 4.17.

Assim, a equação 4.23 pode ser expressa por,

0~~0, =++++ sn

Qp

ww

wwiiii &

&&&&

ρρ

εα (Eq. 4.25)

DBD


126

(c) Equações de movimento do fluido

A equação de movimento do fluido é dada por

( ) 0,, =++−−−− iwjijiw

iwwiiw bwww

nuRp ρ

ρρ &&&&&& (Eq. 4.26)

onde wiR representa a componente do vetor de forças de arraste viscoso.

Da mesma forma que na equação 4.20, os termos acima sublinhados

representam a aceleração da água relativa ao sólido e os termos convectivos desta

aceleração.

(d) Principio das tensões efetivas

Dada por

wijijij pδσσ +=′ (Eq. 4.19)

(e) Equações constitutivas tensão-deformação do sistema sólido-fluido

As equações constitutivas para solos, definidas pela relação funcional entre

o tensor de tensões efetivas e o tensor de deformações, é de caráter não-linear,

razão pela qual devem ser expressas na forma incremental,

klijklij D δεσδ =′ (Eq. 4.27)

onde ijklD representa o tensor constitutivo tensão-deformação do solo.

4.3.1 Forma incremental das equações completas de Biot-Zienkiewicz

(a) Equações de movimento do sistema sólido-fluido

0, =+−− iiwijij bwu δρδρδρδσ &&&& (Eq. 4.28)

(b) Equações de continuidade do fluido

0~ 0, =++++ snQp

ww

wwiiii &

&&&& δ

ρρδδ

εαδδ (Eq. 4.29)

DBD


127

(c) Equações de movimento do fluido

( )( ) 0,, =++−−−− iwjijif

iwwiiw bwww

nuRp δρδδ

ρδρδδ &&&&&& (Eq. 4.30)

(d) Principio das tensões efetivas

wijijij pδσσ +=′ (Eq. 4.19)

(e) Equações constitutivas tensão-deformação do sistema sólido-fluido


As variáveis incógnitas do sistema de equações são: (1) a pressão do fluido

(água), wp ; (2) a velocidade do fluido relativo ao sólido, iw& ; (3) o deslocamento

do sólido, iu .

As condições de contorno impostas sobre as equações completas de Biot-

Zienkiewicz (forma u-p-w), Γ , compreendem da união da condição de contorno

para o sólido, sΓ , e para o fluido, wΓ ,

ws Γ∪Γ=Γ (Eq. 4.31)

(1) Para o sólido.

As condições de contorno do sólido, sΓ , são compreendidas como a união

de dois tipos de contornos: (1) condição de contorno do sólido em termos das

forcas, stΓ , e (2) condição de contorno do sólido em termos do deslocamento, s

uΓ ,

su

st

s Γ+Γ=Γ (Eq. 4.32)

Sobre o contorno stΓ especificam-se valores de forcas externas atuantes *

it e

sobre o contorno suΓ valores de deslocamento prescrito, *

iu ,

*it em s

ts Γ=Γ (Eq. 4.33)

*iu em s

us Γ=Γ (Eq. 4.34)

DBD


128

(2) Para o fluido.

As condições de contorno do fluido (água), wΓ , decorrem da união de dois

diferentes tipos de contorno: (1) condição de contorno do fluido em termos da

poropressão, wpΓ , e (2) condição de contorno do fluido em termos da velocidade

do fluido relativo ao sólido, ww&Γ ,

ww

wp

w&Γ+Γ=Γ (Eq. 4.35)

Sobre o contorno wpΓ especificam-se valores da poropressão atuante iwp* e

sobre o contorno ww&Γ velocidades do fluido relativo ao sólido atuante, *

iw& ,

iwp* em wp

w Γ=Γ (Eq. 4.36)

*iw& em w

ww

&Γ=Γ (Eq. 4.37)

4.3.2 Forma incremental das equações simplificadas de Biot-Zienkiewicz

Vários pesquisadores ([Ghaboussi, J.; Wilson, E., 1972], [Chan, A.H.C., et

al., 1991]) mostraram que o sistema completo das equações (forma u-p-w) é

adequado para uma resolução numérica através do método explícito. Entretanto,

no caso da utilização de métodos implícitos, onde o sistema de equações deve ser

resolvida a cada passo de iteração no tempo, é conveniente, para fins de eficiência

computacional, reduzir o número de variáveis através da adoção da formulação

simplificada na forma u-p.

De acordo com Zienkiewicz [Zienkiewicz, O.C., et al., 1980], no caso de

fluxo laminar é possível assumirem-se as seguintes hipóteses simplificadoras: (a)

variação da aceleração do fluido (água) em relação ao fluido pode ser

desconsiderada, 0=iw&&δ ; (b) variação nula do termo convectivo da equação 4.30,

( ) 0, =jijww &&δ ; (c) fluido incompressível com variação da massa específica nula,

0=fρδ & ; (d) desconsideração da variação temporal dos efeitos de segunda ordem,

00 =s&δ .

DBD


129

Se essas simplificações forem introduzidas nas equações completas de Biot-

Zienkiewicz, é possível então eliminarem-se da formulação os graus de liberdade

correspondentes à variável iw& , obtendo-se um sistema de equações simplificadas

conhecido na literatura como de forma u-p.

(a) Equações simplificadas de movimento do sólido

Introduzindo a condição 0=iwδ nas equações 4.28 resulta,

0, =+− iijij bu δρρδδσ && (Eq. 4.38)

(b) Equações simplificadas de movimento-continuidade do fluido

Considerando ( ) 0, =jij ww &&δ e 0=iw&&δ as equações 4.30 se transformam em,

0, =+−−− iwiwwiiw buRp δρδρδδ && (Eq. 4.39)

A força de arrasto viscosa wiR , definida com auxílio da lei de Darcy, pode

ser escrita como

wiiji Rkw =& (Eq. 4.40)

possibilitando evidenciar wiR

iijwi wkR &1−= (Eq. 4.41)

ou na forma incremental,

iijwi wkR &δδ 1−= (Eq. 4.42)

Introduzindo a equação 4.42 na equação 4.39, obtém-se as seguintes

equações simplificadas de movimento do fluido

01, =+−−− −

iwiwjijiw buwkp δρδρδδ &&& (Eq. 4.43)

Substituindo-se

( )iwiwiwijj bupkw δρδρδδ +−−= &&& , (Eq. 4.44)

e

iiii u ,δδε = (Eq. 4.45)

DBD


130

nas equações de continuidade do fluido (equação 4.29), tem-se as equações

simplificadas de movimento-continuidade do fluido:

( ) 0~)( ,', =+++−−Qp

ubupk wiijjwjwjwij

&&&&

δδδρδρδ (Eq. 4.46)

O sistema de equações formadas pelas equações 4.19, 4.27, 4.38, 4.46, e as

condições de contorno (equações 4.32, 4.34 e 4.36) pode ser diretamente aplicado

na simulação do comportamento acoplado de sistemas sólido-fluido [Zienkiewicz,

O.C.; Shiomi, T., 1984]. A validade das hipóteses simplificadoras da formulação

u-p para análise de problemas com carregamentos sísmicos é considerada

adequada por Leung [Leung, K.H., 1984].

DBD


5 Discretização das equações governantes na forma u-p

5.1 Discretização espacial

Sistemas de equações diferenciais governantes geralmente não têm solução

analítica exata, necessitando do emprego de um método numérico, como o MEF,

para obtenção de uma solução aproximada ([Cook, R., et al., 1989], [Bathe, K.J.,

1996], [Zienkiewicz, O.C., et al., 2006], [Hughes, T.J.R, 1987]). No MEF as

equações diferenciais são satisfeitas, no sentido integral, no domínio do elemento

(formulação fraca), enquanto que na solução analítica estas equações são

satisfeitas em cada ponto do problema (formulação forte).

No MEF os valores de deslocamento do sólido e da poropressão do fluido,

são aproximados nos pontos nodais a nível local (elemento acoplado) por funções

de interpolação contínuas, geralmente polinomiais, cujo grau depende do número

de nós do elemento finito utilizado.

Para o campo dos deslocamentos da matriz sólida (ou sólido),

uNu u≅ (Eq. 5.1)

ou,

KiuKi uNu ≅ (Eq. 5.2)

e para o campo das poropressões do fluido (água)

ww

w pNp ≅ (Eq. 5.3)

ou,

LiwwLiw pNp ≅ (Eq. 5.4)

onde u é o vetor de deslocamento do sólido, u o vetor de deslocamento do sólido

nodal a nível local, uN a matriz das funções de interpolação para o campo dos

deslocamentos do sólido, wp o vetor da poropressão do fluido, wp o vetor da

DBD


132

poropressão do fluido nodal a nível local e wN a matriz das funções de

interpolação para o campo das poropressões.

As equações 5.1 e 5.3 podem ser escritas da forma combinada para um

elemento acoplado (sistema sólido-fluido a nível local) como,

ΦNΦΦ =≅)

(Eq. 5.5)

sendo { }TwpuΦ = o vetor da variável generalizada, { }T

wpuΦ = o vetor da

variável generalizada nodal a nível local e N a matriz das funções de interpolação

da variável generalizada definida por

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= w

u

NN

N0

0 (Eq. 5.6)

No caso de uma análise dinâmica, a discretização deve-se estender às

derivadas do vetor da variável generalizada nodal a nível local, obtendo-se

t∂∂

=ΦΦ& (Eq. 5.7)

t∂∂

=ΦΦ&

&& (Eq. 5.8)

onde Φ& representa o vetor da velocidade da variável generalizada nodal a nível

local e Φ&& o vetor da aceleração da variável generalizada nodal a nível local.

Na literatura, as equações discretizadas do MEF são obtidas através de

duas abordagens gerais: (a) formulação variacional; (b) formulação baseada no

método dos resíduos ponderados.

Na formulação variacional as equações de equilíbrio e as condições de

contorno naturais são obtidas pela minimização de um funcional conhecido, como

o que expressa, por exemplo, a energia potencial de um sistema mecânico

conservativo, frequentemente empregado em problemas da mecânica do contínuo.

Hardy [Hardy, S., 2003] estabelece a equação discretizada a nível local para o

sólido através do princípio da energia potencial estacionária, estendida para o

contexto dinâmico pela aplicação do princípio de d’Alembert1, enquanto que o

1 Princípio de d’Alembert: “As ações e reações internas de um sistema de corpos em

movimento estão em equilíbrio”.

DBD


133

acoplamento sólido-fluido foi obtido mediante o princípio das tensões efetivas

[Terzaghi, K., 1936] para solos saturados.

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }RpLuKuCuM f Δ=Δ+Δ+Δ+Δ &&&& (Eq. 5.9)

onde { }u , { }u& e { }u&& são os vetores de deslocamento, da velocidade e da aceleração

do sólido, respectivamente, { }fp o vetor da poropressão do fluido, [ ]M a matriz

de massa do sólido, [ ]C a matriz de amortecimento viscoso, [ ]K a matriz de

rigidez do sólido, [ ]L a matriz de acoplamento sólido-fluido e { }R vetor de forca

do sólido.

Para desenvolver a equação discretizada a nível local para o fluido, Hardy

[Hardy, S., 2003], considerando a lei de Darcy, as equações de movimento e da

continuidade do fluido, obteve pela aplicação do princípio dos trabalhos virtuais,

[ ] { } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { } { }( ) tQnpStpuGuL ffT Δ+=Δ−Δ−Δ+Δ φ&& (Eq. 5.10)

onde [ ]G representa a matriz de inércia do fluido, [ ]φ a matriz de fluxo do fluido,

[ ]S a matriz da compressibilidade do fluido, { }n o vetor de fluxo do fluido, { }Q

vetor da vazão do fluido e t o tempo. O símbolo Δ significa variação.

Ghaboussi e Wilson [Ghaboussi, J.; Wilson, E.L, 1972] apresentam uma

formulação do MEF desenvolvida com base em um funcional de energia para

problemas acoplados em meios porosos saturados proposto por Sandhu e Pister

[Sandhu, R.S.; Pister, K.S., 1970], que resulta no seguinte sistema de equações

algébricas, discretizada a nível local,

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

f

s

f

s

fT

c

cs

f

s

f

s

f

s

fTc

cs

FF

uu

KCCK

uu

D00D

uu

ΜΜΜΜ

&

&

&&

&&

(Eq. 5.11)

onde su , su& , e su&& são vetores de deslocamento, da velocidade e da aceleração do

sólido, respectivamente; fu , fu& , e fu&& os vetores de deslocamento, da velocidade

e da aceleração do fluido, respectivamente, sK e fK as matrizes de rigidez do

sólido e do fluido, respectivamente, sΜ e fΜ as matrizes de massa do sólido e

do fluido, respectivamente, sD e fD as matrizes de amortecimento viscoso do

DBD


134

sólido e do fluido, respectivamente, sF e fF os vetores de forca do sólido e do

fluido, respectivamente, cC e cΜ matrizes de acoplamento sólido-fluido em

termos da massa e da rigidez, respectivamente.

Cabe ressaltar que a matriz de amortecimento sD foi introduzida nesta

equação para representar a energia dissipada pelo sólido, podendo ser determinada

pela combinação linear da matriz de massa e da matriz de rigidez do sólido

(amortecimento de Rayleigh), ou seja

( ) ( )fsfss ana KKMMD 22

21

~α−+−= (Eq. 5.12)

onde 1a e 2a são constantes de amortecimento, n a porosidade e α~ a constante

de Biot.

De acordo com Ghaboussi e Wilson [Ghaboussi, J.; Wilson, E.L, 1972] o

sistema de equações 5.11 poderiam também ser obtidas através de uma extensão

do princípio de Hamilton2, assumindo a existência de uma função de dissipação

de energia para levar em conta os efeitos de amortecimento.

Há várias formulações disponíveis na abordagem pelo método dos

resíduos ponderados para obtenção das equações do MEF, dependendo da escolha

do tipo de função de ponderação, PN , para minimização dos resíduos. A mais

popular, parece ser a do método de Galerkin, utilizada no presente estudo, onde as

funções de ponderação são as próprias funções de interpolação empregadas no

MEF.

As equações diferenciais governantes a resolver em casos de problemas

dinâmicos são da forma geral (equação continua),

0ΦAΦAΦA =++ 321&&& (Eq. 5.13)

onde 1A , 2A , 3A representam quantidades matriciais.

2 Princípio de Hamilton: “De todos os caminhos possíveis ao longo dos quais um sistema

dinâmico pode se mover em um intervalo de tempo específico, o caminho percorrido é

aquele que minimiza na integral do tempo a diferença entre as energias potencial e

cinética”.

DBD


135

Considerando que

ΦNΦ P≅ (Eq. 5.14)

com

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= w

P

uP

P NN

N0

0 (Eq. 5.15)

a aplicação do método de Galerkin produz então

( ) 0ΦAΦAΦAN ≠Ω++∫Ω

dTP 321

&&& (Eq. 5.16)

que, após a integração, será reduzida à seguinte forma (equação discretizada),

0ΦBΦCBΦB =+′+ 321&&& (Eq. 5.17)

onde 1B , 2B , 3B são quantidades matriciais.

(a) Discretização das equações simplificadas de movimento do sólido

0, =+− iijij bu ρδρδδσ && (Eq. 4.38)

Seguindo-se o procedimento do método de Galerkin, onde as funções de

interpolação para o campo de deslocamentos uKN são utilizadas como funções de

ponderação uPN (i.e. u

KuP NN = ) para minimização dos resíduos no domínio do

elemento. Multiplicando-se a equação 4.35 pela transposta da matriz das funções

de interpolação uKN e integrando-se no domínio do elemento Ω ,

( ) 0, =Ω+−∫Ω

dbuN iijijTu

K ρδρδδσ && (Eq. 5.18)

Do princípio das tensões efetivas para solos saturados,

wijijij pδσσ −′= (Eq. 4.19)

resulta na equação 5.18 em

( ) 0,, =Ω+−−′∫Ω

dbupN iijwijjijTu

K ρδρδδδσδ && (Eq. 5.19)

ou

DBD


136

0

,,

=Ω+

Ω−Ω−Ω′

∫

∫∫∫

Ω

ΩΩΩ

dbN

duNdpNdN

iTu

K

iTu

KjwijTu

KjijTu

K

ρδ

ρδδδσδ &&

(Eq. 5.20)

Integrando por partes os dois primeiros termos da equação 5.20,

( ) Ω′−Ω′=Ω′ ∫∫∫ΩΩΩ

dNdNdN ijT

juKjij

TuKjij

TuK σδσδσδ ,,, (Eq. 5.21)

( ) Ω−Ω=Ω ∫∫∫ΩΩΩ

dpNdpNdpN wijTu

jKjwijTu

KjwijTu

K δδδδδδ ,,, (Eq. 5.22)

Aplicando-se o teorema de Green nos termos sublinhados das equações 5.21

e 5.22, vem,

( ) Γ′=Ω′ ∫∫ΓΩ

dnNdN ijjTu

KjijTu

K σδσδ,

(Eq. 5.23)

( ) Γ=Ω ∫∫ΓΩ

dpnNdpN wijjTu

KjwijTu

K δδδδ,

(Eq. 5.24)

Substituindo-se as relações anteriores na equação 5.20,

0

,

,

=

Ω+

Ω−

Ω+Γ−

Ω′−Γ′

∫

∫

∫∫

∫∫

Ω

Ω

ΩΓ

ΩΓ

dbN

duN

dpNdpnN

dNdnN

iTu

K

iTu

K

wijTu

jKwijjTu

K

ijT

juKijj

TuK

ρδ

ρδ

δδδδ

σδσδ

&& (Eq. 5.25)

e reorganizando-se os termos,

( ) Γ−′+Ω=

Ω−Ω′+Ω

∫∫

∫∫∫

ΓΩ

ΩΩΩ

dnpNdbN

dpNdNduN

jwijijTu

KiTu

K

wijTu

jKijT

juKi

TuK

δδσδρδ

δδσδδρ ,,&&

(Eq. 5.26)

Considerando os valores nodais da variável deslocamento, Kiu , e

poropressão, Liwp , de acordo com as equações 5.2 e 5.4,


DBD


137


então a equação 5.26 pode ser reescrita como

( ) Γ−′+Ω=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ω−

Ω′+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ω

∫∫

∫

∫∫

ΓΩ

Ω

ΩΩ

dnpNdbN

pdNN

dNudNN

jwijijTu

KiTu

K

LiwwLij

TujK

ijTu

jKKiuK

TuK

δδσδρδ

δδ

σδδρ

,

,&&

(Eq. 5.27)

As equações anteriores podem também ser expressas na forma vetorial

(equação discretizada a nível local),

( ) 0fpQuPuM =−−+ sw δδδδ && (Eq. 5.28)

onde

Ω= ∫Ω

dNN uK

TuKρM (Eq. 5.29)

Ω= ∫Ω

dNN wLij

TujK δ,Q (Eq. 5.30)

Ω′= ∫Ω

dN ijT

juK σδδ ,uP (Eq. 5.31)

( ) ( ) Γ−′+Ω= ∫∫ΓΩ

dnpNdbN jwijijTu

KiTu

Ks δδσδρδδf (Eq. 5.32)

onde M é a matriz de massa do sólido, Q matriz de acoplamento sólido-fluido,

uP δ matriz de força interna do sólido que dará origem à matriz de rigidez do

sólido; ( )sfδ vetor de incremento de força do sólido, uδ vetor de incremento de

deslocamento do sólido e wpδ vetor de incremento da poropressão do fluido.

A matriz de massa do sólido pode ser definida por duas formulações: (1)

matriz consistente; (2) matriz de massas concentradas. A matriz de massa

consistente representa a discretização de uma distribuição contínua de massa no

elemento (equação 5.29) enquanto que a matriz de massas concentradas, visando a

um menor tempo de execução computacional, é obtida da matriz de massa por

meio de um processo de diagonalização (lumping), como a técnica HRZ [Hinton,

E., Rock, T.; Zienkiewicz, O.C., 1976].

DBD


138

A matriz de acoplamento sólido-fluido (equação 5.30) pode ser escrita na

forma vetorial,

∫Ω

Ω= dwTu NmBQ (Eq. 5.33)

onde wN é a matriz das funções de interpolação que descrevem o campo das

poropressões e m é a forma vetorial do delta de Kronecker dado por,

[ ]T011=m (Eq. 5.34)

A matriz de força interna do sólido (equação 5.31) pode ser escrita na

forma vetorial,

Ω= ∫Ω

dTu σBuP δδ (Eq. 5.35)

considerando-se

uu NSB = (Eq. 5.36)

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

yx

y

x0

0

S (Eq. 5.37)

onde σ é o vetor de tensão, uB a matriz das derivadas das funções de

interpolação uN que descrevem o campo dos deslocamentos do sólido e S matriz

de operador de derivadas.

Considerando a relação tensão-deformação para o sólido, dada pela

equação 4.27,


o tensor das deformações,

)( ,,21

kllkkl uu δδδε += (Eq. 5.38)

e o campo de deslocamentos nodais descrito pela equação 5.2


DBD


139

então a matriz uP δ pode ser expressa como,

( ) Ω+= ∫Ω

duNuNDN kKlkuKlKkl

uKijkl

Tj

uK )( ,,,,2

1, δδδuP (Eq. 5.39)

ou, na forma vetorial,

uKuP δδ = (Eq. 5.40)

onde

∫Ω

Ω= duTu BDBK (Eq. 5.41)

sendo K a matriz de rigidez do sólido e D a matriz constitutiva tensão-

deformação, i.e. em termos das tensões efetivas.

Da teoria da plasticidade generalizada (equação 3.65), i.e. modelo Pastor–

Zienkiewicz, tem-se epDD = (Eq. 3.50)

O vetor de incremento de força do sólido (equação 5.32) pode ser escrito

na forma vetorial,

( ) ∫∫ΓΩ

Γ+Ω= dd TuTus tNbNf ρδ (Eq. 5.42)

com b representando o vetor de força de corpo por unidade de massa e t o vetor

de força externa (força cisalhante e normal) atuante no sólido.

(b) Discretização das equações simplificadas de movimento-continuidade do

fluido

( ) 0~)( ,', =+++−−Qp

ubupk wiijjwjwjwij

&&&&


Seguindo-se o procedimento do método de Galerkin, onde as funções de

interpolação para o campo de poropressão wLN são utilizadas como funções de

ponderação wPN (i.e. w

LwP NN = ) para minimização dos resíduos no domínio do

elemento. Multiplicando-se a equação 4.43 pela transposta da matriz das funções

de interpolação wLN e integrando-se no domínio do elemento Ω ,

DBD


140

( ) 0~)( ,', =Ω⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++−−∫

Ω

dQp

ubupkN wiijjwjwjwij

TwL

&&&&


ou

0~

)(

)()(

,'

'',

=Ω+

Ω+Ω+

Ω−Ω−

∫

∫∫

∫∫

Ω

ΩΩ

ΩΩ

dQp

N

duNdbkN

dukNdpkN

wTwL

iiTw

LjjwijTw

L

jjwijTw

LjjwijTw

L

&

&

&&

δ

δδρ

δρδ

(Eq. 5.44)

Integrando por partes os quatro primeiros termos da equação 5.44,

Ω−Ω

=Ω

∫∫

∫

ΩΩ

Ω

dpkNdpkN

dpkN

jwijTw

jLjjwijTw

L

jjwijTw

L

,,',

',

)(

)(

δ

δ

(Eq. 5.45)

Ω−Ω

=Ω

∫∫

∫

ΩΩ

Ω

dukNdukN

dukN

jwijTw

jLjjwijTw

L

jjwijTw

L

&&&&

&&

δρδρ

δρ

,'

'

)(

)(

(Eq. 5.46)

Ω−Ω

=Ω

∫∫

∫

ΩΩ

Ω

dbkNdbkN

dbkN

jwijTw

jLjjwijTw

L

jjwijTw

L

δρδρ

δρ

,'

'

)(

)(

(Eq. 5.47)

( ) Ω−Ω

=Ω

∫∫

∫

ΩΩ

Ω

duNduN

duN

iTw

iLiiTw

L

iiTw

L

&&

&

δδ

δ

,,

,

(Eq. 5.48)

Aplicado-se o teorema de Green nos termos sublinhados das equações 5.45

a 5.48,

Γ=Ω ∫∫ΓΩ

dnpkNdpkN jjwijTw

LjjwijTw

L ,', )( δδ (Eq. 5.49)

Γ=Ω ∫∫ΓΩ

dnukNdukN jjwijTw

LjjwijTw

L &&&& δρδρ ')( (Eq. 5.50)

Γ=Ω ∫∫ΓΩ

dnbkNdbkN jjwijTw

LjjwijTw

L δρδρ ')( (Eq. 5.51)

DBD


141

( ) Γ=Ω ∫∫ΓΩ

dnuNduN iiTw

LiiTw

L && δδ , (Eq. 5.52)

Substituindo-se as equações 5.49 a 5.52 na equação 5.44, resulta

0

~

,

,

,

,,,

=

Ω+

Ω−Γ+

Ω−Γ+

Ω+Γ−

Ω+Γ−

∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

Ω

ΩΓ

ΩΓ

ΩΓ

ΩΓ

dQp

N

duNdnuN

dnbkNdbkN

dnukNdukN

dnpkNdpkN

wTwL

iTw

iLiiTw

L

jjwijTw

jLjwijTw

L

jjwijTw

jLjwijTw

L

jjwijTw

jLjwijTw

L

&

&&

&&&&

δ

δδ

δρδρ

δρδρ

δδ

(Eq. 5.53)

Reorganizando-se os termos,

Γ−Γ−

Γ−Γ=

Ω+

Ω−

Ω−

Ω+

Ω+

∫∫

∫∫

∫

∫

∫

∫

∫

ΓΓ

ΓΓ

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

dnuNdnbkN

dnukNdnpkN

dQp

N

duN

dbkN

dukN

dpkN

iiTw

LjjwijTw

L

jjwijTw

LjjwijTw

L

wTwL

iTw

iL

jwijw

jL

jwijTw

jL

jwijTw

jL

&

&&

&

&

&&

δδρ

δρδ

δ

δ

δρ

δρ

δ

,

,

,

,

,,

~

(Eq. 5.54)

Considerando os valores nodais da variável deslocamento, Kiu , e

poropressão, Liwp , de acordo com as equações 5.2 e 5.4,



então a equação 5.54 pode ser reescrita como

DBD


142

Γ−

Γ−Γ−

Γ+Ω=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ω+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ω+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ω+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ω

∫

∫∫

∫∫

∫

∫

∫∫

Γ

ΓΓ

ΓΩ

Ω

Ω

ΩΩ

dnuN

dnbkNdnukN

dnpkNdbkN

udNkN

pdNkN

pdQ

NNudNN

iiTw

L

jjwijTw

LjjwijTw

L

jjwijTw

LjwijTw

jL

KiuKwij

TwjL

iww

jLijTw

jL

iw

wL

TwL

KiuK

TwiL

&

&&

&&

&&

δ

δρδρ

δδρ

δρ

δ

δδ

,,

,

,,

, ~

(Eq. 5.55)

a qual pode ser expressa na forma vetorial (equação discretizada a nível local) por,

( )www fuGpHpSuR δδδδδ =+++ &&&& (Eq. 5.56)

onde

Ω= ∫Ω

dNN uK

TwiL,R (Eq. 5.57)

Ω= ∫Ω

dQ

NN wL

TwL ~S (Eq. 5.58)

Ω= ∫Ω

dNkN wjLij

TwjL ,,H (Eq. 5.59)

Ω= ∫Ω

dNkN uKwij

TwjL ρ,G (Eq. 5.60)

( )

Γ−

Γ−Γ−

Γ+Ω=

∫

∫∫

∫∫

Γ

ΓΓ

ΓΩ

dnuN

dnbkNdnukN

dnpkNdbkN

iiTw

L

jjwijTw

LjjwijTw

L

jjwijTw

LjwijTw

jLw

&

&&

δ

δρδρ

ρδ ,,f

(Eq. 5.61)

onde R é a matriz de acoplamento sólido-fluido, S a matriz de compressibilidade

sólido-fluido, H a matriz de fluxo do fluido, G a matriz de fluxo dinâmico do

fluido e ( )wfδ o vetor de incremento de força do fluido.

DBD


143

A matriz de acoplamento sólido-fluido (equação 5.57) pode ser escrita na

forma vetorial,

∫Ω

Ω= duTw NBR (Eq. 5.62)

com

ww NSB = (Eq. 5.63)

onde wB é a matriz das derivadas das funções de interpolação wN que descrevem

o campo das poropressões.

De acordo com Zienkiewicz [Zienkiewicz, O.C., et al., 1999] pode-se

admitir (caso particular) que a matriz de acoplamento sólido-fluido R (equação

5.62) é similar à transposta da matriz de acoplamento sólido-fluido Q (equação

5.33), ou seja,

TQR = (Eq. 5.64)

A matriz de compressibilidade sólido-fluido (equação 5.58) pode ser escrita

na forma vetorial,

Ω= ∫Ω

dQ

wTw NNS ~1

(Eq. 5.65)

onde

sw Kn

Kn

Q−

+≡α~

~1

(Eq. 4.24)

A matriz de fluxo do fluido (equação 5.59) pode ser escrita na forma

vetorial,

∫Ω

Ω∇∇= dwTw NkNH (Eq. 5.66)

com

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂∂

=∇y

Nx

N wwTwN (Eq. 5.67)

onde k é a matriz de permeabilidade absoluta. No caso de considerar a

permeabilidade absoluta principal, a matriz de permeabilidade é dada por

DBD


144

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

y

x

kk0

0k (Eq. 5.68)

sendo xk , yk valores da permeabilidade absoluta na direção x e y ,

respectivamente. No caso de isotropia: yx kkk == .

A matriz de fluxo dinâmico do fluido (equação 5.60) pode ser escrita na

forma vetorial,

∫Ω

Ω∇= duw

Tw NkNG ρ (Eq. 5.69)

O vetor de incremento de força do fluido (equação 5.61) pode ser escrito

na forma vetorial,

( ) ( ) Γ+Ω∇−= ∫∫ΓΩ

dd Tww

TTww qNbkNfr

ρδ (Eq. 5.70)

onde

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂∂

=∇yx

T (Eq. 5.71)

sendo br

o vetor unitário de força de corpo e q o vetor de influxo através do

contorno do elemento.

De acordo com Chan [Chan, A.H.C., 1988] a matriz de fluxo dinâmico

(equação 5.71) e os termos sublinhados do vetor dos fluxos nodais (equação 5.57)

influem marginalmente nos resultados numéricos podendo ser desconsiderados da

formulação. Logo,

( ) 0fpSpHuQ =−++ www

T δδδδ && (Eq. 5.72)

As equações 5.28 e 5.72, aqui desenvolvidas em detalhe, são aquelas

apresentadas diretamente por Zienkiewicz [Zienkiewicz, O.C., et al., 1999].

(c) Acoplamento das equações simplificadas discretas

Combinando as equações 5.28 e 5.72 para descrever, a nível local

(elemento acoplado), o comportamento dinâmico acoplado sólido-fluido, tem-se

DBD


145

( )

( ) 0ff

pu

H0QK

pu

SQ00

pu

000M

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

w

s

wwT

w

δδ

δδ

δδ

δδ

&

&

&&

&&

(Eq. 5.73)

Neste ponto, um comentário sobre o amortecimento em solos deve ser

feito. Quando geo-estruturas sob carregamento dinâmico são estudadas, para

simular os efeitos de comportamento plástico de solos através de uma análise

simplificada puramente elástica, adiciona-se nas equações de equilíbrio da fase

sólida (equação 5.24) uma matriz de amortecimento viscoso, C ,

( )sw fpQuKuCuM δδδδδ =−++ &&& (Eq. 5.74)

Esta matriz de amortecimento tem significado físico, porém devido à falta

de informação sobre a natureza do amortecimento, é usual assumir, a nível do

elemento, que a mesma possa ser determinada como uma combinação linear da

matriz de massa do sólido, M , e da matriz de rigidez do sólido, K . Dita matriz é

conhecida também como matriz de amortecimento de Rayleigh, RC ,

KMC RRR βα += (Eq. 5.75)

onde Rα e Rβ são parâmetros que podem ser estimados como:

oR ξωα = (Eq. 5.76)

oR ω

ξβ = (Eq. 5.77)

sendo ξ uma razão de amortecimento típica para o solo investigado (geralmente

de 3% a 7%) e oω a freqüência fundamental do sistema não-amortecido.

Tomando em conta a matriz de amortecimento de Rayleigh (equação

5.75), a equação que descreve o comportamento dinâmico do elemento acoplado

(equação 5.73) pode então ser reescrita como

( )

( ) 0ff

pu

H0QK

pu

SQ0C

pu

000M

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

w

s

wwTR

w

δδ

δδ

δδ

δδ

&

&

&&

&&

(Eq. 5.78)


DBD


146

0fΦKΦCΦM =−++ eeee δδδδ &&& (Eq. 5.79)

sendo eM a matriz de massa do elemento acoplado; eC a matriz de

amortecimento do elemento acoplado; eK a matriz de rigidez do elemento

acoplado; efδ o vetor de incremento de força do elemento acoplado; Φδ , Φ&δ ,

Φ&&δ representam os vetores de incremento da variável generalizada a nível local e

suas velocidades e acelerações, respectivamente; ( )sfδ , ( )wfδ representam os

vetores de incremento de força a nível local do sólido e do fluido,

respectivamente; uδ , u&δ , u&&δ representam os vetores de incremento do

deslocamento do sólido a nível local e suas velocidades e acelerações,

respectivamente e wpδ , wp&δ , wp&&δ representam os vetores de incremento da

poropressão do fluido a nível local e suas velocidades e acelerações,

respectivamente.

Após o procedimento de montagem dos elementos finitos, a equação

discreta que descreve o comportamento dinâmico acoplado sólido-fluido a nível

global (sistema), tem a seguinte forma,

( )

( ) 0ff

pu

H0QK

pu

SQ0C

pu

000M

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

w

s

wwT

w

~~

~~

~~~

~~

~~~

~~~

δδ

δδ

δδ

δδ

&

&

&&

&&

(Eq. 5.80)


0fΦKΦCΦM =−++ SSSS~~~~~~~ δδδδ &&& (Eq. 5.81)

onde SM~ representa a matriz de massa do sistema; SC~ a matriz de

amortecimento do sistema; SK~ a matriz de rigidez do sistema; Sf~δ o vetor de

incremento de força do sistema; Φ~δ , Φ&~δ , Φ&&~δ representam os vetores de

incremento da variável generalizada a nível global e suas velocidades e

acelerações, respectivamente; ( )sf~δ , ( )wf~δ representam os vetores de incremento

de força a nível global do sólido e do fluido, respectivamente; u~δ , u&~δ , u~δ

representam os vetores de incremento do deslocamento do sólido a nível global e

DBD


147

suas velocidades e acelerações, respectivamente e wp~δ , wp&~δ , wp&&~δ representam os

vetores de incremento da poropressão do fluido a nível global e suas velocidades e

acelerações, respectivamente.

5.2 Discretização temporal

Após a discretização espacial das equações governantes a nível local

(elemento acoplado) e a obtenção da equação discreta a nível global (sistema),

através do procedimento de montagens dos elementos finitos, é necessário

executar-se a discretização temporal (integração temporal) da equação 5.81 para

completar a solução numérica do problema dinâmico. Nesta tese utiliza-se o

esquema de integração temporal proposto por Newmark ou método de Newmark

[Newmark, N.M., 1959]. O método de Newmark, baseado na técnica das

diferencias finitas, e descrito a seguir.

No tempo tt Δ+ , a equação que descreve o comportamento dinâmico

acoplado sólido-fluido a nível global (equação 5.74), chamada também equação

de equilíbrio dinâmico do sistema, pode ser escrita como,

0fΦKΦCΦM =−++ Δ+Δ+Δ+Δ+ ttSttSttSttS~~~~~~~ δδδδ &&& (Eq. 5.82)

onde tt Δ+Φ~δ , tt Δ+Φ&~δ e tt Δ+Φ&&~δ são vetores do incremento da variável generalizada

a nível global e suas velocidades e acelerações, respectivamente, no tempo tt Δ+ .

Pelo método de Newmark, a relação entre valores temporais sucessivos

( tΔ ) da variável generalizada a nível global, suas velocidades e acelerações

podem ser determinados por

( ) 22 ~~~21~~~ ttt tttttttt Δ−+Δ+Δ+= Δ+Δ+ ΦΦΦΦΦΦ &&&&&&& δδβδδδδ (Eq. 5.83)

( ) tt ttttttt Δ−+Δ+= Δ+Δ+ ΦΦΦΦΦ &&&&&&&& ~~~~~ δδαδδδ (Eq. 5.84)

( ) ttttttt ttΦΦΦΦΦ &&&&& ~1

21~1~~1~

2 δα

δα

δδα

δ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

Δ−−

Δ= Δ+Δ+ (Eq. 5.85)

onde α , β são constantes do método de Newmark e tΦ~δ , tΦ&~δ e tΦ&&~δ são

vetores do incremento da variável generalizada a nível global e suas velocidades e

acelerações, respectivamente, no tempo t .

DBD


148

Considerando as equações 5.83 a 5.85, a equação de equilíbrio dinâmico

do sistema (equação 5.82), pode ser escrita de forma equivalente ao equilíbrio

estático,

ttSttS Δ+Δ+ = fΦK δδ~ (Eq. 5.86)

com

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= SSSS

ttKCMK ~~1~11

2 αβ

α (Eq. 5.87)

Stt

Stt

tSttSttS

t

t

CΦΦ

MΦΦ

fff

~~121~

~~121~11

~~

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+−= Δ+Δ+

&&&

&&&

δαβδ

αβ

δα

δα

δδδ

(Eq. 5.88)

onde SK é a matriz de rigidez equivalente do sistema; ttS Δ+fδ o vetor de

incremento de força equivalente do sistema no tempo tt Δ+ e ttS Δ+f~δ , tSf~δ

representam os vetores de incremento de força do sistema no tempo tt Δ+ e t ,

respectivamente.

O vetor da variável generalizada a nível global no tempo tt Δ+ , tt Δ+Φ~ ,

pode ser obtido por

ttttt Δ+Δ+ ++= ∑ ΦΦΦΦ ~~~~0 δδδ (Eq. 5.89)

sendo 0~Φδ o vetor de incremento da variável generalizada a nível global na

condição inicial ( 0=t ), obtido previamente da analise estática, tt Δ+Φ~δ o vetor de

incremento da variável generalizada a nível global no tempo tt Δ+ , obtido da

solução da equação 5.86, e ∑ tΦ~δ a suma dos vetores de incremento da variável

generalizada a nível global previamente calculados até o tempo t .

Em seguida, o vetor de incremento da aceleração da variável generalizada

a nível global, tt Δ+Φ&&~δ , é calculado pela equação 5.85 e o vetor de incremento da

velocidade da variável generalizada a nível global, tt Δ+Φ&~δ , pelas equações 5.84.

DBD


149

Cabe mencionar que a equação 5.86 representa um sistema de equações

cujas incógnitas são os incrementos de deslocamento do sólido e as poropressões

do fluido a nível global, devendo ser utilizados diferentes valores das constantes

α e β nas equações correspondentes ao sólido e à fase fluida.

Substituindo-se nas equações 5.87 e 5.88 os escalares α e β pelos vetores T

ws ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=αα11

1α (Eq. 5.90)

T

w

w

s

s

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=αβ

αβ

2α (Eq. 5.91)

obtém-se,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

Δ+

Δ= SSSS

ttKCαMαK ~~1~1

221 (Eq. 5.92)

e

( ) Stt

Stt

tSttSttS

t

t

CΦαΦα

MΦαΦα

fff

~~~

~~21~1

~~

32

11

&&&

&&&

δδ

δδ

δδδ

Δ++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Δ+

+−= Δ+Δ+

(Eq. 5.93)

com

T

w

w

s

s

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−= 1211

21

3 αβ

αβα (Eq. 5.94)

considerando sα e sβ as constantes do método de Newmark para o

deslocamento do sólido e wα e wβ para a poropressão do fluido.

Explicitamente, a matriz de rigidez equivalente do sistema (equação 5.87)

é reescrita como

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+ΔΔ

−+Δ

+Δ=

HSQ

QKCMK ~~~

~~~~12

tt

tt

w

wT

w

w

s

s

sS

αβ

αβ

αβ

α (Eq. 5.95)

e o vetor de incremento de força equivalente do sistema (equação 5.88) por

DBD


150

( ) ( ) Twtt

sttttS

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧= Δ+Δ+Δ+ fff δδδ (Eq.5.96)

com ( ) ( ) ( )

Cuu

Muu

fff

~~12

~

~~2

1~1

~~

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−Δ++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Δ+

+−= Δ+Δ+

ts

st

s

s

ts

ts

st

stt

stt

t

t

&&&

&&&

δαβ

δαβ

δα

δα

δδδ

(Eq.5.97)

( ) ( ) ( )

Sp

Quu

fff

~~

~~12

~

~~

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−Δ++

+−= Δ+Δ+

tww

w

Tt

s

st

s

s

wt

wtt

wtt

t

&

&&&

δαβ

δαβ

δαβ

δδδ

(Eq.5.98)

Diversos pesquisadores ([Lewis, R.W.; Schrefler, B.A., 1998],

[Zienkiewicz, O.C., et al., 1999], [Pastor, M., et al., 1999], [Schrefler, B.A.,

2004]) recomendam a utilização do método de Newmark Generalizado para

integração no tempo da equação 5.82. Este método foi denominado inicialmente

método beta-m por Katona [Katona, M.G., 1985] e renomeado método de

Newmark Generalizado (GNpj ) por Katona e Zienkiewicz [Katona, M.G.;

Zienkiewicz, O.C., 1985], onde p é a ordem do esquema de integração numérica

e j a ordem da equação diferencial no tempo, sendo que jp ≥ .

Para análises dinâmicas, Katona e Zienkiewicz [Katona, M.G.;

Zienkiewicz, O.C., 1985] recomendam 22GN na integração dos deslocamentos e

11GN para as poropressões, resultando nas equações seguintes:

( ) 22

2 ~~21~

21~~~ ttt tttttttt Δ−+Δ+Δ+= Δ+Δ+ uuuuuu &&&&&&& δδβδδδδ (Eq. 5.99)

( ) tt ttttttt Δ−+Δ+= Δ+Δ+ uuuuu &&&&&&&& ~~~~~1 δδβδδδ (Eq. 5.100)

( ) ttttttt ttuuuuu &&&&& ~1

21~1~~1~

112

1

δβ

δβ

δδβ

δ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

Δ−−

Δ= Δ+Δ+ (Eq. 5.101)

onde 1β e 2β são constantes do método de Newmark Generalizado 22GN (para

o deslocamento do sólido).

DBD


151

( )twttwtwtwttw t ppppp ~~~~~1 δδβδδδ −+Δ+= Δ+Δ+

& (Eq. 5.102)

ttwttw

twttw Δ−

+= Δ+Δ+

pppp

~~~~ δδδδ && (Eq. 5.103)

onde 1β é a constante do método de Newmark Generalizado 11GN (para a

poropressão do fluido).

Observe que considerando-se 221 βββ == s e 1βαα == s nas equações

5.83 a 5.85 obtêm-se expressões similares às do método 22GN (equações 5.99 a

5.101). Da mesma forma, tomando-se 1βββ == w , 1== wαα e admitindo-se

0p =Δ+ ttw&&~δ resulta nas equações 5.83 e 5.84 expressões semelhantes às do

método 11GN (equações 5.102 e 5.103).

Logo, basta fazer a equivalência entre estes valores para transformar a

equação 5.95 em

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+ΔΔ

−+Δ

+Δ=

HSQ

QKCMK ~~1~1

~~~121~11

11

1

22

1

tt

ttT

S

ββ

ββ

β (Eq.5.104)

e as equações 5.97 e 5.98 em

( ) ( ) ( )

Cuu

Muu

fff

~~141~

21

~~21~11

~~

1

2

1

2

11

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−Δ++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Δ+

+−= Δ+Δ+

tt

tt

st

stt

stt

t

t

&&&

&&&

δββ

δββ

δβ

δβ

δδδ

(Eq. 5.105)

( ) ( ) ( )

( )Sp

Quu

fff

~~

~~141~

21

~~

1

1

2

1

2

tw

Ttt

wt

wtt

wtt

t

&

&&&

δβ

δββ

δββ

δδδ

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−Δ++

+−= Δ+Δ+

(Eq. 5.106)

DBD


152

O método de Newmark Generalizado é condicionalmente estável, devendo

satisfazer as seguintes condições para assegurar a convergência da solução

numérica:

21

12 ≥≥ ββ (Eq. 5.107)

21

1 ≥β (Eq. 5.108)

O emprego da equação 5.86, considerando as equações 5.104 e 5.96 com

5.105 e 5.106, permitem o cálculo direto das incógnitas tt Δ+u~δ e ttw Δ+p~δ . Este

procedimento, utilizado nesta tese, se diferencia daquele sugerido por Zienkiewicz

[Zienkiewicz, O.C., et al., 1999], baseado primeiramente no cálculo das

incógnitas tt Δ+u&&~δ e ttw Δ+p&~δ e, em seguida, das quantidades incrementais tt Δ+u~δ e

ttw Δ+p~δ através de integração temporal. A alternativa adotada neste trabalho é

mais eficiente em termos de execução computacional.

5.3 Linearização das equações discretas do sistema sólido-fluido

Na solução de sistema de equações não-lineares, a equação 5.86

geralmente não é satisfeita, existindo uma força desequilibrada do sistema xΨ S

que deve ser reduzida, dentro de certos limites de tolerância do erro relativo,

através de técnicas iterativas.

ttSttSS Δ+Δ+ −= fΦKxΨ δδ~ (Eq. 5.109)

com

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

==Δ+

Δ+Δ+

ttw

tttt p

uΦx ~

~~δδ

δ (Eq. 5.110)

( )

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

= w

s

S ΨΨ

xΨ (Eq. 5.111)

DBD


153

Dentre estas, o método de Newton-Raphson baseado na expansão da

equação 5.109 por série de Taylor

( )0

xx

xΨx

x

xΨ

xΨ

xΨ

=

+∂

∂+

∂

∂

+

=+

K2

2

2

1

i

iSi

iS

iS

iS

dd

(Eq. 5.112)

Considerando que na iteração 1+i a solução exata é obtida,

0xΨ =+1iS (Eq. 5.113)

e truncando-se a série de Taylor de modo a ignorar os termos de segunda ou maior

ordem (sublinhados na equação 5.112), resulta

0xx

xΨxΨ =

∂

∂+ i

iSi

S d (Eq. 5.114)

ou

iS

id xΨxJ −= (Eq. 5.115)

sendo J a matriz jacobiana definida por

x

xΨJ

∂

∂=

iS

(Eq. 5.116)

ou, no caso do problema acoplado, no passo de tempo tt Δ+

( ) ( )

( ) ( )

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

Δ+Δ+

Δ+Δ+

ttw

iw

tt

iwttw

is

tt

is

p

Ψ

u

Ψ

p

Ψ

u

Ψ

J

~~

~~

δδ

δδ (Eq. 5.117)

DBD


154

A matriz jacobiana pode ser calculada pelas equações 5.117 e 5.109 como

( )

i

S

i

ttSi

tt

i

Si

tt

iSi

tt

i

K

fΦKΦ

ΨΦ

J

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

∂

∂=

∂

∂=

Δ+Δ+

Δ+

Δ+

δδδ

δ

~~

~

(Eq. 5.118)

sendo

iS

iS xΨΨ = (Eq. 5.119)

ou (da equação 5.104)

i

T

i

tt

tt

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+ΔΔ

−+Δ

+Δ=

HSQ

QKCMJ ~~1~1

~~~121~11

11

1

22

1

ββ

ββ

β (Eq. 5.120)

O sistema de equações fica finalmente expresso da seguinte forma,

( )( )

( )

( )

i

w

si

ttw

tti

dd

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+

Δ+

Δ+

ΨΨ

pu

J1

~~

δδ

(Eq. 5.121)

ou

( ) iS

i

tti d ΨΦJ −=

+

Δ+

1~δ (Eq. 5.122)

onde ( ) 1~ +

Δ+

i

ttd Φδ é a solução da equação 5.122.

Observe-se que a matriz jacobiana J não é simétrica, devendo sua

segunda coluna ser multiplicada por tΔ− 1β para obter-se

( )( )

( )

( )

i

w

s

i

ttw

tt

i

T

t

dd

ttt

ttt

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

Δ−−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΔΔ−

Δ

Δ+

Δ+

Δ+

Δ+

Δ+

ΨΨ

pu

HSQ

QKCM

1

~~

~~11~1

~1~~121~11

1

1

111

11

22

1

β

δδ

βββ

βββ

β

(Eq.

5.123)

DBD


155

O vetor iSΨ é calculado da equação 5.109 por

( )

( )

( )

( )

i

wtt

stt

i

ttw

tti

S

i

w

s

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

Δ+

Δ+

Δ+

Δ+

f

fpu

KΨΨ

δ

δδδ~~

(Eq. 5.124)

onde

( ) ( )

ttwtt

tttt

stt

is

tt

Δ+Δ+

Δ+Δ+Δ+

−+

Δ+

Δ+−=

pQuP

uCuMfΨ

~~~~

~~121~~11

1

22

1

δδ

δββ

δβ

δ (Eq. 5.125)

( ) ( )

ttw

ttwttT

wtt

iw

tt

Δ+

Δ+Δ+Δ+

+

Δ+

Δ+−=

pH

pSuQfΨ

~~

~~1~~111

δ

δβδβδ (Eq. 5.126)

e

ttTu

tt d uPσBuP ~~~~ δδδ +⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Ω= ∑ ∫

ΩΔ+ (Eq. 5.127)

com

tu

tt uBDσ δδ = (Eq. 5.128)

onde o símbolo [ ]∑ representa o procedimento de montagem dos elementos

finitos.

Em cada iteração o vetor de incremento da variável generalizada a nível

global é acumulada,

( )( )

11

~~

~~

~~ +

Δ+

Δ+

Δ+

Δ+

+

Δ+

Δ+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

i

ttw

tti

ttw

tti

ttw

tt

dd

pu

pu

pu

δδ

δδ

δδ

(Eq. 5.129)

ou,

( ) 11 ~~~ +

Δ+Δ+

+

Δ+ +=i

tt

i

tt

i

tt d ΦΦΦ δδδ (Eq. 5.130)

Finalmente, a solução na iteração 1+n é obtida como

( )( )∑

= Δ+

Δ+

Δ+

Δ+

+

Δ+

Δ+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ n

j

j

ttw

tt

ttw

ttn

ttw

tt

dd

1

01

~~

~~

~~

pu

pu

pu

δδ

δδ

δδ

(Eq. 5.131)

ou

DBD


156

( )∑=

Δ+Δ+

+

Δ+ +=n

j

j

tttt

n

tt d1

01 ~~~ ΦΦΦ δδδ (Eq. 5.132)

admitindo-se o seguinte critério de convergência para a variável generalizada a

nível global tt Δ+Φ~δ ,

( )tolerância~

~

1≤

+

Δ+

Δ+

i

tt

i

ttd

Φ

Φ

δ

δ (Eq. 5.133)

Observe-se que o termo sublinhado da equação 5.132 representa a solução

da equação 5.86.

Na solução numérica do sistema de equações não-lineares pelo método de

Newton-Raphson (equação 5.122) naturalmente devem ser impostas as condições

iniciais ( 0=t ) e as condições de contorno do problema específico.

DBD


6 Exemplos

6.1 Características gerais do programa computacional

A formulação do MEF discutida nos capítulos anteriores foi implementada

em um programa computacional (anexo C) para análises dinâmicas 2D (estado

plano de deformação), elaborado nesta pesquisa em Fortran 90. Para geração de

malhas dos elementos finitos é utilizado o programa gráfico iterativo MTOOL

desenvolvido na PUC-Rio.

A discretização espacial tem como base elementos finitos isoparamétricos

triangulares e quadrilaterais enquanto que a discretização temporal é feita com o

método de Newmark Generalizado considerando constantes 5,01 =β e 55,02 =β

para a fase sólida e 50,01 =β para a fase fluida, atendendo às condições de

estabilidade condicional do algoritmo ( 50,012 ≥≥ ββ e 50,01 ≥β ) propostas por

Katona e Zienkiewicz [Katona, M.G.; Zienkiewicz, O.C., 1985]. Adota-se

também a formulação consistente para a matriz de massa.

As condições iniciais da análise dinâmica, representadas pela análise

estática ( 0=t ), são fornecidas ao programa através de um arquivo de entrada

(deformações, poropressões e tensões iniciais). O modelo constitutivo utilizado

nesta análise corresponde ao modelo P-Z, proposto por Pastor [Pastor, M., et al.,

1990], baseado na teoria da plasticidade generalizada. A solução não-linear

aproximada, em cada incremento de tempo, é obtida com o método de Newton-

Raphson e o sistema de equações é resolvido pelo tradicional método de

eliminação de Gauss.

O carregamento externo pode ser dado na forma de: (1) condição de

contorno de deslocamento ou poropressão, (2) força nodal ou influxo e (3)

carregamento distribuído sob a fase sólida. Estes carregamentos podem ser dados

também em função do tempo. O movimento sísmico, tanto horizontal quanto

vertical, é pré-definido como aceleração de contorno.

DBD


158

As equações de equilíbrio dinâmico do sistema acoplado sólido-fluido

(equação 5.80), apresentadas no capítulo 5, foram ainda simplificadas devido a:

a) hipótese de carregamento não-drenado, usual no estudo do comportamento

sísmico de solos saturados, com possível exceção para o caso de

pedregulhos, implicando que a parcela do influxo q (equação 5.70) seja

admitido nulo;

b) matriz de amortecimento de Rayleigh, RC , (equação 5.75) será ignorada,

tendo em vista que, o amortecimento do material sob carregamento cíclico

será admitido representado pelo modelo constitutivo P-Z.

Neste capítulo são apresentadas inicialmente as retroanálises de ensaios de

laboratório utilizando o modelo P-Z, tanto sobre carregamentos monotônicos

quanto cíclicos. Três exemplos foram analisados utilizando o programa

desenvolvido nesta pesquisa. O primeiro exemplo avalia o comportamento de uma

coluna de solo, tanto sob condição seca quanto saturada. O segundo exemplo

estuda o comportamento dinâmico da barragem de San Fernando enquanto que o

último analisa o comportamento de um talude submerso sobre carregamento

dinâmico.

6.2 Retroanálises de ensaios de laboratório em areias

6.2.1 – Parâmetros do modelo Pastor-Zienkiewicz

Para determinação dos parâmetros1 do modelo P-Z, Pastor e colaboradores

[Pastor, M., et al., 1990] recomendam os seguintes critérios:

a) parâmetro epoK - valor do módulo de deformação volumétrica efetiva,

K ′ , (equação 6.1) quando a tensão efetiva média, p′ , for igual à tensão

efetiva média inicial, 0p′ ,

1 Para mais detalhes da estimativa dos 11 parâmetros do modelo P-Z, o leitor

interessado pode consultar em Zienkiewicz [Zienkiewicz, O.C., et al., 1999].

DBD


159

KK epo ′= (Eq. 6.1)

b) parâmetro eqoK - três vezes o valor do módulo de cisalhamento, G ,

(equação 6.2) quando a tensão efetiva média, p′ , for igual à tensão

efetiva média inicial, 0p′ ,

GKeqo 3= (Eq. 6.2)

c) parâmetro LoH (adimensional) - módulo plástico do primeiro

carregamento;

d) parâmetro α (adimensional) - inclinação da reta formada com os valores

de dilatância, d , e da razão de tensões, η , na SSL . O valor geralmente

varia entre 0,2 e 0,8, sendo 45,0=α frequentemente utilizado;

e) parâmetro gM (adimensional) - obtido através de ensaios triaxiais não-

drenados observando-se a mudança de fase entre os comportamentos

contrativo e dilatante, ou a partir do ângulo de atrito efetivo mobilizado

sob grandes deformações, ou em função do ângulo de atrito na condição

residual em ensaios triaxiais drenados, ou através das equações 3.80 e

3.84;

f) parâmetro fM - para areias muito densas com densidade relativa, rD ,

estimado através da seguinte correlação:

grf MDM = (Eq. 6.3)

g) parâmetro 0β (adimensional) - usualmente considera-se 4,2 num

intervalo de valores recomendados entre 1,5 e 8,0;

h) parâmetro 1β (adimensional)- usualmente considera-se 0,2 num intervalo

de valores recomendados entre 0,1 e 0,6;

i) parâmetro 0UH (unidade de tensão) - módulo plástico no primeiro

descarregamento;

j) parâmetro Uγ (adimensional) – obtido por ajuste entre os parâmetros

0UH , gM e η , em etapa de descarregamento, conforme equações 3.108

ou 3.109;

k) parâmetro: γ (adimensional) – obtido através de procedimento de

tentativa e erro na equação 3.112.

DBD


160

6.2.2 Retroanálises de ensaios triaxiais monotônicos em areias

Este exemplo ilustra a potencialidade do modelo P-Z na simulação do

comportamento de areias sob condições não-drenados em ensaios triaxiais

monotônicos. No caso da aplicação em ensaios monotônicos, o modelo P-Z

precisa unicamente de 7 parâmetros. Os valores destes parâmetros, para as

diferentes retroanálises, são listados na tabela 6.1 e correspondem aos resultados

de laboratório extraídos da literatura [Castro, G., 1969], referenciados por Pastor

[Pastor, M., et al., 1990]. As figuras 6.1 a 6.3 mostram a comparação dos valores

experimentais (pontos) com as retroanálises executadas (traço continuo) com

auxilio do modelo P-Z.

Tabela 6.1 - Parâmetros do modelo P-Z utilizados nas retroanálises dos ensaios de laboratório monotônicos em areias [Castro, G., 1969].

Ensaio rD (%)

epoK ( kPa )

eqoK ( kPa )

gM fM α 0β 1β LoH

(a) 29 35000 52500 1,30 0,34 0,45 4,2 0,2 350 (b) 44 35000 52500 1,14 0,48 0,45 4,2 0,2 350 (c) 47 35000 52500 1,08 0,57 0,45 4,2 0,2 350 (d) 66 35000 52500 0,94 0,70 0,45 4,2 0,2 350

q ( )kPa

p′ ( )kPa

Figura 6.1 - Previsão da curva tensão efetiva média - tensão de desvio nos ensaios triaxiais monotônicos em areias [Castro, G., 1969] com emprego do modelo P-Z.

DBD


161

q ( )kPa

qε ( )%

Figura 6.2 - Previsão da curva deformação cisalhante - tensão de desvio nos ensaios triaxiais monotônicos em areias [Castro, G., 1969] com emprego do modelo P-Z.

wp ( )kPa

qε ( )%

Figura 6.3 - Previsão da curva deformação cisalhante - poropressão nos ensaios triaxiais monotônicos em areias [Castro, G., 1969] com emprego do modelo P-Z.

A figura 6.1 apresenta os resultados da previsão da tensão efetiva média e

tensão de desvio, observando-se que este modelo simula satisfatoriamente os

resultados de laboratório. Uma característica da modelagem a ser notada, é sua

habilidade em simular comportamentos de amolecimento, inclusive representando

os fenômenos de fluxo por liquefação (solo a) e mobilidade cíclica (solos b, c, d).

A figura 6.2 mostra o resultado da previsão da tensão de desvio, percebendo-se,

para o solo d, um leve aumento nos seus valores entanto que para os outros

materiais (solo a,b,c), apresentam-se valores coincidentes com as observações

experimentais. A figura 6.3 ilustra o resultado da previsão da poropressão. É

DBD


162

possível observar, para o solo a, um leve aumento nos seus valores entanto que

para os outros materiais apresentam concordância com os resultados de

laboratório.

Tendo em vista o bom desempenho do modelo P-Z, são apresentadas a

seguir as figuras 6.4 a 6.7 as quais destacam alguns pontos particulares da

influência dos parâmetros na previsão dos resultados (ensaio c da tabela 6.1).

Cabe ressaltar que, estas características servem como indicativo para uma melhor

tomada de decisões no caso de assumir parâmetros através da técnica de tentativa

e erro.

q ( )kPa

p′ ( )kPa

Figura 6.4 - Influência do parâmetro α na representação da trajetória de tensão efetiva qp :′ nos ensaios monotônicos com emprego do modelo P-Z.

q ( )kPa

p′ ( )kPa

Figura 6.5 - Influência do parâmetro 0β na representação da trajetória de tensão efetiva

qp :′ no ensaio monotônico com emprego do modelo P-Z.

DBD


163

q ( )kPa

p′ ( )kPa

Figura 6.6 - Influência do parâmetro 1β na representação da trajetória de tensão efetiva qp :′ nos ensaios monotônicos com emprego do modelo P-Z.

q ( )kPa

p′ ( )kPa

Figura 6.7 - Influência do parâmetro 0LH na representação da trajetória de tensão

efetiva qp :′ nos ensaios monotônicos com emprego do modelo P-Z.

Em vista que o modelo P-Z considera a influencia da razão da tensão

efetiva média com a tensão de confinamento efetiva (equação 3.118) nos módulos

elásticos, a seguir é apresentada a influência exponencial ( 0=n ;1; 2 ;3 ; 4 ;5 )

desta razão de tensões, ( )npp 0′′ , na previsão dos resultados (ensaio c da tabela

6.1). Esta modificação é feita através da substituição dos termos da matriz

constitutiva elástica (equação 3.118) pelas seguintes equações:

DBD


164

n

epoep p

pKD ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′′

=0

ˆ (Eq. 6.4)

n

eqoeq p

pKD ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′′

=0

ˆ (Eq. 6.5)

Na figura 6.8 apresenta-se a influência do expoente, n , na resposta em

ensaios monotônicos (ensaio c da tabela 6.1). Observe-se que para 1=n o

resultado corresponde ao modelo P-Z original, percebendo-se que para 1>n , em

comparação ao modelo P-Z original, a resposta do material tende a ser mais

rígida, ocorrendo o contrario para 1<n . A inclusão deste expoente pode

contribuir a um melhor ajuste das curvas obtidas, sendo seu valor determinado

unicamente pelo método de tentativa e erro.

q ( )kPa

p′ ( )kPa

Figura 6.8 - Influência exponencial ( 0=n ;1; 2 ; 3 ; 4 ;5 ) da razão da tensão efetiva média com a tensão de confinamento efetiva na representação da trajetória de tensão efetiva qp :′ nos ensaios monotônicos com emprego do modelo P-Z modificado. .

Nesta tese é feita uma modificação aos parâmetros elásticos do modelo P-Z,

considerando estas dependentes da tensão de confinamento efetiva através das

inclusões das equações 6.6 e 6.7 no modelo original. A efetividade destas

equações foi verificada por Cárdenas [Cárdenas, J.L., 2004] na previsão de

respostas para tensões de confinamento variáveis. Através desta adaptação, o

modelo P-Z modificado torna-se hábil para representar o comportamento sob

distintas condições de confinamento e não apenas de valores constantes como no

modelo original.

DBD


165

r

pPGG

r

refr

ασσ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′= 33 (Eq. 6.6)

s

pPKK

s

refs

βσσ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′= 33 (Eq. 6.7)

onde refP é uma pressão de referência, geralmente a pressão atmosférica, atmP , e

rG , r , rα , sK , s , sβ correspondem a parâmetros2 deste modelo.

Ao considerar as equações 6.6 e 6.7, os parâmetros elásticos do modelo P-Z

são modificados para:

r

pPGK

r

refreqo

ασσ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡′′

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ′= 333 (Eq. 6.8)

βσσ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′=

pPKK

s

refsepo

33 (Eq. 6.9)

Para avaliar esta modificação foram realizadas comparações com o modelo

original. Os dados da curva experimental foram extraídos da literatura [Ishihara,

K., 1993] e referenciado por Cárdenas [Cárdenas, J.L., 2004]. A tabela 6.2. indica

os parâmetros do modelo P-Z enquanto que a tabela 6.3 lista os coeficientes

utilizados para definir os módulos de cisalhamento e volumétricos dependentes da

tensão de confinamento efetiva.

Tabela 6.2 - Parâmetros do modelo P-Z utilizados nas retroanálises dos ensaios de laboratório monotônicos em areias [Ishihara, K., 1993].

Ensaio epoK ( kPa )

eqoK ( kPa )

gM fM α 0β 1β LoH

(a) 10000 57000 1,25 0,38 0,25 4,5 0,6 300 (b) 20000 58500 1,25 0,38 0,25 4,5 0,6 300 (c) 33500 60000 1,25 0,38 0,25 4,5 0,6 300

2 Para mais detalhes da estimativa destes parâmetros, o leitor interessado pode

consultar em Cárdenas [Cárdenas, J.L., 2004].

DBD


166

Tabela 6.3 - Parâmetros utilizados para obtenção do módulo de cisalhamento e do modulo volumétrico dependentes da tensão de cisalhamento.

rG ( )kPa r rα sK

( )kPa s sβ refP

( )MPa 17076,1 0,05 0,75 800,02 1,09 0,75 0,101

q ( )MPa

p′ ( )MPa

Figura 6.9 - Previsão da curva tensão efetiva média - tensão de desvio nos ensaios triaxiais monotônicos em areias [Ishihara, K., 1993] com emprego do modelo P-Z.

q ( )MPa

p′ ( )MPa

Figura 6.10 - Previsão da curva tensão efetiva média - tensão de desvio nos ensaios triaxiais monotônicos em areias [Ishihara, K., 1993] com emprego do modelo P-Z modificado.

DBD


167

A figura 6.9 apresenta os resultados em termos da previsão da trajetória da

tensão efetiva através do modelo P-Z mantendo suas características originais,

enquanto que a figura 6.10 apresenta resultados utilizando o modelo P-Z

modificado.

Embora se tenha empregado os mesmos parâmetros, as previsões do

modelo modificado apresentam uma melhor aproximação aos resultados de

laboratório quando comparados com os resultados obtidos pelo modelo original.

Através da modificação sugerida nesta tese, o modelo torna-se hábil em

representar o comportamento para diferentes estados de tensão confinante efetiva

e não apenas valores constantes como na proposta original. Neste sentido, a figura

6.11 mostra a previsão das trajetórias de tensão efetiva para distintos valores de

tensões de confinamento ( 5,03 =′σ ; 5,1 ; 5,2 ; 5,3 MPa ).

q ( )MPa

p′ ( )MPa

Figura 6.11 - Previsão da trajetória de tensões efetivas para distintos valores de tensões de confinamento ( 5,03 =′σ ; 5,1 ; 5,2 ; 5,3 MPa ) nos ensaios triaxiais monotônicos em areias [Ishihara, K., 1993] com emprego do modelo P-Z modificado.

6.2.3 Retroanálises de ensaios de cisalhamento cíclico em areias

Este exemplo ilustra a potencialidade do modelo P-Z na simulação do

comportamento de areias sob carregamento não-drenado em ensaios de

cisalhamento cíclico. Os dados da curva experimental, apresentados nas figuras

6.12 a 6.14, foram extraídos da literatura [Byrne, P.M., 2005]. O material

DBD


168

analisado corresponde a uma areia com densidade relativa, rD , de 44,0 , e foi

testado sob tensão vertical efetiva inicial, 0vσ ′ , de kPa200 , e amplitude da tensão

cisalhante cíclica 012,0 vσ ′ (ou com 12,0=CSR ). De acordo com a figura 6.12,

passados os primeiros 4 ciclos de carregamento, o comportamento dinâmico da

amostra apresentou-se totalmente contrativo seguido de uma gradual perda da

tensão efetiva. Os valores dos parâmetros do modelo P-Z para a retroanálise

estarão listados na tabela 6.4.

Tabela 6.4 - Parâmetros do modelo P-Z utilizados nas retroanálises dos ensaios de laboratório cíclicos em areias [Byrne, P.M, 2005].

epoK ( kPa )

eqoK ( kPa )

gM fM α 0β 1β LoH UoH ( kPa ) Uγ γ

14000 20000 0,42 0,15 0,45 8,0 0,3 26 550 1,9 1,8

q ( )kPa

p′ ( )kPa

Figura 6.12 - Previsão da curva tensão efetiva média-tensão de desvio nos ensaios triaxiais cíclicos de areias com emprego do modelo P-Z.

A figura 6.12 apresenta os resultados da previsão da tensão efetiva média e

tensão de desvio sob carregamento dinâmico, observa-se que este modelo simula

satisfatoriamente os ciclos de carga necessários para a ocorrência da ruptura.

Embora não exista uma concordância com os valores da tensão de desvio para

cada tensão efetiva média, o modelo permite previsão aproximada do

comportamento cíclico dada sua fácil implementação computacional.

DBD


169

Neste ponto cabe ressaltar a dificuldade da determinação dos parâmetros

do modelo, sendo que, para pequenas variações destes, a resposta obtida apresenta

características distintas.

q ( )kPa

qε ( )%

Figura 6.13 - Previsão da curva deformação cisalhante-tensão de desvio nos ensaios triaxiais cíclicos de areias com emprego do modelo P-Z.

wp ( )kPa

qε ( )%

Figura 6.14 - Previsão da curva deformação cisalhante-poropressão nos ensaios triaxiais cíclicos de areias com emprego do modelo P-Z.

DBD


170

As figuras 6.13 e 6.14 mostram o resultado da previsão tanto da tensão de

desvio dinâmica como da poropressão. Observa-se que, inicialmente para os

quatro primeiros ciclos existe uma boa representação das respostas, observando-se

no último ciclo uma discordância com os resultados de laboratório.

6.3 Exemplo 1 – coluna de solo submetida à excitação cíclica na base

6.3.1 Solo seco

Neste exemplo considera-se uma coluna de solo seco, este admitido como

material linearmente elástico, submetida a uma excitação em sua base, conforme

figura 6.15(a). O principal propósito é verificar, através deste exemplo, que

possui solução analítica, o funcionamento do programa computacional em relação

a rotinas e algoritmos empregados para a análise dinâmica, como o esquema de

integração no tempo.

(a) (b) Figura 6.15 - (a) Coluna de solo seco submetida a carregamento sísmico em sua base; (b) Malha de elementos finitos Q4 utilizada na análise numérica.

ρ,G

taa =

x

A

B

y

H

C tyux ,

DBD


171

A aceleração horizontal na base, a , é descrita pela função temporal

( )tsenataa ω0== (Eq. 6.10)

onde 0a representa a amplitude da aceleração e ω a freqüência da aceleração.

A solução analítica para este problema é dada pela expressão [Cuéllar, V.,

1974],

( )( )

( )

( ) ( )( )

∑∞

=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−⋅

−

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−

⋅

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−

−

=

1

22

222

20

212

sin12

2sin

212

sin

412

124

,

n

s

s

s

x

HtnV

nVHt

Hyn

HnV

nA

tyu

ππ

ωω

π

ωππ

ω

(Eq. 6.11)

com

ρGVs = (Eq. 6.12) 2

00 ωaA = (Eq. 6.13)

onde sV é a velocidade de propagação de onda cisalhante, 0A representa a

amplitude do deslocamento na base, G o módulo de cisalhamento, ρ a massa

especifica do solo, H a altura da coluna de solo e xu deslocamento horizontal.

Na modelagem numérica da coluna considerou-se a malha indicada na

figura 6.15(b), composta por elementos Q4 com 2,5m de altura. Valores

numéricos dos parâmetros necessários para a execução da análise dinâmica deste

exemplo estão sumarizados na tabela 6.5.

Tabela 6.5 - Parâmetros do material, da aceleração sísmica e da geometria da coluna de solo seco.

ρ ( )3mkg

G ( )kPa

0a ( )2sm

ω ( )rad

H ( )m

2000 20000 3 π2 50

A tabela 6.6 e as figuras 6.16 e 6.17 apresentam a comparação dos

resultados numéricos com a solução analítica (equação 6.11), obtidos para os

pontos A (topo da coluna) e B (na meia altura).

DBD


172

Tabela 6.6 - Comparação dos deslocamentos numéricos máximos com a solução analítica.

Deslocamentos máximos ( )m Ponto B Ponto A Tipo de solução

( )+ ( )− ( )+ ( )− Analítica 0,227 0,227 0,360 0,360 Numérica 0,232 0,218 0,360 0,351 Erro relativo ( )% 2,20 3,96 0,00 2,50

Figura 6.16 - Comparação entre respostas numérica e analítica para deslocamentos do ponto B.

Figura 6.17 - Comparação entre respostas numérica e analítica para deslocamentos do ponto A.

Embora a malha de elementos finitos não seja muito refinada, isto é, o

tamanho do elemento finito é 2,5m, há boa concordância entre ambos os tipos de

resultados, sugerindo que o programa computacional é confiável, ao menos para

as condições simplificadas envolvidas neste exemplo (solo seco, material

linearmente elástico). Por outro lado, o erro relativo indicado na tabela 6.6 em

DBD


173

termos do deslocamento deve-se ao tamanho do elemento finito utilizado neste

exemplo.

Nos apêndices A e B são apresentados resultados gráficos em termos da

historia de deslocamentos a cada profundidade da coluna, percebendo-se uma boa

similitude dos resultados numéricos obtidos pela solução analítica (figura A.1)

quando são comparados com os resultados pelo FEM (figura B.1). Com o objetivo

de visualizar as características da variação temporal das velocidades e das

acelerações, são apresentados no anexo B (figuras B.2 e B.3) a historia das

velocidades e das acelerações obtidas pelo MEF.

6.3.2 – Solo saturado

a) Análise numérica pelo MEF

Neste caso considerou-se a presença de lençol freático situado a mH w 5=

abaixo do topo da coluna (ponto A), conforme geometria indicada na figura 6.18.

Os parâmetros do material estão indicados nas tabelas 6.7 e 6.8, esta última

contendo informações requeridas pelo modelo P-Z. O material acima da linha

freática é considerado seco, neste caso as propriedades deste material são listadas

na tabela 6.5.

Neste exemplo o valor do módulo de cisalhamento do solo, G , foi

considerado constante nos 10 primeiros metros de profundidade ( MPaG 2,101= )

e, em seguida admitido variar com a tensão de confinamento efetiva através da

relação indicada na equação 6.6 ([Gutierrez, M.; Verdugo, R., 1995] e [Cárdenas,

J.L., et al., 2004]). Nesta análise, o modulo volumétrico considerado corresponde

ao utilizado pelo modelo P-Z na sua versão original (equação 3.116). Os valores

dos parâmetros utilizados para obtenção do módulo de cisalhamento dependente

da tensão de confinamento efetiva (equação 6.6) estão listados na tabela 6.9.

DBD


174

(a) (b)

Figura 6.18 - (a) Coluna de solo, com presença do lençol freático, submetida a carregamento (aceleração) sísmico em sua base; (b) Malha de elementos finitos Q4 utilizada na análise numérica

Tabela 6.7 - Parâmetros do material da coluna de solo saturado.

ν k

( )sm510− ρ

( )3mkg α~

0,4 6,5 2000 1

Tabela 6.8 - Parâmetros do modelo P-Z da coluna de solo saturado.

fg MM = α 0β 1β LoH 0UH ( )kPa Uγ γ

0,75 0,45 2,25 0,45 16000 4000 2,0 2,0 Tabela 6.9 - Parâmetros utilizados para obtenção do módulo de cisalhamento dependente da tensão de confinamento efetiva.

rG ( )kPa r refP

( )Pa rα

78300 0,36 101 0,345

νρ ,,, kG

taa =

x

A

B

y C

wH

H

DBD


175

Valores das constantes da tabela 6.9 foram calculados comparando-se

resultados obtidos com a equação 6.6 e a correlação proposta por Seed, H.B. e

Idriss [Seed, H.B.; Idriss, I.M., 1970] para areias e pedregulhos (equação 6.14).

mKG σ ′= max28,218 (Eq. 6.14)

com

vmK

σσ ′+=′

321 0 (Eq. 6.15)

onde mσ ′ é a tensão efetiva média, vσ ′ a tensão efetiva vertical, 0K o coeficiente

de empuxo no repouso e max2K um coeficiente cisalhamento máximo que depende

do tipo de solo. Valor de 30max2 =K refere-se a areias muito fofas e 70max2 =K

para areias muito densas; no caso de pedregulhos, estes valores estão situados no

intervalo entre 80 a 180. Neste exemplo considerou-se 45max2 =K e 67,00 =K .

As figuras 6.19 e 6.20 apresentam a variação temporal dos incrementos de

poropressão, wpδ , com a profundidade, considerando-se amplitudes de aceleração

na base ga r35,00 = e ga r40,00 = . Nota-se que os incrementos de poropressão

aumentam com a profundidade e com o tempo de aplicação do carregamento

senoidal.

z ( )m

wpδ ( )kPa

Figura 6.19 - Variação do incremento de poropressão com a profundidade e tempo para ga r35.00 = .

DBD


176

z ( )m

wpδ ( )kPa

Figura 6.20 - Variação do incremento de poropressão com a profundidade e tempo para ga r40.00 = .

A figura 6.21 ilustra a variação temporal dos incrementos de poropressão

determinados em ponto situado na profundidade de 30m para diferentes

amplitudes de aceleração da base ( ga r10.00 = , gv20.0 , gr30.0 e gr40.0 ). Estes

incrementos crescem com o tempo de aplicação do carregamento senoidal,

oscilando mais fortemente quanto maior for a amplitude da aceleração.

A figura 6.22 apresenta a variação das tensões efetivas com a profundidade

no tempo st 10= , notando-se o início da liquefação do solo na profundidade

mz 20= para a situação ga r40,00 = , quando a tensão de confinamento efetiva

diminui para um valor próximo a zero ( kPac 87,33 =′σ ).

wpδ ( )kPa

t ( )s

Figura 6.21 - Variação do incremento de poropressão com o tempo para vários valores da amplitude da aceleração aplicada na base.

DBD


177

z ( )m

c3σ ′ ( )kPa

Figura 6.22 - Curva da variação da tensão de confinamento efetiva com a profundidade no tempo t = 10s para ga r35,00 = e gr40,0 .

Com o propósito de melhor entender as características da liquefação neste

exemplo, a figura 6.23 apresenta as trajetórias de tensão e a curva tensão-

deformação nesta condição (figura 6.22). O gráfico à esquerda representa as

trajetórias de tensões efetivas no plano triaxial qp :′ , onde se constata que ao

final do carregamento ( st 10= ) a tensão de confinamento efetiva é mínima,

reduzindo-se praticamente a zero, enquanto que à direita observam-se as curvas

tensão-deformação durante o carregamento cíclico. No final do carregamento, a

rigidez do material (representado pela inclinação da tangente à curva

aproximando-se da horizontal) apresenta perda quase total.

DBD


178

q

( )kPa

c3σ ′ ( )kPa (b)

q

( )kPa

qε ( )% (a)

Figura 6.23 - (a) Trajetória de tensão no plano triaxial para ga r40,0= , t = 10s, z = 20m, (b) Curvas tensão-deformação durante carregamento cíclico.

a) Análise do potencial de liquefação por método empírico

Com o objetivo de verificar os resultados numéricos obtidos, o potencial de

ocorrência de liquefação foi estimada com base em um método empírico, bastante

utilizado na prática, proposto por Seed, H.B. e Idriss [Seed, H.B.; Idriss, I.M.,

1971] e posteriormente aperfeiçoado ([Youd, T.L., et al., 2001], [Seed, R.B., et

al., 2003]). No anexo A apresenta-se a descrição da metodologia para a avaliação

do potencial de liquefação em solos saturados.

DBD


179

O valor da aceleração máxima utilizado nos cálculos foi retirado da análise

numérica precedente ( ga r6,0max = ). O valor do número de golpes do ensaio SPT

foi considerado constante com a profundidade ( ) 30601 =N , compatível com o tipo

de solo considerado na análise pelo MEF. O fator de correção devido à tensão

vertical efetiva foi admitido 1=σK (para tensão efetiva inicial menor do que

psf2000 ).

As tabelas 6.10 a 6.12 listam os dados necessários para cálculo do fator de

segurança pelo método empírico de Seed, H.B. e Idriss [Seed, H.B.; Idriss, I.M.,

1971] considerando 3 valores para magnitude do sismo ( 43

W 6M = , 217 e 2

18 ).

Tabela 6.10 - Cálculo do fator de segurança contra a liquefação para 43

W 6M = .

z ( )m

vσ ( )kPa

0vσ ′ ( )kPa dr CSR CRR FS

5 98,10 98,10 0,925 0,361 0,660 1,830 10 196,20 147,15 0,850 0,442 0,660 1,493 15 294,30 196,20 0,775 0,453 0,409 0,903 20 392,40 245,25 0,700 0,437 0,370 0,846 25 490,50 294,30 0,625 0,406 0,343 0,845 30 588,60 343,35 0,550 0,368 0,317 0,862 35 686,70 392,40 0,475 0,324 0,304 0,936 40 784,80 441,45 0,400 0,277 0,290 1,047 45 882,90 490,50 0,325 0,228 0,264 1,157 50 981,00 539,55 0,250 0,177 0,238 1,340


W 7M = .

z ( )m

vσ ( )kPa


5 98,10 98,10 0,925 0,361 0,500 1,386 10 196,20 147,15 0,850 0,442 0,500 1,131 15 294,30 196,20 0,775 0,453 0,310 0,684 20 392,40 245,25 0,700 0,437 0,280 0,641 25 490,50 294,30 0,625 0,406 0,260 0,640 30 588,60 343,35 0,550 0,368 0,240 0,653 35 686,70 392,40 0,475 0,324 0,230 0,709 40 784,80 441,45 0,400 0,277 0,220 0,793 45 882,90 490,50 0,325 0,228 0,200 0,877 50 981,00 539,55 0,250 0,177 0,180 1,015

DBD


180


W 8M = .

z ( )m

vσ ( )kPa


5 98,10 98,10 0,925 0,361 0,445 1,234 10 196,20 147,15 0,850 0,442 0,445 1,007 15 294,30 196,20 0,775 0,453 0,276 0,609 20 392,40 245,25 0,700 0,437 0,249 0,571 25 490,50 294,30 0,625 0,406 0,231 0,570 30 588,60 343,35 0,550 0,368 0,214 0,581 35 686,70 392,40 0,475 0,324 0,205 0,631 40 784,80 441,45 0,400 0,277 0,196 0,706 45 882,90 490,50 0,325 0,228 0,178 0,780 50 981,00 539,55 0,250 0,177 0,160 0,904

Com nos resultados listados nas tabelas 6.10 a 6.12, foi possível traçar os

gráficos da distribuição com a profundidade do fator de segurança contra

liquefação (figura 6.24), observando-se a tendência de ocorrência de liquefação a

profundidades entre 15m a 20m.

Figura 6.24 - Variação com a profundidade do fator de segurança contra a liquefação FS.

Com base dos resultados apresentados na figura 6.22 e 6.24 nota-se uma

concordância, em termos de profundidade, da ocorrência da liquefação. No caso

da análise numérica pelo FEM, a previsão da ocorrência da liquefação é

aproximadamente a profundidade m20 enquanto que mediante o método

empírico, a liquefação ocorre ( 1<FS ) entre 15m a 20m de profundidade.

DBD


181

6.4 Exemplo 2 - Análise dinâmica da barragem de San Fernando, EUA

O terceiro exemplo estudado refere-se à análise dinâmica da barragem de

San Fernando (Califórnia, EUA), cuja crista foi rebaixada em aproximadamente 9

metros (30 pés) em consequência do deslizamento do talude de montante, após

terremoto ocorrido em 1971. Na época, a barragem de San Fernando era

responsável por 80% do abastecimento d´água da cidade de Los Angeles. As

respostas numéricas obtidas nesta tese, em termos de incrementos de

poropressões, são comparadas com resultados publicados na literatura [Khoei,

A.H., et al., 2004].

Uma característica importante da ruptura acontecida nesta barragem é que o

processo de liquefação ocorreu após o término da excitação sísmica, razão pela

qual o registro sísmico foi preenchido adicionalmente com valores nulos para

acompanhar o comportamento da geo-estrutura no período pós-sismo.

A figura 6.25 ilustra o registro das acelerações sísmicas, aplicado na base da

malha de elementos finitos, com duração total de 100s, embora o terremoto na

realidade tenha ocorrido durante 40 segundos. As tabelas 6.13 e 6.14 listam os

parâmetros dos materiais e do modelo P-Z utilizados na simulação numérica pelo

MEF, extraídos da publicação de Khoei [Khoei, A.R., et al., 2004].

Figura 6.25 - Registro das acelerações sísmicas utilizado na simulação numérica.

A figura 6.26(a) apresenta quatro regiões da barragem de terra zonada e as

figuras 6.26(b) e (c) as malhas de elementos finitos utilizadas por Khoei [Khoei,

A.H., et al., 2004] e na presente pesquisa. Os pontos nodais: C , D , G e H ,

identificado na figura 6.26(b), correspondem à região ocorreu liquefação (ver

figura 3.2b). A definição destas zonas com diferentes propriedades foi

DBD


182

estabelecida mediante retroanálises executadas por Seed, H.B. [Seed, H.B., 1979],

mencionadas anteriormente no capítulo 3 (ver figura 3.2a).

(a) Geometria e zonas da barragem de San Fernando na simulação numérica pelo MEF, conforme

Khoei [Khoei, A.H., et al., 2004].

(b) Malha de elementos finitos utilizada por Khoei [Khoei, A.H., et al., 2004].

(b) Malha de elementos finitos utilizada na presente pesquisa.

Figura 6.26 - Geometria e malha de elementos finitos. Barragem de San Fernando. Letras C, D, G e H se referem a pontos nodais de interesse.

Tabela 6.13 - Parâmetros dos materiais da barragem de San Fernando.

Material epoK ( )kPa

eqoK ( )kPa

ν sK ( )Pa

wK ( )Pa

sρ ( )3mkg

n k

( )sm

1 120 180 0,2857 1,0e+22 2,0e+9 2756 0,375 0,001 2 70 105 0,2857 1,0e+22 2,0e+9 2756 0,375 0,010 3 80 120 0,2857 1,0e+22 2,0e+9 2756 0,375 0,001 4 78 112 0,2857 1,0e+22 2,0e+9 2756 0,375 0,010

DBD


183

Tabela 6.14 - Parâmetros do modelo P-Z para os materiais da barragem de San Fernando.

Material gM fM α 0β

1β LoH 0UH

( )kPa710

Uγ γ

1 1,550 1,400 0,45 4,2 0,2 700,3 6,00 2,0 2,0 2 1,510 0.750 0,45 4,2 0,2 408,3 3,50 2,0 2,0 3 1,510 1,330 0,45 4,2 0,2 467,0 4,00 2,0 2,0 4 1,510 0,906 0,45 4,2 0,2 408,3 3,75 2,0 2,0

A figura 6.27(a) apresenta a variação da poropressão nos pontos nodais

onde ocorreu liquefação, identificados na figura 6.26(b), conforme Khoei [Khoei,

A.R., et al., 2004], enquanto que a figura 6.27(b) mostra as respostas

determinadas na presente pesquisa para os mesmos pontos.

De acordo a estes resultados alguns comentários podem ser mencionados:

(1) Ponto C: de acordo com Khoei, o valor máximo da poropressão

( kPa60000≅ ) ocorreu aproximadamente aos 25 segundos depois de

iniciado o sismo; já na presente pesquisa o valor máximo ( kPa63267 )

ocorreu num tempo menor (5,6 segundos). Por outro lado, de acordo ao

Khoei, ainda existe excedentes de poropressão aos 100 segundos

( kPa10000≅ ). Nesta pesquisa, a poropressão tornou-se zero aos 75

segundos.

(2) Ponto D: de acordo com Khoei, o valor máximo da poropressão


iniciado o sismo. Nesta pesquisa, o valor máximo ( kPa101080 ) ocorreu

aproximadamente aos 3,8 segundos. De acordo ao Khoei, a poropressão

torna-se zero aos 100 segundos ( kPa10000≅ ); já na presente pesquisa,

a poropressão tornou-se zero aos 75 segundos.

(3) Ponto G: de acordo com Khoei, o valor máximo da poropressão


iniciado o sismo. Como resultado da presente pesquisa, o valor máximo

da poropressão ( kPa136197 ) ocorreu aproximadamente aos 4,7

segundos. Por outro lado, de acordo ao Khoei, a poropressão torna-se

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184

zero aos 100 segundos ( kPa25000≈ ) já nesta pesquisa, a poropressão

tornou-se zero aos 75 segundos.

(4) Ponto H: o valor máximo da poropressão ( kPa150000≅ ), de acordo

com Khoei, ocorreu aproximadamente aos 20 segundos depois de

iniciado o sismo. Na presente pesquisa, o valor máximo obtido

( kPa178869 ) ocorreu aproximadamente aos 4,7 segundos. Por outro

lado, de acordo ao Khoei, a poropressão torna-se zero aos 100 segundos

( kPa25000≅ ); já nesta pesquisa, a poropressão tornou-se zero aos 75

segundos.

Em termos gerais, as previsões do tempo de ocorrência dos valores

máximos das poropressões determinadas nesta pesquisa ocorrem antes dos

calculados pelo Khoei, enquanto que, os valores máximos destes são

aproximadamente coincidentes (pouca diferença) em apenas um ponto analisado

(ponto C) sendo os outros diferentes. Observa-se também diferenças em termos

dos valores das poropressões no final do tempo de análise. De forma geral, as

poropressões finais, previstas nesta pesquisa, tornam-se zero aos 75 segundos,

enquanto que os calculados por Khoei apresentam ainda valores de poropressão

no final da análise, salvo no ponto nodal D, onde a poropressão tornou-se zero no

tempo 100 segundos.

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185

(a.1) nó C (a.2) nó D

(a.3) nó G (a.4) nó H

(a) Resultados numéricos de Khoei [Khoei, A.H., et al., 2004].

(b.1) nó C (b.2) nó D

(b.3) nó G (b.4) nó H

(b) Resultados numéricos da presente pesquisa.

Figura 6.27 - Variação temporal do incremento de poropressões determinados numericamente para alguns pontos da barragem de San Fernando.

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186

6.5 Exemplo 3 - Resposta dinâmica de um talude de solo submerso

Este exemplo numérico trata da previsão da resposta dinâmica de um talude

de solo submerso testado no ensaio de centrifugação (figura 6.28). Este protótipo

foi desenvolvido por Byrne e colaboradores na universidade de British Columbia,

Canadá [Byrne, P.M., 2005]. A previsão da resposta deste ensaio foi investigada

anteriormente pelos seguintes pesquisadores: (1) Jafari e Popescu [Jafari, A.;

Popescu, R., 2004]; (2) Naesgaard e Byrne [Naesgaard, E.; Byrne, P.M., 2004];

(3) Haigh [Haigh, S., 2002]. Nessas pesquisas foram utilizados, respectivamente,

os seguintes modelos elasto-plásticos para simulação do comportamento

hidráulico-mecânico de solos saturados sob carregamento cíclico: (a) modelo de

superfícies múltiplas [Prevost, J.H., 1985]; (b) modelo UBCSAND ([Byrne, P.M.,

et al., 1995], [Beaty, M.H.; Byrne, P.M., 1998], [Puebla, H., 1999]); (c) modelo P-

Z [Pastor, M., et al., 1990].

Nesta tese, os resultados numéricos obtidos, em termos das acelerações e

das poropressões, foram comparados com aqueles determinados nos pontos

instrumentados, A2, A5 e A7 para as acelerações e P2, P5 e P7 para as

poropressões (figuras 6.28), considerando para tal, as pesquisas feitas por Byrne e

Haigh.

A geometria do problema, localização dos pontos de instrumentação (figura

6.28) e as propriedades do material correspondentes ao modelo P-Z (tabelas 6.15 e

6.16) foram retiradas da publicação de Byrne [Byrne, P.M., 2005].

Tabela 6.15 - Propriedades do material do talude (areia fofa).

Material K ′ ( )MPa

G ( )MPa ν sK

( )Pa wK

( )Pa sρ

( )3mkgn

k ( )sm410−

Areia fofa

43 20 0,2857 1,0e+22 2,0e+9 2756 0,375 6,0

Tabela 6.16 - Parâmetros do material do talude referentes ao modelo P-Z.

Material gM fM α 0β

1β LoH 0UH

( )MPa

Uγ γ

Areia fofa 0,75 1,15 0,45 4,2 0,2 200 400 2,0 4,2

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187

Figura 6.28 Geometria e localização dos pontos de instrumentação. Talude de solo submerso [Byrne, P.M., 2005].

(a) Ponto A2

(b) Ponto A5

(c) Ponto A7

Figura 6.29 - Registro das acelerações instrumentadas. Pontos A2, A5 e A7.

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188

(a) Ponto P2

(b) Ponto P5

(c) Ponto P7

Figura 6.30 - Registros das poropressões instrumentadas. Pontos P2, P5 e P7.

Figura 6.31 - Registro das acelerações do sismo A475 [Byrne, P.M., 2005].

As figuras 6.29 e 6.30 apresentam o registro de acelerações e poropressões

instrumentados do talude submerso durante o ensaio de centrifugação. A figura

6.31 apresenta o registro das acelerações do sismo A475 [Byrne, P.M., 2005],

com duração de 32s, aplicado na base do talude durante o ensaio de centrifugação.

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189

(a) Naesgaard [Naesgaard, E.; Byrne. P.M., 2004] com o modelo UBCSAND.

(b) Haigh [Haigh, S., 2002] com o modelo P-Z.

(c) Presente pesquisa com o modelo P-Z.

Figura 6.32 - Geometria e malhas de elementos finitos. Talude de solo submerso.

A figura 6.32 apresenta as malhas de elementos finitos utilizadas pelos

diferentes autores. A primeira malha (figura 6.32a) foi utilizada por Naesgaard

[Naesgaard, E.; Byrne. P.M., 2004] considerando o modelo UBCSAND de Byrne

[Byrne, P.M., et al., 2003] incorporado no programa FLAC, enquanto que a

segunda malha (figura 6.32b) se refere àquela empregada por Haigh [Haigh, S.,

2002] com o modelo P-Z. A figura 6.32c apresenta a malha de elementos finitos

da presente pesquisa, semelhante à usada por Haigh [Haigh, S., 2002] com o

mesmo modelo P-Z.

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190


(c) Haigh [Haigh, S., 2002] com o modelo P-Z.

(d) Presente pesquisa com o modelo P-Z.






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191




Figura 6.35 - Registro das acelerações previstas. Ponto A7

As figuras 6.33 a 6.35 apresentam os registros de acelerações previstos nos

pontos de instrumentação A2, A5 e A7 do talude (figura 6.28).

De acordo com as figuras 6.33, 6.35 e 6.29, nota-se a concordância entre as

respostas obtidas pelo Haigh e na presente pesquisa, isto é, devido à utilização do

mesmo modelo constitutivo e das mesmas características tanto nas propriedades

do material quando geométricas. Por outro lado, em comparação com a pesquisa

de Naesgaard, estas apresentam maiores valores das acelerações máximas. Cabe

ressaltar também que, a forma do registro de acelerações obtidas por Naesgaard é

mais próxima aos obtidos em forma experimental, no entanto, os resultados

obtidos na presente pesquisa e pelo Haigh apresentam características diferentes

aos experimentais, isto é, em termos de forma e de valores picos máximos.

Finalmente, cabe mencionar que, em todos os pontos instrumentados, os

resultados previstos apresentam valores das acelerações máximas menores que as

acelerações máximas obtidas em forma experimental.

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192









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193





As figuras 6.36 a 6.38 ilustram a história das poropressões previstas para os

pontos P2, P5 e P7 do talude (figura 6.28).

De acordo com as figuras 6.36 e 6.38 e 6.30, nota-se, da mesma forma que

nos registros das acelerações, a concordância entre as respostas obtidas pelo

Haigh e na presente pesquisa. Por outro lado, em comparação com a pesquisa pelo

Naesgaard, estas apresentam maiores valores picos das poropressões,

apresentando outras formas diferentes do registro (forma incremental), já no

resultados de Naesgaard, esta apresenta um pico e logo um decremento nos seus

valores, similares aos obtidos de forma experimental. Finalmente cabe ressaltar

que, os resultados previstos pelo Naesgaard, em termos das poropressões,

apresentam boa concordância tanto na forma do registro como nos seus valores

com os resultados experimentais.

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7 Conclusões e sugestões

7.1 Conclusões

As seguintes conclusões podem ser obtidas do desenvolvimento da presente

tese:

O estudo da liquefação em solos pode ser compreendido como um caso

particular da dinâmica dos meios porosos. Nesta tese, utiliza-se um sistema

de equações governantes simplificadas (forma u-p) para representar

matematicamente o comportamento acoplado de materiais, em termos de

deslocamentos do sólido e da pressão no fluido. Este conjunto de equações

governantes, previamente discretizadas, proposto por Zienkiewicz e Shiomi

[Zienkiewicz, O.C.; Shiomi, T., 1984] para aplicações computacionais, está

baseado nas equações desenvolvidas por Biot [Biot, M.A., 1956a] para

problemas de propagação de ondas a baixas freqüências em meios porosos

saturados. Nesta pesquisa opta-se pela utilização da formulação u-p devido à

maior simplicidade das implementações computacionais.

Baseado na formulação simplificada (forma u-p) apresenta-se um novo

algoritmo para a solução numérica das equações governantes, baseado no

emprego de um procedimento alternativo da discretização temporal. Em

conseqüência, estabelece-se um sistema de equações de equilíbrio onde as

variáveis primárias são os incrementos de deslocamento no sólido e

incrementos da pressão no fluido, diferentemente da formulação

desenvolvida por Zienkiewicz [Zienkiewicz, O.C., et al., 1999] onde as

incógnitas são os incrementos das acelerações no sólido e incrementos da

taxa de variação da pressão no fluido. O algoritmo utilizado nesta pesquisa

não executa integrações no tempo para determinação dos valores dos

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195

incrementos de deslocamentos e poropressões, mostrando-se mais eficiente

sob o ponto de vista da execução computacional.

Com a finalidade de deduzir as equações do MEF, é apresentado em

detalhes o processo de discretização das equações diferenciais de equilíbrio

do sistema acoplado sólido-fluido. A discretização espacial é obtida

considerando-se o método dos resíduos ponderados (formulação de

Galerkin) e a discretização temporal com base no método de Newmark

Generalizado [Katona, M.G.; Zienkiewicz O.C., 1985]. O desenvolvimento

detalhado para obtenção das equações do MEF permitiu constatar-se a

existência de grandezas que não são apresentadas em muitas das referências

bibliográficas ou que são desconsideradas sem maiores explicações pelos

autores. Exemplos são a matriz de fluxo dinâmico G (equação 5.67) e

alguns termos relacionados com o vetor de fluxos nodais no contorno

(equação 5.57).

Utiliza-se nesta pesquisa o modelo constitutivo proposto de Pastor-

Zienkiewicz, modelo P-Z, para representar o comportamento mecânico da

fase sólida, em termos de tensões efetivas. O modelo, baseado na teoria da

plasticidade generalizada, apresenta como principal vantagem o fato de que

as superfícies de escoamento e do potencial plástico são implicitamente

definidas apenas por vetores normais unitários, permitindo que a

implementação computacional do modelo torne-se mais simples do que no

caso de modelos da teoria da plasticidade clássica, por não demandarem

algoritmos de retorno (preditor-corretor) para verificação do estado de

tensão em relação à superfície de escoamento.

Foi verificada, através da comparação com resultados de laboratório tanto

em ensaios monotônicos como em ensaios cíclicos, a eficiência do modelo

P-Z na previsão da liquefação. Nesta tese, o modelo original P-Z foi

modificado permitindo que os parâmetros relacionados com os módulos

elásticos sejam também função da tensão de confinamento efetivo.

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196

A principal desvantagem do modelo P-Z é a quantidade de parâmetros que

utiliza em comparação com outras formulações mais simples utilizadas na

prática para solução aproximada de problemas dinâmicos em solos, como o

modelo linear equivalente implementado nos programas computacionais

SHAKE [Idriss, I.M.; Sun, J.I., 1992] e QUAD4M [Hudson, M.; Idriss, I.M.;

Beikae, M., 1994] e o modelo histerético-hiperbólico implementado nos

programas TARA3FL [Finn, W.D.L.; Yogendrakumar, M., 1989] e

FLAC v.5 [Itasca Consulting Group, 2005]. O modelo P-Z utiliza 11

parâmetros (7 utilizadas nas análises monotônicas e mais 4 nas análises

dinâmicas) para simular efeitos como mudanças do comportamento

contrativo para dilatante (mobilidade cíclica), variação dos módulos

elásticos com o estado das tensões efetivas, condição de ruptura baseada na

teoria do estado crítico, efeitos de memória do material em carregamentos

cíclicos, etc.

Foi desenvolvido um programa computacional, escrito em Fortran 90, para

execução das análises dinâmicas não-lineares em solos saturados com

capacidade de simulação da ocorrência de fluxo por liquefação em areias

fofas saturadas e outros tipos de solo suscetíveis à liquefação. Com base no

MEF e formulação apresentada no capítulo 5, o programa foi utilizado para

análise de alguns exemplos numéricos cujos resultados mostraram tanto a

aplicabilidade do modelo P-Z para simular a resposta dinâmica de solos

saturados quanto a confiabilidade do código computacional, evidenciada

através da comparação de seus resultados com soluções analíticas ou outros

valores numéricos obtidos por diferentes autores.

A utilização de modelos elasto-plásticos em situações de carregamentos

cíclicos, permite a desconsideração da matriz de amortecimento do material

C , empregada usualmente em análises baseadas no amortecimento

histerético de solos (como no método linear equivalente) ou no tradicional

amortecimento de Rayleigh, RC . De acordo com Zienkiewicz [Zienkiewicz,

O.C. et al., 1999] a utilização da matriz de amortecimento pode ser

necessária unicamente para materiais rígidos ou em análises onde o

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197

comportamento tensão-deformação do material é admitido, por

simplicidade, linearmente elástico.

7.2 Sugestões para pesquisas futuras

No âmbito do tema desta pesquisa serão propostos os seguintes tópicos a

serem considerados:

Estender as equações governantes para análise dinâmica de meios porosos

parcialmente saturados. No anexo B é deduzido um procedimento de

discretização espacial e temporal das equações governantes para este tipo de

análise.

Estender a aplicação da modelagem numérica para prever a ocorrência de

fenômenos de liquefação monotônica mediante a aplicação do modelo P-Z

em obras geotécnicas, especificamente em barragens e estruturas de

contenção.

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221

Anexo A Método simplificado para avaliação do potencial da liquefação de solos.

Um método simplificado para determinar o potencial da liquefação de solos,

proposto por Seed e Idriss [Seed, H.B. & Idriss, I.M., 1971] e aperfeiçoado por

diversos autores ([Finn, W.D.L., 1993], [Youd, T.L., et al., 2001], [Seed, R.B., et

al., 2003]) consiste em verificar em determinada profundidade se as tensões

geradas pelo carregamento sísmico excedem à resistência ao cisalhamento do solo

na condição residual.

Este critério de análise permite estabelecer um fator de segurança contra a

liquefação, FS, definido por

CSRCRRFS = (Eq. A.1)

onde CRR é a razão de resistência cíclica na liquefação (Cyclic Resistance Ratio)

e CSR a razão de tensão cíclica gerado pelo terremoto de projeto (Cyclic Stress

Ratio). Se o fator de segurança for menor que a unidade ( 1FS < ), então a

liquefação deve ocorrer.

A razão de resistência cíclica, CRR, é determinada da figura A.1 [Seed,

R.B., et al., 2003], onde o número de golpes corrigidos do ensaio SPT, ( )601N , é

estimado pela relação

( ) ( ) NCNN ⋅= 60601 (Eq. A.2)

onde NC é um fator de correção e ( )60N o número de golpes do ensaio SPT.

Liao e Whitman [Liao, S.S.C. & Whitman, R.V., 1986] sugerem a

seguinte equação para este fator de correção,

0

1

vNC

σ ′= (Eq. A.3)

onde 0vσ ′ é a tensão vertical efetiva inicial expressa em 2cmkgf . Outras

correlações similares para cálculo de NC podem ser encontradas na literatura

([Youd, T.L., et al., 2001], [Seed, R.B., et al., 2003]).

DBD


222

CRR

Numero de golpes corrigidos do ensaio SPT, ( )601N .

Figura A.1 Razão de resistência cíclica (CRR) versus número de golpes corrigidos do ensaio SPT, ( )601N , para terremotos com magnitude igual a 7,5 [Youd, T.L., et al., 2001].

A razão de tensão cíclica, CSR, é expressa por

σKM7,5Mw eq DWFCSRCSR == (Eq. A.4)

onde 7,5Mw eqCSR = é a razão de tensão cíclica equivalente correspondente a um

terremoto de magnitude ( WM ) igual a 7,5; MDWF o fator de correção da

magnitude do terremoto (Magnitude-Correlated Duration Weighting Factor) e

σK o fator de correção da tensão vertical efetiva. As figuras A.2 e A.3 são

utilizadas para a determinação de MDWF e σK , respectivamente. Kramer

[Kramer, S.L., 1996] recomenda também a utilização da tabela A.1 para a

estimativa do fator de correção da magnitude do sismo.

DBD


223

MDWF

Magnitude do terremoto, WM

Figura A.2 Fator de correção da magnitude do terremoto [Seed, R.B., et al., 2003].

σK

Tensão vertical efetiva vσ ′ ( )psf .

Figura A.3 Fator de correção devido à tensão inicial de cisalhamento [Seed, R.B., et al., 2003].

A razão de tensão cíclica equivalente com 5,7M W = , 7,5Mw eqCSR = , pode

ser escrita como

7,5Mwmax 7,5Mw eq CSR65,0CSR == = (Eq. A.5)

com

dvo

v rg

a⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′

== σσ

rmax

7,5Mw eqCSR (Eq. A.6)

DBD


224

onde 7,5Mwmax CSR = é a razão de tensão cíclica máxima com 5,7M W = ; maxa a

aceleração horizontal máxima do terremoto na superfície; gr a aceleração da

gravidade; dr um fator de redução da tensão cíclica devido à profundidade; vσ a

tensão total vertical e 0vσ ′ a tensão vertical efetiva inicial.

De acordo com Finn [Finn, W.D.L., 1993], na prática japonesa o fator de

redução de tensão devido à profundidade é frequentemente aproximado pela

seguinte correlação

zrd 0015,01−= (Eq. A.7)

onde z indica a profundidade do terreno em metros. Youd e colaboradores

[Youd, T.L., et al., 2001] recomendam a utilização da figura A.4 para

determinação do fator de redução da tensão cíclica devido à profundidade.

Fator de redução da tensão cíclica, dr .

( )mz

Figura A.4 Fator de redução da tensão cíclica devido à profundidade [Youd, T.L., et al., 2001]. Tabela A.1 Fator de correção da magnitude do sismo [Kramer, S.L., 1996].

Magnitude do terremoto, WM

Fator de correção, MDWF

415 1.50

5 1,32 436 1,13

217 1,00

218 0,89

DBD


225

Anexo B Discretizacão das equações fundamentais para a condição não-saturada na forma u-p.

As equações fundamentais em meios porosos saturados na forma u-w-p são

[Zienkiewicz, O.C., et al., 1999]:

( ) 0, =++−− iijjiwijij bwwwu ρρρσ &&&&&& (Eq. B.1)

( ) 0,, =++−−−− iwjijiw

iwiiw bwwwn

uRp ρρ

ρ &&&&&& (Eq. B.2)

0)1(

0, =++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

−+++ sn

Kp

KK

Kpn

Kpn

ww

w

s

wii

s

T

s

w

w

wiiii &

&&&

&&&&

ρρ

εε (Eq. B.3)

onde as equações B.1 e B.2 representam as equações de movimento para o sistema

sólido-fluido e para o fluido respectivamente, e a equação B.3 representa a

equação de continuidade do fluido.

Com o objeto de estabelecer as equações fundamentais para descrever o

comportamento dinâmico do meio poroso em condição não-saturada (sistema

sólido-água-ar) algumas modificações devem ser introduzidas:

Os vazios contidos no meio poroso são preenchidos parcialmente por água e

parcialmente por ar, resultando

1=+ arwr SS (Eq. B.4)

onde wrS e arS é o grau de saturação da água e do ar, respectivamente.

A densidade do meio poroso é expressa por

( ) saarwwr nnSnS ρρρρ −++= 1 (Eq. B.5)

onde wρ , aρ e sρ são as massas especificas da água, do ar e do sólido

respectivamente.

A pressão do ar é desconsiderada, i.e. 0=aP [Zienkiewicz, O.C., et al.,

1990b].

O principio das tensões efetivas [Terzaghi, K., 1936] pode ser adaptado para

solos parcialmente saturados modificando-se a expressão da poropressão de

acordo com [Bishop, A.W. & Blight, G.E., 1963],

DBD


226

( ) awav PpP χχ −+= 1 (Eq. B.6)

onde χ é um parâmetro que depende do grau de saturação do sistema. Uma

boa aproximação de χ pode ser dada pelo grau de saturação da água, wrS ,

[Zienkiewicz, O.C., et al., 1999],

wrS=χ (Eq. B.7)

Desconsiderando-se o valor da pressão do ar ( 0=aP ). a equação B.6 pode

ser aproximada por,

wwrav pSp = (Eq. B.8)

modificando-se o princípio das tensões efetivas para solos saturados para:

wwrijijij pSδσσ +=′ (Eq. B.9)

Considerando a permeabilidade dependente do grau de saturação, vem

wrSkk = (Eq. B.10)

Vários estudos reportados na literatura estabelecem relações entre o grau de

saturação, permeabilidade e a poropressão ([Huang, M. & Zienkiewicz

O.C., 1998], [Alonso, E.E., et al., 1987], [Bear, J., et al., 1984], [Lloret, A.

& Alonso, E.E., 1980], [Safai, N.M. & Pinder, G.F., 1979], [Narasimhan,

T.N. & Witherspoon, P.A., 1978], [Van Genuchten, M.T.; Pinder, G.F. &

Saukin, W.P., 1977], [Neuman, S.P., 1975], [Liakopoulos, A.C., 1965]).

Levando-se em conta as observações feitas anteriormente para solos não-

saturados, as equações B.1, B.2 e B.3 podem então ser modificadas.

A equação de continuidade do fluido (equação B.3) é modificada para,

0

1)1(

0

,

=++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

−+++

sn

pSKK

KpSK

npSKnw

w

w

wwrs

iis

Twwr

swwr

wiiii

&&

&&&&&&

ρρ

εε(Eq. B.11)

ou

DBD


227

0~~0*, =++++ snS

Qp

ww

wwr

wiiii &

&&&&

ρρ

εα (Eq. B.12)

onde

w

wr

swwr p

Sn

Kn

KnS

Q &

&+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+≡α~

~1

* (Eq. B.13)

sendo

s

T

KK

−= 1~α (Eq. B.14)

A definição da compressibilidade equivalente do sistema sólido-agua-ar

(condição não-saturada) pode ser expressa como

( )[ ]w

wrswwrT p

SnCnnCSC&

&+−+≡ α~~* (Eq. B.15)

onde ** ~1~ QCT = é a compressibilidade equivalente do sistema sólido-agua-ar;

ww KC 1= a compressibilidade do fluido (água) e ss KC 1= a compressibilidade

do sólido. A equação B.15 também pode ser escrita em termos da

compressibilidade equivalente do sistema sólido-agua (condição saturada) TC .

w

wrTwrT p

SnCSC&

&+≡*~ (Eq. B.16)

com

( ) swT CnCnC −+= α~ (Eq. B.17)

No caso das equações B.1 e B.2 a componente de tensão total deve ser

substituída em função do princípio das tensões efetivas na condição não-saturada

(equacao B.9).

A formulação simplificada u-p, com a eliminação eliminação da variável iw&

nas equações acima, pode então ser escrita, na sua forma incremental, para meios

porosos não-saturados,

0, =+− iijij bu δρρδδσ && (Eq. B.18)

DBD


228

( ) 0~)(*,', =+++−−

Qp

ubSuSpk wiijjwwrjwwrjwij

&&&&

δδδρδρδ (Eq. B.19)

com

wwrijijij pS δδσδδσ −′= (Eq. B.20)

Com o objetivo de obter a solução numérica das equações governantes, é

necessário discretizar estas equações, tanto espacial quanto temporalmente,

conservando como variáveis primárias os incrementos de deslocamento nodal do

sólido e da poropressão nodal do fluido.

Aplicando-se o método de Galerkin na equação B.18, obtém-se a seguinte

equação discretizada a nível local para o sólido:

( ) 0fpQuPuM =−−+ sw δδδδ && (Eq. B.21)

com

∫Ω

Ω= duTu NNM ρ (Eq. B.22)

Ω= ∫Ω

dTu σBuP δδ (Eq. B.23)

∫Ω

Ω= dS wwr

Tu NmBQ (Eq. B.24)

( ) ∫∫ΓΩ

Γ+Ω= dd TuTus tNbNfδ (Eq. B.25)

De forma similar, considerando-se a equação B.19 resulta a seguinte

equação discretizada a nível local para o fluido:

( ) 0fpSpHuQ =−++ www

T δδδδ && (Eq. B.26)

com

∫Ω

Ω∇∇= dwTw NkNH (Eq. B.27)

Ω= ∫Ω

dQ

wTw NNS*~

1 (Eq. B.28)

( ) ( ) Γ+Ω∇−= ∫∫ΓΩ

ddS Twwwr

TTww qNbkNfr

ρδ (Eq. B.29)

DBD


229

Combinando as equações B.21 e B.26 para descrever, a nível local, o

comportamento dinâmico do elemento acoplado (sólido-água-ar), tem-se

( )

( ) 0ff

pu

H0QK

pu

SQ00

pu

000M

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

w

s

wwT

w

δδ

δδ

δδ

δδ

&

&

&&

&&

(Eq. B.30)

Após o procedimento de montagem dos elementos finitos acoplados, a

equação discreta que descreve o comportamento dinamico acoplado sólido-água-

ar a nível global (sistema), tem a seguinte forma,

( )

( ) 0ff

pu

H0QK

pu

SQ00

pu

000M

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

w

s

wwT

w

~~

~~

~~~

~~

~~~~~

δδ

δδ

δδ

δδ

&

&

&&

&&

(Eq. B.31)

O processo de solução numérica se completa com a discretização temporal

das componentes da equação de equilíbrio dinâmico do sistema (equaçao B.31)

no tempo tt Δ+ ,

( ) 0fpQuPuM =−−+ Δ+Δ+Δ+Δ+s

ttttwtttt~~~~~~~ δδδδ && (Eq. B.32)

( ) 0fpSpHuQ =−++ Δ+Δ+Δ+Δ+w

ttttwttwtt~~~~~~~ δδδδ && (Eq. B.33)

através do método de Newmark Generalizado, GNij .

Considerando-se o esquema GN22 para o sólido,

( ) 22

2 ~~21~

21~~~ ttt tttttttt Δ−+Δ+Δ+= Δ+Δ+ uuuuuu &&&&&&& δδβδδδδ (Eq. B.34)

( ) tt ttttttt Δ−+Δ+= Δ+Δ+ uuuuu &&&&&&&& ~~~~~1 δδβδδδ (Eq. B.35)

( ) ttttttt ttuuuuu &&&&& ~1

21~1~~1~

112

1

δβ

δβ

δδβ

δ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

Δ−−

Δ= Δ+Δ+ (Eq. B.36)

e GN11 para o fluido,

( ) tt twttwtwtwttw Δ−+Δ+= Δ+Δ+ ppppp ~~~~~1 δδβδδδ & (Eq. B.37)

ttwttw

twttw Δ−

+= Δ+Δ+

pppp

~~~~ δδδδ && (Eq. B.38)

DBD


230

onde as variáveis no tempo tt Δ+ são quantidades a calcular e as variaveis no

tempo t são valores conhecidos ou previamente determinados.

A equação de equação de equilíbrio dinâmico do sistema (equação B.31),

pode ser escrita de forma equivalente ao equilíbrio estático,

ttSttS Δ+Δ+ = fΦK δδ~ (Eq. B.39)

com

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+ΔΔ

−+Δ

+Δ=

HSQ

QKCMK ~~~

~~~~12

tt

tt

w

wT

w

w

s

s

sS

αβ

αβ

αβ

α (Eq. B.40)

{ }Tttwtttt Δ+Δ+Δ+ = puΦ ~~~ δδδ (Eq. B.41)

( ) ( ) Twtt

sttttS

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧= Δ+Δ+Δ+ fff δδδ (Eq. B.42)

onde ( ) ( ) ( )

Cuu

Muu

fff

~~12

~

~~2

1~1

~~

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−Δ++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Δ+

+−= Δ+Δ+

ts

st

s

s

ts

ts

st

stt

stt

t

t

&&&

&&&

δαβ

δαβ

δα

δα

δδδ

(Eq. B.43)

( ) ( ) ( )

Sp

Quu

fff

~~

~~12

~

~~

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−Δ++

+−= Δ+Δ+

tww

w

Tt

s

st

s

s

wt

wtt

wtt

t

&

&&&

δαβ

δαβ

δαβ

δδδ

(Eq. B.44)

A utilização da equação B.39 como procedimento de solução numérica

permite a determinação direta das variáveis primárias tt Δ+u~δ e tt Δ+p~δ .

Finalmente, é necessário incorporar na formulação das equações

fundamentais discretas relações constitutivas (em termos de tensões efetivas) de

modo de obter as equações governantes totalmente discretizadas e prever o

comportamento dinâmico de solos não-saturados atraves da sua solução numerica.

Neste sentido, uma adaptação da teoria da plasticidade generalizada feita por

DBD


231

[Bolzon, G., et al., 1996] para simulação de carregamentos sob condições

parcialmente saturadas, pode ser utilizada. Para o caso de solos cimentados

parcialmente saturados, Yang e colaboradores [Yang, C., et al., 2008] formularam

também um modelo constitutivo combinando conceitos da teoria da plasticidade

generalizada com o modelo BBB (Modelo Básico Barcelona) porposto por Alonso

[Alonso, E.E., et al., 1990].

DBD


232

Anexo C Diagrama de blocos do programa computacional

Figura C.1(a) Esquema geral do programa desenvolvido nesta pesquisa.

Montagem das matrizes e vetores (a nível local):

M , S , Q , H

Condições iniciais: tσ~ , tu~ , twp~

0=t

Inicio

Condições de contorno:

*~tq , *~

tt

Amortecimento viscoso?

tRt KMCC βα +==

Sim Não

0C =t

1

Modelo elástico-plástico

ept DD =

Sim Não

et DD =

∫Ω

Ω= dut

Tut BDBK

Análise estática

DBD


233

Figura C.1(b) Esquema geral do programa desenvolvido nesta pesquisa.

Condição de contorno variável:

*~tuδ , *~

tu&δ , *~tu&&δ , *~

ttδ , *~tqδ , tw

*~pδ , tw*~p&δ

ndtt →= 0

Atualização das condições de iniciais

2

Arquivo de entrada

[ ]∑← MM~

[ ]∑← tt CC~

[ ]∑← tt KK~

[ ]∑← HH~

[ ]∑← QQ~

[ ]∑← SS~

( ) ( )[ ]∑← st

st ff δδ~

( ) ( )[ ]∑← wt

wt ff δδ~

Montagem das matrizes e vetores (a nível global):

1

*~~tt uu δδ ← *~~tt uu && δδ ← *~~tt uu &&&& δδ ←

*~~tt tt δδ ←

twtw*~~ pp δδ ←

twtw*~~ pp && δδ ←

*~~tt qq δδ ←

( ) ( ) *11

~~~t

st

st tff δδδ ++ ←( ) ( ) *

11~~~

ts

ts

t qff δδδ ++ ←

DBD


234

Figura C.1(c) Esquema geral do programa desenvolvido nesta pesquisa.

Montagem da matriz equivalente do sistema:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2221

1211

KKKK

tSK

Montagem do vetor incremento de forca equivalente do sistema:

HS

Q

Q

KCM

~~1

~1

~

~~121~11

122

121

12

1

22

111

+Δ

=

Δ=

−=

+Δ

+Δ

=

tK

tK

K

ttK

T

tt

β

β

ββ

β

( ) ( ) ( ) CMfff ~~~~2111 aas

ts

t

st +++−= ++ δδδ

( ) ( ) ( ) SQfff ~~~~4311 aa Tw

tw

t

wt +++−= ++ δδδ

( )tw

tt

tt

tt

a

ta

ta

ta

p

uu

uu

uu

&

&&&

&&&

&&&

~

~141~

21

~141~

21

~21~11

14

1

2

1

23

1

2

1

22

111

δβ

δββ

δββ

δββ

δββ

δβ

δβ

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−Δ+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−Δ+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Δ=

( )

( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

+w

t

st

tS

1

1

fff

δδδ

3

2

DBD


235

Figura C.1(d) Esquema geral do programa desenvolvido nesta pesquisa.

Não-linear?

Solução não- linear Solução linear

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=+

+

1

1~~~

tw

tt p

uΦ

δδ

δ

1~

+tu&δ

1~

+tu&&δ

1~

+twp&δ

Sim Não

( ) ttttt ttuuuuu &&&&& ~1

21~1~~1~

1112

11 δ

βδ

βδδ

βδ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

Δ−−

Δ= ++

( ) tt ttttt Δ−+Δ+= ++ uuuuu &&&&&&&& ~~~~~111 δδβδδδ

ttwtw

twtw Δ−

+= ++

pppp

~~~~ 1

1

δδδδ &&

4

Obtenção do vetor de incremento da variável primaria temporal:

Solução da equação de equilíbrio dinâmico do sistema:

11 ++ = ttt uDσ δδ Obtenção do vetor de incremento da variável secundaria temporal (tensão) :

3

[ ]∑ ++ ← 11~

tt σσ δδ Montagem do vetor incremento da variável secundaria temporal (a nível global):

DBD


236

Figura C.1(e) Esquema geral do programa desenvolvido nesta pesquisa.

1+= tt

Atualização da matriz de rigidez (a nível local)

Amortecimento viscoso?

11 ++ +== tRt KMCC βα

Sim Não

0C =+1t

Modelo elástico-plástico

11 ++ = tep

t σDD δ

Sim Não

11 ++ = te

t σDD δ

∫Ω

+ Ω= dut

Tut BDBK 1

[ ]∑ ++ ← 11~

tt KK

[ ]∑ ++ ← 11~

tt CC

Montagem das matrizes e vetores (a nível global):

Fim

Plotagens dos resultados

4

11~~~

++ += ttt uuu δ

11~~~

++ += twtwtw ppp δ

11~~~

++ += ttt σσσ δ

Obtenção da variável primaria temporal:

Obtenção da variável secundaria temporal:

DBD


237

Apêndices

Apêndice A Resultados em termos da história dos deslocamentos. Coluna de solo seco. Solução analítica.

0 2 4 6 8 10

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4-0.4

-0.2

0

0.2

0.4-0.4

-0.2

0

0.2

0.4-0.4

-0.2

0

0.2

0.4-0.4

-0.2

0

0.2

0.4-0.4

-0.2

0

0.2

0.4Deslocamento (m)

Tempo (s)

= 0m

= 5m

= 10m

= 15m

=20m

Profundidade = 25m

0 2 4 6 8 10

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4-0.4

-0.2

0

0.2

0.4-0.4

-0.2

0

0.2

0.4-0.4

-0.2

0

0.2

0.4-0.4

-0.2

0

0.2

0.4-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

= 30m

= 35m

= 40m

= 45m

= 50m

Deslocamento (m)

Tempo (s) (a) (b)

Figura A.1 História dos deslocamentos para a coluna de solo seco. Solução analítica.

DBD


238

Apêndice B Histórias dos deslocamentos, velocidades e acelerações para a coluna de solo seco. Solução aproximada [FEM].

0 2 4 6 8 10

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4-0.4

-0.2

0

0.2

0.4-0.4

-0.2

0

0.2

0.4-0.4

-0.2

0

0.2

0.4-0.4

-0.2

0

0.2

0.4-0.4

-0.2

0

0.2

0.4Deslocamento (m)

Tempo (s)

= 0m

= 5m

= 10m

= 20m

Profundidade = 25m

= 15m

0 2 4 6 8 10

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4-0.4

-0.2

0

0.2

0.4-0.4

-0.2

0

0.2

0.4-0.4

-0.2

0

0.2

0.4-0.4

-0.2

0

0.2

0.4-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

= 30m

= 35m

= 40m

= 45m

= 50m

Deslocamento (m)

Tempo (s) (a) (b)

Figura B.1 História dos deslocamentos para coluna de solo seco. Solução aproximada MEF.

DBD


239

0 2 4 6 8 10

-2

-1

0

1

2-2

-1

0

1

2-2

-1

0

1

2-2

-1

0

1

2-2

-1

0

1

2-2

-1

0

1

2Velocidade (m/s)

Tempo (s)

= 0m

= 5m

= 10m

= 15m

= 20m

Profundidade = 25m

0 2 4 6 8 10

-2

-1

0

1

2-2

-1

0

1

2-2

-1

0

1

2-2

-1

0

1

2-2

-1

0

1

2-2

-1

0

1

2Velocidade (m/s)

Tempo (s)

= 30m

= 35m

= 40m

= 45m

= 50m

(a) (b)

Figura B.2 História das velocidades para coluna de solo seco. Solução aproximada MEF.

DBD


240

0 2 4 6 8 10

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8-0.8

-0.4

0

0.4

0.8-0.8

-0.4

0

0.4

0.8-0.8

-0.4

0

0.4

0.8-0.8

-0.4

0

0.4

0.8-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

Aceleração (g)

Tempo (s)

= 0m

= 5m

= 10m

= 15m

= 20m

Profundidade = 25m

0 2 4 6 8 10

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8-0.8

-0.4

0

0.4

0.8-0.8

-0.4

0

0.4

0.8-0.8

-0.4

0

0.4

0.8-0.8

-0.4

0

0.4

0.8-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

Aceleração (g)

Tempo (s)

= 30m

= 35m

= 40m

= 45m

= 50m

(a) (b)

Figura B.3 História das acelerações para coluna de solo seco. Solução aproximada MEF.

DBD


241

Apêndice C Histórias dos deslocamentos, incrementos de poropressão e de acelerações para coluna de solo saturado. Amplitude da onda excitante 0,35g.

0 2 4 6 8 10

-0.2

0

0.2

-0.2

0

0.2

-0.2

0

0.2

-0.2

0

0.2

-0.2

0

0.2

-0.2

0

0.2

Tempo (s)

Deslocamento (m)

= 0m

= 5m

= 10m

= 15m

= 20m

Profundidade = 25m

0 2 4 6 8 10

-0.2

0

0.2

-0.2

0

0.2

-0.2

0

0.2

-0.2

0

0.2

-0.2

0

0.2

-0.2

0

0.2

Deslocamento (m)

Tempo (s)

= 30m

= 35m

= 40m

= 45m

= 50m

(a) (b)

Figura C.1 História dos deslocamentos para coluna de solo saturado. Solução aproximada MEF considerando aceleração horizontal máxima g35,0 .

DBD


242

0 2 4 6 8 10

0

200

400

600

0

200

400

600

0

200

400

600

0

200

400

600

0

200

400

600

0

200

400

600

= 0m

= 5m

= 10m

= 15m

= 20m

Profundidade = 25m

Tempo (s)

Excesso de poropressão (kPa)

0 2 4 6 8 10

0

200

400

600

0

200

400

600

0

200

400

600

0

200

400

600

0

200

400

600

0

200

400

600

= 30m

= 35m

= 40m

= 45m

= 50m

Tempo (s)

Excesso de poropressão (kPa)

(a) (b)

Figura C.2 História dos incrementos de poropressão para coluna de solo saturado. Solução aproximada MEF. Aceleração horizontal máxima g35,0 .

DBD


243

0 2 4 6 8 10-0.8

-0.4

0

0.4

0.8-0.8

-0.4

0

0.4

0.8-0.8

-0.4

0

0.4

0.8-0.8

-0.4

0

0.4

0.8-0.8

-0.4

0

0.4

0.8-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

= 0m

= 5m

= 10m

= 15m

= 20m

Tempo (s)

aceleração (g)

Profundidade = 25m

0 2 4 6 8 10

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8-0.8

-0.4

0

0.4

0.8-0.8

-0.4

0

0.4

0.8-0.8

-0.4

0

0.4

0.8-0.8

-0.4

0

0.4

0.8-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

= 30m

= 35m

= 40m

= 45m

= 50m

Tempo (s)

Aceleração (g)

(a) (b)

Figura C.3 História das acelerações para coluna de solo saturado. Solução aproximada MEF. Amplitude do registro de aceleração da onda excitante g35,0 .

DBD


244

Apêndice D Registro dos deslocamentos, incrementos de poropressão e acelerações para coluna de solo saturado. Aceleração horizontal máxima 0,40g.

0 2 4 6 8 10

-0.2

0

0.2

-0.2

0

0.2

-0.2

0

0.2

-0.2

0

0.2

-0.2

0

0.2

-0.2

0

0.2

= 0m

= 5m

= 10m

= 15m

= 20m

Profundidade = 25m

Tempo (s)

Deslocamento (m)

0 2 4 6 8 10

-0.2

0

0.2

-0.2

0

0.2

-0.2

0

0.2

-0.2

0

0.2

-0.2

0

0.2

-0.2

0

0.2

= 30m

= 35m

= 40m

= 45m

= 50m

Tempo (s)

Deslocamento (m)

(a) (b)

Figura D.1 História dos deslocamentos para coluna de solo saturado. Solução aproximada MEF. Aceleração horizontal máxima g40,0 .

DBD


245

0 2 4 6 8 10

0

200

400

600

0

200

400

600

0

200

400

600

0

200

400

600

0

200

400

600

0

200

400

600

Excesso de poropresão (kPa)

Tempo (s)

= 0m

= 5m

= 10m

= 15m

= 20m

Profundidade = 25m

0 2 4 6 8 10

0

200

400

600

0

200

400

600

0

200

400

600

0

200

400

600

0

200

400

600

0

200

400

600

= 30m

= 35m

= 40m

= 45m

= 50m

Excesso de poropresão (kPa)

Tempo (s) (a) (b)

Figura D.2 História dos incremento de poropressão para coluna de solo saturado. Solução aproximada MEF. Aceleração horizontal máxima g40,0 .

DBD


246

0 2 4 6 8 10

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8-0.8

-0.4

0

0.4

0.8-0.8

-0.4

0

0.4

0.8-0.8

-0.4

0

0.4

0.8-0.8

-0.4

0

0.4

0.8-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

0 2 4 6 8 10= 0m

= 10m

= 15m

= 20m

= 25m

Profundidade = 30m

Tempo (s)

Aceleração (g)

0 2 4 6 8 10

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8-0.8

-0.4

0

0.4

0.8-0.8

-0.4

0

0.4

0.8-0.8

-0.4

0

0.4

0.8-0.8

-0.4

0

0.4

0.8-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

= 30m

= 35m

= 40m

= 45m

= 50m

Tempo (s)

Aceleração (g)

(a) (b)

Figura D.3 - História das acelerações para coluna de solo saturado. Solução aproximada MEF. Aceleração horizontal máxima g40,0 .

DBD


jorge luis cárdenas guillén modelagem elasto … tese (doutorado em engenharia...

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