NMEROSNDICES

Losnmerosndicessonunamedidaestadsticaquepermitecompararunamagnitudsimpleocomplejaendossituacionesdiferentesrespectoaltiempooalespaciotomandounadeellascomoreferencia.

Alperodoinicialseledenominaperodobaseoreferenciayseleasignaelvalor100,encambio,lasituacinquedeseamoscompararsedenominaperodoactualocorriente.

Paralascomparacioneshayquetenerencuentadosaspectosimportantes:

Fijarlasituacininicial(deformaarbitraria)alaquesereferirnlascomparaciones.Sealarquelaeleccindelasituacininicialcondicionaelresultadodelacomparacin,porloqueelpuntodereferenciainicialdebeserelmsidneoposiblealosobjetivosquesepersiguen.

Lasmagnitudesquesecomparanpuedensersimplesocomplejas,loquenosintroduceenel

problemadelaconstruccindesistemasdecomparacinadecuados.Unamagnitudcomplejaescompararlaproduccindeunmismopasendospocasdiferentesolaproduccinglobaldedospases.Noolvidemosquelaproduccinesunamagnitudcomplejacompuestapormagnitudessimplesheterogneas(unidadesdeproduccin,litros,kilogramos,etc.)

Unaclasificacinsencilladelosnmerosndicessera:

SinponderarMediaGeomtricaMediaArmnicaBradstreet-Dtot(mediaagregativa)LaspeyresPaascheNMEROSNDICES

SIMPLESSerefierenaunsoloproductooconcepto

COMPLEJOSSerefierenavariosproductosoconceptos

Serie(referenciafija)Cadena(referenciaeldatoanterior)

Sauerbeck(mediaaritmtica)PonderadosEdgeworth

Fisher

NMEROSNDICESSIMPLES.-Sonlosndicesqueproporcionanlavariacinquehasufridounamagnitudoconceptoentredosperodosolugaresdistintos.Generalmente,estacomparacinserealizaconelvalordeunperodofijo(periodobase).

Dependiendodeslareferenciaesfijaono,sehabladendicesenserie(referenciafija)endicesencadena(referenciavariable).

1

AoTrimestreMujeresactivas(miles)Base(2009-3)

2009310089,4100

2009410139,3(10139,3/10089,4).100=100,4946

2010110213,3(10213,3/10089,4).100=101,2280

2010210250,5(10250,5/10089,4).100=101,5967

2010310265,2(10265,2/10089,4).100=101,7424

AoTrimestreMujeresactivas(miles)Base(2009-3)

2009310089,4---------

2009410139,3(10139,3/10089,4).100=100,49

2010110213,3(10213,3/10139,3).100=100,73

2010210250,5(10250,5/10213,3).100=100,36

2010310265,2(10265,2/10250,5).100=100,14

It0(X)=.100NMEROSNDICESSIMPLESENSERIE.-Seanxtyx0dosvaloresdeunavariableX,elvalor

tdelnmerondiceenseriequecorrespondealvalorxttomandocomoreferenciaobasefijax0serepresentamedianteI0(X)ysedefine:

xtx0

Ejemplo1.-Enlatablasepresentaelnmerodemujeres(enmiles)activasenEspaadesdeeltercertrimestrede2009hastaeltercertrimestrede2010.Enlaltimacolumnaserepresentanlosnmerosndicessimplesenserieconbaseeltercertrimestrede2009.

NMEROSNDICESSIMPLESENSERIEtxtLosndicesreflejanlavariacinporcentualqueexperimentanlosdistintosvaloresdelavariableconrespectoalvalorquesehatomadocomoreferencia(3trimestrede2009).

Observandolatabla,elnmerodemujeresactivasenEspaaeneltercertrimestrede2010esun1,74%superioralquehabaeneltercertrimestredelaoanterior.

Losndicesqueseobtienenrespectodeunabase(periododereferencia)fijasedenominanndicesenserie.

NMEROSNDICESSIMPLESENCADENA.-Cuandoelndicecorrespondienteacadadatosecalculatomandocomoreferenciaeldatoinmediatamenteanterior.

Seanxt-1yxtlosvaloresobservadosdeunavariableXendosinstantesconsecutivos,elndiceencadenaquecorrespondealvalorxtserepresentamedianteICtysedefine:

IC=.100xt-1

Paraseriesdeobservacionestemporales,estosndicesreflejanlavariacinporcentualqueexperimentalavariableentrecadadosobservacionesconsecutivas.

NMEROSNDICESSIMPLESENCADENA2

AoTrimestreICParadosconstruccinICParadosservicios

20091--------------

2009294,37101,33

2009388,6495,84

2009498,79100,7

2010197,87106,35

2010287,7195,91

2010387,496,04

LosndicesencadenareflejanlavariacinporcentualentretrimestresdelnmerodemujeresactivasenEspaa.

Enestalnea,enelsegundotrimestrede2010elnmerodemujeresactivasfueun0,36%superioraldatodeltrimestreanterior.

2IC20103

10250,510213,3

.100100,36

RELACINENTRENDICESSIMPLESENSERIEYENCADENA

Losndicesencadenasepuedenobtenerapartirdelosndicesenserie

xt

ICxtx0I0t

.100.100

txt1xt1I01x0

.100

2Enelejemplo,IC20103

101,5967101,2280

.100100,36

Losndicesenseriesepuedenobtenerapartirdelosndicesencadena

I(X)xtxtxt1xt2IC(X)IC(X)IC(X)IC(X)x2x1t0

.100......100.....100x0xt1xt2xt3x1x0100100100100

tt121

Enelejemplo,I20103(X)

100,14100,36100,73100,49....100101,7424100100100100

Ejemplo2.-EnlatablaadjuntarecogelosndicesencadenatrimestralesparaelnmerodeparadosenlossectoresdelaconstruccinyserviciosenEspaa

96,0495,91..100100106,35100,70..100100100

a)Determinarlavariacinporcentualqueexperimentoelnmerodeparadosenelsectorserviciosduranteeltercertrimestrede2009altercertrimestrede2010.

b)Sabiendoqueenelsectordelaconstruccinelnmerodeparadosascendia527,6milesdepersonasduranteelsegundotrimestrede2010.Hallarlaserieexpresadaenmilesdetrabajadoresparadosenlaconstruccin.

3

AoTrimestreICParadosconstruccinIParados(2009-100)Milesdeparados(construccin)

20091-------100x2009-1743,754

2009294,3794,3700743,754x94,37701,881

2009388,6483,6496743,754x83,6496622,147

2009498,7982,6374743,754x82,6374614,619

2010197,8780,8772743,754x80,8772601,528

2010287,7170,9374527,600

2010387,461,9993743,754x61,9993461,122

Solucin:Enelapartado(a)

IC2009-3(paradosservicios)ICICICIC2009-42010-3

2010-32010-22010-1....100100100100100

96,0495,91106,35100,70....10098,6468100100100100

Enconsecuencia,lavariacinporcentualquecorrespondealperiodocomprendidoentreeltercertrimestrede2009yeltercertrimestrede2010esde98,64681001,3532%

b)Enlaconstruccin,primeroseobtienenlosndicesenserieconbaseprimertrimestrede2009:

I(X)ICIC88,6494,37I200924(X)2009320092

2009

2009320092..100..10083,6496100100100100

98,7988,6494,37...10082,6374100100100

Utilizandoeldatode527,6milparadosparaelsegundotrimestrede2010secalculaeldatodeparoparaelprimertrimestrede2009:

xt527,6tIo

.100x0x20091

.10070,9374x20091743,754

xt21tTASASDEVARIACIN(Variacinporcentual)

Seaxt1elvalordeunavariableXenelinstanteoperiododetiempot1yxt2elvalordelamismaenuninstanteoperiodoposteriort2,latasadevariacindeXent2conrespectoat1sedefinecomo:

-x

2Tasatt1(x)=.100xt1

xt.100=2-1.100=Itt21(x)-100xt2AdvirtasequeTasat1(x)=

xt2-xt1xt1

1

4

Datos2001200220032004

Destinoextranjero2919,22814,42915,23414,2

tI200110096,41099,863116,957

ttTasa2001I20011000-3,590-0,13716,957

Datos2001200220032004

Viajestursticos12815,21209312743,714568,5

DestinoEspaa98969274,69828,511154,3

Destinoextranjero2919,22814,42915,23414,2

Tasa(x),ysecalculaapartirdelndiceencadena:Latasadevariacinentredosobservacionesconsecutivas(xt-1,xt)deX,sedenotaport

txt-xt-1tTasa(x)=.100=IC(x)-100xt-1

Sesueleutilizarlaexpresintasadevariacininteranual,intertrimestralointermensual,parareferirsealatasadevariacinentreobservacionesconsecutivascorrespondientesaaos,trimestresomeses,respectivamente.

Cuandosetrabajaconseriesdedatosmensualesotrimestralescorrespondientesadistintosaos,tambinseutilizalaexpresintasadevariacininteranualcorrespondienteaundeterminadomes(otrimestre)parareferirsealavariacinporcentualqueexperimentalavariableenundeterminadomes(otrimestre)delaoinmediatamenteanterior.

Ejemplo3.-Enlatablaadjuntasereflejaelgastototalenviajestursticos(enmillonesdeeuros)delosresidentesenEspaaparaelperiodo2001-2004.

a)CulfueelincrementoporcentualdegastoenviajestursticosdelosresidentesenEspaaentrelosaos2001-2004?

b)Hallarlavariacinporcentualdelgastoenviajestursticoscondestinoalextranjerocorrespondienteacadaaorespectoalao2001.

c)Determinarlastasasdevariacininteranual(%)paraelgastoporviajescondestinoaEspaacorrespondientesalperiodo2001-2004,sabiendoqueenelao2001respectoal2000fuedeun16,2%.

Solucin:Enelapartado(a)

Tasa2001(x)x2004-x14568,512815,22004

x200112815,2

.100

.10013,6814

obien,Tasa20012001(x)-100(x)I20042004

14568,512815,2

10013,6814

b)Seobtienelaseriedendicessimplesenserieconbase2001paraelgastoenviajestursticosydespusseobtienelatasaporcentualrestando100acadandice.

5

Mes2004-062004-072004-082004-092004-102004-112004-12

Hipotecas4155383633804212411939273801

tIC(mes)------92,3288,11124,6297,7995,3496,79

TasatIC100-------7,68-11,8924,62-2,21-4,66-3,21

Datos2001200220032004

DestinoEspaa98969274,69828,511154,3

ICt116,293,72105,97113,49

tTasainteranualIC10016,20-6,285,9713,49

Mes2004-062004-072004-082004-092004-102004-112004-12

Hipotecas4155383633804212411939273801

Tambinapartirdelaexpresin:Tasa2001(x)t

xt-x2001x2001

.100

c)Lastasasdevariacininteranualsecalculanapartirdelosndicesdecadena:

I2001(X)I2002(X)I2003(X)2002

9274,69896

.10093,72

2003

9828,59274,6

.100105,97

2004

11154,39828,5

.100113,49

Ejemplo4.-Enlatablaadjuntafiguranelnmerodehipotecasinmobiliariasparafincasrsticasentrejunioydiciembrede2004.

a)Determinarlastasasintermensualesdevariacincorrespondientes

b)Conociendoqueelnmerodehipotecasenseptiembrede2005ascendia4410,obtenerlatasadevariacininteranualcorrespondientealmesdeseptiembre.

Solucin:Enelapartado(a)

4410b)Latasainteranualparaelmesdeseptiembrede2005:

Tasainteranual200509IC200509100

44104212

.1001004,7%

TASAMEDIADEVARIACIN(Tasamediacrecimientoacumulativo)

SedenominatasamediadevariacindelavariableXenelperiodo[t,t+k],otasamediadecrecimientoacumulativo,alatasaTkquepermiteobtenerlaobservacinxt+kenelinstanteoperiodot+k,partiendodelaobservacinxtenelinstantet,aplicandoentreinstantesoperiodosconsecutivosunincrementoporcentualconstanteeigualaTk.

6

Mes2004-062004-072004-082004-092004-102004-112004-12

Hipotecas4155383633804212411939273801

.xt.xtxt1xt

Tk100

100Tk100

T100Tkk100TT100Tkk100Txt2

xt3

xt1k.xt1.xt1.xt100100100

xt2k.xt2.xt2.xt100100100

2

3

T100Tkk100Txtk1k.xtk1.xtk1.xtxtk

100100100

k

xtk100Tkk100T.xtSiendoxtk

xt100100

kk

k

xtkxt

100Tk100

xtkPortanto,Tkk1.100xt

Ejemplo5.-Enlatablaadjuntafiguranelnmerodehipotecasinmobiliariasparafincasrsticasentrejunioydiciembrede2004.

4410a)Determinarlatasamediadevariacinintermensualde2004

b)Conociendoqueelnmerodehipotecasenseptiembrede2005ascendia4410,obtenerelcrecimientomediomensualacumulativoparaelperiodoseptiembre2004-septiembre2005

Solucin:Enelapartado(a)

63801x200412T6.100.10011

6

x2004064155

6

0,91481.1001,47%

b)Elcrecimientomediomensualacumulativoentreseptiembre2004-2005(periodode13meses):

124410x200509T12.100.10011

12

x2004093380

12

1,30471.1002,24%

7

NDICESSIMPLESMSUTILIZADOS

mismoenelperodobasepi0:p0tit.100actualqitybaseqi0:qt0it.100

PRECIORELATIVO:Relacinentreelpreciodeunbienenelperodoactualpityelpreciodelppi0

CANTIDADRELATIVA:Raznentrelacantidadproducidaovendidadeunbienensusperodosqqi0

VALORRELATIVO:Valordeunbienenunperodocualquierasedefinecomoelproductodel

V0t==.100=.100=p00t.100Vtpit.qitpitqitt(cntimoseuro)Variacinpreciobarradepan2006302006I2005=.100=1202007322007I2005=.100128preciodeesebienylacantidadproducida(vendida).Elvalorrelativoserlaraznentrelosvaloresdeesebienenelperodoactual(pit.qit)yenelperodobase(pi0.qi0):

..qV0pi0.qi0pi0qi0

Elvalorrelativodeunbienesigualalproductodesupreciorelativoysucantidadrelativa.

Ejemplo6.-Sedeseaconocerlaevolucindelpreciodelabarradepanente2005y2010enEspaa.Paraellosedisponedelasiguienteinformacin:

ndicesAosPreciobarradepan

20052510030253225

I20052008382008

I20052009442009

I20052010482010

382544254825

.100152

.100176

.100192

Calculadalaseriedendicesdevariacin,seobservaqueelpreciodelabarradepanen2007fue1,28veceselde2005;elde2010fue1,92veceslade2005,yassucesivamente.

Sealarqueelndiceesunamedidaadimensional,numeradorydenominadorvienendadosenlasmismasunidadesdemedida.

8

Artculospocas12n

0p10p20pn0

1p11p21pn1

2p12p22pn2

tp1tp2tpnt

Artculos12n

ndicessimplesp1t100p10p2t100p20pnt100pn0

NDICESCOMPLEJOS.-Generalmenteelintersnoseencuentraencompararprecios,cantidadesovaloresindividuales,sinoquesecomparanfenmenosdelmundorealdondeintervienenmuchasvariables.Comoconsecuencia,lainformacinsuministradaporlosndicesdediferentesbienesdebedeserresumidaenunnicondicealquesedenominandicecomplejo.

Laconstruccindeunndicecomplejonoesunatareafcil.Paraelaborarlaevolucindelcostedelavidadeunpas(IPCenEspaa)habraqueseleccionarungrupodebienesquereflejarandichocoste,teniendoencuentalaimportanciarelativadecadaunodeesosbienes,decidiendofinalmentelaformadeunificartodalainformacinparaobtenerunnicondice.

Elobjetivoesllegaraunnmerondicesencilloquerenalamayorcantidadposibledeinformacin.

Deestamanera,sellegaadostiposdendicescomplejos:ndicescomplejosnoponderados(cuandoprimalasencillez)endicescomplejosponderados(cuandosedeseaquecontenganlamayorcantidaddeinformacin).

NDICESCOMPLEJOSDEPRECIOSNOPONDERADOS.-MediantelosndicesdePreciosseanalizaelestudiodemagnitudeseconmicas,quecuantificanlaevolucindelamagnitudpreciodeunconjuntodebienesyservicios.

Setendralainformacinqueproporcionauncuadroanlogoalsiguiente:

Elobjetivoserencontrarunamedidaestadsticaqueresumatodalainformacinypermitaconocerculhasidolavariacinexperimentadaporlospreciosenelperodotrespectoalperodobase.

Pararesumirlainformacinobtenidaatravsdelosndicessimples,eslgicopromediarstos.Deestemodo,losndicescomplejosvanasermediasaritmticas,geomtricas,armnicasyagregativasdelosndicessimples.

ponderadadelosndicessimples:Sp.it.100pitNDICEDESAUERBECK:ConsiderandolospreciosrelativosIi

1npni1pi0

n

tNDICEMEDIAGEOMTRICA:I0n.100i1pi0

9

pitpi0

,eslamediaaritmticano

ArtculosPrecios

200820092010

Pan384448

Huevos130150215

Leche88100110

Pollo160190205

pi0NDICEMEDIAARMNICA:

tI0

nn

i1pit

.100

DelostresndiceselqueseutilizaconmayorfrecuenciaeselndicedeSauerbeck.

NDICEMEDIAAGREGATIVASIMPLEODEBRADSTREET-DTOT:Consisteenconsiderarunndicesimpledeagregadosdemagnitudes(precios).Esdecir,secalculalarazndelamediaaritmticadelospreciosdenartculos(enelperodotcomoenelperodobase):

npit

BDP

i1n

.100

pi0i1

Sealarquelosndicesanalizadostienenlaventajadeserfcilesdeaplicar,peropresentaninconvenientesimportantes:

Ejemplo7.-Enlatablaadjuntaaparecendistintosartculosylosprecios(encntimosdeeuros)entre2008y2010.Sepidecalcularlosndicescompuestos.

ndicedeSauerbeck:Sp.it.100(mediaaritmticasimple)Solucin:

1npni1pi0

Sp2009.it.100.160Sp2010.it.100.1602008

2008

1np1441501001904i1pi043813088

1np1482151102054i1pi043813088

.100115,89

.100136,21

pitn

tndicemediaGeomtrica:I0ni1pi0

.100

2008I20094

44150100190....100115,883813088160

2008I20104

48215110205...3813088160

.100135,25

10

MesesPrecioArrozPrecioTrigoPrecioPatatas

0503040

1603040

2703545

3754045

4804550

5905050

pi0tndicemediaArmnica:I0

nn

i1pit

.100

2008I2009

2008I2010

4381308816044150100190

4381308816048215110205

.100115,86

.100134,37

ndicemediaagregativasimpleodeBradstreet-Dtot:BDP

4

npiti1npi0i1

.100

2008BDP2009

piti14pi0

.100

441501001903813088160

.100116,35

i1

4

2008BDP2010

piti14pi0

.100

482151102053813088160

.100138,94

i1

Sealarqueestoscuatrotiposdendicescompuestossinponderarsepuedenutilizarparaestudiarlaevolucindecualquierotravariabledistintadelprecio.

Ejemplo8.-Conlatablaadjuntadepreciosdeproductosagrcolas(arroz,trigoypatatas).CalcularlosndicesdepreciosdeSauerbeckydeBradstreet-Dtot,ascomolastasasdevariacinintermensuales.

(xAt)aritmticasimplendicesI0t(X)t.100ymediaagregativasimplendicesIA0(X)Solucin:

LosndicescomplejosdeSauerbeckyBradstreet-Dtotseobtienen,respectivamente,comomedia

xt.100

x0(xA)011

Meses012345

B-D(mediaagregativa)100108,33125133,33145,83158,33

Tasasvariacin(intermensuales)---------8,332533,3345,8358,33

SauerbeckMeses

ArrozTrigoPrecioPrecio

PatatasPrecio

ArrozI.simple

TrigoI.simple

ndicePatatasI.simpleM.aritmtica

TOTALxA

Bradstreet-DtotM.agrexA

05030401001001001001201001603040120100100106,67130108,332703545140116,667112,5123,061501253754045150133,333112,5131,94160133,334804550160150125145175145,835905050180166,667125157,22190158,33

tElndicedeSauerbeckeslamediaaritmticadelosndicessimples:I0(X)

xtx0

.100

120100100Sp2106,773

140116,667112,5Sp3123,063

..

ElndicedeBradstreet-Dtoteslamediaagregativasimple:IA0(X)t

(xA)t(xA)0

.100

1BDP0

130120

.100108,33

3BDP0

160120

.100133,33

..

.100.100I0t(x)-100tLastasasdevariacinintermensuales:Tasa0(x)

x0x0

xt-x0xt

-1

12

INDICESCOMPLEJOSDEPRECIOSPONDERADOS.-Unapresentacinsobrelossistemasdeponderacionespropuestostradicionalmente:

pi0.qi0valordelacantidadconsumidadelbieni-simoenelperodobase,apreciosdeperodobase.(situacinreal)

pi0.qitvalorapreciosdelperodobasedelacantidadconsumidadelbieni-simoenelperodoactual.(situacinconvaloracinficticia)

Losndicescomplejosponderadosmsutilizadosson:Laspeyres,Paasche,EdgeworthyFisher.

NDICEDEPRECIOSDELASPEYRES:IMPORTANCIADELASPONDERACIONES

Analizanlasvariacionesdebidasaloscambiosenlospreciosdeunconjuntodeartculosponderndolossiempreporlasmismascantidades.

ElndicedeLaspeyressedefinecomolamediaaritmticaponderadadelosndicessimplesdeprecios.Elcriteriodeponderacinespi0.qi0,conlocual:

pLp

n

i10pitpi0.qi0npi0.qi0i1

npit.qi0

n.100i1pi0.qi0i1

.100

Loscriteriosparaleeleccindelperodobasesonvariados,fundamentalmenteserequierequeseaunaonoirregularonormal.ElinconvenientedelndicedeLaspeyresesquesuponequesiempreseadquierenlasmismascantidadesqueenelperodobase.

NDICEDEPRECIOSDEPAASCHE:ALTERNATIVASALNDICEDELASPEYRES

ElndicedeLaspeyressecuestionaenocasiones,yaqueparecepocorealistasuponerquelascantidadescompradasoadquiridasenelaodereferencianovaraneneltiempo.

Comoejemplo,noparecemuyrealistalahiptesisdequeenaosdesequa,yenconsecuencia,desubidasimportantesdelospreciosdelosproductosagrarios,lascantidadesdemandadasseaniguales.

Seplantelanecesidaddedisponerdeotrosndicesque,conlafinalidaddemedirlavariacindepreciosdeundeterminadoconjuntodeartculos,noestuvierasujetoalarestriccindesuponerquesiempreseadquiranlasmismascantidadesqueenelperodobase.

ElndicedePaaschesedefinecomolamediaaritmticaponderadadelosndicessimplesdeprecios.Elcriteriodeponderacinespi0.qit,conlocual:

pPp

n

i10pitpi0.qitnpi0.qiti1

.100

npit.qiti1npi0.qiti1

.100

ElclculodelndicedePaascheeslaborioso,exigecalcularlasponderacionespit.qitparacadaperodocorriente.Otroinconvenienteadicional,elndicedepreciosdecadaaoslosepuedecompararconeldelaobase.

LosdosinconvenientesexpuestosenelndicedePaasche,hacenquesuusohadecadoconsiderablemente.

13

NDICEDEPRECIOSDEEDGEWORTH

Esunamedidaagregativaponderadadeprecioscuyocoeficientedeponderacines(qi0qit):

npit.(qi0qit)

Ep

i1n

.100

pi0.(qi0qit)i1

NDICEDEPRECIOSIDEALDEFISHER

I.FisherpropusocomonmerondicedeprecioslamediageomtricadelosndicesdepreciosdeLaspeyresyPaasche,esdecir:

FpLp.Pp

NDICEDEVALOR

Elndicedevaloreselcocienteentreelvalordelosbienesconsideradosenelperodoactualapreciosdelperodoactualyelvalordelosbienesenelperodobaseapreciosdelperodobase,porconsiguientereflejaconjuntamentelasvariacionesdelospreciosylascantidades.

n

,severificaIV0P0Q0Q0P0P0Q0tL.PL.PF.FtIV0

VtV0

pit.qiti1npi0.qi0

tttttt

i1

PROPIEDADESDELOSNMEROSNDICES

perodosentresI0t,elnuevondicedebeverificar:I0ttIt0.I0t1It0.Itt'It0'It'CCLICA.-Consecuenciadelapropiedaddeinversinycircular:It0.Itt'.Itt'''0I0t.Itt'.Itt'''It0''

EXISTENCIA.-Todonmerondicedebeestarbiendefinidoyserdistintodecero.

IGUALDAD.-Cuandocoincideelperodobaseyelperodoactual,elnmerondiceesigualalaunidad.Sealarquelosnmerosndicesmidenvariacionesentredosperodosy,alcoincidirestos,noreflejanningunavariedad.

tINVERSIN.-DenotandoporI0unndiceconbase0yperodoactualt,alintercambiarlos1I0

tt'I0.Itt'.I01CIRCULAR.-Considerandolosperodos0,t,t',t'',sedebeverificar:tt't''0I0.It.It'.It''1

tt'1I0.It01

It''

14

PROPORCIONALIDAD.-Sienelperodoactuallamagnitud(otodaslasmagnitudessimplesenelcasodeunndicecomplejo)varaenunaproporcin,elndicecambiaenlamismaproporcin.

Silosvaloresxitsufrenunavariacindeordenk,losnuevosvaloresenelperodot'sondela

formaxit'xitk.xit(1k).xit,ylosnuevosndicessern:I'iit'xxi0

(1k).xitxi0

(1k).Ii

HOMOGENEIDAD.-Aunndicenodebenafectarleloscambiosenlasunidadesdemedida.

vendidaprecioscantidadvendidaprecioscantidadSealarqueestaspropiedadesqueseverificanparalosndicessimples,nosiempreseverificanparalosndicescomplejos.

Ejemplo9.-Supongamosqueenelejemplo7disponemosdeinformacinadicionalsobrelacantidadvendidaencadaunodelosperodos,comosedetallaenlatablaadjunta.DeterminarlosndicesdeLaspeyres,Paasche,EdgeworthyFisherpara2010,siendoelaobase2008.

200820092010ArtculosprecioscantidadvendidaPan381504420048240Huevos130400150580215560Leche88700100780110925Pollo160400190400205375

Solucin:

LaspeyresPaascheEdgeworth

Artculos

pi10.qi08

pi08.qi08

pi10.qi10

pi08.qi10

(qi08qi10)

pi10.(qi08qi10)

pi08.(qi08qi10)

Pan720057001152091203901872014820Huevos860005200012040072800960206400124800Leche7700061600101750814001625178750143000Pollo82000640007687560000775158875124000252200183300310545223320562745406620

4

pi10.qi08

20084ndicedeLaspeyres:Lp2010i1pi08.qi08

.100

252200183300

.100137,59

i1

4

ndicedePaasche:

2008Pp2010

pi10.qi10i14pi08.qi10

.100

310545223320

.100139,06

i1

4

2008ndicedeEdgeworth:Ep2010

pi10.(qi08qi10)i14pi08.(qi08qi10)

.100

562745406620

.100138,40

i1

15

ndicedeFisher:

200820082008Fp2010Lp2010.Pp2010137,59.139,06138,32

Lossistemasdeponderacionespropuestostradicionalmentei0i0INDICESCOMPLEJOSPONDERADOSDEPRODUCCINOCUNTICOS.-Losnmerosndicescunticosodeproduccinanalizansuevolucineneltiempo,estudiandolasvariacionesdelaproduccinfsicadeunconjuntodebienesyservicios.

ElcriteriodeponderacinesigualqueenlosndicesdePrecios,aqusehadeponderarelvalornetoovaloraadidodelbienynoelpreciodeventaovalorbrutodelmismo,puestoquesisehicieraassecontabilizaraunamismacantidadvariasveces,tantascomoetapasdiferentessuponganelprocesodeproduccin.

q.psituacinrealqi0.pitsituacinficticia

Losndicescomplejosponderadosmsutilizadosson:Laspeyres,PaascheyFisher.ElndicedeLaspeyreseselquemsseutiliza,tantoparandicesdePrecioscomoparandicesCunticos.

qitNDICECUNTICODELASPEYRES:

Lq

n

i1qi0n

qi0.pi0

.100

n

.pqiti0i1n

.100

qi0i1

.pi0

qi0.pi0i1situacinreal

qi1qitqi0itNDICECUNTICODEPAASCHE:

Pq

n

n

i0

.p

.100

nqiti1n

.pit

.100

qi0i1

.pit

qi0.piti1situacinficticia

NDICECUNTICOIDEALDEFISHER:FqLq.Pq

PROBLEMASCONLAUTILIZACINDENMEROSNDICES.-Fundamentalmentesonreferentesadoscuestiones:

PONDERACIONES.-Enlamedidadeloposible,eltipodeponderacindebereflejarlaimportanciarelativadecadabienenparticular.Enlosndicesexpuestoslasponderacionesmsapropiadassebasanencantidadesovaloresparalosndicesdeprecios,yenpreciosovaloresparalosndicesdecantidad.Enlaprctica,cadabienincluidoenunndicecomplejosesueleinterpretarcomorepresentativodetodalaclasedeartculosrelacionadosynocomobienindividual.Enestesentido,laponderacinasignadaacadaartculoindividualreflejalaimportanciadetodalaclasequerepresenta.

PERODOBASE.-Esaqulperodoconrespectoalqueseefectanlascomparaciones,porloqueparaquemuchascomparacionesnopierdansignificado,sesueleelegircomotalunperodonoalejadoexcesivamentedelperodocorriente.Enestalnea,sehacenecesariorenovarperidicamentelainformacinrelativaalaobase.16

AosPreciorefresco(euros)ndicesSimplesBase2000ndicesSimplesBase2005

20001,2100(100/145).10068,97

20011,3(1,3/1,2).100108,33(108,33/145).10074,71

20021,42(1,42/1,2).100118,33(118,33/145).10081,61

20031,54(1,54/1,2).100128,33(128,33/145).10088,51

20041,65(1,65/1,2).100137,50(137,5/145).10094,83

20051,74145100

20061,86(1,86/1,2).100155(155/145).100106,90

20071,94(1,94/1,2).100161,67(161,67/145).100111,49

20082,15(2,15/1,2).100179,17(179,17/145).100123,56

20092,25(2,25/1,2).100187,50(187,50/145).100129,31

20102,30(2,30/1,2).100191,67(191,67/145).100132,18

Perodondice(perodo0)ndice(perodoh)

0I000Ih

1I10I1h

iIi0Iih

hIh0Ihh

ttI0tIh

CAMBIOSDEBASEREVISINDELABASEENNDICESSIMPLES.-Alalejarsedelperodobaseelndicesufreunaprdidaderepresentatividad,enespecialcuandoparaponderarmagnitudesactualesseutilizanpreciosrelativosreferidosalperodobase.Esteproblemaseresuelvehaciendouncambiodebaseaperodomsprximoalactual.Pararelacionarseriesdendicesreferidosadistintosperodosbaseseutilizanenlacestcnicosentreambasseries.

Lanuevaseriedendicesseobtiene:Ii0hIi0Iih

h.IhhI0I0

dondeIh0eselndicequehacedeenlacetcnicoentrelasdosseries.Ejemplo10.-Dadalaserieadjuntaconbaseao2000,sedeseacambiarlabasealao2005

Elintersdelcambioresideentenerlosdatosmsactuales,conlatransformacinsepuedeobservarcomoelpreciodelabotelladerefrescosenelao2010aumentoel32,18%enrelacinalao2005.

Sealarquepararealizaruncambiodebaseenlosndicessimplesbastadividircasaunodelosndicesdelabaseantiguaporelvalordelndicecorrespondientealperodoseleccionadocomonuevabaseymultiplicarlopor100.

Comoalternativaalaactualizacindelperodobasedescritoparalossistemasdebasefija,sevieneutilizandoconmayorfrecuencialossistemasdendicesdebasevariableoencadenada(sistemasqueutilizancomobaseelperodoinmediatamenteanterior).

Observandolatablaanterior,utilizandolaBASEVARIABLEoENCADENADA:

17

AosPreciorefresco(euros)ndicesSimples2005=100ndicesSimplesBasevariableoEncadenadaTasavariacin(interanual)

20051,74100----------

20061,86106,90(106,90/100).100106,906,90

20071,94111,49(111,49/106,90).100104,304,30

20082,15123,56(123,56/111,49).100110,8210,82

20092,25129,31(129,31/123,56).100104,654,65

20102,30132,18(132,18/129,31).100102,222,22

Enlaltimacolumna,seobservaqueentre2006y2005elpreciodelabotelladerefrescosvariun6,90%,entre2006y2007un4,30%,etc.Enesteejemplo,dendicesdebasevariableoencadenada,cadandicesecalcularespectoaunaodistinto.

Destacarqueapartirdelaseriedebasevariable(ltimacolumna)sepuedecalcularelndiceparabasefijadecualquierperodo.Deestamanera,elndicedelosrefrescosde2010conbase2005sera:

I2010I2005200620072008.100.I.I.I2005

2006200720082009

106,9104,30110,82104,65102,22.....100132,18100100100100100

CAMBIOSDEBASEREVISINDELABASEENNDICESCOMPLEJOS.-Elconceptodeperodobaseenlosndicesdeunconjuntodeartculos(comoocurreconlosndicesdeLaspeyresyPaasche)noeselmismoqueenunndicesimple.

Elperodobaseenlosndicescomplejosponderados,ademsdesereltiempodereferencia,eseltiempoenquesedebenverificardeterminadosrequisitosrespectoadoscaractersticas:(a)Artculosoelementosindependientesalosqueserefiereelndice.(b)Ponderacionesquesevanaasignaracadaelementooartculo.

Losndicescomplejos,comolosndicessimples,puedenelaborarseconunsistemadebasefijaoconunsistemadebasevariableodeencadenamientos.

Cuandoseeligeunsistemadebasefija,nohayqueolvidarquelaestructuradelgastoestsometidaaunaconstanteevolucin.Enotraspalabras,amedidaquenosalejamosdelperodobasesevanaproducircambiosdedistintandole,querespondenfundamentalmenteadoscaractersticas:(a)Cambiosenlosbienesoserviciosquecomponenelndice.(b)Cambiosenlosgustosopreferenciasdelosagenteseconmicos.

18

Aos20002001200220032004200520062007200820092010

Base=2000101112131516

Base=20051818,620222324

Aos20002001200220032004200520062007200820092010

Base=2000100110120130150160

Base=2005100103,33111,11122,22127,78133,33

Aos20002001200220032004200520062007200820092010

Base=2000100110120130150160

Base=200562,568,757581,2593,75100103,33111,11122,22127,78133,33

Ejemplo11.-Enlatablaadjuntasepresentanlosdatosdeunconjuntodebienespit.qi0yp'it.q'i0,respectivamente,dondelosperodosdeponderacinson2000y2005:

a)HallarloscorrespondientesndicesdepreciosdeLaspeyres.b)Determinarlosndicesdepreciosentrelosperodos2000-2004conbase2005.

Solucin:

a)LoscorrespondientesndicesdeLaspeyresseran:

Lp2000

1010

.100100%

Lp2005

1818

.100100%

Lp2001

1110

.100110%

2005Lp2006

18,618

.100103,33%

Lp2002

Lp2003

Lp2004

Lp2005

1210131015101610

.100120%

.100130%

.100150%

.100160%

2005200520052005Lp2007

Lp2008

Lp2009

Lp2010

2018221823182418

.100111,11%

.100122,22%

.100127,78%

.100133,33%

ndicedeLaspeyresb)Determinarlosndicesdepreciosentrelosperodos2000-2004conbase2005=100.

h,setiene:Lp20052000.100Conladefinicindecambiodebase

Iih

I0Lp2000

Ii02000Lp2000

100160

.10062,5%

ParalosotrosndicesdeLaspeyres:

20052005Lp2001Lp2001.Lp2000110.62,568,75%

20052005Lp2003Lp2003.Lp2000130.62,581,25%

ndicedeLaspeyres20052005Lp2002Lp2002.Lp2000120.62,575%

20052005Lp2004Lp2004.Lp2000150.62,593,75%

19

PerodosBase1974Base1990Base1990(Diciembre1995=100)

1987429,70429,70x0,2165=93,0393,03x0,8453=78,61

1998444,49444,49x0,2165=96,2396,23x0,8453=81,34

1989460,67460,67x0,2165=99,7399,73x0,8453=84,30

1990471,12102102x0,8453=86,22

1991102,6x4,6188=473,89102,6102,6x0,8453=86,73

1992104,2x4,6188=481,28104,2104,2x0,8453=88,08

1993107,7x4,6188=497,45107,7107,7x0,8453=91,04

1994113,3x4,6188=523,31113,3113,3x0,8453=95,77

1995118,3x4,6188=546,41118,3100

PerodosBase1974Base1990

1987429,70429,70x0,2165=93,03

1998444,49444,49x0,2165=96,23

1989460,67460,67x0,2165=99,73

1990471,12102

1991102,6x4,6188=473,89102,6

1992104,2x4,6188=481,28104,2

1993107,7x4,6188=497,45107,7

1994113,3x4,6188=523,31113,3

1995118,3x4,6188=546,41118,3

I471,12==4,6188I102Ejemplo12.-EnlatablaserecogenlosndicesdePreciosIndustrialesparaEspaaconbase1974y1990paralosmesesdediciembredecadaao.Sepideobtenerunaserienicaparalasdosbases.

1990197419901990

I1974I19901990

102

==0,2165471,12

Paracambiarlabasedeunndicebastacondeterminarlarelacinexistenteentrelosvaloresdelmismoparaelnicoperodoenelquesedisponeinformacinenlasdosbases.

Enestesentido,elperodoenquesedisponeinformacinenlasdosbasesesdiciembrede1990,la

I1990relacinocoeficientedeenlaceconbase1974:

1974I19901990

471,12==4,6188102

I1974Tomando1990comobase,elcoeficientedeenlace:

I19901990

102==0,2165471,12

==0,8453I19901188,3Unaoperacinsimilaralenlacedeserieseselcambiodebaseparaunaserieconcreta.Enestalnea,paraquelaserieconbase1990tomaseelvalor100endiciembrede1995,senecesitabuscarelcoeficientequehagaposibleestatransformacin.Enestecaso,elcoeficientesera:

1001001995

DEFLACTARSERIESESTADSTICAS.-Losnmerosndices,yenespeciallosnmerosndicesdeprecios,tienenaplicacionesmuyimportantesenelmundoreal.

Unafuncinimportantedeldineroesladepasardeunidadesfsicasaunaunidaddecuentacomn,medianteunavaloracindelosdistintosbienesyservicios,generalmentemediantelautilizacindeunsistemadeprecios.20

AosSalarioanual(euros)ndiceevolucinsalariomonetarioIPCBase2005(deflactor)Salarioanualreal(deflactado)=Salarioreal/IPCndiceevolucinsalarioreal

200568401001006840100

20067102105106670097,95

200775241101096902,8100,92

200882081201196897,5100,84

200988921301257113,6104

201092341351307103,1103,85

Aos200520062007200820092010

Salarioanual(euros)684071027524820888929234

ndiceevolucin100105110120130135

Realizadalahomogeneizacinpodemosefectuarcomparacionesenbasealaunidaddecuentacomn,siemprequenosehayanproducidocambiosenlospreciosdedeterminadosartculos.

Enotraspalabras,lacomparacinesposiblecuandolavaloracinserealizaapreciosconstantes(deunperododeterminado),noesposiblerealizarlacuandoseefectaaprecioscorrientes(preciosdecadaperodo),puestoquelasalteracionesdelospreciosdeunperodoaotroasignandistintopoderadquisitivoalasunidadesmonetarias(encuantoasupoderdecompra,uneurode2001noesequivalenteauneurode2010).

Paraclarificarloexpuesto,podemosrecurriraunejemplosencillo:.

Elprocedimientoquepermitetransformarunaserieexpresadaenvalorescorrientesavaloresconstantesseconocecomodeflactacindelaserieyalndiceelegidoparadichatransformacinselellamadeflactor.Eldeflactornosiempreeselmismo,encadacasohabrqueelegirelptimoparacadaalcanzarelobjetivodeseado.

Ejemplo13.-Enlatablaserecogeelsalarioanualdeuntrabajadorenelperodo2005-2010:

ndicedeevolucindelsalariomonetarioComopuedeobservarse,enlatercerafilaseincluyeunndicesimpledeevolucindelsalariodeltrabajador,tomandocomobaseelao2005.Elndicede2010esde135%,esdecir,elsalariodeltrabajadorsehaincrementadodurantesteperodoun35%.

Parasabersirealmentelossalariohanaumentadoentrminodeloquesepuedeadquirirconellos,laformamselementalseracompararlosconlassubidasdelIPC(queproporcionaunindicadorgeneraldelasvariacionesdelospreciosdelosbienesyserviciosqueadquierenlasfamiliasespaolas).

ndicesdeevolucinsalariomonetarioysalariorealElsalarioanualreal(salariodeflactado)seobtienedividiendoelsalarioanualdecadaaoosalariomonetarioporelIPCdecadaao.

21

PerodosValornominal(eneuroscorrientes)Valorreal(eneurosconstantesdelperodo0)

0nV0pi0.qi0i1RnV0pi0.qi0i1

1nV1pi1.qi1i1RnV1pi0.qi1i1

2nV2pi2.qi2i1RnV2pi0.qi2i1

tnVtpit.qiti1RnVtpi0.qiti1

nnVnpin.qini1RnVnpi0.qini1

Ladeflactacineselprocesoquehapermitidotransformarlossalariosanuales(eneuros)asalariosreales,eliminandoelefectodelainflacin.ElndiceelegidocomodeflactorhasidoelIPC.Laseriedeflactadasedenominaserieapreciosconstantes.

Enuncasogeneral,endondelaserieestadsticaseaelresultadodeunvalor,esdecir,elresultadodemultiplicarcantidadesporprecios,setienelatablaadjunta:

ndicesdepreciosmsutilizadossonLaspeyresyPaasche.Seplanteacomoactanestosndicesensuaplicacinparadeflactarunaserieestadstica.nSeaVtpit.qitelvalordelamagnitudcomplejaenelperodot.Utilizandocomodeflactoreli1npit.qi0

ndicedeLaspeyresLp

n

i1npi0.qi0i1

n

,setiene:

VtLp

pit.qiti1npit.qi0

npi0.qi0.i1

pit.qiti1npit.qi0

tV0.PqVR

Nosepasadevaloresmonetarioscorrientesavaloresmonetariosconstantes.Apesardeello,elndicedeLaspeyresseutilizacomodeflactor

i1npi0.qi0i1

i1

muchasveces,porserelqueseelaboramscomnmente.

npit.qit

UtilizandocomodeflactorelNDICEDEPAASCHEPp

i1npi0.qiti1

,setiene:

VtPp

npit.qiti1npit.qiti1

n

tpi0.qitVRi1

UtilizandocomodeflactorelndicedePaasche,seobtieneunarelacinentrevaloresmonetarioscorrientesyvaloresmonetariosconstantes.Enconsecuencia,elndicedePaaschesereldeflactormsadecuadosiemprequelosvaloresqueaparecenenlaserie

npi0.qiti1

estadsticasepuedandescomponerensumasdepreciosporcantidades.

22

Subrayarquelaeleccindeldeflactor,esdecir,delndicedepreciosadecuadoesfundamental:Siloquesedeflactaesunaseriesobrelaproduccindelaindustriahabraqueutilizarunndicedepreciosindustriales;sisedeflactaunaseriesobreelPIBnominalhabraqueutilizarunndicegeneraldeprecios;sisedeflactaunaseriesobrelosvaloresnominalesocorrientesdelaproduccinagrariaseraconvenientedisponerdeunndicedepreciosagrarios;etc.

23