제 7 장 보의 처짐
학습목표
본장에서는굽힘을받는보의변형, 즉 임의단면의경사각과처짐을
구하는방법을미분방정식법, 중첩법, 면적모멘트법및 특이함수법을
이용하여배운다. 이때 4장에서배운보의이론을근거로한다.
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7-1 탄성곡선의 미분방정식
그림 7-1 탄성곡선
굽힌 후에 중립면과 하중면이 만나는 선을 탄성곡선(elastic curve,
elastic line) 또는 처짐곡선(deflection curve)이라 한다. 보의 임의
단면의 기울기(slope, θ) 및 처짐(y)은 이 탄성곡선에서의
경사각 및 처짐을 말한다.
그림 7-1에서 처짐곡선 중 x위치에 있는 dx
(곡선에서는 ds)부분을 생각한다. 이 ds의 곡률
반지름을 라 하면, 식(a)가 성립된다.
(a),1
ds
dθ
ρ=
dx
dy=θtan
각는아주미소하기때문에식(b)가된다.
(b)
위의관계에서 식 (c)가유도된다.
2
2
1 d d y
dx dx
θ
ρ≈ = (c)
x가 증가하면 는 감소하므로 d/dx는 – 부호가첨부되어야 실제보의
굽힘과일치한다.따라서,식 (4-6)으로부터 식 (d)가 된다.
2
2
1
z
M d d y
EI dx dx
θ
ρ= = − = − (d)
2
2z
d y M
dx EI= − (7-1)
,dxds ≈ θθ ≈tan
식 (7-1)이 처짐(탄성)곡선의미분방정식이며 이 식을 적분하면 임의
단면의 경사각 및 처짐을 계산할 수 있다. 단면의 굽힘 모멘트가 M(x)
일 때 식 (e)가 된다.
1
1 2
z
z
dy Mdx C
dx EI
My dxdx C x C
EI
θ= = − +
= − + +
∫
∫∫
C1, C2는 보의 경계조건에서구함.
또 식 (3-13), (3-14)을 고려하면, 식 (7-1)은 식 (7-2)로 유도된다.
(7-2)
그리고 식 (7-2)를 적분함으로써 경사각과 처짐을 구할 수 있다.
(e)
,3
3
Fdx
ydEI z −= )(04
4
xwdx
ydEI z =
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(A) 외팔보의경우
⑴ 외팔보자유단에집중하중이작용하는경우 (그림 7-2 )
x위치의 굽힘모멘트는 FBD에서 구한다. 즉, M=-P(l-x)로 된다. 이
M을 식 (7-1)에 대입하면 식 (f)로 된다.
그림 7-2 외팔보에서집중하중의기본형
2
2( )z
d yEI M P l x
dx= − = − (f)
2
1
( )
2z
dy P l xEI C
dx
−=− + (g)
3
1 2
( )
6z
P l xEI y C x C
−= + + (h)
외팔보의 경계조건은 고정단에서 A= 0, yA= 0이다.
이 조건에서 상수 C1, C2를 구한다.
FBD
이 상수로 식 (g), (h)에 대입하면 식 (7-3) (7-4)로 된다.
2 2( )(2 )
2 2 2z
dy P l x Pl PxEI l x
dx
−= − + = −
위 식에서 max, ymax는 x = l 인 B단면(자유단)에서 생긴다.
2
( )2
B B
z
dy Pl
dx EIθ = =
3
3B
z
Ply
EI=
(7-5)
(7-6)
(7-3)
(7-4))3(6626
)( 2323
xlPxPl
xPlxlP
yEI z −=−+−
=
),(0:0
),(0:0
hyx
gdx
dyx
식
식
→==
→== 2/21 PlC =
6/32 PlC −=
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[예제7-1] 외팔보 중간에집중하중이 작용하는 경우 (그림 7-3 )
AC구간은 위의 경우와 꼭 같다. 즉, 모든 식에서 l 대신 a를 대입하면
된다. 가령 점 C에서는 식 (i)와 같게 된다.
(i)
그림 1
BC구간에서 탄성곡선은 직선이다. (C가 일정)
2 /(2 )B C zPa EIθ θ= =
B c Cy y BC θ= + ×
(7-7)
zz EI
Paal
EI
Pa
2)(
3
23
−+=
)3(6
2
alEI
Pa
z
−=
z
cEI
Pay
3
3
=,2
2
z
cEI
Pa=θ
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x거리에 있는 D단면의 처짐 yD는 식 (7-8)로 된다.
(7-8))3(62
)(3
)(223
axEI
Pa
EI
Paax
EI
Paaxyy
zzZ
CCD −=−+=−+=∴ θ
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[예제7-2] 외팔보에등분포하중이작용하는경우 (그림 2)
M의 일반식은 FBD의 평형방정식에서 M=-w0 (l-x)2/2이다.
이 M을 식 (7-1)에 대입한 후 적분하면 된다.
그림 2 외팔보에분포하중이 작용할경우
220
2
( )
2z
w l xd yEI M
dx
−=− =
30
1
( )
6z
w l xdyEI C
dx
−= − +
40
1 2
( )
24z
w l xEI y C x C
−= + +
x=0에서
dy/dx=0,
y=0 이므로
3 40 0
1 2,6 24
w l w lC C= = −
위의 적분상수를 대입하여 정리하면 된다.
3 32 2 30 0 0( )
(3 3 )6 6 6
z
w l x w l wdyEI l x lx x
dx
−= − + = − +
4 3 4 22 20 0 0 0( )
(6 4 )24 6 24 24
z
w l x w l w l w xEI y x l lx x
−= + − = − +
30
max6
B
z
w l
EIθ θ∴ = =
40
max8
B
z
w ly y
EI∴ = =
(7-9)
(7-10)
(7-9)′
(7-10)′
[예제7-3] 외팔보에 M0가작용하는경우 (그림 3)
FBD에서 M의 일반식을 구하면 식(j)와 같다. 이는 순수굽힘상태로
어디서나 굽힘모멘트는 M0이다.
0M M= (j)
이 M을 식 (7-1)에 대입하여 적분하면 다음과 같다.
그림 3 외팔보에M0가작용하는경우
2
02z
d yEI M
dx= −
0 1z
dyEI M x C
dx= − +
20
1 22
z
M xEI y C x C= − + +
(0) = 0, y(0) = 0 에서
C1 = 0
C2 = 0
(k)
0
20
2
z
z
M xdy
dx EI
M xy
EI
= −
= −
(-는 반시계방향)
(-는 위로 처짐)
0
20
2
B
z
B
z
M l
EI
M ly
EI
θ = −
= −