제 7 장 보의 처짐

학습목표

본장에서는굽힘을받는보의변형, 즉 임의단면의경사각과처짐을

구하는방법을미분방정식법, 중첩법, 면적모멘트법및 특이함수법을

이용하여배운다. 이때 4장에서배운보의이론을근거로한다.

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7-1 탄성곡선의 미분방정식

그림 7-1 탄성곡선

굽힌 후에 중립면과 하중면이 만나는 선을 탄성곡선(elastic curve,

elastic line) 또는 처짐곡선(deflection curve)이라 한다. 보의 임의

단면의 기울기(slope, θ) 및 처짐(y)은 이 탄성곡선에서의

경사각 및 처짐을 말한다.

그림 7-1에서 처짐곡선 중 x위치에 있는 dx

(곡선에서는 ds)부분을 생각한다. 이 ds의 곡률

반지름을 라 하면, 식(a)가 성립된다.

(a),1

ds

dθ

ρ=

dx

dy=θtan

각는아주미소하기때문에식(b)가된다.

(b)

위의관계에서 식 (c)가유도된다.

2

2

1 d d y

dx dx

θ

ρ≈ = (c)

x가 증가하면 는 감소하므로 d/dx는 – 부호가첨부되어야 실제보의

굽힘과일치한다.따라서,식 (4-6)으로부터 식 (d)가 된다.

2

2

1

z

M d d y

EI dx dx

θ

ρ= = − = − (d)

2

2z

d y M

dx EI= − (7-1)

,dxds ≈ θθ ≈tan

식 (7-1)이 처짐(탄성)곡선의미분방정식이며 이 식을 적분하면 임의

단면의 경사각 및 처짐을 계산할 수 있다. 단면의 굽힘 모멘트가 M(x)

일 때 식 (e)가 된다.

1

1 2

z

z

dy Mdx C

dx EI

My dxdx C x C

EI

θ= = − +

= − + +

∫

∫∫

C1, C2는 보의 경계조건에서구함.

또 식 (3-13), (3-14)을 고려하면, 식 (7-1)은 식 (7-2)로 유도된다.

(7-2)

그리고 식 (7-2)를 적분함으로써 경사각과 처짐을 구할 수 있다.

(e)

,3

3

Fdx

ydEI z −= )(04

4

xwdx

ydEI z =

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(A) 외팔보의경우

⑴ 외팔보자유단에집중하중이작용하는경우 (그림 7-2 )

x위치의 굽힘모멘트는 FBD에서 구한다. 즉, M=-P(l-x)로 된다. 이

M을 식 (7-1)에 대입하면 식 (f)로 된다.

그림 7-2 외팔보에서집중하중의기본형

2

2( )z

d yEI M P l x

dx= − = − (f)

2

1

( )

2z

dy P l xEI C

dx

−=− + (g)

3

1 2

( )

6z

P l xEI y C x C

−= + + (h)

외팔보의 경계조건은 고정단에서 A= 0, yA= 0이다.

이 조건에서 상수 C1, C2를 구한다.

FBD

이 상수로 식 (g), (h)에 대입하면 식 (7-3) (7-4)로 된다.

2 2( )(2 )

2 2 2z

dy P l x Pl PxEI l x

dx

−= − + = −

위 식에서 max, ymax는 x = l 인 B단면(자유단)에서 생긴다.

2

( )2

B B

z

dy Pl

dx EIθ = =

3

3B

z

Ply

EI=

(7-5)

(7-6)

(7-3)

(7-4))3(6626

)( 2323

xlPxPl

xPlxlP

yEI z −=−+−

=

),(0:0

),(0:0

hyx

gdx

dyx

식

식

→==

→== 2/21 PlC =

6/32 PlC −=

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[예제7-1] 외팔보 중간에집중하중이 작용하는 경우 (그림 7-3 )

AC구간은 위의 경우와 꼭 같다. 즉, 모든 식에서 l 대신 a를 대입하면

된다. 가령 점 C에서는 식 (i)와 같게 된다.

(i)

그림 1

BC구간에서 탄성곡선은 직선이다. (C가 일정)

2 /(2 )B C zPa EIθ θ= =

B c Cy y BC θ= + ×

(7-7)

zz EI

Paal

EI

Pa

2)(

3

23

−+=

)3(6

2

alEI

Pa

z

−=

z

cEI

Pay

3

3

=,2

2

z

cEI

Pa=θ

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x거리에 있는 D단면의 처짐 yD는 식 (7-8)로 된다.

(7-8))3(62

)(3

)(223

axEI

Pa

EI

Paax

EI

Paaxyy

zzZ

CCD −=−+=−+=∴ θ

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[예제7-2] 외팔보에등분포하중이작용하는경우 (그림 2)

M의 일반식은 FBD의 평형방정식에서 M=-w0 (l-x)2/2이다.

이 M을 식 (7-1)에 대입한 후 적분하면 된다.

그림 2 외팔보에분포하중이 작용할경우

220

2

( )

2z

w l xd yEI M

dx

−=− =

30

1

( )

6z

w l xdyEI C

dx

−= − +

40

1 2

( )

24z

w l xEI y C x C

−= + +

x=0에서

dy/dx=0,

y=0 이므로

3 40 0

1 2,6 24

w l w lC C= = −

위의 적분상수를 대입하여 정리하면 된다.

3 32 2 30 0 0( )

(3 3 )6 6 6

z

w l x w l wdyEI l x lx x

dx

−= − + = − +

4 3 4 22 20 0 0 0( )

(6 4 )24 6 24 24

z

w l x w l w l w xEI y x l lx x

−= + − = − +

30

max6

B

z

w l

EIθ θ∴ = =

40

max8

B

z

w ly y

EI∴ = =

(7-9)

(7-10)

(7-9)′

(7-10)′

[예제7-3] 외팔보에 M0가작용하는경우 (그림 3)

FBD에서 M의 일반식을 구하면 식(j)와 같다. 이는 순수굽힘상태로

어디서나 굽힘모멘트는 M0이다.

0M M= (j)

이 M을 식 (7-1)에 대입하여 적분하면 다음과 같다.

그림 3 외팔보에M0가작용하는경우

2

02z

d yEI M

dx= −

0 1z

dyEI M x C

dx= − +

20

1 22

z

M xEI y C x C= − + +

(0) = 0, y(0) = 0 에서

C1 = 0

C2 = 0

(k)

0

20

2

z

z

M xdy

dx EI

M xy

EI

= −

= −

(-는 반시계방향)

(-는 위로 처짐)

0

20

2

B

z

B

z

M l

EI

M ly

EI

θ = −

= −