Download - PDF INTEGRAL TAK WAJAR
1
1
Catatan Kuliah MA1223 Kalkulus Elementer IIOki Neswan,Ph.D., Departemen Matematika-ITB
Bab 9 Bentuk Tak Tentu danIntegral Tak Wajar
Bentuk Tak Tentu 0/0Bentuk Tak Tentu LainnyaIntegral Tak Wajar: Batas Tak BerhinggaBentuk Tak Tentu: Range Tak Terbatas
2Oki Neswan, Ph.D. – Depertemen Matematika ITB
Catatan Kuliah MA1223 Kalkulus Elementer II
1. Bentuk Tak Tentu Tipe 0/0Pengertian limit mengatakan bahwa berartinilai f(x) dapat dibuat sebarang dekat ke L apabila x cukupdekat ke a. Banyak limit yang tidak mudah untuk ditentukannilainya. Telah kita lihat bahwa bahkan limit yang sederhanaseperti
tidaklah mudah. Apabila dievaluasi di x=0 kita perolehpembagian 0/0. Limit berikut juga adalah dari tipe yang sama (tipe 0/0).
Namun, kita telah selesaikan dengan konsep turunan.
( )limx a f x L→ =
( )0
sinlimx
xx→
( ) ( )limx a
f x f ax a→
−−
2
3Oki Neswan, Ph.D. – Depertemen Matematika ITB
Catatan Kuliah MA1223 Kalkulus Elementer II
Sebuah limit yang melibatkan pembagian dari dua fungsidisebut limit bertipe 0/0 jika pembagi dan pembilangnyamempunyai limit sama dengan 0.
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )
( )( )
Diberikan bahwa 0 . Jika ' dan ' ada serta
' 0. Maka
'lim
'x a
f x g x f a g a
g a
f x f ag x g a→
= =
≠
=
Teorema Aturan l'Hopital untuk bentuk 0/0
( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
lim'lim
'lim
x a
x a
x a
f x f a f x f af a x a x a
g x g a g x g ag ax a x a
→
→
→
− −
− −= =− −− −
Bukti
4Oki Neswan, Ph.D. – Depertemen Matematika ITB
Catatan Kuliah MA1223 Kalkulus Elementer II
( ) ( )( ) ( )
( )( )
( )( )
( ) ( )
0lim lim lim
0Ingat bahwa dan mempunyai turunan di sehingga kontinu. Jadi, lim 0.
x a x a x a
x a
f x f a f x f xg x g a g x g x
f g af x f a
→ → →
→
− −= = =
− −
= =
( ) ( )( ) ( )
0
00
3 sinHitunglah lim
Misalkan 3 sin , . Kedua nya mempunyai turunan di
0 dan 0 0 0 . Maka Aturan l'Hopital berlaku.
3 sin 3 cos 3 1lim 2.1 1
x
xx
x xx
f x x x g x x
x f g
x x xx
→
→=
−
= − =
= = =
− − −= = =
Contoh
0sinlim tak dapat dihitung dengan menggunakan Aturan
l'Hopital, karena untuk aturan ini memerlukan turunan dari sin dan limit itu diperlukan untuk menentukan turunan sin cos .
x
x
xx
xD x x
→
=
Catatan
3
5Oki Neswan, Ph.D. – Depertemen Matematika ITB
Catatan Kuliah MA1223 Kalkulus Elementer II
Berikut adalah versi yang lebih kuat dari Teorema l’Hopital.
Dari hipotesa bahwa limx→u f’(x)/g’(x) ada, maka kita tahubahwa f’(x) dan g’(x) ada pada suatu interval (a,u)∪(u,d) disekitar u dan g’(x)≠0 pada interval ini. Kita tidak tahu apakah f(u) dan g(u) ada atau tidak. Tapi limx→u f(x)=0 dan
( ) ( ) ( )( )
( )( )
( )( )
'Diberikan bahwa lim 0 lim . Jika lim
'ada (berhingga atau tak berhingga), maka
'lim lim
'
Berlaku juga untuk , , , , dan -
x u x a x u
x u x u
f xf x g x
g x
f x f xg x g x
a a a
→ → →
→ →
− +
= =
=
+∞ ∞
Teorema Aturan l'Hopital untuk bentuk 0/0
6Oki Neswan, Ph.D. – Depertemen Matematika ITB
Catatan Kuliah MA1223 Kalkulus Elementer II
limx→u g(x)=0. Jadi, didefinisikan f(u)=0=g(u). Dengan demikian f dan g menjadi kontinu di u.
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
0
2
0 0 1
tan 2Hitunglah limln 1
Misalkan tan 2 , ln 1 . Keduanya mempunyai limitbernilai 0 di 0. Maka Aturan l'Hopital berlaku.
tan 2 2sec 2 2lim lim 2.ln 1 1 1
x
x x
xx
f x x g x xx
x xx x
→
→ →
+
= = +
=
= = =+ +
Contoh
0 0 02
Menggunakan Aturan l'Hopital dengan tidak benar1 cos sin cos 1lim lim lim
1 2 2 2Jelaskan kesalahan apa yang terjadi?
x x xx x x
xx x→ → →−
= = =++
Contoh
4
7Oki Neswan, Ph.D. – Depertemen Matematika ITB
Catatan Kuliah MA1223 Kalkulus Elementer II
Berikut adalah situasi dimana Aturan l’Hopital berlaku tapitidak memberikan jawab.
1Hitunglah lim . x
xex
−
→∞ −Contoh
1 2 3 4 lim = lim = lim = lim =2 6
x x x x
x x x xe e e ex x x x
− − − −
→∞ →∞ →∞ →∞− − − −
1Tapi bila ditulis sebagai = maka limit menjadi bentuk tak tentu
tipe yang akan dibahas nanti. Tapi seharusnya, dari fakta bahwa tumbuh jauh lebih lambat dari pada , kita dapat menduga
x
x
x
e xx e
x e
−
−
∞ ∞
bahwanilai limit ini adalah 0.
8Oki Neswan, Ph.D. – Depertemen Matematika ITB
Catatan Kuliah MA1223 Kalkulus Elementer II
Teorema l’Hopital versi kedua dapat dibuktikan denganbantuan teorema berikut.
Kembali pada catatan sesudah Teorema l’Hopital. Maka fungsif dan g memenuhi Teorema Nilai Rata-rata Cauchy. Akibatnyauntuk tiap x terdapat c diantara u dan x yang memenuhipersamaan (*)
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( )
Diberikan dan mempunyai turunan pada , dan kontinu
pada , . Jika ' 0 untuk tiap , , maka ada , sehingga
'*
'
f x g x a b
a b g x x a b c a b
f b f a f cg b g a g c
≠ ∈ ∈
−=
−
Teorema Teorema Nilai Rata - rata Cauchy
5
9Oki Neswan, Ph.D. – Depertemen Matematika ITB
Catatan Kuliah MA1223 Kalkulus Elementer II
( ) ( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )( )( )
( )( )
( )( )
'
'
Karena =g =0, maka
'
'Sedangkan berada diantara dan , bila maka . Dengan demikian,
limx u
f x f u f cg x g u g c
f u u
f x f cg x g c
c u x x a c u
f xg x→
−=
−
=
→ →
=( )( )'
lim'c u
f cg c→
10Oki Neswan, Ph.D. – Depertemen Matematika ITB
Catatan Kuliah MA1223 Kalkulus Elementer II
2. Bentuk Tak Tentu LainnyaBentuk tak tentu lain yang ada adalah bentuk ∞-∞,0×∞.Namun kita dapat mengkonversinya ke dalam bentuk 0/0 atau∞/ ∞, yaitu limit pembilang dan penyebut adalah ∞. Teorema l’Hopital juga berlaku untuk kasus ini.
( ) ( ) ( )( )
( )( )
( )( )
'Diberikan bahwa lim lim . Jika lim
'ada (berhingga atau tak berhingga), maka
'lim lim
'
Berlaku juga untuk , , , , dan -
x u x a x u
x u x u
f xf x g x
g x
f x f xg x g x
a a a
→ → →
→ →
− +
∞ ∞
= ∞ =
=
+∞ ∞
Teorema Aturan l'Hopital untuk bentuk /
6
11Oki Neswan, Ph.D. – Depertemen Matematika ITB
Catatan Kuliah MA1223 Kalkulus Elementer II
1
1
Hitunglah lim .
1 lim lim lim 0
x
x
x
x x xx x
ex
e xx e e
−
→∞ −
−
→∞ →∞ →∞− = = =
Contoh
2
2 2
22 2 2
sec lnHitunglah a. lim dan b. lim .1 tan 2
a. Kita hitung limit kiri dulu. lim sec lim 1 tan .
(tipe / )sec sec tan lim lim lim sin
1 tan sec
x x
x x
x x x
x xx x
x x
x x x xx x
π
π π
π π π
− −
− − −
→ →∞
→ →
→ → →
+= ∞ = +
∞ ∞
= = =+
Contoh
( ) ( )
1
Karena limit kanan juga 1 (tipe / ), maka limitnya adalah 1.1ln 1b. lim lim lim 0
2 1x x xxx
x x x→∞ →∞ →∞
−∞ −∞
= = =
12Oki Neswan, Ph.D. – Depertemen Matematika ITB
Catatan Kuliah MA1223 Kalkulus Elementer II
Tipe 0×∞ dan ∞-∞Dua tipe limit yang akan dibicarakan adalah1. lim f(x)g(x) dengan lim f(x)=0 dan lim g(x)=∞2. lim f(x)-g(x) dengan lim f(x)= ∞=lim g(x)=∞
0 0
0
0 0 0
1(tipe 0 ) Hitunglah lim sin
1 1 sin lim sin =.lim sin .lim 1
1 1(tipe ) Hitunglah lim .sin
1 1 sin 1 lim .= lim limsin sin
x
x h h
x
x x x
xx
hx hx h h
x xx x
x x x x
+ +
+ + +
→∞
→∞ → →
→
→ → →
⋅∞
= =
⎛ ⎞∞ −∞ −⎜ ⎟⎝ ⎠
−⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠
Contoh
Contoh
0
cossin cos
sin 0 lim 0cos cos sin 2x
xx x x
xx x x x+→
−+
= = =+ −
7
13Oki Neswan, Ph.D. – Depertemen Matematika ITB
Catatan Kuliah MA1223 Kalkulus Elementer II
Tipe 00,∞0, dan 1∞
Limit-limit dari tipe ini biasanya dapat diselesaikan denganmelakukan logaritma sebelum menggunakan Aturan l’Hopital.
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
cot
0
cot
20 0 0
ln
(tipe 1 ) Hitunglah lim 1
ln 1Misalkan 1 . Maka ln cot ln 1
tanDengan Aturan l'Hopital tipe 0 0 diperoleh
ln 1 1 1 lim ln = lim lim 1
tan secKarena da
x
x
x
x x x
y
x
xy x y x x
x
x xy
x xy e
+
+ + +
∞→
→ → →
+
+= + = + =
+ += =
=
Contoh
0lim lnln 1
0 0
n fungsi eksponen kontinu, maka
lim lim xyy
x xy e e e e+→
+ +→ →= = = =
( ) ( ) ( ) ( )ln lim lnlim ln lim lim x af x f x Lx a x a x af x L f x e e e→→ → →= ⇒ = = =
14Oki Neswan, Ph.D. – Depertemen Matematika ITB
Catatan Kuliah MA1223 Kalkulus Elementer II
( )
00
20 0 0 0
0 0
(tipe 0 ) Hitunglah lim
lnMisalkan . Maka ln ln1
Dengan Aturan l'Hopital tipe 0 0 diperoleh1ln lim ln = lim lim lim 0
1 1Maka,
lim lim
xx
x
x x x x
xx x
x
xy x y x xx
xxy xx x
x
+
+ + + +
+
→
→ → → →
→ →
= = =
= = − =−
=
Contoh
0lim lnln 0 1x
yye e e+→+ = = =
10(tipe ) Hitunglah limKerjakan!
xx x→∞∞Contoh
8
15Oki Neswan, Ph.D. – Depertemen Matematika ITB
Catatan Kuliah MA1223 Kalkulus Elementer II
3. Integral Tak Wajar: Batas TaK Berhingga
Integral tentu yang kita lakukan selama ini adalah integral atassebuah interval terbatas, misalnya integral dari x=-3 ke x=10. Tapi dalam berbagai aplikasi, seringkali kita perlu menentukanluas daerah atas daerah yang tak terbatas. Sebagai contoh dlamteori peluang dan statistik, kita perlu menghitung luas daerahdibawah fungsi distribusi, dari -∞ ke ∞, yaitu
Karena tidak sesuai dengan definisi yang selama ini kita kenal, ini bukanlah integral yang biasa. Maka disebut integral takwajar.
( )f x dx∞
−∞∫
16Oki Neswan, Ph.D. – Depertemen Matematika ITB
Catatan Kuliah MA1223 Kalkulus Elementer II
Apabila kita ingin menentukan luas daerah yang dibatasi olehgrafik y=ln x/x2 dan sb-x dengan menggunakan integral, makakita harus menulis karena selang integralnya adalah[1,∞). Ini adalah integral tak wajar jenis pertama.
Fungsi tidak terdefinisi di x=0 dan tidak terbataspada (0,1]. Limit kanan fungsi ini di x=0 x adalah ∞. Jadi, integral yang sudah kita pelajari tidak bisa langsung digunakanuntuk menentukan luas daerah dibawa grafik antara x=0 danx=1.Ini adalah integral tak wajar jenis kedua.
1y x=
( )1
f x dx∞
∫
9
17Oki Neswan, Ph.D. – Depertemen Matematika ITB
Catatan Kuliah MA1223 Kalkulus Elementer II
2ln
1Integral tentu hanya memberikan luas daerah dibawah kurva
antara 1 dan . : Integral ini ada untuk tiap karena integrand kontinu pada
tiap 1. Strategi menentukan luas pada s
bx
xdx
x x bb
b
= =
≥
∫
Catatan
( )
2
2
ln1
ln1 1
elang 1 adalah dengan hampiran
menggunakan limit: lim .
Ini menjadi motivasi definisi integral tak wajar:
lim
bx
b x
bx
b x
x
dx
dx f x dx
→∞
∞
→∞
≥
=
∫
∫ ∫
18Oki Neswan, Ph.D. – Depertemen Matematika ITB
Catatan Kuliah MA1223 Kalkulus Elementer II
Sebuah integral tak wajar disebut konvergen bila nilai likit diatas ada dan berhingga. Integral yang tidak konvergen disebutdivergen.
( ) [ )
( ) ( )( ) ( ]
1. Jika kontinu pada interval , , maka
lim
2. Jika kontinu pada interval , , maka
b
ba a
f x a
f x dx f x dx
f x b
∞
→∞
∞
=
−∞
∫ ∫
Definisi Integral Tak Wajar dengan Batas Tak Berhingga
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
lim
3. Jika kontinu pada interval - , , maka
b b
a a
c
c
f x dx f x dx
f x
f x dx f x dx f x dx
→−∞−∞
∞ ∞
−∞ −∞
=
∞ ∞
= +
∫ ∫
∫ ∫ ∫
10
19Oki Neswan, Ph.D. – Depertemen Matematika ITB
Catatan Kuliah MA1223 Kalkulus Elementer II
2
21 11
1
ln Tentukan luas daerah dibawah kurva dari 1
ke .Integral tentu dihitung dengan metoda integral parsial
ln 1 1 1 ln
1 ln
bb b
b
xy xx
x
x dx x dxx x x x
b bx
= =
= ∞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= − − = −
∫ ∫
Contoh
( ) [ ]21
1
ln 1 1.
Maka,ln lim lim ln 1 1
lim ln 0 1 lim 1 1 1.(gunakan Aturan l'Hopital)
b
b ba
b b b
b b b
x dx f x dx b b bx
b b
∞
→∞ →∞
→∞ →∞
− +
= = − − +
= − − + = − + =
∫ ∫
20Oki Neswan, Ph.D. – Depertemen Matematika ITB
Catatan Kuliah MA1223 Kalkulus Elementer II
2
0
2 2 20
Hitunglah 1
Pada definisi, pilih 0. Integral tentu dihitung dengan metoda integral parsial
1 1 1
Hitunglah kedua integral tak wajar
dxx
c
dx dx dxx x x
∞
−∞
∞ ∞
−∞ −∞
+=
= ++ + +
∫
∫ ∫ ∫
Contoh
12 2 00 0
1 1
0
2
0
2 2
pada ruas kanan.
lim lim tan1 1
lim tan tan 0 .2
Dengan cara serupa diperoleh .1 2
1 1
u u
u u
u
dx dx xx x
u
dxx
dx dx dx x
π
π
∞ −→∞ →∞
− −→∞
−∞
∞
−∞ −∞
⎤= = ⎦+ +
= − =
=+
= ++ +
∫ ∫
∫
∫ ∫ 20.
1 2 2xx
π π π∞
= + =+∫
11
21Oki Neswan, Ph.D. – Depertemen Matematika ITB
Catatan Kuliah MA1223 Kalkulus Elementer II
4. Integral Tak Wajar:Range Tak Terbatas
Telah disebutkan sebelumnya bahwa masalah menghitung luasdaerah dibawah kurva y=1/√x membawa kita pada integral takwajar jenis kedua. Pendekatan yang dilakukan juga adalah sama yaitu menghitung
dan dilanjutkan dengan proses limit. Jadi, luas daerah adalah
jika limit ini ada.
1
1 , 0 1a
dx ax
< <∫
0 1
1lima
adx
x+→ ∫
22Oki Neswan, Ph.D. – Depertemen Matematika ITB
Catatan Kuliah MA1223 Kalkulus Elementer II
( )
Integral dari fungsi yang limitnya tak berhingga di suatu titik dalam selang pengintegralan adalah integral tak wajar1. Jika kontinu pada intervf x
Definisi Integral Tak Wajar dengan Range Tak Terbatas
( ]( ) ( )
( ) [ )
( ) ( )( )
al a,b , maka
lim
2. Jika kontinu pada interval a,b , maka
lim
3. Jika kontinu pada int
b b
c aa c
b b
c ba c
f x dx f x dx
f x
f x dx f x dx
f x
+
−
→
→
=
=
∫ ∫
∫ ∫[ ) ( ]
( ) ( ) ( )
erval , , , maka
b c b
a a c
a c c b
f x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫
∪
12
23Oki Neswan, Ph.D. – Depertemen Matematika ITB
Catatan Kuliah MA1223 Kalkulus Elementer II
( )3
2 30
1Tentukanlah kekonvergenan 1
dxx −∫
Contoh
24Oki Neswan, Ph.D. – Depertemen Matematika ITB
Catatan Kuliah MA1223 Kalkulus Elementer II
Gambar berikut memperlihatkan sebuah terompet dengan penampang berupalingkaran. Diameter tiap penampang garis vertikal dari sb- ke grafik , ln 2. Tentukan volumenya.
xx y e x= −∞ < ≤
Contoh
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
ln 2 ln 2 ln 22 2
Untuk tiap , penampang adalah lingkaran dengan diameter .
Maka luas panampangnya adalah 2 4 .
Jadi, volume terompet adalah
lim 4 4 lim
x
x x
x x
b bb b
x e
A x e e
V A x dx e dx e dx
π π
π π−∞ →−∞ →−∞
= =
= = =∫ ∫ ∫
( ) ( )
( )( )
2ln 22 2ln 2 lim 4 lim 4 lim
2 2 2
4 2 2.
bxb
b bb
ee eπ π
π π
→−∞
→−∞ →−∞
⎛ ⎞⎤ ⎜ ⎟= = −⎥ ⎜ ⎟⎦ ⎝ ⎠= =
13
25Oki Neswan, Ph.D. – Depertemen Matematika ITB
Catatan Kuliah MA1223 Kalkulus Elementer II
2
1
1
Tentukanlah kekonvergenan
Petunjuk: Bandingkan dengan
x
x
e dx
e dx
∞ −
∞ −
∫∫
Contoh
26Oki Neswan, Ph.D. – Depertemen Matematika ITB
Catatan Kuliah MA1223 Kalkulus Elementer II
Tipe2 Integral Tak Wajar
2 21 1
ln lnlimx
xx tdx dt
x t∞
→∞=∫ ∫0 0
2 2
1 1lim1 1x x
dx dtx t→−∞−∞
=+ +∫ ∫
0
2 2 20
1 1 11 1 1
dx dx dxx x x
∞ ∞
−∞ −∞= +
+ + +∫ ∫ ∫
( ) ( )1
2 3 2 310 1
1 lim1 1
x
x
dtdxx t
−→=
− −∫ ∫ ( ) ( )3 3
2 3 2 311
1 lim1 1x x
dtdxx t
+→=
− −∫ ∫
( ) ( ) ( )3 1 3
2 3 2 3 2 30 0 1
11 1 1
dt dtdxx t t
= +− − −∫ ∫ ∫
14
27Oki Neswan, Ph.D. – Depertemen Matematika ITB
Catatan Kuliah MA1223 Kalkulus Elementer II
Soal PR Bab 9
9.1 : 3, 6, 7, 11, 12, 17, 27, 28. 9.2 : 1, 5, 13, 24, 26, 40, 42abc.9.3 : 3, 7, 14, 16, 20, 27.9.4 : 5, 10, 11, 17, 25, 24, 33, 35, 40, 46.