pdf integral tak wajar

1

1

Catatan Kuliah MA1223 Kalkulus Elementer IIOki Neswan,Ph.D., Departemen Matematika-ITB

Bab 9 Bentuk Tak Tentu danIntegral Tak Wajar

Bentuk Tak Tentu 0/0Bentuk Tak Tentu LainnyaIntegral Tak Wajar: Batas Tak BerhinggaBentuk Tak Tentu: Range Tak Terbatas

2Oki Neswan, Ph.D. – Depertemen Matematika ITB

Catatan Kuliah MA1223 Kalkulus Elementer II

1. Bentuk Tak Tentu Tipe 0/0Pengertian limit mengatakan bahwa berartinilai f(x) dapat dibuat sebarang dekat ke L apabila x cukupdekat ke a. Banyak limit yang tidak mudah untuk ditentukannilainya. Telah kita lihat bahwa bahkan limit yang sederhanaseperti

tidaklah mudah. Apabila dievaluasi di x=0 kita perolehpembagian 0/0. Limit berikut juga adalah dari tipe yang sama (tipe 0/0).

Namun, kita telah selesaikan dengan konsep turunan.

( )limx a f x L→ =

( )0

sinlimx

xx→

( ) ( )limx a

f x f ax a→

−−

2



Sebuah limit yang melibatkan pembagian dari dua fungsidisebut limit bertipe 0/0 jika pembagi dan pembilangnyamempunyai limit sama dengan 0.

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )( )

Diberikan bahwa 0 . Jika ' dan ' ada serta

' 0. Maka

'lim

'x a

f x g x f a g a

g a

f x f ag x g a→

= =

≠

=

Teorema Aturan l'Hopital untuk bentuk 0/0

( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

lim'lim

'lim

x a

x a

x a

f x f a f x f af a x a x a

g x g a g x g ag ax a x a

→

→

→

− −

− −= =− −− −

Bukti



( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )( )

( ) ( )

0lim lim lim

0Ingat bahwa dan mempunyai turunan di sehingga kontinu. Jadi, lim 0.

x a x a x a

x a

f x f a f x f xg x g a g x g x

f g af x f a

→ → →

→

− −= = =

− −

= =

( ) ( )( ) ( )

0

00

3 sinHitunglah lim

Misalkan 3 sin , . Kedua nya mempunyai turunan di

0 dan 0 0 0 . Maka Aturan l'Hopital berlaku.

3 sin 3 cos 3 1lim 2.1 1

x

xx

x xx

f x x x g x x

x f g

x x xx

→

→=

−

= − =

= = =

− − −= = =

Contoh

0sinlim tak dapat dihitung dengan menggunakan Aturan

l'Hopital, karena untuk aturan ini memerlukan turunan dari sin dan limit itu diperlukan untuk menentukan turunan sin cos .

x

x

xx

xD x x

→

=

Catatan

3



Berikut adalah versi yang lebih kuat dari Teorema l’Hopital.

Dari hipotesa bahwa limx→u f’(x)/g’(x) ada, maka kita tahubahwa f’(x) dan g’(x) ada pada suatu interval (a,u)∪(u,d) disekitar u dan g’(x)≠0 pada interval ini. Kita tidak tahu apakah f(u) dan g(u) ada atau tidak. Tapi limx→u f(x)=0 dan

( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )( )

'Diberikan bahwa lim 0 lim . Jika lim

'ada (berhingga atau tak berhingga), maka

'lim lim

'

Berlaku juga untuk , , , , dan -

x u x a x u

x u x u

f xf x g x

g x

f x f xg x g x

a a a

→ → →

→ →

− +

= =

=

+∞ ∞

Teorema Aturan l'Hopital untuk bentuk 0/0



limx→u g(x)=0. Jadi, didefinisikan f(u)=0=g(u). Dengan demikian f dan g menjadi kontinu di u.

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

2

0 0 1

tan 2Hitunglah limln 1

Misalkan tan 2 , ln 1 . Keduanya mempunyai limitbernilai 0 di 0. Maka Aturan l'Hopital berlaku.

tan 2 2sec 2 2lim lim 2.ln 1 1 1

x

x x

xx

f x x g x xx

x xx x

→

→ →

+

= = +

=

= = =+ +

Contoh

0 0 02

Menggunakan Aturan l'Hopital dengan tidak benar1 cos sin cos 1lim lim lim

1 2 2 2Jelaskan kesalahan apa yang terjadi?

x x xx x x

xx x→ → →−

= = =++

Contoh

4



Berikut adalah situasi dimana Aturan l’Hopital berlaku tapitidak memberikan jawab.

1Hitunglah lim . x

xex

−

→∞ −Contoh

1 2 3 4 lim = lim = lim = lim =2 6

x x x x

x x x xe e e ex x x x

− − − −

→∞ →∞ →∞ →∞− − − −

1Tapi bila ditulis sebagai = maka limit menjadi bentuk tak tentu

tipe yang akan dibahas nanti. Tapi seharusnya, dari fakta bahwa tumbuh jauh lebih lambat dari pada , kita dapat menduga

x

x

x

e xx e

x e

−

−

∞ ∞

bahwanilai limit ini adalah 0.



Teorema l’Hopital versi kedua dapat dibuktikan denganbantuan teorema berikut.

Kembali pada catatan sesudah Teorema l’Hopital. Maka fungsif dan g memenuhi Teorema Nilai Rata-rata Cauchy. Akibatnyauntuk tiap x terdapat c diantara u dan x yang memenuhipersamaan (*)

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

Diberikan dan mempunyai turunan pada , dan kontinu

pada , . Jika ' 0 untuk tiap , , maka ada , sehingga

'*

'

f x g x a b

a b g x x a b c a b

f b f a f cg b g a g c

≠ ∈ ∈

−=

−

Teorema Teorema Nilai Rata - rata Cauchy

5



( ) ( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )( )( )

( )( )

( )( )

'

'

Karena =g =0, maka

'

'Sedangkan berada diantara dan , bila maka . Dengan demikian,

limx u

f x f u f cg x g u g c

f u u

f x f cg x g c

c u x x a c u

f xg x→

−=

−

=

→ →

=( )( )'

lim'c u

f cg c→



2. Bentuk Tak Tentu LainnyaBentuk tak tentu lain yang ada adalah bentuk ∞-∞,0×∞.Namun kita dapat mengkonversinya ke dalam bentuk 0/0 atau∞/ ∞, yaitu limit pembilang dan penyebut adalah ∞. Teorema l’Hopital juga berlaku untuk kasus ini.

( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )( )

'Diberikan bahwa lim lim . Jika lim

'ada (berhingga atau tak berhingga), maka

'lim lim

'

Berlaku juga untuk , , , , dan -

x u x a x u

x u x u

f xf x g x

g x

f x f xg x g x

a a a

→ → →

→ →

− +

∞ ∞

= ∞ =

=

+∞ ∞

Teorema Aturan l'Hopital untuk bentuk /

6



1

1

Hitunglah lim .

1 lim lim lim 0

x

x

x

x x xx x

ex

e xx e e

−

→∞ −

−

→∞ →∞ →∞− = = =

Contoh

2

2 2

22 2 2

sec lnHitunglah a. lim dan b. lim .1 tan 2

a. Kita hitung limit kiri dulu. lim sec lim 1 tan .

(tipe / )sec sec tan lim lim lim sin

1 tan sec

x x

x x

x x x

x xx x

x x

x x x xx x

π

π π

π π π

− −

− − −

→ →∞

→ →

→ → →

+= ∞ = +

∞ ∞

= = =+

Contoh

( ) ( )

1

Karena limit kanan juga 1 (tipe / ), maka limitnya adalah 1.1ln 1b. lim lim lim 0

2 1x x xxx

x x x→∞ →∞ →∞

−∞ −∞

= = =



Tipe 0×∞ dan ∞-∞Dua tipe limit yang akan dibicarakan adalah1. lim f(x)g(x) dengan lim f(x)=0 dan lim g(x)=∞2. lim f(x)-g(x) dengan lim f(x)= ∞=lim g(x)=∞

0 0

0

0 0 0

1(tipe 0 ) Hitunglah lim sin

1 1 sin lim sin =.lim sin .lim 1

1 1(tipe ) Hitunglah lim .sin

1 1 sin 1 lim .= lim limsin sin

x

x h h

x

x x x

xx

hx hx h h

x xx x

x x x x

+ +

+ + +

→∞

→∞ → →

→

→ → →

⋅∞

= =

⎛ ⎞∞ −∞ −⎜ ⎟⎝ ⎠

−⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

Contoh

Contoh

0

cossin cos

sin 0 lim 0cos cos sin 2x

xx x x

xx x x x+→

−+

= = =+ −

7



Tipe 00,∞0, dan 1∞

Limit-limit dari tipe ini biasanya dapat diselesaikan denganmelakukan logaritma sebelum menggunakan Aturan l’Hopital.

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

cot

0

cot

20 0 0

ln

(tipe 1 ) Hitunglah lim 1

ln 1Misalkan 1 . Maka ln cot ln 1

tanDengan Aturan l'Hopital tipe 0 0 diperoleh

ln 1 1 1 lim ln = lim lim 1

tan secKarena da

x

x

x

x x x

y

x

xy x y x x

x

x xy

x xy e

+

+ + +

∞→

→ → →

+

+= + = + =

+ += =

=

Contoh

0lim lnln 1

0 0

n fungsi eksponen kontinu, maka

lim lim xyy

x xy e e e e+→

+ +→ →= = = =

( ) ( ) ( ) ( )ln lim lnlim ln lim lim x af x f x Lx a x a x af x L f x e e e→→ → →= ⇒ = = =



( )

00

20 0 0 0

0 0

(tipe 0 ) Hitunglah lim

lnMisalkan . Maka ln ln1

Dengan Aturan l'Hopital tipe 0 0 diperoleh1ln lim ln = lim lim lim 0

1 1Maka,

lim lim

xx

x

x x x x

xx x

x

xy x y x xx

xxy xx x

x

+

+ + + +

+

→

→ → → →

→ →

= = =

= = − =−

=

Contoh

0lim lnln 0 1x

yye e e+→+ = = =

10(tipe ) Hitunglah limKerjakan!

xx x→∞∞Contoh

8



3. Integral Tak Wajar: Batas TaK Berhingga

Integral tentu yang kita lakukan selama ini adalah integral atassebuah interval terbatas, misalnya integral dari x=-3 ke x=10. Tapi dalam berbagai aplikasi, seringkali kita perlu menentukanluas daerah atas daerah yang tak terbatas. Sebagai contoh dlamteori peluang dan statistik, kita perlu menghitung luas daerahdibawah fungsi distribusi, dari -∞ ke ∞, yaitu

Karena tidak sesuai dengan definisi yang selama ini kita kenal, ini bukanlah integral yang biasa. Maka disebut integral takwajar.

( )f x dx∞

−∞∫



Apabila kita ingin menentukan luas daerah yang dibatasi olehgrafik y=ln x/x2 dan sb-x dengan menggunakan integral, makakita harus menulis karena selang integralnya adalah[1,∞). Ini adalah integral tak wajar jenis pertama.

Fungsi tidak terdefinisi di x=0 dan tidak terbataspada (0,1]. Limit kanan fungsi ini di x=0 x adalah ∞. Jadi, integral yang sudah kita pelajari tidak bisa langsung digunakanuntuk menentukan luas daerah dibawa grafik antara x=0 danx=1.Ini adalah integral tak wajar jenis kedua.

1y x=

( )1

f x dx∞

∫

9



2ln

1Integral tentu hanya memberikan luas daerah dibawah kurva

antara 1 dan . : Integral ini ada untuk tiap karena integrand kontinu pada

tiap 1. Strategi menentukan luas pada s

bx

xdx

x x bb

b

= =

≥

∫

Catatan

( )

2

2

ln1

ln1 1

elang 1 adalah dengan hampiran

menggunakan limit: lim .

Ini menjadi motivasi definisi integral tak wajar:

lim

bx

b x

bx

b x

x

dx

dx f x dx

→∞

∞

→∞

≥

=

∫

∫ ∫



Sebuah integral tak wajar disebut konvergen bila nilai likit diatas ada dan berhingga. Integral yang tidak konvergen disebutdivergen.

( ) [ )

( ) ( )( ) ( ]

1. Jika kontinu pada interval , , maka

lim

2. Jika kontinu pada interval , , maka

b

ba a

f x a

f x dx f x dx

f x b

∞

→∞

∞

=

−∞

∫ ∫

Definisi Integral Tak Wajar dengan Batas Tak Berhingga

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

lim

3. Jika kontinu pada interval - , , maka

b b

a a

c

c

f x dx f x dx

f x

f x dx f x dx f x dx

→−∞−∞

∞ ∞

−∞ −∞

=

∞ ∞

= +

∫ ∫

∫ ∫ ∫

10



2

21 11

1

ln Tentukan luas daerah dibawah kurva dari 1

ke .Integral tentu dihitung dengan metoda integral parsial

ln 1 1 1 ln

1 ln

bb b

b

xy xx

x

x dx x dxx x x x

b bx

= =

= ∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= − − = −

∫ ∫

Contoh

( ) [ ]21

1

ln 1 1.

Maka,ln lim lim ln 1 1

lim ln 0 1 lim 1 1 1.(gunakan Aturan l'Hopital)

b

b ba

b b b

b b b

x dx f x dx b b bx

b b

∞

→∞ →∞

→∞ →∞

− +

= = − − +

= − − + = − + =

∫ ∫



2

0

2 2 20

Hitunglah 1

Pada definisi, pilih 0. Integral tentu dihitung dengan metoda integral parsial

1 1 1

Hitunglah kedua integral tak wajar

dxx

c

dx dx dxx x x

∞

−∞

∞ ∞

−∞ −∞

+=

= ++ + +

∫

∫ ∫ ∫

Contoh

12 2 00 0

1 1

0

2

0

2 2

pada ruas kanan.

lim lim tan1 1

lim tan tan 0 .2

Dengan cara serupa diperoleh .1 2

1 1

u u

u u

u

dx dx xx x

u

dxx

dx dx dx x

π

π

∞ −→∞ →∞

− −→∞

−∞

∞

−∞ −∞

⎤= = ⎦+ +

= − =

=+

= ++ +

∫ ∫

∫

∫ ∫ 20.

1 2 2xx

π π π∞

= + =+∫

11



4. Integral Tak Wajar:Range Tak Terbatas

Telah disebutkan sebelumnya bahwa masalah menghitung luasdaerah dibawah kurva y=1/√x membawa kita pada integral takwajar jenis kedua. Pendekatan yang dilakukan juga adalah sama yaitu menghitung

dan dilanjutkan dengan proses limit. Jadi, luas daerah adalah

jika limit ini ada.

1

1 , 0 1a

dx ax

< <∫

0 1

1lima

adx

x+→ ∫



( )

Integral dari fungsi yang limitnya tak berhingga di suatu titik dalam selang pengintegralan adalah integral tak wajar1. Jika kontinu pada intervf x

Definisi Integral Tak Wajar dengan Range Tak Terbatas

( ]( ) ( )

( ) [ )

( ) ( )( )

al a,b , maka

lim

2. Jika kontinu pada interval a,b , maka

lim

3. Jika kontinu pada int

b b

c aa c

b b

c ba c

f x dx f x dx

f x

f x dx f x dx

f x

+

−

→

→

=

=

∫ ∫

∫ ∫[ ) ( ]

( ) ( ) ( )

erval , , , maka

b c b

a a c

a c c b

f x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫

∪

12



( )3

2 30

1Tentukanlah kekonvergenan 1

dxx −∫

Contoh



Gambar berikut memperlihatkan sebuah terompet dengan penampang berupalingkaran. Diameter tiap penampang garis vertikal dari sb- ke grafik , ln 2. Tentukan volumenya.

xx y e x= −∞ < ≤

Contoh

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2

ln 2 ln 2 ln 22 2

Untuk tiap , penampang adalah lingkaran dengan diameter .

Maka luas panampangnya adalah 2 4 .

Jadi, volume terompet adalah

lim 4 4 lim

x

x x

x x

b bb b

x e

A x e e

V A x dx e dx e dx

π π

π π−∞ →−∞ →−∞

= =

= = =∫ ∫ ∫

( ) ( )

( )( )

2ln 22 2ln 2 lim 4 lim 4 lim

2 2 2

4 2 2.

bxb

b bb

ee eπ π

π π

→−∞

→−∞ →−∞

⎛ ⎞⎤ ⎜ ⎟= = −⎥ ⎜ ⎟⎦ ⎝ ⎠= =

13



2

1

1

Tentukanlah kekonvergenan

Petunjuk: Bandingkan dengan

x

x

e dx

e dx

∞ −

∞ −

∫∫

Contoh



Tipe2 Integral Tak Wajar

2 21 1

ln lnlimx

xx tdx dt

x t∞

→∞=∫ ∫0 0

2 2

1 1lim1 1x x

dx dtx t→−∞−∞

=+ +∫ ∫

0

2 2 20

1 1 11 1 1

dx dx dxx x x

∞ ∞

−∞ −∞= +

+ + +∫ ∫ ∫

( ) ( )1

2 3 2 310 1

1 lim1 1

x

x

dtdxx t

−→=

− −∫ ∫ ( ) ( )3 3

2 3 2 311

1 lim1 1x x

dtdxx t

+→=

− −∫ ∫

( ) ( ) ( )3 1 3

2 3 2 3 2 30 0 1

11 1 1

dt dtdxx t t

= +− − −∫ ∫ ∫

14



Soal PR Bab 9

9.1 : 3, 6, 7, 11, 12, 17, 27, 28. 9.2 : 1, 5, 13, 24, 26, 40, 42abc.9.3 : 3, 7, 14, 16, 20, 27.9.4 : 5, 10, 11, 17, 25, 24, 33, 35, 40, 46.

pdf integral tak wajar

Documents