integral tak tentu
DESCRIPTION
INTEGRAL TAK TENTU. Rumus umum integral. f(x ) = integran ( fungsi yg diintegralkan ) a dan b = batas pengintegralan a = batas bawah b = batas atas dx = faktor pengintegral C = konstanta F = hasil integral dari f(x). Integral tentu. bilangan. Integral tak tentu. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
1
INTEGRAL TAK TENTU
2
Rumus umum integral
f(x) = integran (fungsi yg diintegralkan)a dan b = batas pengintegralan a = batas bawah
b = batas atasdx = faktor pengintegralC = konstantaF = hasil integral dari f(x)
=lambang integral
b
a
F(x) C f (x) dx
3
Integral tentu
b
adx f(x) bilangan
Perbedaan integral tentu dan tak tentu
Integral tak tentu
fungsib
adx f(x)
4
Jika V(t) adl volume air dlm waduk pada waktu t, maka turunan V’(t) adl laju mengalirnya air ke dalam waduk pada waktu t.
)V(t)V(t dt (t)V' 122t
1t
perubahan banyaknya air dalam waduk diantara t1 dan t2
Penerapan Integral dalam Ilmu Sains
5
2t
1t dt
dtd[C]
[C](t2)-[C](t1)
Jika [C](t) adl konsentrasi hasil suatu reaksi kimia pd waktu t,maka laju reaksi adl turunan d[C]/dt
perubahan konsentrasi C dari waktu t1 ke t2Jika massa sebuah batang, diukur dari
ujung kiri ke titik x adalah m(x), maka kerapatan linier adalah (x)=m’(x)
b
am(a)m(b)dx ρ(x)
massa dari ruas batang yg terletak
diantara x=a dan x=b
6
Jika laju pertumbuhan populasi adl dn/dt, maka
)n(t)n(t dt dtdn
122t
1t
pertambahan populasi selama periode waktu t1 ke t2
Percepatan benda adl a(t)=v’(t) sehingga
)v(t)v(t dt a(t) 122t
1t
perubahan dlm kecepatan dari waktu t1 ke t2
7
Daftar diferensial dasar vs integral baku
C
ke
dxe keedxd
4.
Cedxe eedxd
3.
Clnxdxx1
x1
lnxdxd
2.
1n1n
xdx x xnx
dxd
1.
kxkxkxkx
xxxx
1nn1nn
8
n 1n
1
x x
xx
1X dx X C, X 1
n 11
X dx dx ln X CX
e dx e C
aa dx C
ln a
(kf )(x)dx k f (x)dx
f (x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx
Rumus dasar
Sifat-sifat :
9
x4 dx = ????
r 1 r g(x)
g(x) dx Cr 1
g(x) = xr = 4
r 1
r
5
r
xC
4 1 5
4+1
g(x)g(x) dx C
1
x C =
Jika g suatu fungsi yg bisa dideferensialkan dan r suatu bilangan rasional bukan -1, maka
Contoh :
10
INTEGRAL SUBSTITUSI
Integral substitusi yaitu menggantikan suatu variabel dg variabel baru dalam operasi pengintegralan
Aturan substitusiJika U = g(x) adl fungsi terdiferensialkan yang daerah nilainya berupa selang I dan f kontinu pada I, maka
f (U) du = f (g(x)) g’(x) dx
Teknik pengintegralan
u du
11
1. Hitunglah
dx 12x
12
1. Hitunglah
dx 12x
u=2x+1du=2 dxdx=1/2 du
C1)(2x31
Cu31
C3/2u
21
duu21
2du
udx 12x
3/2
3/23/2
1/2
13
INTEGRAL PARSIAL
Bila integral substitusi GAGAL integral parsialIntegral parsial : suatu metode yg
didasarkan pd pengintegralan rumus turunan hasilkali dari dua fungsiAndaikan u=u(x) dan v=v(x), maka
Dx[u(x) v(x)] = u(x) v’(x) + v(x) u’(x)
dengan mengintegralkan dua ruas, diperolehu(x) v(x) = u(x) v’(x) dx + v(x) u’(x)
dx
14
atau u(x) v’(x) dx = u(x) v(x) - v(x) u’(x) dxkrn dv=v’(x) dx dan du=u’(x)dx, persamaan
menjadi: Pengintegralan Parsial Tak Tentu
b
a
b
a
b
adx (x)u'v(x)v(x) u(x)dx (x)v' u(x)
Pengintegralan Parsial Tentu
b
a
b
a
b
adu vv udv u
u dv = u v - v du
15
Gambar diagram u dv=uv-vdu
16
1. Tentukan
2
1dxlnx
17
1. Tentukan
lnx dx
u = ln xdu = 1/x dx
dv = dxv = x
x
x ln x x C
1ln x dx x lnx x dx
x
ln x dx
18
INTEGRAL TRIGONOMETRI
2
2
sin x dx = - cos x + C
cos x dx = sin x + C
sec x dx = tan x + C
co sec x dx = -cotan x + C
tan x sec x dx = sec x + C
cotan x cosec x dx = -cosec x + C
19
INTEGRAL TRIGONOMETRI
Strategi untuk menghitung sinmx cosnx dx
1.Jika pangkat kosinus bil.ganjil (n=2k+1),simpan satu faktor kosinus dan gunakan cos2x=1-sin2x utk menyatakan faktor yg tersisa dalam sinusòsinm x cos2k+1 x dx = sinmx (cos2x)k cos
x dx
= sinmx (1-sin2x )k cos x dxkemudian substitusikan u=sinx
du=cosx dx
20
2. Jika pangkat sinus bil.ganjil (m=2k+1),simpan satu faktor sinus dan gunakan sin2x=1-cos2x utk menyatakan faktor yg tersisa dalam kosinusòsin2k+1 x cosn x dx = (sin2x)k cosnx sin
x dx
= (1-cos2x)k cosnx sin x dxkemudian substitusikan u =
cosx
du= -sin x dxNB : Jika pangkat sinus maupun kosinus
adalah ganjil, gunakan point (1) atau (2)
21
3. Jika pangkat sinus maupun kosinus adalah bilangan genap, gunakan persamaan sudut-paruh
sin2x = ½ (1-cos 2x)cos2x = ½ (1+cos2x)sinx cosx = ½ sin 2x
22
1. Tentukan cos3x dx
23
1. Tentukan cos3x dx
untuk mempermudah dijabarkan menjadi:cos3x = cos2x . cos x = (1-sin2x) cos xcos3x = cos2x . cos x dx = (1-sin2x) cos x dx
misal : u = sin xdu= cos x dx
cos3x = (1-u2) du = u - 1/3 u3 + C = sin x – 1/3 sin3x + C
24
Strategi untuk menghitung tanmx secnx dx
1.Jika pangkat secan bil.genap (n=2k),simpan satu faktor sec2x dan gunakan sec2x=1+tan2x utk menyatakan faktor yg tersisa dalam tan x
òtanm x sec2k x dx = tanmx (sec2x)k-1 sec2 x dx
= tanmx (1+ tan2x )k-1 sec2x dxkemudian substitusikan u = tan
x
du=sec2 x dx
25
2. Jika pangkat tangen bil.ganjil (m=2k+1),simpan satu faktor sec x tan x dan gunakan tan2x=sec2x-1 utk menyatakan faktor yg tersisa dalam sec x
ò tan2k+1 x secn x dx = (tan2x)k secn-1 x sec x tan x dx
= (sec2x-1 )k secn-1x sec x tan x dxkemudian substitusikan u = sec x
du=tan x sec x dx
26
dxx secx tan Hitunglah 46
27
dxx secx tan Hitunglah 46
dxx sec x)tan(1x tan
dxx secx secx tandxx secx tan226
22646
ingat, sec2x = 1 + tan2x
misal u=tan x du = sec2x dx
Cxtanxtan
duuu
du u u
du )u(1 udxx secx tan
9917
71
9917
71
86
2646