WYKORZYSTANIE PARAMETRYCZNYCH TESTÓW ISTOTNOSCI DO MONITOROWANIA PROCESÓW
PRODUKCYJNYCH
PROCEDURY KONTROLNE (KARTY KONTROLNE)
SHEWHARTA(18 III 1891 – 11 III 1967) doktor fizyki, obywatel Stanów Zjednoczonych
Walter Shewhart urodził się 18 marca 1891 roku w New Canton w stanie Illinois. Studiował fizykę na uniwersytecie stanowym, a następnie na Uniwersytecie California w 1917 roku uzyskał stopień doktora nauk. Od 1918 związany z przedsiębiorstwem Western Electric Company wytwarzającej sprzęt telefoniczny dla Bell Telephone. Od 1925 roku rozpoczął pracę w Bell Telephone Laboratories i był z nim związany aż do 1956 roku. Swoje pomysły i przemyślenia na temat możliwości stosowania narzędzi statystycznych w zarządzaniu przedsiębiorstwem publikował w serii gazetek „Bell System Technical Journal”. Dla potrzeb monitorowania zmienności procesów W. Shewhart w 1924 roku stworzył specjalne procedury kontrolne nazywane kartami kontrolnymi, kartami sterowania jakości lub po prostu kartami Shewharta. Podstawowym założeniem kart kontrolnych jest, że uregulowany proces powinien utrzymywać się w granicach tolerancji. Granice te nazywane są tutaj liniami kontrolnymi. W ujęciu graficznym karta jest wykresem (zbiorem wykresów), na którym zaznacza się punkty będące wartościami charakterystyk procesów obliczanych na podstawie okresowo pobieranych próbek. W okresie II wojny światowej koncepcje Shewharta wykorzystywano w przemyśle zbrojeniowym. Karty kontrolne stały się część składową norm Z1.1, Z1.2 (1941) oraz Z1.3 (1942). Shewhart był również wykładowcą uniwersytetów Illinois, Kalifornia, Harvard, Princeton, gdzie wykładał min. sterowanie jakością i statystykę. Był również redaktorem naczelnym publikacji „Mathematical Statistics Series”. Do najważniejszych jego dzieł należy zaliczyć: książkę „Economic Control of Quality Of Manufactured Produkt” (1931) oraz „Statistical Metod of Quality Control”(1939). Za swoje osiągnięcia został uhonorowany wieloma oznaczeniami i tytułami min. otrzymał honorowe członkostwo Amerykańskiego Towarzystwa Jakości, które również od 1948 roku ustanowiło medal Shewharta nadany takim znakomitościom jak: W. Deming, K. Ishikawa, czy G. Taguchi. W. Shewart zmarł 11 marca 1967 roku w Troy Hills w stanie New Jersey.
AGREGATPRODUKCYJNY
BLOKPOMIAROWY
BLOKANALIZUJĄCY
Sygnał o rozregulowaniuprocesu
OPERATORAGREGATUPRODUKCYJNEGO
Strumień produktuodbiorca
regulacja
SurowceEnergiainformacje
Schemat systemu bieżącej kontroli jakości
Sygnałwejściowy
Sygnałwyjściowy
Cykl Shewharta
3
Dokonaj
korekty
procesu
2
Dokonaj
identyfikacji
przyczyn
wykrytego
zakłócenia
4
Sprawdź
skuteczność
dokonanej korekty i
wykorzystaj ją
1
Wykryj
systematyczne
(nielosowe) zakłócenie
procesu
Z: D ma rozkład normalny o wartości oczekiwanej E(D) = Q0
Zależność pomiędzy postacią hipotezy zerowej i alternatywnej a postacią graficzną diagramu przeglądowego Shewharta
f(D)
dD gD
E(D)
2
α2
αα−1
Ho: Q = QoH1: Q ≠ Qo
D
Linia centralna
Dolna linia kontrolna
Górna linia kontrolna
t
D
1 2 3 4 5 6
obszar
tolerancji
obszar krytyczny
obszar krytyczny
Zależność pomiędzy postacią hipotezy zerowej i alternatywnej a postacią graficzną diagramu przeglądowego Shewharta
Z: D ma rozkład normalny o wartości oczekiwanej E(D) = Q0
Ho: Q ≤ QoH1: Q > Qo
D
Linia centralna
Górna linia kontrolna
t
D
1 2 3 4 5 6
obszar
tolerancji
obszar krytyczny
f(D)
1 – α
α
gD
E(D)
Zależność pomiędzy postacią hipotezy zerowej i alternatywnej a postacią graficzną diagramu przeglądowego Shewharta
Z: D ma rozkład normalny o wartości oczekiwanej E(D) = Q0
Ho: Q ≥ QoH1: Q < Qo
D
Linia centralna
Dolna linia kontrolna
t
D
1 2 3 4 5 6
obszar
tolerancji
obszar krytyczny
α α−1
D
f(D)
dD
E(D)
Typ zmiennej typ ograniczenia przedziału tolerancji
linie służące do rejestracji rozregulowania
linie służące do rejestracji postępu technologicznego
nominata jakości obustronne Ho: Q = Qo
H1: Q ≠ Qo
GLK; DLK LC
destymulanta jakości
prawostronne Ho: Q ≤ Qo
H1: Q > Qo
GLK DLK
symulanta jakości
lewostronne Ho: Q ≥ Qo
H1: Q < Qo
DLK GLK
DLK – dolna linia kontrolna GLK – górna linia kontrolna LC – linia centralna
Wybrane karty kontrolne Shewharta
Karta kontrolna xZałożenia:X ma rozkład normalny lub zbliżony do normalnego, o stałym i znanym odchyleniu standardowym.Hipotezy:
Charakterystyka z próby:
Linie kontrolne:
Ho: µ = µoH1: µ ≠ µo
Ho: µ ≤ µo
H1: µ > µo
Ho: µ ≥ µo
H1: µ < µo
t
n
iti
tn
x
x
t
∑== 1
o
od
og
LCn
ux
nux
µ
σµ
σµ
ε
α
=
⋅−=
⋅+=
o
od
og
LCn
ux
nux
µ
σµ
σµ
α
α
=
⋅−=
⋅+=
2
2
o
od
og
LCn
ux
nux
µ
σµ
σµ
α
ε
=
⋅−=
⋅+=
NORMATYWNA METODA INSTALOWANIA KARTY KONTROLNEJ
Stabilizacyjna metoda instalowania karty kontrolnej (metoda
bez znanych wartości normatywnych)
Szacowanie średniego poziomu procesu oraz odchylenia
standardowego
k
x
x
k
t
t∑== 1
,( )
k
xx
s
k
t
t
x
∑=
−= 1
2
, gdzie k – liczba pobranych próbek o stałej
liczności n
Linie kontrolne (dla dwustronnego ograniczenia przedziału
tolerancji):
xd
xg
suxx
suxx
2/
2/
α
α
−=
+=
Jeżeli nie da się zagwarantować stałej liczności próby podczas
badań wstępnych to wówczas:
∑
∑
=
==k
t
t
k
t
tt
n
xn
x
1
1
, oraz ( )
1
1
2
−
−=∑=
�
xx
s
�
i
i
, linie kontrolnen
suxx
n
suxx
d
g
2/
2/
α
α
−=
+=
Karty kontrolne średnich ruchomych
11
1111
)(...
...
+−−
+−+−−−
+++
+++=
rttt
rtrttttt
trddd
ddd ηηηη
r
rttttr
11)(
... +−− +++=
ηηηη
r
xxxx rttt
tr
11
)(
... +−− +++=
rnuxx
rnuxx
gr
dr
/
,/
2/0)(
2/0)(
σ
σ
α
α
+=
−=
Wykładniczo ważona średnia ruchoma (λ∈[0,2; 0,5]) *
1
* )1( −−+= ttt xxx λλ
nuxx
nuxx
g
d
)2/(
,)2/(
2/0
*
2/0
*
λλ
λλ
α
α
−+=
−−=
Załóżmy, ze przedział tolerancji zmiennej diagnostycznej X ma
postać
X = [13.0; 14.0]
a wartość nominalna xo = 13.5. Załóżmy również, że zmienna
diagnostyczna X jest zmienną losową o normalnym rozkładzie
prawdopodobieństwa o stałym i znanym odchyleniu
standardowym σ = 0.20. Przyjmijmy, że istnieje możliwość
oddziaływania na wartość oczekiwaną zmiennej X i ustalenia jej
na dowolnym poziomie µ ∈ Xo. W celu zminimalizowania
wadliwości (p) należy przyjąć µ = xo = 13.5. Mamy więc
X~N(13.5; 0.20).W odniesieniu do największej dopuszczalnej
wadliwości przyjmijmy, że p' = 0.03 (3%).
Na podstawie przyjętych założeń można ocenić wydolność
procesu.
p = P(X < 13.0) + P(X > 14.0) =
= Φ[(13.0 - 13.5)/0.20] + Φ[(14.0 - 13.5)/0.20] =
= Φ(-2.50) + 1 - Φ(2.50) =
= 2 * 0.00621 = 0.01242 (1.242%)
Ponieważ p = 0.01242 < p'o = 0.03, przeto proces jest
wystarczająco wydolny, by sprostać wymaganiom odbiorcy
produktu. Dla potrzeb sterowania procesem należy przyjąć, że
po = 0.01242 (1.242%), albowiem pozwoli to wykorzystać
wszystkie możliwości jakimi dysponuje proces. Otwiera to też
pewne możliwości negocjacji cenowych w przyszłości, albowiem
pozwala oczekiwać wyższej jakości niż ta na, którą zgodził się
odbiorca. Wadliwość 1.242% uzyskuje się wówczas gdy
µt = xo = 13.5.
Hipotezy:
Ho: µt = 13.5
H1: µt ≠ 13.5
Prawdopodobieństwo zbędnej regulacji (α) ustalimy na poziomie 0.01.
Ponieważ rozregulowanie procesu może się nastąpić, albo przez
przesunięcie µt ku wartościom niższym od 13.5 albo ku wartościom
wyższym od 13.5, przeto mamy do czynienia z dwustronnym schematem
kontrolnym. Przy wyznaczaniu równań linii kontrolnych należy więc wziąć
pod uwagę wartość uα/2 = u0.005 . Wartość tego kwantyla zmiennej losowej
U odczytujemy z następującego zestawienia:
α 0.005 0.010 0.025 0.050 0.100
uα 2.576 2.326 1.960 1.645 1.282
W każdym kroku postępowania kontrolnego pobierana jest do badania
pięcioelementowa próbka (n = 5). Równania linii kontrolnych
przedstawiają się następująco:
73.135
20.0576.25.13xg =+=
27.135
20.0576.25.13xg =−=
Wyniki badania kolejnych próbek przedstawiono w poniższej tablicy
i
1 2 3 4 5
t
xt.i
tx
1 2 3 4 5 6 7
1 13.5 13.4 13.5 13.0 13.4 13.36
2 13.0 13.4 13.0 13.5 13.5 13.28
3 13.5 13.9 13.5 13.5 13.6 13.60
4 13.6 13.8 13.8 13.5 13.7 13.68
5 13.7 13.8 13.9 14.0 13.9 13.86
6 13.9 13.8 14.0 13.9 14.0 13.92
7 13.8 13.6 13.5 13.5 13.8 13.70
8 13.5 13.6 13.5 13.4 13.3 13.46
9 13.6 13.5 13.5 13.4 13.4 13.48
10 13.4 13.0 13.4 13.2 13.4 13.28
: : : : : : :
13,2
13,3
13,4
13,5
13,6
13,7
13,8
13,9
14
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
t
xśrednie
GLK
LC
DLK
KARTA X - średnie
t tx średnia z 3
połączonych próbek 1 13,36 * 2 13,28 * 3 13,6 13,41 4 13,68 13,52 5 13,86 13,71 6 13,92 13,82 7 13,7 13,81 8 13,46 13,68 9 13,48 13,53 10 13,28 13,41
KARTA X – średnie
i karta średnich ruchomych
12,9
13
13,1
13,2
13,3
13,4
13,5
13,6
13,7
13,8
13,9
14
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Serie1
Serie2
GLK
DLK
GLK **
DLK**
LC
Jak łatwo zauważyć w rezultacie badania próbki o numerze t = 5 uzyskano średnią
arytmetyczną przekraczającą górną granicę regulacji. Mamy mianowicie
73.1387.135 =>= gxx . Podjęte czynności regulacyjne nie przyniosły spodziewanego
rezultatu i w kolejnej próbce (t = 6) uzyskano 73.1386.136 =>= gxx . Podjęte działania
usunęły przyczynę rozregulowania. Na uwagę zasługuje to, że w próbkach, które
doprowadziły do emisji sygnałów o rozregulowaniu procesu wszystkie wartości xt,i
mieściły się w przedziale tolerancji. Zdolność do reagowania na małe zmiany w
obserwowanym procesie jest bardzo cenną właściwością karty kontrolnej x i innych
kart stosowanych w przypadku liczbowej oceny właściwości. Liczbowa ocena
właściwości pozwala na znacznie lepsze wykorzystanie informacji o produkcie i
procesie, zawartych w rezultatach badania próbki, niż alternatywna ocena
właściwości.
Wnioski:
Karty kontrolne (karty dwutorowe)rxSx −− i Założenia:X ma rozkład normalny lub zbliżony do normalnego, o zmiennym i nieznanym odchyleniu standardowym.Hipotezy: Obok hipotez dotyczących wartości oczekiwanej µ konstruuje sięhipotezy dotyczące odchylenia standardowego σ, które najczęściej przedstawiająsię następująco: Ho: σ ≤ σ o
H1: σ > σo
Do weryfikacji powyższych hipotez, wykorzystuje się albo odchylenie standardowe z próbki (przy karcie sx − )
1
1
2
)(
−=∑ −=
n
tti
n
i
t
xxs
albo rozstęp z próbki (przy karcie rx − ) rt = xt.max – xt.min
Linie kontrolne dla toru kontrolnego S:Jeżeli (n ≥ 30)
+=+=
n
uus ng 2
1020
0 αα σσ σ
−=−=
n
uus nd 2
1020
0 εε σσ σ
Jeżeli (n < 30)
( )12
;10−=
−n
ngs χσ α
( )12
1;10−=
−−n
nds χσ ε gdzie
χ α2
;1−n i χ ε2
1;1 −−n są takimi wartościami zmiennej losowej chi-kwadrat o (n-1) stopniach swobody, że:
( ) αχ αχ =−>−2
;12
1 nnP
( ) εχ εχ −=−−>− 121;1
21 nn
P
Linie kontrolne dla toru kontrolnego R:
Linia centralna nn dr 00. σ=
)(000. nnnngn fudfudr αα σσσ +=+=
)(000. nnnndn fudfudr εε σσσ −=−= Wartości współczynników dn i fn są stablicowane.
Przykład
Przedział tolerancji zmiennej diagnostycznej X ma postać:
X+=[13,0; 15,0], a wartość nominalna (docelowa) została
ustalona na poziomie x0 = 14,0. Zmienna X ma rozkład
zbliżony do normalnego. Posiadane urządzenia
technologiczne pozwalają na takie zorganizowanie procesu
produkcji, by wartość oczekiwana (µ) zmiennej X pokrywała
się z wartością nominalną (x0 = µ = 14). Odchylenie
standardowe σ zmiennej losowej X pozostaje nieznane. Na
jakim najwyższym poziomie σ0 może kształtować się to
odchylenie standardowe, jeżeli żądamy, by poprodukcyjna
wadliwość produktu (p) nie przekroczyła p0 = 0,03?
Ustalanie wartości maksymalnego dopuszczalnego odchylenia standardowego σ0
Przedział tolerancji zmiennej diagnostycznej X ma postać:
X+=[13,0; 15,0], a wartość nominalna (docelowa) została
ustalona na poziomie x0 = 13,7. Wartość ta nie pokrywa się
ze środkiem przedziału x’ = 14. Odchylenie standardowe σ
zmiennej losowej X pozostaje nieznane. Na jakim
najwyższym poziomie σ0 może kształtować się to
odchylenie standardowe, jeżeli żądamy, by poprodukcyjna
wadliwość produktu (p) nie przekroczyła p0 = 0,03?
W procesie bieżącej kontroli jakości monitorowano czas przejazdu pociągów pomiędzy dwoma
miejscowościami. Załóżmy, że uważa się, że podróż odbywa się bez zakłóceń, jeżeli przeciętny czas
potrzebny na pokonanie badanego odcinka wynosi µ = 35 min., przy odchyleniu standardowym σ = 3,5 min. Przystąpiono do monitorowania czasu przejazdu. Wyniki uzyskana w początkowych 10
okresach badania przedstawia poniższa tablica.
w kolumnie 7 zestawiono średnie arytmetyczne obliczone z czasów przejazdów 5 losowo
wybranych pociągów, w kolumnie 8 odchylenia standardowe, a w kolumnie 9 rozstęp z próby.
Podczas wyznaczania linii kontrolnych założono prawdopodobieństwo zbędnej regulacji procesu na
poziomie α = 0,05. Na takim samym poziomie ustalono prawdopodobieństwo fałszywej emisji
sygnału o korzystnych zmianach w badanym procesie.
i
1 2 3 4 5
t xt.i tx st rt
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 30 33 31 45 38 35,4 6,19 15
2 32 30 39 31 31 32,6 3,65 9
3 34 38 31 38 37 35,6 3,05 7
4 42 30 44 37 33 37,2 5,89 14
5 33 32 41 36 44 37,2 5,17 12
6 33 39 37 41 33 36,6 3,58 8
7 30 33 37 35 43 35,6 4,88 13
8 36 32 35 38 30 34,2 3,19 8
9 36 33 40 43 31 36,6 4,93 12
10 31 34 33 43 41 36,4 5,27 12
Granice tolerancji na torze kontrolnym x , wyznaczono korzystając z równań:
35
31,932115
5,396,135
38,067895
5,396,135
2
2
==
=−=⋅−=
=+=⋅+=
o
od
og
LCn
ux
nux
µ
σµ
σµ
α
α
Wszystkie uzyskane średnie czasy mieszczą się w obszarze tolerancji. Nie ma więc podstaw do
odrzucenia hipotezy zerowej H0: µ = µ0 = 35, na korzyść hipotezy alternatywnej H1: µ ≠ µ0 = 35. Nie
ma podstaw do emisji sygnału o rozregulowaniu procesu ze względu na jego przeciętny poziom.
Przeprowadźmy zatem analizę procesu po względem jego zmienności. Poddajmy weryfikacji
następującą hipotezę zerową:
H0: σ ≤ σ0 = 3,5 min wobec hipotezy alternatywnej H1: σ > σ0 = 3,5. Górna linia kontrolna na torze
kontrolnym S będzie leżeć na poziomie
( ) 5,3904554/488,95,312
;10==−=
−n
ngs χσ α, natomist dolana w oparciu o którą śledzić
będziemy sygnały o korzystnych zmianach w porcesie znajdzie się na poziomie ( ) 1,4756140,711/4351
2
1;10==−=
−−n
nds χσ ε.
Porównując kolejne wartości odchyleń standardowych z wyznaczonymi granicami kontrolnymi,
można dojść do wniosku, że w punktach dla t = 1 oraz t = 4 wartości obserwowanych odchyleń
standardowych przekroczyły górną linię kontrolną i należy wygenerować sygnał o rozregulowaniu
badanego procesu i przyjąć jako prawdziwą hipotezę H1 z prawdopodobieństwem błędu niewiększym
niż α = 0,05. Brak jest natomiast powodów do emisji sygnału o korzystnych zmianach w procesie,
gdyż żadna z wartości st nie leży poniżej dolnej linii kontrolnej sd.
Hipotezy dotyczące wariancji można również zweryfikować wykorzystując tor kontrolny R. Linie kontrolne :
13,0231150,848)1,6452,32593(5,3)(000. =⋅+=+=+= nnnngn fudfudr αα σσσ
,
3,2583950,848)1,645-2,32593(5,3)(000. =⋅=−=−= nnnndn fudfudr εε σσσ
. Podobnie jak w przypadku toru kontrolnego S należy się spodziewaćwygenerowania sygnału o rozregulowaniu procesu w punktach dla r1 i r6, gdyż te wartości znajdą się powyżej górnej linii kontrolnej rg.Wykresy analizowanych torów kontrolnych przedstawiają poniższe rysunki
Tor x - średnie
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
t
x-średnie
GLK
DLK
LC
Tor kontrolny S
-
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
7,00
0 2 4 6 8 10 12
t
och
ylenie standardowe
GLK
DLK
LC
Tor kontrolny R
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
0 2 4 6 8 10 12
t
rozstęp
GLK
DLK
LC
Karta kontrolna „z”Założenia:X jest zero-jedynkową zmienną losową postaci: X=
dla każdego t nt = n
Hipotezy:
Charakterystyka z próby:
Linie kontrolne:
Ho: p ≤ po
H1: p > po
∑=
=n
i
it xz1
o
oood
ooog
npLCpnpunpz
pnpunpz
=−⋅−=−⋅+=
)1(
)1(
ε
α
0, gdy jednostka produktu spełnia wymagania jakościowe,
1, gdy jednostka produktunie spełnia wymagań jakościowych{
Charakterystyka z próby:
n
x
n
zw
n
i
it
tt
∑=== 1
.
Położenie linii centralnej określa wzór
000
0 pn
np
n
zw ===
Równanie górnej linii kontrolnej ma postać
n/)p1(pu pw 000g −+= α
Położenie dolnej linii kontrolnej (nie będącej granica regulacji)
wyznacza równanie
n/)p1(pu pw 000d −−= ε
KARTA KONTRLNA „w”
Załóżmy, że w procesie bieżącej kontroli jakości monitorowana jest zmienna diagnostyczna X opisująca jakość śrub
wykorzystywanych do montażu elementów trakcji kolejowej. Zmienna ta przyjmuje dwie wartości „0” i „1”, „0” jeżeli
śruba ma poprawnie wykonany gwint, na który z łatwością daje się nakręcić nakrętkę, oraz przyjmuje „1”, gdy gwint
jest źle wykonany i nakręcenie na śrubę nakrętki jest niemożliwe. Załóżmy, że proces produkcji śrub jest uregulowany,
jeżeli frakcja śrub wadliwych p ≤ 0, 1 (10%), natomiast proces produkcji zostanie uznany za rozregulowany, jeżeli p >
0,1 (10%). Należy ocenić przebieg procesu produkcji śrub, jeżeli w rezultacie przeprowadzonych badań uzyskano
następujące wyniki:
t i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
2 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0
3 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
4 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0
5 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
6 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
8 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0
9 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1
10 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
11 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
12 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0
13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
14 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0
15 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
16 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
17 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0
18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
19 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
20
xi
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
suma zt 5 2 3 6 2 0 5 2 4 2
Podczas weryfikacji założyć, że α = β =0,05
Rozwiązanie:
n = 20, α = ε = 0,05, H0: p ≤ p0 = 0,1
H1: p > p0 = 0,1
20,2806189,02645,12)1(
3,7193829,02645,12)1(
===⋅−=−⋅−==⋅+=−⋅+=
o
oood
ooog
npLCpnpunpz
pnpunpz
ε
α
Porównując otrzymane wartości zt z liniami kontrolnymi, należy
stwierdzić, że sygnał o rozregulowaniu zostanie wygenerowany (będą
podstawy do przyjęcia H1) w momentach t =1, 4,7 i 9, gdyż wówczas
wartości obserwowanej statystyki zt będą większe od wartości zg. Sygnały o
postępie technologicznym pojawią się natomiast dla t = 6, gdyż (z6 < zd).
Karta z (np)
0
1
2
3
4
5
6
7
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
t
zt
zg
zd
LC
Zadanie 1
Pewien proces produkcyjny kontrolowano za pomocą karty x-średnie,
przy czym σσσσ = 1, µµµµοοοο = 10, n = 4 i αααα =ε= 0,05, a przedział tolerancji ograniczony jest prawostronnie. Uzyskano następujące wyniki:
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9
tx 9.8 10.2 10.3 9.9. 10.9 10.1 9.7 11.1 8.9
Skonstruować diagram przeglądowy. Wskazać punkty rozregulowania
procesu, oraz punkty świadczące o postępie technologicznym.
Zadanie 2
W kolejnych chwilach t obserwowano liczbę sztuk wadliwych zt w
próbkach o stałej liczności n = 40. Otrzymano następujące wyniki:
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
zt 3 0 0 6 3 4 3 3 4 0 0 1 2 0 1
Skonstruować odpowiednią kartę kontrolną przyjmując
prawdopodobieństwo zbędnej regulacji αααα = 0.05 oraz najwyższą dopuszczalną wadliwość po = 0.1 (10%). Czy w powyższym ciągu
obserwacji występują sygnały o rozregulowaniu procesu, albo objawy
postępu technologicznego?
Liczba niezgodności (wad) w jednostce produktu jest zmienną losową (Y)
o przeliczalnym zbiorze wartości
Yo = {0, 1, 2,...}
Przyjmuje się zwykle, że na zbiorze tym rozpięty jest rozkład Poissona,
którego szczegółowa postać określana jest przez parametr λ. Przy rozwiązywaniu praktycznych problemów wartość tego parametru, czyli
przeciętnej liczby wad (niezgodności), musi być odniesiona do ustalonej
jednostki produktu. Może to być jednostka elementarna lub agregatowa,
przy czym każda z nich może być jednostką rzeczywistą lub umowną.
Obserwowana charakterystyka z próby ma postać
∑=
=n
i
titn yc
1
).(
Hipotezy: Ho: λ(n).t ≤ λ(n).0
H1: λ(n).t > λ(n).0 Linie kontrolne:
0).(0).().( nngn uc λλ α+=
0).(0).().( nndn uc λλ ε−=
LC = λ(n).0
KARTA KONTROLNA „C”
Monitorowano proces świadczenia usług bankowych. W tym celu zliczanoliczbę błędów popełnianych przy obsłudze klientów, zakładając, że błędemjest każde odstępstwo od ustalonej procedury. W rezultacie obserwacji poczynionych w dziesięciu dniach badania otrzymano następujące wyniki:
...0311075032ct
...10987654321t
Kierownictwo banku ustaliło, że proces obsługi klientów przebiega poprawnie,jeśli przeciętna liczba błędów w ciągu dnia nie przekracza λo = 5. Skonstruowaćodpowiednią kartę kontrolną do analizy tych danych i wykryć punkty rozregulowania procesu obsługi, a także objawy mogące przemawiać za skutecznością przeporwa--dzanych szkoleń. Prawdopodobieństwo zbędnej regulacji procesu, a także prawdo--podobieństwo fałszywego sygnału o poprawie istniejącej sytuacji, ustalono napoziomie α = ε = 0,05.
Karta kontrolna c
Rozwiązanie:
Ho: λ(n).t ≤ λ(n).0 = 5
H1: λ(n).t > λ(n).0 = 5
Linie kontrolne:
8,6783325645,150).(0).().( =+=+= nngn uc λλ α
1,3216685645,150).(0).().( =−=−= nndn uc λλ ε
LC = λ(n).0 = 5
Nie ma powodów do odrzucenia H0 i wygenerowania sygnału o
rozregulowaniu procesu obsługi klienta. W momentach t = 3, 6, 7, 8, 10
mamy powody sądzić, że przeprowadzone szkolenia przyniosły zamierzony
efekt.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 2 4 6 8 10 12
t
ct
cg
cd
LC
KARTA „C”
KARTA KONTROLNA „u” Karta u jest szczególnie użytecznym narzędziem sterowania procesem wówczas,
gdy nie można zapewnić stałej liczności próbek produktu, które podlegają badaniu
polegającemu na zliczaniu niezgodności lub wad. W takiej sytuacji charakterystyka z
próby przybiera postać
ttnt ncu ).(= gdzie
∑=
=t
n
i
titn yc
1
).(
Hipotezy: H0: λ(1).t ≤ λ(1).0
H1: λ(1).t > λ(1).0
przy czym λ(1).0 = λ(n).0/n, λ(1).t = λ(n).t/ n
Charakterystyka z próby: ut = c(n).t/n
Linie kontrolne:nuncu gng // 0).1(0).1().( λλ α+==
n/un/cu 0).1(0).1(d).n(d λ−λ== ε
Jakość produktu oceniano na podstawie przeciętnej liczby niezgodności. Największą przeciętną liczbę niezgodności w elementarnej jednostce produktu ustalono na poziomie λ(1).0 = 1,00. Zastosowana technika pobierania próby nie pozwala na utrzymanie jej liczności na stałym poziomie. W dziesięciu początkowych okresach badania t pobierano próby o różnej liczności i zliczano liczbę niezgodności. Rezultaty badania prezentuje poniższa tablica: t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 liczebność próby nt
11 10 8 13 9 14 12 10 11 9
liczba niezgodności ct
15 13 12 20 7 31 9 8 18 8
Skonstruować odpowiednią kartę do analizy tych danych, oraz wskazać momenty czasu t w których zostaną wygenerowane sygnały świadczące o rozregulowaniu oraz sygnały świadczące o postępie technologicznym. Podczas analizy założyć, że prawdopodobieństwo zbędnej regulacji procesu α = 0,01, natomiast prawdopodobieństwo fałszywego sygnału o postępie technologicznym ε = 0,05.
H0: λ(1).t ≤ λ(1).0 = 1
H1: λ(1).t > λ(1).0 = 1
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 nt 11 10 8 13 9 14 12 10 11 9 ct 15 13 12 20 7 31 9 8 18 8 ut 1,36 1,30 1,50 1,54 0,78 2,21 0,75 0,80 1,64 0,89 ugt 1,70 1,74 1,82 1,65 1,78 1,62 1,67 1,74 1,70 1,78 udt 0,50 0,48 0,42 0,54 0,45 0,56 0,53 0,48 0,50 0,45
t
td
t
tg
nu
nu
1645,100,1
1326,200,1
.
.
⋅−=
⋅+=
Parametry rozkładu rozstępu
0,8525
0,8884
0,8798
0,8641
0,8480
0,8332
0,8198
0,8078
0,7971
0,7873
0,7785
1,12838
1,69257
2,05875
2,32593
2,53441
2,70436
2,84720
2,97003
3,07751
3,17287
3,25846
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
fndnn
Wartości ϕ(u) dystrybuanty rozkładu normalnego �(0,l)
Kwantyle u(p) rzędu p rozkładu normalnego �(0,l) p
0,90
0,95
0,975
0,99
0,995 u(p) 1,28 1,64 1,96 2,33 2,58
u
0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0
0,5000
0,5040
0,5080
0,5120
0,5160
0,5199
0,5239
0,5279
0,5319
0,5359 0,1
,5398
,5438
,5478
,5517
,5557
,5596
,5636
,5675
,5714
,5753 0,2
,5793
,5832
,5871
.5910
,5948
,5987
,6026
,6064
,6103
,6141 0,3
,6179
,6217
,6255
,6293
,6331
,6368
,6406
,6443
,6480
,6517 0,4
,6554
,6591
,6628
,6664
,6700
,6736
,6772
,6808
,6844
,6879 0,5
,6915
,6950
,6985
,7019
,7054
,7088
,7123
,7157
,7190
,7224 0,6
,7257
,7290
,7324
,7357
,7389
,7422
,7454
,7486
,7517
,7549 0,7
,7580
,7611
,7642
,7673
,7704
,7734
,7764
,7794
,7823
,7852 0,8
,7881
,7910
,7939
,7967
,7995
,8023
,8051
,8078
,8106
,8133 0.9
,8159
,8186
,8212
,8238
,8264
,8289
,8340
,8340
,8365
.8389 1,0
0,8413
0,8438
0,8461
0,8485
0,8508
0,8531
0,8554
0,8577
0,8599
0,8621 1,1
,8643
,8665
,8686
,8708
,8729
,8749
,8770
,8790
,8810
,8830 1,2
,8849
,8869
,8888
,8907
,8925
,8944
,8962
,8980
,8997
,9015 1,3
,9032
,9049
,9066
,9082
,9099
,9115
,9131
,9147
,9162
,9177 1,4
,9192
,9207
,9222
,9236
,9251
,9265
,9279
,9292
,9306
,9319 1,5
,9332
,9345
,9357
,9370
,9382
,9394
,9406
,9418
,9429
,9441 1,6
,9452
,9463
,9474
,9484
,9495
,9505
,9515
,9525
,9535
,9545 1,7
,9554
,9564
,9573
,9582
,9591
,9599
,9608
,9616
,9625
,9633 1,8
,9641
,9649
,9656
,9664
,9671
,9678
,9686
,9693
,9699
,9706 1,9
,9713
,9719
,9726
,9732
,9738
,9744
,9750
,9756
,9761
,9767 2,0
0,9772
0,9779
0,9783
0,9788
0,9793
0,9798
0,9803
0,9808
0,9812
0,9817 2,1
,9821
,9826
,9830
,9834
,9838
,9842
,9846
,9850
.9854
,9857 2,2
,9861
,9864
,9868
,9871
,9875
,9878
,9881
,9884
,9887
,9890 2,3
,9893
,9896
,9898
,9901
,9904
,9906
,9909
,9911
,9913
,9916 2,4
,9918
,9920
,9922
,9925
,9927
,9929
,9931
,9932
,9934
,9936 2,5
,9938
,9940
,9941
,9943
,9945
,9946
,9948
,9949
,9951
,9952 2,6
,9953
,9955
,9956
,9957
,9959
,9960
,9961
,9962
,9963
,9964 2,7
,9965
,9966
,9967
,9968
,9969
,9970
,9971
,9972
,9973
,9974 2,8
,9974
,9975
,9976
,9977
,9977
,9978
,9979
,9779
,9980
,9981 2,9
,9981
,9982
,9982
,9983
,9984
,9984
,9985
,9985
,9986
,9986
p
v
0,005
0,01
0,025
0,05
0,95
0,975
0,99
0.995
1
-
-
0,001
0,004
3,841
5,024
6,635
7,879
2
0,010
0,020
0,051
0,103
5,991
7,378
9,210
10,597
3
0,072
0,115
0,216
0,352
7,815
9,348
11,345
12,838
4
0,207
0,297
0,484
0,711
9,488
11,143
13,277
14,860
5
0,412
0,554
0,831
1,145
11,071
12,833
15,086
16,750
6
0,676
0,872
1,237
1,635
12,592
14,449
16,812
18,548
7
0,989
1,239
1,690
2,167
14,067
16,013
18,475
20,278
8
1,344
1,646
2,180
2,733
15.507
17,535
20,090
21,955
9
1,735
2,088
2,700
3,325
16,919
19,023
21,666
23,589
10
2,156
2,558
3,247
3,940
18,307
20,483
23,209
25,188
11
2,603
3,053
3,816
4,575
19,675
21,920
24,725
26,757
12
3,074
3,571
4.404
5,226
21,026
23,337
26,217
28,299
13
3,565
4,107
5,009
5,892
22,362
24,736
27,688
29,819
14
4,075
4,660
5,629
6,571
23,685
26,119
29,141
31,319
15
4,601
5,229
6,262
7,261
24,996
27,488
30,578
32,801
16
5,142
5,812
6,908
7,962
26,296
28,845
32,000
34,267
17
5,697
6,408
7,564
8,672
27,587
30,191
33,409
35,718
18
6,265
7,015
8,231
9,390
28,869
31,526
34,805
37,156
19
6,844
7,633
8,907
10,117
30,144
32,852
36,191
38,582
20
7,434
8,260
9,591
10,851
31,410
34,170
37,566
39,997
21
8,034
8,897
10,283
11,591
32,671
35,479
38,932
41,401
22
8,643
9,542
10,982
12,336
33,924
36,781
40,289
42,796
23
9,260
10,196
11,689
13,091
35,172
38,076
41,638
44,181
24
9,886
10,856
12,401
13,848
36,415
39,364
42,980
45,559
25
10,520
11,524
13,120
14,611
37,652
40,646
44,314
46,928
26
11,160
12,198
13,844
15,379
38,885
41,923
45,642
48,290
27
11,808
12,879
14,573
16,151
40,113
43,194
46,963
49,645
28
12,461
13,565
15,308
16,928
41,337
44,461
48,278
50,993
29
13,121
14,257
16,047
17,708
42,557
45,722
49,588
52,336
30
13,787
14,954
16,791
18,493
43,773
46,979
50,898
53,672
Kwantyle χ2(p,v) rzędu p rozkładu χ2 o v stopniach swobody
Proces produkcyjny monitorowano przy użyciu karty kontrolnej x . W rezultacie badań siedmiu kolejnych próbek uzyskano następujące rezultaty:
t i
1 2 3 4 5 6 7
1 10,4 11,0 10,3 10,2 10,5 9,4 10,9 2 11,4 11,3 10,2 10,6 9,3 11,3 10,1 3 9,3 11,6 10,6 10,8 9,5 10,3 12,5 4 12,0 11,4 10,7 10,7 9,4 10,6 10,3
Wartość docelowa wynosiła 10,5 wariancja była stała i wynosiła 0,36, zaś przedział tolerancji ograniczony był dwustronnie. Zbudować odpowiednią kartę kontrolną Shewharta i wykryć sygnały świadczące o rozregulowaniu procesu. Prawdopodobieństwo zbędnej regulacji procesu ustalono na poziomie 0,05.
ĆWICZENIA – KARTY KONTROLNE SHEWHARTA
Ćwiczenia (Karty kontrolne Shewharta)
Zadanie 18
Wstępne badania pewnej operacji technologicznej wykazały, że czas jej trwania jest
zmienną losową o rozkładzie zbliżonym do normalnego, o wartości oczekiwanej
µt = 2,8 i odchyleniu standardowym σt = 0,6 min. W celu bieżącej kontroli
procesu pobierano losowo próbki o liczności n = 9 i mierzono czas trwania
operacji z których wyznaczano wartości średnie tr. W rezultacie badania
kolejnych 10 próbek uzyskano następujące rezultaty:
próbka
(r)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …
średni
czas
trwania
operacji
2,52 3,18 2,54 2,56 4,12 4,34 2,52 2,61 2,65 2,38 …
Skonstruować odpowiednią kartę Shewharta do analizy danych wykryć punkty rozregulowania
procesu, a także objawy mogące przemawiać za skutecznością przeprowadzonych szkoleń
mających na celu skrócenie czasu trwania badanej operacji technologicznej.
Prawdopodobieństwo fałszywego sygnału o rozregulowaniu procesu a także
prawdopodobieństwo fałszywego sygnału o skróceniu tej operacji ustalono na poziomie α = ε = 0,05
Badano stężenie pewnej substancji zabezpieczającej przed zamarzaniem,
która znajduje się w płynie do odmrażania. Badanie polegało na pobieraniu ze
strumienia produktu, co dwie godziny czterech pojemników i oznaczaniu ich
zawartości. W czasie jednej zmiany uzyskano następujące wyniki
zaprezentowane w tabeli. Zaprojektować odpowiednią kartę kontrolną
umożliwiającą śledzenie zarówno sygnałów świadczących o rozregulowaniu
procesu produkcyjnego jak również mogących świadczyć o korzystnych
zmianach w jego przebiegu. Wiadomo, że precyzja procesu wynosi 1,1
natomiast µo = 70. Należy przyjąć: α = 0,01 ε = 0,1
t 1 2 3 4 5 6
tx 70,22 70,92 70,39 70,32 68,63 68,4
Proces wytwarzania wyłączników elektrycznych monitorowano pobierając ze
strumienia produktu próbki o stałej liczności 100 sztuk, a następnie
klasyfikowano wyrób jako wykonany poprawnie lub wykonany wadliwie.
Otrzymano następujące liczby wadliwych wyłączników w kolejnych dziesięciu
próbach:
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
zt 8 1 3 0 2 4 0 1 10 6
Skonstruuj odpowiednią kartę kontrolną zakładając maksymalną
dopuszczalną wadliwość po = 0.03, prawdopodobieństwo zbędnej regulacji
procesu α = 0.01, prawdopodobieństwo błędnego wykrycia sygnału o
korzystnych zmianach w procesie produkcyjnym ε = 0.1. Opisz wszystkie
występujące sygnały.
Produkcję żarówek monitorowano za pomocą karty kontrolnej z.
Liczność próby wynosiła 200 [szt], prawdopodobieństwo fałszywego
sygnału o rozregulowaniu α = 0.05. Badano również korzystne
zmiany w przebiegu procesu produkcyjnego przyjmując
prawdopodobieństwo błędnego stwierdzenia korzystnych zmian w
procesie produkcyjnym ε = 0,1. Maksymalną dopuszczalną
wadliwość ustalono na poziomie po = 2%. Dla dziesięciu kolejnych
próbek otrzymano następujące ilości sztuk niezgodnych w próbie:
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
zt 2 3 5 0 0 4 2 1 6 1
Znajdź sygnały świadczące o rozregulowaniu procesu i korzystnych
zmianach w jego przebiegu.
Monitorowano proces księgowania. W tym celu zliczano błędy
księgowe popełniane w ciągu dnia roboczego. W rezultacie
obserwacji poczynionych w kolejnych ośmiu dniach badania
uzyskano następujące dane:
t 1 2 3 4 5 6 7 8 ...
ct 2 3 1 7 0 4 2 8 ...
Kierownictwo banku ustaliło, że proces księgowania przebiega
poprawnie, jeżeli przeciętna liczba popełnianych błędów nie
przekracza λo = 2,5. Skonstruować odpowiednią kartę kontrolną do
analizy powyższych danych, wskazać punkty świadczące o
rozregulowaniu procesu księgowania a także objawy mogące
przemawiać za skutecznością przeprowadzonych szkoleń.
Prawdopodobieństwo zbędnej regulacji procesu ustalono na
poziomie α = 0.05, a prawdopodobieństwo zbędnego sygnału o
poprawie istniejącej sytuacji ε = 0.1.
Monitorowanie jakości usług magazynowych polegało na
codziennym sprawdzaniu prawidłowości realizacji zamówień. Jeżeli
przeciętna liczba nieprawidłowo wykonanych zamówień nie
przekraczała 3,5 to proces obsługi uznawano za przebiegający
poprawnie.
W trakcie badania jedenastu kolejnych dni uzyskano następujące
rezultaty:
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
ct 1,0 2,0 1,0 4,0 3,0 6,0 8,0 7,0 3,0 2,0 1,0
Przyjmując α = 0,02; ε = 0,1 zbuduj odpowiednią kartę kontrolną
umożliwiającą śledzenie procesu usług magazynowych.
W procesie rozlewania wody mineralnej do butelek plastikowych prowadzona jest kontrola szczelności zamknięcia opakowania. Kontrola prowadzona jest okresowo (co godzinę) w sposób wyrywkowy, na losowo pobranych próbkach o zmieniającej się liczebności. W wyniku pomiarów otrzymanych w 6 kolejnych okresach otrzymano następujące wyniki: t 1 2 3 4 5 6 liczebność próby nt
50 60 70 60 50 50
liczba wadliwie zamkniętych butelek (zt)
2 6 14 0 4 1
Czy analizowany proces można uznać za uregulowany? Czy można w badanym przypadku dostrzec zjawisko nazywane postępem technologicznym? Podczas analizy założyć ryzyko zbędnej regulacji procesu oraz ryzyko fałszywego sygnału o postępie technologicznym na poziomie α=ε=0,01. Maksymalna dopuszczalna poprodukcyjna wadliwość wynosi p0=0,1.
Jakość pracy składaczy tekstów w drukarni oceniano na podstawie przeciętnej liczby błędów. Największą przeciętną liczbę błędów w elementarnej jednostce produktu będącej 1 stroną maszynopisu ustalono na poziomie λ(1).0 = 1,00. Charakter badanego procesu nie pozwalał na to aby podczas monitorowania procesu poddawać kontroli jednakową liczbę losowo wybranych stron. W dziesięciu początkowych okresach badania t pobierano próby o różnej liczbie losowo wybranych stron i zliczano liczbę popełnionych błędów. Rezultaty badania prezentuje poniższa tablica: t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 liczba stron nt
10 10 9 10 10 10 12 10 10 10
liczba błędów ct
15 13 12 20 7 31 9 8 18 8
Skonstruować odpowiednią kartę do analizy tych danych, oraz wskazać momenty czasu t w których zostaną wygenerowane sygnały świadczące o rozregulowaniu oraz sygnały świadczące o wzroście jakości pracy badanego personelu. Podczas analizy założyć, że prawdopodobieństwo zbędnej regulacji procesu oraz prawdopodobieństwo fałszywego sygnału o wzroście jakości pracy badanego personelu wynosi 0,05.
W cementowni prowadzi się w sposób wyrywkowy kontrolę ciężaru
napełnianych worków.
Nominalny ciężar każdego opakowania po napełnieniu powinien wynosić
x0 = 25 kg. ± 1 kg. Załóżmy, że ciężar badanego produktu jest zmienną
losową o nieznanych parametrach µ i σ. Posiadane urządzenia dozująco-paczkujące pozwalają na ustalenie hipotetycznej wartości oczekiwanej µ na poziomie wartości nominalnej (docelowej) x0.
1. Ustalić na jakim najwyższym dopuszczalnym poziomie σ0 może
kształtować się odchylenie standardowe, jeżeli chcemy, aby
poprodukcyjna wadliwość produktu p nie przekroczyła p0 = 3%.
2. Przyjmując wyznaczoną w punkcie 1 wartość σ0, skonstruować
odpowiednią kartę kontrolną pozwalającą na ocenę opisanego
powyżej procesu paczkowania. Podczas konstrukcji karty założyć,
że α=ε=0,05. 3. W oparciu o skonstruowaną w punkcie 2 kartę kontrolną ocenić
rezultaty otrzymane w kolejnych 8 krokach badania tego procesu.
Na podstawie tych danych obliczono wartości średnich
arytmetycznych, odchyleń standardowych, oraz rozstępów.
Wartości tych charakterystyk zestawione są w 3 ostatnich wierszach
poniższej tabeli: t
i 1 2 3 4 5 6 7 8
1 25,4 25,1 25 25,4 24,2 24 25 26
2 24,5 26,1 25,6 24,9 24,8 25,9 25,4 26
3 25,2 24,4 26,2 24,8 25,7 24,1 25,8 25
4 24,3 25,2 27,8 25,1 24,6 25,6 24,5 25
5 25,1 25,5 24,1 26 26 25 26 23
tx 24,9 25,26 25,74 25,24 25,06 24,92 25,34 25
St 0,4743416 0,61887 1,388524 0,482701 0,760263 0,858487 0,60663 1,224745
Rt 1,1 1,7 3,7 1,2 1,8 1,9 1,5 3
Monitorowano czas realizacji wystawionych faktur. W tym celu na koniec
każdego miesiąca wybierano losowo 4 faktury i badano czas, jaki upłynął od
momentu wystawienia faktury do momentu wpływu należności. Warunkiem
utrzymania płynności finansowej jest to, aby średni czas realizacji wystawionej
faktury nie przekroczył 7 dni. Co można powiedzieć o przebiegu procesu
płatności, jeżeli w 6 początkowych miesiącach obserwowano następujące
wartości:
t
i
1 2 3 4 5 6
1 6 10 2 1 12 1
2 8 11 3 2 11 2
3 9 6 4 6 2 2
4 4 7 1 8 3 4
Podczas analizy powyższego procesu założyć że:
α=ε=0,01, czas realizacji faktury ma rozkład normalny ze stałą wariancją wynoszącą 4.
Monitorowano jakość pracy przydrożnych elektronicznych pogodowych tablic
informacyjnych. Przedmiotem badania była liczba koniecznych interwencji
naprawczych w okresie jednego tygodnia pracy. Oceń proces funkcjonowania
tych urządzeń, jeśli w kolejnych dziesięciu tygodniach otrzymano następujące
wyniki:
tydzień 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1
liczba
koniecznych
napraw
2 4 1 0 10 11 12 0 2 3
Podczas analizy powyższego procesu założyć że:
- przeciętna liczba koniecznych tygodniowych napraw nie powinna
przekroczyć 5,
- α=ε=0,01,
Jakość wytwarzanych produktów oceniana była alternatywnie. Zmienną
diagnostyczną była liczba wadliwie wytworzonych produktów w losowej
próbie o stałej liczności n = 49. Próbę pobierano w odstępach
jednogodzinnych. Oceń przebieg procesu produkcyjnego, jeżeli w 10
początkowych okresach czasu otrzymano następujące wyniki:
godzina 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
liczba
produktów
wadliwych
6 0 2 5 4 0 12 4 1 2
Podczas analizy założyć, że:
α=ε = 0,01, maksymalna poprodukcyjna wadliwość wynosi 4%.
Parametry rozkładu rozstępu
0,8525
0,8884
0,8798
0,8641
0,8480
0,8332
0,8198
0,8078
0,7971
0,7873
0,7785
1,12838
1,69257
2,05875
2,32593
2,53441
2,70436
2,84720
2,97003
3,07751
3,17287
3,25846
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
fndnn