Download - Radiologická fyzika
Radiologická fyzika
Ultrazvuková diagnostika
12. listopadu 2012
Ultrazvuk
Ultrazvuk je zvukové vlnění s frekvencí vyšší jak 20 kHz. Tato hranice je dána hranicí slyšitelnosti zvuku u průměrného lidského ucha. Pro ultrazvukovou diagnostiku v medicíně (velmi rozšířená je také ultrazvuková diagnostika v různých inženýrských aplikacích) se používají frekvence řádu jednotek až desítek MHz.
Citlivost ucha k frekvencím
frekvence [Hz]
intenzita [Wm-2]
oblast slyšitelnosti
práh bolesti
práh slyšitelnosti
10-9
103
10-1
10-5
10 102 103 104 105
Δx
Šíření zvukové vlny
p
x
p0, v0, ρ0 p0, v0, ρ0
p1, v1, ρ1
Element prostředí hmotnosti Δm
Změna vyvolaná vlnou
p0, v0, ρ0p1, v1, ρ1
p
p0, v0, ρ0p1, v1, ρ1 p0, v0, ρ0p1, v1, ρ1
Element prostředí hmotnosti Δm na rozhraní
Newtonův druhý zákonZnámý tvar Newtonova zákona přepíšeme na
0 1 0 11 0 0 12 2
v vp p v v
0 1 0 11 02
Fm a
v vx S p S p S
t
Dosadíme
Zákon zachování hmoty
0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1
0 1 0 1 1 0 1 0
1 1 1 1
2 2 2 2v v v v v v
v v v v
a dostáváme
0 1
2
v vx t
0 0 1 1v v
umožní úpravou vyjádřit rozdíl rychlostí
Rychlost zvukuPředchozími úpravami dostáváme
neboli výraz pro rychlost zvuku (pro rychlost zvuku budeme v této části nadále používat c, na rozdíl od rychlosti pohybu elementu prostředí, ktero budeme značit v)
2
0 1 1 0
1 02
v v p p
1 2p
c
Označíme-li K modul pružnostip
K
je konečný výraz pro rychlost zvuku
1 2K
c
Rychlost zvuku pro různá prostředí
Hustota vody je téměř tisíckrát větší než hustota vzduchu. Kdyby o rychlosti zvuku rozhodovala pouze hustota, dalo by se očekávat, že se ve vodě bude zvuk šířit asi třicetkrát pomaleji než ve vzduchu. Z tabulky ale vyplývá, že je ve vodě zvuk naopak čtyřikrát rychlejší než ve vzduchu. Proto by měl být modul pružnosti vody více než desetitisíckrát větší než u vzduchu. Tak tomu skutečně je, protože voda je v porovnání se vzduchem mnohem hůř stlačitelná.
Rovinná vlna
2sin sinm m
xf t k x ts s s
Později zvolíme pro teorii vhodnější popis zvukové vlny. Pro tyto elementární úvahy mějme jako s(x,t) okamžitou výchylku malého elementu prostředí z rovnovážné polohy (rozměr [s]=m)
Protože
,c
kf c
2sinsinm m
xx c t s t
cs s
můžeme také psát
Kulová vlna
0 2sinm
r rf t
rs s
Popis
Energie zvukové vlny
cosm m m
sk x t v s
tv s
Kmitající element prostředí (objemu ΔV=SΔx) má energii jak kinetickou, tak potenciální. V okamžiku, kdy je rychlost kmitání elementu prostředí maximální (to není rychlost zvukové vlny!) je celá energie obsažena v kinetické části. Je tedy
2
21
2m
m
m v
S x sE
a dále
Výkon zvukové vlny pak bude (Δx=cΔt) – tady už přirozeně c je rychlost zvuku
2 21
2 mc s St
EW
Intenzita zvukové vlnyIntenzita je energie zvukové vlny, která projde jednotkovou plochou za jednotku času
2, WmW
IS S t
EI
2 21
2 mc sI neboli
Hladina intenzity zvuku
12 20
0
, 10 Wm10dB log II
I
V amplitudách, kdy I1/2=sm a log(an)=nlog(a)
21 2
1 20 0
20 log10dB log dB m
m
sI
I s
Pohyb detektoru ke zdroji
Zdroj i detektor v klidu Zdroj v klidu, detektor se pohybuje ke zdroji/
// D D
c tc v c vc
fct cf
f
Počítáme takto: dráha c/t, o kterou se za dobu t posunuly vlnoplochy dělena vlnovou délkou λ je rovna počtu vlnových délek. Tento počet vydělíme dobou t a dostáváme frekvenci f.
Pohyb zdroje k detektoru
Detektor je v klidu, zdroj se přibližuje k detektoru. Vlnoplochy vycházejí ze zdroje v intervalu T=1/f, takže jejich vzdálenost je vlnová délka λ. Detektor ovšem zaznamená vzhledem k pohybu zdroje (vlnoplochy nejsou vysílány ze stejného bodu) vzdálenost vlnoploch λ/.
//
ZZ Z
c c c cf
vccT v T c vf f
f
Dopplerův jev
Detektor je v klidu, zdroj se pohybuje k detektoru:
/
Z
cf
c vf
Zdroj je v klidu, detektor se pohybuje ke zdroji
/ Dc vf
cf
Zdroj je v klidu, detektor se pohybuje od zdroje
/ Dc vf
cf
Detektor je v klidu, zdroj se pohybuje od detektoru:
/
Z
cf
c vf
Při sbližování f / > f
Při vzdalování f / < f
Pokles intenzity
24ZP
rI
Výkon zdroje označme PZ , intenzita kulové vlny vycházející z počátku
Máme-li několik (nekoherentních) zdrojů, je intenzita součtem
21
1
4
Ni
i i
P
r rI
Potřebné vztahy
Polohový vektor v kartézských souřadnicích, funkce souřadnic a její gradient
, , , , gradf f f
r x i y j z k f f x y z f i j kx y z
, , , , , , ,
div
x y z
y zx
u u x y z i u x y z j u x y z k
u uuu
x y z
Vektorové pole a jeho divergence
Skalární součin grad x y zu u u u
x y z
skalární součin dva vektory skalární veličina
gradient funkce vektorová veličina
divergence vektorové pole skalární veličina
Rychlost zvuku I
Základními rovnicemi jsou rovnice kontinuity a Eulerova rovnice
graddiv 0 , grad
v pv v v
t t
00
graddiv 0 , 0
v pv
t t
Pro malé kmity (položíme ρ=ρ0+δρ, p=p0+δp) ponecháme v rovnicích jen členy prvního řádu v δρ, δp a v, takže máme
Stejně jako každý pohyb v ideální tekutině je i šíření zvuku děj adiabatický. Proto můžeme psát
0 S
pp
Rychlost zvuku II
Máme teď z rovnice kontinuity (v dalším už budeme vynechávat index 0)
div 0S
p pv
t
pt
Zapíšeme ještě vektor rychlosti jako gradient nějaké potenciálové funkce φ
Máme pak již vlnovou rovnici s výrazem pro rychlost zvuku
22
2 0S
pc c
t
a linearizovaná Eulerova rovnice je pak
gradv
Rychlost zvuku a rychlost kmitání
V jednorozměrném případě je jedním z řešení φ=f(x-vt). Potom máme
/ /,v f x c t p c f x c tx t
2
p c vv c
p c
odkud porovnáním
Pro kolísání teploty musíme připomenout termodynamickou identitu
1
pp
V TT v c
V T c
pS p
T T V
p c T
takže
Ideální plynPro 1 mol ideálního plynu platí stavová rovnice
, A BpV RT R N k
0 VT d S d Q dU pdV C dT pdV
R=8,316 Jmol–1K–1 je univerzální plynová konstanta. Při adiabatickém ději můžeme zapsat první větu termodynamickou jako
nebo jako
1 1,V p
S S S p
U S H U SC C R
T T T T T T T
kde U je vnitřní energie a H=U+pV entalpie jednoho molu ideálního plynu, CV a Cp jsou specifická tepla
0 pT d S d Q d H V d p C dT V d p
Plyn složený z jednoatomových molekul má pouze tři translační stupně volnosti, u dvouatomových přibudou ještě další dva na vzájemné oscilace, tedy CV=3R/2 nebo CV=5R/2.
Rychlost zvuku v ideálním plynuStavovou rovnici přepíšeme na
RTp
kde μ je molární hmotnost.nová konstanta. Snadno tedy spočteme derivaci tlaku podle hustoty při konstantní teplotě. Pro výpočet derivace při adiabatickém ději (tj. při konstantní entropii) musíme počítat s jakobiány
,
, , ,
,, ,
,
p p
VS T T
Sp ST Cp S p T p Tp p p
SS T CSTT
Rychlost zvuku v ideálním plynu je
1 2
p
V
c RTc
c