Radiologická fyzika

Ultrazvuková diagnostika

12. listopadu 2012

Ultrazvuk

Ultrazvuk je zvukové vlnění s frekvencí vyšší jak 20 kHz. Tato hranice je dána hranicí slyšitelnosti zvuku u průměrného lidského ucha. Pro ultrazvukovou diagnostiku v medicíně (velmi rozšířená je také ultrazvuková diagnostika v různých inženýrských aplikacích) se používají frekvence řádu jednotek až desítek MHz.

Citlivost ucha k frekvencím

frekvence [Hz]

intenzita [Wm-2]

oblast slyšitelnosti

práh bolesti

práh slyšitelnosti

10-9

103

10-1

10-5

10 102 103 104 105

Δx

Šíření zvukové vlny

p

x

p0, v0, ρ0 p0, v0, ρ0

p1, v1, ρ1

Element prostředí hmotnosti Δm

Změna vyvolaná vlnou

p0, v0, ρ0p1, v1, ρ1

p

p0, v0, ρ0p1, v1, ρ1 p0, v0, ρ0p1, v1, ρ1

Element prostředí hmotnosti Δm na rozhraní

Newtonův druhý zákonZnámý tvar Newtonova zákona přepíšeme na

0 1 0 11 0 0 12 2

v vp p v v

0 1 0 11 02

Fm a

v vx S p S p S

t

Dosadíme

Zákon zachování hmoty

0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1

0 1 0 1 1 0 1 0

1 1 1 1

2 2 2 2v v v v v v

v v v v

a dostáváme

0 1

2

v vx t

0 0 1 1v v

umožní úpravou vyjádřit rozdíl rychlostí

Rychlost zvukuPředchozími úpravami dostáváme

neboli výraz pro rychlost zvuku (pro rychlost zvuku budeme v této části nadále používat c, na rozdíl od rychlosti pohybu elementu prostředí, ktero budeme značit v)

2

0 1 1 0

1 02

v v p p

1 2p

c

Označíme-li K modul pružnostip

K

je konečný výraz pro rychlost zvuku

1 2K

c

Rychlost zvuku pro různá prostředí

Hustota vody je téměř tisíckrát větší než hustota vzduchu. Kdyby o rychlosti zvuku rozhodovala pouze hustota, dalo by se očekávat, že se ve vodě bude zvuk šířit asi třicetkrát pomaleji než ve vzduchu. Z tabulky ale vyplývá, že je ve vodě zvuk naopak čtyřikrát rychlejší než ve vzduchu. Proto by měl být modul pružnosti vody více než desetitisíckrát větší než u vzduchu. Tak tomu skutečně je, protože voda je v porovnání se vzduchem mnohem hůř stlačitelná.

Rovinná vlna

2sin sinm m

xf t k x ts s s

Později zvolíme pro teorii vhodnější popis zvukové vlny. Pro tyto elementární úvahy mějme jako s(x,t) okamžitou výchylku malého elementu prostředí z rovnovážné polohy (rozměr [s]=m)

Protože

,c

kf c

2sinsinm m

xx c t s t

cs s

můžeme také psát

Kulová vlna

0 2sinm

r rf t

rs s

Popis

Energie zvukové vlny

cosm m m

sk x t v s

tv s

Kmitající element prostředí (objemu ΔV=SΔx) má energii jak kinetickou, tak potenciální. V okamžiku, kdy je rychlost kmitání elementu prostředí maximální (to není rychlost zvukové vlny!) je celá energie obsažena v kinetické části. Je tedy

2

21

2m

m

m v

S x sE

a dále

Výkon zvukové vlny pak bude (Δx=cΔt) – tady už přirozeně c je rychlost zvuku

2 21

2 mc s St

EW

Intenzita zvukové vlnyIntenzita je energie zvukové vlny, která projde jednotkovou plochou za jednotku času

2, WmW

IS S t

EI

2 21

2 mc sI neboli

Hladina intenzity zvuku

12 20

0

, 10 Wm10dB log II

I

V amplitudách, kdy I1/2=sm a log(an)=nlog(a)

21 2

1 20 0

20 log10dB log dB m

m

sI

I s

Pohyb detektoru ke zdroji

Zdroj i detektor v klidu Zdroj v klidu, detektor se pohybuje ke zdroji/

// D D

c tc v c vc

fct cf

f

Počítáme takto: dráha c/t, o kterou se za dobu t posunuly vlnoplochy dělena vlnovou délkou λ je rovna počtu vlnových délek. Tento počet vydělíme dobou t a dostáváme frekvenci f.

Pohyb zdroje k detektoru

Detektor je v klidu, zdroj se přibližuje k detektoru. Vlnoplochy vycházejí ze zdroje v intervalu T=1/f, takže jejich vzdálenost je vlnová délka λ. Detektor ovšem zaznamená vzhledem k pohybu zdroje (vlnoplochy nejsou vysílány ze stejného bodu) vzdálenost vlnoploch λ/.

//

ZZ Z

c c c cf

vccT v T c vf f

f

Dopplerův jev

Detektor je v klidu, zdroj se pohybuje k detektoru:

/

Z

cf

c vf

Zdroj je v klidu, detektor se pohybuje ke zdroji

/ Dc vf

cf

Zdroj je v klidu, detektor se pohybuje od zdroje

/ Dc vf

cf

Detektor je v klidu, zdroj se pohybuje od detektoru:

/

Z

cf

c vf

Při sbližování f / > f

Při vzdalování f / < f

Pokles intenzity

24ZP

rI

Výkon zdroje označme PZ , intenzita kulové vlny vycházející z počátku

Máme-li několik (nekoherentních) zdrojů, je intenzita součtem

21

1

4

Ni

i i

P

r rI

Potřebné vztahy

Polohový vektor v kartézských souřadnicích, funkce souřadnic a její gradient

, , , , gradf f f

r x i y j z k f f x y z f i j kx y z

, , , , , , ,

div

x y z

y zx

u u x y z i u x y z j u x y z k

u uuu

x y z

Vektorové pole a jeho divergence

Skalární součin grad x y zu u u u

x y z

skalární součin dva vektory skalární veličina

gradient funkce vektorová veličina

divergence vektorové pole skalární veličina

Rychlost zvuku I

Základními rovnicemi jsou rovnice kontinuity a Eulerova rovnice

graddiv 0 , grad

v pv v v

t t

00

graddiv 0 , 0

v pv

t t

Pro malé kmity (položíme ρ=ρ0+δρ, p=p0+δp) ponecháme v rovnicích jen členy prvního řádu v δρ, δp a v, takže máme

Stejně jako každý pohyb v ideální tekutině je i šíření zvuku děj adiabatický. Proto můžeme psát

0 S

pp

Rychlost zvuku II

Máme teď z rovnice kontinuity (v dalším už budeme vynechávat index 0)

div 0S

p pv

t

pt

Zapíšeme ještě vektor rychlosti jako gradient nějaké potenciálové funkce φ

Máme pak již vlnovou rovnici s výrazem pro rychlost zvuku

22

2 0S

pc c

t

a linearizovaná Eulerova rovnice je pak

gradv

Rychlost zvuku a rychlost kmitání

V jednorozměrném případě je jedním z řešení φ=f(x-vt). Potom máme

/ /,v f x c t p c f x c tx t

2

p c vv c

p c

odkud porovnáním

Pro kolísání teploty musíme připomenout termodynamickou identitu

1

pp

V TT v c

V T c

pS p

T T V

p c T

takže

Ideální plynPro 1 mol ideálního plynu platí stavová rovnice

, A BpV RT R N k

0 VT d S d Q dU pdV C dT pdV

R=8,316 Jmol–1K–1 je univerzální plynová konstanta. Při adiabatickém ději můžeme zapsat první větu termodynamickou jako

nebo jako

1 1,V p

S S S p

U S H U SC C R

T T T T T T T

kde U je vnitřní energie a H=U+pV entalpie jednoho molu ideálního plynu, CV a Cp jsou specifická tepla

0 pT d S d Q d H V d p C dT V d p

Plyn složený z jednoatomových molekul má pouze tři translační stupně volnosti, u dvouatomových přibudou ještě další dva na vzájemné oscilace, tedy CV=3R/2 nebo CV=5R/2.

Rychlost zvuku v ideálním plynuStavovou rovnici přepíšeme na

RTp

kde μ je molární hmotnost.nová konstanta. Snadno tedy spočteme derivaci tlaku podle hustoty při konstantní teplotě. Pro výpočet derivace při adiabatickém ději (tj. při konstantní entropii) musíme počítat s jakobiány

,

, , ,

,, ,

,

p p

VS T T

Sp ST Cp S p T p Tp p p

SS T CSTT

Rychlost zvuku v ideálním plynu je

1 2

p

V

c RTc

c