Álgebra y Geometría Analítica UNIDAD Nº 2: Números Complejos Año 2010
Lic. Silvia Suárez de Rodriguez - 1 - FCEyT – UNSE
UNIDAD Nº 2: NÚMEROS COMPLEJOS Introducción
La ecuación x + b = a / a, b ∈ IN con a < b no tiene solución en el conjunto de los números naturales (IN), pero sí es soluble en Z (números enteros). La solución es: x = a – b. La ecuación, también de 1° grado, a.x = b / a, b ∈ Z ∧ a ≠ 0 no tiene solución en el conjunto de números enteros, pero se puede resolver en el conjunto Q (números racionales).
La solución de esta ecuación es x =ba
La ecuación de segundo grado x2 – 2 = 0, o sea x2 = 2, no tiene solución en Q, pero sí en el conjunto IR (números reales).
Las raíces o soluciones son 2 2 −y
¿Todas las ecuaciones de 2° grado tienen solución en IR?
La ecuación x2 + 1 = 0 o bien x2 = -1 no puede resolverse en IR porque el cuadrado de un número real no es un número negativo.
Para dar solución a estos tipos de ecuaciones definiremos el conjunto de números complejos. Definición: C = {(a, b) / a ∈ IR ∧ b ∈ IR}
Es decir, definimos el conjunto de los números complejos como el conjunto de pares ordenados cuyas componentes son números reales.
Si z ∈ C ∧ z = (a, b) llamaremos componente real a la primera componente y componente imaginaria a la segunda componente y denotaremos:
R (z) = a ∧ Im (z) = b. A esta forma de expresar el número complejo z = (a, b) la llamaremos forma cartesiana.
Representación gráfica Todo número complejo se representa gráficamente en el plano de GAUSS.
Llamaremos eje real al eje X y eje imaginario al eje Y. El complejo z = (a, b) se representa con un punto del plano: a sobre el eje real y b sobre el
eje imaginario. A cada punto o a cada complejo z le asociamos un vector, que tiene como origen el origen
del sistema y como extremo el punto z.
b
a
z = (a , b)
Y
X
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Los complejos (a, 0), es decir, de parte imaginaria nula quedan representados en el eje real y lo llamamos complejo real. Los complejos (0, b) es decir, de parte real nula están ubicados en el eje imaginario y lo llamamos complejo imaginario o imaginario puro. Igualdad de números complejos
Dos números complejos son iguales sí y sólo si sus componentes reales son iguales y sus componentes imaginarias son iguales:
(a, b) = (c, d) ⇔
a c
b d
=�� ∧�� =�
Operaciones con complejos en forma cartesiana Suma de números complejos
Sean (a, b), (c, d) ∈ C : (a, b) + (c, d) = (a + c , b + d) Es decir que la suma de dos números complejos es otro número complejo.
Producto de números complejos
Sean (a, b), (c, d) ∈ C : (a, b) . (c, d) = (a.c – b.d, a.d + b.c) La suma y el producto en C son leyes de composición interna. Justificar
+ : C x C →→→→ C . : C x C →→→→ C Propiedades de la suma y el producto i) Conmutativa de la suma y del producto
∀ (a, b) , (c, d) ∈ C : (a, b) + (c, d) = (c, d) + (a, b) ∧ (a, b) . (c, d) = (c, d) . (a, b)
Verificación:
Por definición de suma en C y por la conmutatividad de la suma de números reales (a, b) + (c, d) = ( a + c, b + d) = (c + a, d + b) = (c, d) + (a, b)
Por definición de producto en C y por la conmutatividad del producto de números reales (a, b) . (c, d) = (a.c – b.d, a.d + b.c) = (c.a – d.b, d.a + c.b) = (c, d) . (a, b)
ii) Asociativa de la suma y del producto ∀ (a, b) , (c, d) , (e ,f) ∈ C : [(a, b) + (c, d)] + (e, f) = (a, b) + [(c, d) + (e, f)] ∧ [(a, b) . (c, d)] . (e, f) = (a, b) . [(c, d) . (e, f)] Verificación: [(a, b) + (c, d)] + (e ,f) = (a + c, b + d) + (e, f) = (a + c + e, b + d + f)
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(a, b) + [(c, d) + (e, f )] = (a, b) + (c + e, d + f) = (a + c + e, b + d + f) De la misma manera se verifica la asociativa del producto. iii) Existencia del elemento neutro ∃ (x, y) ∈ C : ∀ (a, b) ∈ C – {(0,0)} : (a, b) + (x, y) = (x, y) + (a, b) = (a, b)
(a, b) + (x, y) = (a, b) Por definición de suma y por igualdad de complejos
(a + x, b + y) = (a, b) � 0
0
a x a x
b y b y
+ = � =�� + = � =�
Luego el elemento neutro para la suma es (x, y) = (0, 0) ∃ (x, y) ∈ C : ∀ (a, b) ≠ (0,0) : (a, b) . (x, y) = (x, y) . (a, b) = (a, b)
(a, b) . (x, y) = (a, b) por definición de la multiplicación en C y por igualdad de complejos
(a.x – b.y, a.y + b.x) = (a, b) � ax by a
ay bx b
− =�� + =�
O bien ax by a
bx ay b
− =�� + =�
Resolviendo el sistema
x = 2 2
2 2 1
a b
b a a ba b a bb a
−+= =
− +, y = 2 2 2 2 0
a a
b b ab aba b a b
−= =+ +
Luego el elemento neutro del producto es (x, y) = (1,0)
iv) Existencia de inverso
∀ (a, b) ∈ C: ∃ (a’,b’) ∈ C/ (a, b) + (a’, b’) = (a’, b’) + (a, b) = (0, 0)
(a, b) + (a’, b’) = (0, 0) por definición de suma en C y por igualdad de complejos
(a + a’, b + b’) = (0,0) � ' 0 '
' 0 '
a a a a
b b b b
+ = � = −�� + = � = −�
Luego el inverso de (a, b) es (-a, -b) (también llamado inverso aditivo u opuesto)
∀ (a, b) ∈ C – {(0,0)} : ∃ (a’,b’) ∈ C / (a, b) . (a’,b’) = (1,0) Por definición de la multiplicación y por igualdad de complejos
(a. a’ – b.b’, a.b’ + b.a’) = (1, 0) � ' ' 1
' ' 0
aa bb
ba ab
− =�� + =�
Resolviendo el sistema
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2222
0
1
0
1
bab
ab
bab
a
bba
a
ab
baa
b
a+
−=−
=′+
=−
−
=′
Luego el inverso del producto también llamado inverso multiplicativo o recíproco es:
(a’, b’) = 2 2 2 2,a b
a b a b−� �
� + + �
v) Distributiva ∀ (a, b) , (c, d) , (e, f) ∈ C : (a, b) . [(c, d) + (e, f)] = (a, b) . (c, d) + (a, b) . (e, f) ∧ [(c, d) + (e, f)] . (a, b) = (c, d) . (a, b) + (e ,f) . (a, b)
Los Números Complejos, por verificar éstas propiedades respecto de la suma y de la multiplicación, tienen una estructura algebraica llamada CUERPO. El cuerpo de los Números Complejos que denotamos con la terna (C, + , . )
El conjunto de los Números Reales por verificar las mismas propiedades también constituye un Cuerpo, el Cuerpo de Números Reales que denotamos con la terna ( IR, + , . ). Resta y Cociente de números complejos
(a, b) – (c, d) = ( a, b) + (-c, -d) = (a – c, b – d) Por definición de resta y por el inverso aditivo
Si (c, d) ≠ (0, 0), (a, b) : (c, d) = 2 2 2 2( , ). ,c d
a bc d c d
−� �� + + �
Por definición de producto y por el inverso multiplicativo Realiza las siguientes operaciones:
a) (1,2). (0,-2) + (0,3) = b) [(1,1). (1,-2)] : (-2,1) = c) (1,3). (0, ½) + (-2, ½) = d) (3,-1) + (0, 2 ). (-1,1) =
e) (1,1). [(0,1) - (1, 2)(1,3)
−] =
Definición del conjunto C0 y su identificación con IR.
Ya vimos que el complejo (a, 0), es decir de parte imaginaria nula se llama complejo real, ahora definimos el conjunto de estos números y lo denotaremos con:
C0 = {(a, b) / b = 0} Si efectuamos la suma y el producto de los elementos de este conjunto tenemos que: (a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0) (a, 0) + (c, 0) � a + c (a, 0) . (c, 0) = (a . c, 0) (a, 0) . (c, 0) � a . c
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Es decir, los complejos de parte imaginaria nula se comportan respecto de las operaciones de suma y producto como los números reales a y c que son sus componentes reales. O sea, para efectuar las operaciones de suma y multiplicación con números complejos de componente imaginaria nula, se efectúan las correspondientes operaciones con los números reales que son sus respectivas componentes reales.
Es decir que existe una correspondencia uno a uno entre los elementos del conjunto C0 y el conjunto IR.
(a, 0) → a y a → (a,0) Esto nos dice que C0 y IR se pueden identificar porque tienen la “misma forma”. En
Álgebra se dice que dichos conjuntos son Isomorfos. Por ello Identificamos los números del conjunto C0 con IR poniendo: (a, 0) = a y como C0 C C (C0 es un subconjunto C ), podemos interpretar IR C C Teniendo en cuenta que 1 = (1, 0) y 0 = (0, 0) podemos probar que el complejo (0,1) es solución de la ecuación: x2 + 1 = 0 Reemplazando en la ecuación, tenemos: (0, 1). (0, 1) + (1, 0) = (0, 0)
� (0.0 – 1.1, 0.1 + 1.0) + (1,0) = (0, 0)
� (-1, 0) + (1, 0) = (0, 0) Como también se puede probar que el complejo (0, -1) es solución de dicha ecuación. Es decir: (0,-1). (0,-1) + (1,0) = (0,0) Verificar
NOTA: El complejo (0,1) es un elemento importante dentro del conjunto C, se llama “unidad imaginaria” y se denota con i.
(0, 1) = i Potencias sucesivas del complejo i.
i1 = i i2 = i.i = (0, 1) . (0, 1) = (0.0-1.1,0.1+1.0) = (-1, 0) = -1 i3 = i2.i = (-1) . i = -i i4 = i2 . i2 = (-1) . (-1) = 1 i5 = i4 . i = 1 . i = i …………………..
Observemos que: i5 = i, es decir a partir de ésta potencia se repiten periódicamente los cuatro números i, -1, -i, 1.
Podemos probar que: i6 = i2, i7 = i3, i8 = i4
En general si el exponente de i es n ∈ IN, al efectuar la división n por 4 (porque son 4 los resultados posibles) tendremos que: in = ir Donde n es el exponente y r es el resto de Ej.: i38 = i2 y como i2 = -1 entonces i38 = -1
n 4 r = p
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Forma binómica de un número complejo
Sea Z = (a, b). Por definición de suma resulta que: (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0) . (0, 1) = a + b.i
Luego
(a, b) = a + b.i
Esto indica que un número complejo admite más de una representación: (a, b) se llama forma cartesiana del complejo, a + b.i se llama forma binómica del complejo.
Ejemplos:
1) Representa en forma binómica los complejos:
i) (x, y) iii) (2,0) ii) (-x, -y) iv) (3, -1) 2) Representa en forma cartesiana los complejos: i) 1 – 2i iii) 3i + 1 ii) 3i iv) i
Sea el complejo Z = (x, y), llamaremos conjugado de Z y denotaremos con Z al complejo (x, -y). 3) Expresa en forma binómica el conjugado de: i) 1+i iv) 2i ii) 3 v) (0,1) iii) -1-i vi) (1,0)
Operaciones en forma binómica
Sean Z1 = a + bi y Z2 = c + di
• Z1 + Z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
• Z1 - Z2 = (a + bi) - (c + di) = (a + bi) + (-c - di) = (a - c) + (b - d)i
• Z1 . Z2 = (a + bi) . (c + di) = ac + adi + bci + bdi2
Como i2 = -1 y separando las componentes real e imaginaria:
• Z1 . Z2 = (ac – bd) + (ad + bc)i
• Z12 = (a + bi)2 = a2 + 2abi + (bi)2 = a2 + 2abi – b2 = (a2 – b2) + 2abi
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Cociente de números complejos
A continuación enunciaremos dos propiedades que nos posibilita definir el cociente de dos números complejos de manera sencilla.
Sean Z1, Z2 ∈ C / Z2 � 0 : 111 2
2
ZZ Z
Z−= ⋅
Propiedades
i) ∀ Z1, Z2 ∈ C / Z1 � 0 , Z2 � 0 : 1 1 11 2 1 2( ) = Z Z Z Z− − −⋅ ⋅
ii) ∀ Z1 , Z2 , Z3 ∈ C / Z2 � 0 , Z3 � 0 : 1 31
2 2 3
.
.Z ZZ
Z Z Z=
i) Sabemos que todo número complejo no nulo tiene recíproco
Z1 � 0 � ∃ Z1 -1 : Z1 . Z1
-1 = Z1 -1 Z1 = 1
Z2 � 0 � ∃ Z2 -1 : Z2. Z2
-1 = Z2 -1 Z2 = 1
Z1 . Z2 � 0 pues Z1 y Z2 son no nulos, luego existe 11 2( )Z Z −⋅
Probar que 11 2( )Z Z −⋅ = 1 1
1 2Z Z− −⋅ , significa mostrar que: 1 11 2Z Z− −⋅ es el inverso de
Z1 . Z2. Calculamos:
(Z1 . Z2) . ( 1 11 2Z Z− −⋅ ) = (Z1
-1 Z1 ) . (Z2 -1 Z2) = 1 . 1 = 1
ii) Z2 � 0 � ∃ Z2 -1 ; Z3 � 0 � ∃ Z3
-1
1 3
2 3
.
.Z ZZ Z
= ( 1 3.Z Z ) . ( 2 3.Z Z )-1
= ( 1 3. Z Z ) . ( 1 12 3Z Z− −⋅ )
= ( Z1 . Z2-1 ) . (Z3 . Z3
-1)
= ( Z1 . Z2-1 ) . 1
= Z1 . Z2-1 = 1
2
ZZ
Esta propiedad permite calcular el cociente de la siguiente manea:
Sean Z1 , Z2 ∈ C / Z2 � 0 22
21
2
1
.
.
ZZ
ZZZZ
=
Si realizamos el cociente en forma binómica, tal que:
Si Z1 = a + bi, Z2 = c + di � 0
1
2
ZZ
= 1 2
2 2
.
.Z ZZ Z
=2
2 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( )a bi c di ac adi bdi ac bd bc ad i ac bd bc adi
c di c di c d c d c d c d+ − − − + + − + −⋅ = = = ++ − + + + +
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Forma polar de un número complejo
Recordemos que a cada número complejo Z = (a, b) le asociamos un vector con origen en el origen del plano complejo (ó plano de Gauss) y cuyo extremo es el punto determinado por el par ordenado correspondiente.
A la medida o longitud del vector lo llamaremos módulo del complejo Z, y es un número real no negativo. Lo denotamos con ρρρρ o bien � Z �.
A la medida del ángulo que forma el semi-eje positivo OX
����con el vector, medida en
radianes, llamaremos ARGUMENTO del complejo Z. Denotamos: arg (Z) = ϕ
Llamaremos forma polar del complejo Z = (a, b) al par (ρ/ϕ); ρ y ϕ se llaman componentes polares del complejo Z.
Dado un complejo en forma cartesiana o binómico: z = (a, b) = a + bi se puede expresar en coordenadas polares, donde ( )ϕρ / se obtiene:
En forma inmediata podemos expresar a todo número complejo en la forma trigonométrica. Despejando a y b en las dos igualdades últimas:
cos ; a b senρ φ ρ φ= =
Por lo que: Z = (a, b) = a + bi = cos i senρ ϕ ρ ϕ+ Luego:
Z = ( )ϕϕρ senicos + Forma Trigonométrica
Antes de definir igualdad de complejos expresados en forma polar veamos cuando dos
argumentos son congruentes: dos argumentos son congruentes si y sólo si difieren en un número entero de giros. En forma simbólica:
ϕ1 ≡ ϕ2 ⇔ ϕ1 - ϕ2 = 2kπ con k ∈ Z O bien:
ϕ1 ≡ ϕ2 ⇔ ϕ1 = ϕ2 - 2kπ con k ∈ Z
2 2
cos
a b
a
bsen
ρ
ϕρ
ϕρ
= +
=
=
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Igualdad de complejos expresados en forma polar
Dos números complejos expresados en forma polar son iguales sí y sólo si sus módulos son iguales y sus argumentos son congruentes.
( ) ( )1 2
1 1 2 2
1 2
/ /2k k
ρ ρρ φ ρ φ
φ φ π
=��= ⇔ ∧�� = + ∀ ∈� �
En consecuencia, no es posible establecer entre los puntos del plano y los pares (ρ/ϕ) una
correspondencia biunívoca. Cada punto del plano admite una infinidad de representaciones polares.
El punto de coordenadas polares (ρ/ϕ) = (ρ/ϕ + 2kπ) con k � Z Ejemplo
....2
7/12
3/1....
...2
13/12
9/12
5/12
/1
=�
��
� −=�
��
� −=
=�
��
�=�
��
�=�
��
�=�
��
�
ππ
ππππ
Operaciones de números complejos en forma polar Multiplicación
El producto de dos complejos en forma polar tiene por modulo el producto de los módulos, y por argumento la suma de los argumentos. Sean )seni(coszy)seni(cosz ϕϕρϕϕρ ′+′′=′+= Entonces
[ ][ ])(seni)(cos
)sencoscossen(i)sensencos(cos)seni(cos)seni(coszz
ϕϕϕϕρρϕϕϕϕϕϕϕϕρρ
ϕϕϕϕρρ
′++′+′=′+′+′−′′=
=′+′+′=′
Cociente
El cociente de dos complejos en forma polar, siendo el segundo distinto de cero, tiene por modulo el cociente de los módulos, y por argumento la diferencia de los argumentos.
Sean )seni(coszy)seni(cosz ϕϕρϕϕρ ′+′′=′+= � 0
[ ]
,, = (cos )
(cos ) (cos ' ') (cos )
(cos ) cos ( ' ) ( ' )
zw z z w Si w R i sen
zi sen i sen R i sen
i sen R i sen
φ φ
ρ ϕ ϕ ρ ϕ ϕ φ φρ ϕ ϕ ρ ϕ φ ϕ φ
= � = +
′+ = + + �
′� + = + + + �
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Por igualdad de complejos
[cos( ) ( ) zz
ρρ
= − + −′ ′
Potenciación de exponente natural
La potencia n-sima de un complejo en forma polar tiene por modulo la potencia n-sima de su modulo, y por argumento el producto de su argumento por n, con n � N.
)nsenin(cosz)seni(cosz nn ϕϕρϕϕρ +=�+=
Lo demostramos por inducción completa
)1seni.1(cos
)seni(coszz1n)11
1
ϕϕρϕϕρ
+=
=+==�=°
[ ]ϕϕρϕϕρ )1h(seni)1hcos(z)hsenih(cosz)2 1h1hhh +++=�+=° ++
En efecto, por definición de potencia e hipótesis inductiva se tiene
[ ]ϕϕρϕϕρϕϕρ
)1h(seni)1hcos(
)seni(cos)hsenih(coszzz1h
hh1h
+++=
=++==+
+
Luego es verdadera ∀ n � N.
La formula )nsenin(cosz nn ϕϕρ += se llama de Moivre.
Radicación en C
El complejo w es raíz n-sima de z sí y sólo si z w n= .
Teorema. Todo complejo no nulo admite n raíces n-simas distintas dadas por
�
��
� +++=n
k2isen
nk2
cosw nk
πϕπϕρ donde k = 0, 1, 2,…, n-1
Demostración
Sean )isen(cosz ϕϕρ += y )isen(cosRw φφ +=
2 con k
0
R
R si
ρ ρ ϕ φ φ κπρ ϕ φ φ κρ
′ ′= ∧ + = + ∈
′= ∧ = − =′
��
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Por definición de raíz, debe ser: zw n =
Es decir: (cos ) (cos )nR n i sen n isenϕ ϕ ρ φ φ+ = +
Por igualdad de complejos
Rn = ρ y n φ = ϕ + 2kπ con k ∈ Z
Luego n
k2yR n
πϕφρ +== / k ∈ Z
Se obtiene la fórmula
�
��
� +++=+n
k2isen
nk2
cos)isen(cos nnπϕπϕρϕϕρ
Todas las raíces de Z tienen el mismo módulo, y difieren en el argumento que es
2
kc o n k
n nφ π+ ∈ �
De los infinitos valores enteros de k es suficiente considerar 0, 1, 2, …, n-1 para obtener las n raíces
distintas.
RAICES ARGUMENTOS
w0
w1
w2
w3
…. …………….
wn-1
nϕ
n2
nπϕ +
n2
.2n
πϕ +
n2
.3n
πϕ +
n2
).1n(n
πϕ −+
Si k = n entonces la correspondiente raíz Wn tiene argumento:
πϕπϕ2
nn2
nn
+=+ Que es congruente con nϕ
y se vuelve a obtener w0.
En general Wj+n = Wj , por lo que sólo existen n raíces distintas.
NOTA:
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Las n raíces n-simas, distintas de un complejo no nulo, se identifican con los vértices de un
polígono regular de n lados inscripto en la circunferencia de radio nR ρ= .
Ejemplo
i) 3 1 Entonces z = 1 + 0i � ρ = 1 ∧ ϕ = 0
� 3k2
isen3k2
cos3
k20isen
3k20
cos1)0isen0(cos1 33ππππ +=
�
��
� +++=+
23
21
34
3
4 cos
23
21
32
3
2 cos
10 0 cos
2
1
0
iseniw
iseniw
seniw
−−=+=
+−=+=
=+=
ππ
ππ
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Exponencial Compleja
Antes de definir el logaritmo de un número complejo presentaremos la siguiente fórmula
que se demuestra en los cursos de análisis, conocida como fórmula de EULER
ei� = cos � + i sen �
Si multiplicamos ambos miembros de esta igualdad por ρ obtenemos otra manera de
expresar el número complejo:
ρρρρ ei� = ρρρρ cos � + i sen �
Z = ρρρρ ei� se llama FORMA EXPONENCIAL del número complejo
Operaciones en forma exponencial
Si a las fórmulas relativas al producto, cociente, potenciación y raíz, obtenidas en la forma polar,
las expresamos en su forma exponencial obtenemos las siguientes:
( )
1 1 2 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1
2 22
2
1 2
1 2 1 2
11 2
2
( )
( )
)
)
)
) con k =0,1,2,..., n-1
nn n
i kn nn
i i
i i i
ii
i
i in
Sean y
i
ii
iii z
iv z
z e z e
z z e e e
z e ez e
e e
eφ π
φ φ
φ φ φ φ
φφ φ
φ
φ φ
ρ
ρ
ρ
ρ ρρ ρ ρ
ρ ρρρ
ρ+
+
−
= =
⋅ = ⋅ = ⋅
= =
= =
=
Logaritmación en C
Sea z � 0. Por definición ln z = w si y sólo si ew = z
Para determinar los complejos w que satisfacen w = ln z, proponemos la forma exponencial
para el complejo z y la forma binómica para w, es decir
y iz e w u ivφρ= = +
Hay que determinar u y v ∈ IR tales que:
u i v e ie φρ+ =
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.. u i v ie e eφρ=
πϕρ k2ve u +=∧=
ln 2u v kρ φ π= ∧ = +
Resulta )k2(ilnzln πϕρ ++= con k ∈∈∈∈ Z
Fórmula que permite obtener los infinitos logaritmos de un complejo no nulo.
Como la componente real del ln Z es independiente de k, todos los logaritmos corresponden a
puntos de la paralela del eje imaginario que pasan por (ln ρ, 0)
Valor principal del ln z es el que se obtiene para k = 0, o sea,
V.p. ln z = ln ρ + i ϕ
Ejemplo: z = -2
z = -2 + 0.i � ρ = 2 ∧ ϕ = π
Luego
ln z = ln (-2) = ln 2 + i(π+2 k π) = ln 2 + (1+2k) πi