PROGRAMA EDUCATIVO: INGENERIA INDUSTRIAL

EXPERIENCIA EDUCATIVA: INGENIERA INDUSTRIAL

TRABAJO: UNIDAD 1 NUMEROS COMPLEJOS

DOCENTE: ING. VERONICA VAZQUEZ VIVEROS

ALUMNO: CRISTOBAL DE JESUS HERANANDEZ PEREZ

GRUPO: 304 I

DOMINICAL

INDICE

1.1 DEFINICIN Y ORIGEN DE LOS NMEROS COMPLEJOS.3

1.2 OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NMEROS COMPLEJOS9

1.3 POTENCIAS DE I, MDULO O VALOR ABSOLUTO DE UN NMERO COMPLEJO...12

1.4 FORMA POLAR Y EXPONENCIAL DE UN NMERO COMPLEJO15

1.5 TEOREMA DE DE MOIVRE, POTENCIAS Y EXTRACCIN DE RACES DE UN NMERO COMPLEJO.18

1.6 ECUACIONES POLINMICAS.21

CONCLUSION24

BIBLIOGRAFIA...25

UNIDAD 1 NUMEROS COMPLEJOS1.1 DEFINICIN Y ORIGEN DE LOS NMEROS COMPLEJOS

Un Nmero Complejo es una expresin del tipo:z= a +biDonde a y b son nmeros reales e i es un smbolo.Este tipo de nmeros, algo misteriosos, por el momento, aparecen entre las soluciones de ecuaciones algebraicas con una incgnita. Por ejemplo la ecuacinx2+ x + 1 = 0No tiene races reales.Al tratar de aplicar la frmula que da la solucin de una ecuacin de segundo grado, nos encontramos con la expresin:

No se puede tener una raz cuadrada de un nmero negativo. Sin embargo, si usamos propiedades de los radicales se obtiene:

Luego la solucin de este problema es un nmero algo misterioso de la forma:

Qu significado se le puede dar a una raz cuadrada de un nmero negativo?Porque no dejar de lado esta dificultad y aceptar que este tipo de ecuacin no tiene solucin?La necesidad de resolver todas las ecuaciones cuadrticas, incluyendo estas cuyas soluciones nos dan este tipo extrao de nmeros, nos motiva a crear un sistema numrico ampliado, con propiedades similares a las de los nmeros reales. Dentro de este contexto se acepta el smboloRaz cuadrada de -1como una entidad matemtica nueva.Comenzaremos por introducir un nuevo nmero o smbolo, denotado por i, el cual ser llamado la unidad imaginaria y que cumple con la condicin:

O bien:

Una vez hecho esto construimos un conjunto C llamado Nmeros Complejos, cuyos elementos son combinaciones de la forma:

Donde a y b son nmeros reales. Vemos entonces que todo nmero complejo consta de dos partes, o componentes, llamadas: parte real y parte imaginaria, dadas por a y b respectivamente.Ejemplo: El siguiente es un nmero complejo:

Su parte real esraz cuadrada de 2y su parte imaginaria es raiz cuadrada de -3.Ejemplo. El siguiente es unnmero complejo:

Cuando no hay parte imaginaria, como en este caso, se dice que el complejo es real. Entonces los Nmeros Reales forman parte del conjunto de los Nmeros Complejos.

Ejemplo. El siguiente es un nmero complejo:

Cuando un nmero complejo no tiene parte real, como en el presente caso, se dice que es unimaginario puro.

HISTORIA DE LOS NMEROS COMPLEJOSYa desde el siglo I antes de Cristo, algunos matemticos griegos, como ser Hern de Alejandra, comenzaron a esbozar el concepto de nmeros complejos, antedificultades para construir una pirmide. Sin embargo, recin en el siglo XVI empezaron a ocupar un lugar importante para la ciencia; en ese momento, un grupo de personas buscaba frmulas para obtener lasracesexactas de los polinomios de grados 2 y 3.En primer lugar, su inters era dar con las races reales de las ecuaciones antes mencionadas; sin embargo, tambin debieron enfrentarse a las races de nmeros negativos. El famoso filsofo, matemtico yfsicode origen francs Descartes fue quien cre el trmino de nmeros imaginarios en el siglo XVII, y recin ms de 100 aos ms tarde sera aceptado el concepto de los complejos. Sin embargo, fue necesario que Gauss, cientfico alemn, lo redescubriera un tiempo despus para que ste recibiera la atencin que mereca.El plano complejoPara interpretar de manera geomtrica los nmeros complejos es necesario valerse de unplanocomplejo. En el caso de su suma, sta puede ser relacionada con la de los vectores, mientras que su multiplicacin es posible expresarla mediante coordenadas polares, con las siguientes caractersticas:* La magnitud de su producto es la multiplicacin de las magnitudes de los trminos;* El ngulo que va desde elejereal del producto resulta de la suma de los ngulos de los trminos.A la hora de representar las posiciones de los polos y los ceros de una funcin en un plano complejo, a menudo se utilizan los denominados diagramas de Argand.

La primera referencia conocida a races cuadradas de nmeros negativos proviene del trabajo de los matemticos griegos, como Hern de Alejandra en el siglo I antes de Cristo, como resultado de una imposible seccin de una pirmide. Los complejos se hicieron ms patentes en el Siglo XVI, cuando la bsqueda de frmulas que dieran las races exactas de los polinomios de grados 2 y 3 fueron encontradas por matemticos italianos como Tartaglia, Cardano.Aunque slo estaban interesados en las races reales de este tipo de ecuaciones, se encontraban con la necesidad de lidiar con races de nmeros negativos. El trmino imaginario para estas cantidades fue acuado por Descartes en el Siglo XVII y est en desuso. La existencia de nmeros complejos no fue completamente aceptada hasta la ms abajo mencionada interpretacin geomtrica que fue descrita por Wessel en 1799, redescubierta algunos aos despus y popularizada por Gauss. La implementacin ms formal, con pares de nmeros reales fue dada en el Siglo XIX. Los algebristas de los siglos XV y XVI, al buscar una solucin para algunas ecuaciones de segundo grado, por ejemplo se encontraron con .Afirmaban que las ecuaciones no tenan solucin, ya que no hay ningn nmero real cuyo cuadrado sea un nmero negativo. Este hecho implicaba la conveniencia de "definir" nuevos nmeros de la forma: donde y son nmeros reales e es , que permitieran resolver cualquier ecuacin de segundo grado. Estos nuevos nmeros se llaman nmeros complejos ().Ejemplo:La ecuacin de segundo grado: tiene como solucin: Que expresaremos como: Se llama nmero complejo a toda expresin de la forma donde y son nmeros reales; i es la unidad llamada imaginaria, definida por las ecuaciones: o ; a es la parte real y b es la parte imaginaria del nmero complejo.Si a = 0, el nmero complejo 0 + b.i = b.i, es un nmero imaginario puro; si b = 0, se obtiene el nmero reala + 0.i = aDos nmeros complejos son iguales si: (a + b.i) = (c + d.i) a = c; b = d es decir, si son iguales sus partes reales e imaginarias por separado.Un nmero complejo es igual a cero si: a + b.i = 0 a = 0; b =0

Ejercicios 1.11)

2)

Ya que

Por lo tanto

3)

Los ngulos que forman 2 lados de un tringulo equiltero son de radianes, luego hay quie avanzar Por lo tanto, como uno de los 2 vertices es se tiene que

Son los otros dos. En forma binomica

1.2 OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NMEROS COMPLEJOS.

ADICCINDados los complejos Z1 = (a; b) y Z2 = (c ;d). Se define Z1 + Z2 = (a; b) + (c; d) = (a +c; b+ d)SUSTRACCINSe obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo: Z1 + (-22) = (a; b) + (-c ; d) = (a c ; b-d)MULTIPLICACINDados los complejos Z1 = (a ; b) y Z2 = (c ; d), se define Z1 * Z2 = (a*c-b*d; a*d + b*c)POTENCIACINLa potenciacin de un numero complejo con potencia natural, se resuelve como una multiplicacin reiterada: Zn = (a; b)n = (a; b) 1. (a ; b)2 (a ; b)n asociado de a dos pares los pares ordenados.FORMA BINOMICALa forma Binomica de un numero complejo es: Z = a + biOPERACIONES DENMEROSCOMPLEJOS EN SU FORMA BINOMICA:La suma y diferencia de numeros complejos se realiza sumando y restando partes reales entre si y partesimaginariasentre si. +(a +bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d) i -(a +bi) - (c + di) = (a-c) + (b-d) iMULTIPLICACIN CON NMEROS COMPLEJOSEl producto de los nmeros complejos se realiza aplicando la propiedaddistributivadel producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2 = -1 (a + bi) (c + di) = (ac-bd) + (ad + bc) i

DIVISIN CON NMEROS COMPLEJOSEl cociente de nmeros complejos se hace racionalizando el denominador; esto es, multiplicando numerador y denominador por el conjugado de este.

Ejercicios:1)

2)

Agrupando los mismos trminos y aplicando la propiedad obtenemos,

3)

1.3 POTENCIAS DE I, MDULO O VALOR ABSOLUTO DE UN NMERO COMPLEJO.

POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA

Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cunto vale una determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada.

Ejemplo

VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto, mdulo o magnitud de un nmero complejo z viene dado por la siguiente expresin: Si pensamos en z como un punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitgoras, que el valor absoluto de un nmero complejo coincide con la distancia eucldea desde el origen del plano. Si el complejo est escrito en forma polar z = r ei, entonces |z| = r. Podemos comprobar con facilidad estas tres importantes propiedades del valor absoluto para cualquier complejo z y w. Por definicin, la funcin distancia queda como sigue d (z, w) = |z - w| y nos provee de un espacio mtrico con los complejos gracias al que se puede hablar de lmites y continuidad. La suma, la resta, la multiplicacin y la divisin de complejos son operaciones continuas. Si no se dice lo contrario, se asume que sta es la mtrica usada en los nmeros complejos.

Ejercicios 1.31)

2)

3)

Por propiedad del argumento

1.4 FORMA POLAR Y EXPONENCIAL DE UN NMERO COMPLEJO. FORMA POLAR

El producto de dos nmero complejos diferente de cero est dado en la forma polar por el producto de sus valores absolutos y la suma de sus argumentos. El cociente de dos nmeros complejos diferentes de cero est dado por el cociente de sus valores absolutos y la diferencia de sus argumentos.

ARGUMENTO DE UN NMERO COMPLEJO

El argumento de un nmero complejo es el ngulo que forma el vector con el eje real. Se designa por arg( z ).

FORMA EXPONENCIAL

A veces, y por simple comodidad se prefiere trabajar con la formatrigonomtricaen vez de con la forma binomica:Sea Z un nmero complejo cualquiera su representacin podr expresarse de lassiguientesmaneras:

Forma Forma Forma Binomica trigonomtrica exponencial

Donde Y Y

Ejercicios 1.41)

2)

3)

1.5 TEOREMA DE MOIVRE, POTENCIAS Y EXTRACCIN DE RACES DE UN NMERO COMPLEJO. TEOREMA DE DEMOIVRE Y POTENCIAS

Representacin polar de un nmero complejo

Donde la formula se usa cuando

En este casoy.==

En general, para cualquier otro prositivo k.

.

A esto se le conoce como Teorema de De Moivre aplicable as mismo a las potencias de nmeros complejos

RACES DE UN NMERO COMPLEJO

Dado un nmero complejo que se define tal quei2=-1. Utilizando esta notacin podemos pensar en i como la raz cuadrada de 1, pero notamos que tambin tenemos(-i2)2=i2=-1, as que (i) es tambin una raz cuadrada de 1. Semejantemente a los nmeros reales, decimos que la raz cuadrada principal de 1 es i, o, en general, si x es cualquier nmero real positivo, entonces en la raz cuadrada principal de x se cumple la siguiente igualdad:

Es decir, la raz cuadrada de un nmero negativo es necesariamente imaginario. Eso es debido a que , por lo que entonces:

Si se desea encontrar la raz de un nmero imaginario es posible demostrar laigualdad

Por los argumentos dados, i no puede ser ni positivo ni negativo. Esto crea un problema: para el nmero complejo z, no podemos definir para ser la raz cuadrada positiva de Z.

Para cada nmero complejo diferente a cero z existen exacto dos nmeros W tales quew2=Z . Por ejemplo, las races cuadradas de i son:

y..

La definicin general de est introduciendo el siguiente punto de rama: si z = rei es representado en coordenadas polares con < , despus fijamos el valor principal a:

As definido, la funcin de la raz es holomorfa en todas partes excepto en los nmeros reales no positivos, donde no es incluso continua. La antedicha serie de Taylor parasigue siendo vlida para el resto de los nmeros complejos xcon |x| < 1.

En general, para un nmero complejo expresado en forma rectangular, se obtiene:

Donde (el valor absoluto o mdulo del nmero complejo), y el signo de la parte imaginaria de la raz coincide con el signo de la parte imaginaria del radicando.

Ejercicios 1.5

Esta es la suma de los n primeros trminos de una progresin geomtrica de razn y primer trmino 1, es decir,

3)

Considerando ahora el producto

1.6 ECUACIONES POLINMICAS. Los nmeros complejos surgen ante la imposibilidad de hallar todas las soluciones de las ecuaciones polinmicas de tipo

Dados los valores apropiados de los coeficientes , esta ecuacin tendr n soluciones reales si que permitirn reescribir el polinomio de la siguiente forma:

Sin embargo, ecuaciones incluso tan sencillas como x2 + 1 = 0 desafan esta regla, ya que su solucin, que tericamente vendra dada por

Que no existe en el campo de los reales ya que la raz cuadrada no est definida para argumentos negativos.

Los nmeros complejos sin embargo permiten ampliar an ms el concepto de "nmero", definiendo la unidad imaginaria o i como i =razde -1, lo que significara que la ecuacin anterior s tendra dos soluciones, que seran

La introduccin de los nmeros complejos permite probar el teorema fundamentaldel lgebra, que dice que cualquier ecuacin polinmica de grado n tieneexactamente n soluciones complejas.

De esta manera, se define genricamente un nmero complejo como un nmerocompuesto por dos partes, una parte real a y una parte imaginaria b,escribindose como sigue:

Por ejemplo,

Con los nmeros complejos se opera como se operara con productos de sumas ordinarios, teniendo en cuenta siempre que:

La divisin es un poco ms sofisticada debido a la necesidad de eliminar la unidad imaginaria del de nominador de la fraccin:

Ejercicios polinmicos:1.

2.

3.

Como

Se cumple que

Luego,

De donde,

De relacionar la tangente del ngulo doble con la tangente se encontrara la relacin entre los coeficientes como

Entonces

La relacin buscada es

CONCLUSION

Aprend que el lgebra lineal es la rama de las matemticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales como las cuadrticas y en un enfoque ms formal, espacios vectoriales, y transformaciones linealesGracias a esta investigacin comprendo mejor de cmo se compone los nmeros complejos, se compone de una parte real y una parte imaginaria(los nmeros reales y nmeros irracionales)Y ahora s que los nmeros complejos son representados por la variable Z.Y as se representa Z=a+biEn donde a y b son nmeros reales y la i representa a los nmeros irracionales, con esto confirmo que mi conclusin esta correcta pues se ahora que se compone de una parte real (a y b) y una parte imaginaria (i).Adems de que toda ecuacin polinmica tienen solucin mostrando as que mediante la frmula de Cardano y la unidad imaginaria, podemos obtener la solucin de cualquier ecuacin, y as obtenemos de sus formas binomicas y polares.Ahora me doy cuenta que tanto como la resta se efectan muy rpidamente, mientras que el producto y la divisin se realizan ms rpidamente en forma polar y as como la de Euler que permite que se utilice para convertir ecuaciones diferenciales en ecuaciones con forma algebraica, y todo eso me lo simplifican enormemente esas operaciones. Tambin la de Moivre es importante porque conecta a los nmeros complejos de i, su unidad imaginaria con la trigonometra y para encontrar tanto la potencia como las races ensimas de un nmero complejo escrito en la forma polar.Se me complicaban un poco entenderle, se me haca algo complejo, pero siguiendo la formula todo parase ms sencillo.

BIBLIOGRAFIA

http://algebralinealichan.blogspot.mx/2012/12/3-1-definicion-y-origen-de-los-numeros.html

http://definicion.de/numeros-complejos/

https://www.academia.edu/9182433/UNIDAD_1_NUMEROS_COMPLEJOS_1.1_DEFINICI%C3%93N_Y_ORIGEN_DE_LOS_N%C3%9AMEROS_COMPLEJOS

https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo