dr. serkan aksoy - kdft ders notlarıabl.gtu.edu.tr/dosya/102/~saksoy/lecture notes/lecture... ·...
TRANSCRIPT
Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar Teorisi Dr. Serkan Aksoy
Kompleks
Değişkenli
Fonksiyonlar
Teorisi
Ders Notları
Dr. Serkan Aksoy
Bu ders notları Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar Teorisi (Prof. Dr. Mithat İdemen), 1992 kitabı temel alınarak,
hazırlanmıştır. Gelecek önerileri için, lütfen Dr. Serkan Aksoy ([email protected]) ile temasa geçiniz.
Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar Teorisi Dr. Serkan Aksoy
İçindekiler
1. KOMPLEKS DÜZLEM ------------------------- 3
1.1. Kompleks Sayılar ------------------------------------------------------------------------------------------ 3 1.2. Metrik ve Limit Kavramı -------------------------------------------------------------------------------- 3
2. KOMPLEKS FONKSİYONLAR -------------- 3
2.1. Kompleks Düzlemde Bölgeler ------------------------------------------------------------------------- 3 2.2. Kompleks Fonksiyon & Riemann Yüzeyi ----------------------------------------------------------- 4
2.2.1. Kare Fonksiyonu ve Tersi ------------------------------------------------------------------------------------ 4 2.2.2. Üstel Fonksiyon ve Logaritma ------------------------------------------------------------------------------ 4 2.2.3. Cos ve ArcCos Fonksiyonları -------------------------------------------------------------------------------- 5 2.2.4. Sin ve Arcsin Fonksiyonları ---------------------------------------------------------------------------------- 5 2.2.5. Dallanma Noktası ve Mertebeleri -------------------------------------------------------------------------- 5
3. KOMPLEKS TÜREV ---------------------------- 5
3.1. Süreklilik Kavramı ---------------------------------------------------------------------------------------- 5 3.2. Fonksiyonun Türevi -------------------------------------------------------------------------------------- 5 3.3. Regüler Fonksiyon & Cauchy Denklemi ------------------------------------------------------------ 5 3.4. Reel ve Sanal Kısımların Harmonikliği ------------------------------------------------------------- 6 3.5. Reel – Sanal & Sanal – Reel Kısım -------------------------------------------------------------------- 6 3.6. Konform Dönüşüm - Geometrik Anlam ------------------------------------------------------------- 6
4. KOMPLEKS İNTEGRAL ----------------------- 6
4.1. Eğrisel Ġntegral --------------------------------------------------------------------------------------------- 6 4.2. Cauchy Teoremi & Yola Bağımlılık ------------------------------------------------------------------- 6 4.3. Ġntegralin Temel Formülü ------------------------------------------------------------------------------- 7 4.4. Ġntegral Limit Değeri (Jordan Teoremi) -------------------------------------------------------------- 7
5. CAUCHY FORMÜLÜ --------------------------- 7
5.1. Sonlu & Sonsuz Bölge Cauchy Formülü ------------------------------------------------------------ 7 5.2. Regüler Fonksiyonun Türevi --------------------------------------------------------------------------- 7 5.3. Rezidü Kavramı -------------------------------------------------------------------------------------------- 7 5.4. Sonsuz Serilerin Toplamı ------------------------------------------------------------------------------- 8 5.5. Kaldırılabilen Türden Tekillikler --------------------------------------------------------------------- 8 5.6. Liouville Teoremi ------------------------------------------------------------------------------------------ 8 5.7. Maksimum Mutlak Değer Ġlkesi ---------------------------------------------------------------------- 8 5.8. Ortalama Değer Teoremi -------------------------------------------------------------------------------- 8 5.9. Weierstrass Teoremi -------------------------------------------------------------------------------------- 8 5.10. Taylor Serisi ----------------------------------------------------------------------------------------------- 8 5.11. Laurent Serisi ---------------------------------------------------------------------------------------------- 9 5.12. Tekil Noktası & Fonksiyon Sınıfları ---------------------------------------------------------------- 9 5.13. Mittag – Leffler Formülü ------------------------------------------------------------------------------- 9 5.14. Parametreye Bağlı Ġntegraller ------------------------------------------------------------------------- 9 5.15. Fonksiyon Sıfırlarının Sayısı ------------------------------------------------------------------------ 10
6. TAM FONKSİYONLAR ---------------------- 10
6.1. Weierstrass Formülü ------------------------------------------------------------------------------------- 10 6.2. Tam Fonksiyonun Mertebesi -------------------------------------------------------------------------- 10 6.3. Tam Fonksiyonun Yakınsaklık Üssü ---------------------------------------------------------------- 10
7. ANALİTİK DEVAM --------------------------- 11
7.1. Weierstrass Teoremi ------------------------------------------------------------------------------------- 11
Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar Teorisi Dr. Serkan Aksoy
7.2. Riemann Teoremi ----------------------------------------------------------------------------------------- 11 7.3. Schwartz Simetri Ġlkesi --------------------------------------------------------------------------------- 11 7.4. Analitik Devamın Sınırı -------------------------------------------------------------------------------- 11
8. CAUCHY ÇEKİRDEĞİ ----------------------- 11
8.1. Hilbert Problem ------------------------------------------------------------------------------------------- 11 8.2. Wiener-Hopf Problemi ---------------------------------------------------------------------------------- 11
8.2.1. Faktörizasyon & Dekompozisyon ------------------------------------------------------------------------ 12
9. KAYNAKÇA ------------------------------------- 12
Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar Teorisi Dr. Serkan Aksoy
3
1. KOMPLEKS DÜZLEM
1.1. Kompleks Sayılar
’in esas argümanı ( ) olmak üzere, genel argümanı
( ) ( )
olarak yazılabilir ( ). Kompleks sayılarda
olmak üzere, buradan √ iken
( )
ifadesi Trigonometrik Gösterilim olarak bilinir. Her ( )'ya
tek bir karşılık gelirken, tersi yanlıştır.
deMoivre formülü:
, ( ) ( )- ( ) ( )
, ( ) ( )-
, ( ) ( )-
Çarpım
( ) ,
, ( ) ( )-
Üs
( )
⁄
⁄
⁄ [ (
) (
)]
Eşlenik kavramı
( ) ( )
, | | , ( )
* +
* +
| | | | | | | | | |
| | | || |
( ) ( ) ( )
1.2. Metrik ve Limit Kavramı
( ) | | kompleks uzayda Metrik olarak
tanımlanmak üzere, | | olacak biçimde
varsa dizisi yakınsak olup, limiti 'dır.
Cauchy Teoremi: Her için ( ) bulunabilsin. Öyleki
( ) iken | | ise dizi Yakınsaktır. Eğer
( ) ’den bağımsız ise Düzgün Yakınsaktır. Serinin mutlak
değerlerinin toplamı ile elde edilen seri yakınsaksa, seri
Mutlak Yakınsak'tır denilir (| | ise ıraksak, | |
Mutlak Yakınsak'tır).
Abel Teoremi: Bir kuvvet serisi noktasında yakınsak ise,
| | yarıçaplı daire içindeki tüm noktalarda Mutlak
Yakınsaktır. | | olmak üzere, daire içinde yakınsaklık
düzgündür (Yani ( ) , ( ) , iken
|∑
| Düzgün Yakınsak'tır).
yakınsaklık katsayısı hesabının yapılması için d’Alembert
|
| ⁄ ve Cauchy | |
⁄ ⁄
kriterleri uygulanır.
2. KOMPLEKS FONKSĠYONLAR
2.1. Kompleks Düzlemde Bölgeler
Kompleks uzayda her parça Bölge adını alır ve bölge içinde | | ise Sonlu (Sınırlı) Bölge denilir. iken | | olmak üzere tüm noktalar içte ise Açık Bölge, bölge
sınırında noktaların hepsini içeriyorsa Kapalı Bölge denilir.
Sonlu bir bölgede her ( ) noktası basit bir çizgi ile
birleştirilebiliyorsa Bağımlı Bölge, aksi halde Bağımsız Bölge
denilir. Bu çizgiler ötelemeyle üst üste çakıştırılabiliyorsa
Basit Bağımlı Bölge, aksi takdirde Basit Olmayan Bağımlı
Bölge denilir.
Basit bağımlı olmayan bölgede tane delik varsa, bu bölgeye
Bağımlı Bölge denilir ve kesim ile basit bağımlı hale
dönüştürülür. Sonlu olmayan bölgelerde durum farklıdır.
Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar Teorisi Dr. Serkan Aksoy
4
2.2. Kompleks Fonksiyon & Riemann Yüzeyi
'e yalnız 1 eleman karşı gelirse Yalınkat Fonksiyon,
aksi halde Yalınkat Olmayan Fonksiyon denilir.
2.2.1. Kare Fonksiyonu ve Tersi
olmak üzere her 'e bir karşılık gelirken, her 'ya
bir karşılık gelmez.
;
} ve ’e hiperboller karşılık gelir.
iki farklı nokta: Kesim yapılarak tek nokta bulunup,
ters fonksiyon hesaplanabilir.
√ : Seçilen kol yazımda belirsizdir. İkinci
seçim (negatif reel sayılara karekök karşı gelmemesi) ele
alınsın.
Bu karekök kesimine Asal Kol denilir. Tüm kesim çizgileri ve
orijin bu kola dâhil değildir. Çünkü , ’a dönüşür. Buna göre ( ) noktalarına kesim çizgisinin bir uç noktası
olarak Dallanma Noktası (kesim çizgisine dâhil değil) denilir.
orjini kuşatıyorsa: (İkinci dönüşte ’e gelir).
orjini kuşatmıyorsa:
Her yaprağa Riemann Yüzeyi denilir. Fonksiyonun bir yaprakta
aldığı değerden hareketle, kesim çizgisi üzerinden geçerek
diğer yapraktaki değerini bulmaya Analitik Devam İlkesi
denilir.
2.2.2. Üstel Fonksiyon ve Logaritma
( )
}
⁄
peryodik fonksiyon olup, peryodu ’dir. O halde * + bandı üzerinde aldığı değerleri
( ) noktalarında da alır.
’in tersini düşünürsek asal kolu gösterir.
Asal Kol: Negatif reel eksen boyunca kesilmiş kol
düzlemini ( * + bandında) birebir-bir dönüştürür.
Burada pozitif reel sayıların logaritmaları belirli ve reeldir.
Daha farklı kesimlerde mümkün olmaktadır.
| | ( ) , ( )
sayısının durumu
Asal kol durumunda ( )
Bu durumda
( )
ve noktaları ’nin dallanma noktalarıdır.
Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar Teorisi Dr. Serkan Aksoy
5
2.2.3. Cos ve ArcCos Fonksiyonları
’de kosinüs periyodik olduğundan, farklı ’ler tek bir ’ya karşılık gelir. Bu durumda geri dönüş hiperbollar ile aşağıdaki gibi olur.
}
}
Asal kol: , Diğer kol:
Logaritmik olarak
. √ /
, ve dallanma noktalarıdır.
2.2.4. Sin ve Arcsin Fonksiyonları
Asal kol:
.
/
Logaritmik olarak
. √ /
, ve dallanma noktalarıdır.
2.2.5. Dallanma Noktası ve Mertebeleri ( )’nın bir dallanma noktası ise, bunun
etrafında ( )’inci dönüşle hep aynı ( ) değerinden
elde ediliyorsa, bu noktaya ’inci Mertebeden Dallanma
Noktası denilir.
: √ ’nın 1. mertebe dallanma noktası
: √
’nın 2. mertebe dallanma noktası
: ’nın . mertebe dallanma noktası
Örneğin ( ) √ √
fonksiyonu için
: √ ’in 1. mertebe dallanma noktası
: √ ’in 2. mertebe dallanma noktası
: ( )’in 5. mertebe dallanma noktasıdır.
3. KOMPLEKS TÜREV
3.1. Süreklilik Kavramı
keyfi sayısına karşın ( ) bulunabilmekte ise,
| | ( ) iken | ( ) ( )| şartı sağlanıyorsa,
( ) fonksiyonu noktasında Süreklidir denilir.
Veya ’a yakınsıyor iken, ( ) ( )
( )’a yakınsıyorsa ( ) fonksiyonu ’da Süreklidir denilir.
Bu durum ’ın ve ’ye bağlı olduğunu gösterir. Özel olarak
( ) bulunursa Süreklilikten, sadece ( ) bulunursa Düzgün
Süreklilikten bahsedilir.
3.2. Fonksiyonun Türevi
( ) fonksiyonu için
( ) ( )
limiti sınırlı ve belirli ise, bu değere ( )'in Türevi denilir.
Türevin varlığı noktasında ( )'in sürekliliğini gösterir. Eğer ( ) belli bölgesinin
- Tüm noktalarında tanımlı
- Belirli ve sürekli bir türeve sahip ise
( ) tek değerli (diferansiyelli) denilir. Tek türeve sahip
fonksiyonlara Regüler Fonksiyon denilir (Açık, Kapalı
bölgelerde yada Noktada regülerlik tanımı yapılabilir). Eğer
( ), noktası hariç her yerde regüler, fakat 'da
regüler değilse noktasına ( )'in Ayrık Tekil Noktası denilir.
3.3. Regüler Fonksiyon & Cauchy Denklemi
, iken, 'e göre türev ( ,
)
( )
( )
'e göre türev ( , )
( )
( )
Bu türevlerin eşit olması için
Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar Teorisi Dr. Serkan Aksoy
6
olmalıdır. Bu denklemler Cauchy-Riemann Diferansiyel
Denklemleri olarak (yeter koşullar) bilinir. Türevin Riemann
yaprağı sayısı, fonksiyonun Riemann yaprağı sayısından az
olabilir. Buna örnek olarak, aşağıdaki fonksiyon verilebilir.
: Sonsuz sayıda yapraklı
⁄ √ ⁄ : İki yapraklı
( )'in noktası ve civarında türevi varsa (Cauch-Riemann
denklemlerini sağlıyorsa, kuvvet serisi açılımı mümkünse) o
noktada Analitik'tir denilir.
3.4. Reel ve Sanal Kısımların Harmonikliği
( ) 'de regüler (her mertebeden türevli) olmak
üzere
olduğu ispat edilebilir. Bu durumda ( ) Harmonik Fonksiyon
adını alır.
3.5. Reel – Sanal & Sanal – Reel Kısım
Cauchy denklemlerinde ( ) biliniyorsa, ( )’nin bir sabit farkı ile bileneceği açık olup ( ( ⁄ ) ( ⁄ ) )
( ) ∫
burada ( ) olarak integral yazılır. ( ) 'de
denklemini sağladığından, eğrisel integralin yoldan
bağımsızlığını garantileyen ⁄⁄ eşitliği
sağlandığından, eğer basit bölge ise eğrisel integralin
yolundan bağımsız olarak ( )’ye ( )’nin Harmonik
Eşleniği adı verilir. ( )’nin tek değerli bulunabilmesi için
basit bölge olmalı, değilse basit bölgeye dönüştürülmelidir.
3.6. Konform Dönüşüm - Geometrik Anlam
Türevi sıfırdan farklı regüler bir fonksiyon ile yapılan
dönüşümlerde açı korunur. Bu dönüşüme Konform Dönüşüm
denilir ve dönüşümün Jakobiyeni | ( )| 'e eşittir. Laplace
denkleminin dönüşümü Kendi Kendine olduğundan ilginçtir.
Eğer ve bağımlı ve sonlu bölgeler ise aralarında Laplace
denklemine benzer bir dönüşüm bulunabilir. Bu durum daha
genel olarak Riemann Dönüşüm Teoremi olarak bilinir.
4. KOMPLEKS ĠNTEGRAL
4.1. Eğrisel Ġntegral
Kendisini kesmeyen çizgiye basit eğri denilmek üzere
( ) ve ( ) fonksiyonlarının birinci mertebeden
türevleri eğrisinin tümünde var ve sürekli ise düzgün yay,
yayların birleşimine eğri adı verilir. Buradan
∑ ( )( )
serisinin toplamı 'nın seçiminden bağımsız sonlu bir limite
giderse
∫
∫ ( )
integrali oluşur. Eğer ∑ ( ) serisindeki fonksiyonlar
sonlu ve basit bağımlı bölgesinde regüler ve seri düzgün
yakınsak ise, bu durumda herhangi bir eğri üzerinden seri
terimlerinin her bir elemanının toplamı biçiminde alınacak
integral de düzgün yakınsaktır. ( ) iken ve 'ler
üzerinde sürekli iseler olmak üzere
∫ ( )
∫ ∫
integrali eğrisi kapalı (yönü sola veya sağa) iken de
doğrudur. Kompleks integraller reel integrallerin tüm
özelliklerine sahiptir.
4.2. Cauchy Teoremi & Yola Bağımlılık
Basit bağımlı bir bölgede ( ) regülerse, ∮ ( )
olup,
integralin yoldan bağımsızlığını gösterir. Benzer biçimde basit
bağımlı olmayan bölgelerde kesimle basit bağımlı bölge haline
getirilerek, integral aşağıdaki gibi değerlendirilir.
∮ ( )
∮ ∮
∮
∮
Cauchy teoremini tersi Morera Teoremi olup, doğrudur.
Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar Teorisi Dr. Serkan Aksoy
7
Burada ve ’in yönleri aynı ise
∮ ( ) ∮ ( )
∮ ( )
’in yoldan bağımsız olması Cauchy teoremini
sağlaması, yani regüler olmasını gerektirir.
4.3. Ġntegralin Temel Formülü
basit bağımlı bölgesinde integral yola bağlı olmadığından
( ) integrali
( ) ∫ ( )
olmak üzere sabit iken, diğer uç noktasının bir fonksiyonu
olarak yazılabilir. Bu kapsamda ispat etmek mümkündür ki
( ) ( )
sağlanır. Bu durumda B içinde türevi sıfır olan fonksiyon bir
sabit olacağından
∫ ( ) ( )
halini alır. için integral 0 olacağından ( )
olmalıdır. Buradan
∫ ( ) ( ) ( )
formülü, bir integralin, integre edilecek fonksiyonu türev
kabul eden herhangi bir fonksiyonun integrasyon çizgisi
boyunca artımına eşit olduğunu söyler.
4.4. Ġntegral Limit Değeri (Jordan Teoremi)
| | veya | | olmak üzere
( )
∫ ( )
where can be zero valued.
| | veya | | olmak üzere
( )
∫ ( )
where can be zero valued.
| | iken ve olmak üzere
( )
∫ ( )
( )
∫ ( )
5. CAUCHY FORMÜLÜ
5.1. Sonlu & Sonsuz Bölge Cauchy Formülü
Basit veya basit bağımlı olmayan bir bölgede (sonlu bölge)
noktası hariç regüler olan bir ( ) fonksiyonu için
∫ ( )
( )
∫
∫
( ) ( )
olmak üzere
∫ ( )
( ) ∫ ( ) ( )
⏟
sağlanır. Sağdaki integralin sıfır olduğu ispat edilebilir ve
( )
∫
( )
formülü Cauchy Formülü olarak bilinir. Regüler ve kapalı
eğrileri dışında kalan bölgesinde için
(sonsuz bölge) ( ) düzgün olarak regüler oluyorsa,
Cauch formülü yine geçerlidir.
5.2. Regüler Fonksiyonun Türevi
Basit ve çok bağımlı sonlu bir bölgesi içinde regüler olan
( ) fonksiyonunun ’inci mertebeden türevinin aşağıdaki gibi olduğu ispat edilebilir.
( )
∫
( )
( )
Söz konusu bölgede ( ) sürekli ( ) türevlerine sahip ise,
tüm mertebeden türevlerde mevcuttur.
5.3. Rezidü Kavramı
( ) fonksiyonu ’da süreksizse ( ) ( )( )
fonksiyonu ’da regüler olmakla beraber ( )( )
fonksiyonuna ’da regüler olmayıp, bu değere
( )’in ’da ’inci mertebeden bir Kutbu denilir. Kutup
civarında ( ) fonksiyonu
( ) ∑
( )
Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar Teorisi Dr. Serkan Aksoy
8
olarak yazılabilir. Burada katsayısına ( )’in ’da
Rezidüsü, adı verilir. Bu durumda integral
∫ ( )
∑
|
olur ve
( )
* ( )( )
+|
olarak
yazılabilir. Bölge solda kalırsa +, sağda kalırsa – ile çarpılır.
5.4. Sonsuz Serilerin Toplamı
Sonlu sayıda kutuplarına sahip ( ’dan hiçbiri olmayan) ve bunun dışındaki bölgelerde regüler olan
( ) fonksiyonu göz önüne alınsın. Bu durumda ( ) ile ilgili
sonsuz seri toplamı aşağıda gibi yazılabilir.
∑ ( ) ∑ * ( ) ( )+
5.5. Kaldırılabilen Türden Tekillikler
( ) fonksiyonu bir bölgesinde hariç her noktada
regüler ve tüm bölgede sınırlı ise, fonksiyonun ’daki
tekilliği kaldırılabilen türden olup, ( ) tekillik noktasında
limit değer olarak tanımlandığı durumda ( ) fonksiyonu
bölgesinin tümünde regüler olacaktır. Bu durum kutupları
mevcut olan bir ( ) fonksiyonu ters çevrilmesi durumunda,
bu kutupların artık ( )⁄ için regüler olduğu söylenebilir.
5.6. Liouville Teoremi
Cauchy formülünün bir diğer sonucu da eğer bir fonksiyon
tüm düzlemde sınırlı ve sonlu her bölgede regülerse, bu
fonksiyon bir sabitten ibarettir biçiminde olup Liouville
Teoremi olarak bilinir. Liouville teoremi ( ) ve ( )
fonksiyonlarına uygulanırsa, sonlu her için regüler olan bir
fonksiyonun reel veya sanal kısmı bütün düzlemde sınırlı ise,
bu fonksiyon bir sabitten ibarettir biçimini alır. Benzer
biçimde bütün sonlu düzlemde harmonik ve bütün düzlemde
üstten (veya alttan) sınırlı olan bir fonksiyonun bir sabitten
ibaret olduğu da açıktır.
5.7. Maksimum Mutlak Değer Ġlkesi
( ) bir bölgesinde regüler ve özdeşleyin sabit değilse, | ( )| maksimum değerini ancak çevrede alır. Bu teorem
( ) fonksiyonuna uygulanırsa, bir bölgesinde harrmonik
bir fonksiyonun maksimum ve minimum değerlerini ancak
çevrede alacağı sonucu çıkartılır. Eğer içinde hiç bir noktada
( ) sıfır olmuyorsa ve ise ( )⁄ fonksiyonuna
yukarıdaki ilke uygulanarak | ( )|'in minimum değerini ancak
çevrede alacağı söylenebilir.
5.8. Ortalama Değer Teoremi
Bir bölgesinde regüler ( ) fonksiyonun bölge içindeki
herhangi bir noktasındaki değeri, fonksiyonun merkezli
herhangi bir daire üzerindeki değerlerin Aritmetik
Ortalamasına eşittir. Bu durum bölgesinde harmonik bir
fonksiyonun maksimum ve minimum değerlerini ancak 'nin
çevresinde alacağını da gösterir.
5.9. Weierstrass Teoremi
Kompleks terimli ( ) ( ) serisinin terimleri sonlu
bir bölgesinde regüler olsunlar. Eğer bu seri bölge sınırı
üzerinde yakınsak ise
- 'de de düzgün yakınsak
- Toplamı 'nin içinde regüler bir fonksiyondur. - Seri 'nin içinde terim terim istenildiği kadar türetilebilir. - Türevlerden elde edilen serinin içinde var olan
bölgesinde düzgün yakınsaklığı iddia edilebilir.
- Fonksiyon dizileri içinde benzer durum geçerlidir.
5.10. Taylor Serisi
| | dairesi içinde regüler her fonksiyon bu daire
içinde ( )'nin bir kuvvet serisi ile ifade edilebilir. Bir
bölgesinde ayrık tekil noktaları bulunan ( ) fonksiyonu göz
önüne alınsın. ( ) regüler olduğu bir noktası civarında
Taylor Serisine
( ) ∑ ( )
olarak açılabilir. Burada ( ) ⁄ .. Bu
serinin yakınsaklık yarıçapı 'ye en yakın tekil nokta ise
| | ile verilir. Bu daire içinde her bölgede Taylor
serisi düzgün ve mutlak yakınsaktır. Taylor serisinin bazı
sonuçları
civarında regüler bir ( ) fonksiyonunun kendisi ve
( )'inci mertebeye kadar türevleri noktasında sıfır
olsun. Bu durumda 'nin sözü geçen civarında ( )
olmak üzere
( ) ( ) [ ( )
( )
( )
( ) ]
( ) ( )
yazılabilir ve noktası ( )'nin Katlı Bir Sıfırı’dır
denilir. ( ) fonksiyonu sözü edilen civarda regülerdir ve
için sıfırdan farklı ve sonlu bir değere sahiptir. Bu
civarda ( ) olmadıkça sonlu olmak zorundadır.
( ) 'da regüler ve farklı noktalarında ( )
( ) ise, 'nın bir civarında ( ) ’dır. Çünkü
süreklilikten ( ) ( ) 'dır. O halde noktası
bir sıfırdır, fakat ayrık değildir.
Teklik Teoremi: ( ) ve ( ) fonksiyonları bölgesinde
regüler olsunlar. dizisi içinde bir noktasına yakınsamak
koşulu ile, her için ( ) ( ) ise tüm bölgesi
içinde ( ) ( )'dir. Bir diğer anlamda regüler bir ( )
fonksiyonun limiti içinde bulunan bir dizi üzerindeki
değerleri verilirse, bu fonksiyon tek bir şekilde belli olur.
Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar Teorisi Dr. Serkan Aksoy
9
5.11. Laurent Serisi
halkası içinde regüler ( ) fonksiyonu
( ) ∑
( )
şeklinde Laurent Serisi'ne açılabilir. Laurent serisi
içerisinde kalan halkasında düzgün yakınsaktır. Negatif
kuvvetlerden oluşan kısım Esas (Principal), diğer kısım
Regüler kısımdır.
5.12. Tekil Noktası & Fonksiyon Sınıfları
( ) fonksiyonunun ayrık bir tekil noktası olsun.
a) 'a yakın tüm değerleri için ( ) sınırlı ise, bu tekillik
Kaldırılabilir Türden Tekillik adını alır.
b) iken ( ) ise tekillik bir Kutup'tur.
c) iken ( ) sınırlı değil, fakat sonsuzda değil ise (yani
'in 'a gidişine göre farklı değerler alır ve bu değerler
arasında sonsuzda vardır) Esaslı Tekil Nokta adını alır.
Kesilmemiş tüm düzlemde ve düzlemin her sonlu parçasında
bir fonksiyonunun tekil noktaları sadece kutuplardan
oluşuyorsa Meromorfik'tir denilir. Tekil noktası sonsuzda olan
fonksiyona Tam Fonksiyon denilir. Böyle bir fonksiyon için
sonsuz noktası bir kutupsa bu fonksiyon mecburen bir
polinomdur (rasyonel tam fonksiyon), sonsuz noktası bir esaslı
tekil nokta ise Transandant Fonksiyon adını alır.
5.13. Mittag – Leffler Formülü
( ) meromorfik bir fonksiyon iken, bu fonksiyonun kutupları
| | | | | | olmak üzere
( ) ( ) ( )
( )
∑ [ (
) ]
Mittag-Leffler formülü olarak bilinen bu ilişki kutupları
aracılığı ile Meromorfik fonksiyonların analitik ifadesine
imkan sağlar.
5.14. Parametreye Bağlı Ġntegraller
( ) ∫ ( )
türü integrale Parametreye Bağlı İntegral denilir ve
- , - ve ve sonlu olmak üzere ( ) sürekli ve
her için ’ye göre regüler ise, içerisinde ( ) regülerdir.
- , - aralığının sonlu olmaması durumunda, inregralin ’de düzgün yakınsak olması koşulu ile içinde ( ) regülerdir.
- ( ) fonksiyon , ) veya , ) aralığında sonlu sayıdaki
bazı noktalarda sınırsız olsa, öyle ki; genişletilmiş ( )
integrali düzgün yakınsak olsun, bu durumda içinde ( )
regülerdir.
- Eğer ( ) sonlu sayıda bazı değerler için sınırlı
süreksizliklere sahipse, teorem yine doğrudur. Yine reel , - aralığında değişeceği yerde, kompleks düzleminde
düzgün bir eğri boyunca değişiyorsa, teorem yine doğrudur.
Laplace Dönüşümü:
, )’da integre edilebilen bir ( ) fonksiyonu için
( ) olacak biçimde sayısı (Yakınsaklık
Apsisi) bulunabiliyorsa ( ) Üstel Mertebeden Fonksiyon’dur.
Üstel mertebeden ( ) fonksiyonu için
( ) ∫ ( )
integrali Laplace Dönüşümü adını alır ve * + sağ yarı
düzleminde regülerdir. ( ) olacak biçimde
üstel mertebeden bir ( ) fonksiyonu için, tüm bölgede
( ) ∫ ( )
yazılır. Ters dönüşüm ile ( ) fonksiyonu
( )
∫ ( )
olarak bulunur ve * + şeridi Regülerlik Bölgesi
adını alır. Dönüşüm için integralin yakınsaklığına ihtiyaç
olmayıp, yeteri kadar büyük değerleri için | ( )|
olmak üzere sabiti ve sayısı bulunabiliyorsa,
dönüşüm vardır.
Fourier Dönüşümü:
( ) olacak biçimde üstel mertebeden bir
( ) fonksiyonu için konularak
( ) ∫ ( )
integrali Fourier Dönüşümü adını alır ( düzleminin sağa
doğru 900 döndürülmesi ile elde edilmiştir) ve – * +
şeridi Regülerlik Bölgesi adını alır. Ters dönüşüm ile ( )
fonksiyonu ( ) iken aşağıdaki gibi bulunur.
( )
∫ ( )
Periyodik olmayan bir ( ) fonksiyonunun Fourier
dönüşümünün alınabilmesi için aşağıdaki şartlar
sağlanmalıdır.
- Riemann İntegrali Anlamında:
Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar Teorisi Dr. Serkan Aksoy
10
a) bölgesinde ayrık bazı noktalar dışında
tanımlı,
b) ∫ ( )
integrali , - sonlu bölgesinde alınabilmeli
veya sonlu sayıdaki noktaları integralin alınmasına engel
ise, limit durumda integral alınabilmelidir.
- Lebesgue İntegrali Anlamında:
a) bölgesinde ayrık bazı noktalar dışında tanımlı
b) ∫ | ( )|
integrali (yakınsaklığı yeterlidir)
alınabilmelidir.
Periyodik bir ( ) fonksiyonunun Fourier serisine açılabilmesi
için (Dirichlet şartları) bilinen aşağıdaki şartlar sağlanmalıdır.
a) Sınırlı, aksi halde ∫ ( )
ile tanımlı ve sonlu
olmalı
b) Maksimum & Minimum sayısı sınırlı olmalıdır (Sonlu
değişimli).
c) Süreksizlikleri sınırlı olmalıdır.
5.15. Fonksiyon Sıfırlarının Sayısı
Cauchy Teoremi: bölgesinde regüler ve bunun
çevresinde sıfırdan farklı olan bir ( ) fonksiyonun içindeki
sıfırlarının sayısı ( )’in boyunca sürekli değişiminin
ile bölümüne eşittir. Eğer ( ) fonksiyonunun içimde
kutupları olsa da sonuç benzer olacaktır. Bu teoremin sonucu
olarak Konform dönüşümün bire-birliği ( ( ) içerisinde
basit bir kutba sahip olsada bunun dışında) gösterilebilir.
Rouche Teoremi: ( ) ve ( ) bölgesinde regüler iki
fonksiyon ve ’nin çevresinde | ( )| | ( )| ise ( ) ( ) ve ( )’in içindeki sıfırları sayısı eşittir.
Ters Fonksiyonların Dallanma Noktaları: noktasını
içeren bir bölgede regüler bir ( ) fonksiyonunun
( ) civarında tek değerli bir ters fonksiyona sahip
olması için gerek ve yeter koşul ( ) olmasıdır. Eğer
’da ’in ’inci mertebeye kadar türevi sıfırdan farklı ise, ( ) noktası ters fonksiyon için ’inci mertebeden bir dallanma noktasıdır. Özel olarak:
- Eğer noktası ( )’in ’inci mertebeden bir kutup noktası ise, böyle bir durumda noktası ters fonksiyon
için ’inci mertebeden Regüler Tipte Dallanma Noktası
denilir ve bu şekildeki noktalar ’in türevlerinin sonsuz olduğu noktalardır.
- ( ) gibi denklem çözümünden çıkan fonksiyonlar
bazen ∑ ( √ )
gibi seri açılımları ile ifade
edilebilir. Bu seride negatif kuvvetlerin sayısı sonlu ve sıfırdan
farklıysa noktası bu çok değerli fonksiyon için ’inci mertebeden Kutupsal Dallanma Noktası’dır denilir.
Negatif kuvvetlerin sayısı sonsuz ise dallanma noktası Esaslı
Tekil Nokta tipindedir. Regüler ve kutupsal dallanma
noktalarına Cebirsel, böyle olmayanlara Transandant
Dallanma Noktaları denilir.
6. TAM FONKSĠYONLAR
Tekil noktası sadece olan fonksiyona Tam Fonksiyon
denilir. Eğer bu fonksiyon için bir kutupsa (yani
fonksiyon bir polinomdan ibaretse, rasyonel tam fonksiyon),
fonksiyonun sonlu sayıda sıfırı vardır ve ( , tam)
( ) ∏(
)
olarak yazılır. Eğer bir esaslı tekil noktaysa
(transandantal tam fonksiyon), durum biraz değişik olmakla
beraber, genelleştirilebilir. Öyle ki ( ⁄ ) olmak
üzere oluşturulan sonsuz çarpımın yakınsak olması için gerek,
yeter ve koşul ∑ serisinin, logaritmaların uygun
seçilmesi ile yakınsak olmasıdır.
6.1. Weierstrass Formülü
Çarpanları ’in tam fonksiyonları olan, yakınsak
( ) ∏ ( )
sonsuz çarpımı, ’ların sıfırından geçmeyen her | |
dairesi için pozitif bir tamsayı olmak üzere, logaritma için
uygun seçilmiş değerlerle | | dairesinin içinde regüler bir
fonksiyonu gösterir. Bu fonksiyonun söz konusu daire
içerisindeki sıfırları ( )’nin aynı daire içindeki sıfırlarından
ibarettir. Bu durumda sıfırları ( ) fonksiyonlarının
sıfırlarından ibaret olan bir ( ) tam fonksiyonu
( ) ( ) ∏(
) [
(
)
(
)
]
iken Kanonik Çarpım (Weierstrass Formülü) olarak bilinir.
6.2. Tam Fonksiyonun Mertebesi
( ) fonksiyonuna karşılık | | olduğunda
| ( )|
olacak şekilde ve pozitif sayıları bulunabiliyorsa, ( )
sonlu mertebeden bir tam fonksiyondur denilir. Söz konusu
sayılarının alt sınırına ( )’in Mertebesi adı verilir.
6.3. Tam Fonksiyonun Yakınsaklık Üssü
( )’in sonsuz çarpımlar ifadesinde ∑ | | serisinin
hangi sayıları için yakınsak olduğu bilinmek istenir. Bu
sayılarının alt sınırına Sıfırların Yakınsaklık Üssü
denilir. Bir tam fonksiyonun kanonik çarpımın mertebesi her
zaman sıfırların yakınsaklık üssüne eşittir.
Hadamard Teoremi: ( ) sonlu mertebeden bir tam
fonksiyon olmak üzere, bunun kanonik çarpımı ( )
( ) ( ) yazılacak olursa, burada ( ) mertebesi ’dan büyük olmayan bir polinom olur.
Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar Teorisi Dr. Serkan Aksoy
11
7. ANALĠTĠK DEVAM
( ), 'de, ( ), 'de regüler fonksiyonlar iken
arakesitinde her için ( ) ( ) oluyorsa; ( )
fonksiyonu ( )'in arakesiti üzerinden Analitik Devamı
(Ekstrapolasyon) denilir ve varsa analitik devamı tektir. 'de
( ) ve ( ) fonksiyonlarının analitik devamları
kullanılarak, 'de ( ) ve ( ) hesaplanabiliyorsa
- 'in 'de devamı 'dir.
- 'in 'de devamı 'dir.
- 'de ise, 'de 'dir.
- 'de ise, 'de
'dir.
Bir denklem ve denklemin çözümü de analitik devam
bakımından değerlendirilebilir. Analitik devam ilkesi bölgeler
zinciri üzerinden de geçerli olup, tek olarak elde edilir. Bir
eğri parçası üzerinden bölgeye analitik devamda mümkün
olup, tek olarak elde edilir. Fonksiyonel denklemlerin
çözümleri bakımından da analitik devam mümkündür.
7.1. Weierstrass Teoremi
Bir fonksiyonunun analitik devamının yapılması için regüler
olduğu noktalar civarında Taylor serisine açılarak, bu serilerin
yakınsaklık dairelerinin en yakın tekil noktaya kadar
genişletilmesi esasına dayanır. Bu tür bir analitik devam
dairelerden oluşan zincirler boyunca yapılmış bir devam olup,
regüler olan her nokta civarındaki Taylor serisine, bu noktaya
ait Fonksiyon Elemanı (Regüler Eleman) denilir.
7.2. Riemann Teoremi
Düzgün bir eğrisinin parçası boyunca birbirine yapışık
ve bölgeleri ve bunların içinde regüler olan ( ) ve ( )
fonksiyonları için, eğer
- ( ) 'de, ( ) 'de sürekli ise
- için ( ) ( ) ise
( ), ( )'in içinde analitik devamıdır.
7.3. Schwartz Simetri Ġlkesi
( ) fonksiyonu ( ) aralığının bir tarafındaki bölgesinde
regüler, 'de sürekli ve ( ) üzerinde reel değerli olmak
üzere, 'in simetriği olan bölgesinde her zaman devam
ettirilebilir ve devam fonksiyonu aşağıdaki gibi verilir.
( )
7.4. Analitik Devamın Sınırı
( )'in analitik devamı için ( )'in tekil fonksiyonlarının tümüne Doğal Sınır denilir. Basit fonksiyonlarda bunlar
sadece ayrık tekil noktalarken, bazı hallerde kapalı eğrinin
tümü üzerinde yoğun olabilirler. Bu durumda ( ) kapalı
eğrinin ötesine devam ettirilemeyip Boşluklu Fonksiyon adını
alır.
8. CAUCHY ÇEKĠRDEĞĠ
kapalı düzgün bir yay, ( ) üzerinde tanımlı ve integre
edilebilen bir fonksiyonken, üzerindeki her noktası için
( )
∫
( )
fonksiyonu hem içinde , hem de dışındaki bölgesinde
ayrı ayrı 'in regüler fonksiyonudur. üzerinde bulunan
noktalarda ( ) sürekli olmadığından, ( )'in 'deki ifadesi
'daki ifadesinin bu bölgeye analitik devamından farklıdır.
Bundan dolayı ( ) düzleminde Bölge-Bölge süreklidir
denilip, her bölgedeki değerleri ( ) ve ( ) ile gösterilir.
İntegrasyon yönü bölgesini solda bırakacak olarak
seçilmek üzere, üzerinde tanımlı ( ) fonksiyonuna İntegral
Yoğunluğu, ( )⁄ ise İntegral Çekirdeği denilir.
Hölder Koşulu: Düzgün bir yayı üzerinde tanımlı ( )'nun
yay üzerinde herhangi bir noktada aldığı değerlerin farkı ve
verilmiş pozitif tamsayılar olmak üzere, her zaman
| ( ) ( )| | |
bağıntısını sağlıyorsa Hölder Koşulunu sağlıyor demektir.
ve sırası ile Hölder Sabiti ve Hölder İndisi adını alır. Hölder
koşulunu sağlayan her fonksiyon üzerinde süreklidir.
ise ( ), üzerinde türetilebilir ve ( ) olurken,
hali Lipschitz Koşulu olarak bilinir.
8.1. Hilbert Problem
düzgün bir eğri, ( )'de dışında her yerde regüler iken,
olurken ( )'in ( ) ve ( ) ile gösterilen
belirli limitlere sahip olduğunu ve bunların ( ) ve ( )
üzerinde tanımlı fonksiyonlar olmak üzere
( ) ( ) ( ) ( )
Hilbert Denklemini sağladığını varsayalım. ( ) ve ( )
verilmiş iken ( )'in bulunması şeklinde ortaya konan
probleme Hilbert Problemi, ( )'ye Denklemin Çekirdeği
denilir. 'nin açık, kapalı ve sonlu oluşu çözümün etkiler.
8.2. Wiener-Hopf Problemi
koşuluna uyan verilmiş ve iki reel sayı olmak üzere
* * + ( )+ yatay şeridi içinde yazılmış, ( )
olmak üzere
( ) ( ) ( ) ( )
denklemi göz önüne alınsın. Burada ( ) ve ( ) içinde
regüler verilmiş fonksiyonlar olmak üzere, ( ) ve ( )
Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar Teorisi Dr. Serkan Aksoy
12
belirlenmesi istenen fonksiyonlardır. ( )'in * * + + ve ( )'in * * + + yarı
düzleminde sonlu her noktada regüler oldukları
varsayılmaktadır ( bir kutup veya esaslı tekil nokta
olabilir). Bu tür probleme Wiener-Hopf Problemi denilir. ( )
bu denklemin Çekirdeği olarak bilinir. Wiener-Hopf problemi
içindeki bir doğrusu üzerinden düşünülürse Hilbert
problemine dönüşür.
8.2.1. Faktörizasyon & Dekompozisyon
Wiener-Hopf çözümün sağlanması için
( ) ( )
( )
olarak çekirdeğin çarpanlarına ayrılması (Faktörizasyon)
gerekir. Bu faktörizasyon ile Wiener-Hopf denklemi
( )
( )
( )
( )
( )
( )
halini alır. ( ) ve ( )'in belirlenmesi denklemin sağ yanındaki fonksiyonun ve bölgelerinde regüler olan iki
fonksiyonun toplamı olarak ifade edilmesine bağlı olup
( )
( ) ( ) ( )
olmak üzere sağlanabilirse, Wiener-Hopf denklemi
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
halini alır. Eşitliğin sol yanı bölgesinde, sağ yanı
bölgesinde regüler olduğundan, iki taraf birbirinin
üzerinden analitik devamı niteliğinde olup
( )
{
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
}
ile tanımlı fonksiyon düzleminin sonlu her noktasında
regülerdir. Bu ( )'nin tam fonksiyon olduğunu gösterir. Böylece
( ) ( )( ( ) ( ))
( ) ( )( ( ) ( ))
olarak bulunmuş olur. ( ) tam fonksiyonu genelde ( ) ve
( ) fonksiyonlarının 'daki asimptotik davranışı ile
belirlenir.
9. KAYNAKÇA
İdemen M., Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar Teorisi, İTÜ
Yayınları, Sayı: 1467, 1992.