2. Dynamika hmotného bodu

2.1. Newtonove pohybové zákony

Vzájomnú interakciu materiálnych objektov kvantitatívne hodno-tíme fyzikálnou veličinou nazývanou sila - F .

Poznáme 4 základné druhy síl, ktoré odpovedajú nižšie uvedeným interakciám :

a) gravitačná interakcia

b) elektromagnetická interakcia

c) silná interakcia

d) slabá interakcia

Fyzikálne pojmy:

izolované teleso - teleso so zanedbateľnou interakciou s okolitými telesami

inerciálna sústava - vzťažná sústava pevne spojená s izolovaným telesom

Pozn.: Newtonove pohybové zákony platia iba v inerciálnych vzťažných sústavách.

1. Newtonov zákon - zákon zotrvačnosti:

V inerciálnych sústavách teleso zostáva v kľude alebo v rovno-mernom priamočiarom pohybe dokiaľ na neho nepôsobia iné telesá.

2. Newtonov zákon - zákon sily:

Sila F , pôsobiaca na časticu (teleso) o hmotnosti m je priamo úmerná súčinu jeho hmotnosti a zrýchlenia a , ktoré mu udeľuje.

amF =

jednotka sily 1 kgms-2 = 1 N (1 newton)

1m

2m

12F

21F

3. Newtonov zákon - zákon akcie a reakcie:

Každá akcia 12F vyvoláva rovnako veľkú reakciu 21F , ale opačného smeru.

2112 FF −=

Príklad: 2 hmotné telesá

2.2. Pohybové rovnice

Zákon sily – súvislosť medzi príčinou pohybu ( F ) a následkom (a ) ,

v inom tvare: 2

2

dtrdmF = . ( )∗

Zo znalosti ⇒),( trF riešením ( )∗ )(tr⇒

postupným násobením ( )∗ skalárne s kji ,,

)(

)(

)(

2

2

2

2

2

2

tzzdt

zdmF

tyydt

ydmF

txxdt

xdmF

z

y

x

==

=⇒=

==

Špeciálne prípady:

a) pohyb častice m v gravitačnom poli Zeme (všeobecne)

rr

MmF ⋅−= 3κ

Pre tiaž gF telesa o hmotnosti m : gmFg = .

b) pohyb nabitej častice q v elektrickom poli

),(. trEqF =

c) pohyb nabitej častice v magnetickom poli

( )),(. trBvqF ×=

2.3. Sily pôsobiace pri krivočiarom pohybe

Uvažujme rovinný pohyb:

zo znalosti pohybu ( )(),(),( tatvtr ) môžeme usudzovať na sily, ktoré tento pohyb spôsobili:

Platí: amF = , kde ρτrv

dtdvaaa nt

2

−=+=

ntnt FFamamamF +=+==

- rozklad sily na dotyčnicovú a normálovú zložku

dotyčnicová zložka sily – mení veľkosť v normálová zložka sily (tiež dostredivá sila) – mení smer v

Uvažujme rovnomerný krivočiary pohyb

potom 0== τdtdvmFt ale 0

2

≠−= ρrvmFn !!

Pri krivočiarom pohybe je vždy 0≠nF .

S

S’

O

O’

)(tr

)(0 tr)(tr ′

m

2.4. Sily a pohybové rovnice v neinerciálnych sústavách

Neinerciálne sústavy – voči inerciálnej sústave pohyb iný ako rovnomerný priamočiary.

Označme S – inerciálnu sústavu, S’ – neinerciálnu sústavu .

V S’ neplatí 2.Newtonov zákon, tj. amF ′≠ .

Ak chceme riešiť pohyb častice v sústave S’ a pri riešení použiť analogickú pohybovú rovnicu ako v S , musíme túto pohybovú rovnicu modifikovať pridaním sily f .

Potom amfF ′=+ ,

kde F – vzájomné pôsobenie telesa s okolím (fyzikálna interakcia) ,

f – fiktívna (zdanlivá, zotrvačná) sila, ktorá súvisí iba s neiner- cialitou S’.

Rozoberme dva v praxi najčastejšie prípady:

a) S’ koná pohyb s 00 ≠a oproti S

platí: )()()( 0 trtrtr ′+=

)()()( 0 tvtvtv ′+=

2

2

20

2

2

2

dtrd

dtrd

dtrd ′

+=

teda aaa ′+= 0

Pozn.: v obr. kji ′′′ ,, - konšt.

Pohybová rovnica vzhľadom na S :

amF = , po dosadení amamF ′+= 0 , po úprave:

⇒′=− amamF 0 fiktívna sila 0amf −= .

b) S’ koná pohyb s .konšt=ω vzhľadom na S

Potom .0 konštr = a kji ′′′ ,, sú teraz časovo závislé vektory.

Derivovaním sa dá odvodiť:

ωωω ×′×−′×+′= )()(2 rvaa ,

dosadením do ⇒= amF

amvmrmF ′=′×−×′×+ )(2)( ωωω . –––––––––––– f –––––––––––––

V tomto prípade sa fiktívna sila skladá z 2 síl:

CO fff += ,

kde ωω ×′×= )( rmfO - odstredivá sila

)(2 vmfC ′×−= ω - Coriolisova sila

To je prípad pozorovateľa študujúceho pohyby zo súradnej sústavy S’

pevne spojenej so Zemou )60.60.24

2( 1−= sπω ,

⇒ maximálne hodnoty fiktívnych síl na Zemi - v porovnaní s gravitačnou silou F :

5,134,0

<<

C

O

ff

% F ⇒ v mnohých prípadoch je možné ich zanedbať

Of – odstredivá sila

rmf ′= 20 ω

grF – gravitačná sila

gF – celková sila ( tiaž telesa )

2.5. Hybnosť a impulz

Zavedenie nových veličín: hybnosť častice impulz sily (časový účinok sily)

Hybnosť: − charakterizuje dynamické vlastnosti častice

definícia: vmp =

jednotka hybnosti 1 kgms-1

Pomocou hybnosti je možné 2.Newtonov zákon (pohybovú rovnicu častice) zapísať i v tvare:

( )dtpdvm

dtd

dtvdmF === , teda dt

pdF = .

Impulz: − vyjadruje časový účinok sily

definícia: ∫=2

1

t

t

dtFI

gFgrF

S

O′ r ′ A

R

ω0f

r

M

FϕO

2.6. Veta o impulze a hybnosti

Odvodenie:

12

2

1

2

1

2

1

2

1

pppdvmddtdtvdmdtFI

p

p

v

v

t

t

t

t

−===== ∫∫∫∫

teda pI ∆= Znenie: impulz sily pôsobiacej na časticu sa rovná zmene jej hybnosti

vzťah: príčina ( ) →I následok ( )p∆

2.7. Moment sily a moment hybnosti

Sila F a hybnosť p − vhodné veličiny pre popis translačného pohybu častice. Pre rotačný pohyb je vhodné zaviesť nové veličiny − moment sily − M moment hybnosti − L . Zavedenie momentu sily:

definícia M :

FrM ×=

zyx FFFzyxkji

=

Vlastnosti (z definície): a) M závisí od voľby vzťažného bodu b) smer M je kolmý na rovinu ( Fr , ) c) dFFrM .sin.. == ϕ ( d – kolmá vzdialenosť )

M je mierou otáčavého účinku sily. Zavedenie momentu hybnosti:

definícia L : vmrprL ×=×=

(rozbor analogický ako u M ) 2.8. Pohybová rovnica pre otáčavý pohyb častice

Vyjadruje súvis medzi M a L . Pozn.: I pre otáčavý pohyb častice platí pohybová rovnica amF = , v tomto prípade je ale výhodnejšie pohyb riešiť pomocou nižšie

odvodenej rovnice.

( )dtLdpr

dtd

dtpdrFrM =×=∗=×=×=

t.j. dtLdM =

− pohybová rovnica pre otáčavý pohyb častice

Znenie: Moment sily pôsobiaci na časticu sa rovná časovej derivácii

jej momentu hybnosti. Pozn.: pomocný výpočet, derivujme súčin pr × :

( )dtpdr

dtpdrvmv

dtpdrp

dtrdpr

dtd

×=×+×=×+×=×

= 0 !

r

O

A

F

rd

B

α

2r

1r

s

2.9. Práca, výkon, účinnosť

Práca – pojem vzniklý skúsenosťou, spája sa s pojmami, resp. veliči- nami − dráha , sila.

Prácu konáme vtedy, keď presúvame teleso (hmotný bod) pôsobením sily po nejakej dráhe.

Definícia dA : elementárna práca rdFdA .=

t.j. αcos.. rdFdA = .

Práca (celková práca) – presúvajme hmotný bod z bodu A do B podľa obrázku:

⇒ ∫=s

rdFA . .

tiež - dráhový účinok sily,

resp. práca sily F

jednotka práce 1 N.m = 1 J (joule) Špeciálne prípady: a) ak F = konšt. ∫ ∫ ∆=== rFrdFrdFA ... kde 12 rrr −=∆ ,

b) ak s je priamka a F =konšt. v smere priamky sFrFrdFrdFA .... =∆=== ∫ ∫ .

Výkon – veličina popisujúca „rýchlosť“ konania práce.

Zavádzame tzv. priemerný výkon za ∆t: tAPs ∆

∆= .

Výkon (okamžitý výkon): dtdA

tAP

t=

∆∆

=→∆ 0

lim

platí tiež: vFdtrdF

dtdAP .. ===

jednotka výkonu 1 J/s = 1 W (1 watt)

Účinnosť (stroja, zariadenia):

pp P

PAA==η ,

kde: A – vykonaná práca, Ap – stroju dodaná práca, P – odovzdaný výkon, Pp – prijatý výkon , - všetko za to isté ∆t .

2.10. Energia. Zákon zachovania energie

Pojem energie, zavedenie veličiny, ktorá je invariantom v izolovaných sústavách:

definícia E : Energiou E nazývame takú charakteristickú veličinu, ktorej prírastok sa rovná sústavou prijatej práci

AE =∆ .

Zákon zachovania a premeny energie:

Energia izolovanej sústavy (práca vonkajších sí1 je rovná nule) zostáva konštantná pri všetkých dejoch v nej prebiehajúcich . Pri tom sa môže energia meniť z jednej formy na inú (mechanickú , elektrickú , chemickú , a t ď .) , a1e všeobecne jej veľkosť zostáva konštantná.

Tento zákon, ktorý bol získaný zovšeobecnením výsledkov značného počtu pokusov.

r

1F

rd2

α

2r

1r

s 1v

2vO

2.11. Energia mechanickej sústavy

Zavedenie kinetickej energie a potenciálnej energie sústavy: kinetická energia - určená rýchlosťami a hmotnosťami telies, ktoré tvoria sústavu, potenciálna energia - určená vzájomnou polohou telies a povahou síl, ktorými na seba telesá navzájom pôsobia. Kinetická energia

Vypočítame, akú prácu je treba vykonať, aby sa rýchlosť častice hmotnosti m zmenila z hodnoty v1 na hodnotu v2 :

∫ ∫∫ ∫∫ −======2

1

2

1

2

1

21

22

2

1

2

1 21

21....

v

v

v

v

v

v

mvmvdvvmvdvmvddtrdmrd

dtvdmrdFA

Pozn.: použité dvvvdv .. = (z diferencovania rovnice 2. vvv = ).

Práca vonkajších síl sa rovná prírastku energie, teda

12 EEEA −=∆= .

Definícia kinetickej energie Ek : 2.

21 vmEk = .

Kinetická energia častice - je rovná práci, ktorú vykonala sila aby časticu uviedla z pokoja do pohybového stavu s rýchlosťou v .

Potenciálna energia iná forma energie – ak silou pôsobíme proti inej vonkajšej sile (napr.

častica vo vonkajšom silovom poli) → častica sa dostane do inej polohy v ktorej má určitú „skrytú“ formu energie (po uvoľnení z tejto polohy môže samovoľne konať prácu).

Potenciál. energiu je možné zaviesť iba u tzv. konzervatívnych síl. polí. Konzervatívne silové pole – práca síl poľa nezávisí na tvare dráhy, iba na počiatočnom a koncovom bode dráhy.

Definícia potenciálnej energie Ep : potenciálna energia častice je rovná práci, ktorú musíme vykonať pri

premiestnení častice vo vonkajšom silovom poli - z referenčnej polohy do uvažovanej polohy.

rdFrdFEr

r

r

refrp ..

1

0

1

0 .)(∫∫ −=′= , kde F je sila poľa.

Referenčná poloha – obvykle miesto s nulovým silovým pôsobením na časticu.

Zákon zachovania mechanickej energie znenie: V izolovanej sústave sa mechanická energia (t.j. súčet kinetickej a potenciálnej) zachováva.

.konštEEE pk =+=

Pozn.: všeobecný dôkaz značne zložitý – vychádza z rovnorodosti času, dôkaz s použitím Lagrangeovej rovnice.

Dôkaz pre časticu v konzervatívnom silovom poli: Uvažujme dve polohy častice – 1 a 2

( )∫∫ ∫∫∫ −−=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−=−=∆

1

012

1

0

2

112 ...........

1

0

2

0

kk

r

r

r

rppp EErdFrdFEEE

úpravou: .2211 konštEEEEEE pkpkpk =+⇒+=+