FIFEI-03 Mechanika dynamika hmotnho bodu a soustavy hmotnch bod.

http://stein.upce.cz/msfei15.htmlhttp://stein.upce.cz/fei/fIfei_03.html

Doc. Milo Steinhart, UPCE 06 036, ext. 6029

Hlavn bodyDynamika hmotnho boduSla, hmotnost, hybnost, Newtonovy zkonyImpuls sly, prce, kinetick energie, vkon slyBle k realit : soustava (systm) hmotnch bod a dokonale tuh tlesoPrvn impulsov vtaMoment hybnosti zkladn zkony zachovnDynamika rotanch pohybDruh impulsov vtaHmotn sted, moment setrvanosti a Steinerova vtaRozklad silovho psoben na translan a rotan u dokonale tuhho tlesa

vod do dynamiky Mechanika by byla nepln, kdyby se nezabvala, dvody pro se tlesa dvaj do pohybu, zrychluj, zpomaluj, zakivuje se jejich drha nebo co se dje pi jejich srce.Pohybuj-li se tlesa (s nemnc se hmotnost) s nenulovm zrychlenm, mus na n psobit nenulov sla, obecn vslednice psobcch sil. Ale k udren rovnomrnho pmoarho pohybu sly tedy teba nen . Dojt k tomuto jednoduchmu zvru bylo velice obtn a zdlouhav, protoe sly, jako napklad ten, nemus bt patrn a mohou bt i dalekodosahov.

SlaSla je pinou pro jsou objekty v rovnovze, dvaj se do pohybu, padaj k zemi, brzd nebo mn smr svho pohybu.Jednotkou sly v soustav SI je jeden newton:Sla je vektorovou veliinou, vsledn sla je vektorovm soutem vech psobcch sil.Sly mohou bt zpsoben pmm dotykem tles nebo dalekodosahov. Ty psob na dlku bez pmho kontaktu ovlivujcch se tles.

Hmotnost Intuitivn povaujeme hmotnost za mru mnostv ltky.Jednotkou hmotnosti v soustav SI je jeden kilogram.Ukazuje se, e setrvan hmotnost je velmi pesn rovna hmotnosti gravitan.Dynamika ukazuje e pesnji je to mra setrvanosti tlesa. m je tleso t, tm obtnji lze zmnit jeho pohybov stav.

HybnostPohybov stav hmotnho bodu lze popsat vektorem hybnosti definovanm jako:

Vznam hybnosti spov v tom, e se zachovv, kdy je vslednice sil psobcch na hmotn bod nulov. Pokud nulov nen, mn se. Zle na vech interakcch s jinmi hmotnmi body i se silovmi poli.

Newtonovy zkony Isaac Newton (1642-1727) geniln shrnul poznatky klasick dynamiky do t zkon:Zkonu setrvanostiZkonu sly Zkonu akce a reakceUpesnn tchto zkon bylo nutn a za hranicemi klasick mechaniky, pi vysokch rychlostech a v mikrosvt .

Zkon setrvanostiNepsob-li na hmotn bod sla, pohybuje se rovnomrn pmoae nebo je v klidu.Pesnji: Je-li sla psobc na hmotn bod nulov, je jeho hybnost konstantn.Silou se zde a dle obecn rozum vslednice vech psobcch sil. Samozejm i reaknch!V tto formulaci jsou zahrnuty i speciln pohyby, kde se mn hmotnost, jako raketov.

Zkon sly ISla psobc na hmotn bod je rovna asov zmn jeho hybnosti.

Za pedpokladu, e hmotnost zstv konstantn, plat formulace jednodu :Jednotkou sly je 1 newton : N = kg m s-2

Zkon sly IIPedchoz vztahy jsou vektorov. Plat tedy i v pslunch slokch. Napklad:Nenulov druh sloka sly je rovna zmn druh sloky hybnosti v ase.Je-li tet sloka sly nulov, je tet sloka hybnosti konstantn, atd.

Zkon akce a reakcePsob-li tleso 1 na tleso 2 silou ,psob i tleso 2 na tleso 1 silou . Ob sly jsou stejn velk, ale opan orientovan: .Kad psob na jin tleso a proto se tyto sly spolu nedaj obecn sloit.Sloit se daj jen kdy je mezi tlesy tzv. vazba, Tedy jsou spojena. Potom je inek sil nulov.

asov inek sly - impulsPsob-li konstantn sla po jistou dobu, dostvme integrac 2. Newtonova zkona :

Zmna hybnosti se rovn impulsu sly.Je tedy dleit, jak dlouho sla psob.Vztah opt plat samozejm i ve slokch.

Drhov inek sly prce IPro jednoduchost pedpokldejme konstantn slu a hmotnost a pohyb jednm smrem (po jedn pmce = ose x).V dsledku psoben sly se stav hmotnho bodu zmn (t1, x1, v1) -> (t2, x2, v2).Z 2.NZ vme, e se jedn o rovnomrn zrychlen pohyb a meme pout vztahu pro souadnici v ase t, znmho z kinematiky:

Drhov inek sly - prce IIPro konkrtn as t2 tedy plat: Vyjdme a a as (pomoc rychlosti) :a = F/m(t2 t1) = (v2 v1)/a = (v2 v1)m/FPo prav :

Drhov inek sly prce IIITedy : A = F x = v22 m/2 v21 m/2 = Ek A je prce, kterou vykon sla F na drze xmv2 /2 = Ek je kinetick (pohybov) energieOb veliiny maj rozmr energie a v SI jednotku 1 joule : J = Nm = kg m2 s-2Obecn se mus uvaovat prmt sly do smru pohybu. Prce je tedy skalrn souin :

Drhov inek sly - obecnUvaujme opt jednorozmrn ppad psoben konstantn sly na kompaktn hmotn bod. V obecnjm ppad bychom ztotonili osu x se smrem posunu a uvaovali pouze sloku sly do tohoto smru.

Pouili jsme:Lze ukzat:

Vkon psobc slyasto je dleit, za jakou dobu dolo k vykonn urit prce. To charakterizujeme vkonem, kter chpeme jako rychlost konn prce a definujeme analogicky jako klasickou rychlost :Prmrn vkon : = A/tOkamit vkon : P = dA/dtJednotkou vkonu v SI je 1 watt W = Js-1

Soustava hmotnch bod IDosud jsme se zabvali mechanikou hmotnho bodu. Tato abstrakce se hodila pro pohodlnou definici zkladnch veliin mechaniky, ale pi splnn pslunch pedpoklad ji lze pout i k een skutench problm.Obecn sytm lze chpat jako soustavu hmotnch bod, kter spolu jistm zpsobem interaguj.

Hmotn sted IPi translanm pohybu lze soustavu reprezentovat titm, pesnji hmotnm stedem , ve kterm je soustedna cel hmotnost soustavy

Definice tit plat i ve slokch, eho se vyuv, m-li problm mn dimenz ne 3 : , ,

*Hmotn sted IIZskme ho integrac rovnice pro celkovou hybnost :

Hmotn sted IIHmotn sted:Nezvis na volb souadn soustavy. Ale jej vhodn volba me znan usnadnit vpoet.Je v prseku prvk symetrie. S ohledem na to volme souadnou soustavu.U tles s rotan symetri lze vyut Pappova teormu : drha tit x plocha = objem.U tles, skldajcch se ze soustek lze jako uvaovat tit tchto soustek a mi jejich hmotnosti.

Hmotn sted IIIUvaujme nov potek v titi Potom :Tto rovnosti lze vyut k dkazu dleitch vlastnost tit : rotace systmu kolem libovoln osy, prochzejc titm a pohyb posuvn neboli translan tohoto tit v prostoru jsou pohyby na sob nezvisl. Dky tomu lze obecn pohyb tlesa (systmu) rozloit na translaci tit a rotaci kolem nj.

Prvn vta impulsov I Na i-t hmotn bod psob vslednice sil, kterou meme rozdlit na vslednici vnitnch sil, pochzejcch z interakce s hmotnmi body, kter jsou soust systmu a vslednici sil vnjch. Podle 2. Nz.:

Prvn vta impulsov IIDefinujeme-li celkovou hybnost systmu jako vektorov souet vech hybnost:

Plat: !

Prvn vta impulsov IIIasov zmna celkov hybnosti je rovna vslednici vnjch sil.Jinmi slovy celkovou hybnost mohou ovlivnit pouze vnj sly. Je to vznamn dsledek platnosti zkona akce a reakce. Souet vech vnitnch sil pes cel systm je toti roven nule :

Moment hybnosti zkladn zkony zachovnZ dynamiky hmotnho bodu je zejm, e je-li vslednice psobcch sil nulov, zachovv hmotn bod svoji hybnost a kinetickou energii.Pmoar pohyb je mon chpat jako okamitou rotaci kolem potku a definovat rotan pohybov stav hmotnho bodu moment hybnosti:

Tato veliina se zachovv. K zachovn dochz i pi psoben nenulov sly, pokud je kolinern s prvodiem, napklad u centrln sly pi pohybu planet.

Skalrn souin A Definice I (ve slokch)Definice IISkalrn souin je souin velikosti jednoho vektoru krt prmt velikosti vektoru druhho do jeho smru.^

Pklad na vpoet tit IMjme tyi koule o hmotnosti 1, 2, 3 a 4 kg, lec na jedn pmce vdy 1 m od sebe. Kde je tit tohoto systmu?Le-li koule na pmce je tato pmka osou symetrie, problm je jednorozmrn a je vhodn prv tuto pmku ztotonit s jednou z os, napklad osou x. Poloha tit na volb potku samozejm nezvis, ale je vhodn zvolit potek ve stedu jedn z koul, nap. prvn. Potom:

Tit tedy le ve stedu tet koule a mete si vyzkouet, e tam bude leet i pi jin volb potku.

Pklad na vpoet tit IIMjme opt tyi koule o hmotnosti 1, 2, 3 a 4 kg, lec v rozch tverce o stran 1 m. Kde je tit tohoto systmu?Problm m nyn rovinu symetrie a je tedy dvourozmrn. Osy zavedeme, aby na nich leely dv kolm strany tverce, ili jedna koule le v potku. A tedy koule maj nap. souadnice: 1:[0,0], 2:[1,0], 3:[0,1] a 4:[1,1]. Potom:

Tit m souadnice [0.6, 0.7]. Koule s pslunou souadnici nulovou jsme ji ve vpotu vbec neuvaovali.

Pklad na vpoet tit IIIMjme nyn koule o hmotnosti 1, 2, 3 a 4 kg v nkterch rozch krychle o stran 1 m. Kde je tit tohoto systmu?Nyn problm nem symetrii a je trozmrn. Stle je ale vhodn zavst speciln souadnou soustavu, take nap. souadnice koul jsou: 1:[0,0,0], 2:[1,0,0], 3:[0,1,0] a 4:[0,0,1]. Potom:

Tit m souadnice [0.2, 0.3, 0.4]. Koule s pslunou souadnici nulovou jsme ji ve vpotu vbec neuvaovaliA neopakujeme ji ani definice sloek tit.^

Pklad na vpoet tit IVKde le tit plkruhu, kter vznikl rozplenm kruhov desky o polomru a?Problm m jednak rovinu symetrie a je tedy dvourozmrn a dle dvojetnou osu, prochzejc stedem pvodn kruhov desky kolmo na ez. Tu ztotonme s osou x a na n hledme tit. Osa y bude pmka ezu a potek tedy pvodn sted.Otome-li plkruh kolem osy y o jednu otku, dostaneme kouli. Bude-li souadnice tit xT, bude podle Pappova teormu platit:

Pklad na vpoet tit VPonkud sloitj cestou een pedchozho problmu je integrace v polrnch souadnicch :

Integrac lze ale eit problmy s podstatn slabmi poadavky na symetrii, ne vyaduje Pappv teorm.

^