流体中を過ぎる円柱などによる粒子の運動のシミュレーション

東海林研究室東海林研究室

２００３．２．６２００３．２．６

流れに従って赤い粒子はどのように動く？

東海ゼミ

円柱を過ぎる一様流

条件

・２次元流

・渦無しの流れ

・非粘性流体・縮まない流体

正則関数の理論

I‐１. 定常な流れの問題

流れの状態が変化しない場合シミュレーション

粒子は流線に沿って動く

固定された円柱のまわりを

流体が一定速度 ‐U で流れている場合

iYXzz

azUzf

+=

+−= ),()(2

この流れ場は次の正則関数

（複素速度ポテンシャルと呼ぶ）

で表すことができる

＜X‐Y座標系＞

ｰU

静止

a は円の半径円の中心が座標の原点

Y

X

複素速度ポテンシャル

),(),()( YXiYXzf Ψ+Φ=実数部と虚数部に分解

constant),( =Ψ YXを満たす曲線を 流 線 と呼ぶ

,yx

u∂Ψ∂

=∂Φ∂

=xy

v∂Ψ∂

−=∂Φ∂

=

： 速度ベクトル),( vu,)(' ivuzf −=

Φ：速度ポテンシャル

Ψ：流れ関数Φ、Ψは次の関係を満たすような調和関数

複素速度

とくに

iYXzz

azUzf +=+−= ,)()(2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−=Ψ+

−−=Φ 22

2

22

2

,YX

YaYUYX

UXaUX

となる

の場合

222

2

222

222

)(2,

)( YXUXYav

YXXYUaUu

+=

+−

−−=

流れ関数Ψの形から、流線は

X 軸に関し上下対称

Y 軸に関し左右対称

であることがわかる。

( )

( )222

2

222

222

2YX

UXYadtdYY

YXXYUaU

dtdXX

+==

+

−−−==

•

•

粒子の運動方程式

☆これを解いて描いた結果がさきほどのシミュレーション

求めたい粒子の座標を ))(),(( tYtX とするとき

結局

))(),(( tYtX は次の微分方程式を満たす

I‐2. 非定常な流れの問題

時間とともに流れの状態が変化する場合

シミュレーション

では流体中にある粒子の軌道は？

円柱が x 軸上を一定速度 U でx = －∞から x = ∞まで動くとき

+∞

y

U

ｰ∞

＜x-y 座標系＞ 空間に固定された座標系

x

座標変換して考えると…….

y

x

Y

Xa

ｘ＝X+Utｙ＝Y

U

x-y 座標 ： 空間に固定された座標系

X-Y 座標 ： 円柱の円の中心を原点として

円柱と一緒に動く座標系

X-Y 座標系で見ると I-1 で考えた定常問題に帰着

( )( )( )( )

( )( )222

2

222

222

2

yUtx

yUtxUay

yUtx

UtxyUax

+−

−=

+−

−−−=

•

•

粒子 (x(t),y(t)) の運動方程式

２通りのシミュレーション法

① 微分方程式を数値計算する

② 積分表示を求める同じ結果？

),2

,2

(

),,(

23

1

khyhxfk

yxfk

nn

nn

++=

=

),(

)2

,2

(

34

12

hkyhxfk

khyhxfk

nn

nn

++=

++=

)22(6 43211 kkkkhyy nn ++++=+

において 4次のルンゲクッタ法は、次のようにして y(x), (x=nh) の近似値

を求めるもので、精度がよい方法である。

),( ),,( 00 yxyxfdxdy

初期値=

44次のルンゲクッタ法の説明次のルンゲクッタ法の説明

微分方程式の初期値問題

ny

ここで

４次の意味は？ 2

1⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

421

hを 倍にすると、真の解との誤差が

① 微分方程式を数値計算したときのシミュレーション結果

数値計算はルンゲクッタ法

東海ゼミ

② （x、y）の積分表示を求める

【計算方法の概略】

1. 新しいパラメータηを導入する。

22

2

)()()()(tYtx

tYatY+

−=η

2. t を Y で表す。

3. 次の変数変換を行う。

24 22

maxa

Y++

=ηη

とおく。次に

詳しくは次のスライド

η−−

=Y

YYW maxW をパラメータとする (x,y) のパラメータ表示が得られる

maxY

ひとつの粒子の軌道

無限遠での x軸との距離

y 軸を横切るときの y 座標

η

粒子の座標 (x,y)のパラメータ表示

12max

2

++

==W

YWYy η

x = X +Ut

=−a2 q4 + 2 ηYmax −η

2 − a2( )q2 + a2

1 + q2( )2ηq2 + Ymax( )

ηq2 + Ymax

Ymaxq2 + η2 + 4a0

W

∫ dq

－∞ < t < 0 に対し変数Wは ∞ >W>0 を動く

積分計算は、数値積分を利用

大変な計算を頑張った証拠の１部分

シンプソン則による数値積分

積分区間[ａ，ｂ]を２ｎ等分して、その分点をとる。

このとき、シンプソン則とよばれる公式で

積分値を近似する事ができる。

∫ ∑=

−− ++=b

a

n

kkkk xfxfxfhdxxf

121222 ))()(4)((

3)(

a bi1+i

)(if)1( +if

x

y )2( +if

2+i

)(xf

② 積分計算によるシミュレーション結果

①と同じ結果 ？

東海ゼミ

シミュレーション

下図のようなアニメーション

II 平板や翼まわりの流れの

シミュレーション

流体中を円柱が過ぎる場合の粒子の運動

流体中を平板、縦板、翼が過ぎる場合の粒子の運動

★等角写像

★ジューコフスキー変換

流れの場の等角写像

),(),()( yxiyxzf Ψ+Φ=ϑiqeyxivyxuzf −=−=′ ),(),()(

任意の正則関数 )(zf をZ平面でおこる渦なしの流れに対する複素速度

:),( yxu 速度ベクトルのx 成分

:),( yxv 速度ベクトルの y 成分

|:)('| zfq= 速度の大きさ

:)('arg zf−=θ 軸に対する流れの傾きx

⎭⎬⎫

=Ψ==Φ=

.),()(Im

.),()(Reconstyxzfconstyxzf を考えるとそれぞれ、等ポテンシャル線と流線に

対応する。 は定数.const

とする。

流れの様子を直観的につかむためには、流線の模様を知るのが最も便利である。

【定理】 正則関数 )(zg=ζ による等角写像に際して、等ポテンシャル線

は等ポテンシャル線に流線は流線に写像される。

z 平面

Pの回りの渦無しの流れがわかっている。

P を流線としている。

ζ 平面

'P の回りの渦無しの流れが

'P を流線とすることになる。

)(zg=ζ

円柱の場合を基に平板、縦板、板、翼の場合について考えることができる。

わかる。

をジューコフスキー変換という。z

azw2

+= )0( ≠z

ジューコフスキー変換

θcos2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

raru θsin

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

rarv

θieriyxz =+=平面z ivuw +=平面w

東海ゼミ東海ゼミ

Ⅱ‐1. ジューコフスキー変換による

平板のシミュレーション

ジューコフスキー変換によるたて板描画するときの座標 ， をそれぞれ ， で置き換えてやる。x yy x−

これをジューコフスキー変換 で 平面から 平面に写像する。z

azw2

+= z w

平面上のジューコフスキー変換により写像された座標、 ， をそれぞれ ， に置き換えて描画すれば良い。w uv

vu−

ジューコフスキー変換によるたて板

平面上のジューコフスキー変換により写像された座標、， をそれぞれ ， に置き換えて描画すれば良い。

wu vv u

Ⅱ‐2. ジューコフスキー変換による

たて板のシミュレーション

東海ゼミ

シミュレーション

ジューコフスキー変換による翼型

平面上の を中心とし点 を通り、半径をとする円を、ジューコフスキー変換

を用いて 平面上へ写像することを考える。

z 0z ),( nm )0,( ab ( ) 22 anm ++=

zazw

2

+= w

ジューコフスキー変換による翼型

ずらした中心の位置によって翼の形が変わる。

Ⅱ‐3. ジューコフスキー変換による

翼型のシミュレーション

東海ゼミ

シミュレーション

下図のようなアニメーション

Ⅲ 球のまわりの流れの

シミュレーション

球が流体中を過ぎる場合の球が流体中を過ぎる場合の

xx--yy 平面での切断面を考える平面での切断面を考える

流体中を過ぎる球による粒子の運動

球が流体中を過ぎる時、Ｘ－Ｙ平面の切断面での粒球が流体中を過ぎる時、Ｘ－Ｙ平面の切断面での粒子の動きを考える。子の動きを考える。

球の中心を原点とする座標（球の中心を原点とする座標（XX、、YY、、ZZ））で考えると、で考えると、

Φ：Φ：速度ポテンシャル、速度ポテンシャル、Ψ：Ψ：流れ関数流れ関数

となる。となる。

ここで、ここで、 、、 ははxx軸から測った角度である。軸から測った角度である。

Ｘ－Ｙ平面を考えるため、Ｚ＝Ｘ－Ｙ平面を考えるため、Ｚ＝00と考えられる。と考えられる。

円柱の場合と同様に考え、運動方程式を求める。円柱の場合と同様に考え、運動方程式を求める。

Θ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=Ψ 2

32 sin

2 RaRU

222 ZYXR ++=

22

2

YXUXaUX+

−−=Φ

[ ]π,0∈Θ

( )225

3

22

XYRUaUX −−−=

•

5

3

23

RUXYaY =

•

同様に４次のルンゲクッタ法で解く同様に４次のルンゲクッタ法で解く

粒子の運動方程式

ａ：球の半径

22 YXR +=

東海ゼミ

Ⅲ‐1. 流体中を過ぎる球による粒子の

動きをＸ－Ｙ平面から見た場合

シミュレーション

東海ゼミ

Ⅲ‐2. 流体中を過ぎる球による粒子の

動きをＹ－Ｚ平面から見た場合

東海ゼミ

Ⅲ‐3. 流体中を過ぎる球による粒子の

動きをＸ－Ｙ平面、Ｙ－Ｚ平面

から見た場合

シミュレーション

東海ゼミ

Ⅲ‐4. 流体中を過ぎる球による粒子の

動きを斜めから見た場合

東海ゼミ

Ⅲ‐5. 球を過ぎる粒子の

動きを斜めから見た場合

下図のようなアニメーション