趣味数学六年级

w w w . p e p . c o m . c n主题：数与代数导读：从这周开始，同学们将进入整理与复习单元，在这个单元里，大家将回顾小学阶段所学的数学知识。第一部分复习的是数与代数，内容包括整数、小数、分数、百分数的概念，负数的初步认识，四则运算、运算定律及其应用，以及用字母表示数、简单的方程及其应用。

动感摩天轮

■2010年04月30日 星期五 第31期　■总第360期　 ■互联网出版许可证：新出网证(京)字016

主办单位：人民教育出版社·人教网　 本期责任编辑：傅波（网名：质数）

投稿：send.pep.com.cn E-mail:fubo@pep.com.cn

数学我知道

　　解答应用题的时候，我们都非常重视审题这个环节，因

为不认真审题，就不能正确地理解题意、分析数量关系，解

题也就无从入手了。而在做计算题的时候，很多人往往认为

数目和运算符号都是明摆着的，不审题也照样可以计算。其

实，做计算题的时候同样也是需要认真审题的。通过审题，

可以看清数目的特点，运算之间的关系，既能确定运算顺

序，又能进一步思考：是否可以应用运算定律或运算性质，

使计算方法更加合理、灵活，计算更加简便呢？审题，可以

培养我们的观察能力，发展我们的思维能力，提高我们的计

算能力。

　　现在，让我们通过计算下面的题，进一步认识审题是多

么的重要。

　　（ ＋ ）÷5× 有的同学说这道题的计算结果是 ，

你同意吗？先让我们一起来审题：这是一道含小括号的三步

计算式题，按运算顺序的规定，应该先算小括号里的，再算

小括号外的。小括号里 ＋ ，和是 ，小括号外的乘法与

除法属同一级运算，计算时应该从左往右依次进行。正确的

计算过程是：（ ＋ ）÷5× ＝ ÷5× ＝ × ×

＝ 。计算的最后结果应该是 ，而不是 。从表面上看，

讲述你与数学的故事，记录数学学习的点滴，分享成功与失败的心情，麦斯部落格，我的地盘我作主！

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造成错误的原因是计算时违反了运算顺序，实际上呢，是有

的同学被5× 正好可以约分这一组合形式吸引所致。如果我

们在计算之前能够认真审题的话，那么，这样的错误是完全

可以避免的，你说对吗？

　　又如 15×78＋45×74，这是一道“求两积之和”的三步

式题，粗看，数目和和运算之间没有明显的特点，按运算顺

序应该先分别计算出 15×78、 45×74 的积，然后将两个积相

加，它们的和便是计算的最后结果。如果我们在审题时，充

分利用自己头脑中的数字知识，就能看到数目间的倍数关系，

并能想到将原来的算式转化成为符合应用乘法分配律进行简

算的可能性。依据“两个数相乘，一个因数扩大几倍，另一

个因数缩小同样的倍数，积不变”的性质，将 15 扩大 3倍为

45，78 缩小 3倍为 26，使 15×78 转化成为 45×26。计算过

程是：15×78＋45×74＝（15×3）×（78÷3）＋45×74＝

45×26＋45×74＝45×（26＋74）＝45×100＝4500。由此可见，

认真审题，有时可以将题目进行合理地“改造”，使计算简便。

　　认真审题，既是一个良好的学习习惯，也是一项重要的

学习能力。习惯和能力都需要有意识地去培养。让我们在做

计算题的过程中，自觉地增强审题意识，锻炼审题能力吧！

头脑风暴

开心果

　　推理的艺术触及到我们生活的方方面面，比如决定吃什

么，用一张什么样的地图，买一件什么样的礼物，或者证明

一个几何定理，等等。有关推理的种种技巧，都融入了问题

的解决之中。在推理中一个小小的毛病都可能导致十分怪异

和荒谬的结果。

　　我们中间谁能保证在我们的解释、解答或证明中不会发

现一点错误呢？在数学中除以零是一种常见的错误，它能引

出像下面“1＝2”的证明那样的荒谬的结果。你能发现它错

在哪里吗？

自然数记趣

1＝2 的证明

　　有一位阿姨在河边洗刷一大摞碗。一个过路人问她：“

怎么刷这么多碗哪？”她回答： “家里来客人了。”过路

人又问：“家里来了多少客人？”阿姨笑着答道：“2个人给

一碗饭，3个人给一碗鸡蛋羹，4个人给一碗肉，一共要用65

只碗，你算算我们家来了多少客人？”

家里来了多少客人？

做计算题也要认真审题

识数的故事

◆破碎的数

　　在拉丁文里，分数是来源于“破碎”一

词，因此分数也曾被人叫做是“破碎数”。

在数的历史上，分数几乎与自然数同样古

老，在各个民族最古老的文献里，都能找到

有关分数的记载，然而，分数在数学中传播

并获得自己的地位，却用了几千年的时间。

　　在欧洲，这些“破碎数”曾经令人谈虎色变，视为畏

途。7世纪时，有个数学家算出了一道8个分数相加的习题，

竟被认为是干了一件了不起的大事情。在很长的一段时间

里，欧洲数学家在编写算术课本时，不得不把分数的运算法

则单独叙述，因为许多学生遇到分数后，就会心灰意懒，不

愿意继续学习数学了。直到17世纪，欧洲的许多学校还不得

不派最好的教师去讲授分数知识。以致到现在，德国人形容

某个人陷入困境时，还常常引用一句古老的谚语，说他“掉

进分数里去了”。

　　一些古希腊数学家干脆不承认分数，把分数叫做“整数

的比”。

　　在西方，分数理论的发展出奇地缓慢，直到16世纪，西

方的数学家们才对分数有了比较系统的认识。甚至到了17世

纪，数学家科克在3/5＋7/8＋9/10＋12/20时，还用分母的乘

积8000作为公分母！

　　而这些知识，我国数学家在2000多年前就都已知道了。

我国现在尚能见到最早的一部数学著作，刻在汉朝初期的一

批竹简上，名字叫《算数书》。它是1984年初在湖北省江陵

县出土的。在这本书里，已经对分数运算作了深入的研究。

　　稍晚些时候，在我国古代数学名著《九章算术》里，已

经在世界上首次系统地研究了分数。书中将分数的加法叫做

“合分”，减法叫做“减分”，乘法叫做“乘分”，除法叫

做“经分”，并结合大量例题，详细介绍了它们的运算法

则，以及分数的通分、约分、化带分数为假分数的方法步

骤。尤其令人自豪的是，我国古代数学家发明的这些方法步

骤，已与现代的方法步骤大体相同了。

◆小数

　　在小学数学里，一般是先学小数后学分数。但是从历史

上看，是先有分数后有小数，而且时间还相差得很久。

　　公元260年左右，我国数学家刘徽首先

引出十进小数的概念。可惜刘徽以后的一

千年里，没有更多的数学家去完善小数的

概念。是什么原因阻碍了小数的发展呢？

英国皇家学会会员、著名科学史家学李约

瑟认为：“《九章算术》对中国数学的影

响之一，是完备的分数体系阻碍了小数的

普及。”

　　在我国第一部数学专著《九章算术》中，使用了完整的

分数体系解算数学问题，使人们感到似乎有了分数就行，不

必要再引入小数了。

　　直到元代的刘瑾，才把小数的研究向前推进了一步。他

在《律吕成书》中，最早提出了小数表示法。他把小数部分

降低一格来写。比如106368.6312写成：

麦斯部落格

反演法与方程

　　从已知条件逐步往回推的数学方法叫反演法，古印度数

学家经常使用它来解数学题。

　　印度数学家大阿利耶波多在 6世纪曾给出类似下述的问

题：带着微笑眼睛的美丽少女，请你告诉我，什么数乘以 3，

加上这个乘积的 3/4，然后除以 7，减去此商的 1/3，减去

52，加上 8，除以 10，得 2？

　　根据反演法，我们从 2这个数开始往回推，凡是加，你

就减；凡是乘，你就除。于是有：

　　可以算出最后的数是 128。

　　看起来用反演法解这个题还是比较麻烦。咱们试着用方

程来解解看，会不会更简便？

　　设这个数为 x，根据问题我们可以直接列出方程：

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师说

正讲数学

数学，无处不在

生活中的数学

数学与军事

漫说数学

　　有这样一个真实的故事：一所城

市小学的一年级新生入学测试，老师

问一个从未到过农村的孩子：“你知道

吃的米和面是从哪里来的？”“是从粮

店买来的。”“粮店里的粮是从哪里来

的呢？”“不知道”。你觉得可笑吗？

　　其实，虽然今天你已经是快要毕业的六年级学生了，如

果提出一个类似的问题：“数学是从哪里来的？”你会不会认

为是从教科书上来的呢？或者是从数学家的头脑里想出来的

呢？那么，数学到底是从哪里来的呢？你知道吗？你能说清

楚吗？

数学，你从哪里来？（一）

　　你可知道，所有的数学知识，包括算术、几何、代数、

三角等，都是人类从远古经过长期的生活实践才获得的。人

类在地球上已经生活了二、三百万年，可是直到二、三万年前，

才建立起初步的数和形的概念，积累了一点数学知识，这就

是我们刚入学时学的那些最简单的数与形。现在从小学到中

学所学的算术、几何、代数、三角，直到 400 年前，也就是

公元十六世纪才完备起来。这就是说，你在学校的几年里，

学完了人类二、三百万年里通过生活实践积累起来的数学知

识！这真是了不起！可是，当你回忆当初扳手指头数数的时

候，你是不是感到当时真是太幼稚了呢？

　　一些国家和民族对某些自然数有特殊的情感，表现出不

同的好恶，反映出不同民族的习俗和文化背景，真是一件趣事。

　　1. “从无到有”与“黑暗”的“一”

　　中国古人认为，万物均由天地阴阳交感而成，形成了道

生一，一生二，二生三，三生天地，天地生阴阳，阴阳生万

物的数学关系观。“一”的意义成了“从无到有”，而在 3000

年前的巴比伦数学中，“1”是一个不祥的数字，1万称为“黑

暗”，1万万则是“黑暗的黑暗”。

　　2. 走向成功的“三”

　　中国古人认为，“二三”是一个成功的数字。史记云：“数

始于一，终于十，成于三”，《老子》则说：“道生一，一生二，

二生三，三生万物。”亚里士多德说：“人类所需要的知识有三：

理论、使用、鉴别。”法国生物学家巴斯德说：“立志、工作、

成功是人类活力的三大要素。立志是事业之门，工作是登堂

数学对联中的哲理

　　下面两幅和数学有关的对联，既有着数学的含义，又道

出了生活的真谛。你能体会里面的意境么？

加减乘除谋算千秋功业，

点线面体描绘四化蓝图。

磨练如几何曲线，

幸福似小数循环。

得 2 除以 10 2×10 加上 8 2×10－8 减去 52 2×10－8＋52

减去此商的1/3 （2×10－8＋52）×23

除以 7 （2×10－8＋52）×23×7

加上这个乘积的3/4 （2×10－8＋52）×23×7÷（1＋

34）

乘以 3 （2×10－8＋52）×23×7÷（1＋

34）÷ 3

[x×3×（1＋43）÷ 7×（1－

31）－52＋8]÷ 10＝2

　　接下来，我们很容易解出 x＝128。

　　看，用方程解题是不是思路清晰，简便很多？

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130

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　　15世纪上半叶，伊朗数学家阿尔•卡西在《圆周的论文》

里，第一次发现了小数，并且给出了小数乘、除法的运算法

则。他使用垂直线把小数中的整数部分和小数部分分开，在

整数部分上面写上“整的”。有时他把整数部分用黑墨水

写，而小数部分则写成红色的。这个半边黑半边红的数就是

小数。1593年在罗马出版了克拉维斯的《星盘》一书，书中

第一次使用小数点“.”来作为整数部分和小数部分的分界。

　　任何分数都可以化成有限小数或无限循环小数，但是小

数中的无限不循环小数却不能化成分数，所以说小数是比分

数范围更广的数。

◆负数

　　自然数都比零大。那么，有没有比零小的

数呢？有，这种数叫做“负数”。比0小l的数

记为－l，比0小2的数记为－2。这里，“－”

号是性质符号，叫负号。负数可以用来表示相

反意义的量，譬如把零上5摄氏度记作5℃，那

么零下5摄氏度就可以记作－5℃。

　　有了负数以后，不仅大数能减小数，小数也能减大数，

减法运算变得通行无阻了。在小学里，两个数的和一定比加

数大，有了负数以后，这个结论就变得没有意义了，两个数

相加，有时候还会越加越小呢！

　　历史上，人们对负数是不那么服气的，直到16世纪，欧

洲大多数的数学家都还不承认负数。他们觉得，0就是“什么

也没有”，有什么东西能够比“什么也没有”还小呢？德国

数学家史提非大声嚷叫：“负数是‘虚伪的零下’，仅仅是

些记号而已。”法国数学家帕斯卡则忿忿地说：“从0减去4

纯粹是胡说八道。”英国数学家瓦里斯更有趣，他说：“负

数并不比零小，而是‘比无穷大数还要大’。”

　　围绕负数问题，欧洲数学家争论了很长的时间，而在此

之前的1000多年，印度数学家就已经发现了负数。公元625

年，婆罗摩及多在印度最先提出了负数概念。他用“财产”

表示正数，用“欠债”表示负数，并用它们来解释正负数的

加减法运算。不过，世界上最先发现负数的人，并不是印度

数学家。比婆罗摩及多早几百年，我国古代数学名著《九章

算术》里已明确指出：如果“卖”是正，则“买”就是负；

如果“余钱”是止，则“不足钱”就是负。在世界上最先对

负数概念作出了合理的解释。

　　公元263年，我国数学家刘徽注释《九章算术》时进一步

明确指出：两种得失相反的数，分别叫做正数和负数。《九

章算术》还最早提出了正负数的加减法则，书中叫“正负

术”，共有8条，除了名词与现在不一样以外，已与现在的正

负数加减法则完全一致。

　　负数概念的产生，是世界科学史上重大的发现，也是我

国人民对数学发展作出的一项重大贡献。

刘徽

　　如果 a＝b 且 b，a＞0，则 1＝2。

　　证明：

　　1 ） a ，b＞ 0 已知

　　2 ） a＝b 已知

　　3 ） ab＝ b2 第 2 步“＝”的两边同“×”

　　4 ） ab－ a2＝ b2－ a2 第 3 步“＝”的两边同“－”

　　5 ） a（b－a）＝（b＋a）（b－a） 第 4 步的两边同时分解

因式

　　6 ） a ＝（b＋a） 第 5 步“＝”的两边同“÷”（b－a）　　7 ） a＝ a＋a 第 6 步替换

　　8 ） a＝2a 第 7 步同类项相加

　　9 ） 1 ＝ 2 第 8 步“＝”的两边同“÷”a

1＝2 ？

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　　狐狸、小熊、小鹿、小猴正在分它们得到的一千克饼。

怎样分好呢？狡猾的狐狸说：“饼不多，我少分一点吧！先把

饼的 20％给我，小猴从我分剩的饼中分 25％，小鹿从小猴分

剩的饼中分 30％，小熊再从小鹿分剩下的饼中分 35％，最后

剩下的一点点给我，怎么样？”大家觉得狐狸分得最少，就

同意了。可最后发现狐狸分得的饼最多，差不多一半了。同

学们，你算出狐狸、小猴、小鹿、小熊各分多少饼，戳穿狐

狸的诡计么？

狐狸的诡计

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入室的旅程，旅程的尽头是成功。”法国天文学家戴布劳格林

总结自己经验有三大原则：广见闻，多阅读，勤实践。法国

文学家卢梭把读书分为三个步骤：储存、比较、批判。陈景润说：

“学习要有三心：—是信心，二是决心，三是恒心。”郭沫若期

望青年必须具有“三大基础”即思想基础、科学基础和语文

基础。