Effetto Compton

Giorgia Albani Fabio Colombo Jacopo Dalmasson Alessandra Gaeta

Laboratorio di Misure Nucleari e Subnucleari

26 settembre 2011

Abstract

Durante questa esperienza di laboratorio e stato effettuato uno studio delle osservabili relativeall’effetto Compton, verificando sperimentalmente la relazione tra l’angolo di scattering e l’e-nergia del fotone deflesso e misurando la sezione d’urto differenziale del processo.Nella seconda parte si e proceduto inoltre all’allestimento di un esperimento per la misura dellaparita del positronio.Vengono descritte sia le procedure di ottimizzazione e calibrazione eseguite nella fase preliminare,sia l’analisi dei risultati ottenuti.

1 Introduzione

L’ interazione dei fotoni con la materia avvienetramite tre modalita principali:

assorbimento fotoelettrico;

scattering Compton;

produzione di coppie.

Essendo i fotoni neutri, l’interazione non av-viene in modo continuo come nel caso delleparticelle cariche pesanti, bensı in maniera im-provvisa, con un trasferimento totale o parzialedi energia. A causa di questa caratteristica, ifotoni non sono rivelabili in modo diretto maunicamente tramite i prodotti secondari dellaloro interazione (nel nostro caso elettroni).La probabilita relativa dei tre processi elenca-ti precedentemente dipende sia dall’energia delfascio di fotoni incidenti, sia dal numero ato-mico Z del materiale di assorbimento. In par-ticolare, ciascuno di essi e dominante in rangeenergetici piuttosto differenti, che possono va-riare da qualche centinaio di keV nel caso del-l’effetto fotoelettrico, fino ad energie superiori

a 5 MeV per la produzione di coppie. L’effet-to Compton risulta essere piu probabile per leenergie intermedie ( 100 keV - 5 MeV) tipi-che delle sorgenti di radioisotopi (vedi figura1) [1].

Figura 1: Dipendenza della sezione d’urto dal nu-mero atomico Z e dall’energia del fotone inciden-te (hν). Le curve di livello rappresentano i valoridi Z e hν per i quali i due effetti adiacenti sonoequiprobabili.

1

1.1 Effetto Compton

Nell’effetto Compton l’interazione avviene traun fotone incidente e un elettrone del mate-riale assorbitore, che si ipotizza essere inizial-mente libero e a riposo. Il processo e descrittoidealmente dalla relazione sintetica:

γ + e− → γ + e−

e dai diagrammi di Feynman seguenti:

e−

γ

γ

e−

e−

γ

e−

γ

Figura 2: Diagrammi di Feynman per lo scatteringCompton.

Come risultato dell’interazione il fotone trasfe-risce parte della sua energia all’elettrone delmateriale, che rincula, e viene deflesso di unangolo θ rispetto alla direzione iniziale di inci-denza (vedi figura 3).

qn

n'

h

h

e -

Figura 3: Rappresentazione pittorica dello scatte-ring Compton.

Applicando al processo le leggi di conser-vazione di energia e momento, si ottieneche l’energia che rimane al fotone in seguitoall’interazione e data da:

hν ′ =hν

1 +hν

mec2(1− cos θ)

. (1)

dove hν e l’energia iniziale del fotone incidentee me e la massa dell’elettrone.Definendo per brevita α = hν/mec

2, dall’e-quazione precedente risulta evidente come hν ′

vari a seconda dell’angolo di deflessione, pas-sando da un valore minimo pari a hν/(1 + 2α)

(quando θ = π) ad un valore massimo pari al-l’energia iniziale hν (se θ = 0).La sezione d’urto differenziale, per fotoni nonpolarizzati diffusi in un elemento di ango-lo solido dΩ, e predetta dalla formula diKlein-Nishina [1][2]:

dσ

dΩ= Zr2

0

[1

1 + α (1− cos θ)

]2 [1 + cos2 θ

2

]·[

1 +α2 (1− cos θ)2

(1 + cos2 θ) [1 + α (1− cos θ)]

](2)

dove r0 e il cosiddetto “raggio classico dell’elettrone”, definito come:

r0 =1

4πε0

e2

mec2

con ε0 permittivita elettrica nel vuoto ed e ca-rica dell’ elettrone.In figura 4 e riportata la distribuzione ango-lare, in coordinate polari, della sezione d’urtoper fotoni incidenti aventi diverse energie.

Figura 4: Plot, in coordinate polari, della sezioned’urto in funzione dell’angolo di deflessione. I di-versi colori corrispondono alle diverse energie deifotoni incidenti.

Finora e stato assunto che l’elettrone possa es-sere considerato libero; in realta, essendo al-l’interno di un materiale, esso e sempre in qual-che modo legato. Questa energia di legame

2

puo avere effetto visibile sulla forma del conti-nuum, specialmente a basse energie del γ inci-dente. L’effetto pero e spesso mascherato dallarisoluzione energetica finita dei rivelatori.

2 Setup Sperimentale

2.1 Tecnica Sperimentale

La procedura sperimentale adottata per lo stu-dio dello scattering Compton consiste nel farincidere un fascio di fotoni su un materiale chene provochi la diffusione (scatteratore).Un rivelatore posto a vari angoli rispetto alladirezione di volo iniziale del fotone riveste lafunzione di spettrometro, permettendo di ve-rificare la relazione energia/angolo (equazione1) e la Klein-Nishina (equazione 2).I fotoni provengono da una sorgente radioat-tiva di 22Na, il quale decade β+ (BR 90.5%,t1/2 = 2, 6y, Q-value = 2842 keV) su un nu-cleo eccitato di 22Ne∗, emettendo un positrone.Quest’ultimo forma uno stato legato (positro-nio) con uno degli elettroni circostanti, a ripo-so nel sistema del laboratorio. Il positronio hauna vita media che varia da 10−10s a 10−7s,a seconda dell’orientazione relativa degli spindell’elettrone e del positrone (para-positronioo orto-positronio). Successivamente, i due co-stituenti si annichilano producendo, nel casodel para-positronio, due fotoni back-to-backaventi un’energia nel centro di massa di 511keV ciascuno1.La diseccitazione elettromagnetica del nucleodi 22Ne∗ sul ground-level, che puo essere con-siderata contemporanea rispetto al processoprecedente, provoca l’emissione di un ulteriorefotone avente un’energia di 1274 keV.I due processi in cascata sono sintetizzati nel-le relazioni 3 e 4 e nel diagramma dei livellienergetici riportato in figura 5. L’utilizzo deifotoni provenienti dall’annichilazione del po-sitronio permette di associare ai fotoni diffusiverso il rivelatore che svolge la funzione dispettrometro (indicato con (A) nello schema

di figura 6) un’informazione sia di tipo energe-tico che direzionale.

22Na→22 Ne∗ + e+ + νe (3)

22Ne∗ →22 Ne + γ (1274 keV) (4)

Na

Ne

22

22

Ne22 *

2842 keV

keV1274( )

+b

g

Figura 5: Schema di decadimento del 22Na.

Questa fondamentale proprieta rende possibi-le l’esecuzione di una misura di coincidenzatemporale, tramite l’utilizzo di un secondo ri-velatore (B) posizionato in direzione oppostarispetto allo scatteratore. L’impostazione diuna finestra di accettanza centrata attornoal valore di 511 keV2 permette di selezionareesclusivamente il range energetico di interesse:quando un fotone avente un’energia contenutain questo intervallo viene rivelato dal detector(B), l’acquisizione del segnale al primo rivela-tore e permessa dall’apertura di un gate.Dal momento che, in prima approssimazione,il sistema di riferimento del centro di massadel positronio coincide con quello del labora-torio, i due fotoni vengono emessi con la stessaenergia e in direzioni collineari: in questo mo-do e possibile associare l’informazione relativaall’energia iniziale anche al fotone diffuso.Il segnale raccolto all’uscita del primo rivela-tore viene in seguito digitalizzato e inviato allacatena di elaborazione successiva.Uno schema essenziale dell’apparato sperimen-tale cosı descritto e rappresentato in figura 6.

1La probabilita di decadimento in un numero maggiore di fotoni (4,6..) decresce rapidamente all’aumentare delnumero stesso e puo dunque essere trascurata.

2Per una descrizione pratica relativa all’impostazione della finestra energetica si rimanda al paragrafo 2.2.

3

Formatore

Formatore

Gate

SpettroDigitaliz.Rivelatore

Rivelatore

A

B

Figura 6: Rappresentazione schematica dell’ap-parato sperimentale utilizzato per lo studio delloscattering Compton.

2.2 Apparato Sperimentale

Il setup sperimentale e costituito da due scin-tillatori cilindrici TeleDyne NaI(Tl) aventi undiametro rispettivamente di 2′′ e 3′′, un ampli-ficatore ORTEC modello 570, un amplificatoreTISCA Silena modello 7616, un MultichannelAnalyzer (MCA) e un high voltage supply perl’alimentazione dei fototubi collegati agli scin-tillatori.La sorgente radioattiva di 22Na ha un’attivitanominale, misurata al momento dell’acquisto(2008), pari a 380 kBq.Uno schema dell’apparato sperimentale e rap-presentato in figura 7.

Figura 7: Schema della disposizione dell’apparatosperimentale. I valori degli angoli tra lo scatterato-re e lo scintillatore da 3′′ sono, rispettivamente, θ

2e θ.

Lo scintillatore da 2′′ viene utilizzato come ga-te ed e posto a una distanza di 78 cm dallasorgente. In questo modo e possibile ridurre alminimo l’angolo solido di accettanza del fotoneche provoca l’apertura del gate. Cosı facendo siha un miglior controllo della geometria e unamigliore selezione degli eventi. Cio tuttaviacomporta un abbattimento del rate di coinci-denze e quindi del campionamento dei dati: a

parita di statistica sara quindi necessario au-mentare i tempi di misura.In prima approssimazione i tempi di misurascalano infatti come le distanze dalla sorgenteal quadrato:

N1 = N2 → Rd2

r21

∆t1 = Rd2

r22

∆t2

∆t1∆t2

=

(r1

r2

)2

dove N1,2 sono i conteggi alle distanze r1,2, de il diametro dello scintillatore e R e il rate diemissione del fotone da 511 keV su un angolosolido di 4π steradianti (vedi figura 8).

Figura 8: Riscalamento degli angoli solidi.

Lo scatteratore consiste in un blocchetto dipiombo (materiale che, grazie all’alta densitae all’alto Z, favorisce l’effetto Compton per fo-toni dell’energia di alcune centinaia di keV)avente le dimensioni di 7x5x4cm3. Esso e po-sto collinearmente con il primo scintillatore ela sorgente, ad una distanza di 21 cm da que-st’ultima.Il punto di incontro tra la retta che passa perlo scintillatore e la sorgente e la superficie delblocchetto di piombo rappresenta il vertice del-l’angolo di deviazione Compton (θ).Il secondo scintillatore da 3′′ e posizionato avari angoli per poter analizzare gli spettri didiffusione.Ad ogni campionamento lo scatteratore vieneposto ad un angolo pari a θ/2. In questo modosi ottimizza la diffusione all’angolo desideratoe si minimizza l’assorbimento interno dei foto-ni da parte dello scatteratore stesso.

4

Siccome solo i fotoni scatterati sono considera-ti eventi di segnale, e importante fare in modoche la sorgente non irraggi direttamente sul-lo scintillatore dedicato alla spettroscopia. Incaso contrario, infatti, si otterrebbe uno spet-tro dominato dai fotoni del 22Na che vengonoaccettati casualmente all’interno della finestradel gate.Per evitare cio, di volta in volta, e stato postoun blocco di piombo spesso una decina di cen-timetri (buon attenuatore gamma) sulla lineasorgente/scintillatore da 3′′. Quest’elemento esempre stato collocato alla stessa distanza del-lo scatteratore, in modo tale da abbattere ladoppia diffusione Compton verso lo scintillato-re3.Infine, per ridurre il fondo dovuto alla radioat-tivita naturale (rappresentato essenzialmenteda muoni cosmici), e stata costruita attornoallo scintillatore da 3′′ una schermatura for-mata da mattonelle di piombo. La presenza diquesta comporta la comparsa sullo spettro delpicco di fluorescenza X del Pb, ad un’energiapari a 79 keV.Ai due scintillatori viene poi collegata la cate-na di formatura ed elaborazione del segnale.Entrambi presentano due stadi successivi iden-tici: uno di moltiplicazione, costituito dai duefotomoltiplicatori, e l’altro di preamplificazio-ne, allo scopo di convertire la carica liberataall’interno dello scintillatore in un segnale ditensione. All’uscita del preamplificatore il se-gnale generato viene inviato al sistema di am-plificazione vero e proprio che, in questo caso,risulta differenziato per i due segnali.Il ramo uscente dallo scintillatore A, adibito aspettroscopia, viene formato dall’amplificatoreORTEC 570, il quale garantisce che il segnalestesso sia quanto piu possibile pulito, ottimiz-zandone dunque il rapporto segnale/rumore.Il segnale uscente dal preamplificatore delloscintillatore B, dovendo comandare l’apertu-ra del gate, viene inviato ad un TISCA Sile-na. In questo caso infatti il segnale deve essereformato in modo veloce e sincronizzato al ra-

mo A, privilegiando quindi l’informazione ditipo temporale rispetto a quella energetica, inquanto quest’ultima e necessaria solo per la se-lezione dell’evento. A tale scopo sul TISCA so-no state impostate una soglia minima (LE) euna finestra energetica (∆E). In realta cio cheviene selezionato e un range di ampiezza del-l’impulso in Volt; il dato puo essere considera-to del tutto equivalente ad un’energia in quan-to, una volta digitalizzato, il segnale mantieneuna proporzionalita tra ampiezza dell’impulsoe energia dell’evento.Per impostare i valori di LE e di ∆E e statoacquisito uno spettro tramite lo scintillatore da2′′, ponendo quest’ultimo in coincidenza con sestesso. I livelli sono poi stati regolati in ma-niera tale che solo il picco da 511 keV sia con-tenuto all’interno della finestra di accettanza.Ogni volta che un impulso appartiene al rangeselezionato, il TISCA genera un’onda quadrache, insieme al segnale in uscita dal ramo A,entra nella scheda MCA ORTEC. L’onda qua-dra consente l’apertura del gate che permettel’elaborazione del segnale proveniente dal rive-latore A all’interno del Multichannel Analyzer.Infine, lo spettro viene visualizzato sul ter-minale tramite il software di acquisizioneMaestro.

3 Caratterizzazione della ca-tena elettronica

Per effettuare le misure nelle migliori condizio-ni possibili, la prima parte dell’esperimento estata dedicata all’ottimizzazione della catenaelettronica.

3.1 Tensione di lavoro

Nel caso ideale in cui l’apparato sperimentalemisurasse con infinita precisione l’energia rila-sciata da particelle monoenergetiche, lo spettrodifferenziale assumerebbe la forma matemati-ca di una “delta di Dirac”.In realta il picco ha una larghezza finita, il cui

3Il processo risulta essere di per se fortemente abbattuto, in quanto la sezione d’urto per un doppio Compton agrande angolo e molto bassa.

5

valore e piu o meno grande a seconda della peg-giore o migliore risoluzione del rivelatore. Larisoluzione e definita, nel nostro caso, come ilrapporto tra la larghezza a meta altezza delpicco (FWHM) e l’energia del picco stesso:

R =FWHM

Epeak

Il peggioramento della risoluzione in energiadel sistema e imputabile principalmente a tretipi di cause:

Contributo statistico associato al fattoche la carica Q liberata nel rivelatore inseguito all’interazione del fotone con ilfotocatodo e una quantita discreta co-stituita da portatori di carica elementa-ri (fotoelettroni) il cui numero n e sog-getto a variazioni casuali, secondo unadistribuzione poissoniana.

Rumore elettronico in serie o paralle-lo provocato dalle componenti passive edalla capacita del rivelatore.

Variazioni nell’efficienza di raccolta deifotoelettroni all’anodo del fototubo.

In linea generale, la larghezza a meta altez-za complessiva del picco sara quindi data dallasomma in quadratura dei diversi contributi allarisoluzione limitata del detector:

FWHM2tot = FWHM2

st + FWHM2noise + . . .

Dato che le fluttuazioni statistiche non posso-no essere completamente eliminate, cio che sideve fare e aumentare l’efficienza di raccoltadelle cariche e minimizzare il rumore dei com-ponenti elettronici.L’obiettivo e quello di determinare la tensionedi lavoro alla quale la larghezza a meta altezzadei picchi a 511 keV e 1274 keV del 22Na ri-sulta essere minima. Il punto di lavoro sceltodeve inoltre far sı che gli inevitabili drifts del-la tensione non causino variazioni significativenella risposta dei rivelatori.Effettuando misure a differenti voltaggi si puocostruire una curva della risoluzione degli scin-tillatori in funzione della tensione di alimenta-zione del fototubo.

Per ogni voltaggio si e acquisito uno spettro (li-ve time = 100 s) ricavando, tramite il softwaredi acquisizione, la larghezza a meta altezza eil massimo dei due picchi in unita di canali delMCA. L’errore sul valor medio e ricavato dal-la FWHM nell’ipotesi che la distribuzione deiconteggi sia gaussiana, secondo la relazione:

FWHM = 2.35σ

L’errore sulla larghezza a meta altezza vie-ne invece calcolato attraverso la propagazionedegli errori a partire dalle incertezze sulle σ,secondo la relazione:

σσ =1√

2(η − 1)(5)

dove η e il numero dei conteggi contenuti nelpicco.I risultati per il rivelatore NaI3′′ sono mostratinel plot di figura 9 per entrambi i picchi delSodio-22.

Tensione [V]600 650 700 750 800

peak

FWH

M/E

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

Risoluzione vs. Tensione PM - NaI(Tl) 3''

511 keV peak

1274 keV peak

Figura 9: Risoluzione in funzione della tensione dialimentazione del fototubo, per lo scintillatore da3′′.

Per il rivelatore da 3′′ e stata scelta una ten-sione di alimentazione pari a 820 V.Non avendo la possibilita di regolare in manie-ra indipendente le due uscite dell’high voltagesupply che alimentano i due fototubi, si e vin-colati a scegliere un’unica tensione di lavoroper entrambi gli scintillatori. In realta il cal-colo della tensione di lavoro ottimale si rendestrettamente necessario solo per lo scintillato-re utilizzato per l’acquisizione degli spettri di

6

energia (NaI3′′): agendo lo NaI2′′ solo da gate,infatti, non e indispensabile che esso lavori alvoltaggio ideale. Tuttavia, per verificare cheil punto di lavoro scelto non si discosti ecces-sivamente da quello ottimale per lo NaI2′′ , lamedesima procedura e stata ripetuta ancheper quest’ultimo.I risultati sperimentali sono riportati nel plotdi figura 10.

Tensione [V]600 650 700 750 800 850 900

peak

FWH

M/E

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

Risoluzione vs. Tensione PM - NaI(Tl) 2''

511 keV peak

1274 keV peak

Figura 10: Risoluzione in funzione della tensionedi alimentazione del fototubo, per lo scintillatore da2′′.

Per assicurarsi che entrambi i fotomoltiplicato-ri lavorino ad una tensione sufficiente a garan-tire la raccolta di tutte le cariche prodotte, so-no state inoltre effettuate misure di conteggioal variare dell’alimentazione dei fototubi. Conla medesima configurazione descritta prece-dentemente si ricava, tramite il programma diacquisizione, il numero di eventi sottesi ai pic-chi corrispondenti rispettivamente a 511 keV e1274 keV. Nota la durata dell’acquisizione, sene calcola il rate in conteggi al secondo (cps).I risultati sono riportati in figura 11 e 12 perentrambi i rivelatori.

Tensione [V]500 550 600 650 700 750 800 850 900

Net

Rat

e [c

ps]

0

50

100

150

200

250

300

350

400

Net Rate picco vs. Tensione PM - NaI(Tl) 2''

511 keV peak

1274 keV peak

Figura 11: Rate di eventi alle energie di 511 e 1274keV in funzione della tensione di alimentazione delfototubo, per lo scintillatore da 2′′.

Le incertezze sono state stimate nell’ipotesiche i conteggi contenuti in ciascun picco se-guano una distribuzione poissoniana, aventevalor medio η e deviazione standard

√η.

Il risultato ottenuto per lo scintillatore da 2′′

presenta il tipico andamento a sigmoide ca-ratteristico delle efficienze: al crescere dellatensione di alimentazione, il rate di eventi au-menta per entrambe le energie fino a stabiliz-zarsi sul plateau attorno ai 700 V.Lo scintillatore da 3′′ invece lavora in condi-zioni stabili a tutte le tensioni testate.

Tensione [V]600 650 700 750 800

Net

Rat

e [c

ps]

200

300

400

500

600

700

800

900

Net Rate picco vs. Tensione PM - NaI(Tl) 3''

511 keV peak

1274 keV peak

Figura 12: Rate di eventi alle energie di 511 e 1274keV in funzione della tensione di alimentazione delfototubo, per lo scintillatore da 3′′.

7

3.2 Calibrazione

Il segnale di tensione analogico viene conver-tito, tramite un Analog to Digital Converter(ADC), in un segnale digitale, il quale vieneconteggiato in uno dei canali del MCA e visua-lizzato in un istogramma. E’ necessario corre-lare la posizione nell’istogramma con il valoredi energia rilasciata nel rivelatore, ovvero ef-fettuare una calibrazione energetica.Cio puo essere fatto utilizzando una sorgen-te multigamma avente picchi caratteristici dalvalore noto e registrando la loro posizione nel-lo spettro in canali. La sorgente multigammautilizzata contiene i seguenti isotopi:

241Am (59.9 keV);

137Cs (661.6 keV);

60Co (1173.2 keV e 1330 keV);

La procedura di calibrazione dell’apparato spe-rimentale e stata ripetuta periodicamente nelcorso dell’intera attivita di laboratorio.In figura 13 viene riportato lo spettro di con-teggi, ottenuto dal MCA, per una campagnadi misura con la sorgente multigamma aventela durata di 864 s.

Entries 1799Mean 250.7RMS 326.7Underflow 0Overflow 0

Channel0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

Eve

nts/

bin

1

10

210

310

410Entries 1799Mean 250.7RMS 326.7Underflow 0Overflow 0

calibrazione6maggio.Spe

Figura 13: Spettro dei conteggi ottenuto con il ri-velatore da 3′′ e la sorgente multigamma; ogni bincorrisponde ad un canale del MCA. Il picco adenergia maggiore (attorno al canale 1350) e causatodal 40K del fondo ambientale.

Purtroppo gli spettri grezzi in formato ASCII,esportati dal software di acquisizione Maestroe utilizzati per l’analisi dati, riportano sempli-cemente il numero di conteggi per singolo ca-

nale, indipendentemente dall’informazione ditipo energetico che e stata associata al canalestesso durante la calibrazione. Si pone quindiil problema di come estrarre dai risultati (incanali) che verranno successivamente ottenu-ti dall’analisi-dati sugli spettri (posizione delpicco di scattering e sigma della gaussiana) uncorrispondente valore di energia.La soluzione scelta e stata quella di ricavare inmaniera esplicita la curva di calibrazione (poli-nomiale di secondo grado) i cui parametri sonostati calcolati implicitamente da Maestro du-rante la calibrazione con la sorgente multigam-ma e di servirsi poi di tale curva per eseguirela conversione desiderata.In primo luogo, dagli spettri di calibrazione sisono estratti, per un certo numero di canali,i valori di energia ad essi associati. Con talivalori si e poi costruito un grafico energia vs.canale i cui punti sono stati fittati servendosidi una funzione del tipo:

f(x) = p2 · x2 + p1 · x+ p0 (6)

La conoscenza dei parametri p0, p1 e p2, rica-vabili dai risultati del fit, permette di ricostrui-re in maniera univoca la curva di calibrazione.Si tratta sostanzialmente di una procedura deltutto equivalente a quella seguita da Maestronell’elaborazione dei valori (noti) di energiache vengono inseriti manualmente dall’utentedurante la calibrazione ordinaria con una sor-gente radioattiva [3].

Channel100 200 300 400 500 600

Ene

rgia

[ke

V]

100

200

300

400

500 / ndf 2χ 3.818e-05 / 7

Prob 1p0 -3.215p1 0.9503p2 8.191e-05

/ ndf 2χ 3.818e-05 / 7Prob 1p0 -3.215p1 0.9503p2 8.191e-05

Calibrazione 6 Maggio 2011

Figura 14: Relazione canale-energia per lacalibrazione effettuata il 6 Maggio.

8

A titolo esemplificativo, in figura 14 sono ripor-tati i punti ottenuti e la polinomiale ricavatadal fit, per una generica calibrazione effettua-ta durante l’attivita sperimentale. Gli errorisull’asse delle ascisse sono stati posti pari a 10canali.

3.3 Shaping time e guadagno

Lo shaping time e il tempo impiegato dagli am-plificatori per formare il segnale long tail pro-veniente dai preamplificatori dei due rivelatori.Una corretta scelta dei tempi di formatura eindispensabile ai fini dell’esperimento. Avendoi due rivelatori le stesse caratteristiche (stessocristallo, stesso fotocatodo, e stesso PM), i dueimpulsi all’uscita del preamplificatore sono inprima approssimazione contemporanei.Ai due amplificatori vengono tuttavia asse-gnati tempi di formatura differenti, a secondadella natura dei due segnali che devono essereformati e del loro scopo finale.Per il segnale che regola l’apertura del gatesi e scelta una formatura a 0.5µs, che, nono-stante sia caratterizzata da un rapporto segna-le/rumore svantaggioso, privilegia una rapidainformazione di tipo temporale. Il TISCA ge-nera infatti un impulso di gate che parte 0.2µsdopo il raggiungimento del massimo del segna-le.Per il segnale proveniente dal rivelatore NaI3′′

sono state testate sia la formatura a 2µs chequella a 1µs. Il Multichannel Analyzer in do-tazione necessita che il gate rimanga aper-to almeno 0.5µs dopo il raggiungimento delmassimo, per la corretta digitalizzazione delsegnale proveniente dal 3′′ [4]. Tenendo inconsiderazione questa caratteristica della stru-mentazione, si e quindi scelto di utilizzare unaformatura a 1µs.In figura 15 sono rappresentate le formaturedei segnali provenienti da entrambi gli scintil-latori, gli istanti di inizio e di fine dell’impulsoin uscita dal gate e il tempo minimo (tmin)di apertura della finestra necessario per unacorretta digitalizzazione del segnale prodotto

dal rivelatore utilizzato per la spettroscopia.

t1ms ms2

t1,2ms

Ampl[a.u.]

ms3,2

tmin=2,5ms

Figura 15: In blu, il segnale in uscita dallo scintil-latore da 2′′ utilizzato per regolare l’apertura del ga-te; in rosso il segnale prodotto dal rivelatore da 3′′.L’onda quadra piu in basso rappresenta l’impulsoin uscita dal TISCA.

Per il valore di apertura della finestra si e scel-to quindi un valore pari a 2µs.Il guadagno (gain) di entrambi gli amplificato-ri e stato fissato al valore minimo, in modo chela parte dello spettro di interesse sia contenutanella regione centrale del MCA.

4 Effetto termico

Durante la fase preliminare dell’esperimento sie inoltre proceduto a caratterizzare la variazio-ne della risposta del rivelatore causata da un’e-ventuale modifica della temperatura esterna diutilizzo. In questo modo e stato possibile forni-re una stima grezza del comportamento delloscintillatore in funzione dell’andamento dellatemperatura del laboratorio.A tale scopo, si e scelto di eseguire una se-rie di acquisizioni sequenziali, tutte della me-desima durata e separate da un intervallo ditempo fissato, da effettuarsi durante la pau-sa accademica invernale (un periodo di circa15 giorni durante il quale il riscaldamento del-l’aula adibita all’attivita sperimentale e rima-sto spento). Cio ha permesso di monitorarela variazione della risposta dello scintillatore,mentre la temperatura del laboratorio scende-

9

va progressivamente, passando da 25°C circafino ad arrivare all’equilibro termico con l’am-biente esterno.Dopo aver alimentato lo scintillatore da 3′′ al-la tensione ottimale (si veda la sezione 3.1) eaver posizionato di fronte ad esso la sorgenteradioattiva di 22Na, sono state programmate elanciate, tramite il software di interfaccia Mae-stro, 60 acquisizioni della durata di un’ora cia-scuna, intervallate da 5 ore di pausa tra ognimisura e la successiva. A run concluso, si eproceduto all’analisi degli spettri ottenuti, va-lutando per ciascuno di essi sia la posizione deidue picchi del 22Na che la rispettiva larghezzaa meta altezza (FWHM).

4.1 Risultati sperimentali

In figura 16 e riportata, per alcuni dei 60 spet-tri raccolti, la differenza in canali (∆peaks) trala posizione del picco a 1274 keV e quella delpicco a 511 keV del 22Na.

# sample0 10 20 30 40 50 60

[ch

.]pe

aks

∆

880

890

900

910

920

930

940

950

Graph

Figura 16: Separazione relativa, in canali, tra laposizione dei due picchi principali del 22Na.

Si osserva chiaramente come, con il diminuiredella temperatura, venga introdotto un leggeroguadagno nella risposta dello scintillatore, chesi manifesta in un aumento progressivo delladistanza relativa tra i due picchi.L’errore statistico sulla misura della posizio-ne di ciascun picco e valutato come errore sulvalor medio

σx =σ√η

dove la σ e ricavata dalla larghezza a meta al-tezza della gaussiana ed η e il numero di con-teggi del picco stesso.Dal momento che il rate di misura e conside-revole (circa 1500 cps per il picco a 511 keV),la durata relativamente elevata di ogni singolaacquisizione permette di ottenere una precisio-ne statistica notevole sulla posizione del picco.L’errore sulla stima della posizione assoluta equindi posto pari ad 1 canale.Per facilitare una stima quantitativa dello spo-stamento, i risultati sperimentali sono stati ri-portati in figura 17 come variazione percen-tuale tra la posizione occupata dai due picchidel 22Na nello spettro i-esimo e la posizionedei medesimi nel primo spettro della serie diacquisizioni (spettro 0-esimo), preso come rife-rimento per i successivi.Dal grafico si puo notare come l’effetto sul-la posizione si manifesti in uno spostamentoverso energie piu elevate, che cresce progres-sivamente seguendo un andamento a sigmoi-de fino a raggiungere un massimo (circa il 7%del valore iniziale di riferimento) attorno al 37-esimo spettro raccolto (ovvero dopo poco piudi 9 giorni dall’inizio della presa dati). Succes-sivamente viene raggiunta una condizione distazionarieta (spettri 37-43) a cui segue unadecrescita graduale, con andamento specula-re rispetto a quello di crescita, dovuta alla ri-accensione dei riscaldamenti e al conseguenteaumento della temperatura del laboratorio.

# sample0 10 20 30 40 50 60

Spos

tam

ento

rel

ativ

o [%

]

0

1

2

3

4

5

6

7

511 keV peak

1274 keV peak

Figura 17: Spostamento relativo della posizionedei due picchi principali rispetto al riferimento delprimo spettro acquisito.

10

Allo stesso modo, e possibile rendersi conto delguadagno introdotto se si osserva l’aumentodella FWHM dei due picchi (figura 18). Anchein questo caso i dati raccolti sono espressi comevariazione percentuale rispetto alle larghezza ameta altezza dei picchi nello spettro 0-esimo.

# sample0 10 20 30 40 50 60

Spos

tam

ento

rel

ativ

o [%

]

0

1

2

3

4

5

6

7

511 keV peak

1274 keV peak

Figura 18: Aumento percentuale della larghezza ameta altezza.

5 Analisi geometrica e disper-sioni angolari

Per il calcolo della sezione d’urto differenzialedσdΩ e importante avere un buon controllo degliangoli. Ovviamente, dal punto di vista spe-rimentale, le sezioni d’urto sono calcolate suun angolo solido finito ∆Ω che corrisponde al-l’angolo solido di occupazione della base delrivelatore cilindrico. Tuttavia, se la dispersio-ne angolare attorno al valore di riferimento epiccola, questo ∆Ω puo essere una buona ap-prossimazione del dΩ infinitesimo.Per avere la minor dispersione angolare possi-bile, oltre ad aumentare le distanze tra i rispet-tivi componenti come gia discusso, si e scel-to di utilizzare come scatteratore un blocco dipiombo piu piccolo rispetto a quelli usati perla schermatura (7x5x4cm3).Le incertezze sulla misura dell’angolo sono cal-colate geometricamente come la massima de-viazione dall’angolo di scattering ideale indica-to dal goniometro (si veda l’appendice A per

il calcolo analitico esplicito). In realta l’erroree dato dalla convoluzione tra l’effetto dovutoall’occupazione spaziale finita dello scatterato-re e dello scintillatore, e la distribuzione dellasezione d’urto ai diversi angoli. Questo effet-to si renderebbe visibile in un’asimmetria delpicco verso energie maggiori, che tuttavia none stata riscontrata a causa della ridotta risolu-zione dello scintillatore utilizzato. Per questomotivo si e scelto di approssimare il picco conuna distribuzione normale.Un approccio alternativo potrebbe essere quel-lo di effettuare una simulazione Montecarlonella quale si parametrizzano le accettanze deidetector, in modo da avere un controllo mag-giore sugli effetti di volume dei vari dispositi-vi.

A

B

CO

D

E

P

q

NaI

Figura 19: Dispersione angolare (la figura non e inscala).

5.1 Stima dell’angolo solido

L’angolo solido ∆Ω e dato, per definizione,dalla formula seguente:

∆Ω =

ˆ∆θ

sin θdθ

ˆ∆ϕ

dϕ (7)

Si presti attenzione al fatto che in questo pa-ragrafo le variabili θ e ϕ non si riferiscono allafisica dello scattering Compton, ma sono sem-plicemente le due coordinate sferiche che de-finiscono l’angolo solido occupato dalla facciacircolare dello scintillatore.L’angolo polare θ ∈ [0; δ], dove δ e definita da:

δ = arctand

D(8)

con d raggio della superficie circolare del ri-velatore e D distanza tra lo scatteratore e ilrivelatore.L’angolo azimutale ϕ ∈ [0; 2π].

11

Si veda la figura 20 per una rappresentazionegrafica delle coordinate sferiche e della loroposizione reciproca.

2p

NaI

Dq

Figura 20: Calcolo dell’angolo solido, in rossol’ampiezza di θ.

Una volta valutate le ampiezze entro cui varia-no θ e ϕ, queste vengono poste come estremidegli integrali per il calcolo dell’angolo solido:

∆Ω =

ˆ δ

0sin θdθ

ˆ 2π

0dϕ = 2π(1− cos δ) (9)

6 Efficienza degli scintillatori

In linea di principio i detector dovrebbero ge-nerare un segnale ogni qual volta una particel-la interagisce all’interno del loro volume attivo.In questo caso ideale ai rivelatori si attribuisceun’efficienza pari al 100% (ε = 1).In realta i rivelatori hanno sempre un’efficien-za ε < 1, dovuta sia alla geometria sia al fattoche l’interazione dei fotoni con la materia e unfenomeno statistico.L’efficienza degli scintillatori puo essere defi-nita in due modi differenti: efficienza assoluta(εabs) ed efficienza intrinseca (εint).Nel caso di una sorgente isotropa le duerisultano essere legate dalla relazione:

εabs = εint ·Ω

4π(10)

L’efficienza assoluta viene definita come:

εabs =N impulsi registrati

N fotoni emessi da S(11)

dipende dalle proprieta del rivelatore e dallageometria del setup sperimentale, in particola-re dalla distanza tra la sorgente S e lo scintil-latore.L’efficienza intrinseca e invece definita come:

εint =N impulsi registrati

N fotoni incidenti(12)

dipende dal materiale del detector, dall’ener-gia dei fotoni incidenti, e dallo spessore del ri-velatore lungo la direzione di incidenza. Unaminima dipendenza dalla distanza tra sorgentee rivelatore permane poiche il cammino mediodella radiazione attraverso lo scintillatore variacon essa.E’ piu conveniente valutare εint piuttosto cheεabs, poiche la prima dipende in maniera piublanda dalla geometria del setup.Dalla definizione 11 e dalla relazione 10 si hache:

Nriv = Nemessi · εint ·Ω

4πIl rate degli eventi sottesi al picco da 511 keVe quindi dato da:

rriv = 2A(t) · BR · εint ·Ω

4π(13)

dove A(t) e l’attivita della sorgente al tempoattuale di misura, BR e il branching ratio (90.5%) del decadimento β+ del 22Na e il fattore duee dovuto alla doppia emissione dei fotoni back-to-back per ogni positrone.L’angolo solido Ω sotteso al rivelatore e statocalcolato con la formula 9.Al momento dell’acquisto, nel 2008, l’attivitadella sorgente (A0) era pari a 380 kBq; conside-rando che da allora sono passati circa 1.3 tempidi dimezzamento, si ha che l’attivita attuale e:

A(t = 1.3 t1/2) = A0e−1.3 ln 2 = A0 · 2−1.3

L’efficienza e stata stimata effettuando una se-rie di acquisizioni nelle quali si e fatta variarela distanza tra sorgente e rivelatore, in mo-do da ridurre progressivamente l’angolo solidosotteso dalla faccia dello scintillatore [5]. Il ra-te di conteggi contenuti nel picco da 511 keV e

12

plottato in funzione dell’angolo solido Ω, mol-tiplicato per le costanti indicate nell’equazione13. Un fit lineare permette di ricavare la co-stante di proporzionalita tra le due grandezze,corrispondente all’efficienza intrinseca εint delrivelatore.I risultati sono riportati in figura 21 per loscintillatore da 2′′ e in figura 22 per quello da3′′.

[cps]π4Ω × BR ×2A(t)

100 200 300 400 500

rate

[cp

s]

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220 / ndf 2χ 4.033 / 3

Prob 0.2579p0 1.239± -1.995 p1 0.00631± 0.4194

/ ndf 2χ 4.033 / 3Prob 0.2579p0 1.239± -1.995 p1 0.00631± 0.4194

NaI(Tl) 2''

Figura 21: Stima dell’efficienza intrinseca per ilrivelatore da 2′′.

[cps]π4Ω × BR ×2A(t)

200 400 600 800 1000 1200

rate

[cp

s]

100

200

300

400

500

600 / ndf 2χ 2.867 / 3

Prob 0.4126p0 2.126± 5.084

p1 0.004764± 0.5136

/ ndf 2χ 2.867 / 3

Prob 0.4126p0 2.126± 5.084

p1 0.004764± 0.5136

NaI(Tl) 3''

Figura 22: Stima dell’efficienza intrinseca per ilrivelatore da 3′′.

Le incertezze sul rate sono ricavate partendoda quelle sui conteggi, nell’ipotesi che questiultimi si distribuiscano secondo una poissonia-na con σ =

√N ; le incertezze sulla misura del-

l’angolo solido derivano dalla propagazione de-gli errori sulla misura delle lunghezze (raggiodella faccia circolare del detector e distanza tra

rivelatore e sorgente).Dal fit lineare si ricava:

ε2′′int = (41.9± 0.6)%

ε3′′int = (51.4± 0.5)%

Si noti che nella trattazione sopra esposta nonviene tenuto conto dei fotoni che hanno persoparte della propria energia a causa dello scat-tering Compton nella parte attiva dello scintil-latore, non venendo cosı conteggiati nel piccodi energia piena. Questo effetto nello Iodurodi Sodio risulta tuttavia trascurabile [1].

7 Studio delle coincidenze ca-suali

In un sistema di coincidenze e possibile chevengano acquisiti eventi non correlati con l’a-pertura del gate (coincidenze casuali). Questieventi possono provenire, indistintamente, dalfondo naturale oppure da annichilazioni avve-nute all’interno della sorgente ma nelle qualiil fotone rivelato non e fisicamente associatoa quello che ha provocato l’apertura del gate.Cio puo essere causato, ad esempio, da anni-chilazioni contemporanee (A e B) nelle qualiuno dei fotoni provenienti da (A) viene rive-lato dal NaI2′′ , mentre dei due provenienti da(B) uno viene perso e l’altro entra nella fine-stra di accettanza del NaI3′′ .Occorre, quindi, creare una disposizione speri-mentale che sia sensibile solo alle coincidenzecasuali. A questo scopo l’apparato e stato mo-dificato rispetto a quello rappresentato in figu-ra 7 semplicemente spostando il gate in modoche esso si trovi al di fuori della linea ideale checongiunge la sorgente con lo scatteratore. Inquesto modo le coincidenze vere sono eliminateperche impossibili dal punto di vista geometri-co.L’obiettivo e quello di verificare che la stimadel fondo dovuto alle coincidenze casuali siaconsistente con i fondi presenti negli spettriCompton acquisiti. Inoltre e utile accertarsidel fatto che nello spettro di coincidenze ca-suali non sia presente in maniera evidente il

13

picco di diffusione Compton: in caso contra-rio significherebbe infatti che gli spettri acqui-siti nell’ipotesi di coincidenza vera sarebberoin realta dominati dalle casuali. Una possibilecausa di questo effetto potrebbe essere attri-buita, ad esempio, ad una scelta non ottimaledell’apertura temporale della finestra di gate.La probabilita che un evento venga registra-to come coincidenza casuale (P(ev)) puo esse-re scomposta nella probabilita di apertura delgate (P(g)) e nella probabilita che un quantodi radiazione faccia scintillare il detector da 3′′

(P(3′′)). Siccome queste due probabilita sonodel tutto indipendenti, si ha:

P(ev) = P(g) · P(3′′)

La probabilita P(3′′), nella regione dello spet-tro in corrispondenza della quale si colloche-rebbe un eventuale picco di scattering Comp-ton, possiede una dipendenza di tipo geome-trico. I quanti emessi dalla sorgente (fotoni da511 e 1274 keV) per arrivare al NaI3′′ , devo-no infatti effettuare uno scattering la cui pro-babilita P(3′′) dipende dall’angolo in analisi,avendo essa lo stesso andamento della sezioned’urto.Dato il tempo limitato a disposizione e i tempirelativamente lunghi necessari per il campiona-mento dei fondi, e stato acquisito uno spettrodi coincidenze casuali ad un angolo θ = 30°.Cosı facendo, la parte non dipendente dallageometria e valida per tutti gli spettri, mentrela parte di scattering Compton rappresenta unlimite superiore sulla frequenza del picco deivari angoli analizzati per la misura della sezio-ne d’urto differenziale (paragrafo 8.2).Nonostante cio, nello spettro acquisito none stata osservata la presenza di un alcunpicco Compton, giustificando cosı la sceltadell’apertura temporale del gate.

8 Misure Eseguite

Le misure sono state effettuate mantenendo loschema del setup sperimentale rappresentatoin figura 7, dopo avere svolto la parte di ot-timizzazione e caratterizzazione della catena

elettronica descritta nelle sezioni precedenti.Il rivelatore da 3′′ e stato posizionato a 10 diffe-renti angoli compresi tra i 20° e 150°, variandoi tempi di acquisizione degli spettri a secon-da dell’angolo stesso. Per fotoni con hν = 511keV, infatti, lo scattering Compton e decisa-mente piu probabile a valori di θ inferiori a 60°,come mostrato nel plot della sezione d’urto infunzione dell’angolo di deflessione di figura 4.Per ottenere una buona statistica i tempi dimisura sono dunque stati fatti variare tra unpaio di giorni, per angoli inferiori a 60°, fino adarrivare a circa una settimana per le misure a120° e 150°.A titolo esemplificativo, in figura 23 si riportalo spettro dei conteggi acquisito dal MCA, ot-tenuto posizionando il rivelatore da 3′′ ad unangolo θ pari a 90° e mettendolo in coincidenzacon lo scintillatore da 2′′.

Entries 1799Mean 226.2RMS 251.6Underflow 0Overflow 0

Channel0 200 400 600 800 1000 1200 1400

Eve

nts/

2 bi

n

0

100

200

300

400

500

600

700Entries 1799Mean 226.2RMS 251.6Underflow 0Overflow 0

90gradi.Spe

Figura 23: Spettro dei conteggi ottenuto con il ri-velatore da 3′′ posto a 90° rispetto alla direzione diincidenza iniziale. Ogni bin corrisponde a 2 canalidel MCA.

Nello spettro appaiono diverse strutture: ilpicco di fluorescenza X del piombo a 79 keVdovuto, come gia accennato, alla schermaturaesterna del rivelatore; il picco di energia pienadel fotone scatterato (attorno al canale 250,nell’esempio riportato in figura 23); un picconella regione corrispondente a 511 keV, dovutoallo scattering Thomson sui nuclei dello scat-teratore (vedi sezione 8.3).Successivamente, la regione attorno al picco discattering e fittata con una funzione data dal-la somma tra un esponenziale decrescente (che

14

simula l’andamento del fondo) e una gaussianacentrata sul picco stesso. Dai parametri del fite possibile ricavare il numero di eventi di scat-tering osservati Nobs, il valor medio del picco ela sigma (entrambi in unita di canali del MCA)con i relativi errori.Queste informazioni sono poi utilizzate per ilcalcolo delle relazioni energia/angolo e dellaKlein-Nishina presentati nelle sezioni seguenti.

8.1 Relazione energia/angolo

In questa parte dell’esperimento si vuole verifi-care la relazione, riportata in equazione 1, chelega l’energia del fotone diffuso hν ′ con l’ango-lo di scattering θ.Dalla formula si evince che quando il fotone in-cidente cede poca energia all’elettrone dell’as-sorbitore, e quindi l’energia del fotone defles-so e poco inferiore a quella iniziale (511 keV),l’angolo θ di scattering e piccolo. Man manoche l’energia del fotone diffuso diminuisce, θaumenta.Il valor medio, in canali, del picco di energiapiena del fotone diffuso viene ricavato dal valormedio della gaussiana utilizzata per il fit. Que-sto dato viene poi convertito in energia, utiliz-zando la curva di calibrazione calcolata secon-do la procedura descritta nella sezione 3.2.I valori ottenuti sperimentalmente sono ripor-tati in figura 24 in funzione dell’angolo θ a cuisi e posizionato il rivelatore da 3′′.

[rad]θ0.5 1 1.5 2 2.5

Ene

rgia

[ke

V]

150

200

250

300

350

400

450

500 / ndf 2χ 0.8246 / 8Prob 0.9991p0 9.812± 512.7 p1 21.3± 491.3

/ ndf 2χ 0.8246 / 8Prob 0.9991p0 9.812± 512.7 p1 21.3± 491.3

Figura 24: Energia del fotone scatterato in funzionedell’angolo, espresso in radianti.

L’errore sul valore centrale del picco Comp-

ton e stato valutato partendo dalla deviazionestandard σ della gaussiana ottenuta dal fit. Adesso contribuiscono, tra gli altri, tre effetti:

1. la risoluzione finita dello scintillatore;

2. l’errore dei componenti elettronici, inparticolare ADC e MCA;

3. l’errore dovuto all’angolo θ: la visualedella sorgente radioattiva sullo scattera-tore non e un punto, bensı una regio-ne asimmetrica rispetto al centro delloscatteratore e questo provoca l’arrivo sul-lo scintillatore di fotoni aventi una di-versa energia rispetto a quella ideale discattering.

Un’altra sorgente di errore, questa volta di na-tura sistematica, che incide sulla misura del-l’energia e data dalla perdita di una correttarelazione canale-energia, dovuta alla presenzadi drifts dello spettro: questo e il motivo percui, come gia detto nel paragrafo 3.2, e statonecessario ricalibrare l’apparato piu volte, du-rante l’intera durata dell’attivita sperimentale.Le incertezze sulla misura dell’angolo sono in-vece ricavate geometricamente come massimedeviazioni dall’angolo ideale di scattering θ. Ilcalcolo dettagliato, riportato in appendice A,permette di ottenere due angoli limite per loscattering, il maggiore dei quali e stato quota-to come errore sull’asse delle ascisse:

arcsin

(D

sin δ sin(θ2 − δ

)h

)+θ

2− ε

per il primo angolo limite;

arcsin

(D

sin δ sin(θ2 + δ

)h′

)+θ

2+ ε

per il secondo angolo limite.D e la distanza tra scatteratore e rivelatore, δe definito dalla relazione 8, h e h′ sono le di-stanze limite tra gli estremi dello scatteratoree gli estremi del rivelatore ed ε e l’angolo didispersione.I punti sperimentali sono successivamente stati

15

fittati con una fuzione del tipo:

f(θ; p0, p1) =p0

1 + p0p1 · (1− cos θ)

dove p0 e p1 sono parametri liberi del fit.Come si puo osservare dai risultati riporta-ti in figura 24, la predizione teorica descriveottimamente la distribuzione dei punti speri-mentali. Dal secondo parametro del fit e pos-sibile ricavare una stima della massa a ripo-so dell’elettrone che provoca la diffusione deifotoni:

mec2 = 491.3± 21.3 keV

in ottimo accordo con il valore teorico.

8.2 Verifica della relazione di Klein-Nishina

La distribuzione angolare dei γ e data dallaformula di Klein-Nishina (vedi equazione 2).Per verificare tale relazione si sono calcolate lesezioni d’urto differenziali, mediante gli spettrienergetici acquisiti in precedenza per la rela-zione energia/angolo (vedi paragrafo 8.1).La misura della sezione d’urto si riduce ad unamisura di rate (r), in quanto queste due gran-dezze risultano essere legate da costanti qualiil flusso di fotoni incidenti (φ) e il numero dicentri diffusori nello scatteratore (N ):

σ =r

φ · N

Per questo motivo, l’andamento di drdΩ e dσ

dΩ infunzione dell’angolo di scattering risulta essereil medesimo.Questo approccio permette inoltre di svinco-larsi dagli errori sistematici di carattere geo-metrico dai quali e affetto il calcolo del flussodiretto sullo scatteratore.Inoltre, il fatto che la finestra attiva sottendaun angolo solido finito (seppur piccolo) e noninfinitesimo (dΩ → ∆Ω), fa sı che quello cheviene calcolato a livello pratico sia dato dallavariazione di rate per un piccolo incremento diangolo solido ( ∆r

∆Ω).Da ogni spettro viene ricavato il numero di

conteggi sottesi al picco (la procedura per ar-rivare a questo risultato e stata descritta nellaparte introduttiva di questa sezione) ovvero:

∆Nmeas = ∆t · ε ·ˆ

∆Ω

dr

dΩ(θ) dΩ

dove ε = ε2′′int · ε3′′

int e dato dal prodotto delleefficienze intrinseche dei due rivelatori.L’integrale precedente e stato poi diviso per ilcorrispettivo tempo di misura, in modo da ot-tenere il relativo rate. Si utilizza il rate al po-sto dei conteggi totali perche i tempi di acqui-sizione dei vari spettri non sono stati sempre imedesimi (vedi paragrafo introduttivo alla se-zione 8).Per ottenere il valore della sezione d’urto dif-ferenziale, il rate ottenuto e stato diviso a suavolta per l’angolo solido corrispondente.L’equazione sottostante mostra la relazione trala previsione teorica (a sinistra del segno disimilitudine ≈) e cio che e stato misuratosperimentalmente (a destra):

dr

dΩ(θ) = ε φN dσ

dΩ(θ) ≈ ∆Nmeas

∆t ·∆Ω=

∆r

∆Ω(14)

dove l’angolo solido ∆Ω e stato calcolato se-condo la relazione 9 definita nel paragrafo 5.1.I valori delle sezioni d’urto differenziali cosı ri-cavate sono rappresentate dai punti nel plot difigura 25.

[rad]θ0.5 1 1.5 2 2.5

Ω∆

r/∆

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

/ ndf 2χ 3.561 / 8Prob 0.8944p0 0.2106± 0.6082 p1 2.053± 3.258

/ ndf 2χ 3.561 / 8Prob 0.8944p0 0.2106± 0.6082 p1 2.053± 3.258

prova

Figura 25: ∆r∆Ω in funzione dell’angolo di scattering,

espresso in radianti.

L’errore relativo sul rate e stato ricavato apartire dall’errore relativo sull’integrale dellagaussiana ottenuta dal fit (numero di eventi disegnale); l’errore sulla stima dell’angolo solido

16

invece deriva dalla propagazione delle incertez-ze sulla misura delle distanze. I due errori sonopoi sommati in quadratura e il risultato otte-nuto e quotato come incertezza sull’asse delleordinate nel plot di figura 25.

δ(∆r/∆Ω)

∆r/∆Ω=

√√√√[δrr

]2

+

[δ(∆Ω)

∆Ω

]2

L’errore sull’asse delle ascisse e stato invececalcolato come massima deviazione dall’ango-lo ideale di scattering θ, come descritto nellasezione 8.1 per la relazione energia/angolo.I punti sperimentali sono stati poi fittati me-diante una funzione avente la stessa dipenden-za angolare della Klein-Nishina, lasciando co-me parametri liberi una costante moltiplicativa(p0) e il rapporto α = hν/mec

2 (p1).I risultati del fit sono riportati in figura 25.

8.3 Scattering Thomson

Lo scattering Thomson e la diffusione elasticadella radiazione elettromagnetica da parte diuna particella carica libera. Il processo e ot-tenibile dallo scattering Compton nel limite incui l’energia del fotone incidente e molto mi-nore della massa a riposo della particella chene provoca la diffusione:

hν Mc2

Come conseguenza, la frequenza ν del fotonerimane la stessa prima e dopo lo scattering.Definendo q la carica della particella e θ l’ango-lo di diffusione del fotone rispetto alla direzio-ne di incidenza, la sezione d’urto differenzialee data da [2]:

dσTdΩ

=

(q2

4πε0Mc2

)21 + cos2 θ

2(15)

Nel processo in esame lo scattering Thomsonavviene tra il fotone da 511 keV provenientedall’annichilazione del positronio e uno degliatomi di piombo dello scatteratore. In questocaso, dunque, il processo diffusivo non coinvol-ge piu solo uno degli elettroni di valenza del

Pb, ma bensı l’atomo intero. Ovviamente, es-sendo la massa a riposo dell’atomo di piombosuperiore di svariati ordini di grandezza rispet-to all’energia del fotone (hν/MPbc

2 ∼ 10−6),quest’ultimo manterra la stessa energia cheaveva inizialmente e ne verra modificata solola direzione.Utilizzando il medesimo apparato sperimentalecostruito per lo studio dello scattering Comp-ton e possibile dare una stima del contributodovuto allo scattering Thomson, verificando inparticolare la dipendenza angolare della sezio-ne d’urto differenziale (equazione 15).La procedura e del tutto equivalente a quel-la descritta nell’introduzione alla sezione 8 perstudio della diffusione Compton: sugli spettridi conteggio, nella regione che la calibrazioneha mostrato corrispondere ad un energia pari a511 keV, viene eseguito un fit con una funzio-ne data, anche in questo caso, dalla somma traun esponenziale decrescente (che modellizza ilfondo atteso) e una gaussiana (per il segnale).I conteggi di segnale e i relativi errori, ricavatidai parametri del fit, sono utilizzati per stima-re il rate di eventi in cui il fotone diffuso ha lastessa energia di quello iniziale.Questo procedimento e applicabile solo per glispettri la cui acquisizione si e protratta per unperiodo di tempo sufficientemente elevato dagarantire la statistica necessaria per la conver-genza del fit. In alcuni casi prima di eseguireil fit, per evitare le fluttuazioni tra i singoli bindell’istogramma, si e reso necessario effettura-re un rebinning dello spettro in canali.Una volta calcolato il rate di eventi, ne e statovalutato il rapporto con l’unita di angolo solidosotteso dallo scatteratore di piombo (∆r/∆Ω),ripetendo la procedura al variare dell’angolo didiffusione. In questo modo e possibile svinco-larsi sia dal flusso di fotoni emessi dalla sor-gente, sia dal numero dagli elementi infinitesi-mi che formano lo scatteratore.Le incertezze associate ai punti sperimentaliderivano dalla propagazione degli errori sullevariabili in gioco. Nonostante gli accorgimen-ti descritti precedentemente, le fluttuazioni nelnumero di eventi di segnale sottesi dalla gaus-siana del fit rappresentano il principale contri-

17

buto all’errore riferito alla misura di ∆r/∆Ω.Le incertezze sulle misure degli angoli proven-gono da considerazioni di tipo geometrico ba-sate sulla dimensione finita dello scatteratore edella superficie degli scintillatori (vedi appen-dice A e quanto detto nella sezione 8.1).Le misure sperimentali sono poi fittate con unafunzione avente l’andamento in funzione del-l’angolo θ predetto dall’equazione 15, lasciandocome parametro libero una costante moltipli-cativa p0.I risultati ottenuti sono mostrati in figura 26.

[rad]θ0.5 1 1.5 2 2.5

Ω∆r/∆

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

/ ndf 2χ 2.19 / 4

Prob 0.7008p0 0.01526

/ ndf 2χ 2.19 / 4

Prob 0.7008p0 0.01526

511 keV peak

Thomson Scattering

Figura 26: Scattering Thomson: risultati delle mi-sure effettuate agli angoli indicati in ascissa (inradianti) e risultati del fit.

Misura della parita del positro-nio

9 Introduzione

Il positrone generato nel decadimento dellasorgente di 22Na, dopo che ha perso pratica-mente tutta la sua energia cinetica, crea unostato legato (definito positronio) con un elet-trone del materiale. L’annichilazione avvienesempre su uno stato a L = 0. Lo stato fonda-mentale del positronio ha due possibili confi-gurazioni a seconda dell’orientamento relativodegli spin dell’elettrone e del positrone.Lo stato di singoletto 1S0, detto para-positronio, e caratterizzato da spin antiparal-

leli e, per la conservazione del momento an-golare, puo decadere solo in un numero paridi fotoni. Si ricorda pero che la probabilita didecadimento decresce al crescere del numero difotoni presenti nello stato finale: la probabilitamaggiore si ha quindi per il decadimento in 2 γda 511 keV. Il tempo caratteristico per questoprocesso e τ = 1.244 · 10−10 s.L’orto-positronio e invece uno stato di triplet-to (3S1), con spin paralleli, che decade in unnumero dispari di fotoni, prevalentemente tre.La teoria dei fermioni attribuisce a particel-la e antiparticella parita intrinseche opposte.Siccome quest’ultima e una quantita moltipli-cativa e il momento angolare tra e+ ed e− ezero, si ottiene che il positronio ha parita P =-1.L’obiettivo di questa parte dell’esperimento everificare la predizione teorica per la paritaintrinseca di questo atomo esotico nello stato1S0, attraverso il decadimento in due fotoni4.L’unico modo per studiare la parita di questostato e analizzare le polarizzazioni dei due fo-toni emessi. Siccome questo decadimento e unprocesso elettromagnetico, per la conservazio-ne della parita si ha che la parita dello statofinale coincide con quella dello stato iniziale[6].Le funzioni d’onda piu semplici che si possonoutilizzare per descrivere uno stato a due fotonisono date dalle seguenti [7]:

ψ1(2γ) = A(−→ε 1 · −→ε 2) ∝ cosα

ψ2(2γ) = B(−→ε 1 ×−→ε 2) ·−→k ∝ sinα

dove α e l’angolo tra i piani di polarizzazione.Si precisa che con il termine “piano di polariz-zazione” si intende il piano su cui giacciono il

vettore momento−→k e il vettore di polarizza-

zione −→ε .Entrambe le funzioni d’onda sono totalmentesimmetriche per scambio di particelle, condi-zione necessaria per un sistema di bosoni.A seconda della parita delle due funzioni d’on-da, esse saranno massimizzate a diversi valoridi α. In particolare ψ1, che e pari sotto in-versione di coordinate spaziali (parita), ha un

4La modalita di selezione di questo canale di decadimento e indicata al paragrafo 11.

18

massimo in α = 0 mentre ψ2, dispari, ha unmassimo quando α = π/2.La sezione d’urto Compton per fotoni pola-rizzati dipende dall’angolo ϕ tra il piano discattering e il vettore di polarizzazione −→ε [2]:

dσ

dΩ=

1

2r2

0

(hν ′

hν

)2(hν ′hν

+hν

hν ′− 2 sin2 θ cos2 ϕ

)(16)

le altre grandezze sono le stesse delle equazioni1 e 2.Da quest’equazione si puo notare come loscattering a θ=90° con ϕ=90° e 5 volte piufrequente di quello a ϕ=0°

dσdΩ

∣∣ϕ=90

dσdΩ

∣∣ϕ=0

=

5r2016r2016

= 5 (17)

questo implica che il vettore di polarizzazione−→ε sia preferenzialmente ortogonale al piano discattering.La dipendenza dell’equazione 16 da ϕ lega ilrate di scattering alla polarizzazione dei foto-ni e quindi alla parita iniziale del positronio.Risulta necessario, quindi, trovare una dispo-sizione sperimentale che sia sensibile a questagrandezza fisica.

10 Tecnica sperimentale

In questo paragrafo l’angolo di scattering θ econsiderato essere fisso a 90°. Considerando lafigura 31 riportata alla fine del report si puo ve-dere come un confronto tra i rate delle due di-sposizioni dia informazioni sulle polarizzazionidei fotoni e quindi sulla parita del positronio.Infatti, i rispettivi rate di rivelazione avran-no lo stesso rapporto indicato dalla relazione17. Statisticamente si avra dunque che ogni 6fotoni rivelati 5 avranno ϕ = 90° (polarizzazio-ne ortogonale al piano di scattering) mentre 1avra ϕ = 0°. In altre parole, 5/6 saranno pola-rizzati ortogonali 〈⊥〉 e 1/6 paralleli 〈‖〉 semprerispetto al piano. Questo e valido per ognu-no dei due scattering in figura quindi, essendole probabilita di diffusione indipendenti, i rap-porti si moltiplicano tra loro. I casi possibilisono due:

P = -1: la funzione d’onda e descritta daψ2 ed ha un massimo in α = 90°.Dalla figura 31a): la probabilita che en-trambi i fotoni provenienti dal decadi-mento siano 〈‖〉 e pari a 1/36 (in rosso),mentre la probabilita che entrambi siano〈⊥〉 e pari a 25/36 (in blu). Di conse-guenza, la probabilita che i due fotoniabbiano la stessa polarizzazione rispettoal proprio piano di scattering corrispon-de a 26/36.Dalla figura 31b): la probabilita che unfotone sia polarizzato 〈‖〉 e uno 〈⊥〉 e paria 5/36. Siccome rosso e blu sono simme-trici, la probabilita complessiva che i duefotoni abbiano polarizzazione opposta ri-sulta essere pari a 10/36.Facendo un rapporto tra i rate misuratinelle due condizioni si ottiene un valorepari a 26/10.

P = +1: la funzione d’onda e descrittada ψ1 ed ha un massimo in α = 0°.In questo caso le probabilita sono in-vertite, perche con le stesse disposizionigeometriche di a) e b) l’angolo tra i foto-ni dello stesso colore e zero. La c) e deltutto analoga a b) e la d) diventa comela a). Quindi, calcolando il rapporto trai rate nelle due disposizioni, si ottiene unvalore pari a 10/26.

A seconda che il rapporto misurato sperimen-talmente sia 2.6 o 10/26 ∼ 0.38 si puo conclu-dere che il sistema γγ (e quindi il positronio)ha parita intrinseca, rispettivamente, -1 o +1.

11 Set-up sperimentale

Anche in questo caso le misure sono state ef-fettuate con i due scintillatori NaI, di due e trepollici rispettivamente, e la sorgente di 22Nautilizzati in precedenza.Le misure da effettuare richiedono due confi-gurazioni differenti.Nella prima, siccome e necessario avere una di-sposizione che consenta la rivelazione contem-

19

poranea di fotoni scatterati su due piani tra diloro ortogonali, il rivelatore a tre pollici e sta-to sollevato dal piano sul quale giace il NaI2′′ ,in modo tale che la finestra di ingresso di que-sto risultasse parallela al piano stesso (si vedala figura 31). Nella seconda, invece, dovendorivelare fotoni scatterati in uno stesso piano, idue rivelatori sono posti uno in fronte all’altro.La configurazione usuale, basata sulla coinci-denza tra rivelatore per spettrometria e ga-te, permette di selezionare la cinematica del-l’evento (ovvero solo i decadimenti del para-positronio in due fotoni back-to-back).I due scatteratori sono stati posizionati invecead un angolo di 45 gradi, in modo da minimiz-zare l’autoassorbimento all’interno degli stessi.Si e scelto un angolo di scattering di 90° perpraticita nella disposizione dei vari elementi.In figura 31 si puo osservare lo schema finaledella configurazione utilizzata.Per evitare che vengano registrati eventi di noninteresse o che possano svilupparsi false coinci-denze, la sorgente e stata schermata lungo ognilato con delle mattonelle piombo, lasciando li-bera solo la direzione che unisce la sorgentestessa con i due scatteratori. In questo modoci si e assicurati che i fotoni emessi dal 22Nanon comunicassero direttamente con i due ri-velatori e, in particolare, con lo scintillatore da2′′ utilizzato come gate.La tensione di lavoro adottata e ancora quel-la ricavata dalla calibrazione durante la primaparte dell’esperimento, ovvero 820 V per en-trambi i fototubi.Prima di iniziare la presa dati e risultato neces-sario effettuare una nuova calibrazione energe-tica dei rivelatori, in modo da essere in gradodi correlare il giusto valore energetico ad ognipicco presente nello spettro acquisito tramitesoftware.I fotoni che regolano l’apertura del gate, pri-ma di giungere allo scintillatore da due pollici,scatterano ad un angolo di 90° e dunque ar-rivano al detector con un energia pari a 255keV circa. Per questo motivo e stato necessa-rio reimpostare i livelli ∆E e LE del TISCA,in modo da centrare la finestra energetica at-torno a questo nuovo valore. Per la formatura

dei segnali sono stati utilizzati i due tempi dishaping time gia adottati nel corso della primaparte (si veda il paragrafo 3.3).Dato il basso rate degli eventi e la presenza diun fondo non trascurabile nella zona energeti-ca di interesse, si e scelto di ridurre al minimovalore possibile la finestra temporale del gate,ponendola a 1.3 µs. L’obiettivo e quello di cor-relare meglio l’apertura del gate con l’acquisi-zione del segnale, riducendo la digitalizzazionedi impulsi spuri.

12 Misure eseguite

Dopo aver modificato l’apparato sperimenta-le nella maniera descritta al paragrafo 11, sie proceduto ad una nuova campagna di presadati. Dal momento che il rate atteso e moltobasso, i tempi di acquisizione sono stati pro-lungati fino ad una settimana.Il problema principale che si e riscontrato inquesta fase consiste nella presenza di un eleva-to fondo, in particolare nel range energetico diinteresse. Cio ha impedito di fatto l’osserva-zione di un segnale chiaramente visibile.Per approfondire lo studio e comprendere lepossibili cause di questo problema, si e pensa-to di valutare il Minimun Detectable Amount(MDA) della configurazione utilizzata e di con-frontarla con il rate atteso degli eventi didoppio scattering.

13 Minimum DetectableAmount e stima deglieventi di fondo attesi

Come spiegato precedentemente, la misura del-la parita del positronio si riduce essenzialmen-te ad un esperimento di conteggio, effettuatoin due diverse configurazioni sperimentali. Nelseguito si definiscono eventi di segnale (e ven-gono indicati con Ns) gli eventi in cui i duefotoni da 511 keV emessi dal positronio ven-gono diffusi ad un angolo θ = 90° rispetto alloscatteratore e a ϕ = 90°. Il loro numero e dato

20

da:

Ns = Nt −Nb

dove Nt e il numero di eventi totali registratiall’interno della zona di interesse del MCA eNb e l’insieme di tutti gli eventi di fondo.I valori di Ni (i = s, b, t) si distribuiscono se-condo una poissoniana che, nel limite in cuiNi & 30, approssima una gaussiana centratanel valore vero Ni e con σNi =

√Ni. Inoltre:

σ2Ns = σ2

Nt + σ2Nb

(18)

Se Ns = 0, i conteggi attribuiti al segnale so-no da considerarsi “falsi-positivi”: il livello disoglia β che deve essere imposto se si desiderache la probabilita di questi conteggi sia minoredel 5% e definito da:

ˆ β

−∞f(Ns; Ns = 0, σ2

Ns) > 0.95

dove f(Ns; Ns, σ2Ns

) e la p.d.f. gaussiana se-condo la quale si distribuiscono gli eventi os-servati. Dunque, tenendo conto della relazione18, si ha:

β ' 1.6σNs = 1.6√

2σNb = 1.6√

2Nb (19)

Se Ns > 0, il numero minimo di even-ti di segnale tale per cui la probabilita diperdere eventi perche sotto la soglia scelta(“falsi-negativi”) sia minore del 5% e definitoda: ˆ ∞

βf(Ns; Ns

min, σ2

Ns) > 0.95

ovvero:

Nsmin

= β + 1.6σNs (20)

Questa quantita viene denominata MinimumDetectable Amount (MDA) e rappresenta, da-to un certo confidence level, il numero minimodi eventi di segnale che possono essere osserva-ti garantendo un rate di falsi-negativi minoredel livello scelto. Risolvendo esplicitamente larelazione 20 nell’ipotesi in cui Nb Ns

minsi

ottiene [1]:

MDA = Nsmin ' 4.6σNb + 2.7 =

= 4.6√Nb + 2.7 (21)

b Nmin NS

P(NS)

ss

Figura 27: Distribuzione di probabilita per gli even-ti di segnale nell’ipotesi Ns = 0 e Ns > 0 e livellodi soglia β.

Una misura di fondo eseguita senza sorgen-te ha permesso di stimare un rate di even-ti nella regione energetica di interesse pari arb = Nb/∆t = 13 cph5.Sperimentalmente si e tuttavia osservato che lapresenza della sorgente introduce un’ulteriorefondo a bassa energia all’interno della regionenella quale ci si attende di trovare il segnale.Si e ipotizzato che questo fondo possa esseredovuto a fotoni provenienti dalla sorgente chevengono diffusi dallo scatteratore ad energie .300 keV, entrando nella finestra di accettanzageometrica del rivelatore da 3′′ mentre il gatee aperto.Per verificare questa tesi si e confrontato lospettro acquisito nella configurazione per lamisura della parita del positronio con quelloottenuto nell’ipotesi di sole coincidenze casuali(sezione 7).I due, normalizzati allo stesso tempo, sono ri-portati in figura 28.Come si puo vedere, gli andamenti dei duespettri nella regione energetica di interesse so-no compatibili tra di loro. Questa osservazionesupporta la tesi secondo la quale il fondo ag-giuntivo a bassa energia osservato sperimental-mente sia dovuto a fotoni diffusi che vengonorivelati in maniera casuale.La costruzione dell’apparato sperimentale uti-lizzato per questa seconda parte non permetteuna riduzione agevole dagli angoli solidi sotte-si dai due scintillatori e questo effetto non e

5Counts per hour.

21

dunque eliminabile in maniera immediata.

Entries 1799

Mean 239.3

RMS 265.6

Channel200 400 600 800 1000 1200

Eve

nts/

2 bi

n

0

20

40

60

80

100

120

140

160Entries 1799

Mean 239.3

RMS 265.6

° = 90ϕ ° = 90θDoppio Compton

Coincidenze Casuali

quartaprova.Spe

Figura 28: Spettro di conteggi per il doppio scatte-ring Compton (rosso) e le coincidenze casuali (blu);ogni bin corrisponde a due canali del MCA.

Questo ulteriore contributo viene stimato sullospettro ottenuto sottraendo lo spettro in con-teggi dato dalla misura con la sorgente e lospettro contenente il solo fondo, entrambi nor-malizzati agli stessi tempi: si esegue un side-band fit all’esterno della regione di interesse esi estrapola il risultato all’interno di quest’ul-tima. Aggiungendo questo contributo, il raterb di eventi di fondo all’interno della regione disegnale risulta essere pari a circa 28 cph.Moltiplicando per il tempo di acquisizione del-lo spettro si ottiene un numero di eventi difondo nella regione in cui ci si aspetta il segna-le pari a 810±28 cnts. Inserendo questo va-lore nella relazione 21 si ottiene un MinimumDetectable Amount pari a 133 cnts.

14 Rate atteso

Per stimare il rate atteso e stata consideratala relazione:

dr

dΩ= φ · N · dσ

dΩ

che lega la sezione d’urto di un evento al rate,tramite il flusso di fotoni incidenti per unitadi superficie e il numero di centri diffusori nelmateriale.

Il processo fisico che viene studiato in questaparte dell’esperimento implica che avvenganodue eventi di scattering contemporanei, comespiegato al paragrafo 10. Siccome la diffusio-ne di un fotone e totalmente indipendente daquella del secondo, le probabilita che i dueeventi accadano simultaneamente e data dalprodotto delle probabilita dei singoli eventi.Cio che si e fatto e stato calcolare le due pro-babilita dei singoli processi di scattering, mol-tiplicandole tra loro e riscalando per il rate difotoni che incidono effettivamente sugli scatte-ratori6 (Rγ1,Rγ2).

r(θ, ϕ1, ϕ2) =

= (Rγ1 +Rγ2) · P(θ, ϕ1) · P(θ, ϕ2) (22)

Come gia descritto, θ e rimasto fisso a 90° perentrambe le configurazioni mentre per ϕ valeϕ1 = 90° e ϕ2 = 90° nel primo caso e ϕ1 = 90°e ϕ2 = 0° nel secondo.La teoria prevede che la disposizione che da ilnumero di eventi di scattering maggiore sia laprima. Per questo motivo per lo studio del ra-te atteso si e presa in considerazione solo que-st’ultima: se il rate teorico di osservazione daessa predetto e al di sotto del MDA, allora sarasicuramente al di sotto anche il rate della se-conda disposizione.Per calcolare la probabilita P(θ, ϕi) bisognaconsiderare la sezione d’urto, ovvero l’area effi-cace entro la quale avviene il processo di scat-tering. Quest’area efficace e associata ad ognicentro scatteratore, ovvero ad ogni elettronedella shell piu esterna dell’atomo di Piomboche si affaccia sulla superficie rivolta verso lasorgente. Moltiplicando la sezione d’urto perN e rapportandola all’intera superficie irrag-giata dal 22Na, si ottiene un numero adimen-sionale. Questo numero rappresenta la pro-babilita che un fotone intercetti la superficiedi scattering totale, ovvero che vada incon-tro ad uno scattering Compton all’angolo incorrispondenza del quale si calcola la sezione

6Anche in questo caso, come nelle sezioni 5 e 8, il rate, le sezioni d’urto e quindi anche le probabilita, non sonodifferenziali ma rapportate all’angolo solido (finito) sotteso. In seguito verranno considerate solo queste quantitaanche se, per semplicita di notazione, saranno ugualmente indicate con r, σ e P rispettivamente.

22

d’urto:

P(θ, ϕ) = N · σ(θ, ϕ)

A

Il numero di centri scatteratori (N ) e calcolatocome la frazione di e− esterni compresi in unalunghezza di attenuazione del piombo per foto-ni aventi un’energia di 511 keV (λ = 0.5 cm).In una lunghezza di attenuazione, pero, si haun abbattimento del numero iniziale di fotoniincidenti del 70%. Cio che si e fatto e stato pe-sare ogni spessore dx per il tasso di particelleche non hanno interagito entro λ:

xeff =

ˆ λ

0e−

xλdx = λ · (1− e−1)

il che porta a definire un numero di nuclei “ef-ficaci” presenti nel blocchetto di piombo.Moltiplicando questo numero per il numero dielettroni esterni nel Pb (quattro), otteniamocome risultato il numero di centri scatteratori:

Neff = 4 · M

mmol·NAv ·

xeffT

dove con M si e indicata la massa dello scatte-ratore, con mmol la massa molare del Pb, conNAv e il numero di Avogadro e con T lo spes-sore del blocchetto di piombo.La sezione d’urto e calcolata tramite la Klein-Nishina polarizzata (si veda l’equazione 16).La stima dei fotoni incidenti sul blocchetto(Rγi) e invece data dall’attivita attuale dellasorgente moltiplicata per il rapporto tra l’an-golo solido sotteso dal blocchetto stesso e l’an-golo solido totale (4π).L’attivita della sorgente e stata stimata nel pa-ragrafo 6, tenendo conto del tempo di dimez-zamento del 22Na e del tempo trascorso dalmomento dell’acquisto.Infine, l’angolo solido viene calcolato con l’e-quazione 7, cambiandone pero gli estremi diintegrazione7. L’angolo zero su θ e posto nelladirezione verticale, quindi la disposizione sulpiano e a θ = 90°, mentre ϕ gira sul piano.Dalla figura 29 si possono trovare i range entrocui variano i due angoli:

della prima della due figure sono noti h,d e l’angolo tra il blocchetto e il raggio(135°). Applicando al triangolo il teore-ma del coseno e successivamente quellodel seno si trova che:

ϕ ∈ [0; δ′]

dove:

δ′ = arcsin

(1√2

b√d2 + b2 +

√2d · b

)

nella seconda figura θ varia nell’intervallo[π2− ε′; π

2

]con:

ε′ = arctan

(h

d

)

Df

T

b

d

h

d

Dq

Figura 29: Disposizione della sorgente (centro dellasfera) e scatteratore (rettangolo ondulato). Sopra:vista dall’alto (lo scatteratore e inclinato di 45°);sotto: vista frontale.

Questi valori rappresentano gli estremi di in-tegrazione per il calcolo dell’angolo solidosecondo la relazione 7. Si ottiene, quindi:

∆Ω = δ′ · sin ε′7Da qui fino alla fine del paragrafo θ e ϕ non sono piu collegati all’effetto Compton, ma sono semplicemente le

due variabili angolari della geometria sferica.

23

I dati calcolati sono stati inseriti nell’equazio-ne 22, ponendo Rγ1 uguale a Rγ2 in virtu delleidentiche disposizioni geometriche degli scatte-ratori rispetto alla sorgente.Lo stesso e stato fatto per P(θ, ϕ1) e P(θ, ϕ2)perche, come gia citato, gli angoli di scatteringe le caratteristiche del blocchetto sono le stes-se.Una volta eseguite tutte le semplificazioni nu-meriche e accorpato il rapporto M

A·T nella den-sita ρ, si ottiene una stima del rate teorico dieventi attesi:

rth = ε25 · 2−1,3

64π

(ρ ·Nav

mmol· r2

0 · xeff)2

A0δ′ sin ε′

dove ε e il prodotto delle efficienze dei rivela-tori.Inserendo i valori numerici, si ha che rth =ε·3.4 ∼ 3.4/4 cph, corrispondenti a 25±5 even-ti nella regione dello spettro di interesse.Come si puo facilmente notare, questo valo-re e ben al di sotto del Minimum DetectableAmount calcolato nella sezione 13.Si presti attenzione al fatto che il rate teo-rico rth cosı calcolato e da considerarsi comeuna sovrastima del valore vero, in quanto none stato tenuto conto, ad esempio, dell’autoas-sorbimento all’interno della sorgente, essendoquest’ultimo un effetto sistematico del quale edifficile dare una trattazione analitica. Tutta-via, dato che si e interessati a dare una stimadi massima di questi eventi in modo da poter-li confrontare con il MDA, l’approssimazionefatta e lecita.

15 Conclusioni

Lo scopo dell’esperienza e stato quello di fareuno studio sperimentale dell’effetto Compton,per verificare inizialmente la relazione ener-gia/angolo (equazione 1) e la formula di Klein-Nishina (equazione 2) e, successivamente, de-durre la parita del positronio partendo da mi-sure indirette.Dopo aver riflettuto a priori sulle principaliproblematiche dell’esperimento, si e effettua-ta un’ottimizzazione del setup sperimentale sia

dal punto di vista geometrico che dal puntodi vista dell’elaborazione elettronica del segna-le. Una parte del nostro studio e stata dedica-ta anche alle coincidenze casuali, permettendocosı di testare la bonta del sistema di coinci-denze scelto.La relazione tra l’angolo di scattering e l’ener-gia del fotone diffuso e stata ricostruita par-tendo dai dati raccolti. Dal fit e stata ricavatauna stima della massa a riposo dell’elettrone,ottenendo un risultato pari a:

mec2 = 491.3± 21.3 keV

in accordo con il valore teorico.Dai dati acquisiti e stato verificato anche l’an-damento della formula di Klein-Nishina. Nonavendo ricostruito la sezione d’urto, ma ilrate differenziale, e stato estratto come da-to significativo il parametro α = hν/mec

2,ottenendo:

α = 3.2± 2.1

Cio conferma che i dati sperimentali hannoun andamento compatibile con quello predettodalla sezione d’urto differenziale teorica.Si e anche riusciti ad apprezzare la presenzadello scattering Thomson, del quale e stato ve-rificato l’andamento.Durante l’esecuzione delle misure sono stati ri-scontrati due pricipali effetti.Il primo, di natura sistematica, e dovuto alladipendenza della risposta del rivelatore dallatemperatura. In particolare si e osservata l’in-troduzione di un leggero guadagno con la di-minuzione della stessa. Questa sistematica etuttavia trascurabile poiche non porta alcunaconseguenza sui risultati estratti dal fit.L’altro problema e dato dalla presenza di unfondo composto sia dalla radioattivita natu-rale sia dal rumore elettronico. Quest’effettoha influito pesantemente sulla seconda partedell’esperimento, impedendo la discriminazio-ne di un segnale visibile. A conferma di ciosi e calcolato il Minimum Detectable Amount,pari a 133 cnts, confrontandolo poi con il ratedi eventi atteso, pari a 25± 5 cnts.

24

A Deduzione analitica delladispersione angolare

La dispersione angolare dei fotoni che vengo-no diffusi dal blocchetto di piombo e dovutaal fatto che lo scatteratore non e puntiforme eche il rivelatore ha, ovviamente, un’accettanzafinita. Una stima del massimo valore assuntoda questa quantita puo essere ottenuta tramiteconsiderazioni di tipo geometrico.Per i nomi delle variabili utilizzate in seguitosi faccia riferimento alla schematizzazione del-l’apparato sperimentale di figura 19 che, percomodita di visualizzazione, e stata ingranditanella figura 30 riportata alla fine del report.I dati di partenza sono le distanze tra sorgentee scatteratore (AO ≡ L), la distanza tra scat-teratore e rivelatore (OP ≡ D), la larghezzadello scatteratore (BC ≡ l

2) e il diametro del-la finestra d’ingresso del rivelatore (DE ≡ 2d).In seguito, si indica con θ il valore di riferimen-to dell’angolo a cui sono stati eseguiti i campio-namenti e con i due archetti a tratto continuogli angoli di accettanza dell’esperimento (ovve-ro le dispersioni).Per calcolare l’ampiezza di questi due angoli laprocedura e del tutto analoga. Si considerano itriangoli AOC e OCE per trovare l’angolo convertice in C. Focalizzandosi sul primo dei duesi trova l’ampiezza dell’angolo ACO come:

ACO = π − CAO −AOC

Il primo angolo e

CAO ≡ ε = arctanl sin θ

2

2L+ l cos θ2

mentre il secondo e il supplementare di θ2 .

Passando al secondo triangolo si calcola EOCtramite il teorema del seno:

EC

sin(θ2 − δ

) =EO

sinOCE

dove

δ = arctand

D

EO = Dsin δ e, grazie al teorema del coseno:

EC ≡ h =

√(D

sin δ

)2

+l2

4− Dl

sin δcos

(θ

2− δ)

L’angolo OCE e ottuso quindi:

OCE = π − arcsinD

sin δ sin(θ2 − δ

)h

La prima dispersione e l’angolo supplementaredella differenza tra OCE e ACO ed e pari a

arcsinD

sin δ sin(θ2 − δ

)h

+θ

2− ε

Il secondo angolo limite si ottiene consideran-do i triangoli AOB e DBO. Conducendo lostesso ragionamento, si trova che l’ampiezzadell’angolo e:

arcsinD

sin δ sin(θ2 + δ

)h′

+θ

2+ ε

con

DB ≡ h′ =

√(D

sin δ

)2

+l2

4+

Dl

sin δcos

(θ

2+ δ

)

25

Riferimenti bibliografici

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[7] Donald H. Perkins. Introduction to High Energy Physics. Cambridge University Press, fourthedition, 2000.

26

A

B

CO

D

E

P

q

NaI

Figura 30: Dispersione angolare tra lo scatteratore e il rivelatore da 3′′. Le lunghezze non sono in scala.

27

gate

NaI 3"

Pb

scat

tere

r

gate

Pb

scat

tere

r

NaI

3"

e 1e 2

c) d)

e 1e 2 e 2e 2

e 1

e 1

1/6

5/6

1/6

5/6

5/61/

65/

61/

6

gate

NaI 3"

Pb

scat

tere

r

gate

Pb

scat

tere

r

NaI

3"

a) b)

5/61/

6

e 2

e 1

e 1

e 2

e 1e 1

e 2 e 2

5/61/

65/

6

1/6

5/6

1/6

Figura 31: Schema dell’apparato sperimentale. I fotoni con colore uguale provengono dallo stessodecadimento.

28