光通信工学 ki k 1. 復習 2. 媒質1:n nn 3. 屈折率 x 4. 媒質2 ......nn 12 >...
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光通信工学202-1
光通信工学 1. 復習 2. スネルの法則 3. 屈折率 4. 振幅反射(透過)率 5. フレネルの式
x
y
媒質1:n1 媒質2:n2
1θ 1θ
2θ1 1 2 2
1 2 1 2
sin sinn nn n
θ θθ θ
=> → <
ik rk
tk1 2n n>
-
光通信工学202-2
光波とは:式で書いた方が分かりやすいかも! 偏光:電場Eの振動方向 偏波面:電場Eベクトルと波数ベクトルからなる平面
進行方向:+z軸
x方向の直線偏光
x軸
y軸
k
⊥ ⊥E H k
H
H:磁場の強さ +y軸
( )( )
,0,0
0, ,0x
y
E
H
=
=
E
H
平面波&進行波:簡単・便利
電場Eベクトル
電場E(振動)ベクトル
磁場H(振動)ベクトル
磁場H ベクトル
+x軸
偏波面:x-z平面 右ねじ:電場E(+) →磁場H(+)
波数ベクトル ( )0,0, 0k= >k
( ) ( )( ) ( )
0
0
0 0
, cos
, cos
, 0
x
y
E z t t kz
H z t t k
E
HE
zH
ω φ
ω φ
η η
= − +
= − +
= >
振幅一定 赤:正実数
振動ベクトルを記述するときのお約束(平面波の場合) • 電場Eベクトルと磁場Hベクトルの向きは「右ねじ」で設定 • 現実には、電場Eと磁場Hは振動しているから向きも変化する • 詳細は省略するが、上記関係式は電場Eと電束密度Dの向きが
一致する「等方性質媒質」に限定される。(例:ガラス) • 参考文献:末田「光エレクトロニクス」p.136(昭晃堂)
波動インピーダンス:205
注意:電場Eも磁場Hも同じ位相速度の波。振動方向と振幅が異なる
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光通信工学202-3
平面波 Plane wave:波数ベクトル表示
複素振幅
複素数表示
実数表示 平面波:振幅・波数ベクトルの位置依存性無。
k
( ) ( ), cost tAψ ω φ= − +r k r
( ) ( ), exp, 0j j
t j
A AeA
tA
eA φ φψ ω= −
= = >
r k r
-30 -20 -10 0 10 20 30
-30
-20
-10
0
10
20
30
k 振幅一定:赤:正実数、青:複素数
定数
厳密に言うと、平面波&進行波
進行波
進行波
λ
波長:µmオーダー 無限の拡がり
平面波近似の目安 太線の長さ>>波長 太線:実際に波が存在
平面波近似 1. ビーム径が波長に比べて非常に大きければ近似可 2. 考えている領域でビームの拡がり(回折)が無視でき
ること
質問:どうして「平面波近似」しますか? 1. 振幅の位置依存性無(本講義では定数) 2. 波数ベクトルの位置依存性無 3. 数式的に簡単で取り扱いが容易
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光通信工学202-4
( ) ( )Re exp cos
j je e
j t
A A
A kz t kz
A
A
φ φ
ω ω φ
= =
− = − +
波:基本的な表現
( ) ( ), cos2 2cos
z t t kz
t zT
A
A
ψ ω φ
π π φλ
= − +
= − + 周期(s)
周波数:Hz
実数表示
振幅 角周波数(rad/s) 波数(m-1) 初期位相
波長(m)
1f T=
( )2 360radπ = °
複素数表示 ( ) ( )( )
, exp
exp 0, argA
z t jA t kz
j z A At Ak
ψ ω φ
ω φ
= − +
= − = > =
偏角:Argument
注意:実数表示と複素数表示 振幅:赤色(正実数) 青色(複素数)
絶対値
複素振幅
Euler's formula cos sinje jθ θ θ⇒ = +
j:虚数単位:Imaginary unit
括弧内:位相
注意:波数を位相定数と呼ぶ場合もある。
光波に限定されない一般的な「波」の性質
角周波数 2 fω π=
-
光通信工学202-5
周波数と波長(真空中)
pv kω
=
152 1 10ω π= = f T Hz
2k π λ=
位相速度 Phase velocity
周波数 Frequency
22 fTπω π= =角周波数 Angular frequency
波数 Wavenumber
2p pf v vλ ωλ π= → =
位相速度:周波数と波長の積
真空中の光速:位相速度 Speed of light in vacuum
80 3 10 /pv c m s= ×
10-9
10-6
10-3
1
1015
1012
109
106 100
周波数 波長 Hz m
1018 γ線
X線
紫外線
可視光線 赤外線
短波
遠赤外線
電磁波の種類 光は電磁波の一種
マイクロ波
電場E
磁場H
進行方向 k
H:磁場の強さ
約束:下ツキ「0」=真空中
波長 Wavelength 1λ µ m
注意:色は周波数(角周波数)で異なる
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光通信工学202-6
単位 10の乗数を表す接頭語
呼び方 呼び方
1018 exa E 10-3 milli m
1015 peta P 10-6 micro µ
1012 tera T 10-9 nano n
109 giga G 10-12 pico p
106 mega M 10-15 femto f
103 kilo k 10-18 atto a
可視光スペクトル
400nm 500nm 600nm 700nm 1.3-1.55µm 600THz
光ファイバ通信 低損失帯(0.2-0.3dB/km)
真空中の波長 屈折率 = 1
注意: • 「色は周波数(角周波数)で異なる」と覚えましょう。 • 「波長(波数)で異なる」としても構いませんが、本講義では「角周波数」を頻繁に使用します。
2p pf v vλ ωλ π= → =
µm:マイクロメートル
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光通信工学202-7
進行波:前進・後退波
( ) ( ), cosz t t kzAψ ω φ= − + ( ) ( ), cosz t t kzAψ ω φ= + +
波の速度 等位相位置が移動する速度なので位相速度と呼ぶ場合もある。
位相速度:201
0lim ω∆ →
∆= = → ≡
∆p ptzv v ct k
前進(進行)波:Forward traveling wave 後退(進行)波:Backward traveling wave 0k > 0k >
注意:符号
光速の場合:記号cで表わす場合が多い。 ラテン語 で速さを意味するceleritasの頭文字
平面波なら:振幅一定 注意:実数表示と複素数表示 振幅:赤色(正実数) 青色(複素数)
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光通信工学202-8
前進波と後退波:光の場合 電場E
磁場H
( ) ( )( ) ( ) ( )
0
0
, cos
, cosx
y
E z t t kz
H
E
z t kzE t
ω φ
η ω φ
= − +
= − +
x
yz
進行方向k:電場E→磁場H(右ねじ) 磁場H:k→電場E
x
yz
後退波
前進波
電場E
磁場H
前進波:直線偏光
平面波:定数振幅(波の拡がり無限大、非現実的だけど)
磁場Hを-y方向
( )
( )( ) ( )( ) ( )
1 , 0
, ,0,0 , 0, , ,0 , 0,0, , 0x yE z t H z t k k
ωµ= × • =
= = = ± >
H k E k E
E H k
後退波:直線偏光
ベクトル表示をしましょう!
0k >
係数:205:μ:透磁率 磁場H:k→電場E
( ) ( )( ) ( ) ( )
0
0
, cos
, cosx
y
E
E
E z t t kz
H z t t kz
ω φ
η ω φ
= + +
= − + +
赤:正実数
波動インピーダンス:205
-
光通信工学202-9
ベクトル表示:光波の場合
電場E
x
z
進行方向k:電場E→磁場H(右ねじ) 磁場H:k→電場E
前進波
( )( )( )
, ,
, ,
, ,
x y z
x y z
x y z
E E E
H H H
k k k
=
=
=
E
H
k
( )
( )( )( )( )
( )
1 , 0
, ,0,0
0, , ,0
0,0, , 0
x
y
E z t
H z t
k k
ωµ= × • =
=
=
= ± >
H k E k E
E
H
k
関係式:電場Eと磁場Hと波数ベクトル
y電場E
E
k
前進波
H磁場H
磁場H
一般化
-
光通信工学202-10
x
y 波数ベクトル 入射波
波数ベクトル 反射波
波数ベクトル 透過波
1θ 1θ
2θ
ik rk
tk1 2n n>
スネルの法則 Snell's law :屈折 思い出してみましょう!
入射波:波数ベクトルの大きさ(201-13)
反射波:波数ベクトルの大きさ 透過波:波数ベクトルの大きさ
スネルの法則
1 1 2 2 1 2 1 2
0 01 2
1 2
sin sin ,
,
n n n n
c cn nc c
θ θ θ θ= > → <
= = 約束:下ツキ「0」=真空中 真空中の光速(位相速度)
01 0 0
1 1 0 0
0,c n k kc c c cω ω ω
= = = > =ik
01 0
1 1 0
0c n kc c cω ω
= = = >rk 0 2 02 2 0
0c n kc c cω ω
= = = >tk
媒質1:n1 媒質2:n2
媒質中の光速(位相速度):波数ベクトルの大きさ 1 2 1 2> → < ⇔ = >n n c c i r tk k k
ω=pv k
-
光通信工学202-11
教えてくれること • 入射波、透過波:波数ベクトル情報のみ。 • つまり、屈折率が異なる媒質の境界で透過波がどちらの方向に進むのかを教えてくれる。
スネルの法則で教えてくれないこと: 「光」の特徴である波としての電場Eや磁場Hの振る舞い(振幅情報)?
スネルの法則が教えてくれること、教えてくれないこと
y
x
1θ 1θ
2θ
ik rkik
等位相面
屈折率 媒質1:n1
屈折率 媒質1:n2
入射波:平面波近似 波数ベクトルの位置依存性無
反射波:平面波近似
tk
境界面:z-x
透過波:平面波近似
z軸:奥から手前
電場E:境界面内方向成分(z軸)のみ
添え字:Incident(入射), Reflection(反射), Transmission(透過)
-
光通信工学202-12
( )0,0, tzE=tE
反射と透過を考える:s偏光成分 senkrecht(垂直)
y
x
1θ 1θ
2θ
ik rkik
等位相面
簡単のため 電場E:境界面内方向成分(z軸)のみ 波数ベクトル:紙面内方向成分のみ
屈折率 媒質1:n1
屈折率 媒質1:n2
( ) ( )0,0, , , ,0 , 0, 0z x yE k k k= = = > • =E k k E k
入射波:平面波近似 波数ベクトルの位置依存性無
反射波:平面波近似
tk
( ) ( )0
1 1 , ,0y z x zk E k Eωµ ωµ= × → −H k E
境界面:z-x
磁場H:202-9
透過波:平面波近似
非磁性体:ガラスなど 真空中の透磁率
0µ µ=
z軸:奥から手前
反射前後
ik → rk
( )0,0, rzE=rE( )0,0, izE=iE
これから反射波と透過波の振幅を求めましょう!但し、電場Eのみ。 Key words:振幅反射率、振幅透過率
-
光通信工学202-13
( ) ( )( )
( ) ( )1 0 1 1 0 11 0
, exp
exp
, ,0 sin , cos ,0
0
iz
ix
i
iy
ix iy
i
E t j t
j t k x k y
k k n k n k
n k
E
E
ω
ω
θ θ
= −
= − −
= = −
= >
i
i
i
r k r
k
k
x
y
波数ベクトル 透過波
1θ 1θ
2θ
ik rk
tk1 2n n>
電場Eを複素数表示で記述:z成分のみ
入射電場E(z成分のみ):平面波近似
反射電場E(z成分のみ):平面波近似
( ) ( )( ) ( )1 0 1 1 0 1, exp
, ,0 sin , cos ,0
rz rx ry
rx ry
rE t j t k x k y
k k n k n
E
k
ω
θ θ
= − −
= =r
r
k
透過電場E(z成分のみ):平面波近似
( ) ( )( ) ( )2 0 2 2 0 2, exp
, ,0 sin , cos ,0
tz tx ty
tx ty
tE t j t k x k y
k k n k n
E
k
ω
θ θ
= − −
= = −t
r
k
注意
0 00 1 2
0 1 2
, ,c ck n nc c cω
= = =
真空中の波数 屈折率
青:複素振幅(定数)
媒質1:n1 媒質2:n2
( ) ( ) ( )0,0, , , , , ,i iz iz izE E t E x y z t= ≡E r
添え字:Incident(入射) Reflection(反射), Transmission(透過)
参照:202-10
( )0,0, rzE=rE
( )0,0, tzE=tE
-
光通信工学202-14
( ) ( ) ( ), , , , @ 0iz rz tzE t E t E t y+ = =r r r
( ) ( ) ( )0
1, ,0 , 0,0, , , ,0x y z y z x zk k E k E k Eωµ= = = −k E H
x
y 波数ベクトル 入射波
波数ベクトル 反射波
波数ベクトル 透過波
1θ 1θ
2θ
ik rk
tk1 2n n>
境界条件:結論のみ 境界条件の導出:205
電場Eの境界条件:電場Eの面内方向成分(z成分)が一致
媒質1側:入射波と反射波の合成波 媒質2側:透過波
磁場Hの境界条件:磁場Hの面内方向成分(x成分)が一致
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ), , , , @ 0
, , ,
ix rx tx
iy iz ry rz ty tz
H t H t H t y
k E t k E t k E t
+ = =
+ =
r r r
r r r
求めたい関係? • 複素振幅反射率と複素振幅透過率
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
, exp
, exp
, exp
iz ix iy
rz rx ry
t
i
r
tz tx ty
E t j t k x k y
E t j t k x k y
E t
E
E
E j t k x k y
ω
ω
ω
= − −
= − −
= − −
r
r
r
入射電場E z成分のみ
反射電場E z成分のみ
透過電場E z成分のみ ,= = tr
i is sr t
EEE E
媒質1:n1 媒質2:n2
磁場Hは簡単!:202-12
注意:未知数が2個だから方程式が2個、
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光通信工学202-15
計算:電場E
( ) ( ) ( ), , , , @ 0iz rz tzE t E t E t y+ = =r r r
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
0
0
0
, exp exp
, exp exp
, exp exp
yiz ix iy ix
yrz rx ry rx
i
ytz tx t
i
r r
ty txt
E t j t k x k y j t k x
E t j t k x k y j t k x
E E
E E
E EE t j t k x k y j t k x
ω ω
ω ω
ω ω
=
=
=
= − − → −
= − − → −
= − − → −
r
r
r
1 1 2 2
1 0 1
1 0 1sin sin
2 0 2 1 0 1
sinsin
sin sin
ix
rxn n
tx tx ix rx tx
k n kk n k
k n k k n k k k kθ θ
θθ
θ θ=
==
= → = → = =
202-13
スネルの法則
+ =i r tE E E
関係式:電場Eの複素振幅 波数ベクトル:面内方向成分(x成分)が一致
電場Eの境界条件:電場Eの面内方向成分(z成分)が一致 青:複素振幅(定数)
添え字:Incident(入射) Reflection(反射), Transmission(透過)
202-13
-
光通信工学202-16
フレネルの式 Fresnel’s equation
( ) ( ) ( ), , , , @ 0iy iz ry rz ty tzk E t k E t k E t y+ = =r r r
202-14
1 0 1
2 0 2
cos
cos
θ
θ
+ =
= − = −
= −
i riy ry ty
iy ry
ty
tE E Ek k kk k n kk n k
関係式:電場Eの複素振幅 + =i r tE E E
複素振幅反射率と複素振幅透過率:実数
省略:p偏光成分:parallel(平行) 参考文献:本宮「波動光学の風景」 O plus E, 29, 11, p.1168 (2007) O plus E, 29, 12, p.1286 (2007)
磁場Hの境界条件:磁場Hの面内方向成分(x成分)が一致
細かい計算手順は省略
青:複素振幅(定数)
202-13
2 21 12/ 11 1 2 2
2 21 2 2 2 1 1
2/ 11 1 12 2
1 1 2 2 1 1
cos sincos coscos cos cos sin
2 2 cos 2coscos cos cos sin
θ θθ θθ θ θ θ
θ θθ θ θ θ
≡
≡
− − −−= = → →
+ + + −
= = → →+ + + −
iy ty n n ns
iy ty
iy n n
r
i
t n
y yis
i t
k k nn nrk k n n n
k ntk k n n
EE
EE n
( )i r tiy tyk E kE E− =
-
光通信工学202-17
入射波
反射波
入射波
反射波
位相シフトがπの場合、入射波と反射波は反射点で位相シフト。山なら谷、谷なら山
フレネルの式が教えてくれること(一例):反射光の位相変化 屈折率の高い媒質から低い媒質へ入射するときの反射光は、境界面において位相は不変 屈折率の低い媒質から高い媒質へ入射するときの反射光は、境界面において位相がπシフト
位相シフトがなければ、入射波と反射波は反射点で位相ずれ無し。山なら山、谷なら谷
屈折率低い
屈折率高い
屈折率高い
屈折率低い
入射波と透過波は屈折率の大小に係わらず位相シフト無し。 これを、入射波と透過波の位相は連続であると言う。
透過波
スネルの法則のみでは分かりません
-
光通信工学202-18
複素振幅反射率と屈折率の関係
x
y
媒質1:n1 媒質2:n2
波数ベクトル 入射波
波数ベクトル 反射波
波数ベクトル 透過波
1θ 1θ
2θ
ik rk
tk
フレネルの式 Fresnel’s equation
2 21 1
2 21 1
12 2
1 1
2 1
cos sin
cos sin2cos
cos sin
θ θ
θ θ
θ
θ θ
− −= =
+ −
= =+ −
≡
r
i
t
i
s
s
EE
E
nr
n
tn
n n n
E
2 21
12 2
1 1
sin 0
2coscos sin
0θ
θ
θ θ
− >
=+ −
→ >
s
n t
i
EE
tn
注意:屈折率の大小に係わらず成立 但し、青色(複素振幅)、複素数/複素数 = 正実数
複素振幅透過率:全反射を除く 1 2 2
1 2 1 1cos sin0
θ θ → > −= >r i
n
s
n n nE Er
複素振幅反射率:屈折率の高い媒質から低い媒質へ入射する場合
複素振幅反射率:屈折率の低い媒質から高い媒質へ入射する場合
1 2 21 2 1 1cos sin
0θ θ>< → < −
=
-
光通信工学202-19 光通信工学202-19
( ) ( )( )
, exp
cos
, 0i i
iz ix iy
ix iy i
i
i
i iij
ij
E t j t k x k y
t k xE
E
E
e e EE
k y
E φ φ
ω
ω φ
= − −
→ − − +
= = >
r
x
y 波数ベクトル 入射波
波数ベクトル 反射波
波数ベクトル 透過波
1θ 1θ
2θ
ik rk
tk1 2n n>
反射光の位相変化:複素数表示と実数表示
媒質1:n1 媒質2:n2
202-13
複素振幅反射率:屈折率の高い媒質から低い媒質へ入射する場合
複素振幅反射率:屈折率の高い媒質から低い媒質へ入射する場合
青色(複素数) 赤色(正実数)
( ) ( )( )
, exp
cos
, 0r r
rz rx ry
rx ry r
r
r
r rrj
rj
E t j t k x k y
t k xE
E
E
e e EE
k y
E φ φ
ω
ω φ
= − −
→ − − +
= = >
r
= rs ir E E
φ φ π→ = +r i 位相がπシフト
位相は不変(連続) φ φ→ =r i
= rs ir E E
複素数/複素数 = 正実数
複素数/複素数 = 負実数
入射電場E(z成分のみ):平面波近似
反射電場E(z成分のみ):平面波近似
-
光通信工学202-20
入射波
反射波
入射波
反射波
位相シフトがπの場合、入射波と反射波は反射点で位相シフト。山なら谷、谷なら山
結論:反射光の位相変化(s偏光) 屈折率の高い媒質から低い媒質へ入射するときの反射光は、境界面において位相は不変 屈折率の低い媒質から高い媒質へ入射するときの反射光は、境界面において位相がπシフト
位相シフトがなければ、入射波と反射波は反射点で位相ずれ無し。山なら山、谷なら谷
実はp偏光でも状況は同じであるが、やや座標系が複雑になるためちょっと解釈が難しい。 参考文献:河合「光学設計のための基礎知識」p.145、オプトロニクス社
屈折率低い
屈折率高い
屈折率高い
屈折率低い
206:光の干渉で「この結論」を利用します。
透過波
スライド番号 1スライド番号 2スライド番号 3スライド番号 4スライド番号 5スライド番号 6スライド番号 7スライド番号 8スライド番号 9スライド番号 10スライド番号 11スライド番号 12スライド番号 13スライド番号 14スライド番号 15スライド番号 16スライド番号 17スライド番号 18スライド番号 19スライド番号 20