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추가적 주제들(Further Topics)

Part I. 더미 설명 변수(Dummy Explanatory Variables)

Part II. 연립방정식 모형(Simultaneous Equations Model)

Part III. 시차분포모형(lag distributed model)

Part I. 더미 설명 변수 (dummy explanatory variable)

I. 더미 변수 (모의 변수, 이원 변수)의 개요

A. 다중회귀모형에서의 기본 가정 1

i. 1 2 2 , 1, ,t t K tK ty x x t T= β +β + +β + ε = …

1. (other variables held constant)

( ) ( )t t

tk tk

E y E yx x

∆ ∂=

∆ ∂

2. 즉 모형의 모수는 각각의 모든 관측에 대해 일정함을 전제하고 있음

3. 모형의 모수가 표본내 관측치 중 일부에 대해 다른 경우를 생각할 수

있음

B. 더미변수

i. 0, 1 의 값을 취하는 변수

ii. 어떠한 것의 존재 여부, 긍정 부정 여부, 또는 양분된 상태 등을 나타냄

1. 자가용 보유자와 비보유자

2. 남성과 여성

3. 흑인과 백인

4. 도시거주자와 농촌거주자

5. 1997 년 이전과 이후

6. …..

iii. 몇 개의 더미변수를 결합하여 둘 이상의 분류를 나타낼 수도 있음

1. 1 사분기, 2 사분기, 3 사분기, 4 사분기

2. 60 년대, 70 년대, 80 년대,…

C. 절편 더미변수

i. 1 2 3 , 1, ,t t t ty x G t T= β +β +β + ε = …

1. G=1: 남성의 경우 G=0: 여성의 경우

2. y: 시간당 임금률, x: 경력

3. 남성과 여성의 초임(즉 경력이 0 일 때의 임금률에 차이가 있는가?

( 0 3: 0H β = , 1 3: 0H β ≠ ). 혹은 성차별이 있는가?

( 0 3: 0H β = , 1 3: 0H β > )

2

D. 기울기 더미변수

i. 1 2 4 , 1, ,t t t t ty x G x t T= β +β +β + ε = …

ii. 남성과 여성의 초임은 같으나 경력에 따른 임금률의 증가가 다르거나

( 1 4: 0H β ≠ )혹은 성차별이 있다( 1 4: 0H β > ).

iii. 기울기 및 절편의 차이: 1 2 3 4 , 1, ,t t t t t ty x G G x t T= β +β +β +β + ε = …

E. 더미변수 함정(Trap)

i. 어떤 특성이 m 의 범주로 구분될 때, 이를 나타내는 더미변수는 m-1 개만

을 사용해야 함. (m 개를 모두 쓸 경우 완전한 공선성으로 인해 문제 발생)

ii. 남성과 여성 – 두 개의 범주 : 하나의 더미변수만을 써야 함

1. 1 2 3 41 2 , 1, ,t t t t ty x D D t T= β +β +β +β + ε = …

a. D1: 남성일 경우 1 남성이 아닐 경우 0, D2: 여성일 경우 1..

b. D1+D2 = 1 (완전한 공선성)

c. D1 만을 쓸 경우 여성은 통제 범주(control category )또는 참고

그룹(reference group)으로 부름 (즉 D1 의 모수는 여성 대비 남

성의 차이를 나타냄)

iii. 1 사분기, 2 사분기, 3 사분기 4 사분기 : 네 개의 범주: 세개의 더미변수만

써야함

1. D1: 1 사분기 = 1, D2: 2 사분기 = 1, D3: 3 사분기= 1, D4: 4 사분기

= 1

a. 이 때 D1, D2, D3 만을 사용할 경우 4 사분기가 참고그룹이 됨

b. 1 2 3 4 51 2 3 , 1, ,t t t t t ty x D D D t T= β +β +β +β +β + ε = … (D1 의

모수는 4 사분기 대비 1 사분기의 차이를 나타냄)

II. 더미 변수 (모의 변수, 이원 변수)의 일반적 활용

A. 질적인 요소들의 상호작용

i. 둘 이상의 질적 변수의 사용시 그 상호작용에도 주의해야 함

1. R: 백인(1) 비백인(0), G: 남성(1) 여성(0)

3

2. 1 2 , 1, ,t t t t ty x R G t T= β +β + δ + γ + ε = …

a. 백인이고 동시에 남성일 경우 추가적인 premium 여부를 파악하고

자 한다면 이는 불충분

3. ⇒ 1 2 , 1, ,t t t t t t ty x R G R G t T= β +β + δ + γ + λ + ε = …

a. 백인남성: ( ) 1 2t tE y x= β + δ + γ + λ +β

b. 백인여성: ( ) 1 2t tE y x= β + δ +β

c. 비백인남성: ( ) 1 2t tE y x= β + γ +β

d. 비백인여성: ( ) 1 2t tE y x= β +β

B. 여러 가지 범주를 갖는 질적 변수

i. 예컨대, 교육수준을 4 가지 범주로 구분

1. E0: 고졸미만(1), 그외(0), E1: 고졸(1), E2: 대졸(1), E3: 대학원이상(1)

2. ⇒ 1 2 1 1 2 2 3 3 , 1, ,t t t t t ty x E E E t T= β +β + δ + δ + δ + ε = …

a. 참고그룹: 고졸미만

b. 더미변수의 모수들은 고졸미만 그룹 대비 해당 그룹의 임금율 프

리미엄을 나타냄

C. 시간에 따른 변화를 통제 (시계열 자료에 해당)

i. Montly dummies, Seasonal dummies, Annual Dummies,

ii. Regime Changes(구조적 변화)

1. 투자조세감면(investment tax credit)의 적용시기 = 1, 그외 (0)

2. IMF 이후 =1 , 그외(0)

III. 두 회귀식의 등가성(equivalence)에 대한 검정

A. 1 2 , 1, ,mt m m mt mt my x t T= β +β + ε = … , 1 2 , 1, ,wt w w wt wt wy x t T= β +β + ε = …

i. 1 1m wβ = β , 2 2m mβ = β ?

B. F-검정 ( ( ) ( )mt wtV Vε = ε )

i. 1 2 3 4 , 1, ,t t t t t ty x G G x t T= β +β +β +β + ε = …

1. 0 3 4: 0H β = β = , 1 :H otherwise

2. 1

1

( ) //( )

R U

U

SSE SSE JFSSE T K

−=

− : (위의 예 J=2, K=4)

C. Chow 검정

i. 세 번의 회귀분석을 필요로 함

1. 1 2 , 1, ,mt m m mt mt my x t T= β +β + ε = … ⇒ SSEm

4

2. 1 2 , 1, ,wt w w wt wt wy x t T= β +β + ε = … ⇒ SSEw

3. ( )1 2 , 1, ,t t t m wy x t T T T= β +β + ε = = +… ⇒ SSER

ii. 역시 F 검정통계량을 사용함

1. SSEU2 = SSEm + SSEw

2. 2

2

( ) //( 2 )

R U

U

SSE SSE JFSSE T J

−=

− (J 는 모수의 수(이게 결국 제약의 수임))

3. SSEU1 = SSEU2 이며 따라서 F 검정과 chow 검정은 동일한 결과를 낳

음

iii. Chow 검정을 통한 구조적 안정성에 대한 검정

1. 1 2 2t t K tK ty x x= β +β + +β + ε , 1,...,t T=

a. 0H : N 관측치와 T-N 관측치 사이에 구조적 변화가 없음,

1H : 있음

b. N 관측치로 구성된 group1 ⇒ SSE1 , T-N 관측치로 구성된

group2 ⇒ SSE2 , 전체 관측치로부터 ⇒ SSER

c. 1 2

1 2

( ) /( ) /( 2 )

RSSE SSE SSE KFSSE SSE T K

− −=

+ −: F 검정통계량

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Part II. 연립방정식 모형 (Simultaneous Equation Models)

I. 연립방정식 모형의 개요

A. 연립방정식모형의 특징

i. 연립방정식모형은 일련의 방정식 집합 (시스템)으로 이루어짐

ii. 연립방정식모형은 구성 방정식이 둘 혹은 그 이상의 종속변수들을 포함

iii. 최소제곱추정방법은 연립방정식모형에서는 부적절함

B. 예: 수요 공급 모형 – 구조방정식 (Structural Equations)

i. 수요와 공급은 함께 재화의 시장 가격과 거래량을 결정함

ii. 시장 가격과 거래량을 설명하는 계량경제모형은 두개의 방정식, 즉 수요

방정식과 공급방정식으로 구성됨

1. 수요 방정식: 1 2 dq p y= α +α + ε

2. 공급 방정식: 1 sq p= β + ε

a. 이 모형에서 변수 p 와 q 는 시스템내에서 그 값들이 결정된다는

의미에서 내생변수(endogenous variables) 라 함

b. 소득 변수 y 는 이 시스템 밖에서 결정되어 주어진 값을 가지며,

이는 외생변수(exogenous variable) 라 함

c. 수요방정식과 공급방정식의 오차항들은 통상적인 이유로 추가되며

그들에 대해 다음과 같은 통상적인 성질을 가정함

2

2

( ) 0, var( )

( ) 0, var( )cov( , ) 0

d d d

s s s

d s

E e e

E e ee e

= = σ

= = σ=

d. 우선 각 방정식에서 q 를 종속변수로 p 를 설명변수로 간주하는

경우 p 는 확률변수임(Why?)

e. 수요 방정식과 공급방정식에 확률변수인 설명변수가 있는 경우로

볼 수 있으며, 문제는 p 가 오차항 ed 및 es 와 상관되어 있다는

것임 (Why?)

f. 즉 최소제곱추정은 일치추정이 되지 못함

C. 축약형 방정식(The Reduced Form Equations)

i. 위에서 수요 및 공급의 두개의 구조 방정식을 풀어서 내생변수 p 와 q 를

외생변수인 y 의 함수로 표시할 수 있음

1. 모형에 대한 이와 같은 재구성을 구조방정식시스템에 대한 축약형이라

고 부름

1 1 2s dp e p y eβ + = α +α + ⇒

6

( ) ( )2

1 1 1 1

1 1

d se ep y

y v

−α= +

β −α β −α

= π + ,

( ) ( )

( ) ( )

21 1

1 1 1 1

1 11 2

1 1 1 1

2 2

d ss s

d s

e eq p e y e

e ey

y v

⎡ ⎤−α= β + = β + +⎢ ⎥β −α β −α⎣ ⎦

β −αβ α= +

β −α β −α

= π +

a. 모수 π1 와 π2 는 축약형 모수라고 함

b. 오차항 1v 과 2v 는 축약형 오차항 혹은 교란항(disturbance term)

이라고 함

c. 축약형 방정식들은 최소제곱추정으로 일치 추정할 수 있음

i. 최소제곱추정량은 π1 와 π2 의 추정을 위해서는 BLUE 임

2. 축약형 방정식들은 그 자체로 경제적 분석에 있어서 중요함

a. 내생변수들의 균형값들을 외생변수들에 연결시킴. 즉 소득 y 의

변화가 있을 때, 1π 는 시장이 새로운 균형가격과 수량으로 조정

이 되었을 때 가격의 기대값의 변화를 나타냄

b. 추정된 축약형 방정식들은 서로 다른 소득 수준들에 대응되는 균

형 가격과 수량들의 값을 예측하는데 이용될 수 있음

II. 연립방정식 모형에서의 최소제곱추정의 실패

A. 연립구조방정식에서의 모수들에 대한 최소제곱추정량은 방정식의 오른쪽에 있

는 내생변수들이 오차항과 상관되어 있으므로 해서 편향되고(biased) 비일치인

(inconsistent) 추정이 됨

i. 공급방정식에서 오른쪽에 있는 확률 설명변수인 p 는 오차항 es. 과 상관

되어 있음

B. 직관적 설명

i. 오차항 es 에 있어서 작은 변화, 가령 ∆es 가 발생했다고 하면, 축약형 방

정식에서 명확하게 나타나듯이 이 ∆es 는 바로 p 의 균형값에 영향을 주게

됨

ii. 1 0β > 이고 1 0α < 이므로 ∆es > 0 이라면 0p∆ < 임. 즉 es 에 있어서의

모든 변화는 반대방향으로의 p 의 변화와 함께 일어나며, 따라서 p 와 es

는 음의 상관을 갖게 됨

iii. 공급방정식에서의 q 와 p 에 대한 최소제곱추정은 오차항의 변동으로 인한

효과를 가격으로 인한 효과로 평가하게 됨

iv. 대표본에서 최소제곱추정량은 음의 편향을 가지게 될 것임

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v. 이러한 편향은 표본의 크기가 크다 하더라도 지속되며, 따라서 최소제곱추

정은 일치 추정이 되지 못함

C. 대수적 설명:

i. p 와 es. 의 공분산:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]

( )

1 1

11 1

2

1 12

1 1

cov ,

[since 0]

[substitute for ]

[since is exogenous]

[since , assumed uncorrelated]

s s s

s s

s

d ss

sd s

s

p e E pe E p E e

E pe E e

E y v e p

e eE e y

E ee e

= −

= =

= π +

⎡ ⎤−= π⎢ ⎥β −α⎣ ⎦

−=β −α

−σ=β −α

0<

ii. 공급방정식의 기울기에 대한 최소제곱추정량의 기대값

1. 최소제곱추정량

1 2t t

t

p qb

p= ∑∑

2. 수요방정식으로부터 q 를 여기에 대입하면

( )11 1 12 2

t t st tst t st

t t

p p e pb e h ep p

⎛ ⎞β += = β + = β +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑ ∑ ∑∑ ∑

단, 2t

tt

php

=∑

3. 최소제곱추정량의 기대값은

( ) ( )1 1 1t stE b E h e= β + ≠ β∑ : ( ) 0t stE h e ≠ 인 것은 es 와 p 가

상관되어 있기 때문임

iii. 공급방정식의 기울기가 대표본에서 수렴하는 값

1. 양변을 가격 p 로 곱하고 기대값을 취함

( ) ( ) ( )

21

21

s

s

pq p pe

E pq E p E pe

= β +

= β +

8

( )( )

( )( )1 2 2

sE pq E peE p E p

⇒

β = −

2. 대수의 법칙에 의해, 대표본에서(T→∞)

( ) ( )2 2/ , /t t tq p T E pq p T E p→ →∑ ∑ .

3. 따라서 p 와 es 의 공분산이 음이므로

( )( )

( )( )

( )( )

21 1

1 1 1 12 2 2 2

//

t t s s

t

q p T E pq E peb

p T E p E p E pσ β −α

= → = β + = β − < β∑∑

: 즉 공급방정식의 기울기에 대한 최소제곱 추정량은 대표본에서 그

참값인 β1 보다 작은 값을 가지게 됨

III. 식별(Identification)의 문제

A. 위의 수요 공급 모형의 예에서 수요방정식의 모수들 α1 과 α2 는 어떤 추정

방법에 의해서도 일치 추정할 수 없음

i. 반면에 공급함수의 모수 β1 은 일치추정할 수 있음

B. 문제는 모형에서 공급함수에는 수요곡선을 두고 움직일 수 있는 변수가 없다는

것임

(p1,q1,y1)

(p2,q2,y2)

(p3,q3,y3)(p4,q4,y4)

• 공급방정식에서 빠진소득 변수를 이용하여공급곡선를 식별할 수있음

• 만약 공급함수가 다음과같이 달리 주어진다면

1 2 sq p w= β +β + ε

• 수요방정식 역시 빠진임금변수를 이용하여수요함수를 식별할 수있게 됨

i. 한 방정식으로부터 변수의 부재가 그 방정식의 모수의 추정을 가능하게 하

는데, 일반적인 규칙을 방정식의 식별의 조건이라 함

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C. 식별의 필요조건:

i. M 개의 내생변수들의 값을 결정하는 M 개의 연립방정식으로 구성된 시스

템에서 어떤 한 방정식의 모수들을 추정하는 것이 가능하기 위해서는 적어

도 M−1 개의 변수들이 그 방정식에서 빠져 있어야 함

ii. 방정식의 모수들의 추정이 가능할 때, 방정식은 식별된다고 하며, 그 모수

들은 일치 추정될 수 있음

iii. 만약 M−1 개보다 적은 수의 변수들이 어떤 한 방정식으로부터 부재할 경

우 그 방정식은 과소식별(underidentified)되었다고 하며 그 모수들은 일치

추정될 수 없음

iv. 위의 수요 공급 모형의 예에서 M=2 이고 총 세 개의 변수 p, q 및 y 가 있

으며, 수요방정식은 아무런 변수도 빠지지 않으므로 과소식별되고 있고 그

모수들은 일치 추정될 수 없음. 반면에 공급방정식에서는 M−1=1 개의 변

수, 즉 소득변수가 빠져 있으며, 공급함수는 식별되고 그 모수들은 일치

추정할 수 있음

D. 구조방정식과 축약형 방정식간의 관계와 식별의 조건

i. 식별이 되기 위해서는 추정하고자 하는 구조방정식의 모수들이 일치 추정

되는 축약형 방정식의 모수들로부터 unique 하게 표현되어야 함

( )2

11 1

απ =

β −α,

( )1 2

21 1

β απ =

β −α⇒ 2

11

πβ =

π(식별됨), 2 1 1 2π = π α +α (식별안됨)

E. 식별의 조건과 도구변수 추정

i. 앞의 chapter 에서 논의했던 2 단계 최소제곱추정을 통해 연립방정식 모형

내의 어떤 한 방정식에 대한 일치추정을 위해서는 그 방정식의 오른쪽에

있는 내생변수(즉 오차항과 상관관계가 있는)들의 수만큼 도구변수를 필요

로 함

ii. 연립방정식 모형의 전형적인 방정식에는 오른쪽에 몇 개의 외생변수들이

나타나는데, 도구변수는 추정하고자 하는 방정식에서 빠져 있는 외생변수

들만이 이용될 수 있음

iii. 따라서 식별은 추정하고자 하는 방정식에서 빠져 있는 외생변수의 수가 적

어도 오른쪽에 있는 내생변수들의 수보다 작으면 안됨.

IV. 2 단계최소제곱추정법(The Two-Stage Least Squares Estimation Procedure)

A. 공급방정식에 대한 2SLS 추정

1. 1 단계

a. 축약형 방정식으로부터 변수 p 는 체계적인 부분,과 확률적 오차

의 합으로 표현됨: 1 1 1( )p E p v y v= + = π +

b. 최소제곱 추정시 문제를 일으키는 부분은 확률적 부분 v1 임

c. π1 의 값을 안다고 가정하면

10

1 1

1 1 1

1 *

[ ( ) ]( ) ( )( )

s

s

q E p v eE p v eE p e

= β + += β + β += β +

d. 여기에 최소제곱 추정을 적용하여 β1 에 대한 일치 추정을 얻을

수 있음

e. π1 은 p 에 대한 축약형 방정식으로부터 최소제곱 추정을 통해 얻

은 1π̂ 의 값을 이용함 (1 단계 최소제곱추정)

f. E(p)에 대한 일치추정량은

1ˆ ˆp y= π

2. 2 단계

a. p̂ 으로 E(p)를 대체하면

1 *ˆ ˆq p e= β +

b. 대표본에서 p̂ 과 *̂e 는 상관되어 있지 않으며 따라서 β1 은 여

기에 최소제곱추정을 적용하여 일치 추정할 수 있음

c. 이 추정은 1β 에 대한 2 단계최소제곱추정량을 제공하며, 이는 일

치추정이고 점근적으로 정규분포를 함

B. 일반적인 경우 :

i. 구조 방정식

1 11 12 2 13 3 14 1 1

2 21 22 1 23 3 24 2 2

3 31 32 1 33 2 34 3 3

y y y x ey y y x ey y y x e

= β +β +β +β += β +β +β +β += β +β +β +β +

ii. 축약형 방정식

1 11 12 1 13 2 14 3 1

2 21 22 1 23 2 24 3 2

3 31 32 1 33 2 34 3 3

y x x xy x x xy x x x

= π + π + π + π + ν= π + π + π + π + ν= π + π + π + π + ν

iii. 1 단계 – 축약형 방정식으로부터 예측치를 얻음

1 11 12 1 13 2 14 3

2 21 22 1 23 2 24 3

3 31 32 1 33 2 34 3

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

y x x xy x x xy x x x

= π + π + π + π= π + π + π + π= π + π + π + π

iv. 2 단계 – 예측치를 구조방정식에 대입하여 추정

1 11 12 2 13 3 14 1 1

2 21 22 1 23 3 24 2 2

3 31 32 1 33 2 34 3 3

ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ

y y y x ey y y x ey y y x e

= β +β +β +β += β +β +β +β += β +β +β +β +

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Part III. 동태적 모형 - 시차분포모형(lag distributed model)

I. 개요

A. 경제적 행위나 결정들의 효과는 즉시적으로 다 나타나지 않고 미래의 상당 기

간 동안 분포됨

i. t 기의 행위나 결정들이 t 기 뿐 아니라 t+1 기, t+2 기 등에 도 영향을 미

치는 경우

ii. 경제적 정책변수 xt 의 변화가 경제적 결과 yt, yt+1, yt+2, yt+3 등에 영향

을 미침

iii. 이는 다시 말하면, yt 가 xt, xt-1, xt-2, x-3 등의 값들에 영향을 받음

1. ⇒ yt+1 = f (xt, xt-1, xt-2, xt-3…)

2. 무한시차 모형과 유한시차 모형으로 구분

II. 유한 시차모형 : 0 1 1 2 2 , 1, ,t t t t n t n ty x x x x e t n T− − −= α +β +β +β + +β + = + …

A. 모수 β들에 아무런 제약이 없는 경우

i. n 개의 시차를 고려할 경우 n 개의 관측치 손실을 갖게됨

ii. n 이 클 경우 자유도의 손실이 큼(표준오차가 커짐)

iii. xt-i들 사이에 높은 다중 공선성의 발생가능성이 있음

1. 특히 심각한 문제

2. 표준오차가 매우 커지고 따라서 부정확한 LS 추정결과를 낳음

3. 모수들에 적절한 제약을 가함으로써 이 문제를 우회할 수 있음

B. 다항 시차 분포 (Polynomial Lags Model, Shirley Almon(1965))

i. 20 1 2 , 0, ,p

i pi i i i nβ = γ + γ + γ + + γ =… …

1. n: 시차의 길이

2. p: 다항식의 차수

ii. 이차식의 경우

1. 20 1 2 , 0, ,i i i i nβ = γ + γ + γ = …

2. 시차의 길이가 얼마이든 간에 세 개의 모수, 즉 0 1 2, ,γ γ γ 만을 추정하

면 됨

iii. 0 1 1 2 2 3 3 4 4t t t t t t ty x x x x x e− − − −= α +β +β +β +β +β + (즉 n=4 인 경우)

1. ⇒

0 0 1 2 1 0 1 2 2

0 1 2 3 0 1 2 4

0 0 1 1 2 2

( ) ( 2 4 )( 3 9 ) ( 4 16 )

t t t t

t t t

t t t t

y x x xx x e

z z z e

− −

− −

= α + γ + γ + γ + γ + γ + γ + γ+ γ + γ + γ + γ + γ + γ += α + γ + γ + γ +

단,

0 1 2 3 4

1 1 2 3 4

2 1 2 3 4

2 3 44 9 16

t t t t t t

t t t t t

t t t t t

z x x x x xz x x x xz x x x x

− − − −

− − − −

− − − −

= + + + += + + += + + +

12

2. ⇒ 0 0 1 1 2 2ˆ ˆ ˆ ˆt t t ty z z z= α + γ + γ + γ

⇒

0 0

1 0 1 2

2 0 1 2

3 0 1 2

4 0 1 2

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ2 4ˆ ˆ ˆ ˆ3 9ˆ ˆ ˆ ˆ4 16

β = γ

β = γ + γ + γ

β = γ + γ + γ

β = γ + γ + γ

β = γ + γ + γ

3. 다항분포의 차수가 1 차인 경우는 정책변수의 영향이 시간의 흐름에

따라 선형으로 변화함을 의미함 – 너무 제약적임

a. 위의 예에서 든 2 차의 차수만 가정해도 다음과 같은 유연한 상황

을 반영하는 것이 가능

C. 시차 길이의 선택

i. 여러 가지 기준이 있으나, 적합도(goodness of fit) 기준에 기반을 둔 두

가지 방법이 많이 사용됨

1. N 을 고려하는 최대 시차라고 할 때, 제약 없는 유한 시차 모형은 다

음과 같이 주어짐

0 1 1 2 2t t t t N t N ty x x x x e− − −= α +β +β +β + +β +

a. 이 경우 n≤N 이에 대해 적합도를 평가함

i. 결정계수나 조절된 결정계수를 사용할 수 있으나, 시차 길이

선택의 목적에 사용하는 데 있어서는 부적절한 것으로 알려짐

ii. AIC (Akaike Information Criterion)

A. 2( 2)ln nSSE nAIC

T N T N+

= +− −

i. 이를 최소화하는 n 을 찾음

iii. SC (Schwarz Criterion)

1. ( )2 ln( )

( ) ln n n T NSSESC nT N T N

+ −= +

− −

A. 이를 최소화하는 n 을 찾음

13

iv. 이러한 AIC, SC 의 정의는 경우에 따라 조금씩 달라지기도 함

1. EVIEWS 의 regression 결과에 이 두 criterion 이 제시되

며, 다소 정의는 다르지만 이를 이용하면 됨

2. 두 경우 모두 첫 번째 항은 적합도가 클수록 잔차의 제곱

의 합(설명되지 않는 부분)이 작아지므로 포함되는 설명

변수의 수, 즉 여기서는 시차의 수가 늘어날수록 줄어듦.

반면에, 두번째 항은 시차의 수가 늘어낢에 따라 증가하

는 부분으로 벌칙함수(penalty function)임

III. 무한 시차모형

: 0 1 1 2 2 3 30

t t t t t t i t i ti

y x x x x e x e∞

− − − −=

= α +β +β +β +β + + = α + β +∑

A. 기하시차모형(Geometric Lags Model): , | | 1iiβ = βφ φ <

i. 0 1 1 2 2 3 3

2 31 2 3( )

t t t t t t

t t t t t

y x x x x e

x x x x e− − −

− − −

= α +β +β +β +β + +

= α +β + φ + φ + φ + +

1. 단기 승수 : β

2. 중기 승수 (예:3 기) : 2β+βφ+βφ

3. 장기 승수: 2 3(1 )

1β

β + φ+ φ + φ + =−φ

ii. 이는 정책변수의 영향이 기하학적으로 감소하는 모습을 가지게 됨

1. 시차분포를 알기 위해 추정해야 할 모수는 β와 φ

a. 설명변수가 무한 ⇒ 추정을 위해서는 이를 유한한 숫자로 바꾸어

주어야 함 ⇒ 코익변환

iii. 코익변환(Koyck Transformation)

14

1.

2 31 1 2 3

2 31 2 3 4 1

1

[ ( ) ]

[ ( ) ](1 ) ( )

t t t t t t t

t t t t t

t t t

y y x x x x e

x x x x ex e e

− − − −

− − − − −

−

− φ = α +β + φ + φ + φ + +

− φ α +β + φ + φ + φ + += α −φ +β + −φ

a. ⇒ 1 1(1 ) ( )t t t t ty y x e e− −= α −φ + φ +β + −φ

b. ⇒ 1 2 1 3t t t ty y x−= δ + δ + δ + ν : 코익모형

2. 코익모형의 추정

a. 다중회귀모형과 유사하게 보이나 두 가지 특징을 가지고 있음

i. 설명변수 가운데 시차종속변수(lagged dependent variable)를

가지고 있음

ii. t 기의 오차항 tν 이 te 와 1te − 에 의존하고 있음

1. 따라서 1ty − 가 1te − 에 직접적으로 의존하고 있으므로 설

명변수인 1ty − 과 오차항 tν 은 상관되어 있음

b. 2SLS 를 사용함

i. 1ty − 에 대한 적절한 도구변수는 1tx − 임

1. 1tx − 는 1ty − 과 상관되어 있으며, 동시에 1tx − 는 외생변수

이므로 오차항 tν 와는 상관되어 있지 않음

ii. 1ty − 를 1tx − 에 회귀하여 1ty − 에 대한 예측치를 얻음

1. ⇒ 1 0 1 1ˆt ty a a x− −= +

iii. 1ˆty − 를 코익모형의 1ty − 대신에 포함시켜 회귀분석을 함

1. 1 2 1 3ˆt t t ty y x−= δ + δ + δ + ν

2. ⇒ 이로부터 일치추정량을 얻을 수 있음

iv. 이로부터 원래의 구조적 모수(structural parameters)들을 추

정할 수 있음

1. ⇒ 3ˆ ˆβ = δ , 2

ˆ ˆφ = δ , ( )1

2

ˆˆ ˆ1

δα =−δ

3. 자기상관 검정

i. 1 2 1 3t t t ty y x−= δ + δ + δ + ν

1. 코익변형이 아닌 다른 추론을 통해 위와 같은 모형을 얻

었을 경우, 1ty − 과 오차항 tν 은 상관되어 있는지의 여부

가 중요함

2. 이는 결국 tν 에 계열 상관이 존재하는가 여부에 대한 검

정을 요구함

3. 이처럼 시차종속변수가 포함되는 경우 오차항의 계열상관

의 검정시 DW 를 사용할 수 없음

15

A. DW 는 자기 상관이 없는 쪽으로 편향된 결과를 낳음

ii. Durbin’s h 검정

1. 2

2

11 ˆ2 1 ( 1)[se( )]d Th

T−⎛ ⎞= −⎜ ⎟ − − δ⎝ ⎠

A. ⇐ d: DW 검정통계량

B. 귀무가설하에서(즉 오차항이 자기상관되어 있지 않다

는 가정하에서 h 검정통계량은 표준 정규분포를 함)

C. 문제는 2

21ˆ[se( )]

( 1)Tδ >

−인 경우는 검정통계량의

값을 얻을 수가 없음

iii. LM 검정 : 일반적으로 h 검정에 비해 더 바람직함

1. 1 2 1 3t t t ty y x−= δ + δ + δ + ν ⇒ ˆ tν 을 최소제곱추정으로부

터 얻음

2. ' ' '1 2 1 3 1ˆt t t t ty x error− −ν = δ + δ + δ +ρν + 에 대해 최소제곱추

정을 적용하여 ρ=0 에 대한 χ2 검정 또는 F 검정을 통해

판단

A. LM = TR2 ~χ2(k) : k 는 제약의 수

iv. 자기회귀시차분포모형(Autoregressive Distributed Lag (ARDL) Model)

1. 보다 유연한 무한 시차 모형

a. 기하시차분포 모형은 추정해야 하는 모수를 크게 줄이고 있으나,

유연성이 떨어짐(즉 모수의 크기가 변하는 패턴이 매우 제약적임)

b. Koyck 모형을 일반화 함으로써 이러한 유연성을 확보할 수 있음

2. ARDL(p,q) :

0 1 1 1 1... ...t t t p t p t q t q ty x x x y y e− − − −= µ +β +β + +β + γ + + γ +

a. ARDL(1,1) : 0 1 1 1 1t t t t ty x x y e− −= µ +β +β + γ +

i. 매우 단순해 보이나 무한 시차 모형의 다른 표현임

ii. ⇒ 1 0 1 1 2 1 2 1t t t t ty x x y e− − − − −= µ +β +β + γ + ⇒

[ ]( ) ( ) ( )

0 1 1 1 0 1 1 2 1 2 1

21 0 1 1 0 1 1 1 2 1 2 1 11

t t t t t t t t

t t t t t t

y x x x x y e e

x x x y e e− − − − −

− − − −

= µ +β +β + γ µ +β +β + γ + +

= µ + γ +β + β + γ β + γ β + γ + γ +

iii. ⇒ 2 0 2 1 3 1 3 2t t t t ty x x y e− − − − −= µ +β +β + γ + 를 대입하면

16

⇒( ) ( ) ( )

( )

2 21 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 2 1 1 2

3 21 3 1 2 1 1

1

t t t t t

t t t t

y x x x x

y e e e

− − −

− − −

= µ + γ + γ +β + β + γ β + γ β + γ β + γ β

+ γ + γ + γ +

iv. 계속 이 과정을 반복하게 되면 1 1γ < 라는 가정하에서

( ) ( )10 1 1 1 0 1

1

it t t t

i

y x x u∞

−−

=

= α +β + γ β + γ β +∑

( ) ( )2 31 1 1 11 1α = µ + γ + γ + γ + = µ − γ…

2 31 1 1 2 1 3t t t t tu e e e e− − −= + γ + γ + γ +… .

v. 이는 다음과 같이 표현되는 무한시차모형임

10

t i t ti

y x u∞

−=

= α + α +∑

( )( )

( )

0 0

1 1 1 0

2 1 1 1 0 1 1

23 1 1

11 1s

s−

α = β

α = β + γ β

α = γ β + γ β = γ α

α = γ α

α = γ α

b. ARDL(2,2) : 0 1 1 2 2 1 1 2 2t t t t t t ty x x x y y e− − − −= µ +β +β +β + γ + γ +

⇒ 10

t i t ti

y x u∞

−=

= α + α +∑

( )0 0

1 1 1 0

2 0 2 1 1 2

3 2 1 1 2

4 3 1 2 2

1 1 2 2s s s− −

α = β

α = β + γ β

α = α γ +α γ +βα = α γ +α γα = α γ +α γ

α = α γ +α γ

3. ARDL(p,q)모형은 충분히 큰 p 와 q 에 의해 어떠한 형태의 무한 시차

분포도 근사적으로 나타낼 수 있음을 보일 수 있음

a. 시차효과의 정점이 몇 기 후에 나타나는 효과를 포착할 수 있음

17

PLOT ARDL(1, 1) ARDL(2, 2) ARDL(3, 3)

ARDL(1,1)

0. 03

0. 04

0. 05

0. 06

0. 07

0. 08

0. 09

0. 10

0. 11

0. 12

0. 13

0. 14

0. 15

0. 16

0. 17

0. 18

0. 19

Lag i

0 1 2 3 4 5 6 7 8

IV. 그랜저 인과검정(Granger Causality Test)

A. 시차분포모형은 경제적 관계의 인과의 방향을 검정하는데 사용될 수 있음

i. 경제적 변수들이 관계가 있음을 알지만 어떤 변수가 원인변수이고 어떤 변

수가 결과 변수인가 불분명 할 경우 사용되는 검정 (GNP 와 통화량)

ii. 그랜저 검정은 인과관계를 보고자 하는 두 변수 X, Y 의 예측에 필요한 정

보가 이들 변수들의 시계열에만 의존한다는 가정하에 이루어짐

t

q

jjtjit

k

iit eYXY 1

11∑∑=

−−=

+++= βαµ

∑ ∑= =

−− +++=m

i

n

jtjtjitit eYXX

1 12

' δλµ

iii. 네 가지 경우를 나누어 볼 수 있음

1. X(가령 통화량, M)로부터 Y(GNP)로의 일방향 인과관계 (i.e., X Y)

a. ⇐ Σαi≠0 and Σδj =0.

2. GNP 로부터 M 으로의 일방향 인과관계 (i.e., Y X)

a. ⇐ Σαi =0 and Σδj≠0.

3. 양방향 인과관계(Feedback or Bilateral causality) (i.e., X Y)

a. Σαi≠0 and Σδj≠0

4. 독립 (i.e., X / Y)

a. Σαi =0 and Σδj =0

18

B. 그랜저 인과 검정의 절차

i. Ho: Σαi =0 (i.e. X 는 Y 를 결과하지 않음) and H1: Σαi≠0

ii. 제약하의 회귀모형을 추정

1. 즉 Y 를 모든 Y 의 시차변수에 대해 회귀(필요할 경우 다른 변수들도

포함)하되 X 의 시차변수는 포함하지 않음

a. Yt = µ’ + ΣβjYt-j + e’1t ⇒ SSRR.

iii. 제약이 없는 상태에서의 회귀모형을 추정

a. Yt = µ + ΣαiXt-i + ΣβjYt-j + e1t ⇒ SSRUR.

iv. ⇒ F* = [(SSRR - SSRUR)/k] / [SSRUR /(T-K)]

1. 단 m 은 X 의 시차의 수, K=k+q+1 은 무제약하의 추정에서의 추정모

수의 수

v. Y 가 X 를 결과하는가에 대한 검정은 이상의 과정을 반복하면 됨

vi. X, Y, Z 간의 인과 검정 역시 둘 씩 짝을 이루어 검정을 함으로써 파악해

볼 수 가 있음

vii. 그랜저 검정의 한계

1. 무제약하 모형에 포함되는 시차의 수가 F 의 유의 수준에 영향을 미치

는 데 반해, 시차의 수를 결정하는 일반적인 없음

C. 실례

i. 국제적 이자율의 영향 경로를 검정하기 위해 세 가지 종류의 단기(1 개월)

이자율 간의 그랜저 인과 검정을 수행함 (5%유의수준)

1. US’s Fed Rate (FFR), London’s Euro-Dollar rate (ERL), and

Singapore’s Asian-Dollar rate (ARS)의 1980.01 to 2000.08 까지의

월별 자료

2. 그랜저 검정 결과

H0

lags

ERL

/ ARS

ARS

/ ERL

FFR

/ ARS

ARS

/ FFR

FFR

/ ERL

ERL

/ FFR

Critical

Fc

1 7.211* 140.092* 0.798 78.287* 0.129 12.161* 3.84

2 0.523 53.714* 0.552 37.702* 1.305 10.341* 3.00

3 0.160 27.314* 2.452 15.425* 3.865* 5.576* 2.60

4 5.734* 26.270* 4.796* 12.935* 2.750* 4.523* 2.37

5 2.450* 25.471* 6.927* 8.600* 7.240* 2.310* 2.21

6 4.666* 26.277* 7.792* 8.447* 8.119* 3.233* 2.10

7 12.770* 26.826* 9.326* 6.637* 4.697* 3.641* 2.01

Note: “*” 는 검정통계값이 Fc 보다 크므로 H0 가 기각됨을 의미

19

3. 2-3 의 lag 에 대해서는 다음과 같은 인과 관계가 존재

4. 4 의 lag 에 대해서는 다음과 같은 인과 관계가 존재

FFR

ERL ARS X

X X

FFR

ERL ARS