講義11 周波数特性の解析...3 11.1 周波数応答とは(2)...
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1
講義11 周波数特性の解析
ポイント
・システムの周波数応答とは何かを理解しよう．
・1次遅れ系の周波数特性を理解しよう．
・ボード線図とベクトル軌跡の読み取り方を理解しよう．
Text: 佐藤，平元，平田：はじめての制御工学，講談社
u（ｔ） y（ｔ）
入力 出力 時間関数で書いたもの
（時間領域という）
U（s） Y（s）
入力 出力 ラプラス変換で書いたもの
（周波数領域という） )(sG
応答(response)：入力を入れたときの出力の時間関数としての動き
)()()()(
)()()(
11 sUsGLsYLty
sUsGsY
2
講義11 周波数特性の解析 11.1 周波数応答とは(1)
１入力１出力伝達関数の一般形は次式のようになる．
)(
)()(
1
1
1
10
sD
sN
asas
bsbsbsG
n
nn
m
mm
n
nn
m
mm
asassD
bsbsbsN
1
1
1
10
)(
)(
mn
の場合，プロパな伝達関数(proper transfer function)といい，
の場合，厳密にプロパな伝達関数という．
mn
3
11.1 周波数応答とは(2)
正弦波や余弦波を入力したときの，時間が充分に経過した時の出力応答を周波数応答という．
npp ,,1 mzz ,,1
分母多項式と分子多項式の根を各々，極と零点という．極と零点を，各々，
と とおく.
伝達関数は次式のように因数分解できる．
)()(
)()()(
1
10
n
m
psps
zszsbsG
tUtu m sin)( )(ty入力 に対する出力 を計算する．
)()()( sUsGsY
)()(
)()(
1 npsps
sNsG
))(()(
22
jsjs
U
s
UsU mm
))()(()(
)()()()(
1
jsjspsps
UsNsUsGsY
n
m
4
11.1 周波数応答とは(3)
簡単のため，極はすべて異なるとする（重複してもわずかな修正でよい）．
js
K
js
K
ps
K
ps
KsY nn
n
n
21
1
1)(
部分分数展開
逆ラプラス変換
tj
n
tj
n
tp
n
tpeKeKeKeKty n
2111)(
極のすべての実部が負のとき
0)(lim 1
1
tp
n
tp
t
neKeK このような項を過渡応答という．
iii jp
)sin(cos tjteeeee ii
ttjttjttp iiiiii
5
11.1 周波数応答とは(4)
tj
n
tj
n eKeK 21
tt cos,sin よりなることから，時間的に減少してゼロになったり，あ
るいは増大して無限大になったりすることはなく，定常的に振動する項を表している．この部分を周波数応答という．
21, nn KK を求めてみよう．
n
n
nnm
ps
K
ps
KA
js
K
js
KA
jsjs
UsG
1
1
21
))(()(
js をかけて， js を代入すると，次式のようになる．
12
1)(
nm Kj
jGU
6
11.1 周波数応答とは(5)
js をかけて， js を代入すると，次式のようになる．
22
1)( nm K
jjGU
周波数応答は次式のようになる．
tjtj
m
tj
n
tj
n ej
jGej
jGUeKeK 2
1)(
2
1)(21
)( jG は複素数であることから，複素平面上のベクトルとして表すことができ，次式のように極座標表現が可能である．
)()()( jGjejGjG
)( jG
)( jG
:絶対値または大きさ(magnitude)
:偏角(argument)または位相(phase)
周波数伝達関数という
7
11.1 周波数応答とは(6)
Re
Im
G(jω) |G(jω)|
∠G(jω)
G(－jω)
)( jG )( jG は， の虚数部の符号を変えたものになるので上図のように両者は実軸に対して対称になる．
)()()( jGjejGjG
これを用いると，周波数応答はつぎのように計算できる．
))(sin()(21 jGtUjGeKeK m
tj
n
tj
n
8
11.1 周波数応答とは(7)
)(sG の極の実部が全て負の場合には，正弦波入力
tUtu m sin)( を加えたときの，時間が充分経過した時の出力（定常出力）は
))(sin()()( jGtUjGty m
振幅 位相
入力 0
出力
mU
mUjG )( )( jG
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11.1 周波数応答とは(8)
伝達関数 のシステムの定常出力は
入力の振幅を 倍し，位相を 進めることがわかる．
通常のシステムでは， は負であり，位相は遅れることになる．
)(sG
)( jG )( jG
)( jG
)( jG
)( jG
伝達関数のゲイン(gain)
伝達関数の位相(phase)
入力の角周波数により，ゲインと位相は変化する．
ボード線図
ベクトル軌跡
10
11.1 周波数応答とは(9)
1
1)(
ssG
11
11.2 周波数特性とは(1)
)( jG )( jG伝達関数のゲイン(gain) 伝達関数の位相(phase)
入力の角周波数により，ゲインと位相は変化する． ボード線図とベクトル軌跡
例題） 0,0,1
)(
KTTs
KsG
の周波数伝達関数を計算し，ゲインと位相を求めよ．
1)( TjjH とおき，極座標表現を求めると，つぎのようになる．
)(tan)(
1)(
)()(
1
22
)(
TjH
TjH
ejHjH jHj
1
ωT
Re
Im
H(jω)
12
11.2 周波数特性とは(1)
)(tan)(,1
)(
)()()(
)(
1
22
)()(
TjGT
KjG
ejGejH
K
jH
KjG jGjjHj
ボード線図： をそれぞれ，角周波数を横軸として，プロットしたもの．
ただし，ボード線図では，ゲインは次式のデシベル値を用いる．
)(,)( jGjG
)(log20)( 10 jGjGdB
デシベル値では，ゲインが１の場合（入力と出力の振幅が同じ），0[dB]になることに注意しよう．
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11.2 周波数特性とは(2)
1
1)(
ssG
MATLABの
出力例
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11.2 周波数特性とは(2)
ボード線図の角周波数メモリは，対数軸
15
11.2 周波数特性とは(3)
ボード線図の角周波数メモリは，対数軸
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11.2 周波数特性とは(4)
)(tan)(,1
)(
)()()(
)(
1
22
)()(
TjGT
KjG
ejGejH
K
jH
KjG jGjjHj
0
ベクトル軌跡(ナイキスト線図ともいう）：
を角周波数 まで複素平面上にプロットしたもの．
ただし，角周波数 まで複素平面上にプロットしたものは， と実軸に対して対象になるので，通常は，正の角周波数だけを書くことが多い．
)( jG
0
17
11.2 周波数特性とは(5)
1
1)(
ssG
0
)(tan)(,1
)(
)()()(
)(
1
22
)()(
TjGT
KjG
ejGejH
K
jH
KjG jGjjHj
ベクトル軌跡(MATLABの出力)
0
課題1：１次遅れ系のベクトル軌跡が円になることを証明せよ．
課題2：１次遅れ系のベクトル軌跡やボー
ド線図から，入力の角周波数（あるいは周波数）が増加したとき，システムの出力はどのようになるか説明せよ．
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11.2 周波数特性とは(6)
19
11.2 周波数特性とは(7)
20
11.3 基本要素の周波数特性(1)
比例要素
21
11.3 基本要素の周波数特性(2)
積分要素，微分要素
22
11.3 基本要素の周波数特性(3)
一次遅れ要素
0,0,1
)(1
KTTs
KsG次遅れ要素：
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11.3 基本要素の周波数特性(4)
一次遅れ要素
24
11.3 基本要素の周波数特性(5)
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講義12 ボード線図の特性と周波数伝達関数
ポイント
・ボード線図の合成について理解しよう．
・2次遅れ系のボード線図の特徴を理解しよう
Text: 佐藤，平元，平田：はじめての制御工学，講談社
u（ｔ） y（ｔ）
入力 出力 時間関数で書いたもの
（時間領域という）
U（s） Y（s）
入力 出力 ラプラス変換で書いたもの
（周波数領域という） )(sG
応答(response)：入力を入れたときの出力の時間関数としての動き
)()()()(
)()()(
11 sUsGLsYLty
sUsGsY
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講義12 ボード線図の特性と周波数伝達関数
２次遅れ系(1)
12.0110
1)(
sssG
ボード線図
ベクトル軌跡
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講義12 ボード線図の特性と周波数伝達関数
２次遅れ系(2)
この伝達関数の場合には，
入力の振幅より，出力の振幅が
大きくなる周波数が存在する．
共振
28
講義12 ボード線図の特性と周波数伝達関数
２次遅れ系(3)
13.0
1)(
2
sssG
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講義12 ボード線図の特性と周波数伝達関数
２次遅れ系(4)