量子物理工学 ilerl2/qpe_2011_06_30.pdf備考 1 4月14日...
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量子物理工学 I
神戸大学工学部 電気電子工学科
小川 真人
2011/06/30
1
QPE-1
2
2011/06/30 QPE-1
回 日付 内容（あくまで予定) 備考1 4月 14日 古典力学の限界と量子力学の萌芽
2 4月 21日 続き + 波動の基本的性質
3 4月 28日波動の基本的性質(続き)+平面波，
4 5月12日シュレディンガー方程式波動関数
5 5月19日 申し訳ありませんが恐らく 休 講
6 5月26日時間に依存しないシュレディンガー方程式，波動関数の意味，固有値と固有関数
7 6月 2日 ディラックの記法，規格直交性，期待値，演算子
8 6月 9日 中間テスト
9 6月16日 演算子(2)，交換関係
10 6月23日 波束，エーレンフェストの定理
11 6月30日 確率流，不確定性原理
12 7月 7日 自由粒子，井戸の中の粒子(無限大閉じ込め)
13 7月14日 有限閉じ込め，量子井戸，量子細線，量子ドット14 7月21日 期末テスト直前ゼミ?
15 7月28日? 期末試験
2
QPE-1
量子物理工学Ⅰ
2011/06/30
3
QPE-1
復習:エーレンフェストの定理
運動量の期待値＜px＞と力の期待値＜F(x)＞の間にNewtonの運動方程式が成立
( ) ( )dxtxxtxxx ,,* ΨΨ=ΨΨ= ∫（位置の期待値 ）
( ) ( )dxtxdxd
itxpp xx ,,ˆ * ΨΨ=ΨΨ= ∫h
( )xFdtpd x =
（運動量の期待値 ）
（力の期待値 ） 波束の伝播 粒子の軌跡
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4
QPE-1
本日の内容
• 確率密度と連続の式 （p.47）– 確率は消えてしまわない
• 不確定性原理 （p.48）
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5
QPE-1
確率流密度と連続の式
2011/06/30
6
QPE-1
連続の式(粒子数保存)
左から単位時間単位断面積当たりF(x)[個/m2s]入ってきて
右に単位時間単位断面積当たり F(x＋ｄｘ)[個/m2s]出て行く（マイナス符号）
密度ｎ [個/m3]ｘ体積＝箱の中の個数（の増分）
( ) ( )x
txFt
txn∂
∂−=
∂∂ ,,
7
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]dAdtdxxFxFdAdxtndttn +−=−+
( ) ( )tt
tn ,, rFr⋅−∇=
∂∂
（３D）
2011/06/30 QPE-1
Ｇａｕｓｓの定理
∫∫ ⋅∇=⋅Volume
SurfaceddS rAnA
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QPE-1
ガウスの定理（電磁気I）
2011/06/30
9
QPE-1
確率流密度と連続方程式
確率密度
確率密度の流れ
連続方程式
（確率密度の時間変化） （確率密度の流れの発散）
ΨΨmp
速度の期待値 に似ている
2011/06/30
10
QPE-1
不確定性原理
2011/06/30
11
QPE-1
不確定性原理（１）
(位置と運動量は同時に正確には決められない)
• 不確定性原理
– 粒子(電子や光子)の位置と運動量を同時に正確に決めることは原理的に不可能
– 粒子の位置の不確定さ ,運動量の不確定さ とするとxΔ xpΔ
2h
≥Δ⋅Δ xpx
2011/06/30
12
QPE-1
不確定性原理（２）
古典力学: 状態は位置と運動量で決定される。
• いくらでも正確に位置と運動量の値を決定できる
• 同じ状態なら何回測っても同じ値
量子力学: 状態は波動関数で決定される。
• 位置と運動量は同時には決められない。
• 粒子(電子や光子)の位置と運動量を同時に正確に決めることは原理的に不可能
• 同じ状態なのに測るたびに違う値
13
2011/06/30 QPE-1
交換関係と不確定性原理との関係
A B
[ ] ABBABA ˆˆˆˆˆ,ˆ −=
{ } ABBABA ˆˆˆˆˆ,ˆ +=
ABBA ˆˆˆˆ ≠演算子 に対して
（積が交換するとは限らない)
[ ] hixppxpx xxx =−= ˆˆˆˆˆ,ˆ（例）
（交換子）
（反交換子）
（2つの物理量の間に不確定性原理が成立）
交換しないとき
2011/06/30
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QPE-1
最小不確定性状態
• コヒーレント状態
– 問題に与えられた状態
• Poisson分布
– 量子もつれ（entanglement）– 量子暗号
– 量子通信（単一フォトン，非直交偏光状態による量子通信）
2011/06/30
15
QPE-1
本日のポイントに代えた小問
• 連続の式とは?• ガウスの定理とは?• 確率流密度と連続の方程式の関係は？
• 不確定性原理とは？
2011/06/30
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QPE-1
• メモ用白紙
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QPE-1
来週の内容（予告）
• 自由粒子 (p.54)• 2次元，3次元の自由粒子 (p.55)• 周期的境界条件 (p.56)• 量子閉じ込め
– 1次元井戸
– 量子箱(量子ドット)
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QPE-1
自由粒子
( ) ( )xEdx
xdm
ψψ=− 2
22
2h
mkE
2
22h=
( ) ( )ikxAx exp=ψ
Shrödinger方程式
運動量は確定 存在確率密度：場所に依らず一定
E
k
kh波動関数
2A
エネルギー分散関係（Eとｋとの関係）→放物線型
傾き 群速度∝
mp
kEv x
g =∂∂
=h
1
2011/06/30
19
QPE-1
周期的境界条件
x
xx L
nk π2=
( ) ( )ikxAx exp=ψ
),2,1,0( L±±=xn
xL
( ) ( )xLx x ψψ =+
：周期的境界条件( ) ( )xLx x ψψ =+
ぐるっと一周りで位相が2πの整数倍
12 =πnie
2011/06/30
20
QPE-1
井戸の中の粒子（無限大閉じ込め）
( ) ( )xEdx
xdm
ψψ=− 2
22
2h
( ) 0=xψ
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= x
Ln
Lx πψ sin2
( )xV ∞ ∞
x0 L
pote
ntia
l井戸の中
井戸の外
22
2⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
Ln
mE πh
（波動関数）
（エネルギー固有値）
ｎに注意（２ｎではない！）
Shrödinger方程式
2011/06/30
21
QPE-1
• 量子井戸 ー 有限閉じ込めの場合
2011/06/30
22
QPE-1
( )xV
x0
2L
pote
ntia
l
0V
2L
−
井戸の中の粒子（有限閉じ込め）
( ) ( )xExVdxd
mψψ =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+− 02
22
2h
( ) ( )xEdx
xdm
ψψ=− 2
22
2h
井戸の中
井戸の外
境界条件： （i） 解は滑らかにつながる（ψとその微分の連続）(ii) ψ(±∞)=0
超越方程式（transcendental eq.）2011/06/30
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QPE-1
超越方程式のグラフ解法
×
×○
○
2011/06/30
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QPE-1
量子井戸（有限閉じ込め）
障壁層への漏れ
E1
E2
ψ1
ψ2
2011/06/30
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QPE-1
Schrödinger方程式（定常状態）
( ) ( )rr ψψ EH =ˆ （定常状態を考えるならはじめからこれを書いて良い）
H①考察対象の系に対してハミルトニアン演算子を書く
②Shrödinger方程式をたてる
③Shrödinger方程式を解いて 固有関数ψ（ｒ），固有エネルギーEを求める
④ψ（ｒ），E から 物理量の期待値を求める
物理量： 複素感受率 → 半導体レーザ準位間のエネルギー差 → レーザ， 物質設計電子状態（バンド構造） → 材料設計，トランジスタ設計etc. ….
( ) ( )rr ψψ EH =ˆ
• 自由粒子• 井戸の中の粒子• トンネル現象• 調和振動子• 水素原子 etc.
• 状態密度（３D,2D,1D)• QW,QWR,QD レーザ，メモリ• RTD，MNOS• フォノン，フォトン• 結晶，分子etc.
• 量子物理工学 I, II• 固体物性• 半導体電子工学I,II
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −= tEitT
hexp
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QPE-12011/06/30
復 習
2011/06/30
27
QPE-1
波動関数…確率解釈
( ) 2, txΨ
( )tx,Ψ が物質の状態を表す・
・ : 時刻 t で位置 x に電子を発見する確率（密度）
・ 確率 → 物理量（の期待値（平均値）が分かる）
・ 規格化: ( ) 1, 2 =Ψ∫∞
∞−txdx 確率の総和が1になる
（粒子をどこかに見出す確率=1）
( ) rr dt 2,Ψ : 位置に粒子（電子）を発見する確率
( ) ( )dzzdyydxxdzyx +++=+= ,,~,, rrr
( ) ( ) 1,, 22
∫ ∫ ∫∫∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−=Ψ=Ψ tdzdydxtd rrr
（3次元で書くと）
2011/06/30
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QPE-1
固有値と固有関数の例（その２）定常状態のSchrödinger方程式
( ) ( )xExH ϕϕ =ˆ
: 固有エネルギーE⇒
定常状態のSchrödinger方程式
（ポテンシャルの形が何であれこの方程式を解くことで系の状態が分かる）
( )xϕ は，Hamiltonihan の固有関数， は，固有値でないかいって？H Eはい，その通りです．Hは考えている系の全エネルギーに相当するので，
( )xϕ :（固有）波動関数
と呼びます．
2011/06/30
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QPE-1
Diracの記法
• 内積
• 正規直交基底（規格直交基底）
• 正規直交基底による波動関数の展開
• 演算子の行列表示
Diracの記法 波動関数を , とした時に( )rϕ ( )rψ
( ) ( ) ψϕψϕの記法Dirac
d ⇒∫ rrr * ketbra と呼ぶ
( ) ( ) mnnm
Dirac
mnnm uuuud δδ =⇒=∫の記法
rrr *
( ) ( ) mm m
Dirac
mm m uu ∑∑ =Φ⇒=Φ φφの記法
rr
[ ] ( ) ( ) [ ] nmmn
Dirac
nmn uAuAuAudAm
ˆˆ* =⇒= ∫の記法
rrr2011/06/30
30
QPE-1
エルミート演算子
• 演算子 が
あるいは
を満たすとき をエルミート演算子という．
• 性質
– （古典的）物理量に対応する対応する演算子はエルミート
– 固有値は実数
– 異なる固有値に属する固有関数は直交
A ( ) ( ) ( )( ) ( ) rrrrrr dˆdˆ ** ψϕψϕ ∫∫ = AA
ψϕψϕ AA ˆˆ = (Diracの記法)
A
長谷川浩司
「線型代数」日本評論社 (2004) p.237, p.307 と同じこと
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QPE-1
量子力学では物理量の期待値しか分からない
∑=i
iiPAA
期待値=平均値
物理量の期待値<A>は確率分布 Pi または確率分布関数 P(x) に対して
( ) ( )∫= dxxPxAA
(離散的な場合)
(連続的な場合)
この辺↓も眺めてみる？http://homepage2.nifty.com/eman/quantum/expectation.html
2011/06/30
32
QPE-1
• ラグランジアン（Lagrangean）～作用
• ハミルトニアン（Hamiltonian）～全エネルギー
( ) ( )rr VtmL −= 2
21
& 0=∂∂
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
rrLL
dtd
&
( ) ( )rrpq VtmLH +=−⋅= 2
21
&&
（Lagrangean） （Lagrangeの運動方程式）
William Hamilton
Joseph LouisLagrange
解析力学 力学・解析力学 (岩波基礎物理シリーズ (1))
2011/06/30
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QPE-1
Schrödinger方程式
2011/06/30
34
QPE-1
これを物質波の満たすべき方程式だと考えよう
( ) ( ) ( ) ( )tVtm
tt
i ,,2
, 22
rrrr Ψ+Ψ∇−=Ψ∂∂ h
h
∇−=→ hipp ˆt
iEE∂∂
=→ hˆ
( )rp
Vm
E +=2
2
( )t, rΨ×両辺に右から （波動関数）
（演 算 子 化）
いったい何者？
とにかくこれが私の編み出した微細な領域を支配
する方程式だ
（時間に依存する） Schrödinger方程式2011/06/30
35
QPE-1
変数分離法による定常状態のSchrödinger方程式の導出
( )( ) ( ) ( ) ( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= tT
dtdixtTxH hψψˆ
( )( )
( )( ) EtT
tTdtdi
xxH
≡==⇔ )(ˆ
定数h
ψψ
(座標のみの関数)(時間のみの関数)
( ) ( )xExH ψψ =ˆ
( ) ( )tTEitTdtd
h−=
: 固有エネルギーE
⇒
定常状態のSchrödinger方程式
⇒ ( ) ( )titEitT ω−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−= expexp
h
ポテンシャルの形が何であれこの方程式を解く事で電子（系）の状態が分かる
2011/06/30
36
QPE-1
変数分離法による定常状態のSchrödinger方程式の導出
( ) ( )txti
txH ,,ˆ Ψ∂∂
−=Ψh
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )tTdtdxtTx
ttx
tψψ =
∂∂
=Ψ∂∂ ,
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )tTxHtTxHtxH ψψ ˆˆ,ˆ ==Ψ
（時間関数のみ時間微分を受ける）
（位置の関数のみ の作用を受ける）
H
に注意して②を①に代入すると
①
H が時間に依存しないとき ( ) ( ) ( )tTxtx ⋅=Ψ ψ,
(座標のみの関数) (時間のみの関数)とおくと②
2011/06/30
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QPE-1
定常状態のSchrödinger方程式
( ) ( ) ( )tVm
tt
i ,2
, 22
rrr Ψ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+∇−=Ψ
∂∂ h
h
（時間に依存する） Schrödinger方程式
( ) ( )xExH ψψ =ˆ
: 固有エネルギーE
⇒
定常状態のSchrödinger方程式
ポテンシャルの形が何であれこの方程式を解くことで系の状態が分かる
H（変数分離）
2011/06/30
38
QPE-1
Schrödinger方程式の例（自由粒子→３章）
mpTH2
2
==ポテンシャルは働かない
（運動エネルギー）のみv
xipp xx ∂
∂=⎯⎯⎯ →⎯hˆ演算子化
2
22222
221
2ˆˆ
2 xmximmpH
mpH
∂∂
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
==→=hh
tiEE∂∂
=⎯⎯⎯ →⎯ hˆ演算子化
( ) ( )txt
itxxm
,,2 2
22
Ψ∂∂
=Ψ∂∂
− hh
自由粒子の（時間に依存する） Schrödinger方程式2011/06/30
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QPE-1
Schrödinger方程式の例（自由粒子→３章 p.54）
( ) ( )xExdxd
mϕϕ =− 2
22
2h
（定常状態のSchrödinger方程式）
通常は定常状態のSchrödinger方程式をたてて解く (E, φ(x) を求める)
( ) ( )titEitT ωexpexp ≡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
h
（時間項は）
なので
時間に依存するSchrödinger方程式の解は
( ) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=Ψ tEixtx
hexp, ϕ
と書けるから，定常状態のSchrödinger方程式を解けばよい
(3.1)
2011/06/30
40
QPE-1
復習用の問
• de BroglieとEinsteinの関係式とは？
• Schrödinger方程式はどんなイメージで出てきた?– 平面波の式が上のde BroglieとEinsteinの関係式を満たすにはどんな形にならないといけなかった？
• ようやく，粒子と波動がくっ付いてきたけど波動関数ってどんな性質があるの？どう解釈すればいいの？
2011/06/30
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QPE-1
Schrödinger方程式
VTH +=
xipp
∂∂
=→hˆ xxx =→ ˆ HH ˆ→
( ) ( )txti
txH ,,ˆ Ψ∂∂
−=Ψh
古典的なハミルトニアン（全エネルギー）
■ 演算子への置き換え
→
（時間に依存する） Schrödinger方程式
( )tx,Ψ ：波動関数に作用させて
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42
QPE-1
期待値
000,000,10000,10000,10
000,000,10000,000,1300
000,000,10000,100000,3
000,000,10000,1000,30
000,000,10300000,100
000,000,1020000,000,1
000,000,103000,000,10
000,000,103000,000,100
000,000,1099000,100
000,000,102000,000,50
000,000,101000,000,200
×+
×+
×+
×+
×+
×+
×+
×+
×+
×+
×=期待値
=144円99銭
2011/06/30
43
QPE-1
Newton 別冊
こんなのを立ち読みすると興味が湧くかも
2011/06/30
44
QPE-1
波動関数（2）
量子力学(確率論的)
・期待値(平均値)は求まる・確率は計算できる（←Schrödinger方程式を解く)
古典力学(決定論的)・ 初期値 からｔでの は求まる（←Newtonの運動方程式を解く
波の時は波動方程式）
)0(),0( vx)(),( tvtx
量子力学の波動関数
・ψは直接観測できない・|ψ|2 は存在確率（密度）
：観測可能な量
古典力学の波動
・変移 u(x,t) は直接観測できる
古典力学 量子力学
2011/06/30
45
QPE-1
波動関数（古典論と対比させて眺めると面白い?）
( ) ( )txutv
txux
,1, 2
2
22
2
∂∂
=∂∂ ( ) ( )tx
titxxV
xm,,)(
2 2
22
Ψ∂∂
−=Ψ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
∂∂
−hh
古典的波動方程式 Schrödinger方程式
座標に関して二階微分時間に関して二階微分
座標に関して二階微分時間に関して一階微分
( )txu , 座標x，時刻 t での媒質の変位 (実数)
座標x，時刻 t での波動関数(複素数)
( )tx,Ψ
( )txu ,2波のパワーを表す量 ( ) 2, txΨ 時刻 t に位置 x に粒子を見出す
確率（密度）
2011/06/30
46
QPE-1
固有関数・固有値
A
( ) ( )rr ϕϕ aA =ˆ
A ：物理量Aに対応する演算子 （作り方は「例のおきかえ」）
の固有関数 の固有値(定数)A
状態 で記述される粒子の物理量 を測定すれば
その固有値 が確定値として得られる
( )rϕ
a
A(意味)
2011/06/30
47
QPE-1
波束の伝播の例
[μm]
波束の移動とともに・ 分布は広がる・ 振幅は減少
5 ns 毎の波形
⊿ = 10 nm
2011/06/30
48
QPE-1
固有値と固有関数の例
( ) ( )[ ]kxtiAxptEiAtx x −−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=Ψ ωexpexp,
hh
一次元平面波の波動関数
xipA x ∂
∂==hˆˆに対して物理量 Aとして運動量 pxを考えると だから，それを演算すると
( ) ( )txktxpx ,,ˆ Ψ=Ψ h
が成り立つ．この式は，波動関数 が演算子 の固有関数であり，
固有値が であることを示している．
( )tx,Ψ xpkh
2011/06/30
49
QPE-1
期待値の計算例
2
2222
dxd
2dxd
21
2ˆ
mimmpx hh
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= x
dn
dx πψ sin2
mpx
2
2
波動関数 の時，運動エネルギー の期待値m
px
2
2
( ) ( )
n
dxx
Ed
nm
xd
nddx
dm
xd
nd
dxxm
pxm
p
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛==
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛== ∫
22
2
22
0
*22
2)(
sin22
sin22ˆ
2
π
ππψψ
h
h
中略
（演算子化）
（後ろに作用）
①
を求めてみよう
2011/06/30
50
QPE-1
期待値の計算例
dxdˆ
ipx
h=
( ) ( )ikxd
x exp1=φ波動関数 の時，運動量 の期待値を求めてみようxp
( ) ( ) ( ) ( )
k
ikxdxi
ikxd
dxxpxpd
xx
h
h
==
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛== ∫
)(
exp1ddexp1ˆ
0
*
中略
φφ
（演算子化）
（後ろに作用）
①
2011/06/30
51
QPE-1
期待値の計算例
( ) ( )ikxd
x exp1=φ xp波動関数が の時，運動量 の期待値xp を計算しよう
kpx h=期待値は
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
kdxd
k
dxikxd
ikxd
k
dxikxd
ikikxd
dxikxdd
dikxd
dxddpp
d
d
d
d
d
xx
hh
h
h
h
hh
==
−=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ×−−=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
∂∂
−==
∫
∫
∫
∫
∫
0
0
0
0
0
*
1
exp1exp1
exp1iexp1
exp1x
iexp1x
ix
iˆ φφφφφφなぜなら左の計算をしなくても
( ) ( )xkxpx φφ h=ˆ
の固有状態だから
kpx h=
期待値は
xp
2011/06/30
52
QPE-1
2.7演算子の交換関係
の時
( ) ψϕψϕ AAA ˆˆˆ +=+(線型性)
ξϕφϕ == BA ˆ,ˆ(加算性)
( ) ξφϕ +=+ BA ˆˆ
(演算子の積)
ξφφϕ == BA ˆ,ˆ の時
( ) ξϕϕ == ABAB ˆˆˆˆ と書く
( ) yxyx AAA +=+
zxyx == BA ,
( ) zyx +=+ BA
zyyx == BA ,( ) zxx == BAAB
(行列，ベクトルと同じ)
2011/06/30
53
QPE-1
交換関係
A B
[ ] ABBABA ˆˆˆˆˆ,ˆ −=
{ } ABBABA ˆˆˆˆˆ,ˆ +=
ABBA ˆˆˆˆ ≠
演算子 に対して
（積が交換するとは限らない)
[ ] hixppxpx xxx =−= ˆˆˆˆˆ,ˆ（例）
（交換子）
（反交換子）
（不確定性原理）
2011/06/30
54
QPE-1
たくさんの波の重ね合わせ→「波束（はそく）」（p.43参照）
2011/06/30
55
QPE-1
粒子・波動二重性（相補性原理:Bohr）
波束の伝播 粒子の軌跡
cf. 「ニールス・ボーア論文集１ 因果性と相補性」（岩波文庫）
二重スリットによる電子の干渉実験 Thomas Young （1805）
Wikipediaより引用
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QPE-1
波の重ね合わせ(以前やった通り)
( ) ( )( )[ ] ( ) ( )( )[ ]( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]{ }( )[ ] ( )tkxtkxi
tkxitkxitkxitxkkitxkki
ωωωωωωωωω
Δ−Δ−=Δ−Δ+Δ−Δ−−=Δ+−Δ++Δ−−Δ−
cosexp2expexpexp
expexp
dkdvgω
=
ピンクの包絡線の移動速度＝群速度
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QPE-1
波長の違う波を重ねるてみると
(a)波長の異なるcos波 (b)1個から10個まで重ねると原点に局在するのが分かる
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QPE-1
ガウスの定理（電磁気I）
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