目次

1 波の表現 3

1.1 波の種類 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 正弦波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 重ねあわせの原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 一般的な波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 波動方程式 7

2.1 波動方程式の形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 横波：弦を伝わる波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 横波：電磁波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4 縦波：弾性体を伝わる波（弾性波） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.5 縦波：空気中の音速 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 分散性の波 17

3.1 一次元質点鎖 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2 うなり（ビート） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3 位相速度と群速度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.4 分散性の波の例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4 波のエネルギー 23

4.1 弾性体のエネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.2 弦を伝わる波のエネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5 波の干渉 26

5.1 進行波と定在波（定常波） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.2 波の反射：固定端と自由端と定在波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5.3 両端での反射による定在波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

6 二次元・三次元媒質を伝わる波 30

6.1 ホイヘンスの原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

6.2 二次元・三次元空間の波の表し方 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

6.3 ２点光源による干渉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

6.4 波の回折 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

6.5 回折分解能 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6.6 回折格子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

7 フーリエ級数展開 39

7.1 フーリエ余弦・正弦係数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

7.2 フーリエ級数の性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1

はじめに

高校の物理と大学の物理の大きな違いは、さまざまな物理現象をモデル化し、数式によって現象を表現する

ことにある。微分や積分の数学的な手法を用いることにより、物理現象をより深く理解することになる。ま

た、直感では見つけにくい物理法則を数式によって明らかになることが多く、今まで知らなかった物理現象が

理解できるようになる。さらに、数式に数値を代入することにより、定量的な値を得ることもできる。学習し

た物理法則が現実的にどのような大きさで現れるのかを計算できるようになる。物理現象がどのような大きさ

で現れるかという感覚を養うことも重要である。

物理学 Cの前半では、波動について学ぶ。「波はなぜ生じるのか」を波動方程式を導くことによって理解し

てゆく。弦を伝わる横波、弾性体を伝わる縦波などを例にして、どのような物理によって波が生じるのか、波

の速さが何によって決まっているかを学習する。分散性媒質の場合には、波の波長（または振動数）によって

波の速さが異なる。波動方程式の導き方を取得すれば、未知の波についても波動方程式を導き、波の発生を予

見することもできるであろう。空気中の音速が温度に依存して変化することや、水面にできる波の速度が水深

に依存して変化することも理解できるようになる。さらに学習を進めれば（物理学 Cの範囲を超えるが）、砂

浜に打ち寄せる波がブレークする原因を理解したり、津波の影響を抑制するための防潮堤の設計など、さまざ

まな応用へと発展することができる。波は、干渉性を示す。１次元の波の干渉は、定在波として表れる。２－

３次元の波の振る舞いは興味深い現象をもたらす。二重スリット、回折、回折格子などで表れる波の回折像

（フレネル回折、フラウンホーファー回折）について学習することにより、波の伝搬に関する現象を理解して

ゆく。

2

1 波の表現

1.1 波の種類

ギターの弦を伝わる波、水面にできる波、音波、光や電波に代表される電磁波など、日常の中にさまざまな

波をみることができる。大学の物理では、さまざまな「波」を包括的に理解することを目標とする。

まず、いくつかの基本的な用語を整理しよう。

・媒質：媒質とは、波を伝える物質をさす。例えば、弦（ギター）、水（水面の波）、空気（音波）、電場や磁

場（電磁波）がそれにあたる。

・変位：変位とは、波が生じているとき、媒質の定常状態からのずれを示す。

ここで、注意しておきたいのは、「波」は、媒質そのものが伝搬するのではなく、「変位」や「波のエネル

ギー」が伝搬するものであるという点である。例えば、水面に石を投げ入れると、波が伝搬する様子をみるこ

とができるが、水が伝搬しているわけではない。水面に枯れ葉を浮かべておけば、枯れ葉は水面の「変位」を

反映して振動するが、「波」といっしょに枯れ葉も伝搬することはない。同じように、ギターの弦の変位も、弦

そのものが伝搬するわけではないし、音波が伝わる場合にも、空気が流れてゆくわけではない。

・縦波と横波：波の進行方向と変位の方向が平行である波を縦波、波の進行方向と変位の方向が垂直である

波を横波という。

縦波：（進行方向）k（変位の方向）

横波：（進行方向）⊥（変位の方向）

例えば、縦波には、音波、糸電話（糸）、地震波の P波などがあり、横波には、ギターの弦の振動、地震波

の S波、電磁波などがある。しかし、水面波のように縦波と横波が混在している波もある。水面に浮かぶ枯れ

葉の運動を観察してみると、枯れ葉は楕円運動をしていることがわかる。水平方向に動く縦波成分と、垂直方

向に動く横波成分が、異なる位相で振動していることを示している。

横波には２つの成分が存在しうる。進行方向を x軸とすれば、それに垂直な変位の方向は y 軸と z 軸があ

る。従って、変位は、y 成分と z 成分によって表すことができる。光（電磁波）は横波であるから、偏光（縦

偏光と横偏光）の２つの成分からなる。偏光フィルターは一方の偏光のみを透過するフィルダーで、２枚の

フィルターの相対角度を調整することにより、縦波と横波の存在を確認することができる。

・偏光フィルター実演（２枚、３枚）

それぞれの波は異なる速度をもつ。地震波の P波（縦波）は S波（横波）よりも早く伝搬する。光の縦偏

光と横偏光は、真空中や空気中では同じ速度だが、方解石などの結晶中では異なる速度をもつ（複屈折：縦偏

光と横偏光とで速度が異なるため、屈折率も異なる。そのため、複屈折結晶を通して物体を見ると、２重に見

える）。

1.2 正弦波

これから、波の「変位」を数式であらわすことを学んでゆく。最も単純な波である正弦波を考えると、時刻

t、座標 xにおける変位 y = f (x, t)は、

f (x, t) = a sin (kx− ωt+ δ) (1)

3

のように書くことができる。ここで、aは振幅、k は波数、ω は角振動数（または、角周波数）、δ は位相であ

る。または、

f (x, t) = a sin

∙2π

µx

λ− t

T

¶+ δ

¸(2)

のように表すこともできる。ここで、λは波長、T は周期である。

波数とは、長さ 2π のなかにいくつの波があるかを表した量で、波長 λ と

k =2π

λ(3)

の関係がある。角周波数とは、時間 2π のなかにいくつの波があるかを表した量で、周波数 f と

ω = 2πf (4)

の関係がある。周期 T とは、

ω =2π

T(5)

の関係がある。

式 1と式 2は、同じ正弦波を表す式であるが、式 1の方が簡略して記述することができる。このため、物理

学では、波数 k と角振動数 ω を用いた表現が好まれる。以下でもこの記法で進めることにする。

さて、式 1 の波は、+x 方向に伝搬する波を表している。例えば、変位が最大になる条件は、N を整数と

して

kx− ωt+ δ = 2πN + π/2 (6)

であるから、変位の最大となる座標 xM は、

xM =ωt− δ + 2πN + π/2

k(7)

のように、時間 tとともに大きくなってゆく。これは、+x方向に伝搬する波を表している。また、このとき

「波」が伝わる速さv = dxM/dtは、

v =ω

k(8)

で与えられる。または、周波数 f と波長 λを用いて、

v = fλ (9)

のような関係がある。

すなわち、+x方向に伝搬する波は、

f (x, t) = a sin (kx− ωt+ δ) (10)

−x方向に伝搬する波は、

f (x, t) = a sin (kx+ ωt+ δ) (11)

のように書き表すことができる。

¥演習問題＃１【１－１】

¥演習問題＃１【１－２】

¥演習問題＃１【１－３】

4

1.3 重ねあわせの原理

ある媒質に、複数の波が共存している場合にできる波の変位は、それぞれの波の和で与えられる。この和の

法則を「重ねあわせの原理」という。例えば、波１：a1 sin (k1x− ω1t+ δ1)ができている媒質に、さらに別な

波２：a2 sin (k2x− ω2t+ δ2)を加えた場合にできる合成波の変位は、それらの和：a1 sin (k1x− ω1t+ δ1) +

a2 sin (k2x− ω2t+ δ2)で与えられる。

同様に、n個の波が存在すれば、

f (x, t) =Xn

an sin (knx− ωnt+ δn) (12)

のように表すことができる。波を sin成分と cos成分に分けて表現すれば、

f (x, t) =Xn

an sin (knx− ωnt) +Xn

bn cos (knx− ωnt) (13)

のようにもあわわすことができる。たくさんの波の重ねあわせが作られると、波の形はとても複雑になる。

フーリエ級数の項で学習するように、任意の波は、式 13のような形に、様々な周波数の sin成分と cos成

分に分解することができる。

また、+x方向に伝搬する波と、−x方向に伝搬する波との重ねあわせの原理も成り立つ。

f (x, t) =Xn

{an sin (knx− ωnt) + a0n sin (knx+ ωnt)} (14)

+Xn

{bn cos (knx− ωnt) + b0n cos (knx− ωnt)} (15)

補足：現実には、重ね合わせの原理が成り立たない例もある。オーディオアンプに過大な入力をかけた場合は、その一例だ。ある正弦

波 f (t) を入力して増幅率 A で増幅された波形 Af (t) が得られたとしても、その２倍の入力波 2f (t) を入力すると増幅器が飽和す

ると出力波形は 2Af (t) にならない。しかし、増幅器が飽和しない程度の小さい振幅であれば、重ねあわせの原理は成り立つ。物理学

C では、重ねあわせの原理が成り立つ波についてのみ考えることにする。

1.4 一般的な波

一般的な波は正弦波とは限らず、複雑な形状の波を示すことのほうが多い。ギターの音、バイオリンの音な

どはその典型的な例である。これらは、基本周期（基本周波数）をもつ周期的な波となっているが、周期的で

ない波も存在する。破裂音、太鼓の音、などが例である。このような「一般的な波」の場合においても、波は

時間と共に空間を伝搬する。

簡単のため、ここでは、（周波数によらず）一定の伝搬速度 vをもつ媒質を考える。式 14で、速度 v = ωn/kn

は nによらず一定である。この場合、knx ± ωntは、kn (x± vt)のように書き換えることができる。すべて

の項は、x+ vtまたは x− vtの項で整理することができる。このような等速度媒質においては、波はその形

を変えることなく（歪むことなく）伝搬する。

5

いま、時刻 t = 0で空間的に、y = f (x)という波ができていたとすると、x軸正の向きに進む波であれば、

時刻 tで、

f+ (x− vt) (16)

のような空間分布に変化する。また、x軸負の向きに進む波であれば、時刻 tで、

f− (x+ vt) (17)

のように変化すると考えられる。

正の方向に進む波と負の方向に進む波は独立に存在していてかまわない。片方だけ存在していていることも

あるが、両方が任意の大きさで共存していてもよい。その場合、正の向きに進む波を f+ (x− vt)とし、負の

向きに進む波 f− (x+ vt)の重ねあわせであるため、

y = f+ (x− vt) + f− (x+ vt) (18)

の形で表すことができる。

6

2 波動方程式

2.1 波動方程式の形式

波が発生するには、媒質に何らかの復元力が働いており、その復元力をモデル化することにより、波動方程

式を導くことができる。波動方程式をみることにより、波のさまざまな性質を理解することができる。

波動方程式とは、波の変位 y (x, t)が満たすべき条件を与えるものである。最も簡単な波の波動方程式は

∂2y

∂t2= v2

∂2y

∂x2(19)

のように二階の微分方程式となる。ここで、v は波の速度であり、等速度媒質では、v は一定値である。

後ほど、様々な媒質において波動方程式の導出を説明するが、ここでは前節で述べた一般的な波がこの波動

方程式を満足する解になっていることを示そう。一般的な波は式 18の形で表すことができる。ここで、

ξ = kx− ωt (20)

η = kx+ ωt (21)

とおくと、式 18は、

y = f+ (ξ) + f− (η) (22)

と書くことができる。この関数が波動方程式 16を満たすことを示す。ｔ で微分すると、

∂y

∂t=

∂f+

∂ξ

∂ξ

∂t+

∂f−∂η

∂η

∂t= −ω

∙∂f+

∂ξ− ∂f−

∂η

¸さらに、ｔ で微分すると、

式 16の左辺：∂2y

∂t2= −ω

∙∂2f

∂ξ2∂ξ

∂t− ∂2g

∂η2∂η

∂t

¸= ω2

∙∂2f

∂ξ2+

∂2g

∂η2

¸が得られる。ここで、∂ξ

∂t= −ω, ∂η

∂t= ω を用いた。

同様にして、∂2y

∂x2= k2

∙∂2f

∂ξ2+

∂2g

∂η2

¸であるから、

式 16の右辺： v2∂2y

∂x2= v2k2

∙∂2f

∂ξ2+

∂2g

∂η2

¸ここで、式 8の関係

v =ω

k

を用いれば、波動方程式 16の左辺と右辺は等しいことがわかる。

したがって、一般的な波を表す式 18は波動方程式の解になっていることがわかる。もちろん、sin (kx± ωt)

はその一例である。

偏微分：変位 y は、x と t の２つの変数の関数である。偏微分 ∂y/∂x とは、変数 t を一定であると考え、x の変化に対する y の変

化分を表すものである。波動方程式 16 は、偏微分方程式である。

7

¥演習問題＃１【１－４】

重ねあわせの原理：式 19の波動方程式に対して、重ね合わせの原理が成り立つことを確認しておこう。あ

る波 f (x, t)と、別の波 g (x, t)が合わさったとき、重ね合わせの原理から合成される波

y (x, t) = f (x, t) + g (x, t) (23)

も波動方程式（運動方程式）を満たすべきである。f (x, t)も g (x, t)も波動方程式の解

∂2

∂t2f = v2

∂2

∂x2f,

∂2

∂t2g = v2

∂2

∂x2g (24)

であるとする。式 23を波動方程式∂2y

∂t2= v2

∂2y

∂x2(25)

に代入すると、

左辺 =∂2

∂t2f +

∂2

∂t2g

右辺 = v2∂2

∂x2f + v2

∂2

∂x2g

になるから、式 24より合成波は波動方程式を満たすことがわかる。

¥例題：強く張った十分に長い弦の横波に対する波動方程式は、変位を y、波の速度を v として、

∂2y

∂t2= v2

∂2y

∂x2

で与えられる。この弦の一部に変位 y0(x)をあたえ、時刻 t = 0で静かにはなしたところ、変位は左右に伝搬

した。時刻 tにおける弦の変位 y(x, t)を求めよ。

【解：変位を順方向と逆方向の波の重ね合わせ：y = f (x− vt) + g (x+ vt)で記述しておく。t = 0では、

y0(x) = f (x) + g (x)

である。また、「時刻 t = 0で静かにはなした」ということから、 ∂∂ty(x, t) = 0、すなわち、

∂

∂ty(x, t)

¯t=0

= −vf 0 (x) + vg0 (x) = 0

従って、f 0 (ξ) = g0 (ξ)であるから、積分すれば f (ξ) = g (ξ)である。積分定数は、変位や時間によらない

定数であるから、波とは関係がないので無視した。

f (ξ) = g (ξ) =1

2y0(ξ)

である。従って、

y(x, t) =1

2[y0(x− vt) + y0(x+ vt)]

である】

¥演習問題＃２【２－１】

以下では、いくつかの媒質における変位が、波動方程式を満たすことを紹介する。波動方程式は、媒質に変

位が発生したときに、その変位がどのように媒質を伝搬するかを表す基本的な微分方程式である。媒質に働く

復元力をを考え、式 16のような二階の微分方程式になる必要があることに注意をして導く。

8

図 1 弦に働く復元力。張力 T によって復元力 Fy が働く。

2.2 横波：弦を伝わる波

線密度（単位長さあたりの質量）が σ である弦が、張力 T で張っぱられている弦の変位（横波：弦に垂直な

y 方向）を考える。この張力によって復元力が働き、波として変位が伝搬する。この様子を運動方程式に表し

てみよう。弦にどのような復元力がかかるかをモデル化することが物理である。

弦の変位 y が y = f(x, t)で表せるとし、弦の微小区間 PQの運動について考える。PQの長さを∆xとし、

変位 y は波長 λ に比べて十分に小さい極限（|y| ¿ λ）を考える。弦を伝わる波は横波であるから、x座標軸

に垂直な方向の変位 y を考えればよく、その方向に働く復元力 Fy を考えればよい。

点 Qにおいて、右側の弦からかかる張力 T の y 成分 Fy (Q)は、弦の角度を θQ として

Fy (Q) = T sin θQ ' T ∂f

∂x

¯Q

(26)

で表される。ここで、角度 θQ は十分に小さいものとし、sin θQ は、tan θQ すなわち点 Qにおける関数の微

分 ∂f/∂xと近似できるものとした。符号は、微系数が正（∂f/∂x > 0）なら Fy (Q)は y 軸正の向きの力で

あることを示す。

ここで、点 Qは弦の一般的な座標 xに対して成り立つので、点 xにおける張力の y 成分は、

Fy (x) = T∂f

∂x(27)

と書ける。従って、点 Pにおける力の y 成分 Fy (P )は、

−Fy (P ) = −T sin θP ' −T ∂f

∂x

¯P

(28)

である。ここで、マイナス符号は、微小区間 PQにかかる力を表したためである。

点 Pの座標を xとすれば、点 Qの座標は x+∆xであるから、微小区間 PQにかかる復元力は、

F (PQ)y = [Fy (x+∆x)− Fy (x)] (29)

で表すことができる。十分に短い区間（∆x→ 0）を考えると、Fy (x)の微分は、

∂

∂xFy (x) = lim

∆x→0Fy (x+∆x)− Fy (x)

∆x(30)

9

で与えられるから、

FPQy '∙∂

∂xFy (x)

¸∆x (31)

と書くことができる。式 27でみたように、Fy (x) = T∂f/∂xであるから、

FPQy ' T ∂2f

∂x2∆x (32)

であることがわかる。

従って、長さ∆xの微小区間 PQの運動方程式は、

質量×加速度 =復元力 (33)

(σ∆x)×µ∂2f

∂t2

¶= T

∂2f

∂x2∆x (34)

であるから、整理すると、

σ∂2f

∂t2= T

∂2f

∂x2(35)

である。これが、弦を伝わる横波の波動方程式である。式 16との比較から、波の速度が

v =

rT

σ(36)

で与えられることを示している。このように、波動方程式をたてることにより、弦を伝わる横波の速さが何に

よって決まっているのか（いまの場合は、張力と弦の密度）がわかる。

物理的センスを磨く：式 36が正しいことを直感と関連づけることは極めて重要である。ギターの弦を強く

張る（T を大きくする）ほど、速度は速くなり、高い音がでる。（同じ材質で）太い弦を使う（σ を大きくす

る）ほど、速度は遅くなり、低い音になる。これらの日常経験と解が一致することで検算ができる。そのうえ

で、異なる材料の弦である場合に、太くて軽い弦と、細くて重い弦では、どちらが高い音を出すかを考えてみ

るとよい。式 36から容易に答えが得られるであろう。

近似： 波動方程式をたてる際に用いた近似について確認しておこう。式 26では、角度 θ は十分に小さい

ものとし、sin θ ' ∂f/∂xと近似できるものとした。すなわち、波の振幅が小さい極限（|y| ¿ λ）を考えたこ

とに相当する。物理学では、本質がわかる程度に簡略化したモデルをたてる。ギターの弦を伝わる波を想定す

ると、弦の長さ（約１ｍ）に比べて波の振幅（数mm）は十分に小さいので、この近似は正しいと考える。し

たがって、sin θ ' ∂f/∂xの近似は正当化される。その他のさまざまな波の場合でも、多くの場合にこの近似

は正しい。

ちなみに、式 32で用いた近似は、説明のために微小区間 ∆xを考えたために生じたものであり、∆xの大

きさを小さくすることにより近似の誤差は無限に小さくなる。したがって、本質的な近似ではない。

次元解析： 得られた波動方程式が正しいことを確認する上で、物理量の次元（単位）を確認することは重

要である。このテキストでは、ＳＩ単位系（仏: Le Systeme International d’Unites、英: The International

System of Units）に統一することにより、次元（単位）の一致を確認することにする。式 35において、

張力 T [N] = [kg m/s2]

線密度 σ [kg/m]

であるから、変位 f が長さ [m] の単位をもち、その二次微分 ∂2f/∂x2 は [m−1] の単位を、∂2f/∂t2 は

[m·s−2]の単位をもつことを考慮すると、式 35の両辺とも、[kg·s−2]の単位であることがわかる。

10

また、速さの式 36においては、pT/σ が速さの単位 [m/s]になることも確認できる。

変位速度: 弦の微小区間 PQに注目すると、上下に振動している。この微小区間の変位が y なら、この微

小区間が動く速度（変位速度と呼ぶことにする）は ∂y/∂tである。この変位速度は波の速度とは異なること

に注意しよう。

エレキギターのピックアップは電磁誘導によって弦の振動を検出しているので、その出力電圧は、弦の変位

y ではなく、変位速度 ∂y/∂tに比例した値である。

弦の張力：弦の張力の y 成分 Fy は T∂y/∂xである。

¥例題： y = A sin (kx− ωt)のとき、変位速度 ∂y/∂t、弦の張力の y 成分 Fy を求めよ。

¥演習問題＃２【２－２】

2.3 横波：電磁波

電磁波の波動方程式の導出には、物理学 B（電磁気学：１年後期）の知識が必要である。ここでは、簡略化

したモデルによって電磁波の波動方程式を導くことにする。

電磁波とは、電場と磁場が振動しながら伝搬する現象である。いま、x軸正の向きに進む電磁波を考え、振動

電場は y 軸成分 Ey のみをもち、振動磁場は z 軸成分 Hz のみをもつものとする。波の変位は、電場 Ey(x, t)

と磁場Hz(x, t)によって表される。弦の横波と異なり、電磁波には質量がない。従って、ニュートン方程式は

用いない。電磁場では、変動する磁場は電場の勾配をつくり（ファラデーの法則）、変動する電場が磁場の勾

配をつくる（アンペールの法則）。これらを組み合わせることによって波動方程式を得ることができる。

電磁波

ファラデーの法則： 閉回路を貫く磁場が変化すると、閉回路に電流が流れる現象である。すなわち誘導電

場が生じる。この誘導電場は、たとえ回路がなくても存在している。いま、磁場が変動している（∂Hz/∂t）

ときに、誘導電場は空間的に変化（∂Ey/∂x）することになる。式で表すと

∂Ey

∂x= −μ0 ∂Hz

∂t(37)

となる。ここで、μ0 は真空透磁率で、マイナスがついているのは磁場変化を打ち消す方向の電場であること

を示している。

アンペールの法則：電流を流すと、その周りに磁場ができる現象である。電磁場では、実際の電流は流れて

11

いないが、変位電流（電束電流）が流れている、変位電流密度は jD = ε0∂Ey∂t

で与えられる。磁場は変位電流

の周りに右ねじの法則で形成されるため、磁場の空間変化（∂Hz/∂x）をひきおこす。式で表すと、

∂Hz

∂x= −ε0 ∂Ey

∂t(38)

である。

これらを組み合わせると、式 37を xで偏微分してから式 38を代入すると、

∂2Ey

∂x2= −μ0 ∂

2Hz

∂t∂x= ε0μ0

∂2Ey

∂t2(39)

∂2Ey

∂t2=

1

ε0μ0

∂2Ey

∂x2

波動方程式が得られる。したがって、電磁波の速度は、

c =1√ε0μ0

(40)

である。c =3.0×108 m/s (2.99792458×108 m/s)である。

電磁波には、電波（ラジオ波）、光（THｚ光、赤外線、可視光、紫外線）、X線、ガンマ線などがある。

2.4 縦波：弾性体を伝わる波（弾性波）

弾性体とは、力（応力）を加えると変形するが、力を除くともとに戻る性質を示す物質をさす。このような

変形を弾性変形という。この復元力によって、弾性体を伝わる波（弾性波）が存在する。弾性波には、縦波と

横波があり、一般的に縦波の速度の方が速い。地震波も弾性波の一種で、縦波である P波が突き上げるよう

な衝撃とともに最初に観測され、しばらく時間が経過した後に、横波である S波が横揺れを引き起こすことが

多い。ここでは、弾性波の縦波の波動方程式について考える。

縦波の場合、応力とは圧力と同じである（符号が逆）と考えてよく、断面積 S に力 F がかかっているとき

の応力（圧力）σ は σ = F/S である。応力の向きは引っ張る方向を正にとるのが通例で、圧力とは逆向きで

ある。弾性体に応力 σ を加え、長さ Lの弾性体が ∆Lだけ伸びたとする。このときの長さの変化率は ∆L/L

である。弾性変形において、長さの変化率と応力の間に比例関係が成り立つ（フックの法則）と仮定しよう。

すなわち、

σ = E∆L

L(41)

の関係式がなりたち、その比例係数は、ヤング率E [Pa]と呼ばれる。ヤング率は弾性体の材料によってきま

る物質定数である。このように、応力（復元力）は、のび率と比例関係がある。

断面積 S、長さ Lの弾性体は、ばね定数 k のばねとみなすことができる。F = Sσ の力で弾性体を引っ張

ることにより、∆L = dudxLだけ弾性体の長さは伸びる。

F = Sσ =SE

L∆L

であるから、k = SE/`のばねと等価な役割をなす。

図は、弾性体における変位の様子を表している。波の進行方向を x軸正の向きにとると、縦波の変位 uも

それと同じ方向である。変位 uがあるということは、応力が加わっていない定常状態に比べて、uだけ x軸正

12

の方向に弾性体が移動したということである。もし、uがいたるところで一定であれば、それは単に弾性体全

体を uだけ平行移動させたにすぎないので、波は発生しない。したがって、波が生じるためには、変位 uが場

所によって異なる値をとる必要がある。すなわち、変位 uは座標 xの関数 u (x)である。このとき、定常状態

で座標 xにあった弾性体は、座標 x+ u (x)に移動したことになる。このように、変位 uは定常位置からのず

れを表すものとする。

弾性体の縦波 (a)定常状態における弾性体の模式図 (b)縦波が生じている場合の弾性体の模式図。密度の

低い「疎」の部分と密度の高い「密」の部分ができている。下のグラフは、弾性体の変位 uを表している。右

側の図は、微小領域 PQの定常状態（上）と縦波が生じている場合（下）の変化を表す。

また、変位 u (x)が一定でないため、弾性体の密度の高い「密」の部分と、密度の低い「疎」の部分とが現れ

る。図からみてもわかるように、∂u/∂xが負の部分が「密」の部分で、∂u/∂xが正の部分が「疎」の部分であ

る。したがって、縦波は疎密波ともよばれる。座標 xにおいて、弾性体ののび率は ∂u/∂xで与えられ、応力

σ (x) = E∂

∂xu (x) (42)

が発生している。

さて、長さ ∆xの微小区間 PQの弾性体における復元力を考えることにより波動方程式を導いてみよう。P

の座標 xにおける変位は u (x)、Qの座標 x +∆xにおける変位は u (x+∆x)である。また、Pにおける応

力は σ (x)、Qにおける応力は σ (x+∆x)である。弾性体の断面積を S とすると、力は F = Sσ (x)で与え

られる。したがって、この微小区間に働く力は、P、Q各点の力の合力であらわされ、

FPQ = S [σ (x+∆x)− σ (x)]

' S ∂

∂xσ (x)∆x

= SE∂2

∂x2u (x)∆x

である。弾性体の密度（単位体積あたりの質量）を ρ [kg/m3]とすると、微小区間 PQの質量は ρS∆xであ

13

るから、微小区間 PQに関する運動方程式は、

質量×加速度 = 復元力（面積×応力) (43)

ρS∆x∂2u

∂t2= SE

∂2u

∂x2∆x

すなわち、

ρ∂2u

∂t2= E

∂2u

∂x2(44)

である。これが、弾性体を伝わる縦波の波動方程式であり、その速度が

v =

sE

ρ(45)

で与えられることを示している。

次元解析： ヤング率の単位は、E [Pa] = [N/m2] = [kg /m/s2]であり、密度は、ρ [kg/m3]である。

¥例題： 式 44の両辺の単位が一致することを確認せよ。

¥例題： 式 45の右辺pE/ρの単位が速さ [m/s]になることを確認せよ。

変位以外の物理量： 変位以外の物理量にも注目してみよう。

¥例題： 弾性体の変位速度、変位加速度、応力はどのように表わすことができるか。

y = A sin (kx− ωt)のとき、変位速度 ∂y/∂t、変位加速度 ∂2y/∂t2、弾性体の応力 σ を求めよ。

¥例題： 地震の震度は「変位加速度」に関係した量であり、震度５の地震の変位加速度は 80 ∼ 250 gal(1 gal = 0.01 m/s2)程度であると言われている。周期１秒の 100 galの地震が発生したとき、地震の振幅 A

を求めよ。

¥演習問題＃２【２－３】

2.5 縦波：空気中の音速

空気中を伝わる音波は、空気の疎密波であることが知られている。空気を理想気体であると仮定すること

で、波動方程式を導くことができ、温度によって音速が変化する様子を理解することができる。

nモルの理想気体は、圧力を p、体積を V、温度を T として、状態方程式

pV = nRT (46)

に従う気体である。気体の体積が変化すると、圧力が変化する。それが復元力となって疎密波が生じることが

知られている。

注：気体は分子からできているので、個々の分子の運動を考える必要があるようにも思える。実際の気体中の分子の速度は、音速より

も速い（物理学 C の後半で学ぶ）。しかし、通常の大気圧・室温においては、分子間の衝突はきわめて激しくおこっている。ここでは、

気体の分子運動については無視して、あたかも弾性体と同じような取り扱をする。すなわち、気体の分子はほとんどその場にとどまって

いて、音波によって定常状態の位置から u (x) だけ変位すると考える。

音波の周波数においては、断熱膨張によって気体の状態変化がおこると考える。理想気体の場合、p と V

は、

pV γ = c （定数） (47)

γ =Cp

Cv：比熱比（空気の場合、約 1.4）

14

の関係を満たすように変化する（この関係は、物理学 C後半の熱学においてその詳細を学ぶ）。式 47を微分

することにより、圧力 pと体積 V の微分関係

dp

dV= −cγV −γ−1 = −γp/V (48)

を導くことができる（最後の等号は、式 47を代入し cを消去した）。この式は、定常状態で体積 V0、圧力 p0

にあった気体が、微小な体積変化∆V をうけることによって圧力変化∆p

∆p = −γp0∆VV0

(49)

が生じることを示している。

いま、音波によって、気体が定常状態の位置から u (x)だけ変位する状況を考える。音波は縦波であるから、

横方向の膨張・圧縮はないとすると、体積変化率は、

∆V

V0=

∂u

∂x(50)

で与えられる。また、式 49を用いると、圧力変化率は、

∆p = −γp0 ∂u∂x

(51)

で与えられることがわかる。これが復元力となる。

では、この様子をモデル化することにより、波動方程式を導こう。弾性体の場合と同じように、断面積 S、

長さ ∆xの微小領域 PQにおける気体についての運動方程式を考えればよい。座標 xにおける圧力 p (x)は、

p (x) = p0 +∆p (x) (52)

であるから、圧力の向きに注意して、点Ｐ（座標 x）に働く力は Sp (x)、点Ｑ（座標 x + ∆x）に働く力は

−Sp (x+∆x)である。微小区間 PQにかかる力は、

FPQ = S [−p (x+∆x) + p (x)] (53)

= −S ∂∆p∂x∆x

= Sγp0∂2u

∂x2∆x

である（最後の等号は、式 51を代入した）。また、気体の密度を ρ [kg/m3]とすると、運動方程式（波動方

程式）

質量×加速度 = 復元力（面積×応力) (54)

ρS∆x∂2u

∂t2= Sγp0

∂2u

∂x2∆x

ρ∂2u

∂t2= γp0

∂2u

∂x2(55)

を導くことができる。

従って、速度（音速）は、

v =

sγP0

ρ(56)

15

である。ここで、密度を ρ = nMV

（M :モル分子量 [kg/mol]）により表すと、状態方程式と組み合わせて、速

度を温度の関数

v =

rγRT

M(57)

として表すことができる。従って、分子が決まれば（空気）、音速は温度のみできまる。式 56は圧力 P0 を含

んでいるが、ρは P0 に比例するため、速度は圧力によらない。

¥例：空気を伝わる音速は、気体定数 R = 8.31 J/mol/K, 空気のモル分子量 28.8g/mol、γ =1.4 より、

温度 T = 273 Kにおいて

v = 332 m/s

と求まる。温度変化は、√T に比例する。微小な温度変化∆T に対して、

v =

rγR (T0 +∆T )

M'rγRT0

M

µ1 +

1

2

∆T

T0

¶と近似できるから、温度変化率は、

∂v

∂T=1

2

rγR

MT0

となる。

計算すると、T = 273 Kにおいて ∂v∂T= 0.608 m/sKである。これは、実測値（v = 331.45m/s @273K,

∂v∂T=0.607m/sK)とよく一致することがわかる。

16

3 分散性の波

さまざまな波に対して、波動方程式を導くことによって、波の速さを調べることができることを示した。こ

れまでの例では、媒質のパラメーター（密度、ヤング率など）や環境の条件（温度、張力など）を決定すれば、

波の速さ v は一意にきまる。すなわち、角振動数 ω と波数 k は比例関係

ω = vk

にあった。しかし、媒質によっては、波の速さが角振動数 ω や波数 k に依存する場合がある。このような媒

質を分散性の媒質という。

三角プリズムに白色光のビームを入射すると、白色光に含まれる色が分解される現象は、光の波長（周波

数）によって異なる速さをもつためである。このような媒質では、周波数の高い波と、周波数の低い波では、

異なる速度で伝搬するため、波形は保存されず、伝搬するにつれて歪みを生じる。分散性の媒質では、角振動

数 ω と波数 k は比例関係は成り立たない。一般的に、角振動数 ω は波数 k の関数

ω = ω (k)

として書かれ、ω と k の関係を分散関係という。

まず、分散が生じる場合について、波動方程式をたてて説明しよう。

3.1 一次元質点鎖

弾性体を伝わる縦波をより微視的（ミクロ）にみてみよう。物質は原子（分子）から構成されており、原子

どうしは結合している。原子と原子の間の距離は、原子間の相互作用できまるさまざまな力がつり合う条件に

なっている。本講義ではその相互作用には言及しないが、何らかの安定条件によって原子間距離がきまってい

る。外力を加えることにより、原子間距離が変化したとすると、もとにもどろうとする復元力が働くはずであ

る。この復元力が弾性体に波が生じる原因である。このようなミクロな弾性体の性質を説明する最も簡単なモ

デルが一次元質点鎖である。

一次元質点鎖のモデル

いま、長さ a、ばね定数 C のバネでつながれた質量mの質点が一次元にならんでいる一次元質点鎖につい

て考える。質点は原子をモデル化したものであり、バネは原子間の結合を表している。この一次元質点鎖を伝

搬する縦波の波動方程式（運動方程式）をたてよう。質点に番号をつけ、n番目の質点が変位する量を yn で表

す。n番目の質点について考えると、左側のバネののびは (yn − yn−1)であるから、−C (yn − yn−1)の力が

働いている（x軸正の方向を正にとったのでマイナスがついている）。また、右側のバネののびは (yn+1 − yn)であるから、C (yn+1 − yn)の力が働いている。従って、運動方程式は、

md2yn

dt2= C (yn+1 − 2yn + yn−1) (58)

である。

17

連続体近似： マクロな弾性体の縦波との関係を調べよう。

マクロな弾性体の変位は場所 xに対する連続関数で与えられていたが、ミクロな一次元質点鎖では離散的な

質点 nに対して変位 yn が定義されている。そこで、質点の座標（定常状態における座標）を x = anで表し、

変位

yn = f(x) = f (an) (59)

を yn = f(x) = f (an)で表すことにする。ミクロな弾性体モデルでは、x = anは離散的な値しかとらない

が、マクロな弾性体モデルでは xは連続的な値をとりうる。すなわち、連続体近似では、変位が連続的な関数

f(x)で表せると考える。

また、マクロな弾性波の波長は原子間の距離 aに比べて十分に大きい。従って、隣り合う原子の変位は微小

であり、変位の微分を

∂f

∂x

¯x=an

' f (an+ a)− f (an)a

(60)

のように、差分で近似することができる。数学的には a → 0で微分になるが、波長 λ に比べて原子間距離 a

が十分に小さい場合には、この近似は正しい。同様にして、二階微分は、

∂2f

∂x2

¯x=an

' f (an+ a)− 2f (an) + f (an− a)a2

=yn+1 − 2yn + yn−1

a2(61)

と書き表せる。式 58に代入すると、連続体近似では運動方程式は、

m∂2f

∂t2= a2C

∂2f

∂x2(62)

のように波動方程式に帰着される。これは、波動方程式（式 19）を表している。波の速度は、

v =

ra2C

m= a

rC

m(63)

で表される。

マクロな弾性波における線密度 ρ は、ρ = m/a で表され、ヤング率 E は、E = aC で表されるので、弾

性体の波動方程式（式 44）と一致することがわかる。

一次元質点鎖の分散関係： 連続体近似が成り立たない場合でも、一次元質点鎖には波が生じる。式 58も

波動方程式とみなし、波ができることを仮定し、その変位の解を

f(x) = A sin (kx− ωt) (64)

yn = A sin (kan− ωt)

のように表せると仮定する。これが、運動方程式（式 58）を満たしていれば、その解であること（波が生じる

こと）がわかる。実際に代入してみると

左辺 = md2yn

dt2= −mAω2 sin (kan− ωt) (65)

右辺 = C (yn+1 − 2yn + yn−1)= CA [sin (kan− ωt+ka)− 2 sin (kan− ωt) + sin (kan− ωt−ka)]= 2CA sin (kan− ωt) (cos ka− 1)

18

注：[sin(A+B) = sinA cosB + cosA sinB]を用いた。

運動方程式を満たすため（左辺＝右辺）には、

mω2 = 2C (1− cos ka) (66)

ω =

¯¯2rC

msin

ka

2

¯¯ (67)

である必要がある。すなわち、ω と k の間に式 67の関係があるような波が存在できることを意味している。

このような ω と k の関係を分散関係と呼ぶ。連続体近似のマクロな弾性波は k ∼ 0に対応し ω と k は比例関

係にあるが、波長が短い（波数が大きい）場合には比例関係にない。

波数 k が小さい領域では、分散は線形であり、連続体近似に帰着されることがわかる。

ω =

¯¯2rC

msin

ka

2

¯¯→ a

rC

mk (68)

しかし、波長の短い領域では、線形ではない。

この分散関係から、一次元鎖の波の角周波数には上限 ωmax があり、

ωmax = 2

rC

m(69)

であることがわかる。このときの波数は

kmax = π/a (70)

λmax =2π

k= 2a

であり、波長が質点間隔の２倍にまで短くなっていることがわかる。

ある１つの質点を振動数 ω で強制的に振動させると、ω < ωmax では波が伝搬するが、ω > ωmax の波は発

生しない（伝搬しない）。

¥演習問題＃２【２－４】

3.2 うなり（ビート）

２つの波（角振動数 ω1,ω2：波数：k1, k2）

y1 = A1 sin (k1x− ω1t) (71)

y2 = A2 sin (k2x− ω2t)

19

の重ね合わせを考える。重ね合わせの原理により、２つの波を合成した波は

y = A1 sin (k1x− ω1t) +A2 sin (k2x− ω2t) (72)

で与えられる。２つの波の角振動数 ω1,ω2（波数：k1, k2）が近い場合には、「うなり（ビート）」が生じる。差

周波数 |ω1 − ω2|で波の強弱があらわれる現象である。

ここで、角周波数の平均・差、波数の平均・差を用いて

ω1 = ω −∆ω/2、 ω2 = ω +∆ω/2 (73)

k1 = k −∆k/2、 k2 = k +∆k/2

で表す。簡単のため、A1 = A2 ≡ Aとすると、合成波は、

y = A sin (k1x− ω1t) +A sin (k2x− ω2t) (74)

= A©sin£¡k −∆k/2¢x− (ω −∆ω/2) t¤+ sin £¡k +∆k/2¢x− (ω +∆ω/2) t¤ª

= 2A sin¡kx− ωt

¢cos

∙1

2(∆kx−∆ωt)

¸で表される。cos

£12(∆kx−∆ωt)¤がうなり（包絡線関数）を表す。

ここで、ω = vk で表される線形の分散をもつ波を考えると、

y = 2A sin£k (x− vt)x¤ cos ∙∆k

2(x− vt)

¸(75)

となる。これは、基本の波数 k（基本周波数 ω）の波が、ゆっくり変化する波数 ∆k（周波数 ∆ω）で「うな

り」を生じている。

うなりの波長をD、周期を T とすると、うなりは、cosの中身が π ごとに最大となるように現れるので

∆k

2D = π → D =

2π

∆k(76)

∆k

2vT = π → T =

2π

v∆k=2π

∆ω

で与えられる。

¥例題：上記のうなりにおいて、２つの波の波長を λ1、λ2 としたとき、その平均波長 λ = 12(λ1 + λ2)と、

波長の差∆λ = λ2 − λ1 を用いて、∆λ¿ λにおいて近似的にD = λ2

∆λとなることを示せ。

20

【解】

D =2π

∆k=

2π

k2 − k1 (77)

k1 = 2π/λ1などを代入して、

D =1

1/λ1 − 1/λ2 =λ1λ2

λ2 − λ1' λ

2

∆λ

3.3 位相速度と群速度

一次元質点鎖モデルの例など、分散性の媒質の場合に、「うなり」がどのように伝搬するかを考える。うな

りの式 75

y = 2A sin¡kx− ωt

¢cos

∙1

2(∆kx−∆ωt)

¸(78)

において、

位相速度 (phase velocity)： vp =ω

k(79)

群速度 (group velocity)： vg =∆ω

∆k

を定義すると、

y = 2A sin£k (x− vpt)

¤cos

∙∆k

2(x− vgt)

¸(80)

と書くことができる。このとき、基本周波数の波は速度 vp で、うなりの波は速度 vg で伝搬することがわかる。

従って、ある分散 ω (k)を示す波があったとき、

位相速度： vp = ω/k (81)

群速度： vg =dω

dk

で与えられる。

位相速度とは、波の位相が進む速度を表し、干渉効果を扱う場合に重要になる速度である。群速度は、波の

エネルギーが進む速度を表している。

¥例題（重要）： 一次元質点鎖の群速度と位相速度を求めよ。

3.4 分散性の波の例

水面波： 波長が長く水深が深いとき、水波の位相速度 vp は、

vp =pg/k

で与えられる。ここで、g は重力加速度である。

この波の分散関係を求めよ。

ω = vpk =pgk

この波の群速度を求めよ。

vg =dω

dk=1

2

pg/k

21

この波では、群速度より位相速度のほうが早い。

自由電子の波： 自由電子の波の分散は、

ω =~2m

k2

で与えられる。ここで、mは電子の質量、~はプランク定数である。

この波の位相速度を求めよ。

vp =ω

k=

~2m

k

この波の群速度を求めよ。

vg =dω

dk=~mk

この波では、位相速度より群速度のほうが早い。

物質中のX線： 物質中でのＸ線について、波数 k（> 0）と角周波数 ω（> 0）の関係は、

k =ω

c− a

ωc

で与えられる。ここで、cは光速。aは物質定数。

ただし、ω >√aであるとする。これより低い周波数の電磁波は物質中に吸収されてしまい、波として伝搬

することができない。

¥各々の場合（水面波、自由電子、物質中の X線）について、波の分散曲線のグラフ（縦軸 ω-横軸 k）を

書け。

¥各々の場合（水面波、自由電子、物質中の X線）について、群速度と位相速度を求めよ。

¥物質中の X線では、位相速度が光速 cを超えるが、群速度は光速 cを超えないことを示せ。X線の波束

を考えると、波束（包絡線関数）が伝搬する速度は群速度である。通常、波の速度という場合には群速度のこ

とを指し、光よりも早く進むことはない。

22

4 波のエネルギー

「波」は媒質の変位（変形）を伴って伝搬するが、「媒質」そのものが運ばれるわけではない。しかし、「波」

の伝搬によって、エネルギーが運ばれる。ここでは、波のもつエネルギーに注目してみよう。簡単のため、分

散のない波（群速度と位相速度が一致する）を考えることにする。

どのような波でも、運動エネルギーとポテンシャル（位置、弾性）エネルギー、電場のエネルギーと磁場の

エネルギー、というように相補的な２つのエネルギーが関わって伝搬する。これらのエネルギーを、伝搬する

方向の単位長さあたりのエネルギーで表すことにし、エネルギー密度と呼びことにする。

運動エネルギー密度を K とポテンシャルエネルギー密度を U で表す。これらは、位置 xと時間 tの関数

K (x, t) , U (x, t)になっている。系の全エネルギーは、

Etot (x, t) = K (x, t) + U (x, t) (82)

で与えられる。これらのエネルギーは時間とともに変化しているので、時間平均をとり、

hEtot (x)i = hK (x)i+ hU (x)i (83)

のように表す。h...iは時間平均を表す記号で、波の周期を T として、

h...i = 1

T

Z T

0

...dt (84)

の計算を行うことに相当する。hEtot (x)iは、単位長さあたりの波のエネルギーを表している。

一方、波の伝搬するエネルギー量を表すものが「波の強さ」である。波の速度を v とすると、波の強さ I は

I = v hEtot (x, t)i (85)

で表すことができる。

単位：エネルギー密度の単位は [J/m]、波の強さは [W]=[J/s]である。レーザーポインターには、出力 1mW

とかの定格が記されている。この出力はレーザー光線（電磁波）の波の強さを表している。

4.1 弾性体のエネルギー

「弾性体を伝わる縦波」の場合、運動エネルギー密度K と弾性エネルギー密度 U の和が、「波」の全エネル

ギー Etot である。変位 uが、

u = f (x, t) = A sin (kx− ωt) (86)

で与えられるとき、微小区間（x ∼ x+∆x）の運動エネルギーは、

K∆x =1

2質量× (速度)

2=1

2ρS∆x

µ∂f

∂t

¶2=1

2ρS∆xω2A2 cos2 (kx− ωt) (87)

であるから、単位長さあたりの運動エネルギー密度K は、

K =1

2ρSω2A2 cos2 (kx− ωt) (88)

23

である。また、弾性エネルギーは、

U∆x =1

2バネ定数× (のび)

2=1

2

ES

∆x

µ∂f

∂x∆x

¶2=1

2ES∆xk2A2 cos2 (kx− ωt) (89)

である。単位長さあたりの弾性エネルギー密度 U は、

U =1

2ESk2A2 cos2 (kx− ωt) (90)

である。波の速度が、

v =ω

k=

sE

ρ(91)

であることを用いると、

K = U (92)

であることがわかる。全エネルギー密度 Etot は、

Etot = K + U = ρSω2A2 cos2 (kx− ωt) = ESk2A2 cos2 (kx− ωt) (93)

である。すなわち、エネルギー密度にも強弱の波ができていて、それが伝搬している様子がわかる。この波は、

cos2 (kx− ωt) =1

2(1 + cos (2kx− 2ωt)) (94)

より、エネルギー密度の角周波数は 2ω、波数は 2k になっていることに注意しよう。例えば、交流 50Hzの電

圧で点灯している白熱電球は（肉眼では見えないが）１００ Hzで点滅している。

平均エネルギー密度：平均エネルギー密度は、単位長さあたりのエネルギーを表し、波を１周期にわたって

時間平均をとった値によって表す。時間平均を h...iで表すと、

hEtoti = 1

T

Z T

0

Etotdt =1

T

Z T

0

ρSω2A2 cos2 (kx− ωt) dt (95)

=1

2ρSω2A2

である。このように、波のエネルギーは、振幅の二乗に比例する。

波の強さ： 波の強さは、単位時間あたりに伝搬する平均エネルギーを表し、平均エネルギー密度に群速度

をかけることにより得られる。

I = v hEtoti (96)

24

弾性波の場合、v =q

Eρ= ω/k を用いて、

I =1

2

pρESω2A2 (97)

である。

¥例題： エネルギー密度の単位は [J/m]、波の強さは [W]=[J/s]であることを確認せよ。

4.2 弦を伝わる波のエネルギー

弦を伝搬する横波の場合、運動エネルギー密度 K と位置エネルギー密度 U の和が、「波」の全エネルギー

Etot である。波の変位 uが

u = f (x, t) = A sin (kx− ωt)

で与えられているとする。微小区間（x ∼ x+∆x）の運動エネルギーは、

K∆x =1

2質量× (速度)

2=1

2σ∆x

µ∂f

∂t

¶2=1

2σ∆xω2A2 cos2 (kx− ωt)

であるから、単位長さあたりの運動エネルギー密度K は、

K =1

2σω2A2 cos2 (kx− ωt)

である。このエネルギーも変位と同様に、速度 v = ωkで媒質中を伝搬していることを示している。

また、位置エネルギーは、弾性体と同様に、弦に蓄えられている弾性エネルギーとみなすことができる。

ばね定数を T/∆x、弦ののびを ∂f∂x∆xと考えれば、

U∆x =1

2バネ定数× (のび)2 =

1

2

T

∆x

µ∂f

∂x∆x

¶2=1

2T∆xk2A2 cos2 (kx− ωt)

となり、

U =1

2Tk2A2 cos2 (kx− ωt)

が得られる。波の速度が v = ωk=

qTσであるから、K = U であることがわかる。全エネルギー密度 Etot は、

Etot = K + U = σω2A2 cos2 (kx− ωt) = Tk2A2 cos2 (kx− ωt) (98)

であり、平均エネルギー密度 hEtotiは、

hEtoti = 1

T

Z T

0

Etotdt =1

T

Z T

0

σω2A2 cos2 (kx− ωt) dt (99)

=1

2σω2A2

である。このように、波のエネルギーは、振幅の二乗に比例する。波の強さ I は、

I = v hEtoti = 1

2

√σTω2A2 (100)

である。

¥例題： エネルギー密度の単位は [J/m]、波の強さは [W]=[J/s]であることを確認せよ。

¥演習問題＃３【３－１】

25

5 波の干渉

5.1 進行波と定在波（定常波）

波動方程式の解は、

y(x, t) = f (x− vt) + g (x+ vt)

のように正の向きに進む波と負の向きに進む波によって表すことができる。それぞれの波は、正または負の方

向に進むので進行波と呼ばれる。

いま、これらの波が

f (x− vt) = A sin (kx− ωt)

g (x+ vt) = A sin (kx+ ωt)

にように表されているとする。これらの波の重ね合わせ（干渉）により、

y(x, t) = A sin (kx− ωt) +A sin (kx+ ωt)

= 2A sin kx cosωt

のような波が現れる。これは、空間に対しては波数 k で、時間に対しては角振動数 ω で振動する波を表すが、

波は進行しない。このような波は定在波・定常波と呼ばれる。

この例では kx = nπ(n は整数) すなわち、x = nλ/2 では、全く変位は生じていない（このような場所を

節という）が、kx = (n+ 12)π(nは整数)すなわち、x =

¡n+ 1

2

¢λ/2では変位が生じる（このような場所を

腹という）。節の場所では、f (x− vt)と g (x+ vt)が打ち消しあい波は消失するが、腹の場所では、強め合っ

ている様子がわかる。

¥例題： １つの音源から角周波数 ω の波だし、２つの経路Ａ、Ｂに分岐する。分岐された波は、再び合

成する。経路Ａ，Ｂの長さの差を dとするとき、合成された波の大きさは dに対してどのように変化するか？

【解： もとの音源からでた波を

f (x) = A sin (kx− ωt)

とし、経路Ａ、Ｂに沿った軸の座標 xA, xB を用いると、経路Ａ、Ｂにおける波は

fA (xA) =1

2A sin (kxA − ωt)

fB (xB) =1

2A sin (kxB − ωt)

のように表せる。合成された地点での座標は、経路の差が dであることから、

xA = x0 + d/2, xB = x0 − d/2

26

のように表せる。従って、合成された波は、

f =1

2A [sin (kx0 − ωt+ kd/2) + sin (kx0 − ωt− kd/2)]

= A sin (kx0 − ωt) cos (kd/2)

= A cos (kd/2) sin (kx0 − ωt)

となる。振幅に cos (kd/2)の係数がかかっている。

kd/2 = nπ のとき（nは整数）、すなわち d = nλ、合成された波は元の音源に等しい振幅をもつ。

しかし、kd/2 =¡n+ 1

2

¢π のとき（nは整数）、すなわち d =

¡n+ 1

2

¢λ、合成された波はゼロとなる。２

つの経路の波が互いに打ち消しあい、干渉によって波が消えてしまう。】

5.2 波の反射：固定端と自由端と定在波

波が、媒質の境界に達すると波の反射が生じる。境界の性質によって、２つのタイプの反射がおこる。

固定端：入射波と逆位相の反射波が発生する場合。

自由端：入射波と同位相の反射波が発生する場合。

固定端の例： ロープを伝わる横波に関して、ロープの端が固定されている場合を考えよう。入射した波は

ロープの端に達すると、経験的に、位相が反転した波が反射してもどってくる。この様子を数式を用いて考え

てみよう。

x軸にそった x ≤ 0の領域にロープがあり、x = 0に固定された端があるものとする。ロープのある x ≤ 0では、波動方程式に従って運動するはずである。その変位を y で表すと、入射波は正の向きに進む一般解

y = f (x− vt)

で表すことができ、反射波は負の向きに進む一般解

y = g (x+ vt)

27

で表せる。

x = 0にある端は固定されているので、

y(x = 0, t) = 0

である必要がある。したがって、

y(x = 0, t) = f (−vt) + g (vt) = 0

すなわち、入射波と反射波の関係は

g (ξ) = −f (−ξ)

となっている必要性がある。これは、反転した波が反射されることを示している。

入射波と反射波は干渉し、ロープの上では

y(x, t) = f (x− vt) + g (x+ vt)= f (x− vt)− f (−x− vt)

で表せる波が発生している。

もし、入射波として、

f (x, t) = A sin (kx− ωt+ δ)

という波を入れたとすると、反射波は −A sin (−kx− ωt+ δ)であるから、入射波と反射波の重ね合わせ（干

渉）により、

y(x, t) = A sin (kx− ωt+ δ)−A sin (−kx− ωt+ δ)

= 2A sin kx cos (−ωt+ δ)

のような波が現れる。

これは 定在波・定常波 と呼ばれ、kx = nπ(nは整数)すなわち、x = nλ/2では、全く振動しない（このよ

うな場所を節という）が、kx = (n+ 12)π(nは整数)すなわち、x =

¡n+ 1

2

¢λ/2では、入射波の２倍の振幅

で振動する（このような場所を腹という）。

¥演習問題＃３【３－１】（ａ）

自由端の例： 弾性体を伝わる縦波に関して、弾性体の端が固定されていない（自由に動ける端の）場合を

考える。弾性体の端に達した波は、経験的に同じ位相の反射波を発生する。これを確認しよう。

固定端の場合に考えたことと同様にして、x ≤ 0の媒質を伝わる波が x = 0の自由端で反射される場合を考

える。一般的な入射波 f (x− vt)と反射波 g (x+ vt)を仮定し、ロープ上に

y(x, t) = f (x− vt) + g (x+ vt)

の合成波ができているもととする。

自由端においては、変位は自由にとりうるが、弾性体に働く力がゼロである。弾性体の力は弾性体の「の

び」に比例するので、自由端においては、変位の空間微分がゼロ

∂y

∂x= 0

28

になっている必要がある。これが自由端における境界条件である。従って、∙∂y

∂x

¸x=0

=

∙∂

∂xf (x− vt)

¸x=0

+

∙∂

∂xg (x+ vt)

¸x=0

= f 0 (−vt) + g0 (vt) = 0

となればよい。g0 (ξ) = −f 0 (−ξ) を満たしていればよい。これを積分し、振動に寄与しない定数項を無視す

ると、入射波と反射波の関係が

g (ξ) = f (−ξ)

を満たしていればよい。これは、入射波と同じ位相の波が反射されることを示している。

入射波と反射波は干渉し、弾性体の変位は

y(x, t) = f (x− vt) + g (x+ vt)= f (x− vt) + f (−x− vt)

で表せる波が発生している。

もし、入射波として、

y = A sin (kx− ωt+ δ)

という波を入れたとすると、入射波と反射波の重ね合わせ（干渉）により、

y(x, t) = A sin (kx− ωt+ δ) +A sin (−kx− ωt+ δ)

= 2A cos kx sin (ωt− δ)

のような波が現れる。

これは 定在波・定常波 と呼ばれ、

kx = nπ(nは整数)すなわち、x = nλ/2では、入射波の２倍の振幅で振動する（このような場所を腹とい

う）が、kx = (n+ 12)π(nは整数)すなわち、x =

¡n+ 1

2

¢λ/2では、全く振動しない（このような場所を節

という）。

5.3 両端での反射による定在波

長さＬの媒質を伝わる波に対して、両端が「固定端」である境界条件を考える。媒質の座標を 0 ≤ x ≤ Lと

すると、両端で変位がゼロでなければならない。

x > 0において、負の方向に進む波を yin = A sin (kx+ ωt)（一般的には g(η) : η = ωt + kx）とおくと、

x = 0の固定端で反射された波は、ξ = ωt− kxとして、yref = −g(−ξ) = −A sin (−kx+ ωt)である。

入射波と反射波の合成は、

y = A sin (kx+ ωt)−A sin (−kx+ ωt)

= A sin kx cosωt

である。この波が x = Lで変位ゼロになるためには、

sin kL = 0 すなわち、kL = nπ （ nは整数）

29

を満たす波でなければならない。従って、

k = nπ/L

λ = 2L/n

を満たす波のみが許される。これを共鳴条件、共振条件という。

共鳴条件は、

「固定端－固定端」では、kL = nπ

「自由端－自由端」でも、kL = nπ

「固定端－自由端」では、kL =¡n− 1

2

¢π である。（n = 1, 2, 3...）

¥例題： これらの条件が成り立つことを説明せよ。

¥例題： 「固定端－自由端」の例：長さ `の「片持ち梁」を伝わる横波

速度が一定な媒質（分散のない媒質）では、共鳴（角）周波数、または共振（角）周波数は、

ω = nπv/L （ v:速度）

f = nv/2L

で与えられ、基本周波数の整数倍の高調波でも共鳴条件となる。しかし、分散性の媒質では、ω (k)が線形

でないため、共鳴周波数は整数倍にならない。

¥演習問題＃３【３－２】

¥演習問題＃３【３－３】

6 二次元・三次元媒質を伝わる波

いままでは、ある１つの方向に波が伝わる一次元の波のみを扱ってきた。一般的には、二次元または三次元

空間を波は伝搬する。水面にできる波は二次元波であり、光や電波などの電磁波は三次元波である。

6.1 ホイヘンスの原理

波面：波の位相が等しい場所を結んだ曲線または曲面

平面波：波面が平面状である波（二次元波または三次元波）

円形波：波面が円である波（二次元波）

球面波：波面が球状である波（三次元波）

ホイヘンスの原理：ある時刻に波面ができていたとき、波面上の各点から素元波と呼ばれる円形波または球

面波が形成され、それらの重ねあわせによって新たな波面が形成されるという原理

ある時刻 tにおける波面を S (t)が与えられたとき、S (t)上の各点に波源があり球面波が広がってゆくと考

え、t+∆tにおける波の包絡線が、S (t+∆t)である。

6.2 二次元・三次元空間の波の表し方

一次元の波の変位は一般的に、f (x± vt)で表すことができることを学んだ。ここで、v は波の速度で、±は波の進行方向を表していた。また、分散性の媒質では、波の速度は周波数によって変化するため、波数 k と

30

角振動数 ω を用いて f (kx± ωt)で表すことができる。この形式 f (kx± ωt)を二次元・三次元空間での波に

拡張しよう。

平面波： 波面の形状が平面である波を平面波という。波の進む方向を表す単位ベクトルを sとし、三次元

空間上の点 r における変位は、

u = f(ks · r − ωt)

の形で表せる。すなわち、波の位相は、rを sに射影した長さ（内積）できまる。±は波の進行方向を表して

いたが、sによって向きも表すことにすれば、符号は－のみ考慮すればよいことになる。

一般的には、波数ベクトルk = ksを定義し、

u = f(k · r − ωt)

で平面波を表すことができる。二次元波の場合も同様に表すことができる。

球面波：波面の形状が球面である波を球面波（三次元波）という。波源からの距離を rとすると、

u =1

rf(kr − ωt) (101)

で表される。ここで、係数 1rがついているのは、全エネルギーが保存されることによる。

球面波では、波が球状に広がっていく。ある波面に対するエネルギーの積分 E は一定になっていなければ

ならない。波面の座標は、kr − ωtがある値（θ とする）をとる場所（面）で指定することができる。波のエ

ネルギーは、変位の二乗に比例するので、

E ∝Z波面

u2dS = 一定

でなければならない。式 101を代入すれば

E ∝Zθ0

∙1

rf(θ)

¸2dS = 4πr2

∙1

rf(θ)

¸2= 4πf2(θ) =一定

となり、エネルギー保存が成り立つことがわかる。

円形波： 二次元空間において、等方的にひろがっていく波。波源からの距離を rとすると、

u =1√rf(kr − ωt)

で表される。ここで、係数 1/√rがついているのは、全エネルギーが保存されることによる。波のエネルギー

は、変位の二乗に比例するので、 Zr

u2ds = 2πru2 =一定

となるためには、u ∝ 1/√rである必要がある。

6.3 ２点光源による干渉

ヤングのダブルスリット： 光源から出た波が、２つのスリットを通った後にできる干渉像について考え

る。ここでは、簡単のため、各スリットから出射される素元波を点光源からでる円形波とみなすことができる

と仮定する（回折によって円形波に近い波が出射される）。この２つの円形波の合成が干渉像になる。

31

点 A(0, a/2)、点 B(0,−a/2)に同位相の点光源があるものとし、この２つの点光源による干渉を考えよう。

座標 (x, y)から、点 Aまでの距離 rA、点 Bまでの距離 rB は、

rA =

qx2 + (y − a/2)2

rB =

qx2 + (y + a/2)

2

で与えられるから、球面波の式を用いると、重ね合わせの原理により、振幅は

u =1

rAf(krA − ωt) +

1

rBf(krB − ωt)

によって求められる。

近視野像： まず、点光源から比較的近い距離（rA, rB . a）における像を考える。rA, rB . aとは、距離

rA, rB が、点光源の間隔 aと同程度か、それよりも小さい範囲であることを表す。波の波長を λとすると、行

路差が波長の整数倍 rA − rB = nλ（ただし、nは整数）となる条件で波は強め合い、rA − rB =¡n+ 1

2

¢λと

なる条件で弱め合う。

波が強め合う干渉条件を求めてみよう。

干渉条件 rA = rB + nλ の両辺を二乗すると、

x2 + (y − a/2)2 = x2 + (y + a/2)2 + 2nλqx2 + (y + a/2)

2+ n2λ2 (102)

2ay + n2λ2 = −2nλqx2 + (y + a/2)

2

これを二乗して整理すると、双曲線関数

4y2

n2λ2− 4x2

a2 − n2λ2 = 1 (103)

が得られる。n = 0は、直線 y = 0を与えるが、|n| < a/λに対しては、座標 (0, nλ/2)を通る双曲線を表す。

¥ (x, y)平面内で、いくつかの整数 nに対して、式 103の双曲線関数を描け。

遠視野像： 十分遠く離れた x = L（À a）にあるスクリーンに現れる干渉像を考える。L À aは点光源

の間隔よりも十分遠く離れた位置にスクリーンがあることを意味している。

スクリーン上の座標は (L, y)であり、(y − a/2)À aとして近似する。距離 rA,rB は、

rA =

qL2 + (y − a/2)2 = L

s1 +

µy − a/2L

¶2' L

"1 +

1

2

µy − a/2L

¶2#

rB =

qL2 + (y + a/2)

2= L

s1 +

µy + a/2

L

¶2' L

"1 +

1

2

µy + a/2

L

¶2#

32

と近似できるので、行路差は、

∆r = r2 − r1

' L"1

2

µy + a/2

L

¶2− 12

µy − a/2L

¶2#=a

Ly

２つの波が干渉して強め合う条件は、

∆r = nλ

y = nLλ

a（ nは整数）

弱めあう条件は、

∆r =

µn− 1

2

¶λ

y =

µn− 1

2

¶Lλ

a（ nは整数）

である。干渉縞の周期は、

∆x =Lλ

a

である。

例えば、波長 λ = 600 nmの光により、スリットの間隔 a = 1 mm、スクリーンまでの距離 L = 1 mとす

ると、

∆x =Lλ

a= 0.6mm

の干渉縞が観測できる。

¥演習問題＃４【４－１】

¥演習問題＃４【４－２】

6.4 波の回折

平面波が細いスリットを通過したときの回折現象について考える。ここでは、幅 aの単スリットを考え、回

折現象について考えよう。たった１のスリットにおいても干渉効果は重要になりうる。一般的に、近距離像を

あつかうフレネル回折と、遠距離像を扱うフラウンホーファー回折とに分けて考えることができるが、ここで

は、フラウンホーファー回折についてのみ考える。

33

（−a/2 < y < a/2, x = 0）において、各波源は u0 sin (k0− ωt) dya

のように同じ位相で振動しているとす

る。方向 θ に回折する波の大きさについて考える。原点から方向 θ に沿った軸を考え、原点からの距離を R

とする。微小領域 y ∼ y + dy から出射され方向 θ に進む波は、r = R− y sin θ より、

u (y) dy =1√r

u0

asin (kr − ωt) dy （二次元円波なので

1√rをかけた）

=1√R

u0

asin (kR− ky sin θ − ωt) dy （

1√r∼ 1√

Rとした）

各微小領域から出てきた波の干渉（重ね合わせ）により、合成波は、

f (θ) =

Z a/2

−a/2u (y) dy

=

Z a/2

−a/2

1√R

u0

asin (kR− ky sin θ − ωt) dy

=

∙1√R

u0

acos (kR− ky sin θ − ωt)

1

k sin θ

¸a/2−a/2

=1√R

u0

ka sin θ

∙cos

µkR − ωt− ka

2sin θ

¶− cos

µkR− ωt+

ka

2sin θ

¶¸=

1√R

2u0

ka sin θsin (kR− ωt) sin

µka

2sin θ

¶=

1√Ru0 sin (kR− ωt)

sin¡ka2sin θ

¢ka2sin θ

最後のsin( ka2 sin θ)

ka2sin θ

が、θ 方向に回折される波の振幅を表している。

この波の強度（エネルギー）は、全エネルギーを I0 として、θ 方向に回折されるエネルギーの割合を表す関

数 F (θ)を用いて、

I ∝ |f (θ) |2 = I0F (θ)

F (θ) =

"sin¡ka2sin θ

¢ka2sin θ

#2である。この関数 F (θ)を回折因子という。

図のように、kaが小さいと、点光源として振る舞い、kaが大きくなると、波は直進性を増すが、干渉効果

による構造が現れる。

¥演習問題＃４【４－３】

34

6.5 回折分解能

顕微鏡や望遠鏡などでは、直径 D の開口からの回折現象が原理的な分解能をきめる。この場合、円形の穴

からのフラウンホーファー回折となり、計算が煩雑になる。結果だけ記すと、直径 D の開口から出射される

光は、角度 δθ の広がりをもっている。この δθ は、

δθ = 1.22λ

D(104)

で与えられる。

これは、単スリットの回折因子が最初にゼロになる角度から求められる広がり角度（δθ = λD）と同程度で

ある。

顕微鏡の分解能： 顕微鏡を用いることで小さい物体をはっきり観察することができるが、回折限界によっ

てきまる分解能しか得ることができない。

レンズから試料までの距離を Lとする。微小な試料の大きさ∆xを見分けるためには、

sin∆θ =∆x

L

をみたす角度∆θ の角度分解能が必要である。しかし、回折によって式 104の角度ひろがりが生じるため、た

かだか δθ の分解能しか得ることができない（∆θ = δθ）。ここで、レンズの半径を Rとすると、D = 2Rを

適用して、

∆θ = δθ =0.61λ

R

となる。大きなレンズを用いることにより、小さな角度分解能を得ることができる。すなわち

∆x =0.61λ

R/L

の大きさの物体までしか分解して観察することができない。通常、試料からレンズを見込む角度の半分（α）

を用いて、sinα ' tanα = R/Lを用いて、

∆x =0.61λ

sinα

によって表される。ここで、sinα は開口数（NA： Numerical Aperture）と呼ばれ、レンズの性能を表す重

要な値である。高級な顕微鏡で使われるレンズは、NA = 0.98 程度の高い値をもつが、原理的に１を超える

ことはできない。

もし、レンズと試料の間に屈折率 nの媒質で満たすと、媒質中の波長は λ/nになるため、分解能は、

∆x =0.61λ

n sinα

になる。顕微鏡と試料の間を油などで浸すことにより、NA = n sinαを、1.5ぐらいまであげることができる。

視力：目の視力は 1.0, 1.5などの指標で表される。これは、目の角度分解能を表したもので、視力を g とす

れば、分解能は∆θ = 160g[度]と定義される。例えば、視力 g = 1.5ならば∆θ =0.011度で、視力検査で用い

られる「Ｃ」の記号の間隔はこの角度に対応している。近視や遠視などによる視力低下はピントがあっていな

いために分解能が低下しているためであり、眼鏡などで矯正すれば、本来の人間の目の分解能まで識別でき、

視力 1.2程度まで回復できる。この限界は、フラウンホーファー回折の広がりと同程度である。レンズ系が正

35

しく矯正されていれば、幾何光学によって１点に像を結ぶはずである。しかし、光彩（しぼり）がスリットの

役割をするため、フラウンホーファー回折による広がりを示してしまう。

典型的な人の光彩は直径 d =３mmであり、波長を λ = 530 nm（緑色）とすると、式 104より、角度広

がりは ∆θ ' 2 × 10−4rad = 0.012度となり、視力 1.3に相当する。すなわち、光彩 3mmの人の視力は 1.3

がフラウンホーファー回折上の最大値である。

¥演習問題＃４【４－３】

6.6 回折格子

等しい幅 aのスリットが等間隔 bで N 個並んた回折格子を考える。

y = 0に置かれた１個のスリットからでる光は、

f0 (θ) =1

N

1√Ru0 sin (kR− ωt)

sin¡ka2sin θ

¢ka2sin θ

である。ただし、全での振幅が合わさったときに元の f (θ)になるように 1N

を掛けた。

n番目のスリット（y = bn）からでる波は、行路長が bn sin θ だけ長くなることを考えると、

fn (θ) =1

N

1√Ru0 sin (kR− ωt+ kbn sin θ)

sin¡ka2sin θ

¢ka2sin θ

である。スリットが N 個あったとすると、合成波は、

f (θ) =

N−1Xn=0

fn (θ)

=1

N

1√Ru0sin¡ka2sin θ

¢ka2sin θ

N−1Xn=0

sin (kR− ωt+ kbn sin θ)

ここで、P

の計算を行うため、sin£kb2sin θ

¤を分母分子に掛け、

f (θ) =1

N

1√Ru0sin¡ka2sin θ

¢ka2sin θ

1

sin£kb2sin θ

¤ N−1Xn=0

sin (kR− ωt+ kbn sin θ) sin

∙kb

2sin θ

¸

36

を計算する。P

の計算は、

N−1Xn=0

sin (kR − ωt+ kbn sin θ) sin

∙kb

2sin θ

¸

=1

2

N−1Xn=0

cos

∙kR − ωt+ kb

µn− 1

2

¶sin θ

¸− cos

∙kR− ωt+ kb

µn+

1

2

¶sin θ

¸=X

内の前項 (n)と後の項 (n− 1)が打ち消し合うことを用いると

=1

2

½cos

∙kR− ωt+ kb

µ−12

¶sin θ

¸− cos

∙kR− ωt+ kb

µN − 1

2

¶sin θ

¸¾= sin

∙kR− ωt+

kbN

2sin θ

¸sin

∙kbN

2sin θ

¸となる。従って、

f (θ) =1

N

1√Ru0sin¡ka2sin θ

¢ka2sin θ

sin£kbN2sin θ

¤sin£kb2sin θ

¤ sin ∙kR− ωt+kbN

2sin θ

¸である。最後の sinは、波を表している。回折強度（エネルギー）は、

I (θ) = I0

"sin¡ka2sin θ

¢ka2sin θ

#2 "sin£kbN2sin θ

¤N sin

£kb2sin θ

¤#2で表される。ここで、

F (θ) =

"sin¡ka2sin θ

¢ka2sin θ

#2：回折因子

G (θ) =

"sin£kbN2sin θ

¤N sin

£kb2sin θ

¤#2 ：干渉因子

と呼ばれる。

全体の包絡線関数は、回折因子で決まっている。その中に、干渉因子による振動が見られる。その周期は、

kbできまり、G (θ)が１になる条件は、

kb

2sin θ = nπ

b sin θ = nλ

37

である。また、回折格子の本数 N が増えるほど、回折ピークは急峻になる。

38

7 フーリエ級数展開

7.1 フーリエ余弦・正弦係数

波は重ね合わせの原理が成り立つので、与えられた系で波動方程式の解が複数あるとき、解１：sin (k1x− ω1t)

と解２：sin (k2x− ω2t)が許されれば、その合成波：sin (k1x− ω1t)+ sin (k2x− ω2t)も解である。このよう

に、たくさんの波の重ね合わせは、非常に複雑な関数：f (x, t)になる。逆に、波の変位 f (x, t)が与えられた

とき、単純な sin関数や cos関数に分解することもできる。

ここでは、波形 f (t)が周期 T0 の周期関数 f (t) = f (t+ T0)になっている場合のフーリエ級数展開を考え

る。長さ T0 の区間で関数が定義されていて、区間の初めの点 t0 と、終わりの点 t0 + T0 の関数値が同じであ

ればよい。

f (t0) = f (t0 + T0)

関数 f (t)は１周期分について定義されていれば十分であり、便宜上 −T0/2 ≤ t < T0/2で定義されているも

のとしよう。周期 T0 なので、ω0 = 2π/T0 が基本角周波数である。基本角周波数の整数倍の角周波数 nω0 の

sin関数や cos関数に展開することができる。すなわち、フーリエ級数展開は、

f (t) =a0

2+

∞Xn=1

(an cosnω0t+ bn sinnω0t) (105)

で与えられる。ここで、an はフーリエ余弦係数、bn はフーリエ正弦係数と呼ばれる。

これらのフーリエ係数は、

an =2

T

T/2Z−T/2

f (t0) cos (nω0t0) dt0 (106)

bn =2

T

T/2Z−T/2

f (t0) sin (nω0t0) dt0 (107)

で計算することができる。

フーリエ係数の確認： 式 106を確認しよう。

ここで、三角関数公式（三角関数の直交性）

2T

R T/2−T/2cos (nω0t) cos (n

0ω0t) dt = δn,n0

2T

R T/2−T/2sin (nω0t) sin (n

0ω0t) dt = δn,n0

2T

R T/2−T/2cos (nω0t) sin (n

0ω0t) dt = 01T

R T/2−T/2cos (nω0t)dt = δn,0

1T

R T/2−T/2sin (nω0t)dt = 0

(108)

を用いる。ここで、δn,n0 はクロネッカーのデルタで、n = n0 のときのみ１、それ以外が０である。

f (t)が式（105）のように展開されているとして、式（106）が成立することを確かめればよい。式（105）

を式（106）の右辺に代入すると、n 6= 0のとき、

39

2T

T/2R−T/2

f (t0) cos (nω0t0) dt0

= 2T

∞Pm=0

"T/2R−T/2

an cos (mω0t0) cos (nω0t0) dt0 +

T/2R−T/2

bn sin (mω0t0) cos (nω0t0) dt0

#= an

(109)

が得られ、式（105）と式（106）の an (n 6= 0)が正しいことがわかる。n = 0に対しては、

2

T

T/2Z−T/2

f (t0)dt0 =平均値の２倍を意味し、 (110)

代入すれば = a0 が確認できる。

となり、式（106）の a0 が正しいことが確認できる。

同様に、bn に対しても

2T

T/2R−T/2

f (t0) sin (nω0t0) dt0

= 2T

∞Pm=0

"T/2R−T/2

an cos (mω0t0) sin (nω0t0) dt0 +

T/2R−T/2

bn sin (mω0t0) sin (nω0t0) dt0

#= bn

(111)

となり、式（106）の bn が正しいことが確認できた。

従って、式（105）のようにフーリエ級数展開できるという前提（数学的には、積分可能であれば）で、式

（106）によって係数を求めることができることが示された。

方形波のフーリエ級数展開

簡単な例として、方形波

f (t) = 0 （− T/2 ≤ t < 0） (112)

f (t) = 1 （ 0 ≤ t < T/2）

についてフーリエ係数を求める。式（106）に従って、各係数を、求めてみよう。

a0 =2

T

Z T/2

−T/2f (t) dt = 1 (113)

an =2

T

Z T/2

−T/2f (t) cos (nω0t)dt (114)

=2

T

Z T/2

0

cos (nω0t)dt

=2

T

1

nω0[sin (nω0t)]

T/20

= 0

40

bn =2

T

Z T/2

−T/2f (t) sin (nω0t)dt (115)

=2

T

Z T/2

0

sin (nω0t)dt

=2

T

1

nω0[− cos (nω0t)]T/20

=1

nπ(1− cosnπ) （ω0 =

2π

Tをもちいた）

= 0 （ n =偶数）, =2

nπ（ n =奇数）

従って、

f (t) =1

2+

∞Xm=0

2

(2m+ 1)πsin [(2m+ 1)ω0t]

とフーリエ級数展開された。

このフーリエ級数成分は、奇数次の周波数（ω0, 3ω0, 5ω0, ...）のみをもち、その振幅は次第に小さくなって

いく（1, 1/3, 1/5, ...）。

また、m = 0～10までのフーリエ成分を用いて表すと図のようになる。

矩形パルス波形のフーリエ級数展開

周期 T でパルス幅 aの関数

f (t) = 0 （ a/2 ≤ |t| ≤ T/2）f (t) = 1 （ |t| < a/2）

についてフーリエ係数を求める。

解：偶関数であるから cos成分のみ計算すればよい。

a0 =2

T

T/2Z−T/2

f (t)dt =2a

T

41

an =2

T

Z T/2

−T/2f (t) cos (nω0t)dt

=2

T

Z a/2

−a/2cos (nω0t)dt

=2

T

1

nω0[sin (nω0t)]

a//2

−a/2

=2

T

1

nω02 sin

³nω0

a

2

´これに、ω0 =

2π

T

=2

nπsin³nπaT

´である。概略を図示すると図のようになる。

パルス幅 aが狭い（a¿ T）場合、

nπa

T¿ π

となるような周波数 nω0 に対して、

an =2

nπsin³nπaT

´∼ 2aT

となり、nによらずほぼ一定の高調波成分をもつ。

このように、幅の狭いパルスは、多くの高調波成分をもつことがわかる。

7.2 フーリエ級数の性質

偶関数 f (x) = f (−x)ならば、フーリエ級数は cos成分のみで表すことができる（sin成分はない）。

奇関数 f (x) = −f (−x)ならば、フーリエ級数は sin成分のみで表すことができる（cos成分はない）。

証明：奇関数の場合に、cos成分がないことを示そう。フーリエ係数の求め方：式（106）に従うと、cos成

分は、

an =2

T

T/2Z−T/2

f (t0) cos (nω0t0) dt0

42

で与えられ、奇関数 f (x) = −f (−x)を代入すると、

an =2

T

0Z−T/2

f (t0) cos (nω0t0) dt0 +2

T

T/2Z0

f (t0) cos (nω0t0) dt0

0Z−T/2

f (t0) cos (nω0t0) dt0 =

0Z−T/2

−f (−t0) cos (nω0t0) dt0

=

0ZT/2

f (t) cos (nω0t) dt （ t = −t0と置換した）

= −T/2Z0

f (t) cos (nω0t) dt

であるから、an = 0が示された。

同様にに、偶関数 f (x) = f (−x)であれば、bn = 0である。

以上。

43