複素数平面 総集編

複素数平面の問題は約 30 題やってきました。本番ではこれらに似た問題が出題されると思いま

す。それほど複素数平面は典型的な問題が多数です。ちなみに 2005 年までの入試問題を見てい

ても複素数平面の問題は現在の問題と遜色ありません。本番までには完璧にできるようにしてく

ださい。途中解説などは自分の手元の資料を参考にしてください。質問があればいつでも。

2 つの複素数 𝑧, 𝑤 があり、|𝑧 − 𝑖| = 1, 𝑤 = (1 + 𝑖)𝑧 が成立している。以下の問いに答えよ。

(1) 𝑧 はどのような図形を描くか。

(2) 𝑤 はどのような図形を描くか。

(1) 𝑖 を中心とする半径 1 の円 (2) − 1 + 𝑖 を中心とする半径√2 の円

複素数 z が|𝑧 − 1| = 2 を満たし、𝑤 が 𝑤 = 𝑖𝑧 + 3 で表されるとき P(w)の軌跡を求めよ。

中心が i + 3,半径が 2 の円

複素数 z が 1 + 𝑖 を中心とする半径 1 の円周上を動き、𝑤 =1 − 𝑖𝑧

1 + 𝑖𝑧で表される P(w)の軌跡を求

めよ。

(−1, −1 − 2i を結ぶ線分の垂直二等分線)

複素数 z は|𝑧 − (1 + 𝑖)| = 1 を満たしている。

(1) 点 z の軌跡を求めよ。

(2) |𝑧 − 2|の最大値と最小値、およびそれらを与える z を求めよ。

(1) 1 + 𝑖 を中心とする半径 1 の円 (2) 𝑀𝑎𝑥. √2 + 1 ( (2 − √2) + (2 + √2)𝑖

2) (

(2 − √2) + (2 + √2)𝑖

2) 𝑚𝑖𝑛. √2 − 1 (

(2 + √2) + (2 − √2)𝑖

2)

弘前大学 2016

(1) 0, 𝑖を結ぶ垂直二等分線 (2)点𝑖

2を中心とする半径

1

2の円 (点 i は除く) (3) 点 1 を中心とする半径 1 の円 (点 2 は除く)

秋田大学 2016 医学部

点 4 − i を中心とする半径 2√2の円 (2) 𝑧 = 4 ± √7 (3) 4 + 2√2

早稲田大学 2017

(1)−1 + √3𝑖

2 (2) (𝑥 −

1

2)

2

+ (𝑦 −1

2)

2

= 1 ((𝑥, 𝑦) ≠ (0,0))

奈良女子大学 2017

(1) |𝑧| = 1 (原点を除く) (2)

埼玉大学 2017 後期

(1) 𝑖 (2) 𝑜𝑚𝑖𝑡 (3)𝑥 = −3 sin 2 𝜃

5 − 3 cos 2 𝜃 𝑦 =

4

5 − 3 cos 2 𝜃 (4)

5𝑦 − 4

3𝑦 (5) 点

5

4𝑖を中心とする半径

3

4の円

複素数 z が|z − 2i| = 2 をみたしている時の|z − 2√3|の最大値と最小値、およびそれらを与える

z を求めよ。 (山形大学 2016) (𝑀𝑎𝑥. 6 (−√3 + 3𝑖) 𝑚𝑖𝑛. 2(√3 + 𝑖)

山形大学医学部 2016

(1) 𝑥2

25+

𝑦2

9= 1 (2)𝑧 ≠ 0, |𝑧| = 2 (3)7

北海道大学 2016

|w|2 = 4𝑥2 − 20𝑎𝑥 + 16𝑎2 + 9 (2) |4𝑎 + 5| (𝑎 < −5

4) 3√1 − 𝑎2 (−

4

5≦ 𝑎 ≦

4

5) |4𝑎 − 5| (𝑎 >

4

5)

千葉大学 2016

金沢大学 2017

±√3i, ± (3

2+

√3

2𝑖) , ± (−

3

2+

√3

2𝑖)

徳島大学 2016

2

𝛼 = 1 + 2𝑖, 𝛽 = 3 − 4𝑖 とおく。

(1) 𝛼 + 𝛽, 3𝛼 − 𝛽をそれぞれ複素数平面上に図示せよ。

(2) 𝑘を実数とする。このとき、|𝛼 + 𝑘𝛽|の最小値と、そのときの k の値を求めよ。(2, k =1

5)

オリジナル新作問題

0 ≦ θ < 2πとする。

2 つの複素数 𝑧 = 1 + 𝑖, 𝑤 = 1 + √3𝑖 に対し複素数 w

z の絶対値は(1),偏角 (arg

𝑤

𝑧 )は(2)である。

√2,𝜋

12

z +4

z= 2 を満たしている。

(1) 𝑧 を極形式で表せ。 ( 2{cos (±𝜋

3) + 𝑖 sin (±

𝜋

3)} )

(2) 𝑤 = 1 + 𝑧 + 𝑧2 + 𝑧3 + 𝑧4 + 𝑧5の値を求めよう。

左辺は公比が z の数列とみなせるから、1 + 𝑧 + 𝑧2 + 𝑧3 + 𝑧4 + 𝑧5 =𝑧6 − 1

𝑧 − 1とできる。このと

き(1)よりz6 = (𝐴)となり、さらに(1)の z を代入すると w の値が出る。

(−21√3𝑖, 21√3𝑖)

A(1 + i), B(3 + 5i), 𝐶(𝛾)が正三角形であるような C の座標を求めよ。ただし C は第二象限にある

とする。（広島大学）(2 − 2√3 + (3 + √3)𝑖)

複素数平面上で z, z2, 𝑧3を表す点をそれぞれ A, B, C とする。

(1) ∠𝐵𝐴𝐶 =𝜋

2 ならば z + 𝑧 = −2 となることを証明せよ。

(2) 𝐴𝐵𝐶は∠A =𝜋

2,∠𝐵 =

𝜋

3 の直角三角形であるとする。このとき SABC を求めよ。(14√3)

九州大学 2015 工学部後期

m=6, n=12

北海道大学 2017 後期

(1)

横浜国立大学 2017 後期

名古屋市立大学 2016薬学部中期

佐賀大学 2017

, 16,

愛媛大学 2016

,8

徳島大学 2017

z5 = 1 を満たす複素数 z について次の問いに答えよ。

(1) ∑ 𝑧𝑛

4

𝑛=1

の値を求めよ。

(2) 𝑧 +1

𝑧 の値を求めよ。

(3) cos 144° の値を求めよ。

オリジナル新作問題

(1) − 1 (2) 2,−1 ± √5

2 (3)

−1 − √5

2

佐賀大学 2016 後期

九州大学 1998

山梨大学医学部後期 2017（やや難）

2016, 1008

2 異なる複素数 𝛼, 𝛽, 𝛾 が 2𝛼2 + 𝛽2 + 𝛾2 − 2𝛼𝛽 − 2𝛼𝛾 = 0 を満たす。

(1)𝛾 − 𝛼

𝛽 − 𝛼= ±𝑖 となることを証明せよ。

(2) 複素数平面上で 3 点 𝐴(𝛼), 𝐵(𝛽), 𝐶(𝛾)を頂点とする△ ABC はどのような三角形か。答えよ。

(3)異なる複素数 𝛼, 𝛽, 𝛾 が 𝑥3 + 𝑘𝑥 + 20 = 0 の解とする. 𝛼, 𝛽, 𝛾 および 𝑘(∈ 𝑅) を求めよ。

九大オープン予想問題演習から

あなたが落ちた和歌山大学 2017 理系☆☆～☆☆☆

この系統は慣れないと最後まで解けないかもね。